INSTITUTO TECNOLGICO

INVESTIGACINPRIMERA UNIDAD

Instituto Tecnolgico Carrera de Ingeniera Civil (Calculo Diferencial) Agosto 2015

INTRODUCCIN

Las matemticas son tan antiguas como la humanidad, desde la aparicin del hombre las matemticas han sido la base principal para el desarrollo de la ciencia y la tecnologa, ya que las matemticas surgen con el fin de hacer los clculos en el comercio, para medir la tierra y para preceder los conocimientos astrolgicos etc. Es por ello que hemos desarrollado este trabajo de investigacin en cual ayudaremos a reforzar conocimientos.Los temas que sern tomados son de suma importancia debido a que al ser la base para el conocimiento introductorio a Calculo diferencial en s deben estar bien planteados y conocidos con una gran amplitud.

OBJETIVOS

Objetivo General: comprender los nmeros reales como un conjunto que engloba a otros sistemas numricos, identificando cada uno de ellos de acuerdo a sus caractersticas.

Objetivos Especficos: Definir el conjunto de los nmeros reales como un conjunto que engloba a otros conjuntos numricos vistos con anterioridad. Explicar las caractersticas que diferencian a los nmeros reales de otros conjuntos numricos. Reconocer la estructura de los nmeros reales mediante la interpretacin de grficos. Utilizar criterios para clasificar un conjunto de nmeros en los diversos conjuntos numricos.

UNIDAD 1

Numeros Reales 1La recta numrica1.1Los nmeros reales1.2Propiedades de los numeros reales 1.3.Triconomia 1.3.1 Transitividad 1.3.2 Densidad.1.3.3 Axioma del Supremo .1.3.4Intervalos y su representacin mediante desigualdades.1.4Resolucin de desigualdades de primer grado con una incognita y de desigualdades cuadraticas con una incognita. 1.5Valor absoluto y sus propiedades 1.6Resolicin de desigualdades que incluyan valor absoluto 1.7

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1. NUMEROS REALES

1.1 La recta numrica Qu es una Recta Numrica? Una Recta Numrica es la representacin grfica sobre una recta arbitraria de un conjunto de nmeros dados. Por ejemplo, el conjunto de los Naturales podemos representarlos sobre una recta marcando el inicio en el extremo izquierdo y a partir de l indicar los nmeros enteros positivos hacia la derecha (1, 2, 3, 4, 5 . . . . ) guardando entre ellos la misma distancia. De acuerdo con lo anterior, los naturales N se pueden representar de la siguiente manera.

Debe ser claro que en esta representacin estamos indicando los espacios que hay a la izquierda de un natural dado a partir del inicio o, dicho de otra manera, nos dan los espacios que hemos contado desde el inicio. El uno nos indica que hay un espacio desde el inicio, el dos que son dos los espacios desde el inicio, y as, el natural k, nos indica que hay k espacios desde el inicio. Debido a lo anterior se dice que los naturales nos sirven para contar. El hecho de que podamos. 1 indicar especficamente todos los Naturales que hay sobre un segmento dado lo posibilita la caracterstica de ser un Conjunto Discreto. Por su parte el conjunto de los Enteros Z, dado que son los enteros positivos, los negativos ms el cero, los representaremos sobre una recta que NO tiene principio por la izquierda ni tampoco tendr final por la derecha, sin embargo, en algn instante estaremos en algn nmero especfico por ejemplo: ( . . . , -k, . . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , k, . . . ).Los nmeros se colocan de izquierda a derecha en orden ascendente. Es decir, dado un nmero cualquiera, a la izquierda de l se encuentran aquellos que son menores y a la derecha los mayores. La recta de los Enteros se muestra enseguida.

En este caso los nmeros negativos se encuentran a la izquierda del cero y desde el punto de vista de las propiedades de los nmeros, el signo menos ( - ) forma parte del nmero y lo caracteriza a partir de dos aspectos:

Se encuentra a la izquierda del cero Es el nmero que sumado al correspondiente natural nos da el cero que es conocido como elemento identidad para la suma.1.2 Los nmeros reales Unnmeroes la expresin de unacantidadcon relacin a suunidad. El trmino proviene del latnnumrusy hace referencia a unsignoo unconjunto de signos. La teora de los nmeros agrupa a estos signos en distintos grupos. Losnmeros naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0)

El concepto denmeros realessurgi a partir de la utilizacin de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del ao1.000 a.C. El desarrollo de la nocin continu con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los nmeros irracionales.Los nmeros reales son los que pueden ser expresados por unnmero entero(3, 28, 1568) odecimal(4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a losnmeros racionales(que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y losnmeros irracionales(los que no pueden ser expresados como una fraccin de nmeros enteros con denominador diferente a cero).Otra clasificacin de los nmeros reales puede realizarse entrenmeros algebraicos(un tipo de nmero complejo) ynmeros trascendentes(un tipo de nmero irracional).Ms concretamente nos encontramos con el hecho de que los nmeros reales se clasifican en nmeros racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos categoras: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fraccin propia y en fraccin impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales tambin hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.En el segundo gran grupo anteriormente citado, el de los nmeros irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes.Dentro de la Ingeniera se hace especialmente uso de los citados nmeros reales y en ella se parte de una serie de ideas claramente delimitadas como seran las siguientes: los nmeros reales son la suma de los racionales y los irracionales, el conjunto de los reales puede definirse como un conjunto ordenado y este se puede representar mediante una recta en la que cada punto de la misma representa a un nmero concreto.Es importante tener en cuenta que los nmeros reales permiten completar cualquier tipo de operacin bsica con dos excepciones: las races de orden par de los nmeros negativos no son nmeros reales (aqu aparece la nocin de nmero complejo) y no existe la divisin entre cero (no es posible dividir algo entre nada).Esto supone que con los mencionados nmeros reales podamos acometer operaciones tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento opuesto, de elemento neutro) o las multiplicaciones. En este ltimo caso habra que subrayar que en lo que respecta a la multiplicacin de los signos de los nmeros el resultado sera el siguiente: + por + equivale a +; por es igual a +; por + da como resultado -; y + por es igual a -.1.3 Propiedades de los nmeros reales Losnmeros realesson los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. El conjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros, positivos y negativos; todas los fracciones; y todos los nmeros irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de nmeros irracionales son2=1.4142135623730951 . . . =3.141592653589793 . . . e=2.718281828459045 . . .Es muy til representar a los nmeros reales como puntos en larecta real, como mostrado aqu.

Observe que los nmeros ms mayores aparecen a la derecha: Sia 5 se puede llamar desigualdad lineal. Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemticos.La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solucin que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.Por ejemplo: la ecuacin lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su nica solucin, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solucin todos los nmeros mayores a 4.Reemplazando =de la ecuacin lineal con mayor que >, menor que yz cuando z es negativo Es decir la direccin de la desigualdad sigue siendo igual si un nmero idntico positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la direccin cambia, si el mismo nmero negativo se aade en ambos lados de la desigualdad.4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a. Se dice que las desigualdades en la misma direccin se pueden resumir.5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La direccin de la desigualdad cambia cuando los recprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.Una comprensin ms profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un ejemplo:Suponga que la ecuacin a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9Por razones de simplificacin combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x < 9Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada anteriormente, obtenemos6 - 1 4x < 9 1 5 4x < 8Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las desigualdades cambiarn, es decir 5/4 x > 2Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [5/4, 2).

1.3.4 Valor absoluto y sus propiedades

El valor absoluto de un nmero es su valor numrico sin tener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.Formalmente el valor absoluto de todo nmero real est definido por: PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO. Ahora mencionaremos algunas de las propiedades del valor absoluto:1 Propiedad multiplicativa: Nos dice que El valor absoluto de un producto es igual a el producto de los valores absolutos2 Preservacin de la divisin (equivalente a la propiedad multiplicativa)Nos dice que El valor absoluto de un cociente es igual a el cociente de los valores absolutos solo si el denominador no es cero3 Propiedad de la simetraNos dice que El valor absoluto del opuesto de un nmero es igual a el valor absoluto del nmero

4 Definicion positiva Nos dice que El nico nmero que su valor es 0 es el mismo 05 No negatividadNos dice que El valor absoluto de cualquier nmero nunca va a dar negativo6 Identidad de IndescerniblesNos dice que Cuando el valor absoluto de una adicin de dos nmeros es 0 entonces o bien y son el mismo numero o son opuestos uno del otro.7 Propiedad aditiva: Nos dice que El valor absoluto de una suma de dos numero es menor o igual a la sumas de los valores absolutos.8 Equivalente a la propiedad aditiva: Nos dice que El valor absoluto de una resta de dos nmeros es mayor o igual a el valor absoluto de la resta de los valores absolutos.9 Desigualdad triangular: Nos dice que El valor absoluto de una resta de dos numeros es menor o igual a el valor absoluto de la resta de el primer numero menos el tercero mas el valor absoluto de la resta de el tercero menos el segundo

1.3.4 Resolucin de desigualdades que incluyan valor absoluto

Solucin de desigualdades que implican valor absolutoLa solucin de desigualdades que implican valor absoluto requiere algunos conceptos bsicos. La definicin bsica El valor absoluto de un nmero es siempre positivo no tiene ningn uso mientras se resuelven tales desigualdades. Por el contrario, la explicacin geomtrica del valor absoluto El valor absoluto de un nmero es la distancia del mismo con respecto del nmero 0 en la recta numrica debe ser considerado. Por ejemplo: Como 5 est a la distancia de 5 unidades del origen, es por eso que el valor absoluto de | 5 | es 5.

De la misma forma, el valor absoluto de 5 es tambin 5. | 5 | = 5.

Con el fin de resolver las desigualdades con valor absoluto es necesario tomar dos patrones en cuenta:Patron 1: Menor desigualdad absolutaDe acuerdo con este patrn, si la desigualdad a ser resuelta es de la forma | s | 2.5Se puede observar que el resultado es de la forma mayor que. Por tanto, el resultante de la desigualdad con valor absoluto es | x - 21.5 | 2.5

LISTA DE REFERENCIAS

http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/Mecanica/MateI/1.2.-%20La%20Recta%20Num%C3%A9rica.pdf http://definicion.de/numeros-reales/#ixzz3jtHrETPThttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_1.htmlhttp://www.mitecnologico.com/igestion/Main/ResolucionDeDesigualdadesQueIncluyanValorAbsoluto#sthash.LcHP7mE9.dpufhttps://asesoriasmfq.wordpress.com/cursos/calculo-diferencial/u1-numeros-reales/1-4-intervalos-y-su-representacion-mediante-desigualdades/

https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_supremo