UNIDAD 2

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES AXIALES2.1 Visión Resumida de Materiales de Ingeniería

Polímeros (Plásticos): PVC, Polietileno, Teflón, Poliuretano, etc.

Cerámicos: Vidrio, Hormigón (Concreto), Cerámicos de Ingeniería, etc. Materiales de Ingeniería Metales: Ferrosos (Aceros y Fundiciones Ferrosas), y No Ferrosos.

Composites (Híbridos o Compuestos): Son combinaciones de dos o más de alguno de los tres tipos anteriores. Ej.: Hormigón reforzado con varillas de acero, Plásticos reforzados con fibras de vidrio, Kevlar, etc.

a) Metales No Ferrosos: Fundamentalmente se usan aleaciones, que son combinaciones de un metal base o matriz, que tienen en solución sólida elementos de aleación metálicos o no metálicos. Las más comunes suelen ser las siguientes: Aleaciones de cobre: Utilizadas en aplicaciones en que se requiere una moderada resistencia a la corrosión. Por ejemplo:

- Latones : Cu + Zn- Bronces : Cu + Sn- Cuproníqueles: Cu + Ni

Aleaciones de aluminio: Utilizadas en aplicaciones en las que se requiere poco peso y una moderada resistencia a la corrosión. Por ejemplo:

- Al + Mg- Al + Si- Al + Cu (duraluminios): usadas ampliamente en la fabricación de

fuselajes y estructuras de aviones. Aleaciones de Níquel: Usadas principalmente en aplicaciones en las que se requiere de alta resistencia a la corrosión y/o a temperaturas elevadas.b) Aleaciones Ferrosas: Fundamentalmente son aleaciones de hierro y carbono, conteniendo, además, alrededor de 1% de Mn.b.1) Fundiciones de Fe: Conocidas también como hierros fundidos, se usan ampliamente en la Minería en tapas de molinos, corazas de chancadores, y una gran cantidad de componentes. Tienen del orden de 4% de C, Mn, Si y otros elementos de aleación en menores cantidades. La mayoría son extremadamente frágiles.b.2) Aceros: El metal base es el hierro, conteniendo hasta 2% de carbono, alrededor de 1% de Mn y otros elementos de aleación tales como Cr, Ni, Mo, Ti, V, etc. Aceros de bajo carbono: Tienen hasta 0,25 % de C. Se usan ampliamente en la fabricación de estructuras metálicas, razón por la cual se les conoce también como aceros estructurales. Ejemplos típicos de estas aleaciones son los aceros A 37 – 24, A 42 – 27 y A 52 – 34, producidos en Chile por CAP. Aceros de medio carbono: Tienen entre 0,35 y 0,55 % de C. Se usan en la fabricación de componentes de máquinas, tales como pernos, ejes, engranajes, etc. Aceros de alto carbono: Tienen más de 0,6 % de carbono y, eventualmente, hasta 2 % de C. Se usan principalmente en la fabricación de herramientas de corte.

2.2 Concepto de esfuerzo y deformación.a) Concepto de Esfuerzo o Tensión (Stress)

Consideremos una barra recta, de sección circular, a la cual se le aplica una fuerza P en el CG de la sección transversal, la cual es perpendicular a dicha sección. Si cortamos en BB’, el interior de esta barra esta sometido a fuerzas unitarias internas, es decir, pequeñas fuerzas que actúan en cada unidad de área y cuya resultante debe ser P. Esta fuerza por unidad de área constituye el esfuerzo o tensión axial o normal, como se muestra en la figura 2.1 y se define de la forma siguiente:

B

P P

B’

FIGURA 2.1UNIDADES:

SISTEMA Fuerza Area Esfuerzo o TensiónSI m2

1 MPa = 106 Pa

Técnico Métrico kgf cm2, mm2 kgf/cm2 ; kgf/mm2 Técnico Inglés lb pulg2

1 kpsi = 103 psi

EQUIVALENCIAS:1 kgf = 9,81 N 1 lb = 0,454 kgf1 psi = 0,0703 kgf/cm2 1 kgf/cm2 = 14,23 psi1 pie = 1’ = 12 pulg 1 pulg = 1” = 2,54 cm = 25,4 mm

b) Deformaciones (Strain) L0 L

P P

B’

L

FIGURA 2.2Puede verse que la deformación unitaria es adimensional, por consiguiente la unidad de medida de la deformación unitaria, puede ser mm/mm, cm/cm, pulg/pulg, etc.

2.3 Diagramas esfuerzo – deformación. Ley de Hooke. Tensión de fluencia y resistencia a la tracción.

a) Ensayo de TracciónAún cuando el Ensayo de Tracción es una de las pruebas estáticas más utilizadas para determinar las propiedades mecánicas de los metales y aleaciones, no siempre es empleado correctamente, o bien, no se obtiene toda la información que es posible sacar de él. En los párrafos siguientes se hace una descripción que pretende ser una ayuda para los estudiantes de ingeniería que tienen que realizar dicho ensayo en alguna parte de su Programa de Estudios. Muchos países han normalizado este ensayo, de manera que sea fácilmente ejecutable y reproducible, y que los resultados obtenidos puedan ser comparables. En nuestro país, la Norma chilena NCh 200,

2

Definiremos la deformación unitaria o deformación normal como el cambio de longitud dividido por la longitud inicial. Es decir:

recoge gran parte de la normalización existente al respecto. Como complemento es interesante la consulta de las Normas ASTM A 370, E 4, E66 y E 8.El Ensayo de Tracción consiste en aplicar a una probeta plana o cilíndrica, generalmente normalizada, una carga de tracción creciente, en dirección a su eje longitudinal, hasta causar la rotura de ella. La máquina de ensayo puede registrar mecánica o electrónicamente las cargas y los alargamientos que ellas producen, o puede hacerse también en forma manual; este registro procesado adecuadamente, es el que permite determinar una gran variedad de propiedades mecánicas del material ensayado.La aplicación de una carga P a una probeta de longitud inicial L0, inmediatamente produce un alargamiento L, como se muestra en la figura 2.3.

P P

L0

FIGURA 2.3

b) Diagramas Tensión – Deformación.Si se representan en un diagrama, las cargas P en las ordenadas y los alargamientos o elongaciones L en el eje de abscisas, se obtiene un gráfico típico como el que se muestra en la figura 2.4. P, Kg

Zona Elástica

Zona Plástica Zona de Ruptura

ALARGAMIENTOS, (cm) FIGURA 2.4. Diagrama Fuerza-alargamiento

Si se divide la carga P por el área de la sección transversal de la probeta, A0, se obtiene la tensión o esfuerzo que actúa sobre el material. Si se divide el alargamiento L por la longitud inicial de la probeta, L0, se obtendrá la deformación unitaria . Utilizando escalas adecuadas, la forma del diagrama no se altera, obteniéndose ahora un diagrama tensión-deformación, - . El diagrama de la figura 2.4 es típico de un material dúctil. En el diagrama de la figura 2.4 pueden verse tres regiones diferentes. La primera, llamada zona elástica, en que el material cumple la Ley de Hooke que establece que en esta región las tensiones son proporcionales a las deformaciones, es decir:

Esta expresión puede transformarse en una ecuación introduciendo la constante de proporcionalidad E, llamada Módulo de Young o Módulo de Elasticidad longitudinal de los materiales. En la Tabla 2.1 se muestran los Módulos de Elasticidad de los materiales más comunes. Por lo tanto la ley de Hooke puede escribirse:

= E

Si combinamos la Ley de Hooke con las definiciones de esfuerzo y de deformación, obtenemos:

3

El punto en que se pierde la proporcionalidad, donde la línea recta se transforma en una curva se llama límite elástico, límite de proporcionalidad, límite de cedencia o tensión de fluencia, siendo esta última la acepción de mayor uso. Representa el límite entre la región elástica y la región siguiente, llamada zona plástica. La tensión de fluencia se suele designar de varias formas:

RE (Según Norma Chilena)Y ( del inglés “yield” = fluencia), 0, y

TABLA 2.1

MATERIALMódulo de Elasticidad E

kg/cm2 x 106 kg/mm2 GPa kpsi x 106

Acero 2,1 21.000 206 30Latón 1,05 10.500 103 15Cobre 1,2 12.000 117,7 17Bronce 0,9 9.000 88,3 12,8Aluminio 0,7 7.000 68,7 10,1Hormigón 0,25 2.500 24,5 3,6PVC 0,032 320 3,1 0,45Pino chileno 0,086 860 8,4 1,22

Existen algunos materiales, como el cobre, que no tienen una tensión de fluencia nítida, por lo que se ha definido una tensión de fluencia convencional. Esta es la tensión necesaria para producir una deformación especificada previamente (normalmente 0,1 ó 0,2% según sea el caso, es decir, = 0,001 ó = 0,002). La tensión de fluencia convencional, 0,2, se determina de la forma que se muestra en la figura 2.5.a.

En la figura 2.5.b se muestra un diagrama típico de un material frágil.

0,2

(a) (b)FIGURA 2.5. Diagramas tensión-deformación. (a). Material sin tensión

de fluencia marcada. (b). Material frágil.

Cuando el sistema de cargas y deformaciones entran en la zona plástica, se pierde la proporcionalidad; si se descarga el material éste tiene una ligera recuperación elástica, quedando una deformación plástica permanente. La carga sigue aumentando hasta que alcanza un valor Pmáx. Este valor dividido por el área inicial de la probeta se denomina Resistencia a la Tracción del material ó resistencia última; se designa por:

RM (Según la Norma Chilena NCh 200)UTS (Del inglés Ultimate Tensile Strength), ú

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La Resiliencia es la capacidad de los materiales para absorber impactos permaneciendo en régimen elástico, es decir, sin deformarse permanentemente. Numéricamente puede determinarse calculando el área bajo la curva hasta la tensión de fluencia. Es decir, tratándose de un triángulo:

RE

1

2

1

2002

La unidad de esta propiedad es energía absorbida por unidad de volumen.

La Tenacidad Estática se determina evaluando el área total bajo la curva - , lo cual puede hacerse gráficamente o mediante la siguiente integración:

T dr

0

Como ya se ha indicado, la cuantificación del área bajo la curva puede hacerse en forma gráfica, simplemente utilizando el procedimiento de cuadricular el diagrama, como se muestra en la figura 2.6.

FIGURA 2.6

La ductilidad es una medida de la capacidad de aceptar deformaciones de los materiales. Se mide por el alargamiento o elongación total de la probeta, es decir:

Normalmente, la ductilidad puede darse también en términos porcentuales.La tensión a la cual se produce la rotura de la probeta se denomina tensión de rotura o de ruptura, la cual es de poco interés ingenieril. Solamente en unos pocos materiales frágiles (vidrios u otro tipo de cerámicos), la tensión de ruptura puede coincidir con la resistencia a la tracción; generalmente es menor.En el instante en que se alcanza la carga máxima, se inicia la formación de un cuello en la probeta, produciéndose un adelgazamiento localizado en esta región. Hasta este instante la deformación es bastante homogénea y se distribuye uniformemente sobre toda la probeta. Si es una probeta cilíndrica, se mantiene cilíndrica. Sin embargo, cuando se alcanza la resistencia a la tracción, la probeta pierde totalmente su forma cilíndrica.

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El ensayo de tracción se realiza a temperatura ambiente (20 °C) y a una velocidad de deformación que simula condiciones casi estáticas, por lo que las propiedades obtenidas mediante este tipo de prueba pueden usarse en forma confiable solamente cuando las condiciones de servicio son similares a las de ensayo. Para efectos de diseño de estructuras y piezas de máquinas que trabajan a temperatura ambiente, el diagrama - contiene toda la información necesaria y suficiente; sin embargo resulta poco útil cuando la pieza trabaja a temperaturas elevadas, bajo ambientes agresivos, o bajo la acción de cargas variables en el tiempo.c) DurezaLa dureza es una propiedad mecánica que generalmente se relaciona con la resistencia al desgaste de los materiales y, aunque no se obtiene en el ensayo de tracción suele ser de utilidad para elegir adecuadamente un material. Puede tener diferentes significados según sea el instrumento utilizado para medirla.c.1) Dureza al rayado.Este ensayo es usado principalmente por los geólogos. Fue ideado por Fiedrich Mohs y consta de diez minerales estándar ordenados en forma de dureza creciente del 1 al 10, según se indica en la tabla siguiente.

ESCALA DE MOHS1 TALCO 6 FELDESPATO2 YESO 7 CUARZO3 CALCITA 8 TOPACIO4 FLUORITA 9 CORINDON5 APATITA 10 DIAMANTE

c.2) Dureza a la penetración.Este es el concepto de dureza más utilizado en la Ingeniería de Materiales. Mide la resistencia a la penetración o indentación de los materiales. Existen tres procedimientos de ensayo, los cuales se encuentran normalizados en las Normas Chilenas NCh 197, 198 y 199. Dureza Brinell. Ideado por J.A. Brinell en el año 1900, consiste en comprimir sobre la superficie a ensayar una bolita de acero de 10 mm de diámetro, con una carga de 3000 Kg. para los materiales ferrosos y 500 kg para los no ferrosos. La carga se aplica durante 10 seg en los primeros, y 30 seg en los no ferrosos. El número de dureza Brinell, HB, es el cuociente entre la carga aplicada y el área del casquete esférico dejado por la impresión. Si el ensayo es estándar con bolita de 10 mm de diámetro, carga de 3000 Kg. y tiempo de aplicación de 10 segundos, se escribe simplemente la cifra medida, seguida de HB. De no ser así, deben especificarse las condiciones del ensayo ; por ejemplo:

90 HB 10/500/30Diámetro Carga tiempo de aplicaciónde la bola (Kg.) (segundos)

Generalmente no es necesario hacer ningún tipo de cálculos debido a que para los durómetros más antiguos existen tablas de conversión en las que basta conocer la carga aplicada y el diámetro de la huella, d. En los durómetros modernos se cuenta con electrónica digital en los que la lectura se hace directamente en una pantalla.Este ensayo está limitado a medir durezas de materiales más blandos que la bolita de acero templado usada como penetrador, es decir, unos 500 HB. También existen limitaciones en cuanto al espesor, debido a las grandes cargas usadas, los espesores no pueden ser menores que el diámetro de la bolita (10 mm). Es de gran empleo en aceros estructurales, aleaciones blandas y en la mayoría de las aleaciones para fundición. Dureza Rockwell.

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Este método mide la profundidad de la penetración. En las máquinas normales, con escalas B y C, se emplea una carga previa de 10 Kg. y una carga final de 100 y 150 Kg., respectivamente. Los penetradores usados son una bola de acero de 1/16” (1,59 mm) de diámetro en la escala B y un cono de diamante en la escala C. La escala B se utiliza en materiales blandos tales como aleaciones de Al y Mg, latones, aceros estructurales y aleaciones para fundición y ,en general, para aleaciones con durezas inferiores a HB 200 (aproximadamente 93 HRB), mientras que las escala C se utiliza para aceros templados con durezas superiores a HB 250 (aproximadamente 25 HRC). Con este procedimiento puede medirse la dureza en espesores de hasta unos 2 mm. Dureza Vickers.Igual que el método Brinell mide el área dejada por la indentación del penetrador. Utiliza como penetrador una punta piramidal de diamante, de base cuadrada, que forma un ángulo de 136° entre caras. No tiene limitaciones ni en durezas ni en espesores; es especialmente apto para medir durezas en pequeños espesores de hasta 0,15 mm. Pueden emplearse cargas desde 1 gramo hasta 1 kg.2.4 Coeficiente de seguridad y esfuerzos admisibles. En la zona elástica, los materiales recuperan su forma y dimensiones originales cuando se retira la carga aplicada, razón por la cual la tensión admisible de diseño siempre debe caer en esta región. Para que se tenga siempre la certeza de ello, la tensión admisible se obtiene dividiendo la tensión de fluencia por un factor de seguridad FS > 1. Habitualmente los Factores de Seguridad pueden variar entre 1,5 y 3, aún cuando en algunos casos pueden alcanzar incluso valores cercanos a 5.

adm = 0

FS2.5 Esfuerzos térmicos.Cuando se aplica un aumento o una disminución de temperatura a una barra que puede cambiar libremente su longitud, ésta se dilate o se contrae, produciendo un cambio de la longitud inicial de magnitud , donde es el coeficiente de dilatación de los materiales, L es la longitud inicial y T es la variación de temperatura.

L0

L

L

FIGURA 2.7

Es decir, aplicando la Ley de Hooke y el concepto de dilatación térmica:

De donde el esfuerzo mecánico inducido por el aumento de temperatura es:

Más adelante se verán diversas aplicaciones en las que intervienen esfuerzos inducidos por los cambios de temperatura.

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Sin embargo, cuando existen restricciones a los desplazamientos, como ocurre en la figura 2.7, se inducen esfuerzos o tensiones, muchas veces llamados esfuerzos térmicos. Supongamos que se aumenta la temperatura a la barra de la figura 2.7, en una magnitud T, con lo cual la barra debería aumentar su longitud en una magnitud L. Sin embargo, debido a la existencia de paredes rígidas, este alargamiento no se produce, por lo que podemos imaginar que la pared derecha ejerce una fuerza de compresión hacia la izquierda de la barra, originando una disminución de longitud L, de modo que la barra permanece con su largo inicial L0.

2.6 Aplicaciones a la solución de problemas isostáticos e hiperestáticos en tracción – compresión.

a) Problemas isostáticos: Se dice que un problema es isostático cuando pueden determinarse todas las reacciones externas y fuerzas internas de sus componentes utilizando solamente las ecuaciones de la estática, sin tener que recurrir a las ecuaciones de deformación. Las aplicaciones que se verán a continuación se refieren solamente a problemas isostáticos.Ejemplos. 1) Una cinta de topógrafo, de acero, de 30 m de largo, tiene una sección transversal de 1 cm x 1 mm. Determinar el esfuerzo y el alargamiento total cuando se estira toda la cinta y se mantiene tirante bajo una fuerza de 7 kgf.SOLUCION: A = 1 x 0,1 = 0,1 cm2 ; L = 30 m = 3.000 cm

2) Una barra recta de sección uniforme está sometida a tracción axial. El área de la sección es de 6 cm2 y la longitud es de 4 m. Si el alargamiento total es de 0,4 cm bajo la acción de una carga de 12.600 kgf, determinar el módulo de elasticidad del material.SOLUCION:

3) Calcular de qué altura se puede construir un muro vertical de hormigón si su resistencia a la compresión es de 176 kgf/cm2. Usar FS = 4 y = 2.200 kg/m3. SOLUCION:

Calculemos el peso del muro. Como:

Entonces:

B15.000 kgf

1,5 m

A C D Ax

2 m 2 m

Ay Dy

Dy = 5.625 kgf ;NUDO A:

FAB

3

8

4) Las barras de la armadura son de acero estructural A 37 – 24. Con Factor de Seguridad de 2, determinar el área de las barras AB y CD. SOLUCION:

Ax = 15.000 kgf

Se ha supuesto AB en tracción y AC en compresión.

FAB = 9.375 kgf (T)

FAC = -7.500 kgf (Tracción)Por simple inspección del Nudo C:

4

FAC 15.000

5.625Por consiguiente:

5)

A

75 cm B

50 cm C

D 25 cm

P3

1.200 + 1.500 + 2.400 kgfTramo BC: 3.900 kgf

Tramo CD: 2.400 kgf

1.500 + 2400 kgf

2.400 Por lo tanto, el alargamiento total es:

b) Problemas Hiperestáticos Los problemas hiperestáticos son auqellos en que, además de las ecuaciones provenientes del equilibrio estático, es necesario recurrir al análisis de deformaciones para obtener ecuaciones complementarias. Como ejemplo, veamos de nuevo el caso de una barra sometida a un aumento de temperatura.

9

P1

P2

La barra de acero de la figura está cargada como se muestra. Si E = 2,1 x 106 kgf/cm2 y el área uniforme es de 6 cm2, determinar los esfuerzos en cada porción de la barra y el alargamiento total de ella. P1 = 1.200 kgf; P2 = 1.500 kgf; P3 = 2.400 kgf.SOLUCION:Tramo AB:

5.100 kgf

A

L0

L RA RB

L

Ejemplos:1)L

L1 L2

SOLUCION:DCL:

R1 R2

Como los apoyos son rígidos, entonces L = constante. Luego

Reemplazando R2 en la primera ecuación:

Luego: (Compresión)

(Tracción)

2) La barra del problema anterior es de cobre con una longitud de 1 m y una sección transversal de 1 cm2. Si E = 1,1 x 106 kg/cm2 y = 16 x 10-6 1/ºC, determinar: a) Las reacciones en los extremos cuando la temperatura aumenta 30ºC; b) La holgura que deberían tener los apoyos para evitar la aparición de tensiones.SOLUCION:a) DCL:

R1 R2

Debido a la rigidez de los apoyos, el aumento de longitud originado por el aumento de temperatura, debe ser compensado por una compresión en los apoyos. Es decir:

10

Debido al aumento de temperatura:

Debido a las fuerzas de reacción en los apoyos:

Pero ambos alargamientos deben ser iguales debido a la rigidez de los apoyos:

P

La barra de la figura tiene sección transversal constante y está sujeta rígidamente entre los muros. Determinar las reacciones en los apoyos en función de A y E.

P

Como el área es de 1 cm2, la tensión es de 528 kg/cm2 en compresión.b) La holgura necesaria para evitar las tensiones, debe ser como mínimo igual a la dilatación. Es decir:

3) Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el conjunto entre placas rígidas. El cilindro de Al tiene 8 cm de diámetro y el tubo de acero tiene un diámetro exterior de 10 cm. Si se aplica una carga P = 25 ton, determinar las tensiones en el acero y en el aluminio. Las propiedades de los materiales son las siguientes:

MATERIAL E, x 106 kg/cm2

Acero 2,1Aluminio 0,7

SOLUCION:DCL: PSt

PAl P

1 m

P

La carga total P, debe ser resistida por el cilindro de Al y el tubo de acero. Es decir:PAl + PSt = P = 25.000

Debido a la rigidez de las placas de los extremos, los acortamientos de ambos elementos debe ser igual.

Reempla

zando en la primera ecuación:1,592PSt = 25.000 PSt = 15.697,67 kgf

PAl = 0,592PSt = 9.293,02 kgf

4) En el problema anterior, determinar las tensiones en ambos componentes si el cilindro de aluminio es 0,3 mm más corto que el tubo de acero.SOLUCION:Suponiendo que la carga es suficiente para acortar los dos elementos, la primera ecuación no tiene variación.

PAl + PSt = P = 25.000

11

8 cm

10 cm

Sin embargo, la segunda ecuación es diferente debido a las longitudes diferentes:Nivel Inicial

St 0,03 cmAl

PAl = -10.555,75 + 0,592PSt

Reemplazando en la primera ecuación:1,592PSt = 35.555,75 PSt = 22.334 kgf

PAl = 2.666 kgf

5) En el problema anterior, determinar la holgura mínima para que no trabaje el cilindro de aluminio.SOLUCION: En este caso la carga completa deberá ser tomada por el tubo de acero, es decir:

PSt = 25.000 kgf

6)

2 m B

A

8.000 kgf 8.000 kgf

SOLUCION:

PSt PCu PSt

BA B

8.000 kgf 8.000 kgf

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La barra AB es absolutamente rígida y está soportada por tres varillas. Las dos varillas de los extremos son de acero y la central es de cobre. Calcular la fuerza y la tensión en cada barra cuando se aplican las cargas indicadas y AB permanece horizontal.

Por simetría, las fuerzas sobre cada varilla de los extremos son iguales, lo que también puede obtenerse haciendo suma de momentos en el centro de AB.

Fy = 0; 2PSt + PCu – 16.000 = 0Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales:

MATERIAL E, x 106 kg/cm2 Area A, cm2

Acero 2,1 4Cobre 1,2 8

Reemplazando en la primera ecuación obtenemos: PCu = 5.818,18 kgf; PSt = 5.090,91 kgf

;

7) En el problema anterior, determinar las tensiones en cada varilla si la temperatura: a) Aumenta 25ºC; b) Disminuye 25ºC. (St = 11x10-6 1/ºC; Cu = 16x10-6 1/ºC).SOLUCION:Del problema anterior:

Fy = 0; 2PSt + PCu – 16.000 = 0Como AB permanece horizontal, las deformaciones de las varillas son iguales, pero las

deformaciones totales tienen una componente de carga y otra por temperatura, esta última positiva cuando la temperatura aumenta y negativa cuando disminuye.a)

PSt = 0,875PCu + 1.050Reemplazando en la primera ecuación se obtiene:

PCu = 5.054,54 kgf; PSt = 5.472,73 kgf

;

b) El único cambio se produce en la ecuación de deformaciones:

PSt = 0,875PCu - 1.050Reemplazando en la primera ecuación se obtiene:

PCu = 6.581,82 kgf; PSt = 4.709,09 kgf

;

8) Considerar un pilar cuadrado de hormigón, de 30 x 30 cm de sección y 2,5 m de altura, armado con 8 barras verticales de acero de 4 cm2 de sección cada una. Se aplica una fuerza axial de compresión de 50 ton. Si los módulos de elasticidad para el acero y el hormigón, son respectivamente, 2,1 x 106 y 1,5 x 105 kg/cm2, determinar la tensión en cada material.SOLUCION:

ASt = 4 x 8 = 32 cm2; AH = 900 – 32 = 868 cm2

PSt + PH = 50.000, o bien: 32St + 868H = 50.000; St + 27,125H = 1.562,5Como las deformaciones deben ser iguales:

St = H

Reemplazando se obtiene:H = 39,94 kg/cm2; St = 479,24 kg/cm2, ambas en compression.

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9) Un tubo de acero A 37 24, vertical, de 60 cm de diámetro exterior y 58 cm de diámetro interior está lleno de hormigón. La resistencia de ruptura del hormigón es de 175 kg/cm 2. Con un factor de seguridad de 2 para el acero y de 2,5 para el hormigón, determinar la máxima carga axial de compresión que puede resistir el conjunto. ESt = 2,1 x 106 y EH = 1,5 x 105 kg/cm2.SOLUCION:

;

;

PSt + PH = P 185,35St + 2.642,08H = PDe las deformaciones: St = H St =12H

Si H = 70 St = 840 kg/cm2 < (adm)St

Si St = 1.200 H = 100 kg/cm2 > (adm)H

Por consiguiente: H = 70 y St = 840 kg/cm2 P =185,35 x 840 + 2.642,08 x 70 = 338.959,6 kgf

10) 2 Ton 5 Ton

2 5

75 cm 50 75

- RA + 4.000 - 10.000 + RD = 0 RD – RA = 6.000Se ha supuesto que los intervalos AB y CD se encuentran ambos sometidos a tracción. Como las paredes son rígidas, el alargamiento total debe ser cero.

A

B B C RA RA – 4.000

C DRD RD

Simplificando: 3RA + 2RA – 8.000 + 3RD = 0 5RA + 3RD = 8.000Resolviendo las dos ecuaciones simultáneas se obtiene:

RA = - 1.250 kgfRD = 4.750 kgf

11) Considerar la barra AB completamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 10 ton.

120 cm 60 60

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A B C DLa barra AD, inicialmente recta, tiene sección uniforme. Determinar las fuerzas sobre cada intervalo.SOLUCION:RA RD 4.000 10.000

La varilla izquierda es de cobre y la de la derecha es de acero. Determinar las fuerzas, tensiones y alargamientos en cada varilla.

10 Ton 180 cm 100 A B

SOLUCION:DCL:

Ay PCu = 6Cu PSt = 4St

Ax

Cu St

10.000 kgf

Como la barra es rígida los alargamientos de ambas barras son proporcionales. Por semejanza de triángulos:

De donde: PSt = 1,2963PCu

Reemplazando en la primera ecuación obtenemos: PCu = 4.175,26 kgfPSt = 5.412,39 kgf

BARRA AREA, cm2 E x 106 kg/cm2 x 10-6 1/cm

Cobre 6 1,2 16

Acero 4 2,1 11

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