Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Unidad Nº2 Geometría Descriptiva. Unidad curricular Comunicación Gráfica.

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Page 1: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Geometría Descriptiva

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Material de apoyo para la construcción de cuerpos en

el espacio

Comunicación gráfica

Primera Edición - 2010

Page 2: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Concepto ¿Qué es la Geometría Descriptiva?¿Qué es la Geometría Descriptiva?

Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones.

La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal.

Page 3: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

1.- Teoría De la Proyección

¿Qué es una Proyección?¿Qué es una Proyección?Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie.

Principios de la proyecciónPrincipios de la proyección

Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano de proyección de las visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a representar

Observador

Proyección

Plano de proyección

Visuales

Objeto

Teoría de la ProyecciónTeoría de la Proyección

En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominadosa) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en si.b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc.d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección.

Page 4: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie.

Principios de la proyecciónPrincipios de la proyección

Proyección

Plano de proyección

Vis

uale

s

Objeto

Observador

Vis

uale

s

Ortogonal

Proyección cilíndricaProyección cilíndrica

Oblicua

Proyección cónicaProyección cónica

1.- Teoría De la Proyección

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Page 5: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Tipos de proyecciónTipos de proyección

CónicasCónicasPerspectivasPerspectivasDe un punto de fuga

De dos punto de fuga

Dibujo de una perspectiva un punto de fuga

Dibujo de una perspectiva dos punto de fuga

1.- Teoría De la Proyección

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Page 6: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Vistas múltiples

Sistema de proyección

Tipos de proyecciónTipos de proyección

Sistemas de proyecciónSistemas de proyección

CilíndricasCilíndricas

Oblicuas

Axonométricas

Acotado

Ortogonales u Ortográfica

Dimétrica

Trimétrica

Isométrica

AéreaGabineteCaballera

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Page 7: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

2.- Sistema de representación

Definición:Definición:

Sistemas de representación Sistemas de representación

Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.

Tipos de sistemas de representaciónTipos de sistemas de representación

Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.

Sistema DiédricoSistema Diédrico Sistema de proyección Sistema de proyección AcotadoAcotado

Sistema de Sistema de representación en representación en

perspectivaperspectiva

30º

30º30ºIsométrica

El término de diédirco viene de la obtención de una doble proyección ortogonal, (la proyección vertical y horizontal del cualquier objeto).

Se aplica la proyección horizontal pero utilizada solamente en el plano de proyección horizontal. Las distancias de los diferentes puntos al plano horizontal se les llama cota.

Nos permite mostrar en un solo plano de proyección las tres dimensiones del objeto. Se representa el objeto tridimensionalmente y se pueda aplicar tanto la proyección cilíndrica como la cónica

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Page 8: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

2.- Sistema de representación

Selección de un sistema de representaciónSelección de un sistema de representación

Sistemas de representación Sistemas de representación

Este depende a la conveniencia del campo de trabajo del ingeniero y la manera de comunicación gráfica del objeto. Por ejemplo en el área de topografía, el sistema acotado es utilizado para la elaboración de planos de curvas de niveles. El sistema más utilizado por el ingeniero es el Diédrico, y se utiliza la perspectiva como complemento de información del trabajo a desarrollar.

Es por ende que se utilizará para el desarrollo de esta unidad el sistema diédrico como sistema de representación para la comunicación gráfica de los diferentes elementos en el espacio en el campo de la ingeniería.

Sistema diédrico y cuadrantes espacialesSistema diédrico y cuadrantes espaciales

IIº

IIIºIVº

AA

AH

V

Semiplano V. Superior

Semiplano V. Inferior

Semiplano H. anterior

Semiplano H. posterior

LT PH

PV

DIEDROSRefiere los problemas espaciales a dos planos de proyección perpendiculares entre si. La intersección de estos dos planos forma la línea de tierra, dividiendo el plano vertical y el horizontal en dos semiplanos, formando cuatro diedros o cuadrantes.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

Page 9: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Vista de canto del Sistema Diédrico

I BIS

II BIS

Vista en perspectiva del Sistema Diédrico

PH

PV

I BIS

II BISIºIIº

IVºIIIº

LT

Existen dos planos de posición, el I Bisector que divide al I y III diedro en partes iguales y el IIº Bisector que divide al II y al IV diedro.

Los planos horizontales y verticales son planos de proyección y los bisectores son solo planos de posición.

Nota

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

2.- Sistema de representación

Page 10: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Para representar un objeto en el espacio abatimos el plano horizontal alrededor de la L.T.

Al ver la vista ortogonal del abatimiento, el Semiplano Horizontal Posterior (SHP) se confunde con el SVI y el Semiplano Horizontal Anterior (SHA) se confunde con el SVS

Teoría del giro

DIEDROS

AA V

PVA

AH

V

PH

AH

PH

A

AH

VPV

SHP

S VS

SVI

SHAL.T

.

SVS

SHP

SVI

SHA

SVS

SHA

SHP

SVI

A

AH

VA

AH

V

SVSSHP

SVISHA

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

2.- Sistema de representación

Page 11: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Representación del Punto

DIEDROS

PPv

PV

Ph

PH

P

Ph

v

Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección horizontal

Es el elemento geométrico mas simple en el espacio

Determinación de un punto mediante coordenadas

P ( 95, 60, 40)P ( x, y, z )

PL

60

x

z

y

-y

-z

9540

co

ta

vuelo95 60

40

Origen

O= Origen de replanteo de todo punto

X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil

Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano vertical)

Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal

O

3.- Concepto del Punto

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto

Page 12: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Signos de coordenadas y vista de canto

IºIIº

IVºIIIº

Y-Y

Z

-Z

Eje: P (30,-30,-50)

30

50

El punto tiene coordenadas (+ ; - ; -) esta en el III diedro.

Para el replanteo en vista de canto la distancia en X no se toma en cuenta

DIEDRO

X Y Z

I + + + II + - + III + - - IV + + -

P

Ph

PV

Estos pueden determinarse en una vista de canto. Los signos dependen de la posición que se encuentre el punto con respecto a los diedros.

Vista de canto

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto

Page 13: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Las posiciones fundamentales que puede ocupar un punto en el espacio son 13

3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros.

A- En el I diedroB- En el II diedroC- En el III diedroD- En el IV diedro

y

BBB

Bhv

DD

Dh

vD

O

A

h

V

A

B

h

V

B

C

VC

h

D

D

h

V

Bv

AA

BB

CC DD

-y

z

-z

hB

Vista de canto Vista EspacialDoble proyección ortogonal

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto

Page 14: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

F- En el I diedro y I Bis.G- En e III diedro y I Bis.H- En el II diedro y II Bis.I - En el IV diedro y II Bis.

II

Ih

vI

II BisII Bis

I

v

FFHH

GGII

y-y

z

-z

hB

I

O

F

h

V

F

HhvG

v

h

GIhv

I(20;50;50)

Vista de canto Vista EspacialDoble proyección ortogonal

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto 3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros.

Page 15: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

J- En el SHAK- En el SHPL- En el SVSM-En el SVI

N- En la LT

y

-y

z

-z

LL

JJNN

MM

KKNhv

M

JJ

M

v

v

hhO

hJ

hvvJ

vK

hK

L

Lv

h

vM

Mh

NN

M (35;0;55)

N (120;0;0)

Vista de canto Vista EspacialDoble proyección ortogonal

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto 3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros.

Page 16: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera:

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

3.- El Punto 3.3.- Posición del punto con respecto a otro

a) Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: mas alto, mas bajo).

b) Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este, oeste; inclinación).

Ejemplo:

Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un alejamiento de 2m y un aprtamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m al sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.

Ejercicios prácticos

1- Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran: A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).

Práctica Nº 3Práctica Nº 3

Page 17: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una dirección y pendiente constante.

En el espacio la línea recta esta definida, bien sea por dos puntos o un punto y una dirección.

Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula.

Concepto

O

AV

hA

B

h

V

B

AAA

Ah

v

B

BB

Bh

v

representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)

Ejemplo:

r

rv

r h

r h

rv

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 18: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección (horizontal, vertical o frontal y de perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones.

Tipos de rectas

De Pie ABDe Punta CDFrontal EFParalela a la L.T. MNHorizontal GHOblicua IJDe Perfil KL

Recta de Pie (AB):Es perpendicular al plano horizontal

Recta de Punta (CD):Es perpendicular al plano vertical o También llamado frontal

Recta frontal (EF):Es paralelo al plano vertical o también llamado frontal

Recta paralela a la L.T.Es paralelo a la línea de tierra

Recta Horizontal (GH):Es paralelo al plano horizontal

Recta oblicua (IJ):No es paralela al PH, PV y PL.Recta de Perfil (LK):Es paralela al plano lateral o plano de perfil

NM

N

N

v

h

M

M

v

F

E

F

F

v

h

E

E

v

hB

B

v

h

v

AA

B

D

C

CD

D

v

hh

C

I

JL

v

hK

K

Kv

Lh

LLv

J

hJ

H

G

H

H

v

h

G

G

v

h

h

v

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 19: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

NM

N

N

v

h

M

M

v

F

E

F

F

v

h

E

E

v

hB

B

v

h

v

AA

B

D

C

CD

D

v

hh

C

Representación en doble proyección ortogonal

A

B

h

AV

V

hB

CD

hC

V

hD

Ev

hE

Fv

hF

NvM

v

hM

hN

Gv

hG

Hv

hH

Jv

hJ

Iv

hI

hK

Kv

hL

Lv

I

JL

v

hK

K

Kv

Lh

LLv

J

hJ

H

G

H

H

v

h

G

G

v

h

h

v

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 20: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

BV

VA

hB

Ah

VV

hV

hH

HV

BB

AA

VV

HH

Trazas de la recta

hB

La traza (o intersección) es el punto de penetración de una recta en un plano de proyección también se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta.

BV

Ah

VA

hV

VV

hH

HV

Para que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyección sobre la proyección de la recta

Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).

Traza VerticalSe determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyección vertical.

Traza HorizontalSe determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyección horizontal.

Ejemplo:Ejemplo:

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 21: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Distancia y verdadera magnitud de la recta

Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, su distancia se puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela.

Método del triángulo de rebatimiento:

Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.

Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes métodos para determinar su verdadera distancia en el espacio.

hB

BV

Ah

VA

Ba´

AA

BBV

MA

β

α

α

dv

dc

VMABdc

dv

Ba

ph AB

pv A

B

hB

BV

Ah

VA

β

α

dc

dv

VM

ABV

MAB

Ba´

Ba

dc

dv

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 22: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Distancia y verdadera magnitud de la recta

Método del triángulo de rebatimiento:

hB

BV

Ah

VA

Ba´

AA

BBV

MA

β

α

α

dv

dc

VMABdc

dv

Ba

ph AB

pv A

B

Para determinar la verdadera magnitud:

Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular (BvBa´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde AvBa´ es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β(beta) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.

Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α(alfa) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.

hB

BV

Ah

VA

β

α

dc

dv

VM

ABV

MAB

Ba´

Ba

dc

dv

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 23: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Medir distancias sobre una recta

hB

BV

Ah

Ba´

AA

BBVM

AB

ββ

α

α

dc

VMABdc

dv

Ba

Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela.

Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y determinamos su verdadera magnitud (AvBa´) sobre el verdadero tamaño medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá proporcionalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud

Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)

dv

CC

CV

Ch

C

VA

d

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 24: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ángulo de una recta

Una recta en el espacio forma generalmente un ángulo α (alfa) con el plano horizontal y un ángulo β (beta) con el plano vertical

Se debe verificar que la suma de dichos ángulos tienen que estar comprendida entre 0º y 90º

Ejemplos:Ejemplos: Recta de Pie (AB):α=90ºβ= 0º

Recta de Punta (CD):

Recta frontal (EF):

Recta paralela a la L.T.

α=0ºβ= 90º

α=se mide en el P.V.β= º

α=0ºβ=0º

A

B

h

AV

V

hB

CD

hC

V

hD

Ev

hE

Fv

hF

NvM

v

hM

hN

α

NM

N

N

v

h

M

M

v

F

E

F

F

v

h

E

E

v

hB

B

v

h

v

AA

B

D

C

CD

D

v

hh

C

h

v

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 25: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Lv

Ángulo de una recta

Ejemplos:Ejemplos:

Recta Horizontal (GH):

Recta oblicua (IJ):

Recta de Perfil (LK):

α=0ºβ=se mide en el P.V.

Se determina por el método de triángulo de rebatimiento

Se puede medir en un plano lateral y los ángulos son complementarios α y β suman 90º

Gv

hG

Hv

hH

Jv

hJ

Iv

hI

hK

Kv

hL

Lv L

p

pK

α

Vista de perfil o lateral

β

z

y

Kv

hL

hK

dv

dc

α= 50º

β= 4

dv

dc

Para problemas de rectas de perfil casi siempre es necesaria construir al lado de la recta de perfil, una vista auxiliar de perfil (paralela al plano de perfil para resolverlos, (donde la recta se muestra en verdadero tamaño). I

JL

v

hK

K

Kv

Lh

LLv

J

hJ

H

G

H

H

v

h

G

G

v

h

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 26: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, (conociendo sus ángulos α y β por medio de triángulos de rebatimiento).

Cuando la recta no es paralela a los planos de proyección se recurre al triangulo de rebatimiento para determinar las proyecciones de esta

Dado el punto “A” se desea conocer las proyecciones de una recta dada por el segmento AB que forma un ángulo α y β con los planos de proyección.

Se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento pero empezando a dibujar en un lugar arbitrario la hipotenusa que es el segmento AB (distancia conocida en V.T.).

Para obtener las proyecciones (PV y PH) dibujamos los catetos adyacentes que estarán determinada por los ángulos α y β.

Y para determinar la distancia de la PH y la PV se traza desde “B” perpendiculares a estas, quedando genera con PV dv y con PH dc.

Teniendo generada la PH y PV del segmento AB y sus dv y dc, se procede a colocar las proyecciones de estas en doble proyección ortogonal con respecto al punto “A”

Hay varias soluciones del problema cuando B tiene mayor cota o menor cota, mayor vuelo o menor vuelo, o si B este a la izquierda del punto A.

Otra

sol

ució

n PH

de

AB

Otra solución PV de AB

< cota q´ A

> cota q´A

< vuelo q´ A

> vuelo q´A

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 27: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección,

Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB) y el ángulo α (ángulo con el mismo plano cuya proyección se conoce), ¿construir la recta sabiendo que pasa por “A”.?

La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento, el problema se resuelve en determinar la diferencia de cota, para ello utilizamos la proyección horizontal en el cual se traza el ángulo α dado y trazando una perpendicular desde la P.H. del segmento AB y con la intersección de la hipotenusa o segmento en verdadera magnitud queda generada la dc (diferencia de cotas de los dos puntos.

Determinada dc, se procede a dibujar la proyección desde Av

Datos: Solución:Determinamos dc? mediante la P.H. de AB conociendo α

hB

BV

Ah

VA

AA

BB

αdc

pv A

B

dc

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 28: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

dv

Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección,

Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB), y el ángulo que forme con el plano vertical (β). determinar la proyección vertical de ella, y que pase por el punto “A”.

Datos: Solución:Determinamos dv? mediante la P.H. de AB conociendo β

La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento.

El problema se resuelve en dibujar un triángulo arbitrario conociendo el ángulo β delimitado con el cateto opuesto que será la dv de AB, quedando generada así la P.V. de segmento AB.

Luego se coloca este segmento (PV) en la proyección vertical de la recta desde Av.

hB

BV

Ah

VA

AA

BB

pv A

B

β

dv

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 29: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección,

Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo β el problema es similar al ejemplo primero anterior.

Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo α el problema es similar al ejemplo segundo anterior.

dv

hB

BV

Ah

VA

AA

BB

pv A

B

β

dv

hB

BV

Ah

VA

AA

BB

αdc

pv A

B

dc

PH ?

dv ?

PH

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Page 30: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Orientación y pendiente de una recta

Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con el eje coordendao Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Orientación de una recta con respecto a un punto

Ejemplo:Ejemplo: Dado el punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientación N 66º E.

Page 31: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Orientación y pendiente de una recta

Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta en el espacio con el plano horizontal de proyección. Se proyectará en verdadera magnitud en un plano vertical paralelo a la recta.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Geometría DescriptivaGeometría Descriptiva

4.- La recta

Pendiente de una recta con respecto a un punto

La pendiente se puede denotar en ángulos o en porcentaje. Para determinar la pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ángulo determina el valor de la pendiente en base al 100%.

En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la línea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ángullo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la línea de tierra.

Pendiente determinado por ángulo

Pendiente determinado por

porcentaje

Pendiente Positiva (+)

Pendiente Negativa (-)

Page 32: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos1- Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB.

5. Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.b) Hallar las trazas.

Práctica Nº 4Práctica Nº 4

Page 33: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos

Práctica Nº 5Práctica Nº 5

1 – Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina dada

por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de

proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión

de la recta "r" que mide 45 mt.d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el

punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va

hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D

f) Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.

2- Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A.

b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón).

c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie.

d) Determinar el Angulo b de AH.

Page 34: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos

Rectas en posiciones notables

Av

Bv

Ah

BhQv

Qh

Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta y trazas y verdadera magnitud del segmento AB.

Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.

La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.

La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyección de la recta.

Ah

Av

Hh

Hv

Bv

Bh

VM AB

Solución de ejercicios.

1 – Práctica Nº4

Page 35: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos

Rectas en posiciones notables

Solución de ejercicios.

2 – Práctica Nº4

Dado el punto C( 30; 15; 40):a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.b) Hallar las trazas.

Page 36: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos

Rectas en posiciones notables

Solución de ejercicios. 1 – Práctica Nº5

1 – Dada una mina de cobre:a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un

túnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].

b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.

c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión de la recta "r" que mide 45 mt.

d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH.

e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D

Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.

Page 37: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Representación de la recta en el Sistema Diédrico

Representación del punto y la recta en el sistema diédricoRepresentación del punto y la recta en el sistema diédrico

Ejercicios propuestos

Rectas en posiciones notables

Solución de ejercicios. 2 – Práctica Nº5

2- Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10).

a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón).c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH.

Page 38: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Estudio de las superficies plana

Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio

Unidad Nº2

Page 39: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº2Unidad Nº2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

El plano es un lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se denomina con letras griegas (αβΩπΦ…).

Concepto del plano

El PlanoEl plano

Los planos pueden ser:a) Limitados (polígonos, círculos, otros).

b) Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).

Un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas).

Representación de un plano

La forma mas expresiva de representar un plano es a través de sus trazas. Las trazas del plano son rectas del plano (V y H) que se originan por la intersección del plano en el espacio con los planos de proyección; determinando la posición de este.

Traza vertical (V): recta del plano contenida en el plano vertical. (recta frontal).

Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en el plano horizontal (recta horizontal)

Ejemplo: representación de un plano Ω (omega) dado por sus trazas.

Ω

Page 40: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω). Es conveniente conocer sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante.

Tipos de planos

El PlanoTipos de planos

a) Plano oblicuo

b) Plano paralelo a la Línea de Tierra

Ω

Ω

Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección

Sus trazas son paralelas a la L. T.

Page 41: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Tipos de planos

El PlanoTipos de planos

c) Plano horizontal

d) Plano frontal

Ω

Ω

Es paralelo al PH (Plano de Proyección Horizontal)

Es paralelo al PV (Plano de Proyección Vertical)

Page 42: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Tipos de planos

El PlanoTipos de planos

e) Plano d canto o Proyectante Vertical

f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal

Ω

Es Perpendicular al PV (Plano Vertical)

Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal)

Ω

Page 43: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Tipos de planos

El PlanoTipos de planos

g) Plano d perfil

h) Plano 1er Bisector

Es paralelo al plano de perfil

Ω

HVΩ

Bhv

hB

Ah

AV

i) Plano 2do Bisector Sus trazas se encuentran en la Línea de Tierra

B

A

Ah

AV

HVΩHVΩ

Page 44: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Formas de determinar un plano

El Plano

Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir ciertas condiciones como son:

Representación de un plano

a) Planos determinados por dos rectas paralelasb) Planos determinados por dos rectas que se cortanc) Planos determinado por 3 puntos no alineadosd) Planos determinados por un punto y una rectae) Plano determinado por sus trazas.

a) Planos determinado por 2 rectas paralelas

Ω

ab

ah

av

bh

bv

b) Planos determinado por 2 rectas q´se cortan

Ω

ab

P

P

ah

av

bh

bv

P

Las rectas deben tener un punto en común

Page 45: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Formas de determinar un plano

El PlanoRepresentación de un plano

c) Planos determinado por 3 puntos no alineados

Ω

B

A

C

A h

Av

B hBv

Cv

C h

ΩA

C

Br

Ah

Av

BhBv

Cv

Che) Planos dado por sus trazas

Ω

d) Planos determinado por 2 rectas paralelas

r h

rv

Page 46: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Como determinar las trazas de un plano.

El PlanoComo determinar las trazas de un plano

Dado una plano β por 2 rectas paralelas (a y b) se pide determinar sus trazas.

β

ab

av bvah

bh

Para obtener la traza de un plano se deben conseguir 2 puntos de esta.

av bv

ah

av

bh

bv

Para obtener la traza Vert. Se consiguen las trazas verticales de 2 rectas del plano.

Para obtener la traza Horiz. Se consiguen las trazas horizontales de las 2 rectas del plano.

Vβ 1v 2v

ah

bh

4h3h

ab

ab

1v2v

4h3h

Page 47: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Puntos y rectas del plano

El PlanoPuntos y rectas del plano

a

b

Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber como representar un punto o una recta cualquiera contenida en si.

P

Para que un punto tal como P pase por un plano ab es condición de que sea de una recta (“c”) perteneciente al plano.

Se conoce el plano ab y la proyección vertical de P, determinar su proyección horizontal sabiendo que esta en el plano ab.

a h

av

b h

bv

Pv

a h

av

b h

bv

Pv

Ph

cv

c h

Para que P este en el plano tiene que estar en “c” que es una recta del plano

Toda recta para que pertenezca a un plano debe pasar por 2 puntos de ese plano

c

Page 48: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Rectas características

El PlanoRectas Características

Es un recta horizontal (h) que se encuentra contenida en el plano

hv es paralela a la L.T. y hh a la traza Horizontal.

Recta Horizontal (h) de un plano

Se les llama rectas características de un plano a todas las rectas horizontales y frontales de este

Recta Frontal (f) de un plano

hv

hh

fv

hv

hh

h

Es un recta frontal (f) que se encuentra contenida en el plano

fh es paralela a la L.T. y fv a la traza Horizontal.

Hβ fh

fv

fh

f

Page 49: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Rectas características

El PlanoRectas Características

Es perpendicular a la traza horizontal al igual que todas las rectas horizontales del plano

Determina el ángulo (α) que forma dicho plano con el plano horizontal.

Para obtener α en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PH.

Recta de máxima pendiente

Recta máxima inclinación

dcVβ

ph

pv

dc

α

Bv

Bh

Av

Ah

B

pv

ph

p

i v

i h

i

AAAh

Av

BB

Bh

Bv

α

βC

v

Ch

dv

dc

DD

CC

Dv

Dh

β

dv

dv

Dh

DvC

h

Cv

D

Es perpendicular a la traza vertical al igual que todas las rectas frontales del plano. Determina el ángulo (β) que forma dicho plano con el P.V.

Para obtener β en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PV.

Page 50: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

αβ

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Ángulos del plano

El PlanoÁngulos del plano α= ángulo que forma el plano con el PH

β= ángulo que forma el plano con el PVα

β

β=90º

α=90ºPH

PVα + β = 180ºCuando el plano

es perpendicular al PH y PV

α + β = 90ºCuando el plano pasa o es paralelo a la LT

α+β>90ºy<180Casos restantes (los ángulos se determinan con rectas de máxima pendiente e inclinación)

Page 51: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ejercicios propuestos

Determinar las trazas del Plano δ definido por dos rectas paralelas. a {K(20;25;10) L(30;05;25)}, b {M(35;15;15)}.

Ejercicios propuestos

El Plano

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Esquema espacial

Page 52: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ejercicios propuestos

El Plano

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Esquema espacial

Ejercicios propuestos

Dado un Plano {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano

Page 53: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ejercicios propuestos

El Plano

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Esquema espacial

Ejercicios propuestos

Dado un Plano {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano

Page 54: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

pv

ph

p

i v

i h

i

AAAh

Av

BB

Bh

Bv

α

βC

v

Ch

dv

dc

DD

CC

Dv

Dh

Ejercicios propuestos

El Plano

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Ejercicios propuestos

1.Determine los ángulos que forma el plano {X(15; 0; 0), H(80; 75; 0) y V(80; 0; 45)} con los planos de proyección.

Page 55: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos directo

1.Se dan: A (20;35;25) y B (45;25;??). Se pide: Halle las proyecciones de un pentágono regular contenido en un plano Horizontal, donde AB es un lado del polígono. Tomar la solución de mayor vuelo. Halle las trazas del plano.

2.Se pide determinar las proyecciones de un hexágono regular ABCDEF contenido en un plano De Perfil que pasa por el punto A (45;40;15), sabiendo que el lado AB es una recta De Pié y mide 20 mm (B mayor cota que A). Tomar la solución de menor vuelo. Dibuje las trazas del plano.

Es la obtención de la proyección de los cuerpos en el espacio directamente sobre los planos de proyección, esto se logra cuando estos tienen posiciones características, sus partes son paralelas o perpendiculares a los planos de proyección.

Page 56: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos directo

3.Se da el punto A (40;00;25). Determine las proyecciones de un triángulo rectángulo ABC contenido en un plano Paralelo a la Línea de Tierra. El lado AB es un segmento paralelo al plano vertical y mide 35 mm. El segmento BC es De Perfil y mide 40 mm. Dibujar las trazas del plano.

4.Se dan los puntos: M (40;20;30) y N (60;40;05). Se pide determinar las proyecciones de un triángulo MNP contenido en un plano Proyectante Horizontal, donde MN y MP tienen igual longitud. El lado MP es una recta Horizontal (P a la derecha de M). Halle las trazas del plano.

Page 57: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

Se utiliza la formación de sistemas auxiliares de planos de proyección, empleando un nuevo plano de proyección como una vista auxiliar.

Una vista auxiliar primaria se obtiene por la proyección sobre un plano que es perpendicular a uno de los 3 principales.Una vista auxiliar secundaria se obtiene por la proyección sobre un plano auxiliar primario.

Para este método es importante tener claro que la distancia de un punto en el espacio a un plano de proyección, se proyecta en los planos adyacentes perpendicularmente.

Método por cambio de plano.

Av

Ah

A3

PV

PH

H-3

LT

H 3A

v

A3

Ah

d

d

H3

Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano horizontal”:

Av

A3

Ah

d

V3

Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano vertical”:

Av

Ah

A3

PV Plano V-3AAAA

d

Page 58: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

A veces conviene cambiar los planos sucesivamente hasta obtener la posición deseada.

Si construimos un plano auxiliar secundario, se toman las coordenadas de la pareja inmediata anterior.

Método por cambio de plano.

3 4

Av

A3

Ah

d

d

H3

Av

A3

Ah

d V3

A4

A4

d

d

Av

Ah

PV

PH

H-3

AA

Av

Ah

A3

PV Plano V-3AA

3 4

3-4

A3

LT

A4

Plano 3-4

Page 59: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

Obtención de una recta en verdadero tamaño

Método por cambio de plano.

Se logra a través de la obtención de un nuevo plano de proyección auxiliar paralelo a una de las proyecciones del segmento de la recta.

Av

Ah

PV

PH

H 3

Av

A3

Ah

H3

AA

Bh

BB

LT

B3

A3

Bv

Bh

B3

Bv

Obtención de una recta perpendicular al plano de proyección

Se debe proyectar como punto, es decir que sea perpendicular a un plano de proyección y paralelo al otro.

Pasos: a) Primero se proyecta un plano auxiliar primario paralelo a la recta obteniendo su verdadera magnitud.

b) luego, se proyecta un plano auxiliar secundario perpendicular a la recta; donde se obtendrá la proyección como punto.

Av

A3

Ah

H3

Bh

B3

Bv

A4

B4

34

VM AB

VM AB

Page 60: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección

Método por cambio de plano.

Para obtener un plano auxiliar de proyección perpendicular a una plano (o superficie plana), se debe trazar un plano auxiliar o línea de giro perpendicular a una recta característica (o traza) del plano dado.

H-3

Page 61: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº2Unidad Nº2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

Método por cambio de plano.

Si no tenemos las trazas se pueden determinar o sino, se determina con un recta característica del plano.

Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección

h

hv

hh

Page 62: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Construcciones geométricas en método directo

El PlanoConstrucciones geométricas en métodos indirecto

Obtención de un plano en verdadero tamaño

Método por cambio de plano.

Se logra a través de la construcción de un plano auxiliar paralelo al plano dado

a) Si el plano no es proyectante, Se obtiene el plano como borde a través de un plano auxiliar primario

b) Cuando el plano se muestre como borde, utilizamos un plano auxiliar paralelo a este, obteniendo una proyección paralela al plano dado (obteniendo la forma en verdadero tamaño).

Pasos:

Page 63: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Datos del problema

Proyectamos el plano dado como borde a través de un plano de proyección auxiliar perpendicular a una recta característica del plano dado

Con un nuevo plano auxiliar paralelo al plano visto como borde conseguimos la diagonal del cuadrado en verdadero tamaño perteneciente a

Por construcción geométrica elaboramos el cuadrado consiguiendo sus vértices faltantes

Conseguimos las proyecciones faltantes; primero en el plano como borde, y las distancias de la línea de giro 3-4 a los puntos 4 se determina las cotas del cuadrado faltante

Los vuelos de los puntos del cuadrado ubicados en el plano horizontal, corresponde a las distancias que se encuentran entre la línea de giro V-3 al plano vista como borde de cada punto respectivamente

Esquema espacial

v

h

Ejercicios propuestos

El Plano Ejercicios propuestosSe da: 1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00) y los puntos A(55; ?; 25) y C(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un cuadrado ABCD. AC diagonal del cuadrado.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Page 64: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Esquema espacial

Ejercicios propuestos

El Plano Ejercicios propuestos

Dado el plano 1( 70; 00; 00), 2( 10; 60; 00) y 3( 70; 00; 30) y el punto O( 40; ??; 40), centro del pentágono. Determine las proyecciones de un pentágono A B C D E, contenido en , inscrito en una circunferencia de radio = 25 mm. O A es recta de pié.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Page 65: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

h

v

Esquema espacial

Ejercicios propuestos

El Plano Ejercicios propuestos

Se da el plano 1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00) y los puntos A(55; ?; 25) y D(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un hexágono ABCDEF. AD diagonal del hexágono.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Page 66: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Esquema espacial

v

h

Ejercicios propuestos

El Plano Ejercicios propuestos

Dado el plano 1( 50; 08; 30); 2( 80; 36; 30) y 3( 80; 08; 60). Determine las proyecciones de un cuadrado A B C D, contenido en , dando los vértices A( 80; 25; ??) y B ( 57; 31; ??).

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Page 67: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ejercicios propuestos

El Plano Ejercicios propuestos

Se da: 1(90; 45; 00); 2(30; 00; 60); 3(30; 00; 00) y la recta m A(55; ?; 25); B(75; ?; 30 Se pide: Construir por cambio de plano las proyecciones de un pentágono ABCDE contenido en el plano . AB lado del pentágono.

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de superficies planasEstudio de superficies planas

Page 68: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Estudio de las posiciones relativas espaciales

Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio

Unidad Nº2

Page 69: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Av AA

Bh

BB

rr

PV

PH

Cv CC

Dh

DD

aa

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

ParalelismoPosiciones relativas espaciales

1 - Paralelismo 2 - Perpendicularidad 3 - Intersección

En todos los sistemas de proyección cilíndrica el paralelismo se conserva como propiedad proyectiva

Dos rectas que están en el espacio paralelas, sus proyecciones también se ven representadas paralelamente.

Paralelismo

Son las situaciones creadas en la interacción de diferentes elementos geométricos en el espacio tales como: rectas, rectas y planos, planos y rectas o planos y planos.

las situaciones mas características creadas entre los elementos antes mencionados son:

Paralelismo entre rectas y rectas

Bh

Ah

Dh

Ch

Av

Bv Dv

Cv

vr

rh

va

ah

Page 70: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Toda recta paralela a un plano ha de ser paralela a una recta perteneciente al plano

Recta paralela a un plano

Por ejemplo determinar la proyección horizontal de la recta “a”. sabiendo que es paralela al plano ABC.

En caso que ninguno de los segmentos del plano no sean paralela a la proyección vertical podemos determinarla.

Av AA

Bh

BB

rr

PV

PH

Cv CC

Dh

DD

aa

Bh

Ah

Dh

Ch

Av

Bv Dv

Cv

“a” es paralela a “r”.

Page 71: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Dados por dos rectas que se cortan

Casos particulares entre dos planos paralelos

Paralelismo entre planos y planos

Es condición suficiente de que existan dos direcciones de rectas de un plano, las cuales sean paralelas a un segundo plano

Dados por dos rectas paralelas

El plano resultante debe ser paralelo a ellos y además a una recta de dirección arbitraria del plano dado.

Page 72: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Plano paralelo a otro dado por sus trazas por un punto cualquiera

Es condición suficiente saber que dos planos paralelos tienen sus rectas características paralelas y también sus trazas

Plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra

Casos particulares entre dos planos paralelos

Paralelismo entre planos y planos

Trazar un plano β paralelo a α y q´ pase por “P”. El ejercicio se resuelve en una vista de perfil

PP

Ph

Ph

Pp

Pv

Pv

β

α

P.P.

Page 73: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan

Casos particulares

Perpendicularidad

Han de tener un punto en común donde forma un ángulo recto. Se evidencia en proyección en el segmento donde se muestra en verdadera magnitud.

En este sistema de proyección cilíndrica el ángulo por lo general no goza de la propiedad proyectiva y solo se manifiesta en ciertas ocasiones.

El ángulo recto no se proyecta como tal a menos que unos de los lados sea paralelo al plano de proyección, caso palpable en las rectas horizontales y frontales, donde se proyecta como ángulo recto en la proyección que se ve en verdadera magnitud.

Page 74: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Perpendicularidad

Perpendicularidad entre dos rectas que se cruzan

Aún cuando las proyecciones se cruzan estas son ortogonales o perpendiculares entre si.

Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan

Cuando tenemos 2 rectas y una de ellas es horizontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano horizontal, donde el segmento esta en verdadera magnitud. Y si es una recta frontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano vertical.

Page 75: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Perpendicularidad

Recta perpendicular a un plano

Cuando tenemos un plano determinado por una recta horizontal y una frontal del plano (h y f) es fácil levantar una recta “p” perpendicular al plano, ya que pv es perpendicular a fv y ph es perpendicular a hh.

Por ende, las proyecciones de una recta perpendicular a un plano también es perpendicular a sus trazas.

Dada una recta “a” por el punto “B” trazar un plano perpendicular a esta recta.

El plano lo podemos definir mediante una recta frontal y horizontal que sean perpendicular a “a” y pasará por “B”.

Para determinar sus trazas basta con determinar la traza V de la recta “h”.

Plano perpendicular a una recta

vr

rh

r

Page 76: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Perpendicularidad

Se da el plano α y una recta “m”, trazar un plano β que pase por “m” y sea perpendicular al plano α.

Para ello debe existir por lo menos una recta del plano β que sea perpendicular al plano α. Basta tomar sobre la recta “m” un punto “A” y por el trazar una recta perpendicular al plano α el plano mp es perpendicular al plano.

Plano perpendicular a otro plano

Para que un plano (β) sea perpendicular a otro dado (α) debe contener otra recta que sea perpendicular a éste. En línea general, se traza una recta “p” perpendicular a β.

mm p

α

β

α

Page 77: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Perpendicularidad

ContinuaciónVα

El resultado, aunque el nuevo plano buscado β sus trazas principales se encuentran en el segundo diedro en el espacio al intersectarse estas superficies forman perpendicularidad

α

α

β β

HβVβ

Page 78: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Perpendicularidad

Plano perpendicular a otro plano dado por sus trazas

Cuando ambos planos están dados por sus trazas en casos particulares se pueden determinar si son o no perpendiculares entre si.

Perpendicularidad entre:

Plano Oblicuo y Un Plano proyectante

Planos proyectantes horizontales

Planos proyectantes verticales

α

β

HαHβ

α

β

βα

Page 79: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Perpendicularidad

Plano perpendicular a otro plano dado por sus trazas

Otros casos:

Perpendicularidad entre:

Planos paralelos a la línea de tierra

Plano vertical con uno horizontal

Plano horizontal con un plano de perfil

β

α

α

β

αβ

Z

Y

α βp

p

Page 80: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Intersección

Intersección entre una recta y un plano. Es el punto común (I) entre la recta y el plano.

Para poder determinar el punto de intersección se puede suponer que detrás de la recta “r” existe otra recta “t” (recta tapada) que esta tapada por la recta “r”, teniendo las mismas proyecciones verticales de la recta “r”, perteneciente al plano a intersectar, determinando la proyección th por medio de los puntos 1 y 2.

Existen varios métodos para determinar la intersección entre recta y plano (por cambio de plano, inclusión de la recta en un plano proyectante y por método de la recta tapada); el cual, se puede seleccionar cualquiera de estos métodos en donde convenga visualizar y representar la forma mas fácil las intersecciones de los elementos geométricos en el espacio.

r

Intersección entre una recta y un plano, (por método de la recta tapada).

v1

1h

v2

2h

Page 81: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Intersección

Intersección entre una recta y un plano dado por sus trazas .

Si utilizamos el mismo método de la recta tapada se procede de forma similar al caso anterior. r=recta dada y t=recta tapada.

v1

1h

v2

2h

I

Ih

vI

r

rv = tv

hr

tht

V

H

rv

rh

Iv

Ih

tv

th

1v

2v

2h

1h

Sabiendo que la intersección de la recta con el plano esta sobre la proyección de la recta, la recta tapada busca en ubicar una recta que contenga una proyección de la recta y que este contenida en el plano, pudiendo visualizar donde se corta en la proyección donde no esta contenida con la recta dada.

Page 82: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Intersección

Intersección entre una recta de perfil con un plano

Una forma de ver la intersección es colocar el plano como borde a través de cambio de plano donde podemos ver el punto de intersección.

Para determinar el punto común de intersección entre un plano y una recta, se debe proyectar este plano sobre un plano de proyección perpendicular a el y la recta proyectarla sobre esta vista como borde del plano. El punto común será el punto de intersección

Intersección entre una recta con un plano proyectante

El punto de intersección se obtiene de inmediato en la proyección de la recta con el plano donde forma perpendicularidad con un plano de proyección.

Page 83: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

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Intersección

Intersección entre dos planos

Por concepto se sabe que la intersección de dos planos es una línea recta, para conocer esta línea recta es necesario conocer dos puntos de ella. ( i = X Y).

X

Yi

Para determinar la intersección (i) por el método de la recta tapada, se necesita hallar las intersección de dos rectas de un mismo plano (α) con respecto a rectas del otro plano (β), por ejemplo, tomamos la recta tapada “t” contenida en EF del plano α determinada por los puntos 1y2 encontrando el primer punto de intersección X, luego tomamos la recta tapada “m” contenida en FD del plano β determinada por los puntos 3Y4 encontrando el segundo punto de intersección Y. XY determinan la recta “i”.

βα

Page 84: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Intersección

Intersección entre dos planos (por método cambio de plano).

Para hallar la recta de intersección “i” de dos planos se necesita la utilización de dos planos se necesita la utilización de planos auxiliares de proyección. En el plano donde se proyecta como borde se obtendrá la intersección.

Page 85: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Intersección

Visibilidad entre dos planos.

Como los planos en el espacio se consideran opacos, se deben determinar las partes vistas y oculta de ambos planos en cada una de las proyecciones.

Las líneas visibles se dibuja con trazo grueso de forma continuaLas líneas invisibles se dibujan con trazo grueso pero segmentado

Las líneas visibles serán las que tengan mayor altura, esto se puede determinar en la proyección vertical, por ejemplo el segmento BC y AC tienen mayor altura que las rectas del otro plano. Por lo tanto en la proyección horizontal AC y BC serán visibles hasta la intersección con el otro plano luego pasan a ser invisibles ya que se intersectan, salvo a que el plano no se tape con el otro.

Visibilidad en la proyección horizontal

Las líneas visibles serán las que estén mas cercas al observador, para esto se observará en la proyección horizontal y se verán las líneas que tengan mayor vuelo con respecto a las del otro plano, en caso que halla dudas, se pueden determinar 2 puntos donde se intersecten los dos planos en la proyección horizontal como 1 y 2, y 3 y 4, para ver cual tiene mayor cota. (2 y 4 tienen mayor cota que 1 y 3, por lo en el punto2 y 4 están mas cerca al observador que en 1 y 3 que pertenecen al otro plano. También se puede hacer el mismo procedimiento de forma inversa pero en la proyección vertical para determinar la visibilidad en la proyección horizontal..

Visibilidad en la proyección vertical

Page 86: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Intersección

Intersección entre dos planos dados por sus trazas

La recta de intersección (i) se consigue o queda determinada en la intersecciones de las trazas de los 2 planos dados, un punto en el plano horizontal y el otro en el plano vertical, uniendo las proyecciones homónimas verticales y horizontales de los dos puntos queda formada “i”.

Intersección de dos planos oblicuos

Casos de intersecciones

Intersección de un plano oblicuo con uno proyectante

Intersección de dos planos proyectantes

HαHβ

βα

β

α

βα

vi

ihi

vi

ih

vi

ih

i

i

Page 87: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Intersección

Intersección entre dos planos dados por sus trazas

Casos de intersecciones

Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra

Intersección de un plano frontal y un plano horizontal

Intersección de un plano horizontal con un plano de perfil

Z

Y

βα

α

β

α

Vβα

β

vi

i h

i

vi

i h

i

i

i h

vi

βp

p

Page 88: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Menor distancia entre elementos en el espacio

Menor distancias entre 2 puntos

La menor distancia entre 2 puntos en el espacio es una línea recta. Si la recta no es paralela a los planos de proyección se puede utilizar el método de triángulo de rebatimiento o cambio de plano para determinar su magnitud.

Menor distancia de un punto a una recta

La menor distancia entre un punto y una recta en el espacio resulta de una perpendicular a estos, que se visualiza en la proyección de la recta donde se ve en verdadera magnitud.

En caso que la recta no sea paralela a los planos de proyección utilizamos un plano auxiliar de proyección para ver su proyección en verdadero tamaño y la del punto para ver su ubicación, para así trazar la perpendicular desde el punto.

Page 89: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Menor distancia entre elementos en el espacio

Menor distancias de un punto a un plano

Para determinar la menor distancia de un punto (A) a un plano (α). Se lleva una perpendicular del punto al plano.

Para ello se necesita determinar la intersección de la recta perpendicular (r) con el plano. La recta que queda genera desde el punto dado (A) al plano donde se encuentra el punto “I” es la menor distancia entre estos dos elementos.

v1

1h

v2

2h

I

Ih

vI

r

rv = tv

hr

tht

A

Ah

vA α

Page 90: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Estudio de las posiciones relativas espacialesEstudio de las posiciones relativas espaciales

Ángulos Ángulos

Ángulos entre dos rectas

Después de haber estudiado los elementos geométricos antes vistos rectas y planos con sus posiciones relativas espaciales en los casos de perpendicularidad el ángulo resultante es de 90 º.

Cuando estos elementos son formados con un ángulo diferente a 90º y/o no se visualiza la propiedad proyectiva se debe determinar el ángulo donde se manifieste en V.M.

α

α-180º

f

B

A

B

r

D

C

A

C

v

v

v

Ah

Ch

Dh

α

α-180º

f1

B

A

B

rαC

D

C

A

I

v

v

v

Ch

Ah

Dh

Bh

Cuando dos rectas se cruzan (tal como “f” y “r”) se debe tomar sobre una de ella (un punto tal como “I”), pasando una recta paralela a una de estas (“f1”). Se determina el ángulo α que forman en “I”.

Cuando se cortan dos rectas en el espacio se generan 4 ángulos que por lo general son 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos sumando 360 grados los cuatros. Para tomar la lectura de α se toma el valor del ángulo agudo.

En el caso cuando las dos rectas son paralelas al mismo plano de proyección los ángulos que se forman se visualizan directamente. En verdadera amplitud, tomando el ángulo agudo para expresar su valor.

Page 91: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ángulos

Ángulos entre dos rectas

En el caso para determinar el ángulo entre dos rectas cuando estas son oblicuas, el ángulo entre estas no se visualiza en verdadera amplitud para ello se debe utilizar un método auxiliar.

Para determinar el ángulo se parte del principio que dos rectas que se cortan generan un plano ilimitado. Para observar el ángulo se debe colocar las rectas que la generan el plano en verdadera magnitud (V.M.).

Para convertir el plano limitado en ilimitado se adopta una tercera recta que corte con las dos rectas en cuestión conformando un polígono de forma triangular en el espacio.

La tercera recta trazada es una recta paralela a los planos de proyección (“f” en este caso) seleccionada para facilitar la operación por las ventajas notables que representa.

Como siguiente paso se procede a determinar la V.M. del plano limitado ABD. Visualizándose el ángulo en el vértice “A” punto de intersección original de las dos rectas que se cortan (m y n).

Para representar la V.M. en este caso se utilizó el método auxiliar triángulo de rebatimiento determinando la V.M. de los lados AD y AC construyendo la verdadera forma y tamaño de ACD construyendo la V.M. a partir de la recta “f” definida por CD en la proyección vertical donde “f” se ve en

fA

D

C

α

α-180º

B

m

n

Ángulos

Page 92: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

α

p

r

i

ө

A

BI

Ω

α

Ángulos

Ángulos entre recta y planos

Para obtener el valor del ángulo formado por una recta “r” y un plano “Ω” se traza desde un punto (“A”) cualquiera sobre la recta “r” en cuestión una perpendicular (“p”) al plano (“Ω”).

Se determinan las intersecciones de las rectas r y p con el plano Ω en cuestión, genera un triángulo rectángulo, donde los ángulos restantes α y ө son complementarios.

Si este triángulo no se visualiza en verdadera magnitud (V.M.) se debe emplear un método auxiliar para verlo en (V.M.).

Existe otra forma de medir el ángulo desde un punto arbitrario (“A”) ubicado sobre la recta (“r”) se pasa una recta perpendicular (“p”) al plano en cuestión.

El ángulo pedido es ө el complemento de α o sea α = 90-ө.

Ángulos

Page 93: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ángulos

Ángulos entre 2 planos

Existen diferentes procedimientos que podemos utilizar para determinar el ángulo entre dos planos, el cual emplearemos el procedimiento que nos aporte una solución más sencilla.

Desde un punto cualquiera como “A” se traza una perpendicular “p” al plano “α” y “β”. Y desde los puntos de intersección (I y J) se determinan las intersecciones m y n, rectas perpendiculares a la traza común de los planos, formando un cuadrilátero AIKJ en los cuales dos de sus lados forman 90º y con los dos restante forman habrán de sumar 180º sabiendo que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º

Entonces, se deduce también que el ángulo que forman las perpendiculares p y r es igual al ángulo entre los planos “α” y “β”. El ángulo “α” es el suplemento β=180 (α = 180- β).

Para simplificar la solución de esta manera teniendo ya representada las perpendiculares “p” y “r” desde el punto “A” hacia los planos “α” y “β”. Se procede a trazar un plano horizontal “∑” que corte a las dos perpendiculares en “B” y “C” generando una recta horizontal “h” común a estas. “h” se ve en verdadera magnitud en su proyección horizontal, delimitada por “B” y “C”, luego se coloca en verdadera magnitud los lados “AB” y “BC” para visualizar el ángulo “β” y el suplemento que es el ángulo “α”.

β

α

i

β

p

r

IJ

K

A

Ángulos

Page 94: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ángulos

Ángulos entre 2 planos

Ángulos

Para medir los ángulos entre dos planos los planos, estos deben estar como borde, lo que significa que ambos están perpendiculares al plano de proyección y la recta de intersección se vera como punto en la proyección.

1. Se representa la recta “i” como punto en el plano 1-V, donde los planos de proyección se visualizan como borde.

Page 95: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Ángulos

Ángulos entre 2 planos

Ángulos

1. Se determina la recta de intersección entre ambos plano (recta i). Con ayuda de le plano auxiliar H-1.

2. Como la recta “i” es oblicua se dibuja en un plano auxiliar 1-2, donde “i” se representa en verdadera magnitud.

3. Se dibuja la recta “i” como punto en el plano auxiliar 3-2, donde los planos se proyectan como borde. Se obtienen 2 ángulos iguales por oposición, asumiendo el ángulo entre los planos el de menor magnitud.

Para medir los ángulos entre dos planos los planos, estos deben estar como borde, lo que significa que ambos están perpendiculares al plano de proyección y la recta de intersección se vera como punto en la proyección.Pasos

Page 96: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

β

α

i

β

p

r

IJ

K

A

Ángulos

Ángulos entre 2 planos

En el mismo orden de ideas, para determinar el ángulo entre los dos planos se puede representar la verdadera magnitud del cuadrilátero AIJK para este ejemplo determinado por el método auxiliar cambio de plano. El ángulo entre los dos planos se encuentra en el vértice “K” en V.M.

Ángulos

Otro método:

Page 97: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

SólidosMaterial de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio

Unidad Nº2

Material de apoyo para la construcción de cuerpos en

el espacio

Comunicación gráfica

Primera Edición - 2010

Page 98: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Concepto de Sólidos

Los sólidos o también llamados cuerpos en el espacio, se encuentran definidos o limitados por varias superficies bidimensionales, dando lugar así al origen de figuras tridimensionales.

Clasificación de los sólidos

Los sólidos se clasifican según sus propiedades internas o según la superficie que los envuelve. Subdividiendose en dos grupos: poliedros y cuerpos redondos.

Poliedros Son todos aquellos sólidos que tienen todas sus caras planas

Cuerpos Redondos

Poliedros

S ó

l i d

o s

Geométricamente definido

Geométricamente no definido

No tienen regularidad geométrica

Radiales

Radiales truncados

Regulare

Prisma y pirámide truncadosP

olie

dros

Prisma y pirámide truncados

Tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro

Page 99: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

El prisma

El prisma esta formado por una serie de caras laterales que se cortan entre si. Esta superficie lateral formada por las caras y arista longitudinales paralelas entre si, es cortada por dos planos que generan las bases del prisma. Si los planos secantes son perpendiculares a las aristas laterales, el prisma que resulta es recto.

Las caras laterales son siempre cuadriláteros. Las caras básicas limitadas por las aristas básicas, pueden ser polígonos regulares o no. En el primer caso se denomina regular. La altura de un prisma es la perpendicular común a su base.

Se denomina paralelepípedo rectángulo a recto de base rectangular.

Poliedros Radiales

La pirámide

Es un sólido que tiene un vértice al que convergen las aristas longitudinales y una base.

Se genera deslizando una recta, que mantiene un extremo fijo al que concurren en el vértice, formando caras triangulare, apoyadas estas caras por los lados de una forma poligonal cerrada.

Prisma de base hexagonal

Prisma de base cuadrada

Pirámide de base hexagonal

Pirámide de base cuadrada

Page 100: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Los Poliedros Radiales (variaciones)

Rectos:Rectos: Cuando la base es perpendicular al eje o altura del sólido.

Oblicuos:Oblicuos: Cuando la base no es perpendicular al eje o altura del sólido al igual que sus aristas.

Con la base regular o irregularCon la base regular o irregular

Regular:Regular: Puede ser un polígono regular.

Irregular:Irregular: Puede ser una figura cerrada que no presenta regularidad geométrica entre si.

Rectos y Oblicuos.Rectos y Oblicuos.

Poliedros radiales truncadosPoliedros radiales truncados

Pirámide Pirámide truncada:truncada:

Puede ser recta u oblicua. Tiene como condición que las aristas longitudinales converjan en un punto.

Prisma Prisma Truncado:Truncado:

Tienen como condición que las arista longitudinales permanezcan paralelas entre si.

Etc.:Etc.: Derivados, (Prismatoide, cuña).

PirámidesPrismas

Con la base regular o irregular

Rectos y Oblicuos.

Poliedros radiales truncados

Los Prismas y las Pirámides pueden ser:

Page 101: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Poliedro Regulares

Llamamos poliedros regulares a los cuerpos geométricos tridimensionales que están limitados por caras planas conformados por polígonos, aristas, ángulos, etc. iguales entre si.

Poliedro Gráfico Formas de las caras

Nº de caras

Nº de vértices

Nº de aristas

Ángulos en un vértice

Tetraedro

Triángulos 4 4 6 3x60º=180º

Exaedro

Cuadrados 6 8 12 3x90º=270º

Octaedro

Triángulos 8 6 12 4x60º=240º

Dodecaedro

Pentágonos 12 20 30 3x108º=324º

Icosaedro

Triángulos 20 12 30 5x60º=300º

El número de poliedros regulares posibles existentes son cincos, el cual se describen a continuación:

Page 102: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Tetraedro

Es un cuerpo conformado de la siguiente manera.

•Caras: 4 triángulos equiláteros.

•Vértices: 4 a cada uno concurren 3 aristas.

•Aristas: 6

•Secciones principales: 6, formadas por una arista y el punto medio de la arista opuesta

(ADM ver gráfico))

Características de las caras

Están conformado por triángulos equiláteros

a = Aristas del tetraedro.

Características de la sección principal

AD = a (arista)

AM = = DM

h=a

23

h=a

23

ND = a 23 = (0.81 x a) Altura del tetraedro

AN = 2/3 AM

PM = menor(<) distancia entre 2 aristas opuestas

DO= 3 ON

= (Altura de la cara del triangulo)

D

A

B

C

MN

P

O

O

D

A M

P

A

C

BB

a a

a a

23a

23

a

23a

23

Page 103: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Unidad Nº 2Unidad Nº 2

Sólidos

Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Exaedro o cubo

Es un poliedro conformado de la siguiente manera.

•Caras: 6 cuadrados

•Vértices: 8 a cada uno concurren 3 aristas y 12 diagonales.

•Aristas: 12 ortogoneles o paralelas entre si

•Secciones principales: 2 secciones principales

•Cada sección esta conformada de la siguiente manera:

A B

C

GH

E

D

O

F

A B

C

GH

E

D

O

F

A B

C

GH

E

D

O

F•2 diagonales menores AC y EG

•2 Diagonales mayores EC y AG

•Centro del cubo

A C

a 2

Diagonal Menor (AC)

E G

O

Diagonal Mayor (A

G)

a= Arista

Page 104: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Sólidos Octaedro Es un poliedro conformado de la siguiente manera.

•Caras: 8 triángulos equiláteros, las caras opuestas son paralelas entre si.

•Vértices: 6 a cada uno concurren 4 aristas

•Aristas: 12

•Secciones principales: 3 secciones principales

Propiedades internas del octaedro.Propiedades internas del octaedro.

A

N

M

C

F

E B

D

O

A

N

M

C

F

E B

D

O

A

N

M

C

F

E B

D

O

E B

a= Arista

CD

M

N

O

a

Esta sección es un cuadrado de lado a igual a las aristas del octaedroContiene:•2 diagonales BD Y EC•El centre geométrico “O”.

A

B

Fa

DO a 2

a

Secciones idénticas

A

F

M N

a2

3

a

a 2

Esta sección es un cuadrado de lado a igual a las aristas del octaedroContiene:•2 diagonales FA Y EC•El centre geométrico “O”.

La sección principal es un rombo formado por 2 triángulos equiláteros de lado a.Contiene:•El valor de la arista MN=BC•La diagonal AF•Altura de la cara MF•Centro geométrico o.

a 2EC=

Secciones internas del

Octaedro

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Page 105: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Sólidos Ejercicio

Pirámide en posición accidental

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Dado el segmento de recta AC {A( 140; 68; 00) C(80; 68; 35)} Se piden las proyecciones y visibilidad de un Pirámide recta de base cuadrada ABCD. El segmento AC es diagonal de la base y recta de máxima pendiente del plano que la contiene. La altura del sólido es 90.

Page 106: Unidad 2 (Geometría Descriptiva)

Sólidos Ejercicio

Tetraedro en posición accidental

Unidad Nº 2Unidad Nº 2 Representación de SólidosRepresentación de Sólidos

Hallar las proyecciones de un Tetraedro regular ABCD, cuya base ABC se encuentra apoyada en un plano de proyectante vertical: A(78;12;35) C (49;41;59)