Una variable A podrá asumir sólo dos valores de verdad: 0 · 2020. 4. 22. · Mapas de Karnaugh...
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Colegio técnico de San Sebastián Especialidad de electrónica Industrial Guía de Autoaprendizaje asistida Mapas de Karnaugh de tres y cuatro variables Profesor Juan Ernesto Arias tenorio. Queda prohibida la reproducción total o parcial de este documento por cualquier medio electrónico o mecánico, sin autorización por escrito del autor y también su uso sin importar el fin sin la autorización del autor. Los mapas de Karnaugh constituyen un método sencillo y apropiado para la minimización de funciones lógicas. El tamaño del mapa depende del número de variables, y el método de minimización es efectivo para expresiones de hasta 6 variables. Representación de funciones con mapas de Karnaugh Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una tabla de verdad, y por lo tanto existe una asociación unívoca entre ambas. La tabla de verdad tiene una fila por cada mintérmino, mientras que el mapa de Karnaugh tiene una celda por cada mintérmino. De manera análoga, también existe una correspondencia unívoca entre las filas de la tabla de verdad y las celdas del mapa de Karnaugh si se utilizan maxtérminos. El proceso de minimización usando como herramienta los mapas de Karnaugh se basa en la forma en cómo se acomodan las celdas del mapa que representan cada una un mintérmino Al igual que en una tabla de verdad, en la que colocamos 1 o 0 en el valor de la función correspondiente a una de las 2n combinaciones, así hacemos en un mapa de Karnaugh, colocando un 1 en la celda correspondiente a la combinación para la cual la función vale 1 y dejando en blanco las celdas correspondientes a la combinación para la cual la función vale 0. Para entender cómo se representa un mapa de Karnaugh, supongamos que K sea el conjunto de los ceros y unos de una función y su representación sea un rectángulo o un cuadrado, Como se muestra en la figura.
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Colegio técnico de San Sebastián Especialidad de electrónica Industrial Guía de Autoaprendizaje asistida Mapas de Karnaugh de tres y cuatro variables Profesor Juan Ernesto Arias tenorio.
Queda prohibida la reproducción total o parcial de este documento por cualquier medio electrónico o mecánico, sin autorización por escrito del autor y también su uso sin importar el fin sin la autorización del autor.
Los mapas de Karnaugh constituyen un método sencillo y apropiado para la minimización de
funciones lógicas. El tamaño del mapa depende del número de variables, y el método de
minimización es efectivo para expresiones de hasta 6 variables.
Representación de funciones con mapas de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una tabla de verdad, y por lo tanto existe
una asociación unívoca entre ambas. La tabla de verdad tiene una fila por cada mintérmino,
mientras que el mapa de Karnaugh tiene una celda por cada mintérmino. De manera análoga,
también existe una correspondencia unívoca entre las filas de la tabla de verdad y las celdas del
mapa de Karnaugh si se utilizan maxtérminos.
El proceso de minimización usando como herramienta los mapas de Karnaugh se basa en la
forma en cómo se acomodan las celdas del mapa que representan cada una un mintérmino
Al igual que en una tabla de verdad, en la que colocamos 1 o 0
en el valor de la función correspondiente a una de las 2n
combinaciones, así hacemos en un mapa de Karnaugh,
colocando un 1 en la celda correspondiente a la combinación
para la cual la función vale 1 y dejando en blanco las celdas
correspondientes a la combinación para la cual la función vale 0.
Para entender cómo se representa un mapa de Karnaugh, supongamos
que K sea el conjunto de los ceros y unos de una función y su
representación sea un rectángulo o un cuadrado, Como se muestra en la
figura.
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Una variable A podrá asumir sólo dos valores de verdad: 0
o 1, por lo que podemos dividir K en dos porciones: una
donde A vale cero (A no existe), otra donde A vale uno (A
existe).
Colocamos la A, a un lado del rectángulo para definir a cuál variable corresponde la distribución
de K. Observe que el contrario de A (A negado) existe donde A no existe y viceversa; en esta
forma podemos añadir al mapa de A dos letras indicando el lugar en donde son válidas A y A
negado.
Ordinariamente solo se coloca la variable A y el 0 y 1 para indicar las áreas
de existencia de A y A negado. Si deseamos representar en el mapa una
función dependiente de A, solo necesitaremos indicar en que parte se
encuentra. Sea por ejemplo f = A: f existe en el área en que A existe (f = 1 si
A = 1). Podemos entonces señalar el área de A como la región de existencia
de f. Esto lo hacemos colocando un 1 donde f = 1.
Si la función fuera g = A negado, colocaríamos un 1 en el área donde A
es igual a cero como se muestra en la figura.
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Consideremos ahora dos variables A y B que deben tener una representación en K. Cuatro son
las formas posibles de combinar A y B: A=0 y B=0, A=0 y B=1, A=1 y B=0, A=1 y B=1.
Observe que podemos completar el mapa para dar seguimiento al acomodo de los estados que
puede tomar cada una de las variables y además podemos indicar su equivalente en decimal
para una mejor guía.
En resumen, el mapa de dos variables nos quedaría de la siguiente forma.
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Sea f una función de 3 variables (A, B, C). Para elaborar el
mapa de Karnaugh tendremos 23 = 8 combinaciones. Al igual
que antes cada casilla del mapa corresponde a un mintémino
de la tabla de verdad. Es importante colocar las variables en
el orden indicado de más significativo a menos significativo
(A, B, C), de otra forma el valor decimal de la casilla sería
diferente.
Repitiendo el procedimiento anterior, pero esta vez para tres variables obtenemos la
distribución que se muestra en la figura.
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Resumen de todos los posibles grupos que se pueden hacer en un mapa de 3 variables.
Recuerden que puede existir un grupo de un elemento, que un elemento puede estar en varios
grupos, que la cantidad de elementos por grupo debe ser múltiplo de dos ósea 1, 2, 4, 8, 16,32,
que deben de tratar de hacer la menor cantidad de grupos posible y meter en estos la mayor
cantidad posible de elementos, que cuando un grupo se encuentra en la zona de acción de la
variable y de su correspondiente complemento no aporta a la ecuación de salida. (revisar la
información dad en clase con respecto a este tema).
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Guía para desarrollar prácticas de simplificación con ayuda de mapas de Karnaugh de tres
variables.
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Mapas de Karnaugh de 4 variables.
Al igual que en el caso anterior para un mapa de 4 variables solo debemos ampliar el mapa y
seguir el mismo procedimiento para realizar los grupos y la simplificación.
Resumen de pasos
• Formaremos grupos de "unos" que estén en casillas adyacentes (en horizontal y en
vertical NO en diagonal).
• Los grupos pueden ser de: uno, dos, cuatro, ocho y dieciséis unos.
• Muy importante: debemos hacer los grupos lo más grandes posible y el menor número
de grupos.
La forma del mapa se muestra en las siguientes imágenes.
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Con el propósito de facilitar el uso de
esta imagen, se tomará como la
negación de la variable el símbolo de
la comilla.
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Ejemplos de grupos que se pueden realizar en mapas K de 4 variables.
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Guía para desarrollar prácticas de simplificación con ayuda de mapas de Karnaugh de cuatro
variables.
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Con el propósito de reforzar este tema observe los siguientes ejemplos
Ejemplo # 1. Observe la imagen que se muestra a continuación, en ella encontrara una tabla de
verdad y un mapa de tres variables. Realice los grupos pertinentes para simplificar el circuito,
indique la ecuación de salida para S y dibuje el circuito correspondiente.
Observe que el las posiciones 0.1,4,5 y 7 hay
un uno en la salida “S”.
Se puede observar la construcción de un
grupo de color rojo, este grupo esta formado
por cuatro elementos y son adyacentes por
el vértice. El segundo grupo es de color verde
y esta formado por dos elementos.
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Analizando los grupos tenemos que el grupo rojo se encuentra en la zona de acción de la variable
A pero también esta en la zona de acción de la variable A negado, por lo que dicha variable se
elimina de la ecuación de salida. También este grupo se encuentra en las zonas de acción de la
variable C y C negado por lo que se elimina, por ultimo el grupo se encuentra en la zona de
acción de la variable B negado, de esta forma este grupo aporta a la ecuación de salida dicha
variable.
El grupo de color verde se encuentra en la zona de acción de la variable A, también se encuentra
en la zona de acción de la variable C y en la zona de acción de las variables B y B negado por lo
que esta última se elimina.
Recuerde que para unir los grupos se usa una suma lógica dando como resultado para S la
siguiente ecuación.
Diagrama del circuito solicitado en el ejemplo número 1.
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Ejemplo # 2. Observe la imagen que se muestra a
continuación, en ella encontrara una tabla de
verdad y un mapa de cuatro variables. Realice los
grupos pertinentes para simplificar el circuito,
indique la ecuación de salida para S y dibuje el
circuito correspondiente.
El grupo rojo esta formado por 8
elementos. En la imagen podemos
observar que el grupo esta en la zona
de acción de la variable A y de A
negado por lo que no se incluye,
también esta en la zona de acción de
D y D negado, eso implica que esta
variable no se incluye en este grupo.
También se encuentra en la zona de
acción de C y C negado. Por último,
este grupo pertenece a la zona de acción de la variable B negado, siendo esta variable la única
que aporta a la ecuación de salida “S”.
El grupo verde se encuentra en A y A negado por lo que se elimina de este grupo, se encuentra
en B y B negado eliminándose también esta variable, se encuentra en C y en D, siendo estas
variables las que se incorporan a la ecuación de salida “S”.
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Diagrama del circuito solicitado en el ejemplo número 2.
Ejercicio # 1.
Tenemos una tabla de verdad con cuatro variables y que afecta al mismo tiempo a 7 salidas
como se muestra en la figura. Simplifique cada salida con ayuda de mapas de Karnaugh, además
obtenga la ecuación de salida para cada una de ellas y dibuje el circuito correspondiente para
cada salida.
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Observe que a partir del número
10 tocas las salidas se encuentra
en una “X”. este término se
conoce popularmente como un
NO IMPORTA, esto es debido a
que se puede tomar como un 1 o
un 0 dependiendo de lo que mas
convenga a la hora de realizar los
grupos.
Recuerde que la idea es agrupar
la mayor cantidad de elementos
posibles siempre y cuando se
haga respetando que el numero
de elementos del grupo sea con
base 2 (1,2,4,8,16).
Es aquí donde los NO IMPORTAN ayudan para poder realizar los grupos con la mayor cantidad
de elementos posibles, pues se les puede dar el valor de 1 cuando sea conveniente para
aumentar la cantidad de individuos que formen un grupo y de esta manera lograr una mayor
simplificación.
