INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE FELIPE CARRILLO PUERTOUnidad Acadmica TulumOrganismo Pblico Descentralizado del Gobierno del Estado de Quintana Roo Carrera: Ingeniera en Gestin Empresarial

Asignatura: Clculo Integral

Actividad: Portafolio de Evidencias Unidad 1

Docente: Ing. Irn Israel Pat

Por: Chan Cupul Damael

Semestre: 2 Grupo: A

ContenidoUnidad 1Teorema Fundamental del Calculo.31.1 Medida Aproximada de Figuras Amorfas31.2 Notacin Sumatoria51.3 Sumas de Riemann61.4 Definicin de Integral Definida71.5 Teorema de Existencia81.6 Propiedades de la integral definida91.7 Funcin Primitiva101.8 Teorema Fundamental del Clculo101.9 Clculo de Integrales Definidas111.10 Integrales Impropias12

Unidad 1Teorema Fundamental del Calculo.1.1 Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las reas de una figura regular es una tarea muy fcil, por lo cual la sustitucin de la longitud, anchura u otras cantidades en la frmula producira el resultado.Sin embargo, la estimacin del rea bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no frmulas directas para estimar esta rea.La integracin puede ser utilizada fructferamente en una situacin semejante.Existen cuatro grficas posibles para las cuales el rea necesita ser evaluada.Estas son: 1 Cuando el rea est limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.El grfico de la funcin se muestra a continuacin,

Para estimar el rea de tal figura, considere que el rea bajo la curva est compuesta por un gran nmero de delgadas tiras verticales.Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El rea de esta tira elemental sera, dA = y dx donde y = f(x)El rea total A de la regin entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) ser la sumatoria de las reas de todas las tiras elementales en toda la regin o la zona limitada.Esto produce la frmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la funcin en su lugar e integrndola.2 La segunda situacin es cuando el rea est delimitada por la curva x = g (y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La grfica de la funcin se muestra a continuacin,

Asuma que el rea bajo la curva est compuesta de un gran nmero de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dy para la altura y x para la longitud. El rea de esta tira elemental sera, dA = x dy donde x = g (y)El rea total A de la regin entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g (y) ser la sumatoria de las reas de todas las tiras elementales en toda la regin o el rea limitada. Esto produce la frmula, A = dA = x dy = g (y) dy3 Se presenta una tercera situacin cuando la curva en cuestin se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el rea limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.Pero el valor numrico del rea debe ser tomado en consideracin, entoncesA = | f(x) dx|4 Una ltima posibilidad sera que una parte de la curva est por encima del eje x y otra parte est por debajo del eje x. Sea A1 el rea debajo del eje x y A2 el rea por encima del eje x. Por lo tanto, el rea limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b sern,A = |A1| + A2Tomemos ahora un ejemplo para entender la solucin de tales problemas,Encuentre el rea de la regin limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.La curva y2 = x es una parbola con su vrtice en el origen. El eje de x es la lnea de simetra la cual es el eje de la parbola. El grfico de la funcin dada sera,

1.2 Notacin Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemticas requieren la adicin de una serie de nmeros para generar la suma total de todos los nmeros de la serie. En tal escenario se hace difcil escribir la expresin que representa este tipo de operacin. El problema empeora a medida que incrementan los nmeros en la serie. Una solucin es utilizar los primeros nmeros de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los ltimos nmeros de la serie, como se muestra a continuacin,

Esta expresin representa una operacin que incluye la suma de los primeros cien nmeros naturales. En esta expresin hemos usado los puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesin, para simbolizar la ausencia de nmeros en la serie.Una solucin an mejor es hacer uso del smbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de tcnica abreviada que ofrece una alternativa ms conveniente para representar la operacin sumatoria.

Aqu se representa la variable o los trminos en la serie. El operador sigma es un smbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayscula del alfabeto S. Una representacin tpica de la operacin sumatoria utilizando el smbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del smbolo es el Elemento Tpico, el cual ser sumado con la operacin sumatoria.El lmite de la operacin se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del ndice de la variable y termina en el valor escrito sobre el smbolo sumatorio. El lmite inferior de la operacin es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el lmite superior es llamado punto final.La expresin mostrada arriba se calcula como, = x1 + x2 + x3 + + xn-1 + xnOtra operacin interesante que se puede realizar utilizando el smbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Tal operacin se puede denotar como,

1.3 Sumas de RiemannY que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algn lugar en la recta numrica real, dividimos el intervalo de manera tal que Despus de haber estudiado los grficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cmo encontrar el rea bajo la curva de un grfico. El mtodo debe su nombre al matemtico que lo invent, Bernard Riemann, que fue un matemtico alemn. La suma de Riemann para un grfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemannpor la izquierda, suma de Riemann de punto medi, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La tcnica detrs de los cuatro mtodos es la misma slo que el mtodo para calcular el resultado es un poco diferente. Matemticamente, la suma de Riemann se puede definir como una funcin valorada real f: X < x1< x2< x3< x4< < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann ser,

Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor ms pequeo. Y es un valor arbitrario en el subintervalo ith. El tamao de la malla de particin es el mayor valor de(xi - xi-1). Para calcular la suma de Riemannpor la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de yi. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de igual al valor de yi. Si el valor de yi se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto medio como resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha.

1.4 Definicin de Integral Definida

La integracin es el proceso inverso de la diferenciacin. La integracin nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integracin indefinida y la integracin definida. Una integracin indefinida es aquella que no tiene lmites, mientras que una integracin definida es aquella que est integrada con respecto a ciertos lmites. La notacin convencional de la integral definida es la siguiente,

Una integral definida se representa ms comnmente como,

Aqu, la funcin dada se divide en n intervalos de igual longitud n

La interpretacin analtica resulta ser las lneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el grfico anterior. La suma del rea sombreada es igual a nuestra expresin f(x) dx.

1.5 Teorema de Existencia

En muchas circunstancias fallamos en obtener la salida para una ecuacin diferencial dada, entonces recurrimos a otros mtodos tales como los mtodos geomtricos, etc., pero es esencial que en tal situacin antes de recurrir a otro mtodo averigemos si existe alguna solucin para la ecuacin dada.El Teorema de Existencia es uno de esos mtodos que cumple tal objetivo. El Teorema de existencia afirma la existencia de una nica salida para una ecuacin diferencial dada.Este teorema es aplicable nicamente a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Tambin es esencial que la ecuacin satisfaga las clusulas inciales establecidas con ella.Matemticamente, el teorema puede ser establecido como, para una funcin dada f: XY, la cual es continua en el rea limitada (generalmente un rectngulo) del plano x-y,

Sea un punto (x0, y0) en esta rea limitada entonces >0 es real y existe una funcin en la que tenemos x0 - < x < x0 + para la cual tenemos una solucin del valor inicial de la expresin.

Aqu hemos mencionado un punto de Exista un > 0. Esto significa que la variable dada puede tener algn valor positivo para que la declaracin dada sea verdadera. Sin embargo no existe un lmite superior para esta variable.

1.6 Propiedades de la integral definida

Estas propiedades se derivan de la definicin bsica misma de las integrales definidas a travs de largos procedimientos con el fin de hacer ms fcil la solucin de problemas.Algunas de las propiedades bsicas de las integrales definidas se discuten a continuacin.1 La integracin de una funcin para un solo punto, esto es, que tanto el lmite superior como el lmite inferior son el nmero mismo, producir cero como resultado.

2 La integracin de una funcin para algunos lmites es el inverso de la integracin de la misma funcin cuando los lmites de integracin son intercambiados.

3 La integracin de una constante para algunos lmites de integracin es igual a la multiplicacin de esa constante con la diferencia de los lmites de integracin.

4 La integracin de la multiplicacin de una funcin con una constante para algunos lmites de integracin es igual a la multiplicacin de la constante con la integracin de la funcin para los lmites de integracin.

5 La integracin de una funcin para algunos lmites de integracin se puede desglosar como la suma de la integracin de la misma funcin donde el lmite superior de la integracin de la expresin anterior y el lmite inferior de la integracin de la expresin siguiente es el mismo, el cual es un valor intermedio de los lmites de integracin.

6 La integracin de la suma de dos funciones individuales para algunos lmites de integracin es igual a la suma de la integracin de las funciones individuales para los mismos lmites de integracin.

7 La integracin de la diferencia de dos funciones individuales para algunos lmites de integracin es igual a la diferencia de la integracin de las funciones individuales para los mismos lmites de integracin.

8 Si una determinada funcin produce un valor menor que cero para un intervalo dado, y entonces ocurre lo mismo cuando es integrado para el mismo intervalo como lmite de integracin, producir un valor menor que cero.

1.7 Funcin Primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): XY, la primitiva se define como cualquier otra funcin la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la funcin original f(x).Esto significa que f(x) es la derivada de su funcin primitiva o que la funcin primitiva es la integral de la presente funcin f(x).Por tanto, podemos decir que si F(x) es la funcin primitiva de f(x) entonces F(x) + c es tambin su funcin primitiva para los valores distintos de c sin ningn pre-requisito para obtener a c.Aqu F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.Geomtricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.Existen muchos sinnimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, anti derivada, etc.

1.8 Teorema Fundamental del Clculo

La diferenciacin y la integracin son dos conceptos vitales del clculo. Es esencial relacionarlos de alguna forma para formular algunos conceptos esenciales del clculo. Por tanto, el Teorema Fundamental del Clculo fue elaborado tomando esto en consideracin.Primer Teorema Fundamental del Clculo: La integracin definida tambin puede ser considerada como un caso especial de la suma de Riemann en el que se calcula el lmite de la suma de Riemann. La integracin definida de una funcin dada es el proceso del clculo del rea limitada de algn grfico o curva donde los lmites superior e inferior especifican los lmites de integracin. Sin embargo, mirando la definicin anterior de integral definida algunos pueden confundirse en por qu se procede de esta manera. El Primer Teorema Fundamental del Clculo justifica este procedimiento.Matemticamente, para alguna funcin real f(x), la cual, para un intervalo cerrado [a, b], es de naturaleza continua, tenemos un integrando F(x), que tambin es una funcin valorada real en el mismo intervalo cerrado [ a, b]. Esto puede ser representado como:

1.9 Clculo de Integrales Definidas

El clculo de la integral definida se denomina a menudo como integracin numrica o cuadratura numrica o simplemente cuadratura.Sin embargo, este es utilizado generalmente ms para una ecuacin dimensional, para las ecuaciones con ms de una dimensin, el uso de la palabra cubatura es ms adecuado.Se utiliza para calcular la solucin numrica aproximada de una integral definida dada.Existen varias formas para calcular la solucin de un problema de integral definida.

1 Haciendo uso de las frmulas bsicas de integracin.2 Resolviendo la expresin a travs del lgebra.3 Integracin por sustitucin.

Es un mtodo importante para resolver integrales. En este mtodo tenemos una funcin principal y el integrando se define como la multiplicacin de la funcin principal y la derivada de esta funcin principal.

1.10 Integrales Impropias

De acuerdo con la definicin de integrales, tenemos una funcin que est limitada de ambos lados superior e inferior para algn intervalo Icon rango [p, q].Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,1. O la funcin que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.2. O, el intervalo para el cual la funcin es definida en s se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.En tal situacin la integral que tenemos se llama integral impropia.Una integral impropia es un tipo de integral definida donde los lmites de la integracin o la funcin alcanzan el infinito.Esto puede ocurrir una o varias veces para los lmites de integracin dados.

Tulum, Quintana Roo a viernes 06 de junio del 2014