Unidad 1 Números Reales

Igual que han nos han ido apareciendo las distintas familias de números como

ampliación de otras. Los enteros como complemento de los naturales. Los racionales de los

enteros.

Los números racionales no nos resuelven problemas como el cálculo de la hipotenusa de

un triangulo rectángulo de catetos 1.Para resolver este tipo de situaciones aparecen los números

irracionales (notación : I)

Los números reales aparecen como unión de los números racionales e irracionales. Se

les denota por R y se representa en la recta real.

RIQ

RI

RQZN

Ejemplo:

5 → Natural, Entero, Racional, Real

-15 → Entero, Racional, Real

7

3 → Racional, Real

15 → Irracional, Real

Ejercicios

1.- Clasifica los siguientes números

15, 25

31, -26, 25 , 15 ,

3

27,

9

14, 652.1

1.- Representación de números reales

En la siguiente figura aparecen sucesivas ampliaciones del campo numérico sobre la

recta numérica, de manera que se va asignando un número a cada punto de la recta. Por ello,

decimos que los números reales completan la recta numérica.

2.- Radicales

Como ya sabemos de cursos anteriores:

222 )3(939,39,9 yporquexentoncesxSi

La raíz enésima de un número real a es otro número b que elevado a la potencia n, da

como resultado el radicando.

abba nn

Características de las raíces

-. Si el índice de la raíz es par y a > 0, existen dos raíces enésimas reales opuestas n a

y n a

22164 y

-. Si el índice de la raíz es par ya a < 0, no tiene solución

existeno4 16

-. Si el índice de la raíz es impar, existe una raíz enésima real que tendrá el mismo

signo que a

21282128 77

-. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de un radical por el mismo

número obtenemos radicales que representan al mismo. En este caso los radicales serán

equivalentes.

kn kmn mkn kmn m aaaa / /

Ejercicios:

2.- Halla las soluciones de los siguientes radicales

16 3 125

3 125 16

3.- Reduce a común índice buscando radicales equivalentes

a) 4 326

b) 53 515

c) 64 aba

d) 33 2 ac

3.- Operaciones con Radicales con igual indice

Multiplicación de Radicales

nnn baba

División de radicales

- Con el mismo índice: da como resultado otro radical de igual índice y cuyo radicando

es el cociente de los radicandos

nn

nnnn

b

a

b

ababa ::

Potenciación y radicación de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a esa potencia

nmn

m

aa

La raíz de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices

mnn m aa

Ejercicios

4.- Realiza las siguientes multiplicaciones

a) 94 b) 333 15255

c) 12523 d)

2

1)4(8

3

5

9.- Realiza las siguientes divisiones simplificando el resultado.

a) 44 12:126

b) 23

2

ba

ba

e) 8

72

10.- Calcula las siguientes potencias:

a)

43 12

b)

3

155

c)

2

3

5

3 d)

5

3

125

1

11.- Realiza las raíces y simplifica el resultado:

a) 3 8

b) 5 4 3 1200

c) 6 32ba

d) 3

25

4

5.- Potencias de exponente racional.

La raíz enésima de un número, n a se puede expresar en forma de potencia.

aaaapuesaa n

nn

nnn 1

11

Las operaciones con potencias de exponente racional siguen las mismas normas que las

potencias estudiadas anteriormente.

nnn baba )(

mnmn aaa

nnn baba )(

mnmn aaa

mnmn aa )(

Ejercicios

15.- Transforma los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario.

a) 5 42 b)

35 c) 2 d) 3

4

1

16.- Transforma las siguientes potencias en radicales:

a) 3

1

4 b) 7

5

)3( c)

8

3

3

1

d) 5

6

5

17.- Escribe en forma de una sola potencia:

a) 33 · 3

4 · 3 =

b) 57 : 5

3 =

c) (53)

4 =

d) (5 · 2 · 3)4 =

e) (34)

4 =

f) [(53)

4 ]

2 =

g) (82)

3

h) (93)

2

i) 25 · 2

4 · 2 =

j) 27 : 2

6 =

k) (22)

4 =

l) (4 · 2 · 3)4 =

(25)

4 =

[(23 )

4]

0=

(272)

5=

(43)

2 =

18.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:

a) (−2)2 · (−2)

3 · (−2)

4 =

b) (−8) · (−2)2 · (−2)

0 (−2) =

c) (−2)−2

· (−2)3 · (−2)

4 =

d) 2−2

· 2−3

· 24 =

e) 22 : 2

3 =

f) 2−2

: 23 =

g) 22 : 2

−3 =

h) 2−2

: 2−3

= 2

i) [(−2)− 2

] 3 · (−2)

3 · (−2)

4 =

j) [(−2)6 : (−2)

3 ]

3 · (−2) · (−2)

−4 =

19.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:

a) (−3)1 · (−3)

3 · (−3)

4 =

b) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)

0=

c) (−3)2 · (−3)

3 · (−3)

−4 =

d) 3−2

· 3−4

· 34 =

e) 52 : 5

3 =

f) 5−2

: 53 =

g) 5 2 : 5

−3 =

h) 5−2

: 5−3

=

i) (−3)1 · [(−3)

3]

2 · (−3)

−4 =

j) [(−3)6 : (−3)

3]

3 · (−3)

0 · (−3)

−4 =

20.- Realiza las siguientes operaciones con potencias:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

6.- Porcentajes. Interés Simple y Compuesto.

Los números reales se aplican con frecuencia un proporcionalidad y, concretamente, en

la definición de porcentaje. Así mismo, el uso de los porcentajes y la regla de tres compuesta

son usuales en el cálculo del interés simple y el compuesto.

Porcentajes o tanto por cientos

Se denomina porcentaje o tanto por ciento (%) al valor de una magnitud relativo al

valor 100 de otra magnitud.

Por ejemplo, si decimos que una joya tiene el 25% de plata, estamos considerando dos

aspectos: el peso de la joya y el peso de la plata. Esto significa que, por cada 100 gr del peso de

la joya, hay 25 gr de plata.

Tenemos varias maneras de ver o interpretar los porcentajes. Con fracciones decimales

y números decimales

25.0100

25%25

Los problemas de porcentajes también los podremos resolver utilizando la regla de 3

simple. Según nuestra habilidad y el estilo de problema que estemos resolviendo utilizaremos

un método u otro.

Ejemplo: Al comprar un libro de 45€ me han hecho un descuento del 8%. ¿Cuánto me

han descontado?

Método 1: Utilizando fracciones

6.3100:)845(45100

8de Asi que me descuentan 3,6€ del precio del libro.

Método 2: Utilizando decimales

6.34508.0

Método 3: Regla de 3

6.3100

458

45

8100

%

x

x

Total

Porcentajes encadenados

Cuando nos hacen varios porcentajes seguidos sobre una primera cantidad. No podemos

sumar todos esos porcentajes y calcular. Tenemos lo que se llama porcentajes encadenados.

Veamos esto con un ejemplo: Un vendedor de bicicletas de piensa que si aplica un 16%

de IVA y luego hace una rebaja del 16 consigue que la bicicleta cueste lo mismo que al

principio. Pero no sabe si aplicar primero el impuesto o después la rebaja.

Calculemos primero la rebaja y luego el impuesto

44.97)16,01(84

84)16,01(100 Si la bicicleta costaba 100€ al final tengo que pagar 97.44€

Calculemos primero el impuesto y luego la rebaja

44.97)16,01(116

116)16,01(100 Igual mente vemos que el precio final es 97.44€

Conclusiones:

1-. El precio final es distinto del inicial

2-. Da igual el orden en que apliquemos los porcentajes.

Ejercicios

20.- Calcula los siguientes porcentajes:

a) 10% de 360 b) 80% de 170 c) 25% de 48 d) 2% de 600 e) 5% de 845 f) 32% de

15 g) 1,5% de 70 h) 24,7% de 471

21.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido

de viaje?

22.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el

porcentaje de aumento?

23.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%.

¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

24.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos

que pagar?

25.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado

en 80 €. Halla el precio de venta.

26.- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 €

para ganar al venderlo el 10%.

27.- ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12%

sobre el precio de venta?

28.- Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta

del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

29.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se

reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

30.- Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una

enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias

supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%.

¿Cuántas bacterias forman la población finalmente?

31.- Un apartamento está valorado en 80 000 €. Está previsto que se revalorice su precio un 5%

por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años?

32.- En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90,

ahora 29,95. Se quiere saber:

a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente?

b) Si no es así, ¿cuál lo está más?

Interés Simple

El interés es dinero que produce una cantidad inicial sometida durante un determinado

tiempo aun tanto por ciento fijado.

Para calcular el interés simple utilizamos la regla de 3 compuesta que nos da la

siguiente fórmula para calcularlo de manera rápida.

100

trCI

Donde C = Capital, r = tanto por ciento , t = tiempo del préstamo

La anterior formula nos es válida si el tiempo en el que se calcula el interés es en años.

Si utilizamos meses o días tenemos las siguientes fórmulas:

mesestrC

I1200

DíastrC

I36000

Ejemplos:

-. Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.

-. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.

-. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta

en 30.000 €?

Ejercicios:

33.- Calcula el interés que producen 1200€ puestos al 6% durante 2 años. Calcular en años,

mese y días.

34.- ¿Qué interés anual producen 10 000€ prestados a un tipo de interés anual de 3,5%? ¿Y al

cabo de 5 años?

35.- ¿A qué tipo de interés debe prestarse un capital de 25 000E para producir un interés de 12

000€ al cabo de 12 años?

36.- ¿Cuánto tiempo tienen que estar 1500€ para que produzcan 337,5€ de interés al 7,5%?

37.- ¿Qué capital tengo que meter en el banco para que me den un interés de 1530€ si esta al

4,5% durante 4 años?

38.- ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta

en 30.000 €?

39.- Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el

tanto por ciento de interés.

40.-Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al

cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

41.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?

Interés Compuestos

El interés compuesto representa el coste del

dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (Ci) a una tasa

de interés (R) durante un periodo de tiempo (t), en el cual los

intereses que se obtienen al finalizar cada periodo de

inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al

capital final.

La fórmula que vamos a utilizar para calcular el

interés compuesto es la siguiente:

t

if

RCC

1001

Si el tiempo lo utilizamos en meses o años,

cambiaremos 100 por 1200 ó 36000, igual que hicimos con

las fórmulas del interés simple.

1.- Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después devuelve $1.020.

Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es:

a) Simple

b) Capitalizado anualmente

c) Capitalizado trimestralmente

d) Compuesto mensualmente

2.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse, si el interés a que está

invertida es el 6% nominal anual compuesto ?

3.- Un capital de 10.000€ se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años

es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6% y los últimos 10 años del 7%. ¿Qué

capital tendrá al finalizar el tiempo?

Tasa Anual Equivalente (T.A.E.)

La Tasa Anual Equivalente (TAE) es una referencia orientativa del coste real de una

inversión o préstamo.

La TAE es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o

rendimiento efectivo de un producto financiero, ya que incluye el tipo de interés nominal, los

gastos y comisiones bancarias y el plazo de la operación. O sea, que la TAE se diferencia del

tipo de interés en que éste no recoge ni los gastos ni las comisiones; sólo la compensación que

recibe el propietario del dinero por cederlo temporalmente.

El cálculo de la TAE está basado en el tipo de interés compuesto y en la hipótesis de

que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al mismo tipo de interés.

Ejemplo:

Calcular el T.A.E. si tenemos 1200€ al 7.5% durante un año con intereses mensuales.

Calculamos el capital final

1591,12931200

5.711200

12

fC

Calculamos ahora el TAE, para ello volvemos a utilizar la fórmula del interés compuesto.

%76,7100

10776.1

10010776.1

1001

1200

1591,1293

100112001591,1293

1001

1

TAE

TAE

TAE

TAE

RCC

t

if

Ejercicios

1 Calcular el tipo de interés anual equivalente al 4 % trimestral.

2 Determinar el tipo de interés anual equivalente al 12 % mensual.

3 Calcular el tanto por ciento a al 10 % nominal anual.