Una metodologia per al tractamentde la diversitat a l'ESO, en l'àmbit

de la resolució de problemes dematemàtiques

Elaboració, experimentació i avaluació de material per a la classe

Anna Pol Masjoan

Curs escolar (1997-1998)

Índex

1 Introducció

1.1 La diversitat a l'aula 11.2 La resolució de problemes de matemàtiques 11.3 La organització de l'aula al voltant de problemes

oberts6

1.4 Situacions-nucli: Proposta d'una manera d'organitzarels problemes de matemàtiques 7

1.5 Finalitats i objectius 81.6 Referents on emmarcar aquesta proposta 91.7 Hipòtesi inicial 11

2 Treball dut aterme

2.1 Disseny del pla de treball 122.2 Metodologia emprada 142.3 Desenvolupament del treball 18

Identificació d'una situació nucli a partir del'elaboració d'un material per a l'aula. Propostes detreball i activitats 19Identificació d'una situació nucli a partir d'unproblema concret. Propostes de treball i activitats 42Identificació d'una situació nucli a partir d'unproblema obert. Propostes de treball i activitats 59

3 Valoració deltreball

77

4 Estudis i cursosrealitzats

79

5 Bibliografia 89

6 Annexos 91

Annex 1Annex 2Annex 3Annex 4Annex 5Annex 6

1 Introducció

1.1 La diversitat a l'aula

El disseny curricular de l'Educació Secundària Obligatòria del Departamentd'Ensenyament deixa clar que s'opta per una escola comprensiva, que integri realment ladiversitat de nois i noies, amb l'objectiu de donar resposta als seus diferents interessos,capacitats i ritmes d'aprenentatge.

Aquesta diversitat de nois i noies que trobem a les aules no hauria de ser obstacle per podercrear un context adequat per ensenyar/aprendre. Ara bé, saber gestionar aquesta diversitat idonar resposta a cadascun dels alumnes és actualment un dels majors reptes amb quès'enfronta el professorat. S'hauria d'intentar trobar un equilibri entre el treball individualitzat ila capacitat de compartir experiències durant el procés d'aprenentatge. És important que elsalumnes puguin avançar segons el seu propi ritme de treball i se'ls estimuli a partir de lesseves capacitats i/o interessos, però també és necessari que els alumnes aprenguin acompartir descobertes, a escoltar i respectar idees d'altres companys, a ajudar o a demanarajuda quan calgui. En definitiva, és important que l'alumnat sigui conscient de la seva pròpiadiversitat, l'accepti i aprengui a respectar-la. Només així aconseguirem que aquestadiversitat sigui un element enriquidor durant aquesta etapa educativa.

Correspon a cada Centre definir el seu Projecte Educatiu i, en el marc d'aquestprojecte, elaborar el Disseny Curricular per gestionar el procés educatiu dels alumnes. AquestDisseny Curricular delimitarà les decisions dels Departaments didàctics i per tant l'actuaciódels diferents professors. Però el professor és el responsable de la gestió del seu grup-classe,que la concretarà en el disseny de diferents unitats didàctiques.

La diversitat amb què ens trobem a les aules ha portat molts canvis en el dissenyd'aquestes unitats, que en general s'intenta que siguin molt flexibles, de manera que es puguinadaptar a les capacitats i/o interessos dels diferents alumnes.

El treball que es presenta a continuació està centrat en les activitats matemàtiques,més concretament en la resolució de problemes de matemàtiques, i en el paper integrador quepoden jugar a l'aula

1. 2 La resolució de problemes de matemàtiques

La resolució de problemes és una part essencial de l'activitat matemàtica, ja que dónal'oportunitat de reflexionar sobre els propis coneixements, sobre com posar-los en joc, aixícom d'establir i descobrir relacions entre ells. Ningú no discuteix la importància de proposarproblemes als alumnes com a mètode per desenvolupar la seva capacitat de raonarmatemàticament, els dubtes estan en quan s'han de fer problemes, i en quin tipus deproblemes cal fer.

Quan s'han de fer problemes?

Si entenem la classe de matemàtiques com un context on la principal activitatconsisteix a fer matemàtiques, és a dir, a participar d'una manera activa en el propiaprenentatge, discutint, fent conjectures, analitzant, calculant, fent comprovacions, arribant aconclusions, hauríem de plantejar problemes de manera habitual; problemes que haurien deser molt flexibles, per tal que s'adaptessin als diferents ritmes dels alumnes, que elsestimulessin segons les seves capacitats i que, per tant, contribuïssin clarament al seu procésd'aprenentatge.

S'ha de tenir en compte que el tipus d'activitats que es proposa als alumnes provocauna manera de treballar i d'entendre les matemàtiques. Una característica de l'activitatmatemàtica és la de fer preguntes i buscar respostes, i és intentant buscar aquestes respostesquan sovint és fan descobriments, s'estableixen relacions i s'adquireixen nous coneixements.La resolució de problemes és una bona eina per provocar aquesta actitud de curiositat davantde les situacions plantejades i per tant, a banda d'altres consideracions, contribueix a fer quel'alumnat entengui l'activitat matemàtica com una activitat oberta al raonament, a la discussiói a la recerca.

Per altra banda, els "Objectius terminals del Primer Nivell de Concreció delCurrículum de l'àrea de Matemàtiques de l'ESO" deixen ben clar que la resolució deproblemes és una activitat que han de realitzar tots els alumnes. Així concretament, elsobjectius 3, 4, 5, 6, 7 i 9 són:

3. Planificar la resolució de situacions problemàtiques: distinció del que es coneix i el queés desconegut, distinció de la informació útil i la supèrflua, estimació de possiblessolucions, elecció del mètode a emprar i comprovació de la validesa dels resultatstrobats contrastant-los amb la situació de partida.

4. No abandonar la recerca de la solució a una situació problemàtica quan l'estratègia ques'ha escollit en primer lloc no ha estat adequada o quan s'ha obtingut un resultat nosatisfactori.

5. Acceptar la necessitat de canviar d'estratègia en la recerca de solució quan la situacióho requereixi i, en aquest sentit, actuar amb esperit de cooperació, respecte i interèsenvers la tasca dels companys amb els quals es treballa.

6. Reduir problemes complexos a d'altres més senzills que en facilitin la comprensió i laresolució.

7. Provar relacions o propietats senzilles raonant-les de manera deductiva a partir d'unespremisses establertes o fent ús de mètodes inductius

...

9. Mostrar una disposició a interrogar-se davant de situacions que es plantegin: formularhipòtesis, buscar exemples o contraexemples i fer comprovacions experimentals oraonades

A partir d'aquestes consideracions queda clar que la resolució de problemes ha de

quedar integrada com una activitat habitual en qualsevol crèdit de matemàtiques, tant comúcom variable.

Quin tipus de problemes?

És evident que els diferents tipus d'activitats que es proposen a l'aula no tenen perquèser excloents i que una de les qualitats que fa que una activitat sigui profitosa per a un grupclasse és que es presenti en el moment i en el context adequat, en funció dels objectius que espretenen assolir. Així, la intencionalitat dels problemes pot ser molt diversa: posar en jocconeixements ja adquirits per donar significat als conceptes, crear el context adequat perintroduir nous continguts matemàtics o mostrar diferents estratègies de raonament. Ara bé, lanecessitat d'adaptació a les diferents capacitats i/o interessos de l'alumnat ha provocat uncanvi en el plantejament dels problemes de matemàtiques, que s'intenta que siguin "oberts" adiverses maneres de treballar.

Volem fixar l'atenció en un tipus de problema que permeti organitzar l'aula al voltantde la seva resolució, amb la finalitat d'apropar els nois i noies al pensament matemàtic. Pertant, convé definir les característiques que volem que tingui un problema per tal que s'adapti aaquesta dinàmica. El terme "problema obert" no és suficientment precís i permet moltesinterpretacions. E. A. Silver, en el seu article "The nature and use of open problems inmathematics education: Mathematical and pedagogical perspectives" (Abril 1995) dóna tresinterpretacions diferents del que es pot considerar un "problema obert", que serviran perdelimitar aquesta proposta. Aquestes interpretacions les dóna en el marc de la pedagogiamatemàtica i, per tant, no parla de "problemes oberts" en el sentit de "no resolts". Així, per aSilver, els possibles significats del terme "problema obert" serien:

1. Un problema pot considerar-se obert si és susceptible a diferents interpretacions o adiferents respostes acceptables.

2. Un problema pot ser obert en el sentit que invita a diferents mètodes de resolució.

3. També es consideren problemes oberts aquells que suggereixen de manera naturalaltres problemes o generalitzacions.

Molts problemes d'aplicació de les matemàtiques a situacions de la vida real tenen lescaracterístiques del primer tipus. La intencionalitat d'aquests problemes és desenvolupar lacapacitat de modelar matemàticament una situació més que obtenir una solució determinada.Són problemes dels quals no s'espera una resposta exacta sinó més aviat un rang de possiblessolucions. Un exemple d'aquest tipus de problemes podria ser el que es va proposar en la fasefinal de l'activitat "Fem Matemàtiques" d'enguany (Banyoles, 16 de maig de 1998), adreçadaa nois i noies de 6è de Primària i 1r i 2n de Secundària. Es tractava de calcular el cabal d'unrec que sortia de l'estany: els nois i noies havien d'interpretar matemàticament la situació i,amb el material necessari, havien de calcular la secció del rec i la velocitat de l'aigua per talde poder arribar a la solució.

Aquest tipus de problemes normalment també tenen les característiques del tipus 2, ésa dir, són problemes que admeten diferents mètodes de resolució. Però sovint, problemesmolt simples poden ser molt útils per mostrar diferents maneres d'aproximar-se a la solució.Són aquells problemes que els alumnes poden abordar amb diferents nivells de formalització

i que permeten discutir sobre diferents estratègies.

Un problema que pot servir per exemplificar aquesta situació és un dels proposats anivell de 2n d'ESO a l'activitat "Fem Matemàtiques" (maig, 1998)

"En Ricard és de visita en un país molt llunyà, on tenen 4 monedes

diferents

V PA

Com que no parla la seva llengua, nos'acaba d'aclarir. No sap els valors de les monedes, ni tan sols quina val més o quina valmenys.

És un noi observador i es fixa que, en un quiosc, un home paga el diari amb una A i una V,mentre que una noia el paga amb una G. Després veu que un noi agafa dos diaris i paga ambtres P. Més tard, a la parada del bus, una noia paga el bitllet amb una A, mentre que el noidel darrera paga amb una V i una P.

En Ricard ja en té prou. Treu la llibreta i el llapis i després d'alguns càlculs ja sap quina és lamoneda amb menys valor, i també quin múltiple d'aquesta moneda representa cadascuna deles altres"

a) Quina de les quatre monedes té menys valor?b) Quin és el valor de les altres monedes, en relació a la moneda unitat?(La moneda unitat és la de menys valor)

A continuació es reprodueixen parcialment les respostes de dos alumnes

Clara:

"Primer, amb el que ens diuen, intentem fer les igualtats:A+V = G2G = 3P o 2(A+V) = 3PA = V+PSembla, veient les igualtats, que la moneda G és la més gran, ja que sempre es necessita mésd'una moneda per igualar-la. Ara intentem trobar la relació entre les monedesA+V = G; V=G-A; V=G-(V+P); V=3/2· P-(V+P); ... 4V=P"

A partir d'aquí troba les altres solucions i respon a les preguntes.

David:

"La que té menys valor de totes és la V.Ho he vist ja que la G superava a la A i a la V ja que diu ..., doncs A+V=G.Després he comprovat que la A era més gran que la V ja que diu ..., doncs V+P=A.I finalment he observat que si A=V+P, V=A-P i com que la P era la tercera i era més granque la V, la V era la moneda més petitaEl valor de les monedes els he anat traient provant números, sabent que la V era la més petita(V=1) així doncs:

com que: V=A-P com que 2G=3P com que A+V=G1=4-3 4'5·2(9)=3·3(9)1=3-2 3·2(6)=2·3(6)1=5-4 6·2(12)=4·3(12) 5+1=61=6-5 7'5·2(15)=5·3(15)

V=1 P=4 A=5 G=6

Mentre que una de les solucions és completament algebraica, en la segona s'arriba a laordenació del valor de les monedes per raonaments deductius (no és clar com l'alumnededueix que V té menys valor que P) i després, a partir de fixar un valor (V=1), es resol elsistema per tempteig i no queda gens clar si l'alumne creu que potser hi ha més possibilitats,perquè després de trobar una solució, encara prova amb altres nombres.

Fixem-nos doncs que, a part de la diferència en la manera de resoldre el problema,una solució queda completament tancada mentre que l'altre no. Aquest tipus de discussiótambé pot ser molt interessant quan el nivell dels alumnes ho permeti.

Pel que fa al tipus 3, un dels problemes proposats a nivell 1 en el "FemMatemàtiques" l'exemplifica clarament:

"Suposa que tens un full de paper rectangular, i que fas coincidir dos costats per poder retallarun quadrat, el més gran possible. A continuació tornes a repetir el procés amb el tros de fullque t'ha quedat, i així successivament fins a obtenir exactament 4 quadrats, sense que sobrigens de paper."

a) Si l'últim quadrat que has obtingut (el quart), té 10 cm de costat, quines són les possiblesmides del full de paper?

b) Hi ha més d'una solució? Quantes?

És evident que aquest problema suggereix de manera natural moltes preguntes i, pertant, nous problemes, com es veurà més endavant. La proposta que es presenta quedaemmarcada clarament en el tractament d'aquest tipus de "problemes oberts"

1.3 L'organització de l'aula al voltant de la resolució de problemes oberts

La programació de qualsevol activitat comporta necessàriament la planificació de comes realitzarà aquesta activitat dintre de l'aula. S'ha de preveure si els alumnes treballaranindividualment, o per parelles, o distribuïts en petits grups i en aquest cas, com seran aquestsgrups; també s'ha de tenir clar quin serà el paper del professor/s i, per descomptat, quin tipusde tasca s'haurà de dur a terme. Crec que els tres elements, alumnes, professor/s i tasca arealitzar, juguen un paper igualment important en el desenvolupament de la sessió i queaquests papers s'interrelacionen fortament entre ells.

Si el propòsit és organitzar l'aula al voltant de la resolució de problemes oberts, s'ha

de tenir clar quin tipus d'activitat conjunta caldrà realitzar: com treballaran els alumnes, conintervindrà el professor i quin tipus de problemes s'intentarà resoldre.

A l'apartat anterior ja s'ha dit que la proposta es referirà preferentment al treball ambproblemes oberts que suggereixin moltes preguntes, com a metodologia per apropar els nois inoies al pensament matemàtic. Abans d'aprofundir en algunes característiques d'aquests tipusde problemes, convé també definir la dinàmica a seguir durant la resolució d'aquestsproblemes.

Els alumnes haurien de treballar en petits grups, en un ambient relaxat i seguint el seupropi ritme de treball. Seguir el propi ritme de treball té molta importància en tot procésd'aprenentatge i és fonamental en el context de la resolució de problemes. La resolució deproblemes, interpretada com a desenvolupament del pensament matemàtic, requereix temps,temps que no es pot mesurar de manera objectiva i que pot variar molt d'un alumne a l'altre.És important que els alumnes puguin avançar a partir de les seves respostes, ja que aquestamanera de treballar contribuirà a fer que se sentin més confiats en les seves possibilitats de"fer matemàtiques". Per altra banda, també és bo que els alumnes puguin compartir les sevesidees i escoltar les dels seus companys. El treball en petits grups afavoreix la discussió, lareflexió i la revisió del treball realitzat, ensenya els alumnes a compartir en comptes decompetir i, en general, provoca que tots els alumnes se sentin implicats en la tasca. Hi haalumnes que són molt participatius dins d'un grup petit i en canvi els costa molt participar enuna discussió conjunta de tota la classe.

En aquest ambient de treball en petits grups, el professor hauria d'estimular elsalumnes tot respectant el seu ritme de treball. El professor hauria d'animar els alumnes aseguir els seus propis raonaments, els quals els portaran a resoldre el problema plantejat, o asituacions sense sortida, o a resultats aparentment contradictoris, o a situacions de bloqueig.Raonaments que, per altra part, poden ser incorrectes o poden partir d'errors conceptuals.Tractar aquestes situacions i convertir-les en font d'aprenentatge significatiu és el gran reptedel professorat, especialment en el context de la resolució de problemes.

Sovint el professor intervé massa sense observar prou. Sovint intenta guiar elsalumnes segons els seus propis raonaments, sense escoltar els seus i no s'adona que parteixd'una desigualtat d'oportunitats enorme. Seguir el raonament de l'alumne, fer-li preguntes quel'ajudin a descobrir errors, ser pacient i deixar-li madurar les seves pròpies idees és un camídifícil per al professor, però sense cap dubte profitós tant per a l'alumne com per a ell mateix:ajuda l'alumne a aprendre matemàtiques i al mateix temps a raonar matemàticament, i ajudael professor a aprendre com s'elaboren els conceptes matemàtics.

1.4 Situacions-nucli: Proposta d'una manera d'organitzar els problemes dematemàtiques

Ja s'ha parlat que cal plantejar a l'alumnat situacions obertes, que provoquin ladiscussió, la formulació de conjectures, que estimulin la curiositat, però cal ser conscients dela diversitat de capacitats i/o interessos. Resoldre un problema requereix una certa actitud,unes ganes de posar-s'hi, i provoca, de manera alternativa, diferents estats d'ànim: fàcilmentes pot passar d'una certa curiositat a una sensació de desànim i bloqueig. S'ha d'intentar queels problemes que es proposen als alumnes els suposi un repte, però cal també que aquest

repte el puguin afrontar amb confiança. Tan difícil és que a un alumne li representi unproblema una qüestió que no li suposa cap dificultat, con que un alumne abordi amb un certentusiasme la resolució d'un problema sobre el qual entén molt poques coses. Si els nostresalumnes són diversos, els problemes haurien de ser prou flexibles per tal que es poguessinabordar amb diferents estratègies, amb diferents nivells de aprofundiment, amb diferentsnivells de formalització i, a ser possible, suggerissin diferents vies de treball alternatiu.

No sempre és fàcil trobar problemes amb aquestes característiques i, a més, cal unprocés de reflexió per ser conscients de les possibilitats que ofereix un problema. Sovint, lacapacitat de fer-se noves preguntes, de pensar en possibles vies de generalització, derelacionar-lo amb altres problemes que ja s'han resolt fa que problemes aparentment moltconcrets esdevinguin situacions obertes a més treball matemàtic. Cal que els professorsexplorem més globalment les possibilitats que ofereixen els problemes que proposem alsnostres alumnes i que els analitzem amb més deteniment ja que aquesta manera de treballarens pot ajudar a identificar situacions que permetin una bona activitat matemàtica.

Així, constatarem que, sovint, els problemes que plantegem a l'aula són petitesparcel·les d'un problema molt més ampli. Ens referirem a aquest problema més ampli com ala situació-nucli, de la qual n'estem estudiant algun aspecte concret. Si analitzem aquestasituació-nucli probablement hi descobrirem altres aspectes que també es podrien treballar,aspectes relacionats amb el problema inicial que s'havia plantejat i que alguns dels quals nonecessàriament estaran a l'abast dels nostres alumnes. Però el que és interessant remarcar ésla possibilitat de, a partir d'un problema concret, identificar una situació problemàtica moltmés àmplia que pot ser el punt de partida de noves activitats matemàtiques.

Més concretament, la dinàmica de treball que es proposa és la següent:

1. Anàlisi d'un problema concret per veure si es possible identificar un problema mésampli del qual s'està estudiant un cert aspecte, o un cas particular. Aquest problemamés ampli o més general l'anomenarem situació-nucli.

2. Anàlisi de la situació nucli per determinar quins continguts matemàtics, conceptuals oprocedimentals es poden treballar.

3. Definició de la situació nucli o enunciat del problema el més general possible, i llistatde continguts conceptuals i procedimentals que es podrien treballar a partir d'aquestasituació.

Evidentment, aquesta és un proposta de treball per al professorat, però creiem queaquesta manera de treballar ajudarà a elaborar un material que s'ajustarà millor a lesnecessitats dels diferents alumnes i, per tant, en certa manera, també és concretarà en unaproposta de treball per als alumnes.

1.5 Finalitats i objectius

Un dels reptes més difícils per al professorat és el de prestar una atencióindividualitzada a tots els seus alumnes dintre del context d'un grup-classe. És evident que elritme dels diferents alumnes no és el mateix i això fa que sovint sigui difícil que tot el grup-

classe treballi al voltant d'un mateix problema. Moltes vegades les classes de problemesconsisteixen en resoldre problemes d'una llista i la mateixa dinàmica de la classe porta, al capd'una estona, que els diferents grups estiguin treballant en problemes diferents. En aquestessituacions el professor pot provocar la discussió i la reflexió dintre dels diferents grups, peròes fa difícil una posta en comú i es perd l'oportunitat que els diferents grups comparteixinidees i, en definitiva, que uns grups puguin aprendre dels altres.

A més, sovint els professors proposem alguns problemes "més difícils" per a alumnesmés avançats i/o més interessats en les matemàtiques i normalment la discussió sobre aquestsproblemes queda completament al marge del grup-classe. Si aquests problemes "més difícils"fossin altres vies de seguiment alternatiu d'un problema inicialment comú per a tota la classe,tots els alumnes, encara que no els haguessin resolt, es podrien beneficiar en certa manera deltreball d'alguns companys.

En contraposició a aquesta dinàmica, seria bo que els alumnes poguessin treballarsobre els mateixos problemes encara que seguissin diferents estratègies, focalitzessin el seuinterès en aspectes diferents o treballessin a diferents nivells de generalització. El fet detreballar sobre una mateixa situació-nucli hauria de facilitar que posteriorment fos possibleuna revisió conjunta i una posta en comú del treball realitzat pels diferents grups. Es tracta, endefinitiva, d'aconseguir que els problemes siguin una font d'aprenentatge actiu de lesmatemàtiques per a tots els alumnes.

Així, si considerem una situació-nucli com aquella que permet estudiar diferentsaspectes matemàtics i, a més, cadascun d'aquests aspectes amb diferents nivellsd'aprofundiment, els objectius d'identificar situacions d'aquestes característiques serien elssegüents:

1. Poder plantejar moltes activitats o problemes diferents però relacionats.

2. Poder adequar el nivell de dificultat de les activitats o problemes a les característiquesdels diferents alumnes, és a dir, poder fer un bon tractament de la diversitat.

Si es reflexiona sobre aquests objectius en el marc de la didàctica de les matemàtiquesi s'analitzen les interaccions entre la feina a realitzar, l'actuació dels alumnes i l'actuació delprofessor, aquests dos objectius és podrien reformular en tres que afectarien a un modeld'ensenyament/aprenentatge de les matemàtiques a partir de la resolució d'un cert tipus deproblemes.

1' Donar l'oportunitat al professor de realitzar una bona activitat matemàtica

Els dos objectius anteriors afecten directament a la feina del professor, que a partir deuna situació-nucli haurà de plantejar problemes als alumnes. Plantejar problemes ésuna de les característiques de l'activitat matemàtica. "Plantejar problemes fareferència a la creació d'un nou problema a partir d'una situació o d'unaexperiència. Aquest fet pot ser anterior a la resolució de problemes si els problemeses generen a partir d'una situació real o inventada; o pot ser posterior a la resolucióde problemes si els problemes es generen a partir de l'experiència de resoldre unproblema o un conjunt de problemes determinat" (Silver, 1993). Per tant, el professorrealitzarà una bona activitat matemàtica.

2' Elaborar un conjunt d'activitats obertes a les diferents capacitats i/o interessos delsalumnes, i que per tant permetin diferents enfocaments, diferents vies de seguiment idiferents nivells d'aprofundiment.

3' Donar l'oportunitat a tots els alumnes de poder aprendre matemàtiques i de raonarmatemàticament, a partir de les seves capacitats i/o interessos, en el context d'unaactivitat conjunta de tota la classe.

1.6 Referents on emmarcar aquesta proposta

És innegable que, a l'etapa de l'Educació Secundària, s'han produït canvis profunds enl'ensenyament de les matemàtiques i que la resolució de problemes ha emergit com un delseixos més importants d'aquesta renovació. La recerca en aquest camp, que va començar demanera sistemàtica a principis dels anys 70, ha evolucionat notablement tant pel que fa a lesdiferents àrees d'interès com pel que fa als mètodes de recerca.

En la dècada dels 70, l'interès de la recerca estava pràcticament centrat en laidentificació de les variables que feien que un problema fos difícil per als alumnes, i aixís'analitzaven els continguts, el context, l'estructura, la sintaxi i l'heurística. Avui hi ha unacord pràcticament general a pensar que les dificultats d'un problema no depenen tant de lescaracterístiques del problema com de les característiques del resolutor, així com de la sevaactitud i creences entorn a la resolució de problemes i també de la seva experiència.

A principis dels anys 80, l'èmfasi es va posar en la identificació de les característiquesd'un bon resolutor de problemes, enfront de resolutors menys eficaços. En aquesta àrea derecerca són importants els treballs de Schoenfeld (1985).

Va ser també en la dècada dels 80 quan es va posar de manifest la importànciad'ensenyar els alumnes a resoldre problemes (diferents maneres d'enfrontar-s'hi i diferentsestratègies que es poden seguir en la seva resolució) i es va iniciar la recerca sobre el paperde la metacognició en la resolució de problemes, sobretot pel que fa als dos aspectessegüents: coneixement del propi procés de pensament i control de la pròpia activitat.

Encara que els avenços han estat notables, hi ha alguns signes que indiquen que calaprofundir més en algunes qüestions. En efecte, Lester, en les seves Reflexions sobre larecerca en la resolució de problemes de matemàtiques: 1970-1994 compara les qüestionsclau que ell mateix va identificar per a futures recerques sobre resolució de problemes l'any1980, amb les identificades per Schoenfeld dotze anys més tard (1992). El fet que aquestesqüestions siguin pràcticament les mateixes suggereix que cal continuar amb la màximaatenció l'estudi sobre tots els processos i actituds involucrats.

Temes clau en la recerca sobre la RP: 1980 vs. 1992Temes clau Lester (1980) Schoenfeld (1992)1. Necessitat de més claredat en el significat dels termes * *2. Necessitat de millorar els mètodes de recerca * *3. Importància d'entendre les interaccions entre diferents

aspectes de la RP* *

4. Importància d'entendre el paper del control en la RP *5. Importància d'entendre el paper de les creences i actituds *6. Necessitat de millorar l'atenció sobre qüestions

relacionades amb la instrucció* *

7. Necessitat de millorar en l'avaluació del procés de la RP *8. Necessitat de millorar l'atenció sobre qüestions

relacionades amb la transferència d'aprenentatges*

Encara queden moltes preguntes per respondre al voltant de la RP. En el mateix article,Lester (1994) proposa algunes qüestions que haurien de ser els focus de properes recerques.

1. El paper del professor en una classe centrada en la RP

2 Què passa realment en una classe centrada en la RP? Quin és el comportament delprofessor? Quines són les interaccions entre professor-alumne i entre alumne-alumne?Quin ambient es crea a l'aula?

3 Quins són els processos de ensenyament/aprenentatge que tenen lloc en petits grupsi/o en tot un grup-classe? La major part del treballs de recerca s'han interessat pelsprocessos individuals i cal estudiar de quina manera tenen lloc aquests processos enl'ambient d'un grup classe o bé en l'ambient d'un grup petit.

Sembla clar que la proposta que des d'aquest treball s'adreça al professorat quedaemmarcada per aquestes tres qüestions1.7 Hipòtesi inicial

El professorat juga un paper fonamental en tot procés de renovació pedagògica. És elprofessorat qui, més o menys explícitament, pren decisions sobre les estratègiesd'ensenyament/aprenentatge que utilitza a l'aula. Aquestes decisions estan condicionades permolts factors, alguns d'ells externs a l'aula. Així, és evident que la comunitat educativa de laqual forma part, l'administració educativa i en últim terme la societat influeixen de maneraimportant. Ara bé, les variables que li influeixen més directament són les seves creencessobre que és la matemàtica i que vol dir "fer matemàtiques" a l'aula, les expectatives sobre eltreball dels alumnes i les expectatives sobre la seva pròpia actuació com a docent.

Amb la Reforma, la composició de les aules ha canviat profundament i el professoratha fet un esforç important per adaptar el seu model d'ensenyament/aprenentatge a les novesnecessitats dels alumnes. Aquest procés ha suposat entre d'altres coses, la necessitat detreballar amb nous materials, de dissenyar altres tipus d'activitats i d'incorporar nous recursos.Però val a dir que en general el professorat manté aquest procés d'adaptació i renovació, ambmés o menys intensitat, al llarg de tota la seva etapa docent.

Compaginar la innovació i la docència no sempre és fàcil i convé que les adaptacionssiguin progressives i que es realitzin a partir de la pròpia experiència. Per tant, convé que lespropostes que es facin al professorat siguin fàcilment incorporables a la pràctica docent i esbasin en petites modificacions del treball que es fa dia a dia. Crec que la propostad'identificar situacions-nucli compleix aquests requisits.

El procés que normalment segueix el professorat a l'hora de plantejar problemes alsalumnes és, o bé seleccionar-ne alguns d'entre els plantejats en diferents llibres de text o enllibres de problemes, o bé redactar-ne de nous. Si s'escull un problema (no exercici rutinari)ja escrit, és necessari analitzar-lo o resoldre'l per veure si s'adapta a les necessitats delsalumnes (continguts matemàtics necessaris, nivell de dificultat, possibles maneres d'abordar-lo, ...). Per redactar-ne un de nou cal imaginar-se una situació a partir de la qual es puguintreballar els continguts que prèviament s'hagin seleccionat.En qualsevol cas, sempre cal unprocés de reflexió al voltant del problema.

Identificar, si és possible, una situació-nucli significa anar una mica més enllà,significa ser capaç de fer-se més preguntes, de canviar de punt de vista, de generalitzar,d'intuir que passaria en canviar algunes condicions, ... És possible que molts professors facinimplícitament aquest tipus de reflexió i el que es suggereix en aquest treball és lasistematització d'aquesta activitat matemàtica per tal que pugui ser útil en activitatsposteriors.

2 Treball dut a terme

2.1 Disseny del pla de treball

Aquest treball té els seus orígens en la meva activitat al voltant de la resolució deproblemes. La meva tasca com a professora de matemàtiques de secundària i també com acoordinadora de grups de resolució de problemes m'han convençut de la utilitat dedesenvolupar la capacitat de fer-se preguntes, de formular conjectures, d'intentar anar sempreuna mica més enllà en comptes de quedar-se "enganxat" a una situació concreta, com amètode per aprendre a raonar matemàticament. I, en aquesta línia, sovint havia convertitproblemes concrets, proposats en llibres de text o en llibres de problemes, en situacions mésobertes que permetessin diferents aproximacions. La reflexió sobre aquest procés em vaportar a dissenyar el pla de treball que aquí presento, centrat en la identificació de situacions-nucli

Un aspecte que voldria remarcar és el de plantejar aquest procés lligat a l'activitathabitual de qualsevol professor. És a dir, el plantejament no és intentar imaginar i definirsituacions-nucli per elles mateixes, sinó aprofitar la feina que dia a dia realitza el professorat iveure com, a partir d'una anàlisi més detallada de les activitats i problemes que proposa alsseus alumnes, pot identificar algunes situacions-nucli que li serviran per a activitatsposteriors. Així, donat que el professorat de vegades utilitza activitats i problemes publicats obé proposats per altres companys, mentre que d'altres elabora el seu propi material, el treballa realitzar consistiria en:

Fase 1:Identificació de situacions-nucli i dels continguts matemàtics que es podrientreballar ,

1. A partir de l'intent d'elaborar una activitat concreta per a un grup classe.

Aquesta part del treball es realitzaria conjuntament amb Francesc Borrell Thió,professor de matemàtiques de l'IES "Salvador Espriu" de Salt, i part del materialelaborat s'experimentaria a l'aula.

2. A partir d'un problema concret ja proposat.En aquest cas el procés a seguir és el de generalització o canvi en les condicions delproblema.

El treball es realitzaria concretament sobre el problema "La cabra lligada", proposaten el llibre Pensar matemàticamente, Mason et al. (1982)

3. A partir d'un problema-investigació ja proposat.En aquest cas el procés a seguir és el d'acotar les condicions inicials del problema perfer-lo accessible a les possibilitats dels alumnes.

El treball es realitzaria a partir d'una proposta d'investigació formulada pel directord'aquest projecte, el Dr. Jordi Deulofeu Piquet, professor del Departament deDidàctica de les Matemàtiques i les Ciències de la UAB.

Amb els punts 2 i 3 hauria de quedar clar que una situació-nucli no ha de sernecessàriament el marc més ampli possible on situar un problema concret. El que es tracta ésde definir un punt de partida d'un conjunt d'activitats i problemes per proposar als alumnes.

Fase 2:Propostes de treball a partir d'una situació-nucli

A partir de les situacions-nucli definides en la fase 1, s'elaborarien diferents propostesde treball. Per a cadascuna de les propostes s'assenyalaria el nivell de dificultat i s'adjuntariaun breu resum i els objectius matemàtics que es pretenguessin assolir.

En aquesta fase no es tractaria d'elaborar un material que es pogués portar directamenta l'aula sinó més aviat d'elaborar un material per al professorat que li permetés dissenyaractivitats concretes adaptades a les necessitats dels seus alumnes.

Aquest tipus de material pot ser molt útil donat que proposa vies de treball a partir decontinguts matemàtics clarament especificats, però, en canvi, deixa al professor la concreciód'aquest treball, que el podrà ajustar al desenvolupament de la seva programació.

Fase 3:Disseny d'activitats concretes.

Es dissenyarien algunes activitats concretes, que s'experimentarien amb alumnes (al'IES "Salvador Espriu" i en cursos de formació) i que es mostraran a nivell d'exemple.

Hauria de quedar molt clara la diferència entre el tipus de material elaborat en la fase2, que hauria de ser directament utilitzable per qualsevol professor de secundària de qualsevolcentre, i les activitats concretes dissenyades en aquesta fase 3, pensades especialment per algrup amb el qual es treballarà. Molt probablement un altre professor en un altre contextdissenyaria, a partir de la mateixa proposta, altres activitats que s'ajustessin més a lesnecessitats dels seus alumnes.

El pla de treball que es va dissenyar ha suposat en certa manera el desenvolupamentde tres treballs paral·lels, cadascun d'ells estructurat en les tres fases descrites anteriorment.Aquests treballs s'han intercalat en el temps i la seva temporització s'ha adequat a lesnecessitats d'experimentació.

2.2 Metodologia emprada

Un cop definit el pla de treball,

1. Identificació de situacions-nucli i dels continguts matemàtics que es podrien treballar2. Propostes de treball a partir d'una situació-nucli3. Disseny d'activitats concretes.

calia determinar quin era el treball concret en cadascuna d'aquestes fases i com esrealitzaria.

1. Identificació de situacions-nucli i dels continguts matemàtics que es podrientreballar

Identificar una situació-nucli significa reconèixer la possibilitat de formular-se moltespreguntes, d'estudiar diferents aspectes matemàtics, d'establir relacions entre ells, d'intentardiferents estratègies de resolució, de formular conjectures, ... Aquestes situacions caldescobrir-les, i per fer-ho cal desenvolupar la nostra capacitat de plantejar problemes iaprendre a considerar la solució d'un problema com a possible punt de partida de noustreballs matemàtics.

Però no n'hi ha prou de veure la possibilitat de fer moltes preguntes, cal tenir ben clarsels continguts matemàtics que es podran treballar, quines estratègies es podran seguir, quinsconeixements previs seran necessaris i amb quin nivell de dificultat es trobaran els alumnes.Només així la situació esdevindrà útil per poder plantejar moltes i diferents activitats.

No sempre és fàcil determinar a priori aquests continguts matemàtics. De vegades calresoldre el problema per ser conscients de les diferents possibilitats que ofereix i ni tan solsaixí podem estar segurs que les descobrim totes. Qualsevol persona afeccionada a resoldre

problemes té l'experiència d'haver seguit, en algunes ocasions, camins molt complicats senseadonar-se d'evidències que tenia al davant. És per això que aquest llistat de continguts s'had'interpretar com un llistat obert.

Per tant, en aquesta fase, a més d'identificar una situació-nucli, és a dir, un punt departida d'una bona activitat matemàtica, es va elaborar un llistat (obert) de contingutsmatemàtics que es podrien treballar.

Sense pretendre identificar una situació-nucli ni tampoc analitzar tots els contingutsmatemàtics a treballar, a continuació s'inicia el procés a partir d'un problema prou conegut,per tal de clarificar les idees que s'acaben d'exposar.

El problema és el següent: "Es pot descompondre el nombre 1000 com a sumad'enters positius consecutius?"

És evident que aquesta pregunta en suggereix moltes més, que probablement seriamés natural formular-nos-les després d'haver-la respost.

Per partir d'una possible solució, indicarem la resposta que va donar una alumna delCAP de l'ICE de la UdG (curs 97-98).

"Com que 1000 és divisible per 5 i 1000:5 = 200, 1000 = 198+199+200+201+202. Noméscal agafar cinc sumands consecutius centrats en el 200"

A partir d'aquesta solució, les preguntes a fer poden ser moltes:

- Aquesta és l'única possibilitat de descompondre 1000 en sumands consecutius? Es podriadescompondre, per exemple, en 10 sumands donat que 1000 també és divisible per 10?

- De quantes maneres és pot descompondre?

- Tots els números es poden descompondre en sumands enters consecutius?- Com ha de ser un número perquè es descompongui en 2 sumands consecutius? I en 3? I en4?... Com ha de ser un número perquè es descompongui en "n" sumands enters positius iconsecutius?

- I si s'utilitzessin els negatius?.....

- Quins números es descomponen en suma de quadrats consecutius? I en suma d'un certnombre de quadrats perfectes?

....

Però és evident que aquesta situació no serà útil si no tenim clars els coneixementsmatemàtics que són necessaris per abordar-la. I en canvi, pot ser molt profitosa si, a part delsrequisits, tenim un llistat de continguts lligats a la situació.

Així, per exemple, alguns continguts lligats a aquesta situació són:

- Progressió aritmètica. Suma dels termes d'una p.a.- Paritat dels nombres enters

Però també és una bona situació per treballar diferents estratègies com laparticularització, la sistematització, la construcció de taules, la recerca d'un model, elreconeixement d'algunes propietats dels números, ... Observi's sinó la taula:

1 6 = 1+2+3 11 = 5+62 7 = 3+4 12 = 3+4+53 = 1+2 8 13 = 6+74 9 = 2+3+4 = 4+5 14 = 2+3+4+55 = 2+3 10 = 1+2+3+4 15 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8

Amb aquest exemple no es pretenia ser exhaustiu. Probablement es podrien trobaraltres vies de seguiment del problema i és evident que només s'han indicat, de maneradesordenada, alguns continguts matemàtics clarament relacionats amb el problema.

2. Propostes de treballs a partir d'una situació nucli.

En aquesta fase es van escollir grups de continguts d'entre els seleccionats en la faseanterior i, en funció d'aquests continguts, es van formular diferents propostes de treball.

Així, seguint amb el mateix exemple, una possible proposta de treball podria quedarcentrada en continguts purament procedimentals, com són la recollida sistemàtica de resultatsen una taula, com a estratègia per a la recerca d'un model, mentre que una altra propostapodria anar al voltant del concepte de progressió aritmètica i les seves propietats i delprocediment per sumar termes consecutius d'una p.a.. A tall d'exemple, una de les propostespodria concretar-se en:

Proposta a partir de possibles descomposicions de números enters

Nivell: Primer cicle d'ESO

Breu resum: Es demanarà als alumnes que descomponguin, quan es pugui, uns quantsnúmeros enters en suma d'enters positius consecutius, de totes les maneres possibles.Se'ls demanarà que ho facin de manera ordenada, començant per l'1 i sense deixar-se'n cap. A partir d'aquí, s'animarà els alumnes a fer conjectures, a contrastar-les ambles dels seus companys, a comprovar-les amb altres números.

Característiques i objectius de la proposta: Es tracta d'una proposta de caràcter procedimentalamb dos grans objectius:

1. Treballar la lectura i la interpretació de conjunts de resultats recollits en una taulai animar els alumnes a fer conjectures en la recerca d'un model.

2. Mostrar als alumnes la importància del treball sistemàtic.

La proposta pot adaptar-se a les diferents capacitats i/o interessos dels alumnes, ja queper exemple, mentre alguns alumnes poden comprovar les seves conjectures ambaltres casos particulars, altres podrien intentar comprendre perquè es verifiquenalgunes propietats i també es podria animar alguns alumnes a utilitzar una notaciósimbòlica i intentar algunes demostracions.

Aquesta proposta dóna idees per a treballar al voltant de la descomposició delsnúmeros en sumands consecutius, però és evident que es pot concretar en activitats diferents,que es poden ajustar per una banda a les necessitats d'aprenentatge dels alumnes i també a lesnecessitats de programació del professor.

3. Disseny d'activitats concretes.

En aquesta fase es va elaborar material per als alumnes. Les activitats es vandissenyar a partir de les propostes de treball de la fase anterior, de les característiques delgrup-classe a qui anaven dirigides i de la programació del professor. Així, per exemple,prèviament a elaborar una de les activitats, es va dissenyar una activitat d'avaluació inicialper poder ajustar-se millor a les necessitats d'aprenentatge dels alumnes.

A continuació mostrem, com a exemple, una activitat lligada a la proposta de treballpresentada en l'apartat anterior. És una activitat pensada per treballar en parelles

Títol de l'activitat: Suma d'enters consecutius

1. A continuació teniu anotades les primeres sumes de dos enters positius consecutius:

1+2 , 2+3, 3+4, 4+5, 5+6, ...

Quins resultats s'obtenen?Quins nombres es poden descompondre com a suma de dos enters consecutius? Poseualguns exemples.

2. Quins nombres s'obtenen quan se sumen tres enters positius consecutius? Fixeu-vosen les primeres sumes possibles

1+2+3, 2+3+4, 3+4+5, 4+5+6, ...

Observeu els resultats obtinguts. Podríeu donar els resultats sense necessitat de fer lasuma? Com?

3. A l'apartat anterior haureu observat que:

1+2+3 = 3·2, 2+3+4 = 3·3, 3+4+5 = 3·4, 4+5+6 = 3·5, ...

Sabríeu explicar per què? Comenteu-ho amb els vostres companys.

4. Observeu la taula següent i completeu les cel·les que estan buides. Us servirà perveure quins són els números que es poden descompondre com a suma de dos, tres,quatre, ... enters consecutius i, si us hi fixeu bé, podreu deduir el perquè.

1+2 = 3 1+2+3 = 6 = 3·2 1+2+3+4 = 10 = 2·5 1+2+3+4+5 = 1+2+3+4+5+6 =2+3 = 5 2+3+4 = 9 = 3·3 2+3+4+5 = 14 = 2·7 2+3+4+5+6 = 2+3+4+5+6+7 =3+4 = 7 3+4+5 = 12 = 3·4 3+4+5+6 =4+5 = 9 4+5+6 = 15 = 3·5 4+5+6+7 =

5+6 = 11 5+6+7 = 18 = 3·6 5+6+7+8 =

a) Quin és el primer número que es descompon com a suma de quatre entersconsecutius? I el segon? I el tercer?Com es passa d'un nombre al següent?Podríeu donar el resultat d'una d'aquestes sumes sense necessitat de sumar elsquatre números? Com?

b) Expliqueu, tal com ho heu fet per als casos anteriors, les propietats dels númerosque es descomponen en cinc i en sis sumands consecutius. Per fer-ho, utilitzeu elsresultats de la taula.

c) Quins números creieu que es descomponen en set sumands consecutius? I en vuit?Quin és el número més petit en cada cas?Feu alguna comprovació per veure si ho heu pensat bé.

5. - Descomponeu 100 en cinc sumands consecutius- Descomponeu 21 en tres sumands consecutius- Descomponeu 21 en sis sumands consecutius- Es pot descompondre 21 en suma de set enters positius consecutius? Per què?

6. Sabríeu donar una explicació general? Us anirà bé separar-ho en dos casos1. Quins números es descomponen en tres, cinc, set, ... (un nombre senar de)sumands enters consecutius?2. Quins números es descomponen en dos, quatres, sis ... (un nombre parell de)sumands enters consecutius?

Observi's que aquesta activitat queda emmarcada en la proposta de treball que s'ha fetanteriorment i que s'ajusta als objectius generals que s'havien establert. No obstant això, hihauria moltes altres possibilitats. Observi's també que només s'han abordat alguns aspectesparcials i que la proposta segueix oberta a noves preguntes i per tant a noves activitats. Així,per exemple, no s'ha preguntat de manera explícita quins són els números que es podendescompondre en suma d'enters positius consecutius i és bastant improbable que els alumnesfossin capaços de respondre aquesta qüestió sense més treball addicional.

2.3 Desenvolupament del treball

Ja s'ha comentat abans que el treball pretén mostrar la possibilitat d'identificarsituacions-nucli, que seran útils per dissenyar diferents activitats, a partir de l'activitathabitual del professorat. És per aquest motiu que s'han escollit tres punts de partida diferents,tots ells fàcilment identificables en la pràctica docent:

a) A partir de l'elaboració d'un material per a l'aulab) A partir d'un problema concretc) A partir d'un problema molt obert

El treball realitzat a partir d'aquestes situacions inicials s'ha desenvolupatparal·lelament, encara que aquí es presentin per separat i un a continuació de l'altre.

2.3 a) Identificació d'una situació nucli a partir de l'elaboració d'un materialper a l'aula. Propostes de treball i activitats

El treball que s'exposa a continuació es va realitzar durant la primera meitat del curs97-98, conjuntament amb el professor de matemàtiques Francesc Borrell Thió, de l'IES"Salvador Espriu" de Salt.

L'objectiu del treball era veure la possibilitat d'identificar alguna situació-nucli a partirde la programació del curs, sense haver d'introduir-hi cap modificació. Per tant, del que estractava era d'aprofitar la planificació d'alguna activitat per als alumnes per elaborar unmaterial molt més ampli que pogués servir per a ocasions posteriors.

Es va escollir un grup de 1r d'ESO i el tema objecte del treball seria el concepted'àrea.

Es volia dissenyar alguna activitat per introduir i/o reforçar el concepte d'àrea, perpracticar el càlcul d'àrees per mètodes comparatius amb una unitat de mesura. Aquest treballhauria de ser previ a la introducció de les fórmules per calcular les àrees d'alguns polígons.L'objectiu era poder-les introduir significativament, és a dir, es tractaria d'arribar a la fórmulade l'àrea del rectangle seguint el procés de comparar la superfície amb una unitat de mesura, ia partir d'aquí, s'arribaria a les altres fórmules completant o descomponent les figurescorresponents i transformant-les en rectangles.

El treball que ens vàrem proposar ja s'ha descrit anteriorment. Es tractava doncs dedissenyar una activitat i, a partir d'aquesta activitat intentar identificar una situació-nucli queens serviria per a altres propostes de treball i disseny d'activitats:

A ctivitat

Situació-nucli

Proposta 1 Proposta 2 Proposta 3 Proposta n

A c t. 1 A c t. 2 ...

Ara bé, és evident que intentant identificar una situació nucli s'aprofundeix molt en elconeixement del problema i es té una idea més clara de tots els continguts que es podrientreballar. Això fa que sigui més senzill dissenyar activitats que s'ajustin bé a les necessitats del'aula. Per tant, ens vàrem plantejar el disseny inicial de l'activitat com un disseny provisional.Si aconseguíem identificar una situació-nucli, deixaríem el disseny definitiu per a la fase 3(elaboració d'activitats concretes). Un altre motiu per considerar el primer disseny com aprovisional era que es volia realitzar una avaluació inicial per saber quins eren elsconeixements dels alumnes sobre el tema i així poder adaptar l'activitat a les sevesnecessitats.

Concretament, per exposar el treball seguirem l'esquema següent:

a1 Activitat inicial, identificació de la situació nucli i llistat de contingutsa2 Propostes de treball a partir de la situació nuclia3 Disseny d'activitats concretesa4 Experimentació i valoració del material elaborat

a1 Activitat inicial, identificació de la situació nucli i llistat de continguts

Per treballar el concepte d'àrea i el càlcul d'àrees per mètodes comparatius, caliatrobar algunes figures que suposessin un cert repte per als alumnes. No volíem quedar-nosnomés en el dibuix de polígons sobre una quadrícula, perquè aleshores els alumnes tendeixena comptar quadrets i costa que utilitzin altres estratègies com pot ser la completació.

Els objectius (inicials) d'aprenentatge que es varen establir eren els següents:

1. Els alumnes haurien de copsar el concepte d'àrea i entendre la necessitat d'una unitatde mesura.

2. Els alumnes haurien d'entendre que mesurar una superfície és comparar-la amb unaunitat de mesura. Si es canvia la unitat de mesura, l'expressió del valor de l'àrea tambécanviarà. Els alumnes haurien d'entendre la importància d'indicar la unitat de mesura.

3. Els alumnes haurien de ser capaços de calcular àrees utilitzant estratègies decompletació i de descomposició de les figures. També haurien de ser capaçosd'identificar polígons equivalents per reforçar la independència de l'àrea respecte de laforma i perímetre.

En l'intent de buscar figures que permetessin una bona activitat, vam arribar al'estrella de vuit puntes inscrita en un quadrat, que es construeix unint els punts mitjos delscostats del quadrat amb els vèrtexs que estan sobre el costat

oposat

Una primera observació de la figura ja ens va descobrir moltes possibilitats de treball.Així, per exemple, vàrem veure que és la superposició de dues possibles maneres dedescompondre un quadrat, que donen molt joc en la comparació de superfícies.

Per tant, semblava una figura molt adequada per a la nostra activitat. Però, si s'observaamb un cert deteniment, s'hi descobreixen moltes altres possibilitats. És clarament una figurasobre la qual és possible fer-se moltes preguntes: sobre polígons i les seves propietats, sobretransformacions (moviments, homotècies i semblances), sobre mesures (d'angles, perímetres,àrees), sobre recomptes sistemàtics (quants triangles diferents hi ha?, quants quadrilàters?,quin és el polígon amb el nombre màxim de costats?). Es podria considerar com una situació-nucli, punt de partida de molta activitat matemàtica.

Situació-nucli:

L'estrella de vuit puntes inscrita en un quadrat, construïda unint els punts mitjos delscostats del quadrat amb els vèrtexs dels costats oposats.

Llistat (obert) de continguts:

El llistat de continguts es va elaborar a partir dels temes següents:

- Polígons i les seves propietats

- Àrees- Moviments i transformacions en el pla- Proporcions: Raó de semblança i raó d'àrees- Longituds- Recomptes

Es llisten indistintament continguts conceptuals i procedimentals

Polígons:1. Polígons còncaus i convexos.2. Classificació de triangles segons angles i segons costats (no hi ha triangles equilàters).3. Classificació de quadrilàters (no hi ha rectangles).4. Classificació de polígons segons el nombre de costats (no hi ha polígons regulars, tret del

quadrat).5. Suma dels angles d'un polígon. Polígons amb angles rectes.

Àrees:6. Càlcul d'àrees per comparació amb una unitat de superfície. Mètodes de completació i

descomposició.7. Utilització d'unitats grans i petites. Significació de les fraccions pròpies i impròpies.

Canvi de la unitat de mesura.

Moviments i transformacions:8. Simetria axial. Determinació de l'eix de simetria. Moviment invers.9. Translacions. Determinació del vector de translació. Moviment directe.10. Gir. Determinació del centre i de l'angle de gir.11. Triangles en posició de Tales12. Homotècies, raó d'homotècia. Determinació del centre i de la raó d'homotècia.13. Semblances com a composició d'un moviment i una homotècia. Determinació de la raó de

semblança..14. Raó d'àrees. Utilització de la raó d'àrees per calcular àrees per mètodes comparatius.

Longituds:15. Utilització del Teorema de Pitàgores i de la raó de semblança en el càlcul de longituds.

Recomptes:16. Estratègies de recompte.

2 Propostes de treball a partir de la situació nucli

Un cop definida la situació nucli, vam decidir elaborar tres propostes de treball,encara que la selecció de continguts anteriors és molt àmplia i permetria elaborar-ne algunesmés.

Una de les propostes aniria encaminada a facilitar-nos el disseny de l'activitat queinicialment ens havíem proposat. Un altre aniria al voltant dels moviments i lestransformacions en el pla, donat que formen part dels continguts del currículum comú del'àrea de matemàtiques i la tercera proposta aniria encaminada a encetar un petit treball derecerca que podria anar adreçat a alumnes especialment interessats en les matemàtiques.

Les tres propostes de treball varen sortir de manera natural, després de l'anàlisidetallada de la figura. La primera de les propostes va lligada al nostre objectiu iniciald'elaborar una activitat per treballar el concepte d'àrea. Prèviament a elaborar aquestaproposta, vàrem realitzar una avaluació inicial (annex 1) per detectar els coneixements queels alumnes tenien sobre:

- què és un polígon i classificació de polígons- càlcul d'àrees de polígons i, en general, de figures dibuixades sobre una quadrícula,

per comparació amb una unitat de mesura- càlcul d'àrees de triangles i paral·lelograms, prenent mides i aplicant fórmules

i a partir dels resultats obtinguts es van definir els objectius.

Pel que fa a la segona proposta de treball, ens vam adonar que l'estrella de vuit puntesinscrita en el quadrat és una figura simètrica, amb els mateixos eixos de simetria del quadrat,per tant s'hi poden trobar molts polígons que es corresponen per simetries o per composicióde simetries d'eixos concurrents, és a dir per girs. A més, donat que alguns dels polígons queconté tenen eixos de simetria (per exemple, triangles isòsceles), alguns moviments es podenconsiderar directes o inversos i això permet també identificar una translació i una simetriaamb lliscament.

1

2

3

Així, els triangles 1 i 2 es corresponen per una simetria (moviment invers) o per unatranslació (moviment directe), i el triangles 1 i 3 es corresponen per un gir de 90º i centre elcentre del quadrat (moviment directe) o per una simetria amb lliscament.

A part, també s'hi observen triangles en posició de Tales, polígons que es corresponenper homotècies de raó positiva i de raó negativa i polígons semblants però no homotètics. Pertant, semblava clar que la figura podia constituir el nucli d'una proposta de treball sobre elsmoviments i les transformacions en el pla.

La tercera proposta es va anar definint a partir de l'intent d'identificar polígons dintrela figura. De fet intentàvem trobar polígons diferents, de qualsevol nombre de costats, finsarribar al nombre màxim, sense tenir un objectiu massa clar del que s'estava buscant. Deseguida ens vàrem adonar de la gran quantitat d'angles rectes que hi ha, i vam intentar trobarpolígons amb angles rectes. Com es pot observar a les figures següents, vam localitzartriangles amb 1 angle recte, quadrilàters amb 1, 2 i 4 angles rectes, pentàgons amb 1, 2 i 3angles rectes, hexàgons amb 1, 2, 3 i 4 angles rectes, ...

α

α

α

α

α

Va ser a partir d'aquesta experimentació que vam elaborar una proposta de treball.

Proposta 1: Polígons i àrees.Nivell: 1r d'ESO

Selecció de continguts: Els relatius a polígons i àrees (1-7) del llistat anterior

Breu resum: Es mostrarà a l'alumnat diferents polígons que es poden identificar dintre de lafigura i les seves propietats geomètriques. Es pot practicar la classificació depolígons. L'alumnat deduirà, per mètodes comparatius, l'àrea d'alguns d'aquestspolígons agafant prèviament una unitat de superfície i identificarà polígonsequivalents. Un element motivador pot ser calcular l'àrea de l'estrella.

Característiques i objectius de la proposta: Es tracta d'una proposta de nivell bàsic, ambdos grans objectius:

- Mostrar a l'alumnat diferents tipus de polígons i les propietats que els caracteritzen.Utilitzar correctament el vocabulari associat.

- Donar significat al càlcul d'àrees i a la unitat de mesura. Practicar el càlcul d'àreesutilitzant les estratègies de descomposició i completació de les figures.

Donat que és una proposta de nivell bàsic, en el càlcul d'àrees no s'utilitzaran fórmulesni tampoc criteris de semblança. Seran suficients les justificacions a nivell gràfic.Es poden prendre com a unitat de superfície diferents polígons de la figura, com elquadrat exterior, el quadrat interior o un dels vuit triangles rectangles exteriors al'estrella. Si es pren com a unitat de mesura el quadrat exterior es treballarà ambfraccions pròpies i es reforçarà el concepte de fracció com a part d'una unitat.

Proposta 2: Moviments i transformacionsNivell: segon cicle d'ESO

Selecció de continguts: Els relatius a moviments i transformacions del llistat anterior (8-14)

Breu resum: Es mostra a l'alumnat que molts dels polígons que es poden identificar a lafigura, s'hi troben unes quantes vegades, en diferents posicions i també ampliats oreduïts. A partir d'aquí es poden treballar gràficament els moviments i lestransformacions en el pla.

Característiques i objectius de la proposta: Es una proposta que es pot treballar ambdiferents nivells d'aprofundiment, depenent de les diferents capacitats i/o interessosdels alumnes, i que té com a objectius:

- Identificar moviments i transformacions entre polígons- Determinar gràficament el vector de translació, el centre i l'angle de gir o l'eix de

simetria, segons el cas, així com la raó d'homotècia si és pertinent.- Presentar la semblança com la composició d'una homotècia i un moviment, amb el

propòsit de potenciar la percepció visual de les transformacions en el pla.

Els alumnes més avançats podrien treballar alguna composició de moviments isistematitzar alguns resultats. Així, per exemple, alguns alumnes podrien treballar ladescomposició d'un moviment directe en dues simetries.

Proposta 3: Polígons amb angles rectes.Nivell: BatxilleratRequisits matemàtics:

- Suma dels angles d'un polígon- Progressions aritmètiques

Breu resum: Es demana a l'alumnat que localitzin sobre la figura polígons amb angles rectes.És important que siguin sistemàtics i que anotin degudament els resultats. A partirdels resultats obtinguts amb aquesta pràctica, se'ls demana que abordin la qüestiósegüent: Quin és el màxim nombre d'angles rectes que pot tenir un polígon de ncostats?(FIELKER,D.:"Removing the Shackels of Euclid", Mathematics Teaching, 96:24-28, 1981)

Característiques i objectius de la proposta: Aquesta proposta es pot considerar un petittreball de recerca i està pensada per a alumnes especialment interessats en lesmatemàtiques. El treball sobre l'estrella de vuit puntes hauria de jugar un papermotivador i contextualitzador.

L'objectiu de la proposta és enfrontar l'alumnat a un estudi sistemàtic en què hauràd'analitzar resultats particulars, dissenyar taules de recollida de dades, generalitzar,identificar casos que no segueixen la regla general i utilitzar una notació simbòlica.

És evident que aquestes propostes no esgoten ni de bon tros tot el treball possible apartir de la figura, ni tan sols esgoten els continguts seleccionats. De la mateixa manera queconsiderem obert el llistat de continguts lligats a la situació-nucli, també pensem que elconjunt de propostes pot arribar a ser molt més ampli. Apuntem a continuació altres idees alvoltant dels continguts que no s'han treballat, que podrien servir per elaborar-ne de noves:

- Utilització del teorema de Pitàgores i de la raó de semblança entre polígonsper al càlcul de longituds:

Es pot calcular la longitud de qualsevol segment de la figura coneixent el costat delquadrat exterior?

- Suma dels angles d'un polígon:

És pot escriure qualsevol angle no recte en funció de α ?

α

- Utilització de la raó d'àrees per calcular àrees per mètodes comparatius.

El quadrat amb l'estrella de vuit puntes es pot descompondre en 25 polígons, d'entreels quals només n'hi ha 5 de diferents? Quant val l'àrea de cadascun d'aquests polígons?

- Recomptes sistemàtics:

fig. 1 fig. 2 fig. 3

Quants triangles hi ha a la figura 1? I a la figura 2, n'hi ha més o menys?I a la figura 3, que és la superposició de les dues anteriors?

3 Disseny d'activitats concretes

A partir de les propostes elaborades a la fase anterior vam passar al disseny de lesactivitats concretes. El disseny d'una d'elles, la corresponent a la proposta "Polígons i àrees",ha estat l'element motivador de tot aquest treball. Disposar de la segona proposta va ser útilper dissenyar una activitat per treballar-la durant el curs "Geometria, estadística i atzar", quevaig impartir en el marc de la Universitat d'Estiu de la UAB, amb la col·laboració deFrancesc Borrell.

Activitat 1: Polígons i àrees

Per dissenyar l'activitat ens vam ajustar, per una banda, a les característiques iobjectius de la proposta que prèviament havíem elaborat i, per altra banda, vam tenir encompte els resultats de l'activitat d'avaluació inicial que havien realitzat els alumnes.

Donat que l'objectiu fonamental que ens proposàvem era treballar al voltant delconcepte d'àrea, ens vàrem fixar de manera especial en les respostes obtingudes a lesqüestions 2 i 6 de l'avaluació inicial

2. a) Les figures següents, són totes polígons? Escriu a sota de cadascuna de les figures si és unpolígon o no ho és. Si alguna figura no ho és, explica per què?

•• • • • • •• • •• • •

• • •• • •

• • • • • •• • •• • •

• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• •• • •

• • •• • •• • •

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )

b) Quina és l'àrea de cadascuna de les figures anteriors? Cadascun dels quadrats de la quadrícula té àrea 1

Àrea fig. (1) : Àrea fig. (2) :Àrea fig. (3) : Àrea fig. (4) :Àrea fig. (5) :

6. Els quadrats de la figura tenen àrea 1. Quant val l'àrea de la figura pintada al seu interior?

Els resultats dels 19 alumnes de 1r d'ESO que varen realitzar la prova van ser elssegüents:

Pregunta 2: - 10 alumnes diuen que no ho saben fer o que no se'n recorden i no fan res- 3 alumnes donen respostes que no tenen res a veure amb l'àrea

- 6 alumnes responen correctament o amb algun error(4 alumnes fan 2 errors, 1 alumne 1 error, 1 alumne cap error)

Dels tres alumnes que donen respostes al marge del concepte d'àrea:

- una noia, encara que malament, calcula perímetres- un noi eleva al quadrat el número de la figura- un noi probablement barreja els apartats a) i b) i dóna alguns noms (incorrectes) ialguns angles

Per altra banda, la figura que provoca més errors és la 4 (5 alumnes li assignen unaàrea de 1,5 o bé 1,75 quadrets). Les figures 1 i 3 provoquen dos errors

Pregunta 6: - 7 alumnes diuen que no ho saben fer i no fan res.- 6 alumnes no se'n surten (donen valors que no tenen res a veure amb l'àrea,

alguns donen valors més grans que 1).- 6 alumnes ho fan tot bé o fan algun error.

Totes les figures provoquen el mateix nombre d'errors (5, 4, 4)

Els resultats de les preguntes eren similars, per a cadascuna d'elles només sis alumneseren capaços de calcular àrees per mètodes comparatius. Per altra banda hi havia forçacoincidència amb els resultats obtinguts per un mateix alumne en ambdues preguntes:

Pregunta 2No M B

Preg.

6

No 6 1 7

M 3 2 1 6B 1 5 6

10 3 6 19

A la vista dels resultats semblava clar que calia treballar el concepte d'àrea i per altrabanda no semblava convenient treballar el canvi d'unitats fins que els alumnes haguessinadquirit una certa competència amb els mètodes comparatius (descomposició de figures icompletació). Per altra banda vam observar que els alumnes tenien tendència a utilitzardecimals en comptes de fraccions. Donat que els alumnes havien treballat feia poc el tema defraccions vam pensar que seria bo utilitzar una unitat d'àrea gran que permetés consolidar elconcepte de fracció com a part d'una unitat.

A partir de totes aquestes consideracions es va dissenyar l'activitat que exposem acontinuació.

Polígons i àrees

1. Fixa't amb l'estrella que tens al marge superior del full. Es construeix unint els puntsmitjos del costat d'un quadrat amb els vèrtexs que estan sobre el costat oposat. Fes-neuna d'igual a partir del quadrat que tens dibuixat.

2. Les dues primeres figures que tens a continuació, superposades donen l'estrella. Percomprovar-ho, només cal que sobre una d'elles dibuixis l'altra.Suposa que el quadrat gran té àrea 1. Quant val l'àrea del quadrat del mig? Explica comho has deduït.

( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

3. A partir de la figura (1), i sense dibuixar cap nova línia, tens dibuixats tres polígons.Digues de quins polígons es tracta i calcula les seves àrees. Què observes?

4. Com són els angles d'aquests polígons? (aguts?, rectes?, obtusos?)

5. Observa el polígon que tens a la figura. Quants costats té?

- Com s'anomena, tenint en compte el nombre de costats?- Com són els seus angles? Té algun angle que sigui més gran que un angle pla?- Com s'anomenen els polígons que tenen angles més grans que un de pla?

Sense afegir cap més línia, assenyala a la mateixa figura un polígon diferent que tingui lamateixa àrea.

6. Sense afegir cap línia nova, busca tots els polígons diferents que tinguin l'àrea igual a lesparts de l'àrea del quadrat gran.

- Quants n'has trobat de convexos? I de còncaus?- Tots tenen el mateix nombre de costats?

7. Recorda que l'àrea del quadrat gran val 1. Quan val l'àrea del triangle assenyalat a lafigura?

Quant val l'àrea d'aquesta estrella de vuit puntes?

8. Les dues primeres figures que tens a continuació, superposades donen l'estrella. Percomprovar-ho, només cal que sobre una d'elles dibuixis l'altra.

(1 ) (2 ) (3 )

Com són les àrees dels triangles assenyalats? Per què?

Recorda que el quadrat gran té àrea 1. Quant valen les àrees dels triangles assenyalats?Explica com ho has deduït.

9. Quant val l'àrea dels quadrilàters que tens assenyalats dintre l'estrella? Com ho hasdeduït?Repassa les àrees que has calculat fins ara.

10. L'estrella de 8 puntes, és un polígon? Quants costats té? És còncau o convex?Assenyala, sense afegir cap més línia, un polígon que tingui la mateixa àrea que l'estrella.

Pots dibuixar, sense afegir cap més línia, un polígon que tingui més costats que l'estrella?

Activitat 2: Moviments i transformacions.

L'activitat que presentem es va experimentar en el marc del curs "Geometria,estadística i atzar", de la Universitat d'Estiu de la UAB (juliol 1998). Els assistents al curseren majoritàriament professors que impartien matemàtiques a l'ESO, però que eren d'altresespecialitats.

L'activitat es va dissenyar a partir de la proposta de treball que havíem elaboratprèviament, ja que s'ajustava perfectament a les necessitats del curs. Es va proposar com apràctica addicional i també com a resum.

Els alumnes haurien treballat els moviments en el pla i els haurien reduït a lacomposició d'una, dues o tres simetries; també haurien treballat les homotècies i lessemblances. A partir de la proposta de treball que havíem elaborat vam poder dissenyarfàcilment una activitat senzilla per consolidar els coneixements adquirits, que servís com acloenda del tema però que fos oberta en el sentit que suggerís idees per tal que els mateixosalumnes la poguessin ampliar si ho creien convenient

Moviments i transformacions a l'estrella de vuit

puntesA la figura tens representada una estrella de vuit puntes inscrita dins d'un quadrat. En

aquesta figura s'hi poden identificar molts polígons diferents, alguns dels quals els podemveure repetits moltes vegades, en diferents posicions i també ampliats o reduïts. Acontinuació es mostren alguns casos però de ben segur que en pots trobar molts més

1. A la figura hi ha quatre triangles isòsceles iguals.

(2) (3)

(4)(1)

a) Hi ha algun moviment directe (translació o gir) que transformi el triangle 1 en cadascundels altres tres?Si es tracta d'una translació, dibuixa a la figura el vector de translació corresponent. Sies tracta d'un gir, determina el centre i l'angle de gir.

b) Hi ha algun moviment invers (simetria axial o simetria amb lliscament) que transformiel triangle 1 en cadascun dels altres tres?En el cas que els triangles siguin simètrics, dibuixa el corresponent eix de simetria. Sies tracta d'una simetria amb lliscament, explica la descomposició d'aquest moviment

c) De quins triangles és simètric el triangle 4? Dibuixa els corresponents eixos desimetria.

2. Observa el triangle 5. És homotètic a alguns dels triangles petits i semblant als

altres

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

a) Quins triangles són homotètics al triangle 5? Localitza el centre de la homotècia i dónala raó d'homotècia corresponent.

b) Quins triangles són semblants, però no homotètics, al triangle 5? Descriuaquestes semblances com la composició d'un moviment amb una homotècia. Hi hadiverses possibilitats, només cal que en descriguis una.

3. A la figura hi ha quatres triangles rectangles, i cada parella són homotètics.

1

2

3

4

a) Localitza per a cada parella de triangles el centre i la raó d'homotècia. Els centresrepresenteu-los a la figura. Potser algun centre us quedarà fora del quadrat.Les raons d'homotècia les pots anotar en la taula següent

r t1 t2 t3 t4t1 2t2t3t4

La cel·la que teniu plena indica la raó d'homotècia que transforma el triangle t1 (fila) enel t2 (columna). Omple les altres seguint el mateix ordre.

4. A les figures següents teniu representats alguns polígons

(1) (2) (3)

(a)(b)

(c)

a) Els quadrilàters i els triangles de la figura 1 són homotètics. Determineu el centred'homotècia i la raó

b) Els quadrilàters de la figura 2 són semblants. Explica clarament per què i dóna la raó desemblança.

c) A la figura 3 hi ha representats tres pentàgons. Explica per a cada parella el movimentque transforma un en l'altre. Si es tracta d'un gir, localitza el centre i si és una simetriaaxial, dibuixa l'eix

5. Estudia altres transformacions que localitzis dins de l'estrella de vuit puntes. Utilitza elsgràfics que tens a continuació per representar-les

En aquest apartat s'han mostrat dues activitats dissenyades a partir de dues de lespropostes elaborades a partir de la situació nucli. El propòsit es mostrar-les com a exemple iseria bo que, en llegir-les, altres professors hi veiessin possibles modificacions, hi trobessin afaltar alguns aspectes, les trobessin o massa fàcils, o massa denses, o massa llargues, ... Aixòconfirmaria el fet que la situació nucli és prou àmplia i les propostes prou obertes per poder-se adaptar a les necessitats concretes de cada situació particular.

Per altra banda, a partir d'una mateixa proposta es podrien dissenyar activitatsalternatives. Així, per exemple, a partir de la proposta 2 (moviments i transformacions), espodria dissenyar una activitat per treballar amb més aprofundiment les semblances i elscriteris de semblança de triangles.

4 Experimentació i valoració del material elaborat

En els apartats anteriors s'ha explicat com, a partir de la necessitat de dissenyar unaactivitat concreta per a un grup classe, es va identificar una situació-nucli i s'ha mostrat elmaterial elaborat en tot el procés. Part d'aquest material s'ha experimentat al llarg del curs 97-98, i a continuació es destaquen algunes característiques rellevants.

a) La situació-nucli, amb el llistat (obert) de continguts associat permet fer propostes detreball i controlar el nivell de dificultat.

Així, en el nostre cas, el llistat de continguts que vàrem associar a l'estrella de vuitpuntes, va suggerir de manera natural una proposta de treball al voltant delsmoviments. Molt probablement aquesta possibilitat ens hauria passat per alt sihaguéssim centrat l'atenció només en el tema de les àrees, que era la nostra necessitatimmediata. En aquest sentit, el material és rendible ja que queda obert a utilitzacionsposteriors.

Quant a elaborar una proposta concreta, el llistat de continguts és molt útil perdelimitar-ne el seu abast i el nivell de dificultat.

Així, a partir dels continguts associats, es veu que l'estrella és una figura que permetcalcular àrees senzilles per mètodes comparatius, que es poden utilitzar criteris desemblança, que es poden calcular longituds (Pitàgores i raó de semblança) i aplicarfórmules. Aquesta informació possibilita que es puguin plantejar propostes a diferentsnivells, o bé que una mateixa proposta es pugui reprendre en el moment que estinguin més coneixements matemàtics. En el nostre cas ens va servir per adonar-nosque no totes les figures presenten el mateix nivell de dificultat i ens va permetreseleccionar alguns polígons dintre de l'estrella que fossin adequats per mostraralgunes estratègies en el càlcul d'àrees

Quant als continguts relatius a moviments i transformacions en el pla, s'observa quepràcticament cobreixen tot el tema. Això ens va suggerir una proposta de treball queservís de revisió global. És evident que aquesta és una opció, i que es podrien fermoltes altres propostes a partir dels continguts llistats.

b) Les propostes de treball són concrecions parcials de la situació-nucli. Pensem que ésel material més profitós perquè suggereixen clarament un tipus d'activitat i els

objectius que es pretenen assolir sense arribar al detall de l'activitat concreta. Aquesttipus de material és molt adequat per compartir amb altres professors o bé perutilitzar-lo en diferents situacions, perquè no queda lligat a les particularitats d'ungrup d'alumnes determinat. Tots els professors tenim l'experiència que algunesactivitats que han estat profitoses per a un grup d'alumnes no ho han estat tant per aun altre. En canvi, una proposta de treball sempre es podrà adequar a les necessitatsdel moment.

Un altre avantatge és que la proposta de treball pot continuar essent vàlida encara quel'activitat concreta que s'ha dissenyat per als alumnes a partir d'ella presenti algunesdeficiències. Així, per exemple, en l'activitat "Moviments i transformacions", el fetque d'entrada es treballés amb una figura simètrica (triangle isòsceles), va crearalgunes dificultats en alguns alumnes a l'hora d'identificar moviments, ja que tantpodien ser directes (girs, translacions) com inversos (simetries, simetries amblliscament). Probablement aquest tipus de preguntes s'haurien d'haver plantejat mésendavant. Per tant, el que caldria fer és millorar el disseny de l'activitat sensenecessitat de modificar la proposta.

c) Les activitats són el material dissenyat per als alumnes. D'aquest material en faremdos tipus de valoració, referents a la seva elaboració i a la utilització per part delsalumnes.

Parlarem primer de l'activitat "Polígons i àrees". A partir del coneixement que teníemde la figura (situació-nucli i llistat de continguts associat) i de la proposta queprèviament havíem elaborat va ser relativament senzill fer el guió de l'activitat.

Per una banda, teníem clars els continguts que es podien treballar, i per tant, tambésabíem que alguns s'escapaven del coneixement dels alumnes. Per altra banda, a laproposta de treball, havíem definit les característiques de l'activitat i els objectius quepreteníem assolir. Tot aquest coneixement previ va fer possible que l'activitat resultésmés coherent i probablement ens va ajudar a evitar les típiques relliscades que tots elsprofessors fem més sovint del que voldríem quan, ficats dintre del problema,plantegem qüestions que no estan a l'abast dels alumnes.

Les pautes que ens vam marcar són les següents:

1. Calia que els alumnes dibuixessin l'estrella per entendre com estava definida.

2. Treballaríem amb una trama més senzilla i s'intentaria que els alumnes deduïssinper mètodes gràfics l'àrea del quadrat interior a l'estrella respecte del quadratexterior (1/5)

Treballaríem àrees que es poguessin deduir a partir de l'àrea d'aquest quadrat icalcularíem l'àrea de l'estrella.

3. Mostraríem una altra trama dintre de l'estrella, i demanaríem als alumnes quededuïssin l'àrea dels triangles respecte del quadrat exterior (1/8).

Treballaríem àrees que es poguessin deduir a partir de l'àrea d'aquests triangles.

4. Treballaríem àrees en què calgués utilitzar les dues "unitats de mesura" anteriors.

5. Treballaríem, durant tota l'activitat, el vocabulari associat als polígons i els seuselements (nom segons el nombre de costats, tipus d'angle, còncaus o convexos, ...)

L'activitat va resultar adequada per als alumnes i en destaquem alguns aspectes:

- És una bona activitat per treballar en petits grups.

- El fet que a les dues primeres preguntes es demanés als alumnes que dibuixessinl'estrella va propiciar que fessin les seves deduccions a partir de raonaments gràfics.Així, dedueixen sense massa dificultats que el quadrat interior és una cinquena partdel quadrat total perquè dos "dels trossos junts donen un quadrat i, en total, n'hi ha5". Potser cal remarcar que, mentre alguns alumnes poden raonar sobre els gràfics,altres necessiten fer tots els dibuixos.

- Tot i ser una activitat bàsica, permet mostrar diferents maneres de treballar delsalumnes. Així, per exemple, de la pregunta 2 a la 6 s'utilitza de manera natural elquadrat interior com a unitat de mesura. A la pregunta 7 es fa deduir als alumnesl'àrea del triangle que és una quarta part d'aquest quadrat i, a continuació, dins de lamateixa pregunta, l'àrea de l'estrella. Alguns alumnes no fan servir l'àrea d'aquesttriangle i continuen utilitzant el quadrat interior com a unitat de mesura: "Els trossosque no són de l'estrella equivalen a dos quadrats, per tant l'estrella fa tres quadrats, iper tant 3/5"

(p reg . 7 ) (p reg . 7 )

- A la pregunta 8 observem que l'activitat ha proporcionat recursos a l'hora d'avaluaràrees. Així, mentre alguns alumnes no tenen cap dificultat de veure que els dostriangles tenen la mateixa àrea perquè són la meitat d'un mateix rombe, altres alumnesnecessiten dividir el quadrat en 16 parts iguals i veure que els dos triangles estan

compostos per dues d'aquestes parts (mètode de descomposició)

(p.8) (p.9)(p.8)

- A la pregunta 9, tots els alumnes utilitzen el mètode de completació, però n'hi haque intenten veure diferents possibilitats. La majoria dóna el resultat 1/2 - 1/8, peròalguns alumnes veuen que tot el quadrat està format per el quadrilàter i 5 trianglesisòsceles d'àrea 1/8 (3 d'obtusangles i 2 d'acutangles), i així fan 1- 5· 1/8

- L'última pregunta tenia la funció d'obrir camins per tal que els alumnes més avançatstinguessin algun punt de sortida. És curiós observar com alguns alumnes responen ala pregunta i prou, mentre d'altres intueixen possibles vies de treball. Així perexemple, quan és demana localitzar algun polígon amb la mateixa àrea que l'estrella,o amb més costats que l'estrella, alguns alumnes busquen simetries o algun mètodeque puguin aplicar reiteradament. Això dóna l'oportunitat al professor de potenciaraquesta curiositat i, en algunes ocasions, de proposar algun treball més seriós.

- Un dels objectius parcials que ens havíem proposat era potenciar la utilització de lesfraccions i donar significat a les fraccions pròpies com a parts de la unitat. Aquestobjectiu no es va assolir plenament, ja que els alumnes que havíem detectat enl'avaluació inicial que utilitzaven amb desimboltura els decimals van continuarutilitzant-los durant tota l'activitat. Cal destacar que donaven els valors exactes, ambtotes les xifres decimals, i que no veien cap avantatge a utilitzar les fraccions, cosaque sembla indicar que, per exemple, no veuen més significatiu 1/5 que 0,2.

L'activitat es va treballar prèviament a un dossier on es sistematitzaven els mètodes dedescomposició i completació i s'arribava a les fórmules de les àrees d'alguns polígons,i, per tant, tenia bàsicament la funció de motivar i d'introduir el tema. Donat quel'avaluació final es va fer en acabar el tema, és difícil saber en quin grau l'activitat vaproduir aprenentatge en els alumnes. El que sí podem assegurar és que va servir perdesbloquejar els alumnes en el sentit que els va proporcionar alguns recursos per"saber què es pot fer" per calcular àrees.

Quant a l'activitat "Moviments i transformacions a l'estrella de vuit puntes", voldríemdestacar en primer lloc que la vam elaborar i experimentar pel fet de disposar de laproposta corresponent, i per tant, voldríem deixar constància de la utilitat d'aquestmaterial.

És a dir, en el procés d'identificar una situació-nucli a partir de la necessitat dedissenyar una activitat concreta, va sorgir de manera natural una proposta al voltantdels moviments i les transformacions en el pla, que vam creure adequada per al segoncicle de l'ESO. Quan vam elaborar la proposta no li vam veure cap utilitzacióimmediata, donat que no impartíem en aquells moments cap curs d'aquest nivell. Vaser més endavant, en un context completament diferent com és la preparació d'un cursde formació per a professors en el marc de la Universitat d'estiu de la UAB, que va serútil per a dissenyar una activitat

Així, a partir de la proposta, de les característiques del curs, del grup-classe i delsobjectius que volíem assolir (ja s'ha comentat que preteníem dissenyar una activitatque servís com a resum), vam elaborar el guió següent:

1. Treballaríem amb el triangle isòsceles de la figura (1) perquè és l'únic polígon quepermet identificar els quatre tipus de moviments (translacions, girs, simetries isimetries amb lliscament)

( 1) ( 2)

2. Treballaríem amb el mateix triangle isòsceles i un "d'ampliat" per identificarhomotècies i semblances.

3. Treballaríem amb els triangles rectangles assenyalats a la figura perquè permetentrobar les raons d'homotècia per diferents mètodes gràfics (no cal el teorema dePitàgores): localitzant el centre d'homotècia i comparant les distàncies de dospunts homòlegs al centre o bé comparant les longituds de segments homòlegs. Enalgun cas calen mètodes indirectes (comparar dos triangles homotètics amb untercer triangle homotètic a tots dos)

1

2

3

4

4. Mostraríem altres moviments i transformacions i deixaríem l'activitat oberta a méstreball addicional.

L'activitat va resultar adequada per a la majoria d'alumnes, perquè permet una bonasíntesi del tema. No obstant això, es van detectar algunes deficiències, que tornem a

comentar, encara que ja s'ha fet anteriorment. El fet que les primeres figures que esvan utilitzar presentessin simetries i permetessin interpretar alguns moviments comdirectes o inversos va crear dificultats a alguns alumnes.

2.3 b) Identificació d'una situació nucli a partir d'un problema concret.Propostes de treball i activitats .

Normalment, quan un professor proposa un problema, ho fa amb una intenciódeterminada: vol que els alumnes practiquin una certa estratègia, vol que treballin un certconcepte, o bé, pretén crear el context adequat per introduir nous continguts. Laintencionalitat amb què es plantegen els problemes també la trobem, més o menysexplícitament, en els publicats en llibres de text, en llibres de problemes o en llibres dematemàtica recreativa. És per això que, sovint, se centra l'atenció en alguns aspectes mentrese'n descuiden d'altres.

Un altre motiu d'aquest tractament parcial pot ser degut, a part de la intencionalitat delproblema, al nivell matemàtic necessari per abordar-lo. De vegades, alguns aspectes d'unproblema es poden treballar amb matemàtiques elementals mentre que d'altres requereixenmés coneixements o mètodes més sofisticats.

Per tant, la reflexió sobre un problema concret juntament amb la capacitat deformular-se noves preguntes i de canviar de punt de vista, pot convertir-lo en una situació-nucli a partir de la qual es podran plantejar nous problemes.

En el punt 2.2 es va anar exemplificant la metodologia emprada en aquest treball apartir d'un problema concret: "Es pot descompondre el número 1000 com a suma d'enterspositius consecutius?" Tot el procés descrit (parcialment) a partir d'aquest problema quedaclarament emmarcat en aquest apartat.

El treball realitzat en aquest mateix sentit, i que aquí s'exposa, és al voltant delproblema "La cabra lligada", proposat en el llibre Pensar matemáticamente, Mason et al.(1982). És un problema especialment interessant perquè permet tractar diferents aspectesmatemàtics (circumferències, àrees de polígons i àrees tancades per corbes, elements delspolígons regulars, successions i límits de successions, funcions, ...) i a més permet diferentsgraus de formalització. A part, també posa de manifest la necessitat "d'aprendre mésmatemàtiques" per poder resoldre algunes qüestions, o per passar de valors aproximats avalors exactes. Crec que aquest aspecte és rellevant, perquè pot fer comprendre als alumnesl'interès d'avançar en els seus coneixements.

L'enunciat del problema és el següent:

Una cabra està lligada per una corda de sis metres a una cantonada exterior d'unmagatzem rectangular de 4x5 m, que està en un prat. En quina àrea pot pasturar la cabra?

Per exposar el treball, se segueix el mateix esquema que en el cas anterior.

1 Identificació de la situació nucli i llistat de continguts2 Propostes de treball a partir de la situació nucli3 Disseny d'activitats concretes

1 Identificació de la situació nucli i llistat de continguts

Si representem la situació en un gràfic, observem que, de fet, és uncas particular d'una situació més general, en la que intervenen la forma i les mides delmagatzem, la llargada de la corda i el punt on està lligada. Altres casos particulars podrien serels que s'exemplifiquen en els gràfics següents:

la corda lligada en un altre p

el mag atzem

el magatzem circular

Prenem la situació general com la situació-nucli, ja que permet formular-se moltespreguntes, com ara,

- Com augmenta l'àrea en variar la llargada de la corda? Què passa quan la corda ésmolt llarga?

- Si canviem el punt on està lligada, canvia l'àrea de pastura?- Com afecta la forma del magatzem?

que, de fet, signifiquen plantejar-se que passaria si es canviessin les condicions delproblema. Analitzar aquests canvis en diferents casos concrets es una bona manerad'aproximar-se al procés de generalització.

Situació-nucli: Una cabra lligada, per una corda, a un punt exterior d'un magatzem.

Llistat (obert) de continguts:

El llistat de continguts es va elaborar analitzant el tipus de problemes que sorgien encanviar cadascuna de les condicions:

Llargada de la corda:

1. Cercle. Àrea del cercle. Àrea d'un quadrant de cercle.2. Equacions de segon grau (càlcul de la llargada de la corda per aconseguir una àrea de

pastura determinada)3. Àrea tancada per corbes. Mètodes aproximatius. Dibuixos a escala.4. L'equació de la circumferència.5. Càlcul d'àrees per integració.

Punt on està lligada la corda:

6. Concepte de funció. Taula de valors i representació gràfica de funcions.7. Variació de les funcions. Càlcul de valors extrems8. La funció quadràtica.9. Funcions definides a trossos.

Forma i dimensions del magatzem:

10. Angles interiors i exteriors d'un polígon regular.11. Sectors circulars. Àrea d'un sector circular12. Successions de nombres. Variació d'una successió.13. Concepte de límit de successions.

2 Propostes de treball a partir de la situació nucli

Els grups de continguts anteriors suggereixen, de manera bastant evident, el tipus detreball que es pot realitzar. També queda molt clar que els coneixements matemàtics delsalumnes determinaran el nivell de formalització del problema. Així, per exemple, en elprimer grup de continguts (llargada de la corda), mentre els del punt 1 són de matemàticaelemental i estan a l'abast dels alumnes del primer cicle d'ESO, els dels punts 2 i 3 s'hauriende treballar durant el segon cicle i els corresponents als punts 4 i 5 durant el Batxillerat.

A continuació es presenten quatre propostes de treball, tres lligades al primer grup decontinguts, i una per treballar algunes qüestions dels polígons regulars i per presentar lacircumferència com el "límit d'un polígon regular amb molts costats".

Proposta 1 (llargada de la corda)Nivell: Primer cicle d'ESO

Selecció de continguts: Els 1 i 3 del llistat anterior.

Breu resum: Es planteja als alumnes el problema de la cabra, amb l'enunciat que s'ha donatanteriorment, per tal que dedueixin que l'àrea de pastura és la suma de diferentsquadrants de circumferència. És convenient que facin un dibuix, ja que els ajudarà acomprendre el problema. Se'ls pot demanar quina hauria de ser la llargada mínima dela corda per tal que la cabra pogués arribar a la cantonada oposada del magatzem, iquina seria l'àrea de pastura en aquest cas. A partir d'aquí, podrien investigargràficament que passaria si la corda fos més llarga, podrien descriure l'àrea de pasturai avaluar-la de diferents maneres. Es demanarà als alumnes que avaluïn l'àrea de lazona accessible per les dues bandes del magatzem, dibuixant-la sobre una quadrícula icomptant quadrets. Prèviament seria interessant acotar el seu valor entre les àreescalculables amb fórmules (observi's en el gràfic el quadrat exterior i el sector circularinterior), per tal que puguin controlar l'error d'aproximació.

Característiques i objectius de la proposta: Es tracta d'una proposta bàsica, però moltconceptual, ja que es treballa la definició de circumferència com a lloc geomètric itambé el càlcul d'àrees per comparació amb una unitat de mesura. La proposta esplanteja els objectius següents:

- Treballar la circumferència i la seva àrea.- Mostrar als alumnes la dificultat d'avaluar àrees tancades per corbes.- Calcular àrees per mètodes aproximatius directes (dibuixant el recinte a escala sobre

una quadrícula) o indirectes (acotant el valor de l'àrea entre valors coneguts)- Mostrar als alumnes la importància de controlar l'error d'aproximació

Calcular àrees per mètodes aproximatius és molt interessant per als alumnes, ja quecontribueix a reforçar el concepte i proporciona una bona experiència que podranaprofitar quan s'iniciïn en el càlcul integral.

Proposta 2 (llargada de la corda)Nivell: Segon cicle d'ESO.

Selecció de continguts: Els 1, 2 i 3 del llistat anterior.

Breu resum: Es planteja als alumnes el problema de la cabra, amb l'enunciat que s'ha donatanteriorment, per tal que calculin l'àrea de pastura, que és la suma de diferentsquadrants de circumferència. És convenient que facin un dibuix, ja que els ajudarà a

comprendre el problema. A partir d'aquest resultat (aprox. 89 m2), es demana alsalumnes quina hauria de ser la llargada de la corda per tal que la cabra disposés de,

per exemple, 100 m2 de pastura (s'ha d'anar amb compte que la corda no superi lameitat del perímetre del magatzem). També se'ls pot demanar quina hauria de ser lallargada mínima de la corda per tal que la cabra pogués arribar a la cantonada oposadadel magatzem, i quina seria l'àrea de pastura en aquest cas. On s'hauria de col·locaruna tanca de 6 m, com la que es mostra al dibuix, per tal de separar l'àrea de pasturaen dues parts iguals?

Característiques i objectius de la proposta: Aquesta és una proposta de caràcter algebraic,amb els objectius següents:

- Treballar la circumferència i la seva àrea- Plantejar i resoldre problemes d'equacions de segon grau i sistemes d'equacions

lineals.

Els alumnes hauran calculat l'àrea de pastura a partir de la llargada de la corda abansde resoldre el problema invers. Això els pot ajudar a plantejar l'equació de segon graucorresponent. L'equació que cal plantejar no és senzilla, donat que s'hauran decalcular els quadrats d'algunes diferències i, a més, alguns coeficients seranirracionals. Evidentment, aquest problema invers també podria resoldre's pertempteig, però no és l'objectiu d'aquesta proposta.

Quant a repartir l'àrea en dues parts iguals, és un problema additiu i caldrà plantejarun sistema d'equacions lineals; potser l'aspecte més interessant és que per donar laresposta s'haurà de relacionar l'àrea d'un sector circular amb els graus d'amplitud.

Proposta 3 (llargada de la corda)Nivell: Batxillerat

Requisits matemàtics: - Equació de la circumferència- Càlcul d'àrees per integració (canvi de variables)

Selecció de continguts: Els 1, 3, 4 i 5 del llistat anterior

Breu resum: Es planteja als alumnes el problema de la cabra, amb l'enunciat que s'ha donatanteriorment, per tal que calculin l'àrea de pastura. És convenient que facin un dibuix,ja que els ajudarà a comprendre el problema. A partir d'aquí, podrien investigar quepassaria si la corda fos més llarga. Els alumnes descobriran que quan la corda és mésllarga que la meitat del perímetre del magatzem, la cabra pot arribar a tota una zonaper les dues bandes. Es demanarà als alumnes que avaluïn l'àrea d'aquesta zona,dibuixant-la sobre una quadrícula i comptant quadrets. Prèviament seria interessantacotar el seu valor entre àrees calculables amb fórmules, per tal que puguin controlarl'error d'aproximació (la zona queda compresa entre un quadrat i un quadrant decircumferència. Vegi's el gràfic de la Proposta 1). Per calcular el valor exacte de l'àreade pastura, hauran d'escollir una referència, escriure les equacions de duescircumferències, buscar la seva intersecció i calcular algunes integrals.

Característiques i objectius de la proposta: Aquesta proposta té dos grups d'objectius bendiferenciats.

Per una banda, objectius d'utilització i consolidació de coneixements matemàtics:

- Reforçar el concepte d'àrea. Calcular àrees per mètodes aproximatius.- Utilitzar coordenades per a poder expressar analíticament un recinte (equacions de

rectes i de circumferències, punts d'intersecció)- Calcular àrees per integració.

Però també, objectius de reflexió al voltant de l'activitat matemàtica

- Mostrar als alumnes com un problema de matemàtica elemental (calcular àrees dequadrants de circumferència), pot convertir-se, després de modificar algunescondicions inicials, en un problema molt més complicat de resoldre, que requereiximolts més coneixements matemàtics (utilització de coordenades, expressió del'equació d'una circumferència, càlcul de primitives no elementals).

- Comparar diferents mètodes a l'hora de calcular àrees tancades per corbes. Obtencióde valors aproximats i control de l'error (dibuix sobre una quadrícula prèviaacotació entre àrees conegudes) i obtenció de valors exactes (càlcul integral)

Aquesta pot ser una bona proposta per a alumnes de batxillerat, perquè dóna laoportunitat d'emprar alguns procediments no elementals (expressió analítica de lacircumferència, càlcul d'àrees per integració) en la resolució d'un problema que encerta manera es podria considerar "real". El fet d'haver de realitzar tot el procés, tantper calcular un valor aproximat (dibuixar el recinte a escala sobre una quadrícula,comptar quadrets, ....) com per calcular el valors exacte (prendre un sistema dereferència, escriure les equacions que delimiten el recinte, ...) pot servir perquè elsalumnes vegin els avantatges i els inconvenients dels dos mètodes i donin méssignificat al càlcul d'àrees mitjançant el càlcul de primitives.

Proposta 4 (forma del magatzem)Nivell: 4rt d'ESO / Batxillerat

Selecció de continguts: Els 10, 11, 12, (13) del llistat anterior. Els continguts corresponentsal punt 13 només en el cas que el nivell sigui Batxillerat, per la dificultat en larepresentació simbòlica.

Breu resum: Es proposa el problema de la cabra en el cas d'un magatzem quadrat, lallargada de la corda exactament igual a la meitat del seu perímetre (la mínima per talque la cabra arribi al punt oposat d'on està lligada), i amb la corda lligada en unacantonada. A partir d'aquí és demana que els alumnes investiguin que passaria si,amb les mateixes condicions per a la corda, el magatzem tingués altres formes, perexemple d'hexàgon regular, d'octògon regular, ...Els alumnes hauran de calcularangles interiors i exteriors de polígons regulars i àrees de sectors circulars i haurand'organitzar els resultats obtinguts en taules de recollida de dades per tal de poderobservar com evolucionen els resultats. Els alumnes observaran que les àrees depastura van disminuint a mesura que augmenta el nombre de costats, però que a lallarga varien molt poc. A partir d'aquest procés podran avaluar, més o menysformalment, quina seria l'àrea de pastura en el cas que el magatzem fos circular.

Característiques i objectius de la proposta: Aquesta proposta pot treballar-se a diferentsnivells, depenent dels coneixements dels alumnes, i es planteja amb els objectiussegüents:

- Calcular els angles interiors i exteriors dels polígons regulars i calcular àrees desectors circulars.

- Organitzar una taula de recollida de dades i mostrar la utilitat de disposar d'unconjunt de resultats particulars ben seqüenciats per poder copsar un model.

- Mostrar la circumferència com el "límit d'una successió de polígons regulars quans'augmenta el nombre de costats"

És evident que aquesta proposta es pot presentar amb diferents nivells deformalització. Per a alumnes amb menys coneixements matemàtics o amb dificultatsper el llenguatge simbòlic resultarà més senzill treballar amb un perímetre concret.Això els facilitarà calcular i "entendre" els resultats del problema.

Per altra banda, alguns alumnes poden tenir dificultats si es barregen polígons d'unnombre senar de costats amb polígons d'un nombre parell de costats, ja que a l'horad'avaluar l'àrea de pastura sorgeixen petites diferències (en els polígons amb unnombre senar de costats la corda no acaba en el vèrtex oposat sinó a la meitat delcostat oposat). Així, es podria treballar, si es creu més convenient, només ambpolígons d'un nombre parell de costats.

En un primer nivell es pot fixar l'atenció només en els resultats numèrics. En un nivellmés avançat es pot intentar "trobar la fórmula" que permeti calcular l'àrea per aqualsevol nombre de costats, encara que no se sàpiga escriure simbòlicament. Compteque si es treballa amb tots els polígons els alumnes hauran de fer servir dues fórmules,una per als polígons amb un nombre parell de costats i l'altra per als d'un nombresenar. Unificar les dues fórmules no queda a l'abast dels alumnes de Secundària.

S'hauria d'intentar que els alumnes dibuixessin correctament l'octògon i el decàgonregular, per entendre el procés d'aproximació a una circumferència. L'observació

d'uns quants resultats consecutius, per exemple, els corresponents al quadrat,hexàgon, octògon, decàgon, juntament amb algun resultat per un nombre gran decostats (per exemple, 20) hauria de servir per animar els alumnes a estimar l'àrea depastura en el cas d'un magatzem circular.

Amb alumnes que ja dominin el llenguatge simbòlic, i hagin treballat les successions iels límits de successions, es pot calcular aquesta àrea. Si la llargada de la corda és p(la meitat de la longitud de la circumferència), l'àrea val . Durant el procés demanipulació algebraica, caldrà indicar als alumnes quant sumen n quadratsconsecutius.

S'han presentat quatre propostes que donen idees per treballar al voltant de la situació-nucli escollida, però se'n podrien elaborar d'altres. Així, els punts 6, 7, 8 i 9 del llistat decontinguts suggereixen bastant clarament una proposta centrada en les funcions: Quepassaria si, per a una mateixa corda, anéssim canviant el punt on es lliga? Canviaria l'àreade pastura?

En aquest treball no es pretén ser exhaustiu, i, en aquest sentit, qualsevol llistat decontinguts, qualsevol conjunt de propostes o d'activitats es considera obert a modificacions ia noves aportacions. El que s'intenta és aportar una experiència sobre una manera de treballarla resolució de problemes que podria ser útil a altres ensenyants.

3 Disseny d'activitats concretes

A continuació es presenten dues activitats dissenyades a partir de les propostes 3 i 4.La primera està pensada per a alumnes de Batxillerat, mentre que la segona es podria treballardurant el segon cicle d'ESO.

Activitat 1: La llargada de la corda

L'activitat que es presenta s'ha experimentat unes quantes vegades amb alumnes de 3rde BUP i també de COU. S'ajusta exactament a la proposta 3 i es planteja assolir els objectiusque s'hi han especificat, especialment els que fan referència a la reflexió al voltant de lapròpia activitat. És per aquest motiu que es planteja com un problema amb dos apartats, sensedonar cap indicació del camí a seguir.

Amb aquesta activitat es pretén que els alumnes s'adonin que calcular àrees no sempreés senzill, especialment quan els recintes queden tancats per corbes. El problema inicial, elproblema de la cabra enunciat anteriorment, requereix calcular l'àrea d'uns quants quadrantsde circumferència. Després es planteja quina seria l'àrea de pastura si la corda mesures 12metres (més de la meitat del perímetre del magatzem). Amb una petita modificació de les

condicions inicials, el problema resulta molt més complicat de resoldre, encara queconceptualment es tracta de la mateixa situació.

Per resoldre el problema els alumnes hauran de "fer un salt" i passar de lesmatemàtiques elementals a utilitzar mètodes més conceptuals (mètodes d'aproximaciónumèrica) o procediments més elaborats (utilitzar referències i emprar el càlcul integral). Undels objectius de l'activitat és enfrontar els alumnes amb aquest canvi de nivell, per veure sisón capaços de, en primer lloc, decidir que s'hauria de fer per resoldre el problema, i, ensegon lloc, fer-ho.

Ara bé, és evident que molts alumnes (la majoria) necessitaran ajudes i es bo que lesrebin abans que perdin l'interès en el que estan fent. També podria passar que alguns alumnesresolguessin el problema per mètodes d'integració i no pensessin en la possibilitat de mètodesd'aproximació numèrica. És per això que el professor hauria de tenir molt clar quines són lespossibilitats de treball que ofereix el problema, per tal que tots els alumnes, depenent de lesseves capacitats, podessin aprofitar-lo al màxim.

Així, el disseny d'aquesta activitat consisteix en l'enunciat d'un problema moltconcret, amb una guia per al professor, per tal que pugui contribuir a fer que els alumnesrealitzin una bona activitat matemàtica.

La llargada de la corda

1. Una cabra està lligada per una corda de sis metres a una cantonada exterior d'unmagatzem rectangular de 4x5 m, que està en un prat. En quina àrea pot pasturar lacabra?

2. Quina seria l'àrea de pastura si la llargada de la corda fos de 12 m?

Guia per al professor

1. Els alumnes no haurien de tenir cap dificultat a resoldre el punt 1. En tot cas, larepresentació gràfica del problema els ajudarà a comprendre'l.

2. Si la corda fa 12 m, hi ha una zona on la cabra hi pot arribar per les dues bandes delmagatzem. L'àrea total és la suma de quadrants de circumferència menys l'àrea de lazona intersecció.

3. Descripció de la zona intersecció: es tracta d'un recinte tancat per dues rectes i dosarcs de circumferència. Cal un dibuix acurat, ja que ajudarà a resoldre el problema.

B

5

4

3

3

8

4. Avaluació de l'àrea de la zona intersecció.a) Acotació entre valors fàcilment calculables. En aquest cas, el valor de l'àrea està

entre 9 m2 (àrea d'un quadrat de costat 3) i m2 (àrea d'un quadrant decircumferència de radi 3). A partir del gràfic, es podria agafar com a valoraproximat la mitjana dels dos resultats.

b) Dibuix a escala sobre paper mil.limetrat i càlcul de l'àrea comptant quadrets

5. Càlcul exacte de l'àrea.a) Cal escriure analíticament el recinte, per tant s'ha d'escollir un origen i utilitzar

coordenades.Es podria agafar com a origen el punt A o el punt BSi s'escull el punt B, el recinte queda tancat per les circumferències

i els eixos de coordenades.

Les circumferències es tallen a x = - 2.6

b) S'han de calcular les integrals següents:

Aquestes integrals no són senzilles, calen canvis trigonomètrics. També, si esdisposa de calculadores una mica potents, es poden fer aquests càlculs amb la

calculadora. El resultat és 8.04 m2.

6. Discussió sobre avantatges i inconvenients dels mètodes d'aproximació numèrics i delcàlcul integral. Calcular primitives pot arribar a ser molt difícil (o impossible!).Es pot comentar als alumnes, sense entrar en detalls, l'existència de diferents mètodesnumèrics per calcular integralsComplementació dels dos mètodes: reafirmar l'estratègia que, sempre que siguipossible, és convenient fer una aproximació numèrica ràpida per comprovar si elsresultats obtinguts amb el càlcul de primitives son plausibles.

Valoració de l'activitat

Cada vegada que s'ha realitzat aquesta activitat amb alumnes de ciències (tercer deBUP o COU) el resultat ha estat molt satisfactori, tant pel que fa a la motivació que despertaen els alumnes com per l'oportunitat que dóna al professor d'incidir en alguns aspectes que,normalment, es treballen poc. A continuació s'exposen els trets més rellevants

a) Els alumnes han de prendre decisions.

Un cop s'han adonat que per resoldre el problema han de calcular l'àrea d'un recinteper integració, es troben amb una situació poc habitual: el recinte d'integració ve donat com alloc geomètric. Això fa que hagin de prendre algunes decisions, com escollir un sistema dereferència per poder expressar analíticament el recinte.

Així, es troben amb una situació clarament diferent del típic exercici de calcular l'àread'un recinte tancat per unes corbes donades.

Un aspecte interessant és el fet que, normalment, no tots els alumnes escullen elmateix origen. Mentre alguns alumnes el situen en el centre d'una de les circumferències(dues possibilitats, que corresponen a dues de les cantonades del magatzem), altres el situende manera que el recinte quedi tancat per els arcs de les circumferències i els eixos (una altracantonada del magatzem). Això fa que l'expressió analítica del recinte variï pels diferentsgrups d'alumnes encara que, evidentment, aquesta variació no afectarà al valor de l'àrea.

Aquestes característiques de variabilitat propicien la discussió i, per tant, la implicacióen el problema.

b) Durant la resolució del problema cal posar en joc diferents coneixements matemàtics.

Un dels trets més interessants d'aquesta activitat és el fet que permeti treballar algunsaspectes de geometria analítica i del càlcul integral, temes fonamentals de la matemàtica iclaus dintre del currículum del Batxillerat.

Els alumnes, probablement a causa del tipus de formació matemàtica que se'ls dóna,acostumen a tenir una visió molt compartimentada de la materia. En general, la resolució deproblemes dóna algunes oportunitats de superar aquesta visió fragmentada i, en particular,aquesta activitat permet posar en joc coneixements no elementals que els alumnes haurantreballat durant el curs.

c) L'activitat permet tractar alguns aspectes que es treballen poc en el currículum

Els alumnes, en la realització d'aquesta activitat, apliquen la fórmula de l'àrea de lacircumferència per resoldre el primer apartat i utilitzen el càlcul integral, més o menyscorrectament, per intentar resoldre el segon. En les diverses vegades que s'ha proposataquesta activitat, mai cap alumne no ha intentat avaluar l'àrea per mètodes d'aproximaciónumèrica. Evidentment, cal tenir en compte que els alumnes han treballat recentment elcàlcul d'àrees per integració.

Aquests mètodes numèrics, que són conceptualment senzills i fàcils d'aplicar, i quepermeten obtenir valors suficientment acurats, no es treballen prou en els cursos de ciències.

Aquesta activitat crea el context adequat per tal que el professor, si ho creu convenient, puguiincidir en aquest tema

Activitat 2: La forma del magatzem

L'activitat que es presenta a continuació no ha estat experimentada amb cap grupd'alumnes, només discutida amb alguns professors, però pot servir per mostrar altrespossibilitats de treball al voltant d'una situació-nucli.

De fet, quan analitzem una situació-nucli per descobrir quines possibilitats de treballofereix, el que fem es plantejar-nos i resoldre, més o menys acuradament, tot un seguit depetits problemes al voltant de la situació. Pot passar que alguna de les preguntes que nosaltresmateixos ens formulem ens suposi realment un problema.

Així va succeir quan em vaig plantejar el cas d'un magatzem de forma circular. De fet,aquesta versió del problema està plantejada en l'últim capítol del llibre Pensarmatemáticamente. Després d'intentar resoldre el problema directament, sense cap èxit, idesprés d'algunes discussions amb altres professors del departament, vam encetar la viad'aproximar-nos a la circumferència amb polígons regulars de molts costats i vàrem resoldreel problema.

Així, la situació-nucli va propiciar un treball conjunt per part dels professors enl'àmbit de la resolució de problemes, treball que crec molt interessant per poder compartiridees i discutir sobre matemàtiques. Per altra banda, la proposta 4 que abans s'ha presentat noés més que una seqüenciació ben estructurada del procés de resolució, i és a partir d'aquestaproposta que es dissenya l'activitat que es presenta a continuació.

Aquesta activitat permet treballar algunes qüestions dels polígons regulars i mostracom un polígon regular amb molts costats s'aproxima molt a una circumferència. Amb unpolígon regular de 20 costats ja es fa molt evident aquesta aproximació.

Per agilitzar la realització de l'activitat, seria bo que els alumnes haguessin treballatprèviament la mesura dels angles interiors dels polígons regulars.

Durant l'activitat els alumnes hauran d'utilitzar regla i compàs.

L'àrea de pastura

1. Una cabra està lligada amb una corda a una cantonada exterior d'un magatzem

quadrat de perímetre 18 m, que està situat en un prat. Si la corda fa 9 m de llargada,en quina àrea pot pasturar la cabra?

a) Utilitza el gràfic que tens a continuació per dibuixar aquesta àrea (recorda que lallargada de la corda és 9 m, la meitat del perímetre del magatzem). Necessitaràsalguns estris de dibuix com ara regle i compàs.

b) Com és la zona de pastura? Descriu-la i calcula la seva àrea.

2. Suposa ara que el magatzem, en comptes de ser quadrat, tingués forma d'hexàgonregular. Si el perímetre del magatzem també fos de 18 m, i la corda de 9 m, i tambéestigués lligada a una cantonada del magatzem, creus que l'àrea de pastura seria lamateixa?. Repeteix l'exercici anterior amb un hexàgon regular.

a) Utilitza el gràfic que tens a continuació per dibuixar aquesta àrea (recorda que lallargada de la corda és 9m, la meitat del perímetre del magatzem).

b) Com és la zona de pastura?

Hauràs observat que està formada per uns quants sectors circulars. Quant valen elsseus angles? Per poder contestar aquesta pregunta necessites saber quant val l'angleinterior d'un hexàgon regular.

c) Calcula l'àrea on pot pasturar la cabra. Dóna el mateix valor que en el cas delquadrat?

3. Que passaria si el magatzem tingués forma d'octògon regular?Si el perímetre del magatzem també fos de 18 m, i la corda de 9 m, i també estiguéslligada a una cantonada del magatzem, quina seria l'àrea de pastura?

a) Abans de fer els càlculs, pots utilitzar el gràfic per representar aquesta àrea.Necessitaràs saber quant val l'angle interior d'un octògon regular.

b) Recull els càlculs i els resultats anteriors a la taula següent. Les dues últimes filesles ompliràs més endavant.A l'última columna hi trobaràs els resultats. Comprova si coincideixen amb els quehas obtingut.

Àrea de pastura. Magatzem de forma un polígon regular de perímetre 18.

Costatsdel

magatzem

Mida delcostat

Càlculs Àrea depastura

4 4,5

230,90 m2

6 3 216,77 m2

8 214,71 m2

4. Omple les últimes files de la taula, una per un magatzem de 10 costats, i l'altre per unmagatzem de 20 costats. A continuació els tens dibuixats.

5. Comenta els resultats de l'última columna.- Com varien les àrees de pastura a mesura que augmenta el nombre de costats?- Varien sempre amb el mateix ritme? (Observa que a l'última fila es passa de 10 a 20costats)

6. Suposa ara que la cabra està lligada per una corda de 9 m a l'exterior d'un magatzemcircular de perímetre 18 m. Podries donar un valor aproximat de l'àrea de pastura?Explica clarament els teus raonaments.

En aquest apartat s'han presentat dos models d'activitats ben diferenciats. Amb laprimera, adreçada a alumnes de Batxillerat, es pretén que els alumnes, organitzats en parelleso petits grups, defineixin la seva estratègia, discuteixin sobre què cal fer per resoldre elproblema i utilitzin els coneixements ja adquirits. El paper del professor hauria de consistiren observar el treball dels diferents grups, estimular-los a seguir els seus raonaments i ajudar-los en el cas que ho necessitin.

Es podria haver plantejat una activitat molt més guiada, iniciant els alumnes en elsraonaments que cal seguir per poder avaluar l'àrea de pastura. Aquesta altra activitat podriaplantejar-se per a alumnes d'ESO, deixant de banda, evidentment, tot el que fa referència alcàlcul integral. De fet, aquesta altra activitat partiria de la proposta 1. Per altra banda, lespropostes 1 i 3 podrien unificar-se en una de sola, deixant clar que podria treballar-se adiferents nivells d'aprofundiment i de formalització.

En la segona activitat, a més de proposar als alumnes uns exercicis de tipus pràctic(avaluar angles, calcular àrees), se'ls condueix a seguir un cert raonament, a través del'observació d'una taula, per tal que descobreixin una propietat de la circumferència que elspermetrà resoldre el problema en el cas del magatzem circular. L'activitat s'hauria pogutpresentar com un problema molt concret, amb la corresponent guia per al professor, encaraque en aquest cas el nivell de dificultat seria molt més alt i els objectius a assolir haurien deser uns altres.

2.3 c) Identificació d'una situació nucli a partir d'un problema obert. Propostesde treball i activitats .

A l'apartat anterior (2.3 b), el treball que s'ha exposat partia de l'anàlisi d'un problemamolt concret. Sense posar en dubte l'interès del problema, és evident que l'anàlisi duta a termel'ha convertit en un punt de partida de molta activitat matemàtica. A més, aquesta activitat potser molt diversa, tant pel que fa als continguts que es poden treballar com pels diferentsnivells de dificultat i d'aprofundiment.

En aquest apartat es parteix d'una situació contraposada: un problema molt obert.Sovint, problemes d'enunciat molt senzill i alhora molt poc precisos amaguen gransdificultats. Són problemes que hom no sap com abordar-los, que no es veu clar quinaestratègia cal seguir, sobre els quals, de vegades, s'intueixen algunes solucions parcials però,en canvi, és difícil arribar a una solució general.

És molt complicat treballar problemes d'aquestes característiques amb alumnes desecundària, perquè requereixen molta motivació i una gran perseverància en la feina, a mésde no perdre el fil del que s'està fent. Però, de vegades, acotant una mica les condicionsinicials, s'aconsegueix una situació-nucli que s'ajusta més a les possibilitats dels alumnes.

A continuació s'exposa el treball dut a terme a partir d'un problema proposat peldirector d'aquest projecte, el Dr. Jordi Deulofeu. El problema planteja la descomposició d'unrectangle en quadrats.

1 Identificació de la situació nucli i llistat de continguts

La idea de descompondre un rectangle en quadrats sembla clara i suggereix moltespreguntes:

- És possible aquesta descomposició per a qualsevol rectangle?- De quantes maneres es pot fer?- Quin és el nombre mínim de quadrats que es poden obtenir?- Com s'obté aquest nombre mínim?

Mentre la primera pregunta no presenta gaires dificultats per a una persona que tinguiuns certs coneixements matemàtics (si els dos costats són commensurables es pot agafar unaunitat que divideixi els dos costats un nombre exacte de vegades), les altres preguntes donenmolt més joc. Un cop sabem que un rectangle es pot descompondre en quadrats, quines midespoden tenir els costats?

Un camí podria consistir a anar separant successivament els quadrats més granspossibles. D'aquesta manera, es minimitzaria el nombre de quadrats?

Aquesta estratègia suggereix una pràctica bastant corrent: fer coincidir dos costatsconsecutius d'un full de paper rectangular per formar un quadrat. És bastant probable que elsalumnes ho hagin fet algun cop, o, si més no, ho hagin vist fer. En molts exercicis senzills depapiroflèxia, com pot ser fer un ocellet, és necessari marcar quadrats.

Aquesta estratègia no minimitza el nombre de quadrats, com es pot veure en elcontraexemple següent,

6

7

4

2

3

i, a més, imposa restriccions al problema inicial. No obstant això, sembla un punt de partidamés adequat per treballar amb alumnes de secundària ja que, per una banda, disposen d'unmodel físic que els ajuda a comprendre les preguntes que se'ls formula i a més, la situació,encara que molt oberta, no és tan àmplia com la inicial. Per tant, podria constituir unasituació-nucli.

Situació-nucli: Es doblega un full de paper rectangular fent coincidir dos costats consecutiusper formar el quadrat més gran possible.

L'anàlisi d'alguns aspectes que podrien treballar-se a partir d'aquesta situació permetidentificar, a priori, diferents continguts matemàtics inherents al problema. La situaciósuggereix moltes preguntes, com ara,

1 Amb aquest procediment, es pot descompondre qualsevol rectangle en quadrats?

2 En el cas que sigui possible, es pot determinar el nombre de quadrats ques'obtindran si se saben les mides del full rectangular? Com?

3 I inversament, si se sap el nombre de quadrats obtinguts es pot determinar lesmides del full rectangular?

4 Els fulls de paper que s'utilitzen correntment (Din A), permeten la descomposicióen quadrats?

5 Un rectangle molt especial: el rectangle auri. Es pot descompondre en quadrats?Aquestes preguntes estan clarament relacionades amb els següents continguts,

Llistat (obert) de continguts

Conceptuals:

1. Commensurabilitat de dues magnituds. Els nombres racionals i els irracionals.2. Màxim comú divisor3. Proporcions i semblances.

Procedimentals:

4. Algorisme d'Euclides5. Estratègies de raonament:

Anar enrere (suposar el problema resolt)ParticularitzacióRecurrènciaGeneralitzacióReducció a l'absurd

2 Propostes a partir de la situació-nucli

Les preguntes que han sorgit, de manera natural, al voltant de la situació-nucli,determinen molt clarament tres propostes de treball: una proposta al voltant de la possibilitatde descompondre un rectangle en quadrats (preguntes 1 ,4 i 5), una altra sobre el nombre dequadrats que es poden obtenir depenent de les mides dels costats del rectangle (pregunta 2), iuna última sobre el problema invers, és a dir, sobre la possibilitat de determinar lesdimensions del rectangle en funció dels quadrats obtinguts (pregunta 3).

Mentre que la primera proposta planteja la possibilitat de resoldre el problema, i, pertant, s'haurà de determinar en quines condicions té solució, en les altres s'estudien algunesqüestions en casos en els quals existeix solució. Començarem per aquestes dues ja quepermeten plantejar situacions més concretes.

Proposta 1: Un full descompost en quadratsNivell: Segon cicle d'ESO

Selecció de continguts: (3) i 5. Els continguts del punt 3 es tractaran només en el cas que nos'assignin valors concrets als costats del quadrat.

Breu resum: D'un full de paper rectangular, es van retallant successivament els quadrats mésgrans possibles i s'obtenen exactament 4 quadrats sense que sobri gens de paper. Apartir d'aquesta situació concreta els alumnes investiguen com poden ser els fulls depaper si se sap quants quadrats s'han obtingut aplicant aquest procés.

Característiques i objectius de la proposta: Es tracta d'una proposta de caràcterprocedimental, que es planteja els objectius següents:

- Treballar la visió geomètrica plana- Practicar l'estratègia d'anar enrere

- Estudi sistemàtic de casos particulars- Construcció de taules i/o gràfics- Generalització d'una recurrència

Pot resultar convenient que els alumnes practiquin amb algun full de paper perentendre el procediment, encara que els ha de quedar clar que no necessàriamentobtindran 4 quadrats. La pràctica els ajudarà a desfer malentesos, com per exemplepensar que tots els quadrats han de ser diferents. De fet, tots els quadrats podrien seriguals, però com a mínim ho han de ser els dos últims.

Si el problema resulta massa complicat, es pot començar amb un rectangledescompost en tres quadrats, que només presenta dues possibilitats.

La resolució gràfica del problema porta de manera natural a començar pel final, pertant és una bona proposta per treballar i comentar l'estratègia d'anar enrere.

Resulta molt fàcil de generalitzar quants full de paper diferents (tret de semblances) esdescomponen en 2, 3, 4, 5, ... quadrats. A part de la generalització numèrica, algunsalumnes més avançats podrien entendre i explicar, o també demostrar, aquestsresultats.

En canvi, arribar a una generalització sobre les mides d'aquests fulls (tret desemblances) és més complicat. Una manera de fer-ho és observar que a partir d'unrectangle de mides axb, que descompongui en n quadrats s'obtenen, anant enrere, és adir, afegint el quadrat més gran, dos rectangles de mides (a+b)xa i (a+b)xb, que esdescomponen en n+1 quadrats.

a

b

b

a+b b+a

a

Així, a partir d'un quadrat 1x1, que agafarem com a unitat, s'obté un únic rectangle2x1, i a partir d'aquest es poden anar generant tots els altres, com es mostra en elgràfic següent.

1x1

2x1

2x3 3x1

2x5 5x3 3x4 4x1

....................................................

Per altres mides del quadrat més petit s'obtindran rectangles semblants, amb raó desemblança la mida del costat d'aquest quadrat.

Proposta 2: Retallant quadratsNivell: Primer cicle d'ESO

Selecció de continguts: Els corresponents als punts 2 i 4 del llistat

Breu resum: D'un full de paper rectangular de mides enteres donades, es van retallantsuccessivament els quadrats més grans possibles. Es demana als alumnes quantsquadrats s'obtenen i de quines mides.En una segona part, que pot ser opcional, es pot tractar un aspecte del procés invers:esbrinar les dimensions del rectangle si se sap en quants quadrats es descompon, icom es distribueixen segons les mides (per exemple, un full que es descompongui en6 quadrats amb la distribució, segons dimensions ordenades en sentit decreixent, 2-1-3)

Característiques i objectius de la proposta: La primera part de la proposta és molt bàsica, ité dos objectius fonamentals:

- Introduir o donar significat al concepte de màxim comú divisor- Justificar, practicar i fer entenedor l'algorisme d'Euclides

Els alumnes haurien de comprendre que la mida del costat de l'últim quadrat ques'obté amb aquest procés és el mcd de les dimensions del rectangle inicial. Per unabanda, la representació gràfica del procediment permet justificar sense gairesdificultats que la mida del costat del quadrat més petit divideix els costats delrectangle, i que, per tant, aquest quadrat el recobreix. Per altra banda, es potvisualitzar una propietat important del màxim comú divisor de dos nombres, en laqual es basa l'algorisme d'Euclides:

Si b>a, mcd (a,b) = mcd (a,b-a)

L'aplicació reiterada d'aquesta propietat permet assegurar que la mida del quadratpetit és el màxim comú divisor de les dimensions del rectangle inicial.

Així, per exemple, el gràfic següent permet raonar sobre el cas particular d'un

rectangle de mides 25x35.

25

35

25

10

m cd(2 5 ,35 ) =m cd(2 5 ,1 0 )

Qualsevol divisor que divideixi simultàniament a 25 i 35, pel fet de dividir a 25 hauràde dividir forçosament a 10. Això es pot representar gràficament eliminant el quadratgran.

La segona part pot servir per tal que alumnes més avançats puguin aprofundir enl'algorisme d'Euclides. De fet, es tracta de "desfer-lo". És evident que el problemaque es planteja és pot resoldre gràficament, començant amb els quadrats més petits ianant enrera. Aquesta resolució ajudarà a la comprensió de la resolució numèrica.

Una manera de concretar aquesta segona part de la proposta pot ser demanant alsalumnes que busquin les dimensions (tret de semblances) de tots els rectanglespossibles que descomponen en un cert nombre de quadrats. Abans de desferl'algorisme d'Euclides, hauran de buscar les possibles distribucions dels quadratssegons les mides i, per fer això, s'ha de tenir en compte que el quadrat més petit ha deestar repetit, com a mínim, dues vegades.

Proposta 3: Els rectangles es poden descompondre en quadrats?Nivell: Batxillerat

Selecció de continguts: Els corresponents als punts 1, 3 i 5 del llistat anterior.

Breu resum: Els alumnes comprovaran amb alguns exemples que els rectangles semblants esdescomponen de la mateixa manera i, recíprocament, que si dos rectangles esdescomponen de la mateixa manera, han de ser semblants. A partir d'aquí, haurien dededuir que si un rectangle es descompon en quadrats, els seus costats haurien demesurar m·a i n·a, amb m i n enters, essent a la mida del costat del quadrat petit.Es demanarà als alumnes si tots els rectangles es descomponen en quadrats, i, perajudar-los o reforçar-los en les seves respostes, se'ls farà deduir, per mètodes gràficsi només utilitzant criteris de semblança, que alguns rectangles ben coneguts, com sónel rectangle d'or i els fulls Din A, no es descomponen en quadrats. Un cop demostratque no es descomponen, calcularan, utilitzant proporcions, les dimensions d'aquestsrectangles i observaran que si el costat petit val 1, la mida del costat gran ésirracional.

Característiques i objectius de la proposta: Aquesta proposta s'ha pensat com un petit

treball de recerca per a alumnes de Batxillerat interessats en les matemàtiques. Ésuna proposta molt àmplia, que té com a objectiu fonamental treballar el concepte decommensurabilitat de dos magnituds.

Per poder-la treballar globalment i assolir l'objectiu proposat, és convenient que elsalumnes hagin estudiat la semblança de polígons i coneguin els nombres reals.També és necessari que tinguin ben consolidada la idea que mesurar una magnitudsignifica comparar-la amb una altra magnitud que s'hagi escollit com a unitat demesura, i que no tinguin problemes en canviar d'unitat de mesura.

Si el nivell dels alumnes no permet un treball tan global, es poden dissenyar activitatsque només tractin alguns dels aspectes que s'han proposat, adequant el nivelld'aprofundiment. Així, per exemple, es podria tractar només el fet que si dosrectangles es descomponen de la mateixa manera, han de ser semblants.

Pot ser que els alumnes no coneguin o no identifiquin el rectangle auri (es descomponen un quadrat i un rectangle semblant a ell mateix). Se'ls pot mostrar que totes lestargetes de crèdit són rectangles auris. És important fer veure als alumnes que ladefinició del rectangle auri impossibilita que es descompongui en quadrats i que

entenguin el tipus de raonament que es fa.

Aquest raonament el podran repetir amb la forma dels fulls Din A (si es parteixen perla meitat del costat gran, queden dos fulls rectangulars semblants al full inicial). Elsalumnes poden comprovar, doblegant un full Din A4, que si se separensuccessivament dos quadrats, cada cop el més gran possible, el full resultant éssemblant a l'inicial.

A partir d'aquesta comprovació, poden raonar com en el cas del rectangle auri perdeduir que els fulls que utilitzem normalment per escriure no es poden descompondreen quadrats.

En el cas que es decideixi dissenyar una activitat sobre tota la proposta, cal assegurar-se que els alumnes siguin capaços de relacionar els diferents aspectes que es tractinper poder concloure que un rectangle es descompondrà en quadrats sempre que els

seus costats siguin commensurables. Pot ser convenient una posta en comú de tota laclasse per tal que els alumnes puguin expressar les seves idees sobrecommensurabilitat. Aquest concepte no és senzill i aquest procés de verbalització elspot ajudar en la seva comprensió.

El fet d'haver pogut elaborar aquestes propostes demostra que la situació-nucliescollida, encara que més concreta que el problema inicial, és suficientment àmplia. Éspossible, a més, que sigui una bona manera d'aproximar-se al problema. Probablement algunsdels resultats que es puguin obtenir treballant aquestes propostes suggeriran idees que espodran aplicar en la seva resolució.

3 Disseny d'activitats concretes

A continuació es presenten dues activitats, lligades a les dues primeres propostes del'apartat anterior.

Respecte a la tercera proposta, queden bastant clars els exercicis que cal plantejar alsalumnes. L'activitat al voltant de la proposta hauria de crear el context adequat per reflexionarsobre el concepte de commensurabilitat de dues magnituds. Potser aquesta és la part mésinteressant de l'activitat i difícilment pot quedar escrita en forma d'exercici.

Activitat 1: Un full descompost en quadrats

Aquest activitat parteix de la proposta "Un full descompost en quadrats", que, com jas'ha comentat anteriorment, és procedimental.

Aquesta activitat s'ha experimentat diverses vegades amb alumnes del primer cicled'ESO. La primera part es va proposar com a problema en la prova individual de la fase finalde la activitat "Fem Matemàtiques 1998" (Banyoles), per a alumnes de sisè de Primària.

En una primera part es planteja un problema concret. Es demana les possible midesd'un full que, seguint el procediment explicat, ha quedat descompost en 4 quadrats.

Aquesta pregunta no resulta fàcil per als alumnes. En primer lloc tenen dificultats perentendre correctament el procés emprat en la descomposició, i, per altra banda, és difícil quetrobin totes les solucions. En general, els alumnes són poc sistemàtics i poc exhaustius i, quanja han trobat alguna solució, és difícil que intentin buscar-ne d'altres. És per això que se'lspregunta si hi ha més d'una solució. Davant d'aquesta pregunta alguns alumnes intenten (ialguns ho aconsegueixen) trobar-ne dues.

La dificultat que els suposa aquesta primera pregunta justifica la segona part, que estàpensada per mostrar als alumnes com es poden abordar alguns problemes d'aquestescaracterístiques. Se'ls mostra com una recollida sistemàtica de casos particulars, recollits enuna taula, pot servir per copsar un model. Així, a més de poder resoldre el problema proposat,

s'està en condicions de resoldre qualsevol altre cas concret (descomposició en 5, 6...quadrats) i també de donar una solució general al problema.

Un full descompost en quadrats

Quatre quadrats

Suposa que tens un full de paper rectangular, i que fas coincidir dos costats per poderretallar un quadrat, el més gran

possible.A continuació tornes a repetir el procés amb el tros de full que t'ha quedat, i així

successivament fins a obtenir exactament 4 quadrats, sense que sobri gens de paper.

a) Si l'últim quadrat que has obtingut (el quart), té 10 cm de costat, quines són lespossibles mides del full de paper?

Potser t'anirà bé practicar amb diferents fulls rectangulars per entendre bé elprocediment, encara que, depenent de les mides del full que utilitzis, no obtindràsexactament 4 quadrats.

b) Hi ha més d'una solució? Quantes?

Més quadrats

Has estudiat el cas que un full de paper es descompon en 4 quadrats, l'últim dels qualsté 10 cm de costat. Ens podríem plantejar diferents casos, per exemple que, amb el procés ques'ha explicat, el full es descompongués en 2 quadrats, o bé en 3, o bé en 5... sempre ambl'últim quadrat de 10 cm de costat.

Recolliràs els resultats de cadascun d'aquests casos en una taula per tal que vegis comvan variant.

c) Completa la taula següent.Per la primera fila, suposa que el full s'ha descompost en 2 quadrats, sense que hagisobrat gens de paper. Fes el dibuix corresponent, anota quants possibles fulls has trobati les seves mides.Omple les altres dues files de la mateixa manera. Pots utilitzar els resultats que hasobtingut anteriorment per omplir la fila corresponent a 4 quadrats. Creus que els haviesobtingut tots?

Nombre dequadrats

obtinguts plegantpaper

Representació gràficaNombre

depossibilitat

s

Mides del full/s(l'últim quadratde costat 10 cm)

2

3

4

d) Observa la columna dels gràfics de la taula anterior. Veus alguna relació entre lesdiferents descomposicions? Sabries dibuixar ràpidament les possibles descomposicionsd'un rectangle en 5 quadrats? Discuteix-ho amb els teus companys.

e) Observa la columna corresponent al nombre de possibilitats. Veus alguna relació entreels diferents resultats? Quantes fulls de paper diferents descomponen en 5 quadrats,amb l'últim quadrat de mida 10?

f) Quants fulls diferents hi ha que es puguin descompondre en 6 quadrats, l'últim delsquals té 10 cm de costat? No cal que els representis ni que busquis les seves mides,intenta respondre a la pregunta a partir dels resultats que has obtingut fins ara.

d) Sabries respondre a la mateixa pregunta per a qualsevol nombre de quadrats? Explicabé la teva resposta.

Activitat 2: Retallant quadrats

Aquesta activitat s'ajusta a la proposta 2, que es planteja objectius molt conceptuals.Per tant s'ha intentat mantenir un bon equilibri entre una part procedimental molt senzilla iunes preguntes que permetin reflexionar sobre el concepte de divisibilitat, fonamental en elcurrículum de matemàtiques de l'ensenyament secundari.

Potser una de les parts més sorprenents de l'activitat és comprovar com elprocediment d'anar formant quadrats, cada cop el més gran possible, reprodueix gràficamentl'algorisme d'Euclides, i, a més, permet comprendre'l.

El disseny d'aquesta activitat corrobora una vegada més la importància de reflexionarseriosament sobre les activitats que proposem als alumnes.

De fet, el problema de quadricular, amb el procediment explicat, un rectangle demides donades no presenta cap dificultat: es pot fer simplement dibuixant, només cal seguirunes instruccions i sempre té solució. Saber quants quadrats es poden formar i determinar lesseves mides és un simple exercici de comptar els que s'han dibuixat i fer unes quantes restesper determinar les mides dels costats. Gairebé no es pot considerar un problema i, en tot cas,qualsevol professor podria decidir, sense necessitat de dibuixar ni escriure, que es tracta d'unexercici senzill per posar als seus alumnes. Ara bé, es probable que li passés per alt lesmatemàtiques que estan darrera d'aquest procés.

No és evident adonar-se dels conceptes matemàtics que estan darrera d'una activitat.Cal buscar-los, posant la màxima atenció en el que s'està fent i pensant quines preguntes espodrien fer per tal de transmetre'ls als alumnes. Així, en aquesta activitat concreta, el fetd'escriure amb llenguatge matemàtic el procés que s'està realitzant, és suficient per adonar-seque està íntimament relacionat amb l'algorisme d'Euclides. A partir d'aquesta descoberta és tél'oportunitat de convertir un exercici manipulatiu en una font d'aprenentatge de contingutsrellevants.

En aquesta activitat no es treballa el problema invers plantejat a la proposta. Es podriadissenyar una activitat complementària opcional per a alumnes més avançats.

Una altre aspecte important a tenir en compte és que, amb aquesta activitat, elsalumnes "demostren" que qualsevol rectangle de dimensions enteres es pot descompondre enquadrats. Aquest fet, que no queda explícit, passarà per alt a la majoria (tots!) dels alumnes,però pot ser que es pugui aprofitar en alguna situació concreta.

Aquesta activitat es va experimentar amb mestres i professors de secundària en elmarc de les "III Jornades de Didàctica de la Matemàtica" (Girona, 29 i 30 de maig de 1998),organitzades pel Grup Perímetre.

Retallant quadrats

Tenim un full de paper rectangular de 27 cm x 39 cm. Fem coincidir els dos costats iretallem el quadrat més gran possible

A continuació repetim el procés amb el tros de full que ens ha quedat i aixísuccessivament.

a) Quants quadrats s'obtenen i de quines mides?Quina és la mida del quadrat més petit?Representa el procés en el full que tens a continuació i que està dibuixat a escala.Utilitza regla i compàs.

39

b) El quadrat més petit que s'ha obtingut, serveix per recobrir exactament tot el full?Ajuda't amb el gràfic i explica clarament per què.

c) Quina relació hi ha entre la mida del quadrat més petit que has obtingut i les mides delfull de paper?

d) Respon a les qüestions plantejades a l'apartat a) per als fulls que tens a continuació.Representa gràficament el procés

2 5

3 5

1 2

4 0

e) Observa els gràfics que tens a continuació. Per què el màxim comú divisor de 25 i 35 hade ser igual al màxim comú divisor de 25 i 10?

25

35

25

10

m cd(2 5 ,35 ) =m cd(2 5 ,1 0 )

f) Si el mcd (25, 35) = mcd (25, 35-25), per la mateixa raó el mcd (25,10) = mcd (15,10)

25

35

m cd(2 5 ,3 5 ) =m cd(2 5 ,1 0 )=m cd(1 5 ,1 0 )

15

10

Repeteix aquest procés fins que arribis a dos nombres iguals. Aquest nombre serà elmcd de 25 i 35.

Havies respost correctament la pregunta c) ?

La taula que tens a continuació resumeix el procés d'obtenció de quadrats per alrectangle de 25 x 35

Costat gran Costat petit Nombrequadrats

(quocients)

1 2 2 5

35 25 10 5(residus) 10 5 0

Comencem la taula amb els costats del rectangle i dividim el costat gran entre el petitper esbrinar quants quadrats podem fer de 25 cm de costat. Col·loquem el quocient (1) sobreel divisor i calculem el residu (10)

Costat gran Costat petit(quocients

)1

35 25(residus) 10

A continuació repetim el procés amb el rectangle de 10 x 25. Obtenim de quocient 2 ide residu 5. Anem repetint el procés fins a obtenir residu 0. Les cel·les ombrejades de la taulaens donen el nombre de quadrats que obtenim i les mides dels seus costats.

g) Completa la taula següent amb els resultats obtinguts a partir del rectangle de mides40cm x 12cm

Costat gran Costat petit Nombrequadrats

(quocients)

40 12(residus)

Interpreta els resultats que has obtingut sobre la descomposició gràfica que has fet al'apartat d)

h) A partir d'un full de paper de 23 cm x 30 cm es van retallant quadrats, cada cop el mésgran possible.Quants quadrats s'obtenen i de quines mides?Utilitza una taula com les anteriors per calcular els resultats.

4 Experimentació i valoració de les activitats.

La primera activitat que s'ha plantejat, "Un full descompost en quadrats", s'haexperimentat amb alumnes d'ESO amb resultats bastant satisfactoris, encara que té algunes

deficiències. A continuació es detallen els trets més rellevants.

1. La primera part resulta molt difícil per als alumnes. Ja es pretenia que aquestaprimera part enfrontés els alumnes amb una situació que no sabessin molt bé comabordar-la però l'anàlisi de les respostes porta a concloure que presenta problemesimportants. La pregunta diu així:

a) Si l'últim quadrat que has obtingut (el quart), té 10 cm de costat, quines són lespossibles mides del full de paper?

De fet, es tracta d'una pregunta indirecta ja que el problema que realment han deresoldre els alumnes per poder donar la resposta és el d'esbrinar de quantes maneresdiferents pot quedar descompost un rectangle en quatre quadrats, depenent de lesmides d'aquests quadrats, i aquesta pregunta no es formula explícitament.

El fet de preguntar per les mides dels costats i de donar la mida de l'últim quadratprovoca que alguns alumnes, encara que comencin amb una certa experimentacióamb un full de paper o comencin dibuixant, intenten resoldre el problema "operant".Es va assignar un valor al costat del quadrat petit per tal que els alumnes poguessinpensar en rectangles concrets en comptes d'haver de pensar en "formes de rectangles"però no és gens clar que els hagi facilitat la feina.

Alguns alumnes només fixen l'atenció en una part de la informació i intenten trobarrectangles a partir dels quals s'arribi a quadrats de costat 10, sense importar-los elnombre de quadrats que obtenen. En aquest sentit, és destacable la resposta d'unaalumna de 6è de Primària que va participar a la fase final de l'activitat "FemMatemàtiques 98" (la primera part d'aquesta activitat es va proposar com a problemaen la Prova Individual).

L'alumna parteix d'un rectangle 4x2 i el descompon correctament, fent elscorresponents gràfics i, a més, explicant detalladament el que fa. A continuació hoprova amb "un rectangle més gran" i escull un rectangle 36x42, que tambédescompon correctament. En cap moment explica per què ha escollit aquestes mides ino unes altres. Després arriba a la següent conclusió:

"Amb aquestes 2 mides he vist que si fas dos quadrats, el segon si multipliques elscostats dóna igual que la mida del costat del primer ...

4

4

2

2

36

36

66

... i que el segon quadrat és el més petit que es pot fer.Doncs crec que si s'ha de fer així la mida del full de paper serà de 100x110."

2. La majoria dels alumnes que donen una resposta correcta arriben a la solució 40x10,alguns sense necessitat de dibuixar-la. És probable que si no s'hagués demanatexplícitament quantes solucions es poden trobar, la majoria no hagués intentatbuscar-ne d'altres. Ara bé, els alumnes que troben una segona solució donen elproblema per acabat

Això era esperable per diferents motius. En primer lloc pel fet que els alumnes, engeneral, són poc sistemàtics i poc exhaustius, con ja s'ha comentat anteriorment, itambé perquè no disposen de cap indici que els pugui fer pensar que hi ha d'havermés solucions.

La intencionalitat de fer aquest tipus de pregunta (un cas particular que presenti unacerta dificultat) era que els alumnes arribessin a una solució parcial per tal que, a lasegona part de l'activitat, poguessin adonar-se dels avantatges de seguir unes certesestratègies de raonament, com per exemple, resoldre sistemàticament uns quantscasos particulars, començant pels més senzills, per intentar copsar un model.

Per cert, tots els alumnes que troben dues solucions arriben a la descomposició en unquadrat gran i tres de petits.

3. La segona part de l'activitat va funcionar molt bé i va produir l'aprenentatge desitjat.Els alumnes van adonar-se que, un cop entesa la resolució del problema, podienaplicar-la sense cap dificultat a qualsevol cas particular.

Podríem concloure que es tracta d'una activitat que resulta adequada per treballar ambels alumnes però que seria convenient redactar de nou la primera part.

Quant a la segona activitat, es va presentar en el marc d'un taller de "Resolució deProblemes", a les III Jornades de Didàctica de la Matemàtica, organitzades pel GrupPerímetre i adreçades a mestres i professors de secundària Aquest taller el vaig impartirjuntament amb el professor de matemàtiques Manel Cañigueral.

Els objectius que ens vàrem proposar van ser dos:

- Mostrar les diferents intencionalitats que hi poden haver darrera del plantejamentd'un problema

- Mostrar la necessitat de reflexionar en profunditat sobre els problemes que esproposen als alumnes, per tal que puguin contribuir clarament en l'aprenentatge.

Es va escollir l'apartat a) d'aquesta activitat com a problema adequat per introduir,reforçar o bé donar significat a conceptes i procediments. En aquest cas els conceptes de

divisor i de màxim comú divisor de dos números i l'algorisme d'Euclides com a procedimentper calcular-lo.

La dinàmica que es va seguir va ser la de proposar el problema i demanar que el resolessin ique valoressin les possibilitats de "treball matemàtic" que oferia.

És evident que no s'esperava que s'adonessin de tots els continguts matemàtics que es podientreballar. Ni es disposava de suficient temps ni era l'objectiu del taller aprofundir només enaquest problema. Però si que va servir per mostrar la rendibilitat de reflexionar en les tasquesque proposem als alumnes. Un exemple és la possibilitat de convertir un problema com elproposat a l'apartat a) en el nucli d'una activitat molt més àmplia, com la presentada.

Un aspecte interessant, des del punt de vista del treball que es presenta, va ser el fet que, apartir d'aquesta reflexió alguns mestres es feien preguntes més enllà de la situació concretaque se'ls presentava. Així, es qüestionaven, per exemple, si sempre és possibledescompondre un rectangle en quadrats.

Aquesta dinàmica és la que s'intenta impulsar des d'aquest treball, com a mètode peridentificar situacions-nucli i, en aquest sentit, va ser satisfactori comprovar que és un procésque es produeix de manera natural quan es crea el context adequat. Per altra banda, també esva poder constatar que aquesta dinàmica es pot produir a partir de situacions ben concretes.Una de les característiques més importants de l'activitat matemàtica és la capacitat de generarnoves preguntes i això depèn més de l'actitud amb que s'aborda l'activitat que no de l'activitaten si.

3 Valoració del treball

Des d'aquests fulls s'ha llançat una proposta al professorat, la de reflexionar enprofunditat en les tasques que proposem als nostres alumnes. I la proposta s'ha concretat en laidentificació de situacions nucli, enteses com a punt de partida de molta activitat matemàtica.A la secció anterior s'ha mostrat el treball dut a terme en aquest sentit, amb la col·laboraciód'alguns companys, durant el curs 97-98. Una bona part del treball ha consistit enl'elaboració de materials, però també s'ha dedicat especial atenció a l'experimentació de totala proposta, tant pel que fa a l'observació de la pròpia feina (la que realitza el professorat alvoltant de les situacions nucli) com pel que fa als resultats obtinguts amb els alumnes.

Durant l'exposició del treball ja s'han fet algunes valoracions d'aquestaexperimentació; així, s'ha fet referència a algunes dinàmiques de treball per part delprofessorat, manifestades en el procés d'identificar i treballar sobre situacions-nucli, i s'hanvalorat detalladament les activitats experimentades a l'aula. Es tracta de valoracionsd'aspectes parcials que contempla la proposta.

Faltaria una valoració més global, referida a altres característiques que es van fentevidents a mesura que s'hi va aprofundint.

1. Es tracta d'una proposta realista.

El tipus de treball que es proposa no ha de suposar cap dificultat per al professorat. Estracta de sistematitzar tot un conjunt d'activitats al voltant de la resolució deproblemes que, molt probablement, i potser d'una manera una mica desordenada, femla majoria d'ensenyants de matemàtiques.

2. És una proposta "acumulativa".

No es proposa una manera diferent de treballar, sinó que es suggereix un tipusd'anàlisi que es pot fer al voltant d'alguns problemes o activitats que plantegem alsalumnes. No s'està proposant que aquesta anàlisi es faci cada cop que es planteja unproblema a l'aula, cal també que el problema suggereixi possibilitats de seguiment.Ara bé, sempre que es faci s'obtindrà una informació i un material "afegits", quepodran ser útils en ocasions posteriors i que es podran compartir amb altresensenyants.

3. És una proposta innovadora.

Aprofundir en problemes senzills, analitzar els continguts que s'estan treballant, serconscient del tipus de raonament que s'està fent, de les estratègies que s'estanutilitzant, formular més preguntes per treballar nous aspectes, dóna al professorat unavisió diferent de l'ensenyament de les matemàtiques. Diferent perquè, en aquestprocés, es posa l'èmfasi no tant en l'obtenció d'uns resultats concrets sinó en lesdiverses maneres d'obtenir aquests resultats, en els diversos graus de formalitzaciódels procediments emprats, en les possibles vies de seguiment del problema, ... iperquè amb aquesta dinàmica de treball es posa de manifest la importància d'ensenyara raonar matemàticament. L'ensenyament/aprenentatge de les matemàtiques no es potreduir a un cos de continguts més o menys estructurats, s'ha d'intentar ensenyar com

posar-los en joc, com establir relacions entre ells per tal que es puguin integrar en elsconeixements de l'alumnat i permetin adquirir-ne de nous.

4. És una proposta que ens apropa a les dificultats de l'alumnat

Per identificar situacions nucli i elaborar propostes de treball i activitats, caldesenvolupar la capacitat de fer preguntes i de plantejar problemes, però és evidentque també cal resoldre aquests problemes. Per tant, és tracta de treballar i aprofundiren les mateixes tasques que es proposa als alumnes, i aquest tipus de treball ensajuda a entendre algunes de les dificultats amb què sovint es troben.

Algunes dificultats són degudes a una mala formulació de la proposta, i, per tant, espodrien evitar. És sorprenent la quantitat de vegades que, de manera totalmentinvoluntària, no encertem prou en com presentem una proposta de treball o enunciemun problema. Aquest fet ens pot passar totalment per alt, fins i tot es pot arribar apensar que als alumnes els costa molt interpretar informació "molt simple". Però quanresolem problemes, i més si ho fem conjuntament amb altres companys, ens adonemque sovint ens cal discutir la interpretació dels enunciats. Aquesta dificultat ja s'hacomentat en alguna de les activitats proposades.

Un altre aspecte important és ser conscient de les dificultats del procés de resolució.La majoria de les resolucions escrites d'un problema no es corresponen amb el treballrealitzat, i, sovint, les resolucions més directes i més curtes han costat un esforçconsiderable. És molt difícil predir amb quines dificultats es trobaran els alumnes.Moltes vegades queden bloquejats quan pràcticament han arribat a la solució i noméscaldria que seguissin el raonament que ells mateixos han iniciat. Aquest fet potresultar poc comprensible, però segur que els professors afeccionats a resoldreproblemes es reconeixen en aquesta situació.

Aquesta proposta de treball implica necessàriament resoldre problemes i fer-ho ambmolta atenció. Probablement en aquest procés, i també quan analitzem les solucionsdels alumnes, ens adonarem que es tracta de quelcom bastant més complex que lasimple aplicació d'uns certs coneixements matemàtics, i és important ser-neconscients per tal de saber-ho valorar.

4 Estudis i cursos realitzats

Exposaré en aquest apartat els estudis i cursos realitzats, que estan claramentrelacionats amb el treball que presento i que m'han estat útils per fonamentar-lo iexperimentar-lo. Algunes d'aquestes activitats ja estaven previstes i es van relacionar alprojecte de treball, encara que he tingut l'oportunitat de realitzar-ne algunes més.

a) Participació en el Projecte TIEM98 (Trimestre intensiu en educació matemàtica),sufragat i organitzat pel Centre de Recerca Matemàtica de l'Institut d'Estudis Catalans, amb lacol·laboració del Departament d'Ensenyament i d'altres institucions vinculades al món del'ensenyament.

Aquest projecte es va desenvolupar durant el curs 97-98 en tres fases: una de treballintensiu durant el primer trimestre de l'any 1998; una fase prèvia de treball preparatori,durant el període setembre-desembre de 1997; i una fase posterior per tancar, implementari/o divulgar els projectes endegats en el TIEM98.

El projecte tenia les finalitats següents:

* Facilitar el desenvolupament de la recerca en el camp de l'educació matemàtica alnostre entorn.

* Facilitar les pràctiques i projectes innovadors en relació a l'ensenyament de lesmatemàtiques en els centres educatius de Catalunya.

* Divulgar entre el professorat de matemàtiques de tots els nivells educatius, a travésde conferències, seminaris i publicacions, els resultats de recerques i projectes totconnectant els vessants recerca-innovació.

El treball es va canalitzar a través de seminaris i grups de treball, i durant el primertrimestre de1998 van tenir lloc una Sèrie de Conferències, a càrrec de professors estrangersexperts en diferents àrees de l'educació matemàtica, sota el títol genèric: "Matemàtiques iEnsenyament al nostre país: reptes i canvis des d'una perspectiva internacional."

Quant a la dinàmica de funcionament dels diferents grups i seminaris, a més delpropi treball intern, van mantenir una estreta i continuada relació amb els professorsconvidats, els quals van fer una llarga estada al Centre de Recerca Matemàtica.

En el marc d'aquest Projecte, es van organitzar activitats paral·leles a les diferentsdemarcacions de Catalunya, gràcies a la col·laboració dels ICE's de les corresponentsUniversitats. Concretament, a la demarcació de Girona, van tenir lloc una sèrie deconferències i es va organitzar un Grup de Treball amb la mateixa dinàmica defuncionament que s'ha explicat anteriorment.

Una altra activitat vinculada a aquest Projecte va ser el "Encuentro de Investigación

en Educación Matemática", que va tenir lloc el 19, 20 i 21 de febrer, en el qual hi vanparticipar, a més dels professors estrangers convidats, altres professors experts de l'EstatEspanyol.

La meva participació en el TIEM va ser molt intensa: vaig formar part del Grup deResolució de Problemes, coordinat per Jordi Deulofeu (Centre de Recerca Matemàtica), delSeminari de Metodologia de Recerca en Educació Matemàtica (CRM) i del Grup de Treballde Resolució de Problemes a Secundària (ICE de la UdG). Vaig assistir a l'"Encuentro deInvestigación en Educación Matemàtica", així com a la Sèrie de Conferències que van tenirlloc a la Sala d'Actes de la Facultat de Ciències de la UAB i la Sèrie de Conferències que esvan organitzar a Girona.

A continuació detallaré breument els continguts i objectius de les diferents activitats

Grup de resolució de problemes. (CRM)

Es varen realitzar cinc sessions de tres hores. Les diferents sessions estaven centradesen algun aspecte de la resolució de problemes. El treball que realitzava el grup, a proposta delprofessor/s encarregat/s de la sessió, es prenia com a punt de partida d'una discussió conjunta,durant la qual els diferents professors ens varen exposar els seus punts de vista.

Les sessions varen ser les següents:

4 febrer. Dels problemes tancats als problemes oberts. Pearla Nesher (Haifa University, IL)

18 febrer. El paper del context en la resolució de problemes. Ken Clemens (University ofNewcastle, AU) - Guida de Abreu (Luton University, UK)

25 febrer. El problema del context en la resolució de problemes. Fred Goffree. (FreudenthalInstitute, NL.)

2 març. Quins problemes són rellevants i com treballar-los?. Peter Hilton (SUNY atBinghamton, USA) - Jean Pedersen (Santa Clara University, USA)

18 març. Resolució de problemes i avaluació. Brian Bolt (University of Exeter, UK)

Grup de treball de Resolució de Problemes a Secundària. (ICE de la UdG)

Aquest grup de treball es va constituir el curs 97-98, a partir d'un grup de professorsque, durant cinc anys, havien format part del Seminari de Resolució de Problemes de l'ICE dela UdG, amb l'objectiu de preparar unes sessions de treball amb professors convidats alTIEM98.

El grup va centrar la seva activitat en el paper de la resolució de problemes a l'aula ies va plantejar tres preguntes molt generals:

1. És possible ensenyar a resoldre problemes?2. És possible ensenyar a resoldre problemes i ensenyar matemàtiques

simultàniament?3. Com s'ha d'elaborar una llista de problemes, en funció de les estratègies o bé enfunció dels continguts matemàtics?

El treball de grup es va desenvolupar en tres fases, corresponents als tres trimestresdel curs acadèmic

Fase 1:

Com a treball preparatori, durant el primer trimestre del curs 97-98, el grup va intentartrobar les seves pròpies respostes per poder contrastar-les amb els professors experts. Així, vadecidir treballar el tema de recomptes i es va proposar l'elaboració d'una llista per discutir elstres punts anteriors. En particular es van analitzar

- estratègies de recompte- continguts matemàtics, conceptuals i procedimentals, estretament lligats als

processos de recompte

amb l'objectiu de buscar problemes adients per aconseguir un bon aprenentatge, anivell de segon cicle d'ESO. Un cop seleccionats els problemes, es va discutir laseqüenciació. En aquesta primera fase de treball es va confeccionar una llista de setzeproblemes (annex 2).

L'objectiu principal d'elaborar aquesta llista era el d'aplicar a un tema concret lesconclusions de la discussió que tenia lloc en el grup i no tant un interès específic en el temade recomptes. De fet, el treball del grup va ser més ampli i també es varen discutir altresestratègies de resolució de problemes que probablement no s'expliciten prou quan es treballaamb els alumnes. En particular es va treballar durant dues sessions l'estratègia d'anar enreresuposant que el problema ja està resolt.

Fase 2:

Durant el segon trimestre del curs, es van realitzar tres sessions de treball ambprofessors convidats al TIEM98:

11 de febrer. Sessió de treball amb el professor Ken Clemens

El missatge del professor Clemens va ser molt clar. Va defensar la integració de lesactivitats de resolució de problemes en el currículum comú de tots els alumnes, i varecomanar que no es realitzés aquesta activitat al marge de l'aprenentatge dels continguts quefiguren en els programes de matemàtiques.

25 de febrer. Sessió de treball amb la professora Guida de Abreu.

La professora de Abreu recomana que els professors facin un esforç per conèixer el

context que envolta els seus alumnes fora de l'escola, i adaptin les activitats i la resolució deproblemes a aquest context. D'aquesta manera els alumnes podran fer ús de les matemàtiquesapreses fora de l'escola, i, per altra banda, podran transposar fora de l'aula els coneixementsadquirits.

18 de març. Sessió de treball amb el professor Brian Bolt.

El professor Bolt ens va donar una classe d'entusiasme al voltant de la resolució deproblemes. Crec que un dels missatges implícits que es pot extreure de la seva sessió és quela resolució de problemes és una activitat que posa en joc coneixements matemàtics iestratègies i que desperta, o hauria de despertar, una actitud de recerca.

La sessió es va centrar en l'estudi de xarxes i en quins tipus de problemes podenmodelar.

Fase 3:

Durant el tercer trimestre es va analitzar el treball realitzat i, en funció d'aquestarevisió, es van fer propostes de continuïtat.

Una de les propostes que es començarà a dur a terme durant el curs 98-99 és la decrear un Banc d'Activitats lligades al nou currículum. Aquesta idea la va suggerir el professorClements i ens va mostrar material elaborat a Austràlia. El propòsit, seguint el consell queens va donar, és poder aprofitar i compartir les activitats que es programen habitualment pera diferents grups-classe.

Per altra banda el grup va agafar el compromís de participar amb un taller deResolució de Problemes a les III Jornades de Didàctica de les Matemàtiques, organitzadespel Grup Perímetre (Girona, maig 98).

A més de formar part d'aquests dos grups de treball, vaig assistir convidada a les tressessions que va realitzar el Grup de Resolució de Problemes a Primària (ICE de la UAB),coordinat pel Dr. Jordi Deulofeu, amb els professors Alan Bishop (Monash University, AU) -Norma Presmeg (Florida State University, USA), Fred Goffree i Brian Bolt

Seminari de Metodologia de Recerca en Educació Matemàtica.

La participació en aquest seminari em va ser molt profitosa pel fet que em vapermetre reflexionar sobre l'educació matemàtica des d'una perspectiva diferent de la pròpiacom a ensenyant de matemàtiques dintre l'aula. És evident que els docents podríem arribar aalgunes conclusions sobre el procés d'ensenyament-aprenentatge si fóssim capaços decompaginar la recerca amb l'acció, però sovint no utilitzem bons mètodes d'observació nid'anàlisi i, per altra banda, estem massa implicats en el procés.

Aquest seminari em va proporcionar algunes eines que em varen ser de molta utilitat

per a l'experimentació i l'anàlisi del treball que presento.

El seminari es va desenvolupar en sis sessions, que s'indiquen a continuació:

1a sessió (22 de gener):Alan Bishop: Issues in researching mathematics education: do we need more

procedures or better methodologies?

2a sessió (29 de gener):Nicolas Balacheff: A priori analysis, or the role of theory in methodology.

3a sessió (5 de febrer)Norma Presmeg: A semiotic framework for research in Mathematical Education

4a sessió (12 de febrer)Ken Clements: Linking Mathematics Education research with the classroom.

5a sessió (26 de febrer)Guida de Abreu: Constructivism and social representation as frameworks for research

in Mathematical Education.

6a sessió (12 de març)Peter Hilton: Recent changes in research methods in Mathematics.

Encuentro de investigación en educación matemàtica

Aquest Encuentro es va estructurar en quatre sessions durant els dies 19, 20 i 21 defebrer. Es varen formar diferents grups de discussió, depenent dels centres d'interès i, en lessessions paral·leles que es van dur a terme, els ponents exposaven les tendències actuals ifutures de la recerca en el diferents àmbits de l'educació matemàtica.

Vaig assistir a la sessió "Pensamiento Matemàtico Avanzado", amb Matías Camacho,Ricardo Cantoral, Tommy Dreyfus i Modesto Sierra i també a la sessió "Resolución deProblemas", amb Mariluz Callejo, Guida de Abreu, Fred Goffree y Luis Puig.

A més d'aquestes activitats, vaig assistir a totes les conferències plenàries que es vanprogramar, en el marc del TIEM98, a Barcelona (Fac. de Ciències, UAB) i a Girona (Fac. deCiències de l'Educació, UdG). En total, un conjunt de dotze conferències sobre lesMatemàtiques i el seu ensenyament.b) Docència en cursos de Formació Permanent del Professorat

Durant el curs 97-98 vaig impartir tres cursos de 30 hores, distribuïts un a cadatrimestre. Durant el primer trimestre, el curs "Resolució de Problemes", organitzat per l'ICEde la UdG, el segon trimestre el curs "Nombres i funcions", que forma part del "Postgraud'actualització en Ciències i Matemàtiques per a professorat d'ESO", organitzat per l'ICE de

la UAB i, en el marc de la Universitat d'Estiu 1998, i dintre del mateix Postgrau, el curs"Geometria, Estadística i Atzar".

Destaco aquesta docència perquè em va proporcionar un nou marc de reflexió sobre eltreball que presento. En cadascun d'aquests cursos vaig tenir l'oportunitat de plantejar iexperimentar alguna activitat lligada a la situació-nucli "L'estrella de vuit puntes inscrita dinsd'un quadrat". Aquesta experimentació es va dur a terme sense haver de modificar ni elscontinguts ni els objectius dels cursos, dissenyant activitats que s'ajustessin a les diferentsprogramacions.

El fet de poder experimentar i discutir aquestes activitats amb professionals del'ensenyament va ser molt valuós per al desenvolupament d'aquest treball.

Curs de Resolució de Problemes

El primer dels tres cursos era específicament dedicat a la Resolució de Problemes al'ESO. Els assistents al curs eren professors de matemàtiques de diferents IES de lescomarques gironines que estaven treballant amb alumnes d'aquesta etapa i que, per tant,podien aplicar a les seves aules idees i suggerències que es discutien en les diferents sessionsi també utilitzar o adaptar el material que es treballava. El programa del curs (continguts,objectius i metodologia emprada) i el material que vaig elaborar s'adjunta a l'Annex 3.

Les sessions 4 i 5 d'aquest curs (un total de 6 hores), es varen dedicar a la geometria iconcretament vaig proposar als alumnes estudiar l'estrella de vuit puntes (Annex 3, pàg.109-114). Aquest treball es va fer paral·lelament al realitzat amb el professor Francesc Borrell al'IES "Salvador Espriu", en la fase d'identificar una situació nucli i els diferents contingutsmatemàtics que es podrien treballar a partir de la situació.

El tipus de problemes que es van treballar amb els professors assistents al curs podriaser un exemple de com es pot començar a investigar una situació-nucli. Són problemes que escorresponen amb preguntes molt directes sobre la situació, poc estructurats i que cal resoldreabans de portar-los a l'aula perquè poden presentar alguna dificultat inesperada. Tenen lafunció d'aproximar-nos a la situació i, a partir de la seva resolució, ens permeten plantejarproblemes més elaborats, amb objectius més definits i més adequats als interessosd'aprenentatge dels alumnes.

Quan vaig plantejar aquests problemes sobre l'estrella de vuit puntes ho vaig fernomés perquè em van semblar interessants per treballar alguns aspectes de la geometriaelemental i de la magnitud i la mesura, però va ser sorprenent observar com alguns companysvaren anar més enllà i van començar a treballar sobre l'estrella, en el mateix sentit queestàvem treballant a l'IES "Salvador Espriu". A més de sorprenent, l'observació va ser moltgratificant, perquè ens va reafirmar en la manera de treballar que es proposa en aquestaaportació. En acabar el curs, un dels professors assistents em va comentar que, a partir deltreball realitzat sobre l'estrella de vuit puntes, havia elaborat un crèdit variable de geometria.

A partir del material que s'adjunta a l'annex 3 es pot observar que, en aquell moment,encara no es tenia gaire clar quines eren les possibilitats de treball que ofereix l'estrella devuit puntes, i que els problemes plantejats estan molt lluny de les propostes de treball que,

més endavant, es varen fer. No obstant això, crec que el treball realitzat en el curs va ser moltprofitós per als professors assistents, perquè els va suggerir moltes idees. Per altra banda, ésevident que les discussions i reflexions que es varen produir en aquestes dues sessions van serde gran ajuda per aprofundir en el treball que es presenta.

Curs d'actualització en Matemàtiques: "Nombres i funcions"

Es va realitzar durant el segon trimestre del curs 97-98, a Barcelona (ICE UAB, SantPau). Els assistents eren professors de matemàtiques de l'ESO provinents d'altresespecialitats. Durant el curs es va reflexionar sobre aspectes fonamentals dels nombresracionals i irracionals, i sobre les funcions, bàsicament les de proporcionalitat directa iinversa. El curs estava dissenyat pel professor Jaume Jorba i vàrem treballar amb el materialque ell mateix havia elaborat.

Com ja s'ha indicat, part dels continguts del curs estaven dedicats als nombresracionals, i així, es van treballar les fraccions pròpies i impròpies i les seves interpretacions.

En el treball que estàvem realitzant a l'IES "Salvador Espriu", havíem identificataquests continguts lligats a l'estrella de vuit puntes i eren uns dels que havíem seleccionat perdissenyar l'activitat "Polígons i àrees", que ja havíem treballat amb els alumnes. Com que elsresultats que vam aconseguir amb els alumnes de 1r d'ESO van ser força satisfactoris, vaigconsiderar que era una bona activitat per presentar als professors dels curs. Es va presentarlleugerament modificada, per adequar-la a les necessitats concretes del grup (Annex 4).

A part de l'interès de treballar l'activitat amb professors, i de poder valorar-la des delpunt de vista de l'ensenyant, va ser interessant constatar la utilitat d'aquesta manerad'organitzar els problemes, al voltant d'una situació-nucli. El fet de tenir ben definida lasituació, amb els continguts que es poden treballar, i de disposar de propostes de treball benpensades, amb objectius clars, facilita molt el disseny d'activitats i permet ajustar-les bé aunes necessitats concretes. Així, a l'activitat "Polígon i àrees" es treballaven tot un seguit decontinguts lligats als elements dels polígons que es van deixar de banda, per centrar-se mésespecíficament en el concepte de fracció pròpia i el seu significat com a part d'una unitat.

Curs d'actualització en Matemàtiques: "Geometria, estadística i atzar"

Aquest curs es va realitzar de l'1 al 14 de juliol, estructurat en deu sessions de 3 hores,i cinc sessions es van dedicar a la geometria, concretament als moviments i a lestransformacions en el pla. A l'annex 5 es presenta el material que vaig elaborar per treballardurant aquestes cinc sessions.

Va ser durant la preparació d'aquest material quan vaig dissenyar una activitat sobremoviments i transformacions a l'estrella de vuit puntes, que es va treballar durant el curs.Aquesta activitat ja s'ha presentat i valorat anteriorment (apartat 2.3a )

Al mateix dossier s'hi pot trobar una altra activitat, "Raó de semblança, raó d'àrees iteorema de Pitàgores a l'estrella de vuit puntes", que es va proposar com a pràcticaaddicional. Aquesta activitat està poc estructurada i és molt densa per plantejar-la a alumnesde secundària, però penso que treballar-la amb professors va resultar molt profitós perquèdóna idees que els poden ser útils per dissenyar la seva pròpia activitat.

Amb el treball que es va dur a terme es va poder observar que hi ha moltes maneresdiferents de deduir les àrees dels diferents polígons, només a partir de raons d'àrees. Aquestexercici, a part de permetre treballar les semblances de polígons, requereix càlculs ambfraccions. A més permet fer moltes comprovacions, i també utilitzar mètodes de completaciói descomposició en el càlcul d'àrees

Quant al càlcul de perímetres, no és necessària la utilització del teorema de Pitàgores ies poden calcular tots només utilitzant raons de semblança. Ara bé, es pot utilitzar si es creuconvenient i també per comprovar resultats. Per treballar amb longituds i perímetres exactescal dominar el càlcul amb arrels, i aquest exercici proporciona una bona pràctica.

Amb la presentació d'aquesta activitat es va posar de manifest el caràcter obert de totel procés de identificar continguts, fer propostes de treball i dissenyar activitats al voltantd'una situació nucli. Així, es van identificar continguts nous que es poden treballar (nombresirracionals, càlcul amb arrels), i per altra banda va quedar clara la possibilitat de fer unaproposta de treball més ben estructurada, amb objectius ben definits, que permeti el dissenyd'algunes activitats per als alumnes.

c) Participació en Jornades de Didàctica de les Matemàtiques

III Jornades de Didàctica de les Matemàtiques

En aquestes jornades, organitzades pel Grup Perímetre (Girona, 29 i30 de maig de1998), vaig presentar, juntament amb el professor Manel Cañigueral, un taller de Resolucióde Problemes.

Es van plantejar tres problemes per tal que, a partir de la seva resolució, es discutís,per una banda, sobre diferents enfocaments i estratègies de resolució, i per l'altra, sobre lesfinalitats d'aprenentatge. Els objectius del taller eren els següents:

- Mostrar les diferents intencionalitats que hi poden haver darrera del plantejamentd'un problema

- Mostrar la necessitat de reflexionar en profunditat sobre els problemes que esproposen als alumnes, per tal que puguin contribuir clarament en l'aprenentatge.

Un dels problemes que es va escollir era l'apartat a) de l'activitat "Retallantquadrats". Vam considerar que era un problema adequat per introduir, reforçar o bé donarsignificat a conceptes i procediments. En aquest cas els conceptes de divisor i de màximcomú divisor de dos númeross i l'algorisme d'Euclides com a procediment per calcular-lo.

A l'apartat 2.3 c) d'aquest treball s'explica amb detall aquesta experimentació.

1 Jornadas Estatales de Experiencias Educativas

Aquestes jornades, organitzades per la Facultat de Ciències de l'Educació i l'ICE de laUAB (Bellaterra, setembre 98), tenien l'objectiu general de promoure una trobada entreensenyants de diferents àrees per compartir experiències lligades a la pràctica pedagògica.

A proposta del director d'aquest treball, i amb la corresponent autorització de laDirecció General d'Ordenació Educativa del Departament d'Ensenyament, vaig presentar unaponència, amb títol "Situaciones-nucleo, una manera de organizar los problemas dematemáticas", per explicar-ne els trets fonamentals i mostrar alguns exemples.

5 Bibliografia

* ABRANTES, P.(1996): "El papel de la Resolución de Problemas en un contexto deinnovacion curricular". UNO, n.8, pp7-18

* BLISS,J. i OGBORN,J. (1979): "The analysis of qualitative data". European Journal ofScience Education, 1(4), pp427-440

* CALLEJO,M.L. (1994): Un club Matemático para la diversidad. Narcea, Madrid.

* CALLEJO,M.L. (1994b): "Les représentations graphiques dans la résolution deproblèmes: une expérience d'entraînement d'étudiants dans un club mathématique".Educational Studies in Mathematics, Vol.27,pàg.1-33

* COLL,C. (1986): Marc Curricular per a l'ensenyament obligatori. Departamentd'Ensenyament. Barcelona.

* DEPARTAMENT D'ENSENYAMENT DE LA GENERALITAT DE CATALUNYA(1992): Disseny Curricular Base. Àrea de Matemàtiques, etapa 12-16. Diari Oficial dela Generalitat de Catalunya, núm. 1593 del 13/5/92, pp 2776-2778

* GIL,D. i altres (1988): "La resolución de problemas de lápiz y papel como actividad deinvestigación". Investigación en la escuela. n.6. Sevilla

* GUZMAN, M.de (1988): Aventuras Matemàticas. Editorial Labor. Barcelona.

* GRUPO CERO (1987): De 12 a 16. Un proyecto de curriculum de matemáticas.Mestral Libros. València.

* JOHSUA,S. i DUPIN,J.J. (1993): Introduction à la didactiques des sciences et desmathématiques. Presses Universitaires de France, Paris.

* KILPATRICK,J. (1978): "Variables and Methodologics in Research on ProblemSolving". Hatfield & Bradbard (eds.)

* LESTER, F.K. (1994): "Musings about Problem-Solving Research". Journal forResearch in Mathematics Education, 25(6), pp 660-675.

* MASON,J.,BURTON,L. i STACEY,K.(1988): Pensar Matemáticamente. EditorialLabor-MEC. Madrid.

* N.C.T.M.(1980): An Agenda For Action. NCTM, Reston, Virginia.

* N.C.T.M.(1989): Estándares Curriculares y de Evaluación para la EducaciónMatemática. Versión Castellana de la S.A.E.M. Thales (1991). Sevilla.

* POLYA,G. (1965): Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México.

* POLYA,G. (1966): Matemáticas y razonamiento plausible. Editorial Tecnos. Madrid.

* PUIG, L. (1996): Elementos de Resolución de Problemas. Editorial Comares. Granada.

* RICO, L. i altres (1997) La Educación Matemáticaen la Enseñanza Secundaria. ICEUniversitat de Barcelona / Editorial Horsori. Barcelona.

* SCHOENFELD,A.H. (1982): "Mesures of Problem-Solving Performance and Problem-Solving Instruction". Journal for Research in Mathematics Education, 13(1), pp 31-49

* SCHOENFELD,A.H. (1985): Mathematical Problem Solving. Academical Press.Orlando.

* SCHOENFELD,A.H. (1987): "What's all the fuss about Metacognition?". CognitiveScience and Mathematics Education, pp 189-215

* SCHOENFELD,A.H. (1992): "Learning to think mathematically: Problem Solving,Metacognition, and Sense-Making in Mathematics". Handbook of Research onMathematics Theaching and Learning, pp 334-389. D.A. Grouws (ed.). New York:McMillan

* SHELL CENTRE FOR MATHEMATICS EDUCATION (1993): Problemas conpautas y números. Bilbao. Universidad del País Vasco.

* SUYDAM, M. (1987). Indications from Research on Problem Solving. "Teaching andLearning: A Problem-Solving Focus". F.Curcio (ed.) NCTM, Reston, pp 94-114

* VARIS AUTORS (1995) "Using open-ended Problems in Mathematics" Analysen aZDM, 95/2. Articles de Pehkonen, Nohda, Stacey, E.Silver.

5 Annexos

En aquest capítol s'adjunten alguns materials als quals s'ha fet referència durant lapresentació d'aquest treball. Es relacionen a continuació.

Annex 1 Prova d'avaluació inicial, que va ser útil per dissenyar una activitat a partir dela situació nucli "L'estrella de vuit puntes inscrita en un quadrat"

Annex 2 Llista de problemes sobre recomptes, elaborada pel Grup de treball deResolució de Problemes a Secundària. (ICE de la UdG), en el marc delTIEM98.

Annex 3 Programa i desenvolupament d'un Curs de Resolució de Problemes, on s'hitroben dues sessions dedicades a l'estudi de la situació-nucli "L'estrella de vuitpuntes inscrita en un quadrat" (ICE UdG)

Annex 4 Activitat a partir de la situació-nucli "L'estrella de vuit puntes", programadapel curs "Nombres i funcions" (ICE UAB)

Annex 5 Dossier de geometria, preparat per al curs "Geometria, Estadística i Atzar", ons'hi troben dues activitats sobre "L'estrella de vuit puntes". (ICE UAB)

Annex 6 En aquest annex es presenten juntes les diferents activitats que s'han elaboratdurant la realització d'aquest treball, per tal que es puguin consultar amb mésfacilitat. Només s'hi inclouen les propostes a partir de les quals s'hagindissenyat activitats concretes. Es tracta, per tant, d'un dossier obert a mésaportacions, però que vol posar de manifest el tipus d'organització deproblemes de matemàtiques que esproposa.

Situació-nucli 1

Proposta 1

Activitat 1Activitat 2....

Proposta 2

Activitat 1

Activitat 2....

.....Activitat 1

Activitat 2

....

Activitat 2

....

.....

Situació-nucli 2

Proposta 1

Proposta 2Activitat 1

.....