UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA MODELIZACIÓN ...

REVISTA ASTURIANA DE ECONOMÍA - RAE Nº 24 2002

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UNA PROPUESTA METODOLÓGICAPARA LA MODELIZACIÓN

ESTOCÁSTICA DEL GASTOEN PENSIONES EN

LAS COMUNIDADES AUTÓNOMAS

Juan Gómez García

Fulgencio Buendía MoyaUniversidad de Murcia

José García PérezUniversidad de Almería

En este trabajo se modeliza el gasto en pensiones de las distintascomunidades autónomas del Estado Español por medio de un pro-ceso estocástico log-normal 17-dimensional, solución de una ecua-ción diferencial estocástica (E.D.E.) de Itô en la que se han introdu-cido como factores exógenos en su vector drift los incrementosabsolutos del PIB y de la población de derecho de cada comunidadautónoma. Estudiamos el proceso solución de la E.D.E. y sus carac-terísticas estadísticas, estimando la variable en estudio por mediode los vectores de medias, medianas y modas del proceso, una vezestimados los parámetros del mismo. Efectuamos predicciones delvalor de la variable según el modelo estimado para el horizonte2000-2005, y obtenemos las correlaciones entre los gastos de lasdistintas comunidades autónomas para diferentes momentos.

Palabras clave: proceso logarítmico-normal; factores exógenos;ecuación diferencial estocástica; vector de coeficientes de tenden-cia; gasto en pensiones.

1. INTRODUCCIÓN

La protección social existente en los países de la Unión Europea haexperimentado un gran desarrollo en las dos últimas décadas, no sólo enrelación con la población protegida sino también en cuanto a las presta-ciones que configuran la protección social.

En España, los gastos en protección social también han aumentado deforma notable incluso a una tasa superior a la media europea, si bien es

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JUAN GÓMEZ GARCÍA, FULGENCIO BUENDÍA MOYA, JOSÉ GARCÍA PÉREZ. UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA...

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cierto que se partía de niveles inferiores de gasto. Asimismo, cerca del75% según el Anuario de Estadísticas Laborales de 1999, es realizado porel Sistema de la Seguridad Social, y en particular, más de tres cuartas par-tes corresponden a prestaciones económicas, es decir transferenciascorrientes proporcionadas por el Sistema, que tienen como fin cubrir lascargas que para los hogares supone la aparición o existencia de ciertosriesgos o necesidades.

Las prestaciones sociales en dinero provienen de las transferenciasdel Sistema de Seguridad Social a los particulares, los cuales pueden dis-poner libremente de estos recursos, tales como las pensiones de jubila-ción, invalidez, incapacidad transitoria, desempleo u otras prestacionescomo maternidad o ayudas familiares, lo que las diferencia de otras pres-taciones sociales en especie tales como farmacia o asistencia sanitaria através de las cuales el beneficiario recibe la prestación vía servicios.

Las prestaciones sociales se desglosan en: a) prestaciones socia-les de recursos (prestaciones contributivas) y b) bajo condición derecursos (prestaciones no contributivas), estando éstas últimas con-dicionadas, explícita o implícitamente por la legislación de cada país,a que la renta y/o el patrimonio del beneficiario se sitúe debajo de unnivel concreto.

En estos términos, el gasto social en prestaciones sociales en dinerodel Sistema de Seguridad Social en España ha experimentado un creci-miento espectacular en los últimos años, de forma que si en el año 1985alcanzaba los 3,045 billones de ptas., diez años más tarde suponen 8,510billones de ptas.

Los aumentos en términos reales de las pensiones medias, junto a loscambios demográficos y a los aumentos de cobertura, son algunas de lascausas que generalmente se atribuyen a este aumento de los gastos enpensiones en términos reales, según Salas (1988), pp. 210-217, aunqueotros autores, como Jimeno (2000), pp. 22-23 y Monasterio, Sánchez yBlanco (2000), pp. 38-39, citan causas más relevantes en este momento,como fallos en el diseño del sistema de prestaciones que pueden inducira jubilaciones anticipadas o carreras cortas, por ejemplo.

En este contexto en España desde la Constitución de 1978, que crea elEstado de las Autonomías, hemos sido testigos de un intenso proceso dedescentralización tanto del gasto público, derivado del traspaso de com-petencias de la Administración Estatal a las Autonómicas, como del ingre-so público, aunque éste en menor medida.

Basándonos en estas características, intenso crecimiento de los gas-tos sociales en prestaciones económicas de las Administraciones de laSeguridad Social y configuración política de España en un estado deAutonomías, nos planteamos en este trabajo dos cuestiones fundamen-talmente: en primer lugar, modelizar el comportamiento temporal de lavariable volumen de gasto en pensiones del Sistema de Seguridad Socialpor cada Comunidad Autónoma, y en segundo lugar, la estimación de suproyección futura para el periodo 2000-2005 y la detección y medida de

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posibles correlaciones entre los gastos de las diferentes ComunidadesAutónomas. Este último aspecto de los objetivos planteados nos permiti-rá realizar un análisis comparativo del signo de los incrementos del gastoen pensiones entre cada dos comunidades autónomas o de cada una contodas las demás en un mismo momento o en momentos diferentes, talescomo el presente y otro futuro o los dos futuros. Asimismo será posible,utilizando las rectas de regresión mínimo-cuadráticas correspondientes,efectuar predicciones del gasto futuro en pensiones de una C.A. cualquie-ra, condicionado al valor de ese gasto en otra C.A. en el mismo u otromomento.

2. METODOLOGÍA

En la actualidad existe gran interés por los estudios de la conducta delgasto público sobre la base de datos empíricos y hechos históricos, conel fin de descubrir si pueden hacerse generalizaciones acerca de su com-portamiento.

El análisis cuantitativo en este campo ha seguido diferentes líneas quevan desde la identificación de factores causales de la evolución del gastoy predicción de su comportamiento futuro hasta la comparación de nive-les de cobertura del gasto entre países o áreas geográficas diversas.

Los análisis empíricos relativos a la primera de las líneas anterior-mente citadas se manifiestan en una explotación rigurosa de los datos,formulación y contraste de hipótesis y aplicación de técnicas de estima-ción apropiadas.

El trabajo de Camerón (1978), pp. 1243-1261, puede ser representativode otra línea de estudio caracterizada por la ampliación del número devariables explicativas en los análisis del gasto público y por la desagre-gación del gasto en categorías económicas o funcionales homogéneas. Aesa misma línea pertenece el trabajo de Henrekson y Lybeck (1988), pp.213-232, donde se presenta un modelo aplicable a las distintas realidadesnacionales con el objetivo de contrastar las principales teorías explicati-vas del crecimiento del gasto público. Las ecuaciones que utiliza el mode-lo tienen como variables explicativas el grado de urbanización, población,renta per cápita, ratio del deflactor del consumo público sobre el deflac-tor del PIB, relación renta mediana-renta media, grado de apertura de laeconomía, participación de los impuestos directos en los impuestos tota-les, déficit público, empleo público, tasa de paro, tipos de gobierno, coa-liciones de gobierno, etc.

La elección de las variables explicativas y su conocimiento limitan lostrabajos , en el sentido de que considerar unas variables supone obviarotras que pueden tener más influencia sobre la variable en estudio. Encuanto al carácter predictivo de estos modelos, cabe destacar que permi-ten obtener una predicción a corto plazo. Ello es debido a la variación quepueden sufrir las variables que intervienen en él.

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La metodología estadística utilizada en relación con la estimación deparámetros y contrastes de hipótesis se concreta en el método de losmínimos cuadrados y los estadísticos correspondientes para determinarlos intervalos de confianza.

Otro tipo de modelos que se utilizan en estos estudios son los deseries temporales. En este sentido, y a pesar de que en un principio seconsideraron modelos determinísticos, los últimos trabajos se concretanen analizar series temporales estocásticas [Mures (1991), pp. 22-35]. Unaventaja importante que presentan estos modelos con respecto a los deregresión radica en que no utilizan otras variables, es decir, se analiza ypredice el valor de la variable a partir de su comportamiento observadoen el pasado. Un inconveniente importante es que requieren un periodoamplio de observación en el que no haya cambios estructurales del mode-lo y no es posible determinar a primera vista cual debe ser la especifica-ción adecuada de un modelo de este tipo, ya que pueden existir diferen-tes precisiones del modelo potencialmente razonables. Asimismo, aun-que pueden determinarse intervalos de confianza para las prediccionesgeneradas por el modelo, siempre hay que decidir si podría tener lugaruna modificación estructural significativa que afecte a la determinaciónde la variable en estudio, lo que puede alterar el comportamiento futurode la serie temporal.

3. EL MODELO DE DIFUSIÓN LOG-NORMAL

Si bien la distribución log-normal ha sido utilizada ampliamente desdehace tiempo como modelo probabilístico en diversos campos científicos,las aplicaciones de la difusión estocástica log-normal han tenido hastahace poco un uso más restringido. En general, los procesos de difusiónson importantes por sus aplicaciones y en las últimas décadas la modeli-zación estocástica ha alcanzado gran relieve. En particular, el proceso log-normal ha sido utilizado para modelizar variables, económicas sobretodo, en cuya evolución se pueda formular una hipótesis de cambio pro-porcional al estado del sistema. Es el prototipo de procesos para los movi-mientos de precios especulativos en donde la varianza del logaritmo delprecio crece proporcionalmente al tiempo. Tintner y Sengupta, en su Sto-chastic Economic (1972), pp. 27-65, consideran estos procesos comogobernadores de gran número de fenómenos en los que se trata de estu-diar el comportamiento de una variable económica.

En este trabajo abordamos el estudio del comportamiento de la variableGASTO PÚBLICO EN PENSIONES del sistema de la Seguridad Social, mode-lizándola como un proceso estocástico de difusión logarítmico-normal vec-torial, cuyas componentes son las variables aleatorias que representan elvalor del gasto en las distintas comunidades autónomas. El análisis de laevolución de la variable y la bondad del ajuste obtenido mediante una regre-sión exponencial (ver tabla siguiente) nos permiten aceptar un crecimientoexponencial de la tendencia del proceso y una hipótesis de variación delmismo proporcional a su estado (vector de coeficientes de tendencia decomponentes proporcionales a los correspondientes de la variable).

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Cuadro 1COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN DE LOS AJUSTES EXPONEN-

CIALES AL TIEMPO DE LOS VALORES REALES DEL GASTO EN PEN-SIONES DE LAS DISTINTAS C.A.

Independent: TIEMPO

Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1

C-LEÓN EXP ,952 7 139,81 ,000 189613 ,0591CATALUÑA EXP ,991 7 772,31 ,000 468965 ,0575C-VALENC EXP ,980 7 335,48 ,000 228549 ,0609PA-VASCO EXP ,988 7 590,00 ,000 163244 ,0621ANDALUCI EXP ,981 7 360,92 ,000 357402 ,0702ARAGÓN EXP ,971 7 232,86 ,000 91697,1 ,0603ASTURIAS EXP ,969 7 217,69 ,000 122565 ,0522BALEARES EXP ,974 7 259,75 ,000 46943,9 ,0562CANARIAS EXP ,978 7 311,11 ,000 56579,1 ,0764CANTABRI EXP ,968 7 214,42 ,000 42230,3 ,0567C-MANCHA EXP ,966 7 201,19 ,000 99490,4 ,0619EXTREMAD EXP ,943 7 116,27 ,000 59839,6 ,0633GALICIA EXP ,943 7 116,19 ,000 187847 ,0576MADRID EXP ,927 7 88,32 ,000 344786 ,0403MURCIA EXP ,906 7 67,48 ,000 64358,7 ,0541NAVARRA EXP ,964 7 189,72 ,000 35666,4 ,0602RIOJA EXP ,975 7 272,03 ,000 19179,2 ,0570

Elaboración propia con programa SPSS a partir de los datos del Misterio de Trabajo yAsuntos Sociales (1998).

La metodología resultante de concebir el gasto público como un pro-ceso estocástico log-normal tiene ventajas importantes respecto de la deseries temporales y de la de modelos de regresión, que han sido los enfo-ques más utilizados para analizar esta variable. En efecto, no se precisa laselección de variables explicativas (caso de los modelos de regresión) ola especificación del modelo de series temporales; se mejora la capacidadde predicción del modelo, puesto que no requiere conocer otras variables,y se tiene la posibilidad de introducir variables externas al problema, quesólo dependen del tiempo, y que pueden mejorar la fiabilidad o capacidadpredictiva del modelo. Además, en particular en nuestro estudio, conoce-remos la distribución de la variable en cada momento, permitiéndonos elconocimiento de sus características estadísticas en los tiempos en queinterese la predicción, así como las correlaciones entre las componentescorrespondientes a distintos valores del tiempo.

En los trabajos anteriores en los que se estudia la evolución de ciertasvariables a través de un proceso logarítmico-normal [Gómez y Tintner (1981),

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pp. 177-193; Gutiérrez et al. (1991), pp. 295-316; Mures (1991), pp. 150-169],se procede planteando las ecuaciones de Kolmogorov asociadas al procesoy dando directamente la función de densidad de transición como solucióncomún de ambas ecuaciones de difusión. Esta metodología no permite dis-poner de la expresión analítica del proceso ni hacer el estudio de sus distri-buciones p-dimensionales [ver, por ejemplo, Buendía-Gómez (1995), pp.311-318 y (1998), pp. 369-370; y Gómez-Buendía (2001), pp. 393-414]

En este trabajo procederemos planteando la E.D.E. (ecuación diferen-cial estocástica) que rige el proceso log-normal multidimensional con fac-tores exógenos, dando su solución y estudiando a partir de ésta todas lascaracterísticas estadísticas del proceso, en particular los momentos de lasdistribuciones p-dimensionales.

4. EL PROCESO DE DIFUSIÓN LOG-NORMAL MULTIDIMENSIONALCON FACTORES EXÓGENOS COMO PROCESO DE ITÔ

4.1. Construcción de la E.D.E. Existencia y unicidad de soluciones

Consideramos la función

(4.1.1)

de componentes

(4.1.2)

donde mij Œ R (i=1, 2,..., n; j=0,1,...,k) y las funciones G1(t),..., Gk (t), llama-

das factores exógenos, pues no dependen del estado del proceso, estándefinidas sobre (0, ∞) y son continuas y acotadas y con valores en R.

Asimismo, consideremos la función matricial

(4.1.3)

con B = (ßij)ij=1, 2,..., n una matriz dada de elementos ßik Œ R, definida positi-va y simétrica.

Como B = (ßij)ij=1, 2,..., n es fijada de antemano, buscamos una matriz ß*(t,x) tal que

(4.1.4)

Entonces planteamos la E.D.E.

(4.1.5)dX t( ) = m t , X t( )( )dt + β∗ t, X t( )( )dW t( )X 0( ) = X

0∈ R +( )n

t ≥ 0

β∗ t , x( ) β∗ t , x( )[ ] t

= β t , x( ) = βij x ix j( )i , j=1,2,...,n

β: 0, ∞[ ) × R +( )n→ M

n ×n R( )β t ,x( ) = β ijx ix j( )

i ,j=1,2,...,n

mi t , x( ) = mi0 + mi

jGj t( )j=1

k

∑

x i i = 1, 2,...,n

m: 0, ∞[ ) × R +( )n→R n

m t, x( )= m10 + m1

jG j t( )j=1

k

∑

x1, m2

0 + m2jG j t( )

j=1

k

∑

x 2 ,⋅ ⋅ ⋅⋅, mn

0 + mnjG j t( )

j=1

k

∑

x n

t

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donde {X(t), t ≥ 0} es un proceso con valores en (R+)n y, naturalmente, W (t)es un proceso Wiener o de movimiento Browniano n-dimensional standard.

Esta ecuación diferencial estocástica tiene sentido y solución única,que es un proceso de difusión [ver teorema de existencia y unicidad desoluciones de una E.D.E en Gihman y Skorohod (1972), pp. 40-43 ó Arnold(1974), p. 143, por ejemplo].

El proceso solución es [Buendía (1998), pp. 268-292]

(4.1.6)

dondeverifica

que es independiente de la matriz ß* (t,x) verificando (4.1.4) utilizada paraplantear (4.1.5), y cuyo vector de coeficientes de tendencia (vector drift)m(t, x) es el dado por (4.1.1), siendo su matriz de difusión

En forma de componentes (4.1.6) se puede expresar

(4.1.7)

4.2. Características estadísticas del proceso

A partir de (4.1.6) obtenemos para los momentos de las distribucionesp-dimensionales conjuntas del proceso {X(t), t ≥ 0}

(4.2.1)

puesto que el proceso {Y(t)=log X(t), t ≥ 0} es, de (4.1.6), un proceso Gaus-siano, aunque no Wiener, con funciones media y covarianza

(4.2.2)

de modo que Y(t) sigue una distribución

(4.2.3)Nn Y0 + m0 −12

diagB

t + mj G j( )

0

t, tB

j=1

k

∑

E Y t( )[ ] = Y0 + m0 −12

diagB

t + mj Gj( )

0

t

j=1

k

∑Cov Y t( ), Y s( )[ ] = Cov sW t( ), sW s( )[ ] = s min t, s( )I[ ]st = min t, s( )B

Cov Y t( )[ ] Cov Y t( ), Y t( )[ ] = tB=

ui = ui1,ui

2 ,..,uin( ) ∈R n , i = 1, 2,..p; Y t( ) = log X t( ), Y0 = log X0

mu1,u2 ,..,upX t

1( ), X t2( ),.., X t

p( )[ ] =

E X1 t1( )[ ]u11

. X 2 t 1( )[ ]u12

.... X n t 1( )[ ]u1n

...... X1 t p( )[ ]u p1

. X 2 t p( )[ ]u p2

.... X n t p( )[ ]upn

= E exp uijY

jt

i( )j=1

n

∑i=1

p

∑

= E exp ui.Y t

i( )i=1

p

∑

Xi t( ) = X 0iexp mi0 −

12

βii

t + mi

j Gj( )0

t

j=1

k

∑ + σ irW r t( )r =1

n

∑

i = 1,2,...,n

b∗ t ,x( ) b∗ t, x( )[ ]t

= b t , x( ) = βij x ix j( )i , j=1,2,...,n

s.st = B = βij( )i , j=1,2,...,nσG j( )

0

t= Gj s( )

0

t

∫ ds,

X t( ) = X0exp m0 −12

diagB

t + mj G j( )

0

t

j=1

k

∑ + sW t( )

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Nos interesan especialmente los siguientes momentos de las distribu-ciones bidimensionales y unidimensionales del proceso:

1) Para

(4.2.4)

2) Los momentos marginales cualesquiera de las distribuciones unidi-mensionales, o sea de la variable X(t) general del proceso.

Para

(4.2.5)

3) Los casos particulares del anterior

3.1) Para

(4.2.6)

3.2) Para

(4.2.7)

Para la matriz función covarianza del proceso se tiene

Cov X t( ), X s( )[ ] = Cov Xi t( ), X j s( )[ ]( )i ,j=1,2,..,n

E X i t( )[ ] = X0i exp mi0t + mi

j Gj( )0

t

j=1

k

∑

i =1, 2,...,n

p = 1 y u1 = u = 0,0,..1i

, 0,..0

E Xi t( )[ ] 2

= X 0i( ) 2exp 2mi

0t + 2 mij G j( )

0

t+ βiit

j=1

k

∑

i = 1, 2,..,n

p = 1 y u1 = u = 0,0,..2i

,0,..0

mν1,ν2,...,νnX t( )[ ] = E X 1 t( )[ ]ν1

. X 2 t( )[ ]ν2.... Xn t( )[ ]νn

= E exp u ⋅ Y t( )[ ]{ }= exp u ⋅ log X

0+ m0 − 1

2diagB

t + mj G

j( )0

t

j=1

k

∑

+ 1

2u Bt( )ut

= X 01ν1.X 02

ν2 .LX 0nνnexp u ⋅ m0 −

12

diagB

t + mj G j( )

0

t

j=1

k

∑

+12

tuBut

p = 1 , u1 = u = ν1, ν2 ,..,νn( ) y t 1 = t

E X i t( )X j s( )[ ] = expY

0i+ m

i0 − 1

2β

ii

t + m

ir G

r( )0

t+ 1

2β

iit +Y

oj

r =1

k

∑+ mj

0 −12

βjj

s + mj

r Gr( )0

s+

12

β jjs + βijmin t ,s( )r =1

k

∑

= X 0iX 0jexp mi0t +mj

0s + mir Gr( )

0

t+ mj

r Gr( )0

s

r =1

k

∑ + βijmin t , s( )

p = 2, u1 = 0,0,..,1i

,0,..,0

y u2 = 0, 0,..,1

j

,0,.., 0

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(4.2.8)

y para la matriz de varianzas-covarianzas de la variable n-dimensonal X(t)

(4.2.9)

En particular, para las varianzas marginales de X(t)

(4.2.10)

La matriz función de correlaciones del proceso será

(4.2.11)

y la matriz de correlaciones de la variable n-dimensional X(t)

(4.2.12)

que, como se ve, no dependen de los coeficientes de tendencia del pro-ceso ni, por tanto, de los factores exógenos.

ρij t( ) = Corr X i t( ), X j t( )[ ] =Cov X

it( ), X

jt( )[ ]

Var Xi t( )[ ]Var X j t( )[ ]=

=exp β

ijt( ) −1

exp βii t( ) −1[ ]1

2 exp βjj t( ) − 1[ ]1

2i, j = 1,2,...,n

ρij t ,s( ) =Corr X i t( ), X j s( )[ ] =Cov X

it( ), X

js( )[ ]

Var X i t( )[ ]Var X j s( )[ ]=

exp βijmin t, s( )[ ]−1

exp βii t( ) −1[ ]1

2 exp βjj s( ) −1[ ]i, j = 1,2,..,n

12

Var Xi t( )[ ] = X 0i2 exp 2mi

0t + 2 mij G j( )

0

t

j=1

k

∑

× exp βiit( ) −1[ ] i = 1,2,...,n

Cov X i t( ), X j t( )[ ] =E Xi t( ) ⋅ X j t( )[ ]−E X i t( )[ ]E X j t( )[ ]= Xoi X0j exp mi

o + mj0( )t + mi

r +mjr( ) Gr( )

o

t

r =1

k

∑

× exp βijt( ) −1[ ] i, j = 1,2,...,n

Cov X i t( ), X j s( )[ ] =E Xi t( )X j s( )[ ] −E Xi t( )[ ]E X j s( )[ ]= X 0iX 0jexp mi

0t + mj0s + mi

r Gr( )0

t+m j

r Gr( )0

s

r =1

k

∑ + βijmin t ,s( )

−X 0iexp mi0t + mi

r Gr( )0

t

r =1

k

∑

X 0 jexp mj

0s + mjr Gr( )

0

s

r =1

k

∑

= X 0iX 0 jexp mi0t +mj

0s + mir Gr( )

0

t+mj

r Gr( )0

s

r =1

k

∑

exp βij min t, s( )[ ]−1{ }i, j = 1,2,...,n

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Para las modas y medianas de los procesos componentes {Xi (t), t ≥ 0 },teniendo en cuenta las expresiones de estas medidas para los procesoslog-normales unidimensionales [Buendía (1998), p.184], las fórmulas(4.1.6), (4.1.7) y (4.2.3) y las distribuciones marginales del procesoLN(n,k,m) {X (t), t ≥ 0 }, se tiene

(4.2.13)

4.3. La densidad de transición del proceso

De (4.1.6) deducimos también, para la función de densidad de tran-sición del proceso log-normal n-dimensional con k factores exógenos{X (t), t ≥ 0 } [Buendía (1998), pp. 238-239 y 288-289]

(4.3.1)

(4.3.2)

Los momentos condicionados por X(t0) = x0 Œ (R+)n del procesoLN(n,k,m) son los momentos ordinarios del proceso {X(t, t0, x0), t ≥ t0} con

obteniéndose

(4.3.3)

mν1,ν2 ,...,νnX t( ) / X t 0( ) = x 0[ ] = E X1 t( )[ ]ν1

. X 2 t( )[ ]ν2.... X n t( )[ ]νn

/ X t 0( ) = x0

= E exp u ⋅ Y t ,t 0 , y0( )[ ]{ }= exp u ⋅ logx

0+ m0 − 1

2diagB

t − t

0( )+ mj Gj( )

t0

t

j=1

k

∑

+ 12

u B t − t0( )[ ]ut

= x 01ν1.x 02

ν2 .Lx 0nνnexp

u. m0 − 12

diagB

t − t

0( ) + mj Gj( )

t0

t

j=1

k

∑

+12

u B t − t 0( )[ ]ut

X t,t 0 , x0( ) = x0exp m0 −12

diagB

t − t 0( ) + mj Gj( )

t 0

t

j=1

k

∑ + σ W t( ) − W t 0( )[ ]

Q = logx − logx 0 − m0−

12

diagB

t − t 0( ) − mj Gj( )

t0

t

j=1

k

∑

t

B t − t 0( )[ ]−1

× logx − log x0 − m0−

12

diagB

t − t 0( ) − mj G j( )

t0

t

j=1

k

∑

p x,t / x 0 ,t 0( ) = p y,t / y0 ,t 0( ) 1x 1x 2 ⋅ ⋅ ⋅ x n

=1

x ii=1

n

∏

2π( )n

2 det B t − t 0( )[ ]{ } 12

exp −12

Q

Moda X i t( )[ ] = X0i exp mi0 −

32

βii

t + mi

j Gj( )0

t

j=1

k

∑

Mediana Xi t( )[ ] = X0i exp mi0 −

12

βii

t + mi

j Gj( )0

t

j=1

k

∑

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de donde podemos obtener inmediatamente el vector de medias condi-cionadas por X(t0) = x0, la matriz de varianzas-covarianzas condicionadaso la matriz de correlaciones condicionadas de la variable X(t).

4.4. Estimación de parámetros

En las condiciones prácticas usuales para conducir la inferencia enprocesos, esto es, suponiendo que el muestreo es equidistante en el tiem-po, que los factores exógenos Gi(t) son conocidos sólo en los tiemposmuestrales del proceso y que en cada intervalo [ta-1, ta] los factores exó-genos son constantes, es decir, en cada intervalo

se tendría, para intervalos de amplitud unidad .

Entonces, centrándonos en el caso de dos factores exógenos G1 (t) yG2 (t), los estimadores de los vectores paramétricos m0, m1 y m2 satisfa-cen las siguientes ecuaciones, obtenidas por el método de máxima vero-similitud [Palacios (1995), pp. 121-123]:

(4.4.1)

de donde se obtienen m̂0, m̂1 y m̂2.

La matriz ^B estimada de B se obtiene a partir de los estimadores

m̂0,m̂1 ym̂2 :

(4.4.2)

En las condiciones establecidas al principio, una vez estimados losparámetros del proceso, en las expresiones de los momentos y medidasde posición a estimar pondremos .

5. APLICACIÓN

Aunque la modelización estocástica se ha usado con éxito en ciertoscampos científicos (biología, marketing , finanzas) son escasos los estu-dios macroeconómicos en los que se haya utilizado difusiones multidi-

Gi( )o

t= Giα

α =1

t

∑

B̂ =1

n − 1⋅

log xα − log xα −1 − m̂1G1α − m̂2G 2α[ ]t. logxα − log xα −1 − m̂1G1α − m̂2G 2α[

α =2

n

∑

m̂0 = m̂0 − 12

diagB̂ = 1n

log xα − logx α −1 − m̂1G1α −m̂2G

2α[ ]α= 2

n

∑

m̂1 G1α2

α =2

n

∑

= logxα − log xα −1 − µ̂0 − m̂2G 2α[ ]

α =2

n

∑ G1α

m̂2 G2α2

α =2

n

∑

= log xα − logxα −1

− µ̂0 − m̂1G1α[ ]G2α

α =2

n

∑

Gi t( )tα −1

tα

∫ dt =Giα

Gi tα( ) =Giα i = 1,2,.., k( )

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mensionales o en los que se haya modelado conjuntamente variablesendógenas con otras variables exógenas controlables externamente. Eneste apartado, mostramos las posibilidades de esta metodología paraexplicar y predecir los valores de diecisiete variables macroeconómicas:Gasto en pensiones en la Comunidad Autonómica i, i=1,2,...17, que com-prende las pensiones contributivas de invalidez e incapacidad, jubilación,viudedad, orfandad, a favor de familiares y las pensiones no contributi-vas. Se dispone de información de tales gastos para el periodo 1986-1995.

Sea un proceso estocástico dieci-siete-dimensional donde Xi(t) representa el gasto público en pensiones enla Comunidad Autónoma i en el año t. Como se ha indicado antes, el aná-lisis de la evolución de las variables y la bondad del ajuste obtenidomediante una regresión exponencial para cada una de ellas nos permitenaceptar un crecimiento exponencial de la tendencia del proceso y unahipótesis de variación del mismo proporcional a su estado, y por ellosuponer que X(t) satisface una E.D.E. del tipo (4.1.5). Aplicando los resul-tados teóricos obtenidos en los apartados 4.2, 4.3 y 4.4 se estiman losparámetros del vector de coeficientes de tendencia y la matriz de difusión,la solución de la E.D.E., así como sus características más importantes(valor esperado, mediano, modal, varianza) para cada t y también losvalores de la función de correlación para cada proceso marginal en dife-rentes instantes de tiempo y para el proceso diecisiete-dimensional en elmismo o diferentes tiempos.

Como se ha señalado en la parte teórica, los resultados obtenidos allíse pueden utilizar para efectuar predicciones sobre valores futuros deX(t). Asimismo, verificaremos que eligiendo adecuadamente factores exó-genos controlables se mejora la bondad del ajuste y que esto constituyeun procedimiento de control de los valores futuros del proceso [puedeverse, por ejemplo, en Barea, Carpio, Domingo y otros, (1996), un análisisde las causas del crecimiento del gasto en pensiones]. Se han ensayadocomo factores exógenos los siguientes: Producto Interior Bruto Regional(PIBR), Población Total de Derecho, Renta per Cápita y sus incrementosabsolutos y relativos y se ha seleccionado los incrementos absolutos delPIBR y de la Población Total de Derecho. (En el apartado siguiente pro-porcionamos el criterio de selección). Los valores correspondientes serecogen en los cuadros 1 y 2 siguientes.

Cuando se quiere efectuar predicciones en tiempos donde los factoresexógenos no son conocidos hay que predecirlos formulando alguna hipó-tesis sobre tales valores. Ejemplos de hipótesis posibles, entre otrasmuchas, son:

1) El factor exógeno crece a una tasa igual a la media en el periodoconocido o en un subperiodo final.

2) El factor exógeno crece a una tasa igual al máximo de las tasas enperiodo conocido.

3) El factor exógeno crece a una tasa igual al mínimo de las tasas enperiodo conocido.

X(t),t ≥ 0} ={ (X1(t), X2 (t){ ,...,X17(t)), t ≥ 0}

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Cuadro 1INCREMENTO DEL PIBR EN MILLONES DE PESETAS DE 1986

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Andalucía 284.073 256.878 148.387 299.041 136.236 32.306 -109.200 116.074 152.252Aragón 45.194 79.798 76.491 44.051 20.121 12.416 -21.470 16.827 50.627Asturias 18.930 39.613 36.467 -5.052 20.466 35.280 -30.668 14.573 18.189Baleares 52.887 33.955 18.210 69.985 29.697 22.150 2.713 25.374 35.351Canarias 83.057 76.952 59.279 -882 14.231 51.567 15.925 44.503 38.989Cantabria 20.969 49.087 34.245 197 -3.546 9.175 -9.540 13.384 9.507Cast-León 114.245 72.570 90.235 49.627 -4.199 18.377 39.852 54.529 41.084Cast-La Mancha 103.340 104.677 92.157 43.634 26.121 14.993 -65.990 21.074 26.796Cataluña 332.250 383.344 361.548 399.568 224.783 104.275 -80.583 207.481 250.564Com.Valenciana 212.037 153.283 143.952 156.616 129.620 -20.182 -87.146 70.708 136.467Extremadura 55.541 43.951 21.568 15.280 29.269 10.252 -8.563 10.970 12.212Galicia 72.411 103.072 98.146 -6.839 57.355 28.526 -13.217 48.897 43.073Madrid 276.062 229.715 259.037 163.075 191.809 -4.449 -69.203 129.825 182.284Murcia 42.181 26.042 51.934 63.833 -27.362 8.245 -2.430 24.238 17.343Navarra 51.612 14.937 51.221 17.384 -4.029 -11.182 -9.216 16.474 18.154País Vasco 42.531 76.484 139.902 37.777 42.548 -45.905 -40.832 20.568 82.178La Rioja 6.396 13.540 10.846 50.483 8.468 7.104 -1.927 5.998 8.883

Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de la Contabilidad Regional de España (I.N.E.).Nota: En la actualidad, el I.N.E. todavía no dispone de los datos definitivos sobre el PIBRpara los años posteriores a 1995.

Cuadro 2INCREMENTO DE POBLACIÓN POR COMUNIDAD AUTÓNOMA

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Andalucía 45.453 41.457 39.574 40.080 40.410 38.132 35.838 33.140 31.630Aragón -1.959 -2.361 -2.400 -2.768 -2.047 -1.165 -1.421 -1.941 -2.121Asturias -4.259 -5.469 -6.100 -6.084 -4.499 -3.188 -3.797 -4.708 -5.348Baleares 6.703 11.098 12.544 7.422 4.050 4.402 2.930 2.778 3.915Canarias 13.875 17.373 16.146 9.980 8.701 11.689 11.907 12.973 14.007Cantabria 835 517 335 162 -118 -309 -429 -173 30Cast-León -5.529 -9.179 -12.255 -14.310 -10.711 -7.391 -7.629 -6.787 -6.120Cast-La Mancha -1.253 -3.192 -3.942 -2.272 2.175 5.554 6.278 6.773 7.274Cataluña 8.277 10.567 11.547 8.594 5.345 4.982 2.965 -1.086 -2.157Com.Valenciana 16.267 17.579 19.886 19.482 14.953 10.814 9.678 9.609 9.976Extremadura -69 -2.635 -5.576 -5.392 -1.561 1.590 2.410 2.858 2.895Galicia -12.311 -13.267 -13.241 -11.831 -6.199 -846 -589 -2.031 -2.963Madrid 25.559 24.164 22.388 18.678 16.388 18.878 16.744 9.869 7.343Murcia 7.771 7.491 7.822 7.565 7.224 7.619 7.275 6.917 6.788Navarra -25 5 395 406 917 1.456 1.155 1.164 1.335País Vasco -5.478 -10.380 -12.102 -11.198 -7.472 -5.455 -6.196 -6.909 -7.364La Rioja 558 594 236 201 84 -522 -834 -680 -433

Fuente: Elaboración propia a partir de las Proyecciones y Estimaciones Intercensales dePoblación (I.N.E.)Nota: Hasta 1990 son datos estimados. A partir de 1991 los incrementos se refieren apoblaciones proyectadas a partir del censo de 1991.

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4) El factor exógeno se mantiene constante con valores iguales a laúltima observación.

5) El factor exógeno se predice mediante modelos de regresión.

En este trabajo se ha considerado para el primer factor exógeno, quelos incrementos absolutos del PIBR se mantienen constantes e iguales alincremento medio en el subperiodo 1991-1995, y para el factor exógeno“incremento absoluto de población” se han utilizado las proyecciones delINE para el horizonte de predicción considerado.

5.1. Estimación del modelo y predicción

Utilizando las expresiones (4.4.1) se obtienen las siguientes estimacionesde los parámetros m̂0, m̂1 ym̂2 que aparecen en el cuadro 3 siguiente

Cuadro 3PARÁMETROS ESTIMADOS

Parámetros m̂0 m̂1 m̂2 ß̂ii m̂0

Andalucía -8,5517979E-03 -2,8393467E-08 2,1181654E-06 4,5476648E-04 -8,3244147E-03Aragón 1,5339947E-03 -1,3384672E-08 -2,8136814E-05 3,0888834E-04 1,6884389E-03Asturias 7,4986612E-03 -9,5706479E-08 -8,7899587E-06 5,4489084E-04 7,7711066E-03Baleares 2,1701673E-02 2,9250885E-07 3,3598716E-06 1,0490537E-03 2,2226200E-02Canarias 1,2607376E-03 -1,4854431E-06 1,0001802E-05 1,9472387E-03 2,2343569E-03Cantabria 5,1713664E-02 -3,2113619E-07 3,5661864E-05 3,8868261E-03 5,3657077E-02Cast-León -1,3584363E-02 1,0765854E-08 -7,7407406E-06 2,7897730E-04 -1,3444874E-02Cast-La Mancha 4,9260098E-02 2,4722787E-07 -1,5809962E-06 3,3378650E-03 5,0929031E-02Cataluña 3,3485165E-02 2,8936773E-08 2,1424789E-06 1,5724627E-03 3,4271396E-02Com.Valenciana 4,8110239E-05 -1,2004641E-07 4,8960009E-06 1,2870581E-04 1,1246314E-04Extremadura 4,3673871E-02 3,7635641E-07 -8,1218694E-06 2,5132718E-03 4,4930507E-02Galicia 4,0623863E-02 -6,4958686E-07 -5,8586288E-06 3,6417791E-03 4,2444753E-02Madrid 1,2339603E-02 5,4302205E-08 1,3915698E-06 2,1263177E-03 1,3402762E-02Murcia -7,4832941E-03 4,1040076E-07 7,1794471E-06 9,7148944E-04 -6,9975494E-03Navarra 3,7170169E-02 1,1654289E-06 6,7777003E-06 2,1793367E-03 3,8259838E-02País Vasco 1,3453139E-03 -2,9308384E-07 -8,3327350E-06 3,3377672E-04 1,5122022E-03La Rioja 3,8652312E-02 9,9368575E-07 8,9965160E-06 2,0746950E-03 3,9689660E-02

Nota: Con las estimaciones de m1 y m2 obtenemos la matriz B estimada (3.4.2), y a par-tir de ella el vector m0 estimado.

Como estimación del gasto en pensiones en cada comunidad se utili-zará la media o valor esperado, la mediana o la moda de cada procesocomponente (gasto correspondiente en cada comunidad autónoma). En elcuadro 4 se recogen los valores reales de gasto para el periodo estudia-do, así como las medias, modas y medianas estimadas.

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Para comparar los ajustes obtenidos para cada elección de factoresexógenos y seleccionar finalmente los indicados se ha utilizado comoindicador el error promedio relativo (EPR), promedio de los cocientespor el gasto real de las diferencias en valor absoluto entre la media esti-mada y dicho gasto real, expresado porcentualmente. (En los cuadros4 se da también el error relativo máximo de la media estimada, EMR,para cada C.A., en los años en que son conocidos los valores reales). Seincluyen también, después del cuadro 4 los gráficos del comporta-miento de los valores reales y estimados para algunas de las comuni-dades autónomas en el periodo 1987-1995, que se han seleccionado atítulo de ilustración.

Una vez modelizada la variable de interés podemos realizar predic-ciones bajo las hipótesis detalladas anteriormente acerca de los facto-res exógenos. En el cuadro 4 se recogen predicciones para el periodo1996-2005.

Los cuadros 5 y 6 muestran los valores de la función de correlación delproceso para t = 2000 y para (t, s) = (2000,2005).

Comentario.- Como el proceso multidimensional

{logX (t) = (logX1 (t); logX2 (t),..., logX17 (t)), t ≥ 0}

es Gaussiano, sus distribuciones bidimensionales son normales, y si noexiste asociación lineal entre las variables logXi (t), logXj (s); t, s ≥ 0,tampoco la hay de ningún otro tipo funcional. En este caso, esta pro-piedad se transmite a las variables Xi (t), Xj (s); t, s ≥ 0. Esto significaque las correlaciones bajas las interpretaremos prácticamente comoindependencia.

En el cuadro 5, de correlación solamente espacial, observamos queAndalucía y Castilla-León, por ejemplo, presentan correlaciones negativascon la mayoría de las demás C.A. Esto significa, en los casos en que seanaltas (cuando son bajas, como And.-Bal., And.-Cant., And.-Gal., etc. o C.M-And., C.M.-Murcia, etc., como hemos señalado antes, no existe relaciónde dependencia de ningún tipo), que en el año 2000, si en las demás C.A.se hubiera producido gastos superiores al estimado en una cantidad ∆Gentonces en estas dos C.A. disminuiría el gasto respecto del estimado encantidades que se calcularían a partir de las rectas de regresión mínimocuadráticas correspondientes, que se obtienen a partir de (4.2.8)-(4.2.10).Asimismo, si tomamos, por ejemplo, el par País Vasco-Cantabria, con uncoeficiente de correlación 0,907, interpretamos que si en el País Vasco seprodujera un incremento del gasto estimado de ∆G, entonces en Canta-bria el gasto estimado experimentaría un incremento del mismo signo∆G’ que calcularíamos a partir de la recta de regresión mínimo cuadráticaPaís Vasco-Cantabria para el año 2000. En definitiva, en los casos de lacorrelaciones altas entre dos C.A., podemos estimar los valores en una deellas condicionados a valores dados de la otra distintos del estimado enlos cuadros 4.

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100

Cu

ad

ro 4

VA

LO

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AD

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986)

Añ

o19

8719

8819

8919

9019

9119

9219

9319

9419

9519

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9719

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9920

0020

05

Comu

nidad

Autón

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Valor

es Re

ales y

Estim

ados

Predic

cione

s

Anda

lucía

Gasto

378.3

6240

3.277

435.8

8548

0.069

519.8

7355

8.712

606.9

6161

8.993

642.6

42Me

dia39

4.429

423.9

5845

5.284

487.3

5952

4.478

563.3

6860

4.632

641.1

0667

6.915

716.6

8375

6.752

797.3

6984

0.285

885.9

121.1

51.93

8EP

REM

RMo

da39

4.160

423.3

8045

4.353

486.0

3152

2.693

561.0

6760

1.751

637.6

1767

2.772

711.8

1175

1.095

790.8

6883

2.866

877.4

921.1

37.10

52,9

35,3

3Me

diana

394.3

4042

3.765

454.9

7348

6.916

523.8

8356

2.600

603.6

7063

9.941

675.5

3171

5.055

754.8

6179

5.196

837.8

0488

3.096

1.146

.972

Arag

ónGa

sto94

.915

101.0

8910

9.225

120.6

2912

8.203

136.2

0614

1.177

146.8

0215

1.343

Media

95.13

910

1.737

108.9

1711

7.868

125.0

3312

9.396

134.9

4114

2.724

151.6

5516

1.210

172.4

4518

5.218

199.3

5721

4.250

309.5

03EP

REM

RMo

da95

.095

101.6

4310

8.765

117.6

5012

4.744

129.0

3713

4.504

142.1

9615

1.023

160.4

6417

1.569

184.1

9119

8.160

212.8

6530

6.790

2,04

5,00

Media

na95

.124

101.7

0510

8.866

117.7

9512

4.937

129.2

7713

4.795

142.5

4815

1.444

160.9

6117

2.153

184.8

7519

8.958

213.7

8730

8.596

Astur

iasGa

sto12

6.366

135.1

1214

1.178

153.0

1116

4.071

172.6

1418

1.384

183.0

7018

8.451

Media

125.3

0913

2.004

139.8

7314

8.780

155.6

8416

0.813

168.0

6117

6.282

185.8

8419

5.959

206.8

7221

8.597

231.0

2624

4.037

321.0

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0,85

6

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Comentario.- En el cuadro 6 la correlación es espacio-temporal. Vemosen la diagonal del cuadro que cada C.A presenta alta correlación positivade la v.a. Gasto-2000 con la v.a Gasto-2005. En el caso del País Vasco esacorrelación es 1 y además la fila y la columna del País Vasco coincidenexactamente, por lo que las correlaciones (País Vasco2000-ComunidadX2005) y (Comunidad X2000-País Vasco2005) son las mismas. En losdemás casos las correlaciones [Xi (2000) - Xj (2005)] y las [Xj (2000) - Xi (2005)]son muy parecidas, así que cada fila y su correspondiente columna sólodifieren en el último dígito. Esto es debido a que las correlaciones diago-nales son altas. De modo que, en cada C.A., podemos utilizar las rectas deregresión 2000-2005 como hemos dicho para el cuadro 5. Y lo mismo entrecada dos C.A para las que se observe que presentan correlación 2000-2005alta, como Extremadura-CastillaM. La fórmula (4.2.11) explica que fuera dela diagonal del cuadro no abunden las correlaciones muy altas, pues elintervalo temporal 2000-2005 es de gran amplitud.

6. COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIONES

Los factores exógenos introducidos en el vector de coeficientes detendencia del proceso log-normal vectorial utilizado como modelo se hanseleccionado, como hemos establecido anteriormente, después de ensa-yos empíricos, como los que producen menor error medio relativo de losvalores estimados respecto de los valores reales en el periodo en queestos son conocidos. Ciertamente pueden ensayarse otras técnicas deselección, como la de regresión múltiple, rechazando las variables hipo-téticamente explicativas que contribuyan en menor porcentaje a la expli-cación de la variable en estudio.

Por otra parte los factores exógenos seleccionados se han introducidode forma lineal respecto de los parámetros, y los mismos en cada com-

Figura 1. Castilla y León

185000

205000

225000

245000

265000

285000

305000

325000

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Gasto real Medi

Figura 2. Cataluña

450000

500000

550000

600000

650000

700000

750000

800000

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Gasto real Medi

Figura 3. Comunidad Valenciana

220000

240000

260000

280000

300000

320000

340000

360000

380000

400000

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Gasto real Medi

Figura 4. País Vasco

160000

180000

200000

220000

240000

260000

280000

300000

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Gasto real Medi

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ponente del proceso. Además, sólo se han introducido en el vector decoeficientes de tendencia y no en la matriz de difusión. Por tanto, puedenconsiderarse posibles variaciones del modelo desde distintos puntos devista: por la selección de los factores exógenos y número de ellos, por laforma funcional en que se introducen estos respecto de los parámetros,por la consideración de distintos factores exógenos en las componenteso por la posibilidad de afectar la matriz de difusión con factores exógenos,y siempre de forma que se mantenga el carácter log-normal del procesosolución de la correspondiente E.D.E. y quede asegurada la existencia yunicidad de las soluciones de ésta. Cabe ensayar para cada variaciónintroducida el ajuste con los valores reales, suponiendo resuelto el pro-blema de estimación de parámetros en cada modelo. Podría así mejorar-se la bondad del ajuste del modelo y su capacidad predictiva.

Además, hacemos observar que las características estadísticas delmodelo se han obtenido todas de la expresión de la solución de la E.D.E.,sin necesidad de efectuar suposiciones fuertes como, por ejemplo, que lafunción de densidad de transición es solución común y única de las ecua-ciones de Kolmogorov asociadas, ni tener que dar directamente dichasolución, para a partir de ahí deducir que el proceso es log-normal.

Las aproximaciones a los valores reales obtenidas por las estimacio-nes de las medias, por ejemplo, del proceso mejoran las obtenidas por lasmetodologías anteriormente utilizadas referidas en el apartado 1, por loque es esperable que las predicciones sobre valores futuros de la variable17-dimensional GASTO EN PENSIONES sean más fiables.

Las tablas de la función de correlación del proceso, posibles en nues-tro estudio gracias a que se consideran por primera vez para los procesoslogarítmico normales las distribuciones finito dimensionales y no sólo lade la variable general del proceso o distribución unidimensional delmismo, nos permiten comparar la evolución del gasto real o del previstode cada Comunidad Autónoma en un cierto momento con el de todas lasdemás en el mismo o diferentes años, y disponer toda esa informaciónresumida para los momentos seleccionados.

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ABSTRACT

In this article the pension expenditures in different autonomousregions of Spain is modelled through a log-normal 17-dimensio-nal stochastic process, that is the solution of an Itô stochastic dif-ferential equation (S.D.E.), where the PIB and the census of popu-lation in each autonomous region have been introduced as exo-genous factor in the drift vector. We analyze the S.D.E. solutionprocess and its statistical characteristics, estimating the variableunder consideration through mean, median and mode vectors inthe process, once its parameters have been estimated. We makepredictions about the variable value through the estimated modelfor the 2000-2005 temporal range and the correlation coefficientsbetween the expenditures of the autonomous regions are obtai-ned for different years.

Key words: log-normal process, exogenous factor, stochastic dif-ferential equation, drift vector, expenditure on pensions.

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