INTRODUCCIÓN

La materia de la estática se desarrolló muy temprano en la historia, pues los

principios que involucra podían formularse simplemente a partir de las medidas

geométricas y la medición de fuerzas. Por ejemplo, los escritos de Arquímedes

(287-212 a.c.) tratan del principio de la palanca. Documentos antiguos registran

también estudios sobre la polea, el plano inclinado, y la llave de tuerca, en una

época en que las necesidades de la ingeniería se limitaban principalmente a la

construcción. Puesto que los principios de la dinámica dependen de la precisión

de la medida del tiempo, esta materia vino a desarrollarse mucho más tarde.

Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los grandes pioneros en este campo. Su

trabajo consistió en experimentos con péndulos y cuerpos en caída libre. Las

contribuciones más significativas a la dinámica, sin embargo, se deben a Isaac

Newton (1642-1727), conocido ante todo por su formulación de las tres leyes

fundamentales del movimiento y la ley de la gravitación universal. Poco tiempo

después de postuladas estas leyes, Euler, D'Alembert, Lagrange y otros

desarrollaron importantes técnicas para sus aplicaciones.

1

OBJETIVOS

El objetivo principal de los cursos de estática para ingenieros es introducir al

estudiante a las aplicaciones ingenieriles de la estática.

La estatica para ingenieros es una componente integral de la educación de los

ingenieros cuyas disciplinas están relacionadas con las ciencias mecánicas, como

la ingeniería aeroespacial, ingeniería de la arquitectura, ingeniería civil e ingeniería

mecánica.

Un conocimiento de la estática para ingenieros también es útil en la mayoría de

otras disciplinas ingenieriles ya que con frecuencia también en ellas se debe

considerar el comportamiento mecánico de un cuerpo o fluido. Dado que la

mecánica fue la primera ciencia física que se aplicó a la vida cotidiana, se deduce

que la mecánica para ingenieros es la rama más antigua de la ingeniería. Debido

al carácter interdisciplinario de muchas aplicaciones de la ingeniería, una

capacitación profunda en la estática para ingenieros continúa siendo uno de los

aspectos más importantes de la educación en ingeniería.

2

JUSTIFICACION

Los que han estudiado ingeniería conocen que dominar este tema es

imprescindible para asimilar muchas de las asignaturas de la carrera.

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes

constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos

cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que

puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus

ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones

que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de

materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería

mecánica, ingeniería industrial, siempre que se quiera construir una estructura fija.

Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar

la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería

mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo

largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.

3

2.1 Conceptos básicos.

Mecánica.

La mecánica puede ser definida como la rama de las ciencias físicas que trata del

estado de reposo o movimiento de los cuerpos sujetos a la acción de fuerzas. En

términos generales, el tema se subdivide en tres ramas: mecánica de cuerpos

rígidos, mecánica de cuerpos deformables, y mecánica de fluidos. Este trabajo

trata solamente de la mecánica de cuerpos rígidos, dado que esta rama es la que

se requiere para el diseño y análisis de múltiples tipos de dispositivos

estructurales, mecánicos y eléctricos de la ingeniería. Debe agregarse que la

mecánica de cuerpos rígidos es parte de la base necesaria en el estudio de la

mecánica de cuerpos deformables y la mecánica de fluidos. La mecánica de

cuerpos rígidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática trata del

equilibrio de los cuerpos, es decir, de los que se encuentran en estado de reposo

o se mueven con velocidad constante; en tanto que la dinámica se ocupa del

movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede considerarse

como parte de la dinámica en la que la aceleración sea cero, la estática merece

tratarse aparte en los estudios de ingeniería, porque muchos objetos se diseñan

con la intención de que permanezcan en equilibrio.

Estática.

Es la parte de la mecánica que estudia las leyes de composición de las fuerzas y

las condiciones de equilibrio de los cuerpos materiales. El concepto de equilibrio

de un cuerpo está siempre referido con respecto a una referencia la cual se

considera fija en el espacio. En este sentido el equilibrio de un cuerpo es absoluto.

Prácticamente se puede considerar como absoluto el equilibrio de un cuerpo

respecto de la tierra o respecto de otros cuerpos rígidamente unidos a ella.

4

Cantidades básicas. Las cuatro cantidades que siguen se usan en toda la

mecánica de cuerpos rígidos.

Longitud

La longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y por

este medio describir el tamaño de un sistema físico. Una vez definida una unidad

de longitud patrón, podrán definirse cuantitativamente las distancias y propiedades

geométricas de un cuerpo como múltiplos de la longitud unitaria.

Tiempo.

El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la

estática son independientes del tiempo, esta cantidad desempeña un papel

importante en el estudio de la dinámica.

Masa.

La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual podemos comparar

la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una

atracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de

la resistencia de la materia a un cambio de velocidad.

Fuerza.

En general, llamamos fuerza a la acción de "empujar" o de "tirar" ejercidas por un

cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe contacto directo

entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o puede ocurrir a

través de una distancia cuando los cuerpos se encuentren físicamente separados.

Como ejemplos de esto último tenemos las fuerzas gravitacionales, eléctricas y

magnéticas. En todo caso, una fuerza queda caracterizada por su magnitud,

dirección y punto de aplicación.

5

Idealizaciones.

En la mecánica se usan modelos O idealizaciones para simplificar la aplicación de

la teoría. Algunas de las idealizaciones más importantes se definirán ahora; otras

idealizaciones notables, por otra parte, se explicarán en el momento oportuno.

Partícula.

Una partícula tiene masa pero tamaño despreciable. Por ejemplo, el tamaño de la

Tierra es insignificante comparado con el de su órbita y, por tanto, la Tierra puede

pensarse como si fuera una partícula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un

cuerpo es idealizado como partícula, los principios de la mecánica se reducen a

una forma simplificada porque entonces la geometría del cuerpo quedará fuera del

análisis del problema.

Cuerpo rígido.

Un cuerpo rígido puede considerarse como la combinación de un gran número de

partículas en la que todas las partículas permanecen a distancias fijas entre sí

antes y después de aplicar una carga. En consecuencia, las propiedades

materiales de un cuerpo cualquiera, que se considere como rígido, no tendrán,

que tomarse en cuenta al analizar las fuerzas que actúan sobre él. En la mayor

parte de los casos, las deformaciones que se dan en las estructuras, máquinas,

mecanismos y objetos semejantes son relativamente pequeñas, siendo adecuada

la hipótesis de cuerpo rígido para efectos del análisis. Fuerza concentrada.

La fuerza concentrada

Representa el efecto de una carga que se supone que actúa en un punto del

cuerpo. Este efecto se puede representar por medio de una fuerza concentrada,

siempre y cuando el área de aplicación de la carga sea muy pequeña en

comparación con el tamaño total del cuerpo.

6

Las tres leyes del movimiento de Newton.

La totalidad de la mecánica de cuerpos rígidos se formula con base en las tres

leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa a su vez en la observación

experimental. Se aplican al movimiento de una partícula medido respecto a un

sistema de referencia no acelerado y pueden enunciarse brevemente como sigue:

Primera ley. Una partícula inicialmente en reposo o moviéndose en línea recta y a

velocidad constante permanecerá en este estado a condición de que la partícula

no se sujete a una fuerza desequilibrada:

Segunda ley. Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desequilibrada F

experimenta una aceleración a que tiene la misma dirección que la fuerza y una

magnitud directamente proporcional a la fuerza. Si se aplica F a la partícula de

masa m, esta ley puede expresarse matemáticamente como

F =ma (1.1)

Tercera ley. Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son

iguales, opuestas y colineales.

Ley de la gravitación universal de Newton. Poco tiempo después de haber

formulado sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que rige la

atracción gravitacional entre dos partículas cualesquiera. El enunciado matemático

es

F = G m1m2 (1.2)

r2

donde:

F = fuerza de gravitación entre las partículas

G = constante de gravitación universal; de acuerdo con la evidencia experimental,

G = 66.73 (10^-12) m3/ kg.s2

m1, m2 = masa de cada una de las dos partículas

7

r = distancia entre las dos partículas

Peso.

De acuerdo con la ecuación 1.2, dos partículas o cuerpos cualesquiera tienen una

fuerza mutua de atracción (gravitacional) entre sí. En el caso de una partícula

localizada sobre o cerca de la superficie de la Tierra; sin embargo, la única fuerza

gravitacional con una magnitud de consideración es la fuerza entre la . Tierra y la

partícula. Consecuentemente, esta fuerza denominada peso, será la única fuerza

gravitacional que vamos a considerar en nuestro estudio de la mecánica. A partir

de la ecuaciórl 1.2 podemos obtener una expresión aproximada para encontrar el

peso W de una partícula con masa mI = m. Si suponemos que la Tierra es una

esfera no en rotación, con densidad constante y masa m2' entonces si r es la

distancia entre el centro de la Tierra y la partícula, tenemos

W= G mm2

r2

Si se escribe g = Gm2/r2

Se obtiene

W=m.g

Al comparar con la ecuación 1.1, denominamos g, a la aceleración debida a la

gravedad. En vista de que depende de r, se concluye que el peso de un cuerpo no

es una cantidad absoluta. Más bien, su magnitud está determinada por el lugar de

la medición. Para la mayor parte de los cálculos de ingeniería, sin embargo, g se

determina a nivel del mar y a una latitud de 45°, que se considera la "situación

estándar".

8

2.2 Resultante de las fuerzas coplanares.

En este punto se presenta el concepto de una fuerza concentrada y se dan

procedimientos para sumar fuerzas, resolverlas en sus componentes y

proyectarlas a lo largo de un eje. Dado que la fuerza es una cantidad vectorial, al

considerar fuerzas debemos utilizar las reglas del álgebra vectorial. Iniciaremos

nuestro estudio definiendo las cantidades escalares y vectoriales, y

desarrollaremos luego las reglas básicas del álgebra vectorial. La mayor parte de

las cantidades físicas de la mecánica pueden expresarse matemáticamente por

medio de escalares y vectores.

Escalar.

Toda cantidad caracterizada por un número positivo o negativo se llama escalar.

La masa, el volumen y la longitud son cantidades escalares frecuentes en la

estática., En este trabajo, los escalares se denotan con letras cursivas, como por

ejemplo, el escalar A. Las reglas de operación con escalares son idénticas a las

del álgebra elemental.

Vector.

Vector es toda cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido y obedece a la

regla de adición, llamada regla del paralelogramo. Esta ley, descrita más adelante,

utiliza una forma de construcción que toma en cuenta la magnitud y la dirección

del vector. Las cantidades vectoriales comúnmente usadas en la estática son los

vectores de posición, de fuerza y momento.

9

El vector se representa gráficamente por medio de una flecha, que sirve para

definir su magnitud, dirección y sentido. La magnitud del vector se indica por la

longitud de la flecha, la dirección por el ángulo entre un eje de referencia y la línea

de acción de la flecha, y el sentido lo indica la punta de la flecha. Por ejemplo, el

vector A de la figura 2.1 tiene una magnitud de 4 unidades, una dirección de 200

medidos en sentido contrario a la de la manecilla del reloj, a partir del eje

horizontal, y un sentido hacia arriba y a la derecha. El punto O es el punto inicial

del vector y P su extremo.

En forma escrita, un vector se representa usualmente por medio de una letra

sobre la que se dibuja una flecha, como en A. La magnitud se denota IAI o

simplemente A. En este libro los vectores se representarán en "negritas", por

ejemplo A denota el vector de nombre "A". Su magnitud, que siempre es una

cantidad positiva, se representa en cursiva lA I o simplemente A si se

sobreentiende que A es un escalar positivo.

10

Multiplicación y división de un vector por un escalar.

El producto de un vector A y un escalar a, que da el resultado aA, se define como

un vector que tiene una magnitud I aA I. El sentido de aA es el mismo que el de A

a condición que a sea positivo; es en sentido opuesto de A si a es negativo. En

consecuencia, el negativo de un vector se obtiene al multiplicarlo por el escalar (-

1), figura 2.2. La división de un vector por un escalar se puede definir usando las

reglas de la multiplicación, puesto que A/a = (1/a)A, con a =O. En la figura 2.3 se

muestran ejemplos de estas operaciones.

Adición de vectores.

Dos vectores A y B del mismo tipo, figura 2.4a pueden sumarse para obtener el

vector "resultante" R = A + B, usando la ley del paralelogramo. Para ello, A y B se

ponen con un punto inicial común, figura 2.4b. Se trazan las líneas paralelas

segmentadas a partir del extremo de cada vector formando los lados adyacentes

de un paralelogramo. Como en el dibujo, el vector resultante R es la diagonal del

paralelogramo, que se extiende del punto inicial común de A y de B hasta la

intersección de las líneas segmentadas.

11

También pueden sumarse A y B utilizando una construcción triangular que es un

caso particular de la regla del paralelogramo; en aquella el vector B se suma al

vector A, haciendo coincidir el punto inicial de B con el extremo de A como en la

figura 2.4c. El vector resultante R se extiende del punto inicial de A al extremo de

B. El vector R podrá obtenerse con una construcción semejante pero sumando A a

B como se aprecia en la figura 2.4d. Por comparación se observa que la adición

de vectores es conmutativa, o sea que los vectores se pueden sumar en cualquier

orden, es decir R= A + B = B + A. Como caso especial, tenemos que si los dos

vectores son colineales, esto es, que su línea de acción es la misma, entonces la

ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o escalar R = A + B, como

se ilustra en la figura 2.5.

Sustracción vectorial.

12

La diferencia resultante entre los vectores A y B del mismo tipo puede expresarse

mediante

R' = A - B = A + (-B)

Esta suma vectoriaI se muestra gráficamente en la figura 2.6. La sustracción

queda así definida como un caso particular de la adición, de manera que las reglas

de la adición se extienden a la sustracción.

Resolución de un vector. Un vector puede resolverse o descomponerse en dos

"componentes" que tengan líneas de acción dadas, usando la regla del

paralelogramo. Por ejemplo, si R en la figura 2.7a debe resolverse en

componentes que actúen a lo largo de las líneas a y b, se considera el extremo de

R y, desde este punto, se traza una paralela a la línea a hasta intersecar la línea b.

Asimismo, desde el extremo de R nuevamente se traza una paralela a b hasta

encontrar 'la intersección con a, como se muestra en la figura 2.7a. Las

componentes buscadas A y B son entonces los vectores con punto inicial en el

punto inicial de R y extremo en las intersecciones obtenidas, como se aprecia en

la figura 2.7b.

13

Adición vectorial de fuerzas

Por evidencia experimental se sabe que una fuerza es una cantidad vectorial

puesto que tiene magnitud, dirección y sentido especificados y se suma de

acuerdo con la regla del paralelogramo. Dos problemas comunes en la estática

consisten en encontrar la fuerza resultante conociendo sus componentes o

resolver una fuerza conocida en dos componentes. Como se describió en la

sección 2.2, ambos problemas requieren la aplicación de la regla del

paralelogramo.

14

Si se van a sumar más de dos fuerzas, para obtener la resultante podrá aplicarse

la regla del paralelogramo varias veces sucesivamente. Por ejemplo, si tres

fuerzas F1, F 2, F3 tienen el mismo punto de aplicación O como en la figura 2.8,

se obtendrá la resultante de dos de las fuerzas, digamos F1 y F2 y, entonces, esta

resultante se suma a la tercera fuerza para dar la resultante de las tres fuerzas; es

decir, FR = (F1 + F2) + F3. El uso de la regla del paralelogramo para sumar más

de dos fuerzas, como aquí se muestra, requerirá usualmente cálculos geométricos

y trigonométricos bastante extensos para llegar a los valores numéricos de la

magnitud y la dirección de la resultante. En lugar de ello, para problemas de este

tipo, se usará el "método de las componentes rectangulares", que simplifica

notablemente el trabajo y que se explicará en el punto 2.3.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

Los problemas que resultan de la adición de dos fuerzas y tienen a lo más dos incógnitas pueden resolverse usando el procedimiento siguiente:

Ley del paralelogramo: se hace un diagrama de la adición vectorial por la regla del paralelogramo. Si es posible, se determina los ángulos interiores del paralelogramo a partir de la geometría del problema. Recuérdese que el total de la suma de estos ángulos debe ser de 360°. Los ángulos desconocidos, así como las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas, deberán "etiquetarse" claramente en el diagrama. Dibuje de nuevo una mitad del paralelogramo construido para ilustrar la adición triangular de las componentes.

Trigonometría: Mediante la trigonometría, es posible determinar las incógnitas a partir de los datos del triángulo. Si el triángulo no contiene un ángulo de 90°, podrá usarse la ley de los senos y/o de los cosenos para la solución. Estas fórmulas se dan en la figura 2.9 para el triángulo que ahí se muestra.

Los siguientes ejemplos ilustran este método numéricamente.

15

Ejemplos:

La armella roscada de la figura 2.10a está sometida a la acción de dos fuerzas, F¡ y F2• Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

SOLUCIÓN Ley del paralelogramo. En la figura 2.10b se muestra la ley del paralelogramo de la adición. Las dos incógnitas son la magnitud de FR y el ángulo θ (theta). A partir de la figura 2.10b se construye el triángulo vectoriaI 2.10c.

16

Trigonometría. FR se determina usando la ley de los cosenos:

El ángulo θ se determina al aplicar la ley de los senos, usando el valor calculado de FR'

De esta forma, la dirección Ф (fi) de F R, medida a partir de la horizontal, es

Ф = 39.8° + 15.0° = 54.8° ∡ Ф

17

Resuelva la fuerza de 200 lb que actúa sobre el pasador, figura a, en

componentes en (a) las direcciones x,y, y en (b) las direcciones x',y.

a)

SOLUCIÓN

En cada caso se utiliza la regla del paralelogramo para resolver F en sus dos

componentes y luego se construye el triángulo vectorial para determinar

trigonométricamente los resultados numéricos.

Parte (a). La adición vectorial F = Fx + Fy se muestra en la figura b. En particular,

nótese que la longitud de las componentes se determina a to largo de los ejes x, y

y, construyendo primeramente las líneas segmentadas paralelas a los ejes de

acuerdo con la ley del paralelogramo. A partir del triángulo de vectores, figura c,

Fx = 200 cos 40° = 153 lb

Fy = 200 sen 40° = 129 lb

18

b) c)

Parte (b). La adición vectorial F = Fx' + Fy se muestra en la figura d. Obsérvese

con atención cómo se construye el paralelogramo.

Aplicando la ley de los senos y usando los datos del triángulo vectorial, la figura e,

19

e) nos da:

La fuerza F que actúa sobre la estructura mostrada en la figura a tiene una

magnitud de 500 N Y debe resolverse en dos componentes que actúan a lo largo

de los puntales AB y AC. Determine el ángulo θ, medido por abajo de la horizontal,

de modo que la componente FAC esté dirigida de A a C y tenga magnitud de 400

N.

a) b)

20

SOLUCIÓN

Se usa la ley del paralelogramo. La suma de las dos componentes que da la

resultante se muestra en la figura b. Nótese con atención cómo se resuelve la

resultante en las dos componentes FAB y FAC, que tienen líneas de acción

especificadas. El triángulo vectorial correspondiente se muestra en la figura c. El

ángulo θ se puede determinar usando la ley de los senos:

c)

Por tanto,

θ = 180° - 60° - 43.9° = 76.1 ° ∡θ

θ = 180° - 60° - 43.9° = 76.1 ° ∡θ

Con este valor de θ, aplique la ley de los cosenos y muestre que FAB tiene una

magnitud de 560 N. Observe que F puede dirigirse también con un ángulo θ por

arriba de la horizontal como en la figura d y producir todavía la componente

requerida FAC. Muestra que en este caso

θ= 161° Y FAB = 161N

d)

21

El anillo que se ve en la figura a

a)

Está sujeto a dos fuerzas, F1 y F2. Si se requiere que la fuerza resultante tenga

una magnitud de 1 kN Y sea dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las

magnitudes de F1 y F2 con la condición de que θ= 30°, Y (b) las magnitudes de F1

y F2 si F2 debe ser mínima.

22

b) c)

Solución

Parte (a). Un bosquejo de la adición vectorial de acuerdo con la ley del

paralelogramo puede verse en la figura b. A partir del triángulo vectorial construido

en la figura c, las magnitudes desconocidas F1 y F2 se pueden determinar

mediante la ley de los senos.

Parte (b). Si no se especifica θ, entonces por el triángulo vectorial figura d, F2

puede sumarse a F1 de varias formas para obtener la fuerza resultante de 1000 N.

En particular, la longitud o magnitud mínima de F2 ocurrirá cuando su línea de

23

acción sea perpendicular a F1. Otra dirección cualquiera, por ejemplo OA u OB, da

un valor más grande de F2. Luego entonces, cuando θ= 90° - 20° = 70°, F2 es

mínima.

d)

A partir del triángulo mostrado en la figura e

e)

Se ve que

F1 = 1000 sen 70° = 940 N

F2 = 1000 sen 20° = 342 N

24

2.3 Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares: en el

plano y en el espacio.

En esta sección resolveremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx

Y Fy que se encuentran a lo largo de los ejes x y y respectivamente, figura a.

a)

Aunque los ejes que se muestran aquí son uno vertical y el otro horizontal, en

general pueden tener cualquier inclinación siempre y cuando sean mutuamente

25

perpendiculares, figura b. En uno y otro caso se requiere, por la ley del

paralelogramo, que:

Y

Como se ve en la figura a y b, el sentido de cada componente se representa de

manera gráfica por la punta de La flecha. Para el trabajo analítico, sin embargo,

debemos establecer una notación para representar el sentido direccional de las

componentes rectangulares de cada vector coplanar. Esto puede hacerse de

cualquiera de dos formas.

Notación escalar.

Dado que los ejes x y y tienen sentido positivo y negativo designados, la magnitud

y el sentido de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse

en términos de escalares algebraicos. Por ejemplo, las componentes de F en la

figura a pueden representarse con escalares positivos Fx Y Fy puesto que su

sentido direccional es el del eje x positivo y del eje y positivo, respectivamente. De

manera semejante, las componentes de F' en la figura b son Fx Y - Fy.

b)

26

Aquí la componente y es negativa puesto que Fy se dirige hacia la parte negativa

del eje y. Debe recordarse que esta notación escalar se usa solamente para fines

de cálculo y no para representaciones gráficas en las figuras. En todo el libro, la

punta de la flecha de un vector en cualquier figura indica el sentido del vector

gráficamente; los signos algebraicos no se usan con este propósito. Así, los

vectores en las figuras a y b se designan con caracteres en "negritas". * Siempre

que se escriban símbolos en cursiva cerca de flechas de vectores en las figuras,

indicarán la magnitud del vector que es siempre una cantidad positiva.

Notación vectorial cartesiana.

También es posible representar las componentes de una fuerza en términos de los

vectores unitarios cartesianos. Haciéndolo así, es más fácil aplicar los métodos del

álgebra vectorial y veremos que se obtienen grandes ventajas al resolver

problemas en tres dimensiones. En dos dimensiones, los vectores unitarios

cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y,

respectivamente, figura a. * Estos vectores tienen una magnitud de uno y su

sentido (o punta de la flecha) será descrito analíticamente por un signo más o

menos, según apunten a la parte positiva o la negativa de los ejes x o y.

27

a)

Como se muestra en la figura a, la magnitud de cada componente de F siempre es

una cantidad positiva que se representa por los escalares positivos Fx Y FY' Por lo

tanto, habiendo establecido la notación para representar la magnitud y el sentido

de cada componente, podemos expresar F en la figura a como un vector

cartesiano, esto es,

b)

y de la misma manera, F' en la figura b puede expresarse como

28

o simplemente

Cualquiera de los dos métodos recién descritos para representar las componentes

rectangulares de una fuerza puede usarse para determinar la resultante de varias

fuerzas coplanares. Para hacerlo, se resuelve cada fuerza en sus componentes x

y, y luego se suman las componentes respectivas usando álgebra de escalares

puesto que son colineales. La fuerza resultante se forma, entonces, sumando por

la ley del paralelogramo, las resultantes a lo largo del eje x y del eje y.

Consideremos, por ejemplo, las tres fuerzas de la figura a que tienen

componentes x, y como se ve en la figura b.

a) b)Para resolver este problema usando la notación vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, esto es,

La resultante vectorial es, por lo tanto,

29

Si se usa la notación escalar, entonces, de la figura b, como x es positiva hacia la derecha y y es positiva hacia arriba, tenemos

Estos resultados son los mismos que las componentes i y j de FR antes

determinadas. En el caso general, las componentes x y y de la resultante de

cualquier número de fuerzas coplanares puede representarse simbólicamente por

la suma algebraica de las componentes x, y y de todas las fuerzas, esto es,

Al aplicar estas ecuaciones es importante usar el acuerdo sobre los signos

establecido para las componentes; es decir, que las componentes que tienen

sentido igual al de los ejes positivos de coordenadas se consideran escalares

positivos en tanto que si su sentido es el de los ejes negativos se consideran

escalares negativos. Respetando este acuerdo los signos de las componentes de

la resultante especificarán el sentido de estas componentes. Por ejemplo, un

resultado positivo indicará que la componente tiene el sentido direccional de la

dirección de coordenadas positivas. Una vez que se determinen las componentes

de la resultante, se dibujan sobre los ejes x y yen su dirección apropiada y la

fuerza resultante se determina por adición vectorial como en la figura c.

30

c)

A partir de este bosquejo, la magnitud de FR se determina con ayuda del teorema

de Pitágoras; esto es,

También, el ángulo de dirección θ, que especifica la orientación de la fuerza, se

determina por trigonometría.

Los conceptos precedentes se ilustran numéricamente a continuación en los

ejemplos.

Determine las componentes x y y de F1 y F2 de la figura a. Exprese cada fuerza

como un vector cartesiano.

31

a) b)

SOLUCIÓN

Notación escalar. Ya que F1actúa a lo largo del eje y negativo y la magnitud de F¡

es 100 N, las componentes escritas en forma escalar son .

F1x = O, F1y = -100 N

o, alternativamente,'

F1x = O, F1y = 100 N ↓

Por la ley del paralelogramo, F2 se resuelve en componentes x y y, figura b. La

magnitud de cada componente se determina por trigonometría. Ya que F2x actúa

en la dirección -x y F2y actúa en la dirección +y, tenemos,

F2x = -200 sen 60° N = -173 N = 173 N←

F2y= 200 cos 60° N = 100 N = 100 N ↓

Notación vectorial cartesiana. Habiendo calculado las magnitudes de las

componentes de F2' figura b, podemos expresar cada fuerza como un vector

cartesiano.

F1 = Oi + 100 N (-j) = {-100j} N F2 = 200 sen 60° N (-i) + 200 cos 60° N (j) = {-173i + 100j} NLa argolla que se muestra en la figura a está sujeta a dos fuerzas F1 y F2.

Determínese la magnitud y la orientación de la fuerza resultante.

32

a)

SOLUCIÓN 1 Notación escalar.

Este problema puede resolverse usando la ley del paralelogramo; sin embargo,

vamos aquí a resolver cada fuerza en componentes x y y, figura b,

b)

y entonces sumaremos estas componentes algebraicamente. Si se indica el

sentido "positivo" de las componentes x y y de fuerza y se usan las ecuaciones

2.1, tenemos

La fuerza resultante que se muestra en la figura c

33

Tiene una magnitud de

Por adición vectorial, figura c, el ángulo de dirección θ es

SOLUCIÓN 2

Notación vectorial cartesiana. De la figura b, cada fuerza se expresa como vector

cartesiano y esto nos da

Así

34

Sistema derecho de coordenadas. En la teoría del álgebra vectorial por

desarrollarse se usará un sistema derecho de coordenadas. Un sistema

rectangular o cartesiano de coordenadas se dice que es derecho siempre y

cuando el pulgar de la mano derecha apunte hacia el eje positivo de las z al cerrar

la mano alrededor de este eje, girando los dedos de la parte positiva del eje x a la

parte positiva del eje y, como en la figura .

Componentes rectangulares de un vector. Un vector A puede tener una, dos o

tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes x, y, z, según la orientación

del vector respecto a estos ejes. Pero, en general, cuando A esté dirigido dentro

de un octante del marco de referencia x, y, z, será posible mediante dos

aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, resolver el vector en

componentes como A = A' + Az Y entonces A' = Ax+ Ay. Al combinar estas

ecuaciones, A se representa con la suma vectorial de sus tres componentes

rectangulares.

A= Ax+Ay+Az

35

Vector unitario. En general, un vector unitario es un vector de magnitud 1. Si A es

un vector con magnitud A= O, entonces un vector unitario con la misma dirección

que A se representa por

(2.3)

Si se escribe esta igualdad de nuevo se tiene

(2.4)

Dado que el vector A es de un cierto tipo, por ejemplo un vector de fuerza, se

acostumbra usar el conjunto de unidades apropiado para su descripción. La

magnitud A tiene estas mismas unidades; por tanto, de la ecuación 2.3 el vector

unitario será adimensional porque las unidades se cancelan. Por tanto, la ecuación

2.4 indica que el vector A puede expresarse en términos de su dirección, sentido y

magnitud, por separado; esto es, A (escalar positivo) define la magnitud de A, y

UA (un vector sin dimensiones físicas) define la dirección y el sentido de A.

36

Vectores cartesianos unitarios. En tres dimensiones se usa el conjunto de

vectores cartesianos unitarios, i, j, k, para designar las direcciones de los ejes x, y,

z, respectivamente. Como se dijo en la sección 2.4, el sentido (o la punta de la

flecha) de estos vectores se describirá analíticamente con signo más o menos,

según apunten a la parte positiva o la parte negativa de los ejes x, y, y z. De

acuerdo con esto, la figura 2.24 muestra los vectores unitarios positivos.

Representación vectorial cartesiana. Si se usa vectores cartesianos unitarios

pueden escribirse las tres componentes vectoriales de la ecuación 2.2 en "forma

vectorial cartesiana". Dado que las componentes actúan en las direcciones i, j, Y k,

positivas, figura 2.25, tenemos

37

Existe una clara ventaja en escribir los vectores en términos de sus componentes

cartesianas. Como cada una de estas componentes tiene la misma forma que la

ecuación 2.4, la magnitud, la dirección y el sentido de cada vector componente

están separadas y se verá que ello simplificará las operaciones del álgebra

vectorial particularmente en tres dimensiones.

Magnitud de un vector cartesiano. Si un vector está expresado en forma

cartesiana siempre es posible obtener la magnitud del vector A. Como se muestra

en la figura 2.26, a partir del triángulo rectángulo sombreado de mayor tamaño,

Y del triángulo más pequeño y sombreado también . Si

se combinan estas ecuaciones se obtiene:

Por tanto, la magnitud de A es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los

cuadrados de las componentes.

fig 2.26

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Dirección de un vector cartesiano. La orientación del vector A se define por los

ángulos directores coordenados (alfa), (beta), y (gamma), medidos entre el

segmento inicial de A y los ejes positivos x, y y z que parten del punto inicial de A,

figura 2.27. Observamos que sin importar la dirección de A, estos ángulos miden

entre 0° y 180°.

fig2.27

Para determinar alfa, beta y gamma consideremos la proyección de A sobre los

ejes x, y y z, figura 2.28. Con respecto a los triángulos sombreados de la figura,

tenemos

39

Estos números se conocen como los cosenos directores de A. Una vez obtenidos,

se obtendrán los ángulos directores coordenados alfa, beta y gamma por medio de

la función coseno inverso. Una manera simple de obtener los cosenos directores

de A consiste en formar el vector unitario de dirección igual a la de A, ecuación.

2.3. Si A se tiene expresado en forma vectorial cartesiana A = Ax i + Ayj + Az k

(Ec. 2.5), tenemos:

donde (Ec. 2.6). Al comparar con las ecuaciones

2.7, se ve que las componentes i, j Y k de UA representan los cosenos directores

de A, es decir:

Puesto que la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva de la

suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y \lA tiene

magnitud de 1, entonces de la ecuación 2.9 podemos formular una relación

importante entre los cosenos directores, a saber,

40

Si el vector A está en algún octante conocido, esta ecuación permite determinar

uno de los ángulos directores coordenados sabiendo el valor de los otros dos.

(Véase el ejemplo 2.10.) Finalmente, si se tienen la magnitud de A y sus ángulos

directores coordenados, A puede expresarse en forma vectorial cartesiana como

Adición y sustracción de vectores cartesianos

Si expresamos dos o más vectores en términos de sus componentes cartesianas

se verán muy simplificadas las operaciones de suma y adición de los mismos. Por

ejemplo, consideremos los dos vectores A y B dirigidos en el octante positivo x, y,

z, positivo en la figura . Si A = Ax i + Ayj + Az k Y B = Bx i + Byj + Bz k, entonces el

vector resultante R, tiene componentes que representan las sumas escalares de

las componentes i, j Y k de A y B, es decir:

41

La sustracción de vectores, siendo un caso particular de la adición, no requiere

más que una sustracción escalar de las componentes i, j, k, respectivas de A o B.

Por ejemplo,

Sistemas de fuerzas concurrentes. En particular, el concepto precedente de

adición vectorial puede generalizarse y aplicarse a un sistema de varias fuerzas

concurrentes. En este caso, la fuerza resultante es el vector suma de todas las

fuerzas en el sistema y se puede escribir como

Aquí, representan las sumas algebraicas de las componentes x, y,

z, o las componentes i, j, k, respectivas de cada fuerza del sistema. Los ejemplos

siguientes ilustran numéricamente los métodos que se usan para aplicar la teoría

anterior a la solución de problemas que implican la fuerza como cantidad vectorial.

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Exprese la fuerza F que actúa sobre el gancho de la figura

2.32a como vector cartesiano.

SOLUCIÓN En este caso, los ángulos de 60° y 30° que definen la dirección de F

no son ángulos directores coordenados. ¿Porqué? Mediante dos aplicaciones

sucesivas de la ley del paralelogramo, sin embargo, F puede resolverse en sus

componentes x, y, z como en la figura 2.32b. Primero, del triángulo que aparece

con menor intensidad en el sombreado.

43

Después, usando F' y el triángulo más sombreado,

Por tanto;

2.4 Equilibrio de una partícula en el plano y en el espacio.

Una partícula está en equilibrio siempre y cuando su estado sea de reposo, si

originalmente estaba en reposo, o tenga velocidad constante, si originalmente

estaba en movimiento. Lo más usual, sin embargo, es decir que está en

"equilibrio", o más específicamente, en "equilibrio estático" tratándose de un objeto

en reposo. Para mantener un estado de equilibrio, es necesario satisfacer la

primera ley del movimiento de Newton, que afirma que si la tuerza resultante que

actúa sobre la partícula es cero, entonces la partícula está en equilibrio.

44

La caja que se ve en la figura 3.3a tiene un peso de 20 lb.

Trace un diagrama de cuerpo libre de la caja, de la cuerda

BD, y del anillo situado en B.

SOLUCIÓN Si imaginamos la caja aislada de su entorno, entonces por inspección

vemos que sólo hay dos fuerzas que actúan sobre la misma, a saber, la fuerza de

gravitación o peso de 20 lb, Y la fuerza de la cuerda BD. El diagrama de cuerpo

libre se muestra en la figura 3.3b.

45

Si la cuerda BD se aísla, entonces hay sólo dos fuerzas que actúan sobre ella,

figura 3.3c,

a saber, la fuerza de la conexión en la parte superior de la caja, FD, Y la fuerza

FB en B causada por el anillo. Como estas fuerzas tienden a estirar la cuerda,

podemos decir que la cuerda está en tensión. (Éste debe ser el caso, pues fuerzas

de compresión aplastarían la cuerda.) Cuando el anillo en B se aísla de su

entorno, se ve que actúan tres fuerzas sobre él. Todas estas fuerzas son

causadas por las cuerdas atadas al mismo, figura 3.3d. Obsérvese que FB, aquí

mostrada, es igual pero opuesta a la que se muestra en la figura 3.3c, lo que es

consecuencia de la tercera ley de Newton.

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CONCLUSIONES

La estática se utiliza en el análisis de las estructuras, por ejemplo, en arquitectura

e ingeniería industrial y la ingeniería civil. La resistencia de los materiales es un

campo relacionado de la mecánica que depende en gran medida de la aplicación

del equilibrio estático. Un concepto clave es el centro de gravedad de un cuerpo

en reposo, que constituye un punto imaginario en el que reside toda la masa de un

cuerpo. La posición del punto relativo a los fundamentos sobre los cuales se

encuentra un cuerpo determina su estabilidad a los pequeños movimientos. Si el

centro de gravedad se sitúa fuera de las bases y, a continuación, el cuerpo es

inestable porque hay un par que actúa: cualquier pequeña perturbación hará caer

al cuerpo. Si el centro de gravedad cae dentro de las bases, el cuerpo es estable,

ya que no actúa sobre el par neto del cuerpo. Si el centro de gravedad coincide

con los fundamentos, entonces el cuerpo se dice que es metaestable

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BIBLIOGRAFIA

Andrew Pytel, Jaan Kiusaalas, Ingeniería mecánica estática, Tercera edición Ed.

Cengage Learning.

Russell C. Hibbeler, Mecánica para ingenieros estática, Sexta edición, Ed.

Compañía editorial continental.

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GLOSARIO

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