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Unidad 1. Geometría Moderna 1 Recta de Euler y triángulo pedal

Recta de Euler

Lema 1. Consideremos ABC un triángulo. Sean H su ortocentro, O su circuncentro y A' el punto medio

del lado BC, entonces se tiene que

AH = 2A′O

Demostración. Trazamos AD altura por A, BE altura por B, OA' mediatriz de BC y OB' mediatriz porAC

Tenemos entonces que

a) AB es paralela a A'B' pues une los puntos medios

b) AH es perpendicular a BC y A'O es perpendicular a BC

c) según lo anterior AH es paralela a A'O

d) ∠ BAH = ∠ OA′B′

e) Por el criterio de semejanza LAL se tiene que los triángulos ABH y A'B'O son semejantes

Como AB = 2A′B′ entoncesAB

A′B′= 2

por lo tanto AH = 2A′O

Facultad de Ciencias UNAMGeometría Moderna I

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


Teorema 1. En un triángulo ABC, el ortocentro, centroide y el circuncentro son colineales. La recta

donde se encuentran estos punto se conoce como la recta de Euler.

Demostración. Trazamos dos medianas AA', BB' para localizar el centroide G,dos alturas AD y BE paralocalizar el ortocentro H. Por el lema anterior tenemos que AH = 2A′O; como G es el centroide sabemosque AG = 2GA′, �nalmente AH y A'O son ambas perpendiculares a BC, se tiene que son paralelas yentonces ∠ HAG = ∠ OA′G

lo anterior es su�ciente para garantizar que los triángulos HAG y OA'G son semejantes, en particulartenemos que

∠ HGA = ∠ OGA′

luego H, G y O son colineales




Ángulos inscritos

Dada una circunferencia con centro O y radio r, si consideramos el radio OA y una recta t perpendicularal radio en el extremo A, entonces t se conoce como la recta tangente a la circunferencia. A cualquiersegmento de recta AB qure tenga sus extremos sobre la circunferencia y no sea diámetro le llamamoscuerda. A una recta que corta a la circunferencia en dos puntos le llamamos secante

Si trazamos dos rectas tangentes a la circunferencia desde un mismo punto P, entonces los segmentos derecta desde P a los puntos de tangencia son iguales y el centro de la circunferencia yace en la bisectrizdel ángulo entre las rectas.

Para probar lo anterior, basta observar que los dos triángulos rectángulos PAO y PA′O son congruentes(tienen un cateto igual y la hipotenusa común).Si tomamos dos puntos A y B sobre una circunferencia, estos determinan dos arcos, ya que, si recorremosla circunferencia en sentido contrario alas manecillas del reloj tendremos los arcos AB y BA.

Un ángulo inscrito en una circunferencia es el ángulo formado por dos cuerdas que tienen un extremocomún sobre la circunferencia. Los dos extremos no comunes de las cuerdas de�nen un arco, al que sellama el arco que abre el ángulo inscrito. Un ángulo central es el ángulo formado por dos radios.




Teorema 2. Teorema de la medida del ángulo inscrito La medida de un ángulo inscrito inscrito en una

circunferencia es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados, es decir, es la mitad del ángulo

central que abre el mismo arco

Demostración. 1. Un lado del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia.Supongamos que α = ∠ ABC es el ángulo inscrito que pasa por el centro de la circunferencia, O seencuentra sobre BC.

Como el triángulo 4 ABO es isóceles tenemos que

∠ ABO = ∠ BAO = α

y como la medida del ángulo exterior al vértice O del triángulo 4 ABO es la suma de los otros dosángulos interiores, entonces

∠ AOC = 2α

2. El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo

Trazamos la cuerda BD que pase por el centro O. El ángulo α = ∠ BAC, queda dividido en dospartes por BD,




si α1 = ∠ ABD y α2 = ∠ DBC tenemos por el primer caso

∠ AOD = 2α1 y ∠ DOC = 2α2

por lo tanto∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 2α1 + 2α2 = 2α

3. El centro de la circunferencia es un punto exterior del ángulo

Trazamos el diámetro BD. Si α1 = ∠ ABD y α2 = ∠ CBD

tenemos por un ladoα = ∠ ABC = α2 − α1

por otro, usando el primer caso, que

∠ AOD = 2α1 y ∠ COD = 2α2

luego∠ COA = ∠ COD − ∠ AOD = 2α2 − 2α1 = 2α




Corolario 1. Todos los ángulos inscritos que abren un mismo arco tienen la misma medida.

Demostración. Sean ∠ ABC y ∠ AB′C dos ángulos inscritos que abren un mismos arco

Según el resultado anterior

∠ ABC = ∠ AB′C =1

2∠ AOC

Corolario 2. Sean A y C dos puntos �jos sobre una circunferencia. Para cualesquiera dos puntos B y

B' de la circunferencia se tiene que:

∠ ABC = ∠ AB′C o ∠ ABC y ∠ AB′C son suplementarios

Demostración. Si B y B' se encuentran en el mismo arco, los ángulos inscritos son iguales a la mitad delángulo central ∠ AOC.

Si B y B' están en arcos diferentes, se tiene que

∠ ABC + ∠ AB′C =1

2(∠ AOC + ∠ COA) = 180◦




Corolario 3. Sean A y C dos puntos �jos, el conjunto de puntos B que cumplen que ∠ ABC es un

ángulo recto es una circunferencia de diámetro AC.

Ángulos semi-inscritos

Un ángulo se dice semi-inscrito en un arco cuando tiene su vértice en uno de los extremos del arco, unode sus lados pasa por el otro extremo del arco y el segundo lado es tangente a la circunferencia

Teorema 3. Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco

Demostración. Prolonguemos el radio BO para formar un diámetro BM.

El ángulo ∠ MBC es recto, ya que BC es la tangente, de aquí tenemos que

∠ MBC =∠ MOB

2

Sabemos también que

∠ MBA =∠ MOA

2

Entonces

∠ ABC = ∠ MBC − ∠ MBA =∠ MOB

2− ∠ MOA

2=

∠ AOB

2

Ejemplo Considere la tangente al círculo que pasa por el punto D y AB una cuerda que no sea paralelaa la tangente. Prolónguese la cuerda AB hasta que intersecte a la tangente en un punto, digamosP. Demuestre que

∠ DPA =∠ DOA− ∠ BOD

2




Por ser α un ángulo exterior del triángulo 4 APD, tenemos que

∠ DPA+ ∠ DAP = ∠ α

Según el resultado anterior tenemos ∠ α =∠ DOA

2y por la medida del ángulo inscrito

∠ DPA =∠ DOA− ∠ BOD

2



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