Unidad 2

MatricesMatrices

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )

Concepto de matriz.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij)mxn, con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n. Vamos a decir que la Matriz

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

mxnMA

Los siguientes son ejemplos de matrices de dimensión m x n.

2 3 41.) 1

12

3 8 9

2.) 2 5

6 7 8

103.)

7

4.) 3 4

2 X 33 X 3

2 X 11 X 2

5

Matriz filaMatriz fila::

Matriz columnaMatriz columna::

Matriz nulaMatriz nula::

Matriz opuesta deMatriz opuesta de

Dos matrices del mismo orden y Dos matrices del mismo orden y se dicen iguales, y se escribe si:se dicen iguales, y se escribe si:

todos sus elementos son todos sus elementos son 0..

6

Matriz cuadradaMatriz cuadrada de orden de orden n::

forman la diagonal principalforman la diagonal principal

Mismo número de filas Mismo número de filas que de columnasque de columnas

7

Matriz triangular superiorMatriz triangular superior

Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:

Matriz triangular inferiorMatriz triangular inferior

Ceros debajo de la diagonal principalCeros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principalCeros encima de la diagonal principal

8

Matriz diagonalMatriz diagonal Matriz IdentidadMatriz Identidad

Ceros fuera de la diagonal principalCeros fuera de la diagonal principal

Ceros fuera de la diagonal principal,Ceros fuera de la diagonal principal,unos en la diagonal principalunos en la diagonal principal Matriz escalarMatriz escalar

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Suma y diferencia de matricesSuma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Suma de matrices: ej de orden 3Suma de matrices: ej de orden 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

Propiedades de la adición de matricesPropiedades de la adición de matrices

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

Producto de una matriz por un escalar Producto de una matriz por un escalar

Propiedades:

i) k.(s.A) = (k.s).A

ii) (k+s).A=kA+s.A

iii) k.(A+B)=k.A+k.B

iv) 1 ε R : 1. A= A

Producto de matrices Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que

deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,

no se pueden multiplicar

Ejemplos:

Pij = aik · bkj con k=1,….n

¿Cuándo es posible el producto de matrices?¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)mxn . (bij)nxp =

Posible

filas

columnas

(cij)mxp

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Producto de matrices: Desarrollo

es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1

. b1j + ai2. b2j + ... + ain

. bnj =

El producto de la matriz

A = (a ij) =

a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

......

..........

......

......

......

n

kkjikba

1

Ejemplo: producto de matrices

2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?

(aij)2x3 . (bij)3x3 =

productoposible

(cij) 2x3

A · B =

2 1 –1

3 –2 0 .

1 2 0

1 0 –3

0 1 –2

=

3 3 –1

1 6 6

17

--Ejemplo.Ejemplo.--

--ATENCIÓN.ATENCIÓN.-- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

Propiedades del producto de matrices.Propiedades del producto de matrices.- -

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

4.-4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativoEl producto de matrices no es necesariamente conmutativo

18

se puede hacer este producto, perono se puede hacer

es una matriz

es una matriz

19

-OBSERVACIONES.--OBSERVACIONES.-

1.- 1.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.

2.- 2.- Puede ser con y .Puede ser con y .

3.-3.-

4.- 4.- no implica necesariamente .no implica necesariamente .

Trasposición de matricesTrasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedadesMatriz traspuesta: ejemplo y propiedades

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces A t =

1 4

2 5 3 6

22

Sólo para matrices cuadradasSólo para matrices cuadradas

A simétrica si y sólo si , es decir:

A antisimétrica si y sólo si , es decir:

¿Cómo son los elementos de la diagonal¿Cómo son los elementos de la diagonal principalprincipalde una matriz antisimétrica?de una matriz antisimétrica?

Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.

Propiedades de la matriz inversa

I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1

II. Si A es una matriz inversible y k 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1

III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A

IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I

V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en

caso contrario recibe el nombre de singular.

Inversa de una matriz, Matrices inversibles Inversa de una matriz, Matrices inversibles

Métodos de cálculo de la matriz inversaMétodos de cálculo de la matriz inversa

Directamente planteando sistemas de ecuaciones

Por el método de Gauss-Jordan

Observación:

Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

Inversa de una matriz (directamente)Inversa de una matriz (directamente)

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.

Y de aquí se deduce que:

Ejemplo: Dada A =

2 –1

1 1 para obtener A -1 =

x y

z t se ha de cumplir

2 –1

1 1 .

x y

z t =

1 0

0 1

2x – z 2y – t

x + z y + t =

1 0

0 1

2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1

x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3

Por tanto A-1 =

13

13

– 13

23

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A.