Unidad 2

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES

Este método comienza con una solución inicial factible ( como el que produce el MEN,

MAV,

MCM) En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la

solución factible actual, en tanto se elimina una ruta usada actualmente. En cada

cambio de ruta debe cumplirse que:

1. La solución siga siendo factible

2. Que mejore el valor de la función objetivo

El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la

función.

PROBLEMA DEGENERADO. Cuando una solución factible usa menos de m+n-1 rutas.

CALLEJONES SIN SALIDA. No se encuentra trayectorias apropiadas

ALGORITMO

1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una trayectoria única del

paso secuencial. Usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a

la solución cada ruta no usada.

2. Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, terminar; se tendrá la

solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo

(empates se resuelven arbitrariamente)

3. Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número de artículos

que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustar la distribución

adecuadamente.

ELABORADO POR:JESSICA ALLAUCA


4. Regrese al paso 1

ESQUINA DEL NOROESTE

A B C D Oferta

1 300 12 100 13 4 6 400

2 6 600 4 10 11 600

3 10 100 9 200 12 400 4 700

Demanda 300 800 200 400 1200

Z= 12200

PASOS SECUENCIALES

A B C D Oferta

1 300 12 13 100 4 6 400

2 6 600 4 10 11 600

3 10 200 9 100 12 400 4 700

Demanda 300 800 200 400 1200

Z= 11000

MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA

El Método Modi nos ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados en

los valores de las variables de decisión del modelo, pero aunado a esto también nos

indica la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes para obtener una

mejor solución.

ALGORITMO

A partir de una solución factible calculada por cualquier método (MEN, VAM O MCM ):



Paso 1. Calcular los multiplicadores (Ui, Vj) y los costos marginales (c.m)

Los multiplicadores (Ui, Vj) están asociados a toda celda básica y su expresión es:

Ci,j = Ui + Vj

Esto es un sistema de m+n–1 ecuaciones y m+n incógnitas. Los valores de los

multiplicadores se obtienen suponiendo un valor arbitrario para uno de los

multiplicadores y se calcula el resto, resolviendo los m+n–1 multiplicadores restantes.

Los costos marginales están asociados a toda celda no básica, con la expresión:

C.M = Cij – (Ui + Vj)

Si todos los costos marginales son no negativos, la solución es óptima. Termina.

Paso 2. Si existe por lo menos un c.m. negativo, tomar la celda con mayor valor

negativo. Crear un circuito con todos los vértices en celdas de variables básicas. Es

decir, encontrar la trayectoria de la variable “no básica” que entrará a la solución.

Paso 3. Ajustar el valor de Xij en las celdas del circuito, comenzando por sumar la

variable θ a la celda seleccionada en el Paso 2, en el sentido de las manecillas del reloj,

y alternando una resta y suma de θ en cada celda de la trayectoria hasta regresar a la

celda primera, resolver una desigualdad (≥0) para θ y ajustar la solución. En todo caso

volver al Paso 1.

Debemos recordar que # Filas + # columnas -1 ≤ # celdas llenas

Si se cumple la igualdad es una solución NO DEGENERADA

Si no se cumple es una solución DEGENERADA



EJERCICIO 1

MODI

SOLUCIÓN MEN

1 2 3 4 OFERTA

A 400 12 100 13 4 6 500

B 6 700 4 10 11 700

C 10 100 9 200 12 500 4 800

Demanda 400 900 200 500 2000

MEN Z= 14200

U1+V1= 12

U1+V2= 13

U2+V2= 4

U3+V2= 9

U3+V3= 12

U3+V4= 4

1 2 3 4 OFERTA

A 400 12 13 100 4 6 500

B 6 700 4 10 11 700

U1= 0 V1= 12

U2= -9 V2= 13

U2= -4 V3= 16

V4= 8

A3= 4-(0+16) = -12

A4= 6-(0+8)=-2

B1= 6-(9+12)= 3

B3= 10- (9+16) = 12

C1= 10-(4+12)= 2



C 10 200 9 100 12 500 4 800

Demanda 400 900 200 500 2000

U1+V1= 12

U1+V3= 4

U2+V2= 4

U3+V2= 9

U3+V3= 12

U3+V4= 4

1 2 3 4 OFERTA

A 300 12 13 200 4 6 500

B 6 700 4 10 11 700

C 100 10 200 9 12 500 4 800

Demanda 400 900 200 500 2000

Z=12000

A2= 13-(6+1) =12

A4= 6-(0-4)= 10

B1= 6-(-3+12)=-9

B3= 10- (3+4) = 3

B4= 11-(3+4)= 12

C1= 10-(8+12)= -10

U1= 0 V1= 12

U2= 3 V2= 13

U2= 8 V3= 4

V4= 8



EJERCICIO 2

MEN

1 2 3 4 OFERTA

A 181 8 182 14 2 11 363

B 15 21 22 179 9 23 200

C 21 13 145 10 292 32 437

Demanda 181 203 324 292 1000

Z= 16863

U1+V1= 8

U1+V2= 14

U2+V2= 22

U2+V3= 9

U3+V3= 10

U3+V4= 32

A3= 2-(0+1) =1

A4= 11-(0+23)= -12

B1= 15-(12+8)=-5

B4= 23- (8+23) = -8

C1= 21-(12+9)= -8

U1= 0 V1= 12

U2= 8 V2= 14

U2= 9 V3= 1

V4= 23



1 2 3 4 OFERTA

A 181 8 3 14 2 11 363

B 15 200 22 179 9 23 200

C 21 13 145 10 292 32 437

Demanda 181 203 324 292 1000

Z= 14715

MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO (TRAMPOLIN)

El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping –Stone o método del

paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál sería la variación del costo mínimo,

además a buscar la solución óptima de un problema de transporte solucionado por algunos de

los métodos

(Vogel, Costo mínimo, Esquina Noroeste entre otros).

Este método parte de una solución factible, la cual es tomada de cualquiera de las soluciones

que arrojan los métodos de asignación.

El Cruce del Arroyo evalúa la solución inicial y mediante iteraciones (procesos aritméticos)

busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de partida es la más

desfavorable en términos económicos, el procedimiento se hará más dispendioso pues implica

más iteraciones hasta aproximarse a la solución óptima. Por tal motivo entre más acertado sea

la solución de la que partiremos, resultara más confiable la solución óptima que resultara de

nuestro procedimiento.

CARACTERÍSTICAS

1. Se debe comenzar a resolver por las celdas vacías.

2. El número de casillas debe ser igual a m+n-1



3. Se deben trazar las líneas solo horizontal y verticalmente.

4. Se puede trazar líneas por celdas llenas o vacías sin utilizarlas.

5. El Circuito debe comenzar en una celda vacía y al recorrer las celdas ocupadas debe

terminar en la misma celda vacía en la que comenzó.

6. Cuando alguno de los índices de mejoramiento arroja un resultado negativo, se toma el

número menor de las celdas con signo negativo (-) y este valor se le suma a las celdas con

signo positivo (+) y se resta a las celdas cuyo signo sea negativo(-). Estas serán las nuevas

asignaciones.

7. Cuando los índices de mejoramiento arrojan como resultado cero (0) o un numero positivo

se puede concluir el ejercicio, es decir, se ha llegado a la solución óptima.

IMPORTANCIA

El Método del Cruce del Arroyo nos permite encontrar la solución óptima a partir del resultado

factible que arrojan las operaciones con los métodos de transporte.

PASOS DE APLICACIÓN

Cuando se está en la solución factible inicial, obtenida por cualquiera de los métodos de

distribución descritos anteriormente, los pasos a seguir son:

1. Se efectúan recorridos cerrados en todas las casillas no asignadas de la tabla de solución

inicial. El recorrido debe iniciar en una casilla no asignada, haciendo su recorrido por varias

casillas asignadas; en la casilla inicial ira un signo positivo(+), alternándose a uno negativo(-) y

así sucesivamente en todas las casillas asignadas por donde se efectúa el circuito.

2. Cuando se hallan efectuados todos los recorridos de las casillas no asignadas (donde los

costos de las casillas asignadas, según el recorrido tendrá signo positivo o negativo). Si todos

los costos marginales nos arrojan resultados positivos quiere decir que el ejercicio ha llegado a

su final, ya que esto nos indica que hemos llegado al resultado óptimo de la operación.

3. Cuando se hallan efectuado todos los recorridos de las casillas no asignadas (donde los

costos de las casillas asignadas, según el recorrido tendrá signo positivo o negativo). y los

costos marginales nos arrojan algún resultado negativo se buscan las nuevas asignaciones y se

procede a una nueva iteración.



4. Se repite el paso 1,2 y 3 hasta que la suma de los recorridos de todas las casillas no

asignadas sean positivas(+) o cero (0), que es la forma como sabremos que el ejercicio a

llegado a su resultado óptimo.

EJERCICIO 1

MEN

A B C D OFERTA

1 5 10 10 0 20 11 15

2 12 5 7 15 9 5 20 25

3 0 14 16 5 18 5

Demanda 5 15 15 10 45

Z= 410

1C= 20-9+7-0= 18

1D= 11-20+7-0=-2

2D= 12-7+0-10=5

3A= 0-18+20-7+0-10=-15

3B= 14-18+20-7=9

3C= 16-18+20-9 =9

A B C D OFERTA

1 0 10 15 0 20 11 15

2 12 0 7 15 9 10 20 25



3 5 0 14 16 0 18 5

Demanda 5 15 15 10 45

1C= 20-9+7-0= 18

1D= 11-20+7-0=-2

2A= 12-0+18-20=10

3B= 14-18+20-7=9

3C= 16-18+20-9 =9

A B C D OFERTA

1 10 5 0 20 10 11 15

2 12 10 7 15 9 0 20 25

3 5 0 14 16 18 5

Demanda 5 15 15 10 45

Z= 315



PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación cuadrática (PC) es el nombre que recibe un procedimiento que minimiza una

función cuadrática de n variables sujeta a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad.

De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora

la función objetivo f(x) debe ser cuadrática. Entonces, la única diferencia entre éstos y un

problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el

cuadrado de una variable o el producto de dos variables. La importancia de la programación

cuadrática es debida a que un gran número de problemas aparecen de forma natural como

cuadráticos (optimización por mínimos cuadrados, con restricciones lineales), pero además es

importante porque aparece como un subproblema frecuentemente para resolver problemas

no lineales más complicados.

Funciones cuadráticas

5x2 + 6x + 8

3x2 + 5xy -12y2 + 10x – 8y +15

EJERCICIOS

4X2+ 2X+4Y2 + 3Y = 6 => ELIPSE

4( X2+12X ¿ + 4( Y2−3

4Y ¿ = 6

2( X2+12X ¿

2X2+ 2Y= 7 C= ( 0,0 )

X2+ Y2= 3,5 R= 1,87

2x2

8+ 3Y

3

8=8/8 X= 2

x2

4+ Y

3

8/3=1 Y=1


Unidad 2

Data & Analytics

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