MATEMTICAS FINANCIERAS

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INTRODUCCINCon frecuencia una persona o empresa se enfrenta al problema: Qu hacer con cierto dinero? Qu decidir entre alternativas mutuamente excluyente? Cul alternativa genera mayor rentabilidad o ganancia? Cul alternativa de financiamiento es la ms econmica? Cmo comprobar que lo que me cobra una institucin financiera es lo correcto?, etc.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 2

MATEMTICAS FINANCIERASConcepto

Constituyen un conjunto de herramientas, mtodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en materia de obtencin y uso del dinero.

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PREMISAS O SUPUESTOS BSICAS El administrador financiero al enfrentase a cualquier problema financiero, que implique tomar decisiones, deber tener presente los siguientes aspectos bsicos del dinero: 1. Costo de Oportunidad 2. Valor del Dinero en el Tiempo

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COSTO DE OPORTUNIDADLos beneficios que habra generado la mejor alternativa de aquellas descartadas, producto de la eleccin o decisin adoptada Tomar de decisiones implica elegir entre varios cursos alternativos de accin Cada uno de ellos tienen sus beneficios y costos Elegir uno significa desechar otro El tomador de decisiones deber elegir el curso de accin que le permita obtener los mayores beneficios al mnimo costo Estos beneficios y costos pueden corresponder a aspectos cuantitativos como cualitativosANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 5

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Un peso de hoy tiene mayor valor que un pesode maana.Siempre es posible invertir el dinero, ya sea en un banco, en fondos mutuos o inclusive prestrselo a alguna persona En cualquiera de los casos el dinero podr generar mas dinero, es decir ganar intereses, que estn en relacin al tiempo de uso Luego, el dinero tiene distinto valor en el tiempo

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO $ 100 0 $ 100 1mes $ 101 1mes

$ 100 0 t = 1% mensual t = tasa de intersANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante

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INTERS Se llama Inters a la cantidad de dinero obtenida como resultado de depositar, invertir o pedir prestado, durante un cierto tiempo, una cantidad de dinero llamada Capital. Precio por unidad de tiempo que se aplica sobre una cantidad de dinero. Precio del dinero Alquiler o rdito que se conviene pagar por un dinero tomado en prstamoANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 8

INTERS SIMPLE Y COMPUESTO INTERS SIMPLE Es aquel que se calcula (en perodos sucesivos) sobre el mismo capital o monto inicial Es aquel que no se capitaliza o agrega al capital inicial para efectos de calcular el inters del perodo siguiente

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INTERS SIMPLE Y COMPUESTO INTERS COMPUESTO Corresponde a aquel inters que producido en un perodo incrementa el capital inicial para efectos del clculo del inters del perodo siguiente El capital inicial del perodo siguiente incluye los intereses generados en el perodo anterior

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INTERS SIMPLE Y COMPUESTO: Elementos y notacin C: Capital, Principal, Valor inicial o presente (VP) I: Inters total obtenido en n perodos t: Tasa de inters a aplicar, en tanto por % i: Tasa en tanto por uno, t/100 n = Nmero de perodos de la inversin S = M: Suma, Monto o Valor final (VF) al cabo de n perodosANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 11

INTERS SIMPLE: Clculo del Inters Formula de clculo: I = C * i * n Nota: La tasa de inters t de un perodo se expresa en tanto por ciento (cantidad de inters por cada $100 en un perodo), sin embargo para efectos de aplicar la frmula se utiliza i, en tanto por uno (cantidad de inters por cada $1 en un perodo), para lo que es necesario dividir por 100 la tasa dada, ej.: Tasa dada (t): 5% (5 por cada $ 100) Aplicacin en la frmula: i = t/100 = 5:100 = 0,05ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 12

INTERS SIMPLE: Clculo del Inters Principio bsico: En todo clculo financiero en que se encuentre presente una tasa de inters y un perodo, se deber establecer siempre una correspondencia entre ambos conceptos, de tal manera , que s la tasa est expresada en das o meses, el perodo tambin deber expresarse en das o meses. Debe existir por lo tanto, una relacin das-das, mesesmeses, aos-aos, etc., que ser consecuencia de reducir la tasa en funcin del perodo, , el perodo en funcin de la tasa, segn sean las condiciones de capitalizacin de los intereses.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 13

INTERS SIMPLE: Clculo del IntersEjemplos: a.t: 3,8 % mensual , luego i= t/100= 3.8/100= 0.038 n: 35 das luego: I = C * 0,038 * 35 30 b.t: 9 % anual n: 36 meses luego: I = C * 0,09 * 36 12ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 14

INTERS SIMPLE. EjerciciosCalcule el inters producido por un depsito de $ 300.000, durante 5 meses, a una tasa de inters mensual simple de 2%Planteamiento: C = $300.000 t = 2% mensual, i: 0,02 n = 5 meses I= ? Desarrollo: I = C*i*n I = 300.000*0.02*5 I = 30.000ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 15

INTERS SIMPLE Prctica comercial sobre el tiempo. Para expresar la tasa de cada perodo, se puede utilizar el ao comercial, es decir de 360 das, con perodo mensual de 30 das, el ao real, es decir de 365 366 das. Los clculos reales consideran el tiempo efectivamente trascurrido, por lo que se debe dividir la tasa por el nmero de das del perodo base (ao o mes normalmente) y se multiplica por el nmero de das efectivos. Existen tablas que permiten calcular los das que transcurren entre dos fechas. Cuando se utiliza la tabla, se debe agregar un da en los aos bisiestos, siempre y cuando el 29 de Febrero est entre las fechas que se calcula el tiempo. Para calcular el nmero de das transcurrido entre dos fechas, se excluye el primer da y se incluye el ltimo del perodo Si el pacto o acuerdo de inversin o ahorro establece el perodo en meses, aos o das, se debe calcular como tales, es decir: 4 meses a partir del 15 de Abril, vencern el 15 de Agosto. 3 aos a partir del 3 de enero 2002, vencern el 3 de Enero de 2005 30 das a partir del 15 de Agosto, vencern el 14 de Septiembre 30 das a partir del 15 de Junio, vencern el 15 de JulioANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 16

INTERS SIMPLE Determinacin del tiempo1 Calcule el tiempo transcurrido entre el 10/11/2001 y el 6/12/2001 a.- Calculadora: 11 date 10 date 2001 date - 12 date 6 date 2001 date= 26 das b.- Tabla: 340 314 = 26 das 2 Calcule el tiempo transcurrido entre el 10/11/2001 y el 06/03/2002 a.- Calculadora: 11 date 10 date 2001 date 3 date 6 date 2002 date= 116 das b.- Tabla: 10.11.2001 al 31.12.2001 365 314 = 51 01.01.2002 al 06.03.2002 = +65 116 das 3.- Calcule la fecha de vencimiento de un depsito que se efecta el 15/04/2002 y se mantiene por 90 das a.- Calculadora: 4 date 15 date 2002 date + 90 = 14 Julio 2002 b.- Tabla : 105 + 90 = 195 -------= 14 Julio 2002ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 17

INTERS SIMPLE Clculo del Monto o Valor final El monto corresponde a la suma del capital inicial ms los intereses obtenidos en el tiempo de inversin o ahorro.S=C+I Reemplazando I = Cin S = C + Cin Factorizando por C, se obtiene: S = C(1 + in)ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 18

FRMULAS DE INTERS SIMPLE S =C(1 + in); S=C+ Cin; S=C + I Inters: de S=C+I; obtenemos: I = S - C Capital : de S=C(1+in), obtenemos: C = S(1+in)

Tiempo : de S= C+Cin; obtenemos: n = S - C = ICi Tanto por uno: de S= C+Cin; CnANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante

Ci Cn19

i = S-C = I

INTERS SIMPLEClculo del monto o Valor final: ejemplos 1.- Calcule el Monto a inters simple de un Capital de $ 500.000, que se invierte a una tasa de 8% anual, durante 3 aosS = C(1+in) S = 500.000(1+ 0.08*3) S = 500.000(1+ 0.24) S = 500.000*1.24 S = 620.000ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 20

INTERS SIMPLEClculo del Monto o Valor final: ejemplos2.- Calcule el monto que se debe pagar por una deuda a inters simple de $ 20.000.000, el 28 de Diciembre de 2002, s el pagar se firm el 15 de Enero del mismo ao, a una tasa anual de 8% Planteamiento: C : $ 20.000.000 t : 8% anual (365 das); i = 0,08 n: 347 das S=x Desarrollo: S = C(1 + in) S = 20.000.000 (1 + 0.08*347) 365 S = 20.000.000*1.076054795 S = 21.521.096

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INTERS SIMPLEClculo del Inters y el Monto: ejemplos3.- Una suma de $ 250.000 se deposita durante 60 das a una tasa de inters simple de 3,8% mensual. Calcular el inters y el monto. Planteamiento: C = $ 250.000 n = 60 das t = 3,8% mensual ; i = 0.038 I=?ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 22

INTERS SIMPLEClculo del Inters y el Monto: ejemplosa.- Adoptando el da como unidad de tiempo I = C*i*n I = 250.000 * 0.038/30 *60 I = 250.000 * 0.0012667 * 60 I = 19.000 El Monto se obtiene, aplicando la frmula : S=C+I S = 250.000 + 19.000 S = 269.000 b.- Adoptando el mes como unidad de tiempo I = C*i*n I = 250.000 * 0.038 * 2 I = 19.000ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 23

INTERS SIMPLEClculo del tiempo: ejemplosCalcular el tiempo que debe mantenerse un depsito de $ 650.000 a una tasa de inters de 3,5% mensual, para obtener un monto de $ 718.250 C = 650.000 M = 718.250 t = 3,5% mensual; i = 0.035 n=? Desarrollo: De la frmula: I = S C = 718.250 650.000 = 68.250 De la formula del inters: I = C*i*n Se obtiene por despeje: n = I / Ci n= 68.250 650.000*0.035 n = 68.250 22.750 n = 3 mesesANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 24

INTERS SIMPLEClculo de la tasa de inters: ejemplosCalcular la tasa de inters mensual aplicada a un depsito de $ 800.000, si el monto obtenido en 3 meses es de $ 905.000 Planteamiento: C = 800.000 S = 905.000 n = 3 meses i= x Desarrollo: De la frmula: S=C+I Se obtiene: I=SC I = 905.000 800.000 I = 105.000 Luego, de la frmula: I = Cin Se obtiene i = I / Cn i = 105.000 800.000*3 i = 0.04375 (tanto por uno) Luego en tanto por ciento: 0.04375 * 100 = 4,375 % mensual ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 25

INTERS SIMPLEClculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)El Valor Actual (VA) Valor Presente (PV) de una suma de dinero que vence en una fecha futura, es el Capital (C) , que a una tasa dada, alcanzar en el tiempo que transcurra hasta el vencimiento, el monto (S) Valor Futuro (FV VF). Luego, de la frmula general: S S = C (1 + in), obtenemos: VA = C ! 1 in La diferencia entre la cantidad a pagar en fecha futura y su Valor actual o Capital, son los intereses.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 26

INTERS SIMPLEClculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)Cuanto se debe depositar a inters simple, si dentro de 8 meses se quiere obtener un monto igual a $ 15.000.000, si el precio del dinero es de 9 % anualC ! 15 . 000 . 000 0 . 09 1 *8 12

C = VA = $ 14.150.943 Luego , el Inters (I): I = VF VA I = 15.000.000 14.150.943 I = 849.057ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 27

INTERS SIMPLEClculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)Luego de 35 das se obtuvo un monto de $ 456.000, a una tasa de inters del 7.5% anual. Cunto se invirti inicialmente? A cunto ascienden los intereses obtenidos? 456 .000 S C! De la frmula: = C! 0.0751 in1 365 * 35

C = VA = $ 452.744 Como: I=SC I = 456.000 452.744 I = 3.256ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 28

DESCUENTO BANCARIOConcepto:Es la deduccin que realiza una institucin financiera por pagar anticipadamente a su tenedor, una deuda que tiene un vencimiento futuro (una letra, un pagar, una factura, etc.). Consiste en la accin de recibir o pagar hoy un dinero a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el documento. D = Descuento S = Monto o Valor futuro d = tasa de descuento (tanto por uno) n = tiempo expresado en aos VL = Valor lquido que el banco o institucin financiera paga o entrega a quin descuenta en documento D=Sdn VL = S D VL = S Sdn VL = S (1 dn) Con esta frmula se puede encontrar el Valor Lquido (VL), a partir del monto, , despejar el monto a partir de (VL).

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DESCUENTO BANCARIO Clculo del Valor Lquido (VL)Encuentre el VL de una letra por un monto de $ 2.400.000, que se descuenta a una tasa del 8% anual, 4 meses antes de su vencimiento.VL = S (1 dn) VL = 2.400.000 (1 0.08 * 4) 12 VL = 2.400.000 * 0.973333333 VL = $ 2.336.000ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 30

DESCUENTO BANCARIO Clculo del Monto descontado (S) Cul era el monto de un documento que se descuenta 90das antes de su vencimiento, s la tasa de descuento es del 5% anual, y se obtiene un VL de $ 700.000? De la frmula:VL = S(1 - dn), se obtieneVL S! 1 dn

Luego:

S!

700.000 0.05 1 *90 365

=

S!

700.000 0.9877

S = 708.738

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DESCUENTO BANCARIO Clculo del perodo de descuento (n)Por cunto tiempo se debe descontar un documento, con valor final de $ 1.500.000, para obtener un valor lquido de $ 1.495.000, a una tasa del 2% mensual? 1 ( / S) De la frmula:VL = S(1 - dn), se obtiene: n!

d

Luego:

n!

1 (1.495.000/1.500.000) *30 0.02

n!

0.0033 * 30 0.02

n !5das

Otra forma:Como D = S-VL; D=950.000-933.603= 16.397; y, como D = Snd; 5.000 = 1.500.000 * n * 0.02 n = 5.000 / 30.000 = 0.1667 meses luego, n = 0.1667 * 30 n = 5 das

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DESCUENTO BANCARIO Clculo de la tasa de descuento (d)A qu tasa de descuento anual se debe descontar un documento por valor final de $ 950.000, durante 105 das, para obtener un valor lquido de $ 933.603? De la frmula:VL = S(1 - dn), se obtiene: Luego:d!

d!

1 ( n

/ S)

Otra forma:

1 (933.603/ 950.000) 0.0173 *365 d ! * 365 105 105

d ! 6%

Como D = S-VL; D=950.000-933.603= 16.397; y, como D = Snd; 16.397 = 950.000 * 105/365 * d d = 16.397/273.287 = 0.06 (tanto por uno); luego, d = 0.06 *100 = 6%ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 33

INTERS COMPUESTOCuando en cada intervalo de vencimiento de una obligacin (deuda o inversin), se agregan los intereses al capital, formando un nuevo monto sobre el cul se calcularn los intereses en el siguiente perodo o intervalo de tiempo y as sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operacin financiera es a inters compuesto. El capital va aumentando peridicamente y el inters tambin. El total acumulado al final del ltimo perodo de la operacin se denomina Monto Compuesto y la diferencia entre ste y el Capital original se denomina Inters Compuesto.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 34

INTERS COMPUESTO Elementos y notacin C: Capital inicial o Valor actual S: Monto compuesto (Capital inicial + intereses) Valor Final (VF) VF = S = C(1+ i)n n: tiempo (aos, meses, etc.) m: numero de veces que en el ao se capitalizan los intereses i: tasa de inters (tanto por uno t/100)ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 35

INTERS COMPUESTO Ejercicios clculo de Monto Se invierten $ 20.000 a inters compuesto durante 3aos a tasa del 5% anual. Calcule el Valor Final o Monto. 3 20.000 0.05 1 S= S = 20.000(1+0,05)(1+0,05)(1+0,05) S = $ 23.153

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INTERS COMPUESTO Ejercicios clculo de MontoCalcular el Monto Compuesto o Valor Final formado por un capital de $450.000, prestado a inters compuesto del 8% anual en 4 aos C = 450.000 t = 8% anual; i=t/100= 0.08 n = 4 aos VF S = ?

VF = C(1+i)4 VF = 450.000 (1+0,08)4 VF = $ 612.220ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 37

INTERS COMPUESTO Valor Actual (VA) o Presente (PV) Cunto se invirti durante 3 aos, a una tasa de inters compuesto del 5% anual, para obtener un Valor Futuro o Monto de $ 345.000?VA = 1 i VA = 345 .000 1 0.05 VA = $ 298.024VFn

3

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INTERS COMPUESTO Clculo del tiempo o perodoDe la fmula general: VF = VA(1+i)nVF VA

= (1+i)n

/log

log VF Log VA = n log (1+i)

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INTERS COMPUESTO Clculo del tiempo o perodo: ejercicioEn cuanto tiempo un capital de $ 100.000 al 10% anual se convierte en $180.000?VF = S = $ 180.000 t= 10% ; i= 0.1 VA = C = $ 100.000 n= ? VF = C(1+i)n 180.000 = 100.000(1+0.1)n 180000 n 100000 = (1.1)1.8 = 1.1n / log

log 1,8 = n log 1.1 0.2552 = n 0.0414n = 6.167092 aos n = 6 aos y 2 meses

n= 0 . 0414 (12 * 0.167092 = 2)

0 . 2552

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INTERS COMPUESTO Clculo del intersDe la formula general: M = C(1+i) n M (1+i)n = C M n (1+i) = C i = nM -1 C

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INTERS COMPUESTO Clculo del inters: ejercicioDetermine la tasa de inters que hace que un capital de $430.000 se duplique en 2 aos a inters compuesto.M = 860.000 C = 430.000 n = 2 aos i=x

i= -1 i = 0.4142(tanto por uno) t = 41, 42% (tanto por ciento = i*100)ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 42

2

860000 430000

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVATasa nominal t = i*100: es aquella que queda establecida en un contrato o documento financiero. Puede ser igual o distinta de la tasa efectiva, lo que depende de los perodos de capitalizacin. Cuando el perodo de capitalizacin es 1 (m = 1), es decir, los intereses se capitalizan una vez al ao, ambas tasas son iguales Cuando m>1, la tasa efectiva ser mayor que la nominal.

S la tasa de inters es del 12% anual, entonces las tasas nominales de los subperodos sern: Perodo Tasa% Semestral 6% Trimestral 3% Bimestral 2% Mensual 1% .ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 43

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVATasa efectiva e: es una tasa anual con una solo capitalizacin en el ao y que produce el mismo efecto que una tasa nominal i con m capitalizaciones al ao i m m Ejemplo: Calcular para una tasa nominal del 12% anual las correspondientes tasas efectivas dadas las diferentes capitalizaciones que se indican:

e= (1+ )

-1

Capitalizacin Semestral Mensual

Clculo0.12 2 (1+ ) -1 212

Tasa efectiva 0.1236 = 12.36% 0.1268 = 12.68%

(1+0.01) -1

Considerando la tasa efectiva, la frmula general del Monto a inters compuesto es: i S = C(1+ m )mnANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 44

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVACalcular el valor futuro de un depsito de $100.000, al 8% con capitalizacin semestral, que se mantiene: 0.08 2*1 a.- 1 ao S = 100.000(1+ 2 ) S = 100.000(1.08160) S = $ 108.160 0.08 2*2 b.- 2 aos S = 100.000 (1+ ) 2 S = 100.000(1,16986) S = $ 116.986 Tasa efectiva ( e ): e = (1+i/m) 2*1 -1 = (1+0.08/2) 2*1 -1 = 1.042 1 = 0.0816 = 8.16%

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EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y EFECTIVA El monto de $1 a la tasa efectiva ( ie) anual es (1+ie) El monto de $1 a la tasa nominal (in) con m in capitalizaciones en el ao es: (1+ )m m La ecuacin de equivalencia entre estos dos montos es: 1+ie =m in 1 mm

, luego:

ie = (1+ in ) m -1in = m

1 im

e

1

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EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y EFECTIVA: ejerciciosEncontrar la tasa nominal a partir de la tasa efectiva 8,243216%, con dos capitalizaciones al ao.in = m

m

1 ie 1

in = 2 2 1 0.08243216 1 in= 0.0808 Qu tasa nominal anual debe fijar un Banco que quiere obtener el 12,5% efectivo anual, s el perodo de capitalizacin es semestral (m = 2) in= 2( 2 1 0 . 125 1 ) in = 0.121320343 La tasa de inters nominal ser de 12,1320343% anual, con capitalizacin semestralANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 47

ANUALIDADES O RENTASUna anualidad es una serie de Flujos de Fondos Futuros fijos, que se presentan a intervalos iguales o peridicos de tiempo. El trmino anualidad, no significa pagos anuales, sino que se refiere a pagos en intervalos similares de tiempo, por ejemplo: dividendos sobre acciones, fondos de amortizacin, pagos a plazos, primas anuales de plizas de seguros, los sueldos, etc. Terminologa: Renta: es el valor de cada pago peridico Perodo de pago o perodo de la renta: es el tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos Tiempo o plazo de una anualidad: es el intervalo que media entre el comienzo del primer perodo de pago y el final del ltimo perodo de pago. Tasa de una anualidad: es el tipo de inters que se fija y puede ser nominal o efectivaANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 48

ANUALIDADES: ClasificacinSegn el momento de pago: y Anualidades ciertas: aquellas cuyas fechas, iniciales y finales, se conocen y Anualidades eventuales o contingentes: aquellas cuyo pago depende de algn suceso previsible, pero cuya fecha no se puede fijar (prima de un seguro de vida) Segn la forma en que se estipule el pago de la renta o anualidad, son: y Anualidades ordinarias o vencidas: aquella en que el pago se efecta al final del perodo o intervalo de tiempo y Anualidades anticipadas: aquellas en que el pago se efecta al inicio del perodo de pago o intervalo de tiempo. Estas anualidades pueden diferir en la forma de clculo, segn el nmero de pagos en un ao y el nmero de capitalizaciones que estipule el tipo de inters y Anualidad simple: aquella en que el perodo de capitalizacin coincide con el perodo de pago. y Anualidad diferida: aquella en que el primer pago no coincide con el vencimiento del primer perodo de inters. Es decir, el pago se efecta algn tiempo despus del trmino del primer perodo.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 49

ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLEVALOR DE UNA ANUALIDAD CIERTA ORDINARIA O VENCIDA SIMPLE Smbolos y notaciones: R = Pago peridico de una anualidad o renta i = tasa de inters por perodo (j / m) j: tasa nominal anual m: nmero de capitalizaciones en un ao j= tasa nominal con m perodos en el ao n = nmero de perodos de pago nmero de intervalos de pago S = Monto o Valor Futuro (VF) de una anualidad A = Valor presente o Valor actual (VA) de una anualidad

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ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLE: Monto ( S ) Valor Futuro (VF) VF = S = i n 1 1 R i

Cul es el monto de una anualidad ordinaria de $1.000.000 anuales, durante 4 aos, al 5% anual?R = 1.000.000 t = 5% anual; i = 0,05 n = 4 aos S=? 0.054 1 S = 1.000.000 1 0.05

S = $ 4.310.124ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 51

ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLE: Monto ( S ) Valor Futuro (VF)S una persona deposita a inters compuesto $ 200.000 al final de cada ao, al 8% anual, durante 5 aos. Cunto habr acumulado al final de dicho perodo? S=

0.085 1 1 S = 200.000 0.08 S = $ 1.173.320

i n 1 1 i

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VALOR ACTUAL (VA) DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE 1 i n 1 VA = i Cunto cuesta al contado un automvil, s se adquiere en 36 cuotas mensuales vencidas de $ 150.000 cada una, a una tasa de inters, incluida en la cuota, del 3% mensual?

R = 150.000 n = 36 i = 3% mensual = 0,03 n 1 0 . 03 36 1 1 VA = R 1 i = 150000 = $ 3.274.838 i 0 . 03

Valor al crdito: $ 150.000*36= $ 5.400.000ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 53

ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA SIMPLE: Valor Futuro (VF) Monto (S)Es aquella en que los flujos o pagos de fondos futuros se dan al comienzo de cada perodo o intervalo de tiempo

i 1 1 i VF = S = R i Determine el monto final obtenido, si se depositan $ 48.000, cada inicio de mes, durante un ao, s la tasa de inters es del 2,6% mensual. R = 48.000 i : 2,6% mensual = 0.026 n: 12 S = VF = ?n

1

1 i n 1 1 i = 48.000 0.02612 1 0.026= $ 683.257 1 VF = S = R 1i 0.026ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 54

ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA SIMPLE: valor actual o presente

VA = R

Calcular que prstamo se puede solicitar, si se desea pagar cada inicio de mes, una cuota de $ 48.000, durante 12 meses, con una tasa de inters mensual, incluida en la cuota, del 2,6%1 0.02611 1 VA = 48.000 1 = $ 502.129 0.026

1 i n 1 1 1 i

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AMORTIZACIN DE DEUDASAmortizar, desde el punto de vista financiero, es un proceso que consiste en pagar una deuda, capital e intereses, mediante una serie de pagos sucesivos que pueden ser iguales o diferentes. En la amortizacin gradual los pagos son iguales y se hacen a intervalos idnticos de tiempo, cuyo monto cancela intereses y capital. Los clculos ms relevantes en este tipo de operaciones financieras se realizan utilizando las propiedades de las anualidades.ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 56

AMORTIZACINUn prstamo de $100.000, a 5 aos plazo, con una tasa del 10%, se debe amortizar en cuotas vencidas iguales. Confeccione la Tabla de Amortizacin o de desarrollo.Fi erodo 0 1 2 3 4 5 ota I ters 10.000 8.362 6.560 4.578 2.398 mortizaci 16.380 18.018 19.820 21.802 23980 Saldo i sol to 100.000 83.620 65.602 45.782 23.980 0

26.380 26.380 26.380 26.380 26.380

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AMORTIZACIN: clculo cuotaSe aplica la frmula de clculo del Valor Actual (VA) de una anualidad cierta vencida, para calcular el valor de la cuota (R): VA = 1 i n 1 R i

1 0.15 1 = $ 26.380 100.000 = R 0.1

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TASA DE INTERES REALMide el precio del dinero una vez descontados los efectos de la inflacin. Puede ser positiva o negativa, dependiendo de s la variacin de la inflacin es mayor o menor que la tasa de inters nominal aplicada a la inversin o crdito. La tasa de inters real, es aquella que permite calcular el inters y el monto obtenidos, medidos en pesos de la fecha inicial de la operacin.

ir = tasa de inters real in = tasa de inters nominal ir =in 1

= tasa inflacin del perodo

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TASA DE INTERES REAL: ejercicioEjemplo. S una persona deposita $ 500.000, durante 30 das, a una tasa de inters de 2% mensual. Calcule el monto obtenido en pesos a la fecha del depsito, s se sabe que la variacin del ndice general de precios del perodo fue de 2,5%. M = 500.000(1 + ni) M = 500.000(1+ 1*0.02) M = $ 510.000 (Monto en pesos a la fecha final) Para conocer el monto en pesos a la fecha inicial, debemos deflactar VA =

VA = $ 497.561 (Valor del monto final al inicio del perodo)

M = 510 . 000 1 1 0 .025

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TASA DE INTERES REAL: clculo inters realI = Monto deflactado Capital nominal inicial I = 497.561 500.000 I = - 2.439 La tasa de inters real es entonces: I r = 2.439 = -0.004878 = - 0.4878% ir = C * n 500 .000 * 1 Segn la formula: in = 0.02 0.025= - 0.004878 = - 0.4878 % ir = 1 0.025 1

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BIBLIOGRAFA Matemticas Financieras, Portus Govinden, Lincoyan. McGraw Hill Matemticas Financieras, Ayres Frank

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