UNA INTRODUCCION A LOS ESPACIOS´ VECTORIALES …

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

UNA INTRODUCCION A LOS ESPACIOSVECTORIALES TOPOLOGICOS

Tesina Licenciatura en Matematica

ROMINA TOLEDO ASTUDILLO

Docente guıa:

Jacqueline Ojeda

Abril 2020

i standon the sacrifices

of a million women before methinking

what can i do

to make this mountain taller

so the women after me

can see farther

legacy - rupi kaur

1

Indice general

1. Introduccion 3

2. Preliminares 5

2.1. Conjuntos y Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Continuidad y Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3. Espacios Uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Espacios Vectoriales Topologicos 14

3.1. Propiedades y Primeros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Espacios Vectoriales Topologicos Localmente Convexos 24

4.1. Primeros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Conjuntos y Espacios Barrelados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Seminormas y su relacion con los EVT l.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Teorema de Hahn-Banach 47

5.1. Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.1. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2. Espacio Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.3. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Versiones Geometrica y Analıtica del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . 505.3. Consecuencias del Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

Capıtulo 1

Introduccion

Desde principios del siglo XX, e incluso antes, el area que domino los avances en elAnalisis Funcional fue la teorıa de espacios normados. Esto, tras anos de estudio acerca deldual de un espacio y la continuidad de aplicaciones lineales. La idea de una norma definidasobre un espacio hizo posible trabajar con conceptos conocidos del calculo al otorgar unaidea de “cercanıa” y “distancia” entre los vectores de un espacio vectorial o, en particular,entre los elementos de un espacio de funciones, como deseaban los matematicos de la epoca.

Entre otras ventajas de los espacios normados estaba la adaptacion de conceptos to-pologicos al Analisis Funcional, sin embargo, permanecıa la sensacion de que no se leslograba sacar el provecho suficiente, por lo que, con el pasar del tiempo se fueron debi-litando algunas propiedades, de manera que se obtenıan nuevas generalizaciones de losespacios normados que continuaban permitiendo ampliar el estudio de los espacios de fun-ciones aplicandoles propiedades topologicas. Fue en esa epoca que aparecieron los conceptosde espacio perfecto, espacios de topologıa fuerte y espacios de Frechet. Todos ellos casosparticulares de lo que, en 1935 John Von Neumann bautizo como “espacios convexos” yactualmente reconocemos como un tipo particular de un concepto aun mas amplio: los“espacios vectoriales topologicos”, materia central de estudio del presente documento.

Maurice Frechet fue, sin duda, uno de los matematicos que mas aporto en esta nuevateorıa desde sus inicios, presentando en su tesis doctoral unos primeros ejemplos de estetipo de espacios y, mas tarde, demostro la continuidad de las funciones suma y multipli-cacion por escalar. Sin embargo, puso mayor enfasis en la posibilidad de definir normas enellos y esta fue la tonica que siguieron los demas matematicos en los anos siguientes. Tiem-po mas tarde, fue Stefan Banach quien volvio a trabajar con este concepto, designando atales espacios como espacios de tipo (F), y fue capaz de demostrar que algunos resultadosimportantes de la teorıa de espacios normados podıan adaptarse a los espacios vectorialestopologicos.

Fue en 1933 que Stanislaw Mazur fue capaz de adaptar el teorema de Hahn-Banach ensu version geometrica a aquellos espacios cuya topologıa coincide con su estructura lineal

3

CAPITULO 1. INTRODUCCION 4

(es por ello que es posible hallar literatura que tal version es nombrada como teorema de

Mazur). Tal teorema es considerado uno de los resultados centrales en el Analisis Funcionaly en conjunto con los espacios localmente convexos continuan siendo una parte importanteen el desarrollo de la teorıa de espacios vectoriales topologicos, por lo que ambos formanparte fundamental de este texto.

La presente tesina se divide de la siguiente manera:

En el Capıtulo 1, se presentan conceptos de teorıa de conjuntos y relaciones de orden,topologıa y algebra lineal que seran utilizados a lo largo del documento, son de especialrelevancia aquellos que pertenecen a la subseccion Filtros y a la seccion Algebra Lineal,puesto que los conceptos filtro de vecindades, conjunto absorvente y conjunto balanceado

seran utilizados frecuentemente en la obtencion de resultados de la teorıa de espacios vec-toriales topologicos. Las demas subsecciones en la seccion 2.2 cumplen con el objetivo deotorgar una pincelada general al uso de filtros y como conceptos que han sido estudiadosanteriormente en el estudio de la Topologıa general pueden ser adaptados a ellos.

En el Capıtulo 2 se presentan propiedades generales de los espacios vectoriales to-pologicos, la adapacion de conceptos provenientes de la Topologıa General y una carac-terizacion de este tipo de espacios que sera utilizada frecuentemente durante el resto deldocumento, ademas de ejemplos que faciliten la comprension de los conceptos.

En el Capıtulo 3 se profundiza en un tipo especial de espacios vectoriales topologicos:los espacios localmente convexos, los que corresponden a una generalizacion de los espaciosnormados. Debido a esta relacion es, sin duda, la seccion de mayor importancia aquella quetrata la relacion de este tipo de espacios con el uso de seminormas, funcion que se distinguede una norma en el hecho que no es necesario que un elemento sea nulo para que su normalo sea.

Para concluir, en el Capıtulo 4 se presentan las versiones geometrica y analıtica delteorema de Hahn-Banach, resultado que fue anteriormente estudiado en el curso de AnalisisFuncional y trata la posiblidad de extener un funcional lineal definido sobre un subespaciolineal al espacio en su totalidad, evidenciando aun mas la conexion entre espacios vectorialestopologicos localmente convexos y espacios normados, puesto que la version anteriormenteestudiada estaba expresada en terminos de los segundos.

Capıtulo 2

Preliminares

Se presentan los conceptos basicos que seran utilizados durante el texto, incluyendoresultados y ejemplos relevantes para el desarrollo de capıtulos posteriores. Se categorizanen tres secciones: Conjuntos y Orden, Topologıa (en la que se presentan los conceptos defiltro y espacio uniforme, ademas de definiciones de convergencia acorde a ellos) y AlgebraLineal.

2.1. Conjuntos y Orden

En esta seccion consideramos (X,) un conjunto ordenado no vacıo.

Definicion 2.1.1 Se dice que un conjunto (X,) es un conjunto dirigido, si es una

relacion sobre X tal que, para x, y, z 2 X

(i) Si x y y y z entonces x z;

(ii) Cualquiera sea x 2 X, x x;

(iii) Para cualesquiera x, y, existe z 2 X tal que x z y y z.

En otras palabras, un conjunto dirigido es un conjunto ordenado con una relacion re-

flexiva, transitiva y donde cada par de elementos es acotado superiormente.

Definicion 2.1.2 Sea x0 2 X, el conjunto {x 2 X : x0 x} es llamado seccion de X o,

mas precisamente, seccion de X generada por x0.

Definicion 2.1.3 Se dice que {y↵ : ↵ 2 A} es una familia dirigida si A es un con-

junto dirigido. Las secciones de una familia dirigida son las correspondientes subfamilias

{y↵ : ↵0 ↵} para ↵0 2 A.

En el desarrollo de la teorıa de espacios vectoriales topologicos sera de utilidad haceruso de un resultado equivalente al axioma de eleccion: el Axioma del Maximo. Para ello esnecesario presentar la definicion de cadena:

5

CAPITULO 2. PRELIMINARES 6

Definicion 2.1.4 Sea X un conjunto cualquiera. Una coleccion C de subconjuntos de Xes llamada cadena si, considerando dos elementos de C , uno esta contenido en el otro.

Axioma del Maximo: Sea S una coleccion de subconjuntos de un conjunto X y C unacadena contenida en S , existe una cadena maximal M tal que C ⇢ M ⇢ S .

2.2. Topologıa

2.2.1. Filtros

Definicion 2.2.1 Sea X un conjunto. Una familia F de subconjuntos de X es llamado

un filtro sobre X si cumple las siguientes condiciones:

F1 X es una coleccion no vacıa y el conjunto vacıo ; no pertenece a F .

F2 La interseccion de dos elementos cualesquiera pertenecientes a la familia tambien per-

tenece a la familia.

F3 Cualquier conjunto que contenga a un conjunto de F tambien pertenece a F .

Ejemplos de filtro:

1. Sea X un conjunto infinito. La coleccion de todos los complementos de subconjuntosfinitos de X son elementos de un filtro. En el caso que X = N se llama filtro de

Frechet.

2. La coleccion de todos los conjuntos que contienen a un subconjunto A no vacıo deun conjunto X es un filtro sobre X.

3. Sea X un espacio topologico. Recordemos que, para x 2 X, un subconjunto U de Xse llama vecindad de x si x 2 U .Luego, el conjunto de todas las vecindades de x es un filtro sobre X llamado filtro

de vecindades de x , denotado por F (x).

Este ultimo ejemplo sera importante para el desarrollo de la teorıa de espacios vec-toriales topologicos, ya que por propiedades que seran probadas mas adelante, siempresera posible realizar el estudio del comportamiento de un EVT a partir del comportamien-to en un punto particular, el que se realizara mediante sus vecindades.

Teorema 2.2.1 Dado un espacio topologico X y un punto x 2 X, el filtro F (x) satisfacelas siguientes propiedades :

N1 8A 2 F (x), x 2 A;

N2 8A 2 F (x), 9B 2 F (x) : 8y 2 B,A 2 F (y).

Demostracion:


N1 Inmediato por definicion de filtro de vecindades.

N2 Sea ⌧ la topologıa sobre X. Sea A 2 F (x). Se tiene que x 2 A, es decir, existe una

vecindad abierta B 2 ⌧ tal que x 2 B, luego B 2 F (x), y B ⇢ A. Sea un elemento

cualquiera y 2 B, y 2 A. Por tanto, y 2 F (y).

⇤

Definicion 2.2.2 Una familia B de subconjuntos de X define una base de filtro si cum-

ple:

BF1 B 6= ; y ; /2 B;

BF2 Si B1 2 B y B2 2 B, existe B3 2 B tal que B3 ⇢ B1 \B2.

Cada base de filtro genera un unico filtro F sobre X tal que F 2 F si, y solo si,existeun B 2 B tal que B ⇢ F . En este contexto, B es llamada base del filtro F .

Ejemplo de base filtro

Sea X un conjunto no vacıo. Consideramos una sucesion infinita S = (xn)n2N, se defineel filtro F asociado a S como a la familia de subconjuntos de X tales que cada subconjuntocontiene a todos los elementos x1, x2, ... excepto una cantidad finita de ellos.Se definen los subconjuntos de X, Sn = {xn, xn+1, ...} para cada n 2 N. La sucesion desubconjuntos S = S1 � S2 � ...Sn � ... es una base del filtro asociado a S.En efecto, sea F 2 F y xj el mayor termino de la sucesion que no pertenece a F , entoncesSj+1 ⇢ F .

Definicion 2.2.3 Sean F1 y F2 dos filtros sobre un mismo conjunto, se dice que F1 es

mas fino que F2 si F2 ⇢ F1.

Un concepto de interes en el estudio de los filtros es el de ultrafiltro, sin embargo,este concepto no sera estudiado en profundidad en este documento. A continuacion sepresentara unicamente su definicion.

Definicion 2.2.4 Sea F un filtro sobre un conjunto X. F es un ultrafiltro si no existe

un filtro G de X tal que F ( G .

Por el lema de Zorn se puede asegurar la existencia de tal filtro sobre cualquier conjuntoX.

Definicion 2.2.5 Si {x↵ : ↵ 2 A} es una familia dirigida en X, las imagenes x↵ de las

secciones de A forman una base de filtro sobre X. El filtro correspondiente recibe el nombre

de seccion filtro de la familia.


2.2.2. Continuidad y Convergencia

De manera similar a como se pudieron definir las ideas de continuidad y convergenciaa partir de la base de una topologıa, estos conceptos pueden ser adaptados al uso de filtrosde vecindades.Para presentar tales conceptos, en esta seccion, consideramos a f como una funcion de Xa Y , donde ambos conjuntos son espacios topologicos.

Definicion 2.2.6 Sea U el filtro de vecindades de x 2 X y B el filtro de vecindades de

f(x), f es una funcion continua en x 2 X si el filtro sobre Y generado por la base f(U )es mas fino que B.

Definicion 2.2.7 Un filtro F sobre X converge a x 2 X si F es mas fino que el filtro

de vecindades de x.

Definicion 2.2.8 Sea F un filtro sobre X, se dice que f converge a y 2 Y mediante

F si el filtro generado por f(F ) converge a y.

Definicion 2.2.9 Dado un filtro F sobre X y x 2 X, x es un punto adherente de Fsi x 2 F para cada F 2 F .

2.2.3. Espacios Uniformes

Sea X un conjunto no vacıo y V,W subconjuntos arbitrarios de X ⇥X, se introduce lasiguiente notacion:

W�1 = {(y, x) : (x, y) 2 W}V �W = {(x, z) : 9y 2 X/(x, y) 2 W ^ (y, z) 2 V }

� = {(x, x) : x 2 X}

Definicion 2.2.10 Una uniformidad sobre un conjunto X dado es un filtro U sobre

X ⇥X tal que:

U1 � ⇢ W, 8W 2 U ;

U2 D 2 U implica D�1 2 U ;

U3 para cada W 2 U , existe V 2 U tal que V � V ⇢ W .

Cada elemento de la uniformidad es llamado vecindad de la uniformidad.

Se llama espacio uniforme al par (X,U ). Ademas, a partir de tal uniformidad puedeser derivada una topologıa sobre el espacio.


En efecto, definimos para cada x 2 X el conjuntoW (x) := {y : (x, y) 2 W} conW 2 U ,esta familia forma una base de vecindades de x.

Se define G := {G ⇢ X : (x 2 G ) 9W 2 U /W (x) ⇢ G)}, la que resulta ser unacoleccion invariante bajo intersecciones finitas y uniones arbitrarias.

En efecto,

Para la interseccion finita, basta con probar que la interseccion de dos elementosesta contenida en G .Sean G1, G2 2 G .Sin perdida de generalidad, suponemos G1 \G2 6= ;.

x 2 G1 \G2 ) x 2 G1 ^ x 2 G2

) 9W1,W2 2 U : W1(x) ⇢ G1 ^W2(x) ⇢ G2

Luego, considerando W (x) = W1(x) \W2(x), se tiene que W (x) ⇢ G1 \G2.Ası, G1 \G2 2 G .

Sean Gi (i 2 I) elementos de G .Se tiene que para, cualquiera sea i 2 I, sea x 2 Gi,entonces que existe un Wi 2 G tal que Wi(x) ⇢ Gi.Luego, de manera bastante inmediata se puede notar:

x 2 [i2I

Gi ) x 2 Gj para algun j 2 I.

Luego, existe W 2 G tal que W (x) ⇢ Gj , en particular, W (x) ⇢ [i2I

Gi.

Por tanto [i2I

Gi 2 G .

De esta manera, G define una topologıa sobre X llamada topologıa uniforme.

Definicion 2.2.11 Una coleccion B de subconjuntos de X ⇥ X es una base de una

uniformidad U si cumple las siguientes condiciones:

i � ⇢ D 8D 2 B;

ii D 2 B ) 9E 2 B tal que E ⇢ D�1;

iii D 2 B ) E � E ⇢ D para algun E 2 B.

Se puede estudiar un ejemplo de base de una uniformidad sobre Rn introduciendo elconcepto de pseudometrica.De manera general, sea X un espacio no vacıo, y sea ⇢ : X ⇥ X ! R�0 una funcion quesatisface:


a ⇢(x, y) = 0 8(x, y) 2 �;

b ⇢(x, y) = ⇢(y, x);

c ⇢(x, y) ⇢(x, z) + ⇢(z, y).

Esta funcion genera una uniformidad sobre Rn al considerar como base a la familia deconjuntos U✏ = {(x, y) : ⇢(x, y) < ✏}

i La primera propiedad es inmediata por la definicion de pseudometrica.

ii Sea U✏ un elemento de la familia, U✏�1 = {(y, x) : ⇢(y, x) = ⇢(x, y) < ✏}. Luego U✏

�1 =U✏ y es inmediato que U✏ ⇢ U✏

�1.

iii Sea U↵ un elemento de nuestra coleccion. Buscamos un elemento U� tal que U� �U� ⇢U↵.Se puede asegurar que, sea (x, y) 2 U� � U� , (x, y) 2 U↵ si ⇢(x, y) < ↵

2 .En efecto, sea z 2 Rn tal que (x, z) 2 U� y (z, y) 2 U� , se tiene que

⇢(x, y) ⇢(x, z) + ⇢(z, y) < 2�

Luego, se cumple que ⇢(x, y) < ↵ para cualquier � < ↵2 .

En particular, escogiendo � = ↵2 , se tiene que U� � U� ⇢ U↵.

Por tanto la coleccion de todos los U✏ con ✏ > 0 forma una base para una uniformidaden Rn.

Definicion 2.2.12 Un espacio topologico se dice que es uniformizable si su topologıa

puede ser derivada de una uniformidad sobre X.

Teorema 2.2.2 Un espacio topologico Hausdor↵ es uniformizable si, y solo si, es comple-

tamente regular.

Demostracion en [13].

Definicion 2.2.13 Una uniformidad U se dice separada si se cumple que \{W : W 2M } = �.

Ejemplo de esto es cuando la uniformidad es determinada por una pseudometrica ⇢.Tal uniformidad es separada si, y solo si, ⇢�1(0) = �, es decir, cuando ⇢ es una metrica.

En el contexto de espacios uniformes tambien existen funciones que preservan la es-tructura, las que se definen de la siguiente manera:

Definicion 2.2.14 Sea f : X ! Y una funcion entre espacios uniformes, f es unifor-

memente continua si para cada vecindad V de Y , existe una vecindad U de X tal que

(x, y) 2 U implica (f(x), f(y)) 2 V .


Definicion 2.2.15 Se dice que X e Y son isomorfos si existe una aplicacion f : X ! Ybiyectiva tal que f y f�1

son uniformemente continuas. Bajo esta condicion f se llama

isomorfismo uniforme.

Tras la definicion de estos conceptos es posible presentar definiciones distintas a las quese han estudiado anteriormente de sucesiones de Cauchy y espacios completos, las que sepresentan a continuacion:

Sea X un espacio uniforme.

Definicion 2.2.16 Sea F un filtro sobre X, este es un filtro de Cauchy si para cada

vecindad V , existe F 2 F tal que F ⇥ F ⇢ V .

Definicion 2.2.17 Si en X todo filtro de Cauchy converge, se dice que X es completo.

Proposicion 2.2.1 En un espacio uniforme, todo filtro convergente es un filtro de Cauchy.

Demostracion en [1].

Definicion 2.2.18 Una sucesion de Cauchy en X es una sucesion cuya seccion filtro

es un filtro de Cauchy.

Si toda sucesion de Cauchy enX converge, se dice queX es semicompleto o completo

secuencialmente.

2.3. Algebra Lineal

Consideramos a L un espacio vectorial sobre K.

Definicion 2.3.1 Sea A un subconjunto de L, M = \{K : K subespacio de L y A ⇢ K}es la envoltura (o capsula) lineal de A. Tambien recibe el nombre de subespacio de L

generado por A.

Definicion 2.3.2 Sea K un campo. Una funcion K ! R+tal que � 7! |�| es llamada

valor absoluto sobre K si cumple

1. |�| = 0 , � = 0;

2. |�+ µ| |�|+ |µ|;

3. |�µ| = |�||µ|.

La funcion (�, µ) 7! |� � µ| es una metrica sobre K. Dotada de esta metrica y su

correspondiente uniformidad, K es llamado campo valuado.


Tal campo valuado es no-discreto si su topologıa no lo es. (Recordemos que la topologıa

discreta es aquella que considera como unicos abiertos al conjunto en su totalidad y al

conjunto vacıo ;) . Este tipo de campo necesariamente es infinito.

Definicion 2.3.3 Un subconjunto U de L se dice absorvente si para cualquier x 2 Lexiste ⇢ > 0 tal que para todo � 2 K que cumpla |�| ⇢, se tiene que �x 2 U .

Definicion 2.3.4 Un subconjunto C de L es balanceado si �C ⇢ C cuando |�| 1.

Definicion 2.3.5 Si A ⇢ L, \{B ⇢ L : A ⇢ B ^ B es balanceado } se llama envoltura

(o capsula) balanceada de A.

Un ejemplo simple que facilita la comprension de estas caracterizaciones es el siguiente:

Los polinomios R[x] conforman un conjunto balanceado pero no absorvente. En efecto,el multiplo de cualquier polinomio sera un polinomio tambien, sin embargo, no toda fun-cion continua puede ser escrita como el multiplo de un polinomio.

Por otro lado, en un espacio normado las bolas unitarias centradas en el origen son, ala vez, absorventes y balanceadas.

En efecto, sea X tal espacio y B(0, 1) = {x 2 X : ||x|| 1}.Sea a un elemento cualquiera de X. Considerando �0 : = 1

||a|| , se tiene que �0||a|| 2 B(0, 1).

Luego, cualquiera sea � 2 K tal que |�| �0, se tiene que �a ⇢ B(0, 1) ya que ||�a|| ||�0a|| = �0||a||. Por tanto, es un conjunto absorvente.Ademas, es inmediato notar que B(0, 1) es balanceado: Cualquiera sea y 2 B(0, 1) y � 2 Ktal que |�| 1, se tiene ||�y|| = |�| · ||y|| 1 · 1 = 1

⇤

Sobre este tipo de conjuntos, es posible notar facilmente tres cosas:

Cualquier conjunto que contenga a un conjunto absorvente es, a su vez, absorvente.

Sea x 2 U , el segmento que une a x con �x estara contenido en U si U es balanceado.

0 pertenece a cualquier conjunto absorvente o balanceado.

Por ultimo, se presentan a continuacion algunos resultados del algebra que seran utilespara el desarrollo de la teorıa de espacios vectoriales topologicos:

1. La coleccion de subconjuntos absorventes de L es invariante bajo intersecciones fini-tas.

2. La coleccion de subconjuntos balanceados de L es invariante bajo intersecciones ar-bitrarias.


3. Sea una aplicacion f : L1 ! L2 lineal con L1, L2 espacios vectoriales sobre un campovaluado no-discreto.

a) Si A ⇢ L1 y B ⇢ L2 son balanceados entonces f(A) y f�1(B) son balanceados.

b) Si B ⇢ L2 es absorvente, su preimagen f�1(B) es absorvente.

c) Si A ⇢ L1 es absorvente y f sobreyectiva entonces f(A) es absorvente.

Capıtulo 3

Espacios Vectoriales Topologicos

Si bien en los preliminares se presento el concepto de campo valuado, que correspondea un concepto mas general, desde este capıtulo en adelante K correspondera al campo delos numeros reales R o al campo de los numeros complejos C.

3.1. Propiedades y Primeros Resultados

Definicion 3.1.1 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K, se dice que el par (X, ⌧)es un espacio vectorial topologico si X esta provisto de tal topologıa ⌧ compatible con

la estructura de espacio vectorial de X, es decir, es tal que ambas operaciones vectoriales

son continuas.

De manera mas precisa, se requiere que

LT1 (x, y) ! x+ y sea continua sobre X ⇥X hacia X.

LT2 (�, x) ! �x sea continua sobre K⇥X hacia X

Donde estamos considerando que K esta provisto de la topologıa derivada de su valor

absoluto y los espacios K⇥X y X ⇥X denotan los respectivos productos topologicos.

Nota: En el texto se utilizara la abreviacion EVT para referirse a este tipo de espacios.

Ejemplos Espacios Vectoriales Topologicos

1. Un ejemplo simple de este tipo de espacios es un espacio vectorial arbitrario sobre Kdotado de la topologıa trivial.

Sea L tal espacio.

14

CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS 15

Se define la funcion suma de la siguiente manera:

s : L⇥ L ! L

(x, y) 7! x+ y

Los unicos abiertos en L son L y ;. Luego, el unico elemento basico es L. Mientrasque, en el espacio producto, el unico elemento basico es L ⇥ L, por el mismoargumento. Por tanto, sea (x, y) 2 L⇥ L, al ser s una funcion bien definida noqueda mas opcion que s(x, y) 2 L, es decir, s(L⇥L) ⇢ L. Ası, s es una funcioncontinua.

Se define la funcion producto por escalar:

p : K⇥ L ! L

(�, x) 7! �x

Sea (�, x) 2 K⇥L, cualquiera sea r > 0, se puede considerar el elemento basicoBr(�) ⇥ L, donde Br(�) es la bola de centro � y radio r correspondiente a lametrica definida en K. Se tiene que (�, x) 2 Br(�)⇥L y p(Br(�)⇥L) ⇢ L. Portanto, p es continua.

2. Todo espacio vectorial normado dotado con la topologıa dada por la metrica inducidapor la norma es un EVT.

Sea X tal espacio.

Se define la funcion suma:

s : X ⇥X ! X

(x, y) 7! x+ y

Cualquiera sea ✏ > 0 arbitrario, se puede notar que, por desigualdad triangular:

kx+ y � (z + w)k kx� zk+ ky � wk < ✏

Por equivalencia de normas, es valido considerar en X ⇥X la norma k(x, y) �(z, w)k : = kx� zk+ ky � wk.Luego sea (z, w) 2 Br((x, y)) la bola de radio r y centro (x, y), se tienek(x, y)� (z, w)k < r.Eligiendo r = ✏, se cumple que la funcion suma es continua.


Nuevamente, de manera analoga al ejemplo anterior, se define la funcion pro-ducto por escalar:

p : K⇥X ! X

(�, x) 7! �x

Sea ✏ < 0.Sean �0 2 K y x0 2 X elementos fijos y sea � > 0 tal que k(�, x) � (�0, x0)k =|��0|+ kx�x0k < �. De esto, se puede notar que |��0| < � y kx�x0k < �.Notar tambien que |�| |�� 0|+ |�0|.Luego, se tiene:

k�x� �0x0k = |�x� �x0 + �x0 � �0x0k |�|kx� x0k+ |�� 0|kx0k< �(|�|+ kx0k) < �(|�� 0|+ |�0|+ kxk) < �(� + |�0|+ kxk)

De esta manera, se elige � 2 K>0 tal que cumpla �(� + |�0| + kxk) < ✏ y seobtiene que la funcion p es tambien continua.

De manera analoga al estudio de espacios topologicos se pueden identificar distintostipos de funciones:

Definicion 3.1.2 Sea f : X ! Y una aplicacion lineal y X,Y dos EVT sobre K

1. f es un homomorfismo topologico si es continua y abierta.

2. f es un monomorfismo topologico si es un homomorfismo topologico inyectivo.

3. f es un isomorfismo topologico si es un homomorfismo topologico biyectivo.

Definicion 3.1.3 Sean X1 y X2 dos EVT sobre un mismo espacio K y u : X1 ! X2.

Diremos que u es un isomorfismo entre EVT’s si es un isomorfismo lineal biyectivo.

Teorema 3.1.1 Sea X un EVT sobre K, se cumple:

(i) Para cada x0 2 X y cada �0 2 K, �0 6= 0, la aplicacion x ! �0x + x0 es un

homeomorfismo de X en X.

(ii) Para cualquier subconjunto A de X y cualquier base U de un filtro de vecindades de

0, 0 2 X, se tiene que: A = \{A+ U : U 2 U }.

(iii) Si A,B ⇢ X, con A abierto, entonces A+B es abierto.

(iv) Si A,B ⇢ X, con B un subconjunto cerrado, entonces A+B es cerrado.


(v) Si A es un subconjunto balanceado de X entonces su clausura A tambien lo es. Ahora,

si 0 2 A entonces A es balanceado.

Demostracion

(i) No es difcil notar que la aplicacion es, en efecto, inyectiva y sobreyectiva. Ademas,

por los axiomas LT1 y LT2 es tambien continua al ser la composicion de un producto

por escalar y una suma, siendo su inversa y ! (y � y0)��1continua a su vez, por

argumento similar. Por tanto, la aplicacion es un homeomorfismo.

(ii) Sea B = \{A+U : U 2 U }. Por (i), {x�U : U 2 U } es una base de vecindades de

x para cualquier x 2 X.

Sea x 2 B, x 2 A + U 8U 2 U , luego x � U \ A 6= ;, es decir, toda vecindad de xintersecta a A. Luego x 2 A.

Sea x 2 A, por definicion de clausura se tiene que x 2 A \ (A + U) 8U 2 U . En

particular, x 2 A+ U 8U 2 U . Luego, x 2 B y A ⇢ B.

Ası, A = \{A+ U : U 2 U }.

(iii) Notar que A+B = [b2B

(A+ b). Por (i), toda traslacion es un homeomorfismo, luego

A+ b es un abierto, cualquiera sea b 2 B. Por tanto, A+B se puede expresar como

una union de abiertos de la forma A+ b. Ası, A+B es un conjunto abierto.

(iv) Supongamos que A+B no es un subconjunto cerrado en X, es decir, A+B ( A+B.

De esto, existe x0 2 A+B \A+B.

Por definicion, sea U una familia de vecindades de 0, para todo U 2 U se tiene que

(x0 � U) \ (A+B) 6= ;, esto quiere decir que existe z0 2 (x0 � U) \ (A+B).Se puede notar que (x0 � U) \ (A + B) 6= ; , (x0 � A) \ (B + U) 6= ;. Por tanto,

z0 2 (x0 � A) y z0 2 (B + U). luego, por (ii), se tiene que B + U ⇢ B + U =\{B + U + U : U 2 U }.De esto, z0 2 B + U + U, 8U 2 U lo que implica z0 2 B = B, esto por el punto (ii)

y por ser B un conjunto cerrado.

Luego, x0 = x0 � z0 + z0 2 A+B. Lo que contradice nuestro supuesto.

Por tanto, se cumple que A+B = A+B.

(v) Sea |�| 1. Al ser A balanceado se tiene que �A ⇢ A y, por la continuidad del

producto por escalar, �A ⇢ A.

Sea � 6= 0, por (i) �A =

�z}|{�A , luego �A ⇢ A. Si, ademas, consideramos que 0 2 A,

se tiene que, para � = 0, �A = {0} ⇢ A. Cumpliendose ası la contencion para todo

|�| 1, incluido � = 0.

⇤

El siguiente resultado nos asegura que la topologıa de un EVT esta completamentedeterminada por el filtro de vecindades de cualquiera de sus puntos.


Corolario 3.1.1 El filtro F (x) de vecindades de x 2 X coincide con la familia de los

conjuntos O + x, 8O 2 F (0).

Demostracion:

Primero que todo, es evidente que, cualquiera sea 0 2 F (0), x 2 O+x ya que x = 0+xy 0 2 O.

Resta probar que la familia de estos elementos es, efectivamente, F (x).

1. Al ser F (0) un filtro, existe al menos un elemento 0 contenido en el conjunto. Luego,

x+O 2 F (x), lo que quiere decir que F (x) 6= ;.

2. Sean O1, O2 vecindades de 0, se tiene que (x + O1) \ (x + O2) = x + (O1 \ O2), laque corresponde a una vecindad de x.

3. Sean O1 2 F (0) y O un elemento cualquiera de F (0) tal que O1 ⇢ O. Luego, se

tiene que x+O1 ⇢ x+O y x+O es vecindad de x, por tanto, x+O 2 F (x).

⇤

Definicion 3.1.4 Una topologıa ⌧ sobre un espacio vectorial X es llamada invariante

por traslacion si todas las traslaciones x 7! x+ x0 son homeomorfismos.

De Teorema 3.1.1 - (i) se puede asegurar que la topologıa de un EVT siempre esinvariante por traslacion.

Teorema 3.1.2 Caracterizacion de EVT

Un filtro F sobre un espacio vectorial X sobre K sera el filtro de vecindades del origen en

una topologıa compatible con la estructura de espacio vectorial de L si, y solo si cumple las

siguientes propiedades:

1. Cualquier sea U 2 F , 0 2 U .

2. Para todo U 2 F , existe V 2 F tal que V + V ⇢ U .

3. Para todo U 2 F y para todo � 2 K, con � 6= 0 se tiene �U 2 F .

4. Todo U 2 F es absorvente.

5. Todo U 2 F contiene a un V 2 F balanceado.

Demostracion necesidad:

1. Es inmediato por hipotesis.


2. Sabemos que la funcion suma s(x, y) = x+y es continua, por tanto, sea U un abierto

de X, s�1(U) es un abierto de X ⇥ X y vecindad de (0, 0). Luego, contiene un

elemento del tipo W1 ⇥W2, donde W1,W2 2 F . Tomando V = W1 \W2 se cumple

que V + V ⇢ U .

3. Por teorema anterior, se tiene que para � 2 K fijo no nulo, la aplicacion

f� : X ! X

x 7! f�(x) = ��1x

es continua. Por tanto, sea U 2 F , su preimagen es una vecindad del origen tambien.

Ası, f�1� (U) = �U 2 F .

4. Supongamos que U 2 F no es absorvente, por tanto, existe y 2 X tal que 8n 2 N se

tiene que1ny 62 U . Sin embargo,

1ny 7! 0. Lo que resulta ser una contradiccion ya que

infinitos puntos de tal sucesion estan en U puesto que es vecindad de 0.

5. Al trabajar en un EVT, sabemos que la funcion producto (�, x) ! p(�, x) = �x es

continua, esto quiere decir que, para U 2 F , p�1(U) es una vecindad de (0, ✓) 2K ⇥ X. Por tanto, N ⇥ W ⇢ p�1(U), donde N es una vecindad de 0 y W 2 F .

Ademas, existe ⇢ > 0 tal que B⇢(0) := {� 2 K : |�| ⇢} ⇢ N .

De esta manera, B⇢(0)⇥W ⇢ p�1(U), es decir, �W ⇢ U 8� 2 K que cumpla |�| ⇢.De lo anterior, definiendo V := [

|�|⇢�W ⇢ U se tiene que, por 3., como para cada

� 6= 0, �W 2 F y luego se cumple tambien que V 2 F .

Finalmente, como 8x 2 V, 9� 2 K con |�| ⇢ tal que x 2 �W , luego, para todo

↵ 2 K que cumpla |↵| 1 se obtiene ↵x 2 ↵�W ⇢ V , esto ya que |↵�| ⇢. estoquiere decir que, efectivamente, V es balanceado.

Demostracion suficiencia:

Suponemos que las propiedades 1., 2., 3., 4. y 5. se cumplen para un filtro F del espacio

vectorial X.

Sea x 2 X un elemento cualquiera, se puede definir el filtro F (x) = {U + x : U 2 F}, elque es un filtro de vecindades de x. De esto, se cumple:

8U 2 F , por 1. se tiene que 0 2 U . Luego, 8U 2 F , x = 0 + x 2 U + x, es decir,

8A 2 F (x), x 2 A.

Sea A 2 F (x), luego A = U + x para algun U 2 F . Por 2., existe V 2 F tal que

V +V ⇢ U . Sea B := V +x 2 F (x) e y 2 B, V +y ⇢ V +B = V +V +x ⇢ U+x = A.

Como V + y 2 F (y), luego A 2 F (y).


Por teorema del Capıtulo 1, existe una unica topologıa ⌧ sobre X tal que F (x) es el

filtro de vecindades de cada punto x 2 X y para el cual, en particular, F es el filtro de

vecindades del origen.

Con esto, resta demostrar la continuidad con respecto a ⌧ de las funciones suma y

multiplicacion por escalar.

Se define la funcion suma:

s : X ⇥X ! X

(x, y) 7! x+ y

Sea (x0, y0) 2 X ⇥ X y W una vecindad de su imagen s(x0, y0) = x0 + y0. Luego,W = U + x0 + y0 para algun U 2 F .

Por 2., existe V 2 F tal que V +V ⇢ U y luego (V +x0)+(V +y0) ⇢ U+x0+y0 = W .

De esto, (V + x0) ⇥ (V + y0) ⇢ s�1(W ), donde (V + x0) ⇥ (V + y0) es vecindad de

(x0, y0).

Sea (�0, x0) 2 K⇥X y

sU una vecindad de �0x0. Se cumple que

sU = U + �0x0 para

algun U 2 F . Por las propiedades 2. y 5., se obtiene que existe un elemento W 2 Fbalanceado tal que W +W +W ⇢ U . Ademas, es absorvente por 4., esto quiere decir,

que existe ⇢ > 0 tal que para todo � 2 K que cumpla |�| ⇢ se tiene �x0 2 W .

Consideramos dos casos distintos:

• Supongamos �0 = 0. En este caso, se tiene que

sU = U .

Notar que Im(B⇢(0) ⇥ (W + x0)) = {�w + �x0 : � 2 B⇢(0) ^ w 2 W} y como

� 2 B⇢(0) y W es absorvente, �x0 2 W .

Sin perdida de generalidad, podemos considerar ⇢ 1. Luego, como |�| ⇢ 1para todo � 2 B⇢(0) y, al ser W balanceado, �W ⇢ W .

De esto, Im(B⇢(0)⇥ (W + x0)) ⇢ W +W ⇢ W +W +W ⇢ U .

De esta manera, se cumple que la vecindad de (0, x0), (B⇢(0)⇥(W+x0) esta con-

tenida en p�1(U).

• Supongamos �0 6= 0 y sea � = mın{⇢,�0}. Luego, Im((B�(0)+�0)⇥(|�0|�1W +x0)) = {�|�0|�1w + �x0 + �0|�0|�1w + �0x0 : � 2 B�(0) ^ w 2 W}.Como � 2 B�(0), � ⇢ y W es absorvente, �x0 2 W . Ademas, como pa-

ra todo � 2 B�(0), |�|�0|�1| 1 y |�0|�0|�1| = 1 y al ser W balanceado,

�|�0|�1W,�0|�0|�1W ⇢ W .

Por lo tanto, Im((B�(0)+�0)⇥(|�0|�1W+x0) ⇢ W+W+W+�0x0 ⇢ U+�0x0,demostrandose ası que la vecindad de (�0, x0), (B�(0) + �0) ⇥ (|�0|�1W + x0)esta contenida en p�1(U + �0x0).

⇤


Ejemplo: Aplicacion Teorema

Sea X un espacio topologico no vacıo. RX corresponde a la coleccion de todas las apli-caciones de X a R.Sea L 2 RX y x 2 X, se denotara por Lx a su imagen en R, x 7! Lx.

Sean f, g 2 RX . Se definen la operacion adicion como f + g : = (fx + gx)x2X y lamultiplicacion por escalar por �f : = (�fx)x2X .

En particular, consideramos al subconjunto {f : X ! R / supt2X

|f(t)| < 1} ⇢ RX .

Este conjunto es un espacio vectorial CR(X) bajo las operaciones de adicion y multiplica-cion por escalar heredadas inducidas por el espacio vectorial RX .Los conjuntos Ur = {f : sup

t2X|f(t)| r} con r 2 R>0 forman un filtro F de vecindades del

origen sobre X tal que hace de X un EVT.

En efecto,

F es un filtro sobre X

1. Cualquiera sea r 2 R, f ⌘ r 2 Ur, luego ningun elemento Ur es vacıo y, comoesto se cumple para cualquier r, por mas pequeno que sea, F 6= ;.

2. Sea Ur 2 F y G ⇢ Ur, por lema de Zorn, cualquiera sea g 2 G existe una cotareal para los elementos gx y luego, un supremo para todas las cotas. Sea talsupremo r0, se tiene que G = Ur0 . Ası, G 2 F .

3. Sean Ur1 , Ur2 2 F , se tiene Ur1 \ Ur2 = Ur donde r = mın{r1, r2}. Es evidenteque tal elemento pertenece a F .

El filtro cumple con las propiedades (i),(ii),(iii),(iv)(v) de Teorema 3.1.2

1. De manera inmediata se puede notar que cualquiera sea r 2 R, se tiene quef ⌘ 0 2 Ur.

2. Cualquiera sea Ur 2 F y � 6= 0.

�Ur = {�f : supt2X

|f(t)| r} = {g : supt2X

��g

�(t)

�� r}

= {g : supt2X

|g(t)| |�|r} = U|�|r 2 F .

3. Sea Ur 2 F , escogiendo r0 r2 , se cumple que Ur0 + Ur0 ⇢ Ur.

4. Sea f un elemento cualquiera de {f : X ! R / supt2X

|f(t)| < 1}, existe

↵ 2 R>0 tal que supt2X

|f(t)| < ↵.


Sea ⇢ = r↵ y |�| < ⇢, se tiene que sup

t2X|�f(t)| = |�|sup

t2X|f(t)| ⇢ · ↵ = r. Es decir,

�f 2 Ur.

Ası, cualquiera sea Ur 2 F , es un conjunto absorvente.

5. Sea � 2 R tal que |�| 1. Por 2. se tiene que �Ur = U|�|r, como |�|r r, setiene que �Ur ⇢ Ur, es decir, Ur es balanceado.

De esta manera, podemos notar que al momento de trabajar en un EVT, es posiblesimplificar el analisis de su comportamiento al de las vecindades del origen, las que cumplencon propiedades bastante convenientes para la obtencion de futuros resultados.

Teorema 3.1.3 Sean X un EVT y x 2 X, cada vecindad de x contiene una vecindad

cerrada de x. En particular, la familia de todas las vecindades cerradas de 0 forman una

base de vecindades en 0.

Demostracion:

Sea U una vecindad de 0, existe otra vecindad de 0, V , tal que V +V ⇢ U . Como y 2 Vsi, y solo si, (y � V ) \ V 6= ;, se tiene que V ⇢ V + V . Ası, x+ V ⇢ x+ U .

⇤

De este resultado se puede inferir que cualquier EVT Hausdor↵ es un espacio topologicoregular.

Definicion 3.1.5 Se llama uniformidad invariante por traslacion a aquella unifor-

midad sobre un espacio vectorial X que tiene una base N tal que, cualquiera sea N 2 N ,

se tiene:

(x, y) 2 N () (x+ z, y + z) 2 N 8z 2 X.

Teorema 3.1.4 La topologıa de cualquier EVT puede ser derivada de una unica uni-

formidad invariante por traslacion N . Si B es una base de vecindades de 0, la familia

NV = {(x, y) : x� y 2 V } con V 2 B es una base para N .

Demostracion existencia:

Sea (X, ⌧) un EVT con B una base de vecindades de 0. Los conjuntos NV forman una base

filtro sobre X ⇥X, que a su vez es base de una uniformidad N invariante por traslacion

generadora de la topologıa ⌧ sobre X.

Demostracion unicidad:

Si N1 es otra uniformidad con las propiedades mencionadas antes, existe una base M de

N1 que consiste en conjuntos invariantes por traslacion y tales que los conjuntos UM ={x� y : (x, y) 2 M}, cualquiera sea M 2 M forman una base de 0 para ⌧ .


Ahora, si UM ⇢ V , esto implica que M ⇢ NV , entonces el recıproco tambien se cumple.

Es decir, ambas bases son iguales y, como cada base genera una unica uniformidad, se

concluye que N y N1 son iguales.

⇤

Definicion 3.1.6 Sea X un EVT, un subespacio de X es un subespacio vectorial Mdotado de la topologıa inducida por X.

Nota: Recordar que un subconjunto M 6= ; de X es un subespacio vectorial si M+M ⇢ My �M ⇢ M , cualquiera sea � 2 K.

Proposicion 3.1.1 1. La clausura H de un subespacio H de un EVT X es tambien un

subespacio lineal de X.

2. Sean X,Y dos EVT y f : X ! Y una aplicacion lineal. f es continua si, y solo si, fes continua en el origen 0.

Demostracion:

1. Sean x0, y0 2 H y U 2 F (0). Por Teorema 3.1.2, existe V 2 F (0) tal que V +V ⇢ U . Luego, por definicion de puntos de clausura, se tiene que (x0+V )\H 6= ;y (y0 + V ) \H 6= ;, esto quiere decir que existen x, y 2 H tal que x 2 x0 + Ve y 2 y0 + V . Como H es un subespacio lineal x + y 2 H. En consecuencia,

x+ y 2 (x0 + V ) + (y0 + V ) ⇢ x0 + y0 + U . Ası, x+ y 2 H \ (x0 + y0 + V ), esdecir, H \ (x0 + y0 + V ) 6= ; implica que x0 + y0 2 H.

De manera similar, sea � 2 K y x0 2 H. Del hecho que (x0 + U) \ H 6= ;tenemos que existe x 2 (x0 + U) \ H. Y como H es subespacio linea de X,

�x 2 H. Luego, �x 2 �x0 + �U , con �U 2 F (0), nuevamente por Teorema

3.1.2. Por tanto, H \ (�x0 + �U) 6= 0, lo que implica que �x0 2 H.

2. Sean f una aplicacion lineal continua en 0 y x 6= 0 un elemento fijo de X. Sea Uuna vecindad cualquiera de f(x) 2 Y . Por Corolario 3.1.1, U = f(x) + V para algun

V 2 F (0), con 0 2 Y . Luego, al ser f lineal se tiene

f�1(U) = f�1(f(x) + V ) = f�1(f(x)) + f�1(V ) � x+ f�1(V )

Por la continuidad de f en 0, se tiene que f�1 2 F (0) y, ası, x+f�1(V ) es vecindadde x 2 X.

⇤

Capıtulo 4

Espacios Vectoriales TopologicosLocalmente Convexos

El estudio de los EVT localmente convexos es relevante dentro de los distintos tiposde EVT debido a que son una generalizacion de los espacios normados. A continuacionrecordamos la definicion de un conjunto convexo y propiedades que se cumplen en unEVT.

4.1. Primeros resultados

Definicion 4.1.1 Un subconjunto A de un espacio vectorial X sobre K se dice que es

convexo si, eligiendose dos puntos cualesquiera del conjunto, la recta que los une esta con-

tenida en el conjunto.

Proposicion 4.1.1 Sean X e Y espacios vectoriales espacios vectoriales sobre el campo

K y f : X ! Y una aplicacion lineal. La imagen y la preimagen de un conjunto convexo

mediante f son convexos.

Esta afirmacion se puede probar de manera inmediata por la linealidad de f y f�1.

Proposicion 4.1.2 Sean X un EVT y A,B subconjuntos convexos de X. Luego, A, A, A+B y ↵A, para todo ↵ 2 K, son conjuntos convexos.

Demostracion:

Sea A un conjunto convexo de X.

Cualquiera sea � 2 [0, 1], se define

24

CAPITULO 4. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS LOCALMENTE CONVEXOS25

�� : X ⇥X ! X

(x, y) 7! �x+ (1� �)y

A es convexo

Sean x, y 2 A, cualquiera sea � 2 [0, 1], se desea probar que z := ��(x, y) 2 A.En efecto, como x e y son puntos interiores de A se tiene que existe U 2 F (0) tal

que x+ U ⇢ A y y + U ⇢ A (*). De manera similar se espera que z + U ⇢ A:

En efecto, para u 2 U , se tiene:

z + u = �x+ (1� �)y + �u+ (1� �)u = �(x+ u) + (1� �)(y + u)

Luego, por (*), se tiene que x+ u 2 A, y + u 2 A y como A es convexo, z + u 2 A,

equivalentemente, z + U ⇢ A.

A es convexo

�� es continua al ser una composicion de suma y producto por escalar en un EVT.

Luego, como A es convexo se tiene que ��(A⇥A) ⇢ A y, por tanto, ��(A⇥A) ⇢ A.

Ademas, de la continuidad de ��, ��(A⇥A) ⇢ ��(A⇥A).Ası, ��(A⇥ A) ⇢ ��(A⇥A) ⇢ A, lo que quiere decir que A es convexo.

A+B es convexo

Si a1, a2 2 A, b1, b2 2 B, entonces a1 + b1, a2 + b2 2 A+B, se tiene

�(a1 + b1) + (1� �)(a2 + b2) = [�a1 + (1� �)a2] + [�b1 + (1� �)b2],

elemento que pertenece a A+B puesto que �a1+(1��)a2 2 A y �b1+(1��)b2 2 Bya que ambos conjuntos son convexos.

↵A es convexo

Si a, b 2 ↵A, entonces a = ↵x y b = ↵y para algunos x, y 2 A. Luego, cualquiera sea

� 2 [0, 1] se tiene que

�a+ (1� �)b = �(↵x) + (1� �)(↵y) = ↵[�x+ (1� �)y].

Si denotamos por z := �x+ (1� �)y 2 A y del hecho de que A es convexo, ↵z 2 ↵A

⇤

Proposicion 4.1.3 Sea X un espacio vectorial, se cumplen las siguientes propiedades:

La interseccion arbitraria de conjuntos convexos es convexa.

Si C es un conjunto convexo, ⇢C es un conjunto convexo 8⇢ > 0.


Demostracion:

La demostracion de ambas propiedades es bastante simple:

En el caso que la interseccion C = \j2J

Cj sea un unico punto, la afimacion es inme-

diata.

En el caso contrario, sean x, y 2 \j2J

Cj, la recta que una a x e y esta contenida en

todo Cj, al ser cada uno de estos conjuntos convexos, por tanto, esta contenida en la

interseccion. Ası, C es convexo.

Sea C un conjunto convexo. Es facil notar que, sean x, y 2 C, se tiene que ⇢x, ⇢y 2⇢C, luego, sea � 2 (0, 1]

�(⇢x) + (1� �)(⇢y) = ⇢(�x+ (1� �)y) 2 ⇢C

ya que C es convexo.

⇤

Lema 4.1.1 Sea C un subconjunto convexo se cumple, para cualquier 0 < t 1, que

tC + (1� t)C ⇢ C (⇤).

Si C 6= ;, entonces

1. El interior de C es denso en C.

2. El interior de C coincide con el interior de C.

Demostracion

Es posible notar que ciertas afirmaciones del enunciado son inmediatas:

Para t = 1, (⇤) es cierto.

Las contenciones¯C ⇢ C y C ⇢ ˚C son ciertas ya que C ⇢ C y C ⇢ C.

Por lo que se procede a demostrar los casos restantes:

Sea C un conjunto convexo, x 2 C, y 2 C y t 2 (0, 1).Existe una vecindad U del origen tal que x+ U ⇢ C.

Como y � t1�tU es una vecindad de y, existe z 2 C \ (y � t

1�tU). De esto, se tiene que

(1� t)(y � z) 2 tU .

Se define el conjunto V : = t(x+U) + (1� t)z, el que esta completamente contenido en C


al ser este un conjunto convexo.

Mas aun, se puede notar:

tx+(1�t)y = tx+(1�t)(y�z)�(1�t)z 2 tx+tU�(1�t)z = t(x+U)+(1�t)z = V ⇢ C

De esta manera se tiene que tx+ (1� t)y 2 C, probandose (⇤).Luego, al hacer tender t a 0, se cumple 1..

Para 2., sean x0 2 C y x 2 ˚C.

Sea W una vecindad del origen tal que x+W ⇢ C.

Al ser W absorvente, existe un ✏ 2 (0, 1) tal que ✏(x� x0) 2 W . De esta manera,

x+ ✏(x� x0) 2 C.

Por (⇤). se tiene x� ✏(x� x0) = ✏x0 + (1� ✏)x 2 C.

Y luego, usando (⇤) otra vez, se tiene:

x =1

2(x+ ✏(x� x0)) +

1

2(x� ✏(x� x0)) 2 C

Ası,˚C ⇢ C, cumpliendose la igualdad

˚C = C.

⇤

Definicion 4.1.2 Sea B un conjunto cualquiera de un espacio vectorial X. La envoltura

(o capsula) convexa de B es

conv(B) = {nX

i=1

�ixi : xi 2 B,�i 2 [0, 1],nX

i=1

�i = 1, n 2 N},

el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas finitas de elementos de B.

Proposicion 4.1.4 Un subonjunto S de X es convexo si, y solo si, es igual a su envoltura

convexa.

Demostracion

Es inmediato notar que, sea x 2 S, x = 1 · x 2 conv(S).En el otro sentido, sea x 2 conv(S), x =

Pni=1 �ixi 2 S y

Pni=1 �i = 1.

Se procede a probar el enunciado usando induccion:

Para el caso: n = 1 se obtiene de manera inmediata.


Caso n � 2Hipotesis de induccion: Sean xi 2 X y �i � 0, con 1 i k + 1 y

Pk+1i=1 �i = 1, se

asume que

kX

i=1

�ixi 2 S.

Sean � : =Pk

i=1 �i = 1 y, para 1 i k, µi : = �i� , se cumple que µi � 0 yPk

i=1 µi = 1.

Luego, se tiene que �k+1 = 1� � y, sea y : =Pk

i=1 µixi,

x =k+1X

i=1

�ixi =kX

i=1

�ixi + �k+1xk+1

= �kX

i=1

µixi + �k+1xk+1

= �y + (1� �)xk+1

De esta manera, como xk+1 2 S yPk

i=1 �ixi 2 S por hipotesis, al ser S un conjunto

convexo se tiene que x 2 S.

Ası, S = conv(S).

⇤

4.2. Conjuntos y Espacios Barrelados

Definicion 4.2.1 Un subconjunto T de un EVT se dice barrelado si T es absorvente,

balanceado, convexo y cerrado.

Proposicion 4.2.1 Toda vecindad del origen en un EVT esta contenida en una vecindad

barrelada del origen.

Demostracion

Se define

TU := conv( [�2K,|�|1

�U).

Se cumple que U 2 TU . Luego, TU es una vecindad del origen y, por Teorema 3.1.2, es

absorvente. Ademas, por construccion, TU es un conjunto cerrado y convexo al ser clausura

de un conjunto convexo.


Como conv( [�2K,|�|1

�U) es convexo, sea z un elemento perteneciente al conjunto, existen

x, y 2 X tales que, para algun t 2 [0, 1],

z = tx+ (1� t)y

en particular, x 2 �U y y 2 µU con �, µ 2 K tales que |�| 1 y |µ| 1.Luego, sea ⇠ 2 K, |⇠| 1, se tiene que

⇠z = ⇠tx+ ⇠(1� t)y 2 conv( [�2K,|�|1

�U)

ya que |⇠�| 1 y |⇠µ| 1. De esta manera, se tiene que conv( [�2K,|�|1

�U) es un conjunto

balanceado y, por Teorema 3.1.1, TU es balanceado al ser su clausura.

Ası, se tiene que TU es la vecindad barrelada que se buscaba.

⇤

Definicion 4.2.2 Un EVT X se dice localmente convexo si existe una base de vecin-

dades del origen que consiste en conjuntos convexos.

Por comodidad, estos espacios seran frecuentemente abreviados como espacios l.c..

Ejemplos Espacios Localmente Convexos

1. En Rn con k · k la norma euclideana, se puede considerar la base compuesta por lasbolas de centro 0 y radio r, con r 2 R>0, B0(r) = {x 2 X : kxk r}.

2. El conjunto de todas las funciones continuas a valores reales definidas sobre un in-tervalo cerrado [a, b] se vuelve un espacio l.c. bajo la norma kxk = sup

atb|x(t)|.

De manera analoga al ejemplo anterior, basta con considerar las bolas de centro 0 yradio r, B0(r) = {x 2 C [a, b] : kxk r}.No es difıcil probar la convexidad de estos elementos. En efecto, sean x, y funcionescontenidas en B0(r) y t 2 (0, 1).

ktx+ (1� t)yk tkxk+ (1� t)kyk < (t+ 1� t)r = r

Por tanto, tx+ (1� t)y 2 B0(r), lo que quiere decir que tal conjunto es convexo y lacoleccion de todos ellos es la que hace de C [a, b] un espacio localmente convexo.

Si bien en estos ejemplos se consideran elementos definidos a partir de normas, enla proxima seccion este concepto sera levemente debilitado y se mostrara que aun ası,sera posible crear espacios l.c. a partir de el.

Definicion 4.2.3 La topologıa compatible con la estructura de un espacio vectorial es lla-

mada topologıa localmente convexa si posee una base de vecindades convexas del origen.


Proposicion 4.2.2 Todo EVT l.c. tiene una base de vecindades del origen que consiste

en conjuntos barrelados.

Demostracion:

Sea O una vecindad del origen, por Teorema 3.1.3, existe V vecindad cerrada del origen

tal que V ⇢ O y forma parte de una base de vecindades del origen.

Como X es l.c., existe una vecindad convexa del origen en X tal que W ⇢ V .

Mas aun, por Teorema 3.1.2, existe una vecindad balanceada del origen U tal que U ⇢ W .

De esta manera,

U ⇢ W ⇢ V ⇢ O.

Al ser U una vecindad balanceada, se tiene que

U = [�2K,|�|1

�U.

Luego, al ser W convexo, se tiene:

conv( [�2K,|�|1

�U) = conv(U) ⇢ W = conv(W )

De esto,

TU ⇢ W ⇢ V = V ⇢ O.

donde consideramos a TU como en la demostracion anterior.

Ası, se obtiene que los TU son los conjuntos barrelados que conforman la base requerida.

⇤

Teorema 4.2.1 Toda vecindad convexa de 0 contiene una vecindad convexa balanceada de

0. En particular, en cualquier EVT l.c. existe una base B de vecindades del origen que

consiste en conjuntos absorventes, balanceados y convexos tales que:

a) 8V1, V2 2 B, 9V3 2 B : V3 ⇢ V1 \ V2;

b) 8V 2 B, 8⇢ > 0, 9W 2 B : W ⇢ ⇢V

Por otro lado, si B es una coleccion de subconjuntos convexos, absorventes y balancea-

dos de un espacio vectorial tal que se cumplen a) y b), entonces existe una unica topologıa

compatible con la estructura lineal de X tal que B es una base de vecindades del origen en

X para tal topologıa.

Demostracion:


Existencia de B

Sea U una vecindad convexa de 0. Por Teorema 3.1.2 existe una vecindad balaceada

de 0, W , tal que W ⇢ U . Como consecuencia, para cualquier s 2 K con |s| = 1, setiene sW ⇢ W y s�1W ⇢ W , luego s�1W = W = sW . En particular, s�1W = W ⇢,

de esto, W ⇢ sU .

Sea V : = \|s|=1

sU . Luego, V ⇢ U y W ⇢ V , de esta manera V es una vecindad de

0 contenida en U . Mas aun, como cada sU es convexo, tambien lo es su interseccion

V .

Notar que para cualquier v 2 V se cumple v 2 sU, 8|s| = 1. Luego, cualquiera sea �con |�| 1 se tiene que, para cualquier s tal que |s| = 1, |�|v 2 |�|sU y s|�|U ⇢ sU ,

esto al ser U convexo y 0 2 U .

Por tanto, �v 2 V , es decir, V es balanceado.

Notar que, todo EVT l.c. tiene una base de vecindades convexas en 0 y, por lo ante-

rior, cada uno de ellos contiene una base balanceada y convexa de 0. Esta parte de

la demostracion finaliza al notar que toda vecindad de 0 es absorvente.

Se cumplen las propiedades a) y b)

Basta con notar que V1 \ V2 y ⇢V son conjuntos convexos al ser, respectivamente, la

interseccion y el multiplo de vecindades convexas de 0. Luego, por primera parte de

la demostracion, existen V3 y W vecindades convexas, balanceadas y absorventes de

0 tales que V3 ⇢ V1 \ V2 y W ⇢ ⇢V .

Existencia y Unicidad de ⌧

Sea B una colecion de conjuntos absorventes, balanceados y convexos que cumplen

a) y b). Se tiene que B es una base de filtro. En efecto:

• Supongamos ; 2 B. Por defincion deB, ; es un conjunto absorvente, es decir,

0 2 ;. Es evidente que tal afirmacion es falsa. Ası, B no contiene al conjunto

vacıo

Por otro lado, no es difıcil notar que {0} 2 B. Luego B 6= ;.• Es inmediato que, por a), se tiene que, sean B1, B2 2 B, existe B3 2 B tal que

B3 ⇢ B1 \B2.

Ası, B genera un unico filtro F = {F ⇢ X : B ⇢ F para algun B 2 B}, el quecumple con las condiciones del Teorema 3.1.2:

• Es facil notar que, cualquiera sea F 2 F , F es un elemento absorvente y, por

tanto, 0 2 F .

• Por definicion de F , existe B 2 B tal que B ⇢ F . Tal B es balanceado, por

definicion, y B ⇢ F . Ası, B 2 F .


• Sean F 2 F y � 6= 0. Por el mismo argumento anterior, existe B ⇢ F y, por

propiedades de los conjuntos absorventes y convexos, se tiene que �B tambien

es absorvente y convexo, por propiedades de estos tipos de conjuntos. Ademas,

como B es balanceado, se tiene que, sea µ 2 K y |µ| 1, µ�B = �(µB) ⇢ �B.

Es decir, �B tambien es un conjunto balanceado. De esta manera, �B 2 B. Y,

por tanto, �F 2 F .

• Por ultimo, notar que, por lo anterior,12B 2 F , en particular,

12B 2 B y al ser

B convexo, se tiene que12B + 1

2B ⇢ B. Ası,12B + 1

2B ⇢ F .

Por lo tanto, existe una unica topologıa compatible con la estructura lineal de X tal

que B es una base de vecindades del origen en X para tal topologıa.

⇤

Definicion 4.2.4 Un espacio barrelado es un EVT en el cual la familia de todos los

conjuntos barrelados forman una base en 0. Equivalentemente, un EVT X es barrelado si

cada conjunto barrelado en X es una vecindad de 0.

Definicion 4.2.5 Sean X y X↵ (↵ 2 A) espacios vectoriales sobre K. Sea g↵ : X↵ ! Xuna aplicacion lineal sobre X↵ y ⌧↵ una topologıa l.c. sobre X↵. La topologıa inductiva

sobre X con respecto a la familia {(X↵, ⌧↵, g↵) : ↵ 2 A} es la topologıa localmente

convexa mas fina para la cual cada aplicacion g↵(↵ 2 A) es continua sobre (x↵, ⌧↵) hacia

X.

Teorema 4.2.2 Si ⌧ es la topologıa inductiva sobre X con respecto a una familia de espa-

cios barrelados X↵ y sus correspondientes aplicaciones lineales g↵, entonces cada conjunto

barrelado sobre X es una vecindad de 0 para ⌧ , es decir, es un espacio barrelado.

Demostracion:

Sea ⌧ la topologıa inductiva sobre X con respecto a la familia {X↵, ⌧↵, g↵) : ↵ 2 A},donde ⌧↵ (↵ 2 A) es una topologıa localmente convexa barrelada sobre X↵.

Si D es un conjunto barrelado en (X, ⌧), entonces g�1↵ (D) es un conjunto barrelado D↵ en

(X↵, ⌧↵) para cada ↵ 2 A.

En efecto,

La linealidad de g�1↵ (como inversa de una aplicacion lineal) nos asegura que g�1

↵ (D)es convexo.

Sea |�| 1, se tiene que �D ⇢ D. Luego, por continuidad de g↵, g�1↵ (�D) ⇢ g�1

↵ (D)y, por linealidad de g�1

↵ , g�1↵ (�D) = �g�1

↵ (D). Es decir, g�1↵ (D) es un conjunto

balanceado.

La continuidad de g↵ implica que g�1↵ (D) es cerrado.


Al ser D absorvente, 0 2 D. Luego por linealidad, 0 2 g�1↵ (D), por lo que tambien es

un conjunto absorvente.

Luego, al ser (X↵, ⌧↵) un espacio barrelado, D↵ es una vecindad de 0.De esta manera, D es una vecindad de 0 en (X, ⌧).

⇤

4.3. Seminormas y su relacion con los EVT l.c.

Definicion 4.3.1 Sea X un espacio vectorial. Una funcion p : X ! R es llamada semi-

norma si satisface dos propiedades:

(i) Subaditividad: 8x, y 2 X, p(x+ y) p(x) + p(y)

(ii) Positivamente homogenea: 8x, y 2 X, 8� 2 K, p(�x) = |�|p(x)

Ejemplo Seminorma

Recordemos la defincion de una forma sesquilineal:

Sea X un espacio vectorial complejo. La funcion ' : X ⇥ X ! C es llamada forma

sesquilineal si es lineal con respecto a la primera variable y semilinear con respecto a lasegunda, es decir:

Sean u, v, ui, vi 2 X con i 2 {1, 2} y �, µ 2 C. Se cumple:

'(u1 + u2, v) = '(u1, v) + '(u2, v)

'(u, v1 + v2) = '(u, v1) + '(u, v2)

'(�u, v) = �'(u, v)

'(u, µv) = µ'(u, v)

Sea X un espacio en el que esta definida tal forma sesquilineal '. Suponemos que ' eshermitiana, es decir, '(v, u) = '(u, v). De esto, se tiene que, para cualquier u 2 X , '(u, u)es un numero real y ' es no-negativa si se reduce el dominio de manera que '(u, u) no seanegativo.

Bajo esta condicion, se define la funcion:

s' : X ! Ru 7! s'(u) = ['(u, u)]1/2


Al ser ' un producto interno (definido positivo, lineal con respecto a la primera variabley simetrico con respecto al conjugado), se puede hacer uso de la desigualdad de Schwarz,la que nos asegura:

|'(u, v)|2 '(u, u)'(v, v) = [s'(u)]2[s'(v)]

2

) |'(u, v)| s'(u)s'(v)

Hacemos uso de este resultado para notar que ' es subaditiva:

s'(u+ v) = ['(u+ v, u+ v)]1/2

) [s'(u+ v)]2 = '(u, u) + '(u, v) + '(v, u) + '(v, v)

= [s'(u)]2 + [s'(v)]

2 + '(u, v) + '(u, v) = [s'(u)]2 + [s'(v)]

2 + 2Re('(u, v))

[s'(u)]2 + [s'(v)]

2 + 2|'(u, v)| [s'(u)]

2 + [s'(v)]2 + 2s'(u)s'(v) = [s'(u) + s'(v)]

2

) s'(u+ v) s'(u) + s'(v)

Por ultimo, es facil demostrar que ' es positivamente homogenea:Sea � 2 C,

s'(�u) = ['(�u,�u)]1/2 = [� · �'(u, u)]1/2 = [|�|2'(u, u)]1/2 = |�|['(u, u)]1/2 = |�|s'(u)

De esta manera s' es una seminorma.

Proposicion 4.3.1 Sea p una seminorma sobre un espacio vectorial X, se cumplen las

siguientes propiedades:

p es simetrica;

p(0) = 0;

Sean x, y 2 X, |p(x)� p(y)| p(x� y);

Cualquiera sea x 2 X, p(x) � 0;

Ker(p) es un subespacio lineal.

Demostracion:

Por propiedad (ii), p(�x) = |� 1|p(x) = p(x) .

Haciendo uso del mismo argumento, se tiene que, cualquiera sea x 2 X, p(0) =0 · p(x) = 0.


Notar que, por subaditividad de la seminorma se tiene que p(x) = p(x � y + y) p(x � y) + p(y) a la vez que p(y) = p(y � x + x) p(y � x) + p(x). Por tanto, se

cumple que |p(x)� p(y)| p(x� y).

Sea x 2 X, se puede notar que 2p(x) = p(x) + p(�x) � p(x+ (�x)) = p(0) = 0.

Sean x, y 2 Ker(p), se tiene: p(x+↵y) = p(x)+|↵|p(y) = 0. Luego, x+↵y 2 Ker(p).Ası, Ker(p) es un subespacio lineal.

⇤

Para facilitar la notacion, al trabajar con una seminorma p definida sobre un espaciovectorial X, la bola unitaria cerrada se denotara por Up : = {x 2 X : p(x) 1} y, demanera similar, la bola unitaria abierta se denotara por Up : = {x 2 X : p(x) < 1}.

Proposicion 4.3.2 Sea X un espacio vectorial y p una seminorma sobre X. Cualquiera

sea x 2 X se cumple x+ Up = {z 2 X : p(z � x) < 1}

Demostracion:

Por definicion de Up, se tiene:

x+ Up = {x+ y 2 X : y 2 Up} = {x+ y 2 X : p(y) < 1} = {z 2 X : p(z � x) < 1}.

esto al considerar la sustitucion z = x+ y.

⇤

Lema 4.3.1 Sea X un espacio vectorial. Si A es un subconjunto no vacıo de X absorvente,

balanceado y convexo entonces el funcional de Minkowski asociado pA es una seminorma

sobre X y UpA ⇢ A ⇢ UpA.

Por otro lado, si q es una seminorma sobre X entonces Uq es un conjunto balanceado ab-

sorvente y convexo, y q = pUq.

Demostracion:

Sea A un subconjunto no vacıo de X absorvente, balanceado y convexo, y sea pA su

funcional de Minkowski asociado. Se tiene lo siguiente:

el codominio del funcional de Minkowski coincide con el de una seminorma

Al ser A un conjunto absorvente, se tiene que cualquiera sea x 2 X, existe ⇢x > 0tal que, cualquiera sea � 2 K con |�| ⇢x, se cumple �x 2 A y, de esta manera

{� > 0: x 2 �A} 6= ;, es decir, pA solo alcanza valores positivos finitos.

Notar tambien que, como 0 2 A, se tiene que 0 2 �A para cualquier � 2 K y ası,

pA(0) = ınf{� > 0: 0 2 �A} = 0.


pA es positivamente homogeneo

Como A es balanceado se tiene que, para todo x 2 X y cualesquiera sean ⇠,� 2 Kcon ⇠ 6= 0, ⇠A = |⇠|A. De esto,se obtiene que x 2 �

|⇠| es equivalente a ⇠x 2 � ⇠|⇠|A =

�A (⇤).Usando (⇤), se tiene que, cualquiera sea x 2 X y ⇠ 2 K \ {0}:

pA(⇠x) = ınf{� > 0: ⇠x 2 �A}

= ınf{� > 0: x 2 �

|⇠|A}

= ınf

⇢|⇠||⇠|� > 0: x 2 �

|⇠|A�

= |⇠| ınf{µ > 0: ⇠x 2 µA}= |⇠|pA(x)

pA es subaditivo

Sean x, y 2 X, por definicion del funcional de Minkowski. Sea ✏ > 0, existen �, µ > 0tales que

� pA(x) + ✏ ^ x 2 �A

µ pA(y) + ✏ ^ y 2 µA

Luego, al ser A convexo, se tiene que

�

� + µA+

µ

� + µA ⇢ A

equivalentemente, �A+ µA 2 (� + µ)A y, de esto, x+ y 2 (� + µ)A. Ası:

pA(x+ y) = ınf{� > 0: x+ y 2 �A} � + µ pA(x) + pA(y) + 2✏

Lo que se cumple cualquiera sea ✏ > 0, por tanto, pA es subaditiva.

Cumpliendo de esta manera con los tres requisitos, se tiene que, efectivamente, pA es

una seminorma.

Mas aun, se puede notar que se cumplen las siguientes contenciones:

UpA ⇢ A ⇢ UpA

En efecto, si x 2 UpA, se tiene que pA(x) < 1. Luego, existe � 2 [0, 1) tal que x 2 �A.Como A es balanceado, para tal � se tiene que �A ⇢ A, y de este, x 2 A.


Luego, si x 2 A, se tiene que 1 2 {� > 0: x 2 �A}, por tanto, pA(x) 1 y, ası, x 2 UpA.

En el otro sentido, sea p una seminorma sobre X, Up es absorvente, balanceado y

convexo. En efecto,

Up es absorvente

Sea x 2 X.

• Si p(x) = 0, se obtiene de manera inmediata que �x 2 Up para todo |�| < ⇢cualquiera sea ⇢ > 0.

• Si p(x) > 0, se tiene

p

✓x

p(x)

◆=

1

p(x)p(x)

Luego, basta con 0 < ⇢ < 1p(x) para que se cumpla que �p(x) 2 A cualquiera sea

� 2 K tal que |�| < ⇢.

Up es balanceado

Sea x 2 Up y |�| 1. Por propiedad de seminorma se tiene p(�x) = |�|p(x) p(x) <1.De esta manera, �x 2 Up.

Up es convexo

Sean x, y 2 Up y t 2 (0, 1).Por subaditividad, p(tx + (1 � t)y) p(tx) + p((1 � t)y) = |t|p(x) + |1 � t|p(y) <|t|+ |1� t| = t+ (1� t) = 1.Ası, Up es convexo.

Mas aun, cualquiera sea x 2 X y pUpel funcional de Minkowski asociado a Up se tiene:

pUp(x) = ınf{� > 0: x 2 �Up} = ınf{� > 0: p(x) < �} = p(x)

⇤

Definicion 4.3.2 Sea X un espacio vectorial y P = {pi}i2I una familia de seminormas

sobre X. La topologıa ⌧P menos fina sobre Xtal que pi (i 2 I) es continua es llamada

topologıa inducida (o generada) por una familia de seminormas P.

Para la demostracion del siguiente teorema se hace uso de un resultado que fue ante-riormente estudiado en el curso de Topologıa General:

Criterio de Hausdor↵ : Cualquiera sea x 2 X, sea B(x) una base de vecindades dex para una topologıa ⌧ sobre B y B0(x) una base de vecindades de X para una topologıa⌧ 0 sobre X. Se cumple que ⌧ es menos fina que ⌧ 0 si, y solo si, cualesquiera sean x 2 X yU 2 B(x), existe un elemento V 2 B0(x) tal que x 2 V y V ⇢ U .


Teorema 4.3.1 Sea X un espacio vectorial y P : = {pi}i2I una familia de seminormas

sobre X. Luego, la topologıa inducida por la familia P es la unica topologıa que hace de

X un EVT l.c. y que tiene como base de vecindades del origen en X a la coleccion

B : = {{x 2 X : pi1(x) < ✏, ..., pin(x) < ✏} : i1, ..., in 2 I, n 2 N, ✏ > 0, ✏ 2 R}

Por otro lado, la topologıa de un EVT l.c. arbitrario es siempre inducida por una fa-

milia de seminormas generadoras.

Demostracion:

B es una base de vecindades del origen

Sean i 2 I y ✏ > 0 arbitrarios.

El conjunto ✏Upi = {x 2 X : pi(x) < ✏} es absorvente, balanceado y convexo (como

se demostro en Lema 4.3.1).

Luego, todo elemento de B es balanceado, absorvente y convexo al ser interseccion

de conjuntos con estas caracterısticas. Mas aun, las propiedades del Teorema 4.2.1

se cumplen.

De esta manera, se garantiza la existencia de unica topologıa ⌧ sobre X tal que (X, ⌧)es un EVT l.c. y B es la base de vecindades del origen para ⌧ .

⌧ = ⌧P

Sea (X, ⌧) un EVT l.c. Se tiene que, cualquiera sea ✏ > 0, pi�1[0, ✏)) = {x 2X : |pi(x)| < ✏} 2 B, es decir, es una vecindad del origen de (X, ⌧). Por tanto,

pi es continua para cualquier i 2 I.Luego, por definicion, considerando a ⌧P como la topologıa inducida por P, se tiene

⌧P ⌧ .Por otro lado, todo pi es continua con respecto a ⌧P , luego B ⇢ ⌧P, sin embargo,

B es base para ⌧ , por tanto, ⌧P ⌧ .

La topologıa de un EVT l.c proviene de una familia de seminormas

Sea (X, ⌧) tal espacio. Por Teorema 4.2.1, existe una base N de vecindades del ori-

gen en X que consiste en subconjuntos convexos, absorventes y balanceados y cumple

con las propiedades enunciadas.

Sin perdida de generalidad, se puede asumir que son abiertos.

Sea S : = {pN 2 P : N 2 N }, por Lema 4.3.1 se cumple que pN es una seminorma

y UpN ⇢ N .

Se puede notar ademas que, al ser cada N 2 N un conjunto abierto y la multipli-

cacion por escalar una funcion continua, se tiene, cualquiera sea x 2 N , existe un

t 2 (0, 1) tal que x 2 tN y, ası, pN (x) t < 1, es decir, x 2 Upn.

De esta manera se tiene que N = Up.

Denotamos como ⌧S a la topologıa inducida por la familia S . Por la primera parte


de la demostracion, sabemos que una base de vecindades del origen para ⌧S esta dada

por

B : = {\{x 2 X : pNi(x) < ✏} : N1, ..., Nn 2 I, n 2 N, ✏ > 0, ✏ 2 R}

Cualquiera sea N 2 N , se tiene que N = UpN 2 B. Luego por el criterio de Haur-

dor↵, se tiene ⌧ ⌧S .

Por otro lado, sea B 2 B,

B =n\i=1

✏UpNi=

n\i=1

✏Ni

para algun n 2 N, N1, ..., Nn 2 N y ✏ > 0.Luwgo, por Teorema 4.2.1 se afirma para N que, para todo i = 1, ..., n, existe Vi 2 Ntal que Vi ⇢ ✏Ni.

Y, por tanto, existe V 2 N tal que V ⇢ ✏n\i=1

Vi ⇢ B.

Ası, nuevamente por criterio de Hausdor↵, ⌧S ⌧ .Probandose que ambas topologıas son iguales.

⇤

Proposicion 4.3.3 Sea X un EVT y p una seminorma sobre X. Luego, las siguientes

condiciones son equivalentes:

a Up es un conjunto abierto.

b p es continua en el origen.

c Up es una vecindad barrelada del origen.

d p es continua en todo punto.

Demostracion:

a ) b Suponemos Up es un abierto en la topologıa de X. Notar:

p�1([0, ✏)) = {x 2 X : p(x) < ✏} = ✏Up

El que resulta ser a su vez, un conjunto abierto en X. De esta manera, al ser [0, ✏) unavecindad abierta de 0 en K y su preimagen una vecindad del origen en X, se obtiene que

p es una funcion continua en el origen.

b ) c Sea p continua en el origen, se tiene que p�1([0, 1]) = Up es una vecindad ce-

rrada del origen en X.

Al cumplirse que¯Up = Up, basta con demostrar que Up es convexa, balanceada y absorvente.

Sin embargo, esto fue probado en la demostracion de Lema 4.3.1 Por tanto, por esto y al


trasmitirse todas todas estas propiedades a la clusura del elemento, se tiene que Up es una

vecindad barrelada del origen.

c ) d Sea Up una vecindad barrelada del origen y x 2 X \ {0}.Cualquiera sea ✏ > 0, se tiene:

p�1([�✏+ p(x), ✏+ p(x)]) = {y 2 X : |p(y)� p(x)| ✏} � {y 2 X : p(y� x) ✏} = x+ ✏Up

La cual es una vecindad barrelada y, por tanto, cerrada de X, ya que por hipotesis se tiene

que Up es cerrado en la topologıa de X.

Por lo tanto, p es continua en todo punto de X.

d ) a Supongamos que p es una funcion continua. Es facil notar que Up = p�1([0, 1)),por tanto al ser preimagen de un conjunto abierto mediante una funcion continua, se tiene

que Up es un conjunto abierto.

⇤

Definicion 4.3.3 La topologıa mas fina que convierte a un espacio vectorial en un EVT

localmente convexo es llamada topologıa localmente convexa mas fina.

Proposicion 4.3.4 La coleccion de todos los conjuntos convexos, balanceados y absor-

ventes de un espacio vectorial X es una base de vecindades del origen para la topologıa

localmente convexa mas fina.

Demostracion:

Sea A la coleccion de todos los conjuntos convexos, balanceados y absorventes de X,

⌧A es la topologıa generada por A . Se denotara como ⌧max a la topologıa convexa mas fina

sobre X.

⌧max ⇢ ⌧A

Por Proposicion 4.2.2 sabemos que todo EVT l.c. posee una base compuesta por

conjuntos absorventes, balanceados y convexos.

Luego, sea Bmax la base de vecindades del origen de ⌧max, se tiene Bmax ⇢ A . Por

tanto, ⌧max ⌧A .

⌧A ⇢ ⌧max

Por otro lado, A cumple con las propiedades del Teorema 4.2.1, es decir, ⌧A hace de

X un EVT l.c.

Ası, por definicion de topologıa convexa mas fina, ⌧A ⇢ ⌧max.

⇤


De esta manera, se puede trabajar con la topologıa localmente convexa mas fina sinhacer uso de seminormas.

Proposicion 4.3.5 Sea X un espacio vectorial. Si n 2 N y s1, ..., sn son seminormas sobre

X, entonces s(x) : = maxi2{1,...,n}

si(x) para todo x 2 X es tambien una seminorma sobre X y

Us =n\i=1

Usi.

Demostracion:

Sean x, y 2 X y � 2 K, por propiedades de seminorma y del maximo;

Subaditividad:

s(x+ y) = maxi2{1,...,n}

si(x+ y) maxi2{1,...,n}

(si(x) + si(y))

✓

maxi2{1,...,n}

si(x)

◆+

✓max

i2{1,...,n}si(y)

◆= s(x) + s(y).

Postividad homogenea

s(�x) = maxi2{1,...,n}

si(�x) = maxi2{1,...,n}

|�|(si(x)) = |�| maxi2{1,...,n}

si(x) = |�|s(x).

Por tanto, s es una seminorma sobre X.

Mas aun,

x 2 Us ) s(x) = max si(x) < 1

) si < 1, 8i 2 {1, ..., n}

) x 2n\i=1

Usi

Por otro lado,

x 2n\i=1

Usi ) x 2 Usi , 8i 2 {1, ..., n}

) si(x) < 1, 8i 2 {1, ..., n}

Y al ser s el maximo, existe j 2 {1, ..., n} tal que s(x) = sj(x) < 1. De esta manera,

se tiene que x 2 Us.


⇤

Teorema 4.3.2 (Comparacion de Topologıas l.c.)

Sean P = {pi}i2I y Q = {qi}j2J dos familias de seminormas sobre el espacio vectorial

X que inducen respectivamente las topologıas ⌧P y ⌧Q, las cuales hacen de X un EVT l.c..

Luego, ⌧P es mas fina que ⌧Q si, y solo si,

8q 2 Q, 9n 2 N, i1, ..., in 2 I, C > 0: Cq(x) maxk=1,...,n

pik(x), 8x 2 X (⇤)

Demostracion:

Por Teorema 4.3.1,

BP : = {n\

n=1✏Upik

: i1, ..., in 2 I, n 2 N, ✏ 2 R>0}

y

BQ : = {n\

n=1✏Uqjk

: j1, ..., jn 2 I, n 2 N, ✏ 2 R>0}

son bases de las topologıas ⌧P y ⌧Q respectivamente.

Notar que, por Proposicion 4.3.5 , se tiene

n\i=1

Upik= Umax pik

⇢ UCq =1

CUq

) Cn\i=1

Upik⇢ Uq

(La segunda igualdad de la primera lınea se debe al hecho que, cualquiera sea C > 0,

rUp = {rx 2 X : p(x) < 1} = {y 2 X :1

rp(y) < 1} = {y 2 X : p(y) < r} = U 1

r p

Ası, tomando r = 1C , se tiene la igualdad).

Luego, (⇤) puede ser reescrito como

8q 2 Q, 9n 2 N, i1, ..., in 2 I, C > 0: Cn\i=1

Upik⇢ Up

Por tanto, Cn\i=1

Upik2 BP . Luego, denotando Bq : = C

n\i=1

Upik, se tiene que (⇤) puede

ser nuevamente reescrito como

8q 2 Q, 9Bq 2 BP : Bq ⇢ Up

Finalmente, esta condicion nos asegura que, para cualquier q 2 Q, el conjunto Uq es un

elemento de ⌧P , luego por Proposicion 4.3.3, esto quiere decir que q es una seminorma

continua con respecto a la topologıa ⌧P .

Ası, ⌧Q ⌧P .


⇤

Proposicion 4.3.6 Sea P = {pi}i2I una familia de seminormas sobre un espacio vecto-

rial X y Q = {maxi2B

{pi} : ; 6= B ⇢ I, B finito }. Luego, Q es una familia de seminormas y

⌧Q = ⌧P .

Demostracion:

Es bastante inmediato notar que, por Proposicion 4.3.5, Q es una familia de seminor-

mas.

Para cualquier q 2 Q y x 2 X, q(x) = maxi2B

{pi(x)} para algun B ⇢ I finito.

Luego, para n = |B| y considerando a i1, ..., in los elementos de B, cualquiera sea

0 < C 1 se cumple (⇤) (denotado de esta manera en el teorema anterior). Ası, por

Teorema 4.3.2, ⌧Q ⌧P .

Por otro lado, como P ⇢ Q, se tiene que ⌧P ⌧Q.

⇤

Definicion 4.3.4 Una familia Q = {qj}j2J de seminormas sobre un espacio vectorial Xes llamada dirigida si para cualesquiera j1, j2 2 J , existen j 2 J y C > 0 tales que, para

todo x 2 XCqj(x) � max{qj1(x), qj2(x)} (?)

Equivalentemente, de manera inductiva, se tiene que, cualquiera sea n 2 N,

9j 2 J : Cqj(x) � maxk=1,...,n

qjk(x)

Proposicion 4.3.7 La topologıa de un EVT l.c. siempre puede ser inducida por una fa-

milia dirigida de seminormas.

Demostracion:

Sea (X, ⌧) un espacio l.c., por Teorema 4.3.1 existe una familia de seminormas P ={pi}i2I tales que ⌧P = ⌧ .Sea Q = {max

i2B{pi} : ; 6= B ⇢ I, B finito }. Por Proposicion 4.3.6, Q es una familia de

seminormas y ⌧P = ⌧Q.

Sean q, q0 2 Q, existen dos subconjuntos finitos no vacıos de I, B y B0tales que q : =

maxi2B

{pi} y q0 : = maxi2B0

{pi}.Definiendose q : = max

i2B[B0{pi}, se tiene que q 2 Q.

Luego, para cualquier x 2 X y C � 1, se cumple que

Cq(x) = C maxi2B[B0

{pi(x)} = C{maxi2B

{pi(x)},maxi2B0

{pi(x)}} � max{q(x), q0(x)}


Ası, Q es una familia dirigida.

⇤

Proposicion 4.3.8 Sea X un espacio vectorial y p, q seminormas sobre X. Se tiene p qsi, y solo si, Uq ⇢ Up.

Demostracion:

Recordamos que:

Up = {x 2 X : p(x) < 1},Uq = {x 2 X : q(x) < 1}

La necesidad es bastante inmediata: Supongamos p q. Sea x 2 Uq, se tiene que

p(x) q(x) < 1. Luego, x 2 Up.

En el otro sentido, supongamos Uq ⇢ Up. Sea x 2 X arbitrario.

Se pueden considerar dos casos:

q(x) = 0

Suponemos p(x) > 0. De esto, se tiene que q⇣

xp(x)

⌘= 0. Luego,

xp(x) 2 Uq. Por

hipotesis, esto quiere decir quex

p(x) 2 Up, es decir, p⇣

xp(x)

⌘< 1. Sin embargo, esto

es un absurdo.

Por tanto, p(x) = 0 = q(x).

q(x) > 0

Sea 0 < ✏ < 1. Se tiene que q⇣

✏xq(x)

⌘= ✏ < 1. De esto, por hipotesis,

✏xq(x) 2 Up, es

decir, p⇣

✏xq(x)

⌘< 1. Equivalentemente, se tiene que ✏p(x) < q(x) y haciendo tender ✏

hacia 1, se tiene que p(x) < q(x).

⇤

Con estos resultados y conceptos es posible probar que una base de vecindades delorigen para una topologıa localmente convexa ⌧Q inducida por una familia dirigida de se-minormas Q esta dada por Bd : = {rUq : q 2 Q, r > 0}.

En efecto, seaX un EVT localmente convexo, el Teorema 4.3.1 asegura que su topologıaes inducida por una familia de seminormas P = {pi}i2I . Aun mas, la coleccion

B = {n\j=1

"Upik: i1, ..., in 2 I, k 2 N, " 2 R>0}


es una base para tal topologıa.Luego, sea Q : = {max

i2B{pi} : ; 6= B ⇢ I, B finito }, por Proposicion 4.3.7 la topologıa

generada por P es igual a la topologıa generada por Q y, ademas, usando Proposicion

4.3.5, se tiene quen\j=1

Upik= Uq, donde q : = max

k=1,...,n{pik} y, por definicion, q 2 Q.

Por tanto, es posible reescribir a B con respecto a Q como

Bd = {"Uq : q 2 Q, " 2 R>0}

Ası, se tiene que la familia Bd forma una base de vecindades del origen para una topo-logıa locamente convexa.

En el estudio de espacios normados, se presentaron distintas maneras de expresar lacontinuidad de una aplicacion lineal, siendo una de ellas la siguiente:

Teorema 4.3.3 Sean (X, k · kX) y (Y, k · kY ) dos espacios normados y f : X ! Y una

aplicacion lineal entre ellos. f es continua si, y solo si, para todo x 2 X y algun ↵ > 0, setiene que

kf(x)kY ↵kxkX

Una definicion similar se usa para probar la continuidad de funcionales lineales sobreun EVT:

Definicion 4.3.5 Sea (X, ⌧) un EVT l.c. con ⌧ la topologıa generada por Q familia diri-

gida de seminormas sobre X. Un funcional lineal L : X ! K se dice que es q�continuo si,

cualquiera sea x 2 X

9q 2 Q, 9C > 0: |L(x)| Cq(x) (4.1)

Proposicion 4.3.9 Sea ⌧ una topologıa localmente convexa sobre un espacio vectorial Xgenerada por una familia Q de seminormas sobre X. Se tiene que L : X ! K es un fun-

cional lineal ⌧�continuo si, y solo si, existe q 2 Q tal que L es q�continuo.

Demostracion:

Notar que, ademas de X, K es tambien un EVT bajo la topologıa generada por su valor

absoluto. Por proposicion 3.1.1-2., es suficiente demostrar que L es continuo en 0.Supongamos que L es continua en el origen de X. Esto quiere decir que L�1(B1(0)) ={x 2 X : |L(x)| < 1} es una vecindad abierta en X.

Sin perdida de generalidad, suponemos que Q es una familia dirigida. Luego, una base de

vecindades del origen esta dada por Bd = {rUq : q 2 Q, r > 0}, donde Uq es la bola unitaria

abierta definida por q.Por tanto, existe B 2 Bd tal que B ⇢ L�1(B1(0)), es decir, existe q 2 Q y r > 0 tales que

rUq ⇢ L�1(B1(0)) (⇧).


Notar que, por la linealidad de L, |L| es una seminorma sobre X. Luego, por Proposicion

4.3.8, se tiene que (⇧) implica (4.1). En efecto, como rUq = U 1r q, la proposicion anterior

asegura que |L(x)| 1r q(x).

Por otro lado, supongamos existe q 2 Q tal que L es q�continua en X. Luego, al ser

⌧ la topologıa inducida por Q, ⌧ es mas fina que la topologıa generada unicamente por q.Por tanto, es inmediato que L es ⌧�continua.

⇤

Corolario 4.3.1 Sea ⌧ una topologıa localmente convexa sonre un espacio vectorial X ge-

nerada por una familia P = {pi}i2I de seminormas sobre X. Luego, L : X ! K es un fun-

cional lineal ⌧�continuo si existe n 2 N, i1, ..., in 2 I tales que L es

✓max

k=1,...,npik

◆�continuo.

Demostracion:

Por Proposicion 4.3.6, existe una familia dirigida de seminormas Q tal que ⌧P = ⌧Q.

Luego, por la forma de los elementos q 2 Q, existe qj 2 Q tal que qj = maxk=1,...,k

pik . Por

proposicion anterior, se tiene que L es q�continua.

⇤

Capıtulo 5

Teorema de Hahn-Banach

Un resultado de gran relevancia en el analisis funcional que ha sido estudiado duranteel transcurso de la licenciatura es el Teorema de Hahn-Banach, el que permite asegurarque todo funcional lineal acotado que esta definido sobre un subespacio lineal puede serextendido hacia el espacio en el que esta contenido.La version clasica, que fue estudiada anteriormente, es la siguiente:

Teorema 5.0.4 Sea X un espacio normado sobre K, Y un subespacio de X y g un fun-

cional lineal sobre Y . Existe un funcional lineal f sobre X tal que 8y 2 Y, f(y) = g(y) y

kfk = kgk.

Antes de presentar las versiones analıtica y geometrica adaptadas al contexto de losespacios vectoriales topologicos, se presentaran y recordaran aquellos conceptos y resultadosque son importantes para su comprension.

5.1. Conceptos Previos

5.1.1. Algebra

Definicion 5.1.1 Sea X un espacio vectorial sobre R, un subconjunto C de X es llamado

cono si es cerrado bajo suma y producto por escalares positivos.

Definicion 5.1.2 Sea X un espacio lineal. Todo subespacio propio maximal de X es lla-

mado hiperespacio.

Definicion 5.1.3 En un espacio vectorial X, un subespacio linear M que cumpla dim(X/M) =1 es llamado hiperplano.

5.1.2. Espacio Cociente

En el desarrollo de la demostracion de la forma geometrica del teorema se hace uso dela codimension de un subespacio M (codim(M) = dim(X/M)) puesto que se trabajara con

47

CAPITULO 5. TEOREMA DE HAHN-BANACH 48

un hiperplano, por tanto, es necesario presentar una definicion de espacio cociente en elcontexto de espacios vectoriales topologicos y algunos resultados relevantes al respecto.

Definicion 5.1.4 Sea (X, ⌧) un EVT sobre K. Sea M un subespacio de X, se llama apli-

cacion cociente (tambien llamada natural o canonica) de X hacia X/M a la

funcion � definida de la siguiente manera:

� : X ! X/M

x 7! x = x+M

Definicion 5.1.5 La topologıa cociente ⌧ se define como la topologıa mas fina sobre

X/M para la cual � resulta ser continua.

Proposicion 5.1.1 Sea M un subespacio lineal de un EVT X, la aplicacion cociente

� : X ! X/M es abierta cuando X/M esta dotado de la topologıa cociente.

Demostracion:

Sea V un abierto de X. Se tiene

��1(�(V )) = V = \m2M

(V +m)

Como X es un EVT, su topologıa es invariante por traslacion, es decir, todas las trasla-

ciones son homeomorfismos, se tiene que para todo m 2 M , V +m es abierto. Ademas, al

ser � continua, �(V ) es un abierto de X/M .

⇤

En general, no se cumple que la aplicacion cociente sea cerrada.

Consideremos R2 con la topologıa cociente y la hiperbola H : = {(x, y) 2 R2 : xy = 1}.Si M es uno de los ejes coordenados, luego R2/M puede ser identificado con el otro ejecoordenado y la aplicacion cociente � con la proyeccion ortogonal sobre el.La hiperbola H es cerrada en R2 pero su imagen bajo � es el complemento de 0 en unarecta, conjunto que es abierto.

Corolario 5.1.1 Sea M un subespacio lineal de un EVT X, el espacio X/M dotado de la

topologıa cociente es un EVT.

Demostracion:

Adicion en X/M es continua

Para evitar confusiones en notacion, se considerara a + como la suma en X y +como la suma heredada en X/M .


Sea W una vecindad de 0 en X/M . El hecho que � : X ! X/M sea continua implica

que ��1(W ) es una vecindad de 0 en X. Luego, por (3.1.2), existe V vecindad del

origen en X tal que V + V ⇢ ��1(W ).Por la linealidad de � se tiene que

�(V + V ) = +(�(V )⇥ �(V )) ⇢ W

o, equivalentemente,

�(V )⇥ �(V ) ⇢ +�1

(W ).

Como � es abierta, �(V ) es una vecindad del origen en X/M y ası, +�1

(W ) es una

vecindad de (0, 0) en X/M ⇥X/M . Consecuentemente, + es continua.

Producto por escalar en X/M es continuo

Se procede de manera similar a la anterior; definiendose, para empezar

⇤ : K⇥X ! X · : K⇥X/M ! X/M

(�, x) 7! � ⇤ x (�, x) 7! ˆ� · x

Sea U una vecindad de 0 2 X/M , ��1(U) es una vecindad de 0 2 X. Por Teorema

3.1.2, existe una vecindad balanceada V contenida en ��1(U), es decir, existe ⇢ 2 Ktal que V = [

|�|⇢� ⇤ V ⇢ ��1(U), equivalentemente, B0(⇢) ⇤ V ⇢ ��1(U).

Luego, al ser � lineal

�(B0(⇢) ⇤ V ) = B0(⇢) ⇤ ·�(V ) ⇢ U

) B0(⇢)⇥ �(V ) ⇢ ·�1(U)

Ası, es tambien una funcion continua.

Por tanto, X/M es efectivamente un EVT cuando esta dotado de la topologıa cociente.

⇤

Definicion 5.1.6 El EVT sobre K, (X/M, ⌧) es el espacio cociente de (X, ⌧) sobre

M .

5.1.3. Analisis

Para los siguiente resultados, recordemos que un funcional lineal es una aplicacionlineal de un espacio vectorial X sobre K.


Proposicion 5.1.2 Todo funcional lineal sobre un espacio vectorial X es continuo con

respecto a la topologıa localmente convexa mas fina sobre X.

Demostracion:

Sea L : X ! R un funcional lineal sobre X.

Sea ✏ > 0 cualquiera, B✏(0) = {k 2 K : |k| < ✏}. Se tiene L�1(B✏(0)) = {x 2 X : |L(x)| <✏}.Al ser este conjunto convexo, absorvente y balanceado, se tiene que, por (4.3.4), es una

vecindad del origen bajo la topologıa localmente convexa mas fina.

⇤

Teorema 5.1.1 Sea X un espacio lineal no nulo.

(a) Si f un funcional lineal sobre X tal que f 6= ✓, entonces ker(f) es un hiperespacio en

X. Ademas, f es determinado por ker(f) y el valor de f en cualquier elemento que

no este en ker(f).

(b) Si Z es un hiperespacio en X entonces existe un funcional lineal f sobre X tal que

Z = ker(f).

Para ver la demostracion de este resultado, dirigirse a [7].

Definicion 5.1.7 Sea X un espacio arbitrario, se define una relacion de equivalencia ⇠sobre X donde x ⇠ y si existe un subespacio conexo de X que contiene a x y a y. Lasclases de equivalencia son llamadas componentes conexas de X.

Tales componentes tambien pueden ser descritas de la siguiente manera:

Teorema 5.1.2 Las componentes conexas de X son subespacios conexos disjuntos de Xcuya union es X, y son tales que cada subespacio conexo no vacıo intersecta unicamente

una de ellas.

Demostracion en [8]

5.2. Versiones Geometrica y Analıtica del Teorema de Hahn-Banach

Teorema 5.2.1 (Forma Geometrica del Teorema de Hahn-Banach)

Sea X un EVT sobre K, N un subespacio lineal de X y ⌦ un subconjunto abierto con-

vexo de X tal que N \⌦ = ;. Luego, existe un hiperplano cerrado H de X tal que N ✓ Hy H \ ⌦ = ;.


Demostracion:

Sin perdida de generalidad, consideremos ⌦ 6= ;. La demostracion se dividira en 3

partes:

(1) Existencia de un subespacio lineal H de X que es maximal, contiene a N y no intersecta a ⌦.

Sea F la familia de todos los subespacios L de X tales que

N ✓ L ^ L \ ⌦ = ;. (5.1)

Sea C una subfamilia totalmente ordenada de F , [C es un subespacio lineal que

cumple con 5.1 y es maximal en C . Luego, por axioma del maximo, existe un elemento

maximal H 2 F que cumple 5.1.

(2) H es cerrado en X.

Del hecho que H \⌦ = ; se tiene H ⇢ ⌦c. Ademas, al ser ⌦ abierto, su complemento

⌦ces un conjunto cerrado. Luego, H ⇢ ⌦c = ⌦c

.

Por Proposicion 3.1.1, al ser clausura de un subespacio lineal, H es tambien un subes-

pacio lineal de X. Sin embargo, por (1) H es maximal, por tanto H = H.

(3) H es un hiperplano.

Caso K = RSea � : X ! X/H la funcion canonica. Como � es una aplicacion abierta, �(⌦) es unsubconjunto abierto convexo de X/H.

Notar que �(⌦) no contiene a 0 2 X/H.

En efecto, si suponemos que ası sucede, se tiene que existe x 2 X tal que �(x) = 0 y,

por tanto, x 2 H. Lo que contradice el hecho que H \ ⌦ = ;.Definiendo

A = [�>0

��(⌦)

Tenemos que A es un conjunto abierto, convexo y un cono de X/H.

Para hallar la dimension de X/H, se consideran dos casos:

(i) dim(X/H) = 0

De ocurrir esto, se tiene que X/H = {0}, es decir, H = X. Lo que es una

contradiccion ya que inicialmente se asumio que ⌦ 6= ; y H [ ⌦ = ;.(ii) dim(X/H) � 2

Para demostrar que este caso tampoco es posible se hara uso de dos hechos, los

que seran demostrados a continuacion:

Hecho 1: Existe al menos un punto x 6= 0 en la frontera @A de A.

Supongamos @A = {0}. En el conjunto X/H \ {0} se tiene que @A = ;, portanto A es una componente conexa de X/H \ {0}.


Como, ademas, dim(X/H) � 2, el espacio (X/H) \ {0} es arco-conexo y,

por tanto, es conexo.

De esta manera, se tiene que A = (X/H) \ {0}. Lo que contradice el hecho

que A sea un conjunto conexo ya que (X/H) \ {0} no lo es.

Por tanto, debe existir un elemento no nulo en @A.

Hecho 2: �x /2 ASuponemos �x 2 A. Esto quiere decir que existe una vecindad U tal que

�x 2 U y U ⇢ A (A es abierto). Luego, �U es vecindad de x.Sea V una vecindad cualquiera de x. Como x 2 @A, existe y 2 �V \A. Sin

embargo, esto implica que �y 2 V ⇢ A y, al ser A un conjunto convexo, el

segmento que une a y y �y esta tambien contenido en A, por tanto, 0 2 A,

lo que es una contradiccion.

Con estos resultados, junto al hecho de que A es un conjunto abierto, se tiene

que x /2 A ya que x 2 @A. A la vez que �x /2 A, por tanto, x,�x 2 (X/H) \ Aimplica que el segmento L, que une x con �x, esta igualmente contenido en

(X/H) \A.En efecto, supongamos que existe y 2 A \ L. Al pertenecer y 2 L, x puede ser

escrito como

x = ↵y (5.2)

para algun ↵ 2 R.Se tienen entonces dos casos:

↵ > 0: Como y 2 A, se tiene que ↵y 2 A, sin embargo, por 5.2, esto es

equivalente a asegurar que x 2 A, lo que es una contradiccion.

↵ < 0: En este caso: �↵y 2 A, sin embargo, tal afimacion serıa equivalente

a asegurar que �x 2 A, lo que tambien es una contradiccion.

Por tanto, no existe interseccion entre A y L. Luego, se cumplen las siguientes

propiedades:

��1(L) es subespacio lineal de X al ser la preimagen mediante una aplicacion

lineal de un subespacio lineal.

��1(L) \ ⌦ = ; ya que L \A = ;.H es un subespacio propio de ��1(L) ya que {0} = �(H) ⇢ L pero, se debe

notar que {0} 6= L ya que x y �x pertenecen a L.Lo que contradice la maximalidad de H demostrada en (1).

Por tanto, al descartarse los demas casos posibles, solo puede cumplirse que dim(X/H) =1.

Caso K = CSi bien, en este caso, los escalares son complejos, es posible continuar considerando a

X como un espacio vectorial sobre R. De esta manera su topologıa continuara siendo


compatible con su estructura lineal.

Por el caso K = R, sabemos que existe un hiperplano real H0 de X tal que N ⇢ X y

H0 \ ⌦ = ;. Ademas, al ser hiperplano cumple que dimR(X/H) = 1.Luego, se puede notar que iN es un subespacio lineal de X: sean ix, iy 2 iN y ↵ 2 R,se tiene ix+ ↵(iy) = i(x+ ↵y) 2 iN puesto que N es, a su vez, un subespacio de X.

Por tanto, se cumple que iN ⇢ N y N = (�i) · iN ⇢ iN , es decir, N = iN .

De esto, es posible definir H : = H0 \ iH0, el que cumple con N ⇢ H y H \ ⌦ = ;.Luego, al ser H la interseccion de dos hiperplanos, es un espacio vectorial con dimR =2. Ası, su dimension compleja es 1.

⇤

Teorema 5.2.2 (Forma Analıtica del Teorema de Hahn-Banach)

Sea p una seminorma sobre un espacio lineal X sobre K , M un subespacio lineal de Xy f un funcional lineal sobre M tal que |f(x)| p(x), 8x 2 M .

Entonces existe un funcional lineal f sobre X que extiende a f , es decir, 8x 2 M, f(x) =f(x) y |f(x)| p(x), 8x 2 X.

Demostracion:

Considerando la hipotesis del teorema, tenemos que f es continua sobre M con respecto

a la topologıa inducida por p sobre X.

Se define el conjunto N = {x 2 M : f(x) = 1}. Sea x0 2 N un elemento cualquiera del

conjunto, se cumple que N � x0 = ker(f).En efecto, sea y 2 N arbitrario, se tiene que

f(y � x0) = f(y)� f(x0) = 0

Es decir, y � x0 2 ker(f). Por otro lado, si k 2 ker(f), entonces k + x0 2 ker(f) + x0.Luego,

f(k + x0) = f(k) + f(x0) = 1

Por tanto, k + x0 2 N . Es decir, ker(f) ⇢ N � x0. De esto, y por Teorema 5.1.1, se tiene

que ker(f) es un hiperplano de X y, por tanto, es un subespacio lineal de X.

Definiendo M0 := N � x0, se puede reescribir M = M0 �Kx0, donde Kx0 es el subespacio

lineal de una dimension a traves de x0 que permite que: para x 2 M , existen unicos � 2 Ky y 2 M0 tales que x = y + �x0. Luego,

f(x) = f(y + �x0) = f(y) + �f(x0) = �

es decir que los valores de M mediante f estan determinado por los obtenidos en N .

Sea U := Up = {x 2 X : p(x) < 1} la bola unitaria abierta de p. Luego, U es un conjunto

abierto conexo de X dotado de la topologıa inducida por p. Ademas notar que N \ U = ;,ya que, de cumplirse el caso contrario, se tendrıa que existe un elemento x 2 N \ U tal

que p(x) < 1 a la vez que f(x) = 1, lo que contradice la hipotesis sobre f y p.


A continuacion, por la version geometrica del teorema de Hahn-Banach, se tiene que existe

un hiperplano H que contiene a N y que cumple H\U = ;. Luego, H�x0 es un hiperplano

y existe una funcion f 6⌘ 0 en X de la que este subespacio es kernel.

Por el mismo argumento usado anteriormente, X puede ser descompuesta de la siguiente

manera:

X = (H � x0)�Kx0

y, por tanto, los valores de X mediante f estan determinados por aquellos de H.

Como f 6⌘ 0, se tiene que f(x0) 6= 0. Luego, sin perdida de generalidad, se puede considerar

f(x0) = 1, es decir, 8h 2 H, f(h) = 1. Luego, para cualquier x 2 M , existen unicos � 2 Ky y 2 N � x0 ✓ H � x0 tales que x = y + �x0. De esto, se obtiene

f(x) = f(y + �x0) = f(y) + �f(x0) = 0 + � = �f(x0) = f(x)

lo que quiere decir que, efectivamente, f es la extension de f a todo X.

Mas aun, del hecho que H \ U = ; se tiene que f(x) = 1 implica que p(x) = 1. Luego,cualquiera sea y 2 X tal que f(x) 6= 0, se cumple que

f

✓y

f(y)

◆= 1 ) p

✓y

f(y)

◆

Ası, |f(y)| p(y), cumpliendose la propiedad requerida para todo x 2 X.

⇤

5.3. Consecuencias del Teorema

Teorema 5.3.1 Sea X un EVT l.c. Si f es un funcional lineal, bien definido y continuo

sobre un subespacio M de X, entonces f tiene una extension lineal continua hacia X.

Demostracion:

No es difıcl notar que M es un EVT l.c. En efecto, sea B base de la topologıa local-

mente convexa ⌧ de X. Una base para M es BM := {B \M : B 2 B}. Sean x, y 2 B \M ,

y 0 < � < 1, �x+ (1� �)y 2 M +M y M +M ⇢ M por sus propiedades de subespacio y,

a la vez, al ser B convexo, es inmediato que �x + (1 � �)y 2 B. Por tanto, B \M es un

conjunto convexo.

De Teorema 4.3.1 y Corolario 4.3.1, existe una seminorma p sobre M tal que, para

todo y 2 M , |f(y)| p(y). Luego, por Teorema 5.2.2, existe una extension f tal que, para

todo x 2 X, |f(x)| p(x) y f(y) = f(y) para todo y 2 M .

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Definicion 5.3.1 Sean A y B dos subespacios disjuntos de X y H un hiperplano cerrado

de X. Se dice que A y B son separados por H si, existe algun funcional lineal no nulo

L : X ! R tal que existe a 2 R que cumple H = L�1({a}) y L(A) � a y L(B) a.Se dice que A y B estan estrictamente separados por H cuando una de las dos de-

sigualdades es estricta.

Proposicion 5.3.1 Sea X un EVT sobre R y A,B dos conjuntos disjuntos convexos de

X. Suponemos ambos conjuntos son no-vacıos.

1. Si A es abierto, entonces existe un hiperplano H de X que separa a A y B.

2. Si, ademas, se tiene que B es abierto entonces H puede ser elegido de manera que

separe estrictamente a A y B.

3. Si A es un cono y B es abierto, entonces existe una aplicacion lineal L : X ! R no

nula tal que L(A) � 0 y L(B) < 0.

Demostracion:

1. Consideramos al conjunto A�B.

Se puede notar que 0 62 A � B puesto que, en caso contrario, se tendrıa que existe

x 2 (A \B), lo que contradice el hecho que A y B sean disjuntos.

Ademas, al ser suma de conjuntos convexos (A y �B), por Proposicion 4.1.2, se

tiene que A�B es tambien un conjunto convexo.

Luego, considerando N = {0} y ⌦ = A� B, el Teorema 5.2.1 asegura que existe un

hiperplano cerrado H de X tal que {0} ⇢ H y H \ (A�B) = ;.Luego, por Teorema 5.1.1-(b), existe un funcional lineal f sobre X no nulo tal que

H = ker f . Por lo anterior, se tiene que f(A�B) 6= 0.Sea L un funcional lineal definido sobre X tal que, sea x 2 A�B,

L(x) : =

(f(x) si f(x) > 0

�f(x) si f(x) < 0

Se tiene que L(A � B) > 0. Luego, cualesquiera sean a 2 A y b 2 B, se tiene que

L(a) > L(b).Como B 6= 0, sea a : = ınf

a2A{L(a)}, se tiene que a > �1. Por tanto, L(B) a y

L(A) � a.

2. Ahora, sea B abierto al igual que A.

Por 1., existen a 2 R y una aplicacion lineal no nula L : X ! R tales que L(A) � ay L(B) a.Suponemos que existe b 2 B tal que L(b) = a.Al ser B abierto, se tiene que, cualquiera sea x 2 X, existe ✏ > 0 tal que, para todo

t 2 [0, ✏], b+ tx 2 B.


Por tanto, como L(B) a, se tiene que, para todo t 2 [0, ✏], L(b+ tx) a.Sea x 2 X fijo, se define

g : R ! Rt 7! g(t) : = L(b+ tx)

Se puede notar que, por la linealidad de L, g0(t) = L(x) cualquiera sea t 2 [0, ✏].Luego, el hecho que L(b+ tx) a implica que t = 0 es un maximo local para g. Portanto, g0(0) = L(x) = 0.Sin embargo, como x 2 X fue escogido de manera arbitraria, se tendrıa que L ⌘ 0sobre X, lo que contradice la hipotesis.

Ası, L(B) < a.

3. Consideramos ahora A un cono convexo no vacıo de X y B un abierto convexo de Xtales que A \B 6= ;.Por 1., existen a 2 R y L : X ! R una aplicacion lineal no nula tal que L(A) � a y

L(B) a.Al ser A un cono, cualquiera sea t > 0, se tiene que tA ⇢ A y, por tanto, tL(A) =L(tA) � a, expresado de otra manera se tiene que L(A) � a

t . Lo que implica que

L(A) � ınft>0

⇢a

t

�= 0.

Mas aun, 1. asegura que L(B) < L(A).Luego, de manera analoga a lo anterior, cualquiera sea t > 0 y a 2 A, se tiene que

L(B) ınft>0

{tL(a)} = 0 ya que L(B) < L(tA) = tL(A).

Por ultimo, al ser B un conjunto abierto, por 2., se tiene que L(B) < 0.

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Corolario 5.3.1 Sea X un espacio vectorial sobre R dotado de la topologıa localmente

convexa mas fina '. Si C es un cono cerrado no-vacıo en X y x0 2 X \C, entonces existe

un funcional lineal L : X ! R no nulo tal que L(C) � 0 y L(x0) < 0.

Demostracion:

Como C es cerrado en (X,') y x0 2 X \ C, X \ C es una vecindad abierta de x0.Luego, la convexidad local de (X,') garantiza la existencia de una vecindad abierta V de

x0 tal que V ⇢ X \ C, es decir, V \ C = ;.Por proposicion anterior, existe L : X ! R lineal no nula tal que L(C) � 0 y L(V ) < 0,en particular, L(x0) < 0.

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Bibliografıa

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