Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 217PARA EMPEZAR Vamos a mover un mosaico de la Alhambra Imagina que pones encima un papel transparente y lo calcas (si en vez de imaginar-lo, lo haces, mejor).a) Cmo has de mover el papel transparente para que el hueso H1 se desplace exactamente sobre el hueso H2? Y para que quede sobre el hueso H3? Y para que se desplace hasta el H4?b) En qu punto deberamos clavar un alfiler para que, girando la transparencia, se puedan intercambiar las posiciones de los huesos blancos y azules?c) Dnde colocaras un espejo para que el mosaico se contine en la imagen?a) H1coincideconH2desplazndoloala derecha la distanciaAB.H1coincideconH3desplazndoloenla direccin, el sentido y la distanciaAC.H1 coincide con H4 girndolo 90, en sen-tido contrario a las agujas del reloj, alrede-dor deD. H2H1H4H3A BCDb) Por ejemplo, el puntoD.c) Por ejemplo, sobre la lnea discontinua roja o sobre la lnea discontinua verde.Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2201 En el mosaico de la segunda pgina estudiamos las transformaciones que llevaban H1 a H2, H3 y H4.a) Cul o cules de ellas son traslaciones?b) Cul es el vector que caracteriza la traslacin que transforma H1 en H2? Y el que transforma H2 en H3? Y el que transforma H3 en H1?a) De H1 a H2, y de H1 a H3 son traslaciones.b) El vector que caracteriza la traslacin que trans-forma H1 en H2 es el vector8 AB. El que transforma H2 en H3 es el vector8 BC,y el que transforma H3 en H1,8 CA. H2H1H3A BCPg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2212 En unos ejes coordenados considera el vector8tde origen (0, 0) y extremo (3, 5).Lo designaremos, simplemente,8t (3, 5).35(3, 5)(0, 0)a) Traslada los puntosA(0, 4),B(3, 5),C (0, 0)yD(5, 1)mediante este vector.b) Comprueba que los puntosM (1, 3),N (7, 1)yX (4, 1)estn alineados. Trasl-dalos mediante el vector8ty comprueba que sus correspondientes tambin estn alineados.a) (0, 0)8t8t8t8tYBADB' = CC' (3, 5)D' (8, 4)A' (3, 1)Xb) YM'X'N'MXNX8t8t8t3 a)TrasladaeltringulodevrticesA(3,1),B(4,2)yC (8,1)segnelvector 8t (1, 4). Comprueba que los tringulosABCyA'B'C'son iguales.b) Comprueba que la rectar : y = 3 + 4xse transforma en s misma (es doble) segn la traslacin descrita en el apartado a).Para ello, toma varios puntos der[por ejemplo, (0, 3), (1, 1), (2, 5)] y comprueba que sus trans-formados estn tambin enr .A(3, 1)B(4, 2)C(8, 1)8 t (1, 4)Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoa) b) YA'B'C'ABCX YrX(1, 1)(2, 5)y = 3 + 4x(0, 3)8t8t T[(0, 3)] = (1, 1) rT[(1, 1)] = (2, 5) rT[(2, 5)] = (3, 9) r4 Dibujaunosejescoordenadossobrepapelcuadriculado. TrazaconcompslacircunferenciadecentroO (3,4)y radio 5.a) CompruebaquelacircunferenciapasaporP (0, 0), Q (6, 8)yR (3, 1).b) Traslada los puntosO, P, QyRmediante la traslacinTde vector8t (6, 2). O(3, 4)QRPc) Comprueba que la circunferencia cuyo centro esO' = T(O )y radio 5 pasa porP', Q'yR'.d) Trasladando algunos de sus puntos, averigua en qu rectas se transforman el ejeX y el ejeY.a), b), c) YXy = 2x = 68t8tQ'O'R'P'ROPQ8t8t8t8td) El ejeXse transforma eny = 2.El ejeYse transforma enx = 6.Pg. 2Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2231 Las figuras siguientes tienen centro de giro. Explica por qu, halla el orden de cada uno y calcula el ngulo mnimo de coincidencia mediante giro.A B Ca) Centro de giro de orden 3, porque al girarla alrdedor del centro coincide 3 veces consimo misma, contando con la posicin inicial.ngulo mnimo 8 3603 = 120b) Centro de giro de orden 12.ngulo mnimo 8 36012 = 30c) Centro de giro de orden 8.ngulo mnimo 8 3608 = 452 Dibuja unos ejes coordenados en una hoja de papel cuadriculado. Considera el giro Gde centroO (0,0)y nguloa = 90.a) Transforma medianteGlos puntosA (5, 0),B (0, 5),C (4, 3)y seala el tringu-loA'B'C'transformado del tringuloABC.b) En qu se transforma la rectarque pasa porAy porB?c) En qu se transforma la circunferencia de centroOy radio 7?a) A'(0, 5);B'(5, 0);C'(3, 4)b) Se transforma en otra recta,s,perpendicu-lar arenA.c) En s misma, es una figura doble. YXA'C'B' = A909090CsrOBPg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el plano3 Recuerda el mosaico multihueso que vimos en la segunda pgina.H4H1H2H3a) Describe un giro que transforme H1 en H4.b) Describe un giro que transforme H1 en H3.H4H1H2H3EDa) Es un giro de centroDy ngulo 90.b) Es un giro de centroEy ngulo 180.Pg. 2Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2241 Seala los ejes de simetra de esta figura.e1e2e32 Consideramos la simetraSde eje la rectay = x.Dibuja los transformados mediante Sde:a) Los puntosA(3, 1),B (4, 0),C (0, 4),D (5, 5).b) El ejeX.c) El ejeY.d) La circunferenciaC1de centro (1, 4) y radio 2.e) La circunferenciaC2de centro (3, 3) y radio 5.a) A'(1, 3)B'(0, 4)C'(4, 0)D'(5, 5)El puntoDes doble:D = D'. X'= YX = Y'e: y = xA'AB = C'D = D'C = B'C1C2 = C2'C1'b) El ejeXse transforma en el ejeY.c) El ejeYse transforma en el ejeX.d) Se transforma en la circunferencia de centroC'1(4, 1) y radio 2.e) Se transforma en s misma, es una figura doble.Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2251 Dibuja,enpapelcuadriculado,eltringuloDdevrticesA(5,3),B(2,2), C (0, 5).Considera la traslacinTde vector8t (5, 1)y la simetraSde eje el ejeX ( y = 0).a) TransformaDmedianteTcompuesto conS.b) TransformaDmedianteScompuesto conT.YXe: y = 0e: y = 0a) b)8tC'C'CABB'B'B''B''C''C''YXCABA'A''A'' A'2 Considera las simetrasS1yS2de ejesx = 0(el ejeY)yx = 6,respectivamente.a) Transforma el tringuloDdel ejercicio anterior medianteS1compuesta conS2.b) Transforma el tringuloDmedianteS1compuesta conS,siendoSla del ejerci-cio anterior.YXe2: y = 0e1: x = 0e1: x = 0e2: x = 6a) b)CA AB B B'B' B''B''C''C''YXA' A'' A'C = C' C = C'A''Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2261 Completa, en tu cuaderno, los siguientes mosaicos:a)b)c)a)b)c) Pg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2272 Completa, en tu cuaderno, los siguientes frisos. Cul es el menor trozo que se repite en cada uno?A B 3 Completa en tu cuaderno los siguientes rosetones. Despus, contesta a las preguntas que te proponemos.a) Dequordendegiroescada uno de ellos?b) Culeselmenortrozoquese repite en cada uno?A BA Ba) A: Centro de giro de orden 4.B: Centro de giro de orden 6.b) A BPg. 1Soluciones a las actividades de cada epgrafe 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 2284 Encuentra algunos movimientos que dejen invariable este mosaico.Es regular este mosaico?Es semirregular?Hay muchos. Por ejemplo: La traslacin del vector8 t . El giro de centroOy nguloa = 60. La simetra de ejee1. La simetra de ejee2.No es regular, es semirregular. e1Oe2a8t5 Qu movimientos dejan invariable la cenefa XI de la pgina anterior?a) Con color.b) Sin color.8tD' D'' D''' Da) Las traslaciones del vector8 t ,28 t ,38 t ,8 t ,28 t , b) Las mismas traslaciones que antes, y un giro de 180 sobre el puntoDo cualquier punto similar aD.6 Qu movimientos dejan invariable el rosetn XIII de la pgina anterior?Giros de 90, 180 y 270 alrededor del centro del rosetn.Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 229 PracticaTraslaciones1 a) Representa en papel cuadriculado la figuraH1obteni-da a partir deHmediante la traslacin del vector8t1(3, 2).b) Dibuja la figuraH2transformada deH1mediante la trasla-cin8t2(2, 6). Hc) Di cul es el vector de la traslacin que permite obtenerH2a partir deH.d) Qu traslacin habra que aplicar aH2para que se transformase enH ?a) y b) en la figura.c) Es el vector8 t (5, 4)que es la suma de8 t1y8 t2.d) Habra que aplicar una traslacin de vector8 t (5, 4).8t (5, 4)8t2(2, 6)8t 1(3, 2)HH1H22 Hemos aplicado a la figuraFcuatro traslaciones para obtenerF1,F2,F3yF4.Determina los vectores8t1,8t2,8t3y8t4que nos permiten transformarFen cada una de las otras figuras.DeFaF1:8 t1(1, 3)DeFaF2:8 t2(3, 1)DeFaF3:8 t3(2, 2)DeFaF4:8 t4(5, 1) FF3F2F4F1Giros3 Hacemos un giro de centroOque transformaMenN.a) Indica en qu puntos se transforman los puntosO,A,B,NyP.b) En qu se transforma la recta que pasa porAyC ? Y el tringuloOPD ?D P CA M BQ N OEs un giro de centroOya = 90.Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoa) O 8 Oes el nico punto doble.A 8 BB 8 CN 8 PP 8 Q D P CA M BQ NO90b) RectaAC 8 RectaBD OPD 8 OQA4 Dibuja las transformadas de esta figura mediante un giro de centroAy ngu-loa = 60,y otro del mismo centro y ngulob = 60.CAB C AB6060Simetras5 Halla las coordenadas de los vrtices del cua-drilteroABCD,transformado mediante:a) La simetra de ejeX.b) La simetra de ejeY.c) La simetra que tiene por eje la recta que pasa porB (3, 3)yP (5, 0). D(6, 4)A(6, 1)C(4, 4)B(3, 3)d) Un punto del cuadriltero es doble respecto de alguna de las simetras anteriores. Cul es?a)A' (6, 1)B' (3, 3)C' (4, 4)D' (6, 4) D(6, 4)A(6, 1)A'D' C'B'C(4, 4)B(3, 3)Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planob) A' (6, 1)B' (3, 3)C' (4, 4)D' (6, 4) D(6, 4)A(6, 1) A'D'C'B'C(4, 4)B(3, 3)c) A' (5, 0)B' = BC' (2, 2)D' (2, 0) DAA' D'C'CB = B'ePd) El vrticeBes el nico punto doble en la simetra de ejeBP.6 Cules son los ejes de simetra de las siguientes figuras?e1e1eeee2e2e3e4a) b)d) e)c)a) Solo tiene un eje de simetra, que es la recta que une los centros.b) Una de las diagonales del cuadrado.c) Un eje de simetra.d) Dos ejes de simetra: la recta que une los centros y la recta que pasa por los puntos de corte de las circunferencias.e) Cuatro ejes de simetra.Mosaicos7 a) Completa en tu cuaderno es-tos mosaicos.b) Identifica, en cada uno de ellos, al-gunosmovimientosquelotrans-formen en s mismo.Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoa) A Bb) A Traslaciones de vector8 t (1, 3)o8 t (2, 0). Simetras de ejese1,e2,e3. e1e2e3B Giros de centroOy ngulosa1 = 60,a2 = 120 Traslacin de vector8 t1,8 t2,8 t3. O8t18t28t3Pg. 4Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 230 Aplica lo aprendido8 Explica por qu las figuras siguientes tienen centro de giro. Halla el orden de cada uno y calcula el ngulo mnimo de coincidencia mediante giro:Estas figuras tienen centro de giro enOporque al girarlas alrededor deOcoinciden consigo mismas varias veces.a) n = 8a = 45b) n = 4a = 90c) n = 3a = 120d) n = 6a = 60e) n = 12a = 3045a)d) e)b) c)906030120OO OOO9a)Amplaentucuadernoestosmo-saicos.b) Identifica, en cada uno de ellos, algunos movimientosquelotransformenens mismo.a) A BPg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planob) A Simetras de ejese1ye2. Traslacin de vector8 t (3, 2). e1e28tB Simetras de ejese1ye2. Traslacin de vector8 t . e1e28t10 AB2 2224 6464 6a) Representa las transformadas de estas figuras mediante la simetra cuyo eje es la rectay = x.b) Cul es la ecuacin de la transformada de la recta que pasa porAyB ?c) Alguna de las figuras es invariante?a) A'S'F'FSCB'ABb) La transformada de la recta que pasa porAyBes la misma recta, por ser perpendi-cular al eje de simetra. Es decir, es la recta de ecuaciny = 4 + x.c) Es invariante la circunferenciaCcuyo centro (4, 4) est en el eje de simetra.Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el plano Resuelve problemas11 OCrsa) Dibuja la imagenC1transformada deCmediante la simetra de ejer.b) DibujaC2,transformada deC1mediante la simetra de ejes.c) Define el giro equivalente a la composicin de las dos simetras que transforman CenC2.a) y b)c)La composicin de las dos simetras es un giro de centroOya = 90. OCrsC1C212HemostransformadoelpuntoPenP'medianteun giro de centroOy ngulo 180.a) Identifica otros tres movimientos que transformenPenP'.b) Cul es el transformado del puntoAen cada uno de ellos? O(1, 3)AP'POAP'A'A'''A''ePa) I)P 8 P'mediante una traslacin de vector8 t (6, 2).II) P 8 P'mediante una simetra cuyo eje es la recta que pasa porOy es perpen-dicular a la recta que unePyP' .Su ecuacin es3x + y 6 = 0.III)Mediante un giro de centroOy nguloa = 180.b) A' (5, 3)es el transformado deAmediante la traslacin8 t (6, 2).A' ' es el transformado deAmediante la simetra de ejee :3x + y 6 = 0.A''' (3, 5)es el transformado deAmediante el giro de centroOya = 180.Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el plano13 AOCDBLas figurasAByCDson iguales (comprubalo). Vamos a hacerlas coincidir me-diante movimientos:a) LlevaABhastaCDmediante una traslacin seguida de un giro.b) Cmoencontraraselcentrodeunnicogiromedianteelcualsetransforma, directamente,ABenCD ?Describe las transformaciones utilizando unos ejes de coordenadas con centro enO.a) Se trasladaABmediante el vector8 t= (10, 2)y luego se gira 90 con centro en C (10, 4).b) Se construyen dos mediatrices: la del segmentoACy la del segmentoBD.El punto donde se cortan,P (4, 0),es el centro de giro que transformaABenCD. OABCD90PPg. 4Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoPGINA 231 Problemas +14 Queremos alicatar una pared de 4,6 m 3 m con azulejos cuadrados de 20 cm de lado como este:a) Completa, en tu cuaderno, un mosaico de 7 7 azulejos.b) Averigua cuntos crculos grandes y cuntos pe-queos (completos) habr en la pared alicatada. c) Qu proporcin de cada color (superficie) habr en la pared? Radio crculo gran-de: 10 cm; radio crculo pequeo: 4 cm.a) b) La pared es de 460 cm 300 cm; por tanto, caben 23 columnas 15 filas de azulejos.Como cada 2 2 azulejos hacen un crculo grande completo, y no debemos contar los que se quedan medios, es como si tuviramos 22 columnas 14 filas de azulejos.Habr entonces 11 columnas 7 filas de crculos; es decir, 11 7 = 77 crculos grandes. Observa la figura: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23123456789101112131415Pg. 1Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planoContamos los crculos pequeos por columnas: comenzamos con la primera y vamos aadiendo columnas.Elnmerodecrculospequeos(completos)dependedequelacolumnaseaparo impar. Vemoslo:1.a columna: 7 crculos pequeos completos.2.a columna: se suman 3 7 + 1 = 22 crculos pequeos completos.3.a columna: se suman 7 crculos pequeos completos.4.a columna: se suman 3 7 + 1 = 22 crculos copletos.As, en las columnas pares se aaden 22 crculos completos y en las impares, solo 7. Del 1 al 23 hay 11 columnas pares y 12 impares.Por tanto, habr 11 22 + 12 7 = 242 + 84 = 326 crculos pequeos completos.c) La proporcin de cada color en la pared es igual a la proporcin de cada color en un solo azulejo, ya que todos son iguales.El cuadrado tiene 20 20 = 400 cm2 de superficie.El color rojo est en las dos mitades del crculo pequeo; es decir, un crculo pequeo completo (con 206 cm de radio).Por tanto, el color rojo ocupa una superficie de 206 34,91 cm2.El color amarillo ocupa un cuarto de crculo grande (con 10 cm de radio): 14 102 78,54 cm2Con estos datos, ya podemos hallar las proporciones de los colores que hay en cada azulejo y, por tanto, en toda la pared:io;o:34,91400 0,0872 = 8,72 % axaiiiio:78,54400 0,1963 = 19,63 %azui: 100 (8,72 + 19,63) = 71,65 %15 Se llama motivo mnimo de un mosaico a una pieza terica, lo ms pequea posible, repitiendo la cual se puede reproducir todo el mosaico. Los bordes de esta pieza no se notan salvo que los hayamos pintado expresamente.Por ejemplo, si en el siguiente mosaico trazamosejesdesimetraconngulos de 60:Pg. 2Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el planodescubrimos la pieza de aqu abajo como candidata a motivo mnimo.a) Redcela a la tercera parte de dos formas distintas.b) Puedes hacerla an ms pequea?c) Descubre otro motivo mnimo trazando ejes de simetra perpendiculares.a) b) c) Reexiona sobre la teora16 Se dice que una transformacinT'es inversa de otraTcuando compuesta con ella da lugar a la identidad (es decir, si aplicamosTy despusT',todo queda como estaba).Encuentra la transformacin inversa en cada uno de los siguientes casos:a) Una traslacin de vector8t (5, 2).b) Un giro de centroO(0, 0)y nguloa = 45.c) Una simetra de eje la rectay = x.a) Una traslacin de vector8 t (5, 2).b) Un giro de centroO(0, 0)y nguloa = 45.c) Es inversa de s misma: una simetra de eje la rectay = x.Pg. 3Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el plano17 La composicin de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa (es decir,T2 T1,en general, es distinto queT1 T2).Sin embargo, si las transforma-ciones son de ciertos tipos, s se cumple la propiedad conmutativa. Justifica en cules de los siguientes casos es as y en cules no:a) Composicin de dos traslaciones.b) Composicin de dos giros del mismo centro.c) Composicin de dos simetras axiales.d) Composicin de una traslacin y un giro.a) S es conmutativa. El resultado es otra traslacin de vector igual al vector suma de los correspondientes a las dos traslaciones.b) S es conmutativa. El resultado es otro giro del mismo centro y ngulo igual a la suma de los ngulos correspondientes a los dos giros.c) No es conmutativa.d) No es conmutativa.18 Si consideramos una transformacin que deja todo como estaba y donde esta-ba, a dicha transformacin la llamaremos identidad (I ).Define una traslacin y un giro que sean equivalentes a la identidad.La nica translacin que es equivalente a la identidad es la de vector 8 0.Un giro equiva-lente a la identidad es aquel con cualquier centro y un ngulo de 360, 720, 1 08019Sedicequeunatransformacinesidempotente(oinvolutiva)sicompuesta consigo misma da lugar a la identidad (es decir, si la aplicamos dos veces, todo que-da como estaba:T T = I ).Encuentra dos movimientos que sean idempotentes.Por ejemplo:Un giro de centro cualquiera y ngulo 180, ya que al componerlo dos veces es equiva-lente a la identidad.Una simetra de eje cualquiera.20 Justifica que solo se puede hacer un mosaico regular con tringulos, cuadra-dosohexgonos.Paraellotenencuentacuntodebensumarlosngulosdelos polgonos que concurren en un vrtice de un mosaico. Y cunto vale el ngulo de cada uno de los polgonos regulares. Seis tringulos equilteros encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:60 6 = 360 60Pg. 4Soluciones a Ejercicios y problemas 11Unidad 11. Movimientos en el plano Cuatro cuadrados encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:90 4 = 360 90 No podemos encajar los pentgonos regulares:180 3 = 3248Con tres pentgonos no llega a 360.180 4 = 4328Con cuatro pentgonos pasamos de 360 108 Tres hexgonos regulares encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:120 3 = 360 120 Al considerar tres polgonos de ms de 6 lados, la suma de los tres ngulos correspon-dientes es mayo de 360; luego no se pueden encajar en el plano.Pg. 5Unidad 11. Movimientos en el planoSoluciones a Y para terminar 11PGINA 233InvestigaDiferentes baldosasEntrelosmodelosdebaldosasdelmuestrariodeladerecha,culessirvenparacons-truir el suelo que ves a la izquierda?MUESTRARIOTodas las baldosas del muestrario son vlidas para construir el suelo pedido. (No se tienen en cuenta las lneas de unin entre baldosas).Pg. 1