Unidad 2

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Unidad 2Problemas explicados

Unidad 2Problema 7 explicado7) La regin esfrica caracterizada por a < r < b tiene una carga por unidad de volumen ( = A/r, en donde A es una constante. En el centro de la cavidad interna (r = 0) hay una carga Q. Calcule el valor de A para que el campo elctrico en la regin a < r < b tenga una magnitud constante.

La superficie S1 es una un superficie esfrica matemtica de radio r < a en cuyo interior est la carga puntual Q ubicada exactamente en su centro. Aplicando la ley de Gauss, obtenemos la solucin que ya conocemos: El campo de una carga puntual est dado por la ley de Coulomb.La superficie S2 es una un superficie esfrica matemtica de radio r tal que a < r < b en cuyo interior est la carga puntual Q ubicada exactamente en su centro. Esta superficie cerrada contiene parte de la carga de la regin esfrica., dependiendo del volumen abarcado. Si aplicamos la ley de Gauss, obtenemos:

En todos los puntos de S2 el campo elctrico es perpendicular a la superficie y tiene el mismo mdulo ya que es funcin slo de r y su direccin es radial. Es decir, para la simetra esfrica de esta distribucin se cumple que:

En general, para una distribucin cualquiera el campo elctrico expresado en coordenadas esfricas sera:

Pero en el caso de una distribucin con simetra esfrica las componentes E( y E( deben ser nulas. Supongamos que en un punto de S2 el campo no fuera radial. En este caso tendra una componente tangencial a la superficie esfrica. Esto se podra deber a que la regin A contiene ms carga que la regin B. Dicho de otro modo, un campo como el que se muestra en la figura nos permitira distinguir, por asimetra, las dos mitades A y B de la distribucin esfrica. Pero si la distribucin esfrica tiene simetra esfrica, esto es absurdo. Conclusin: El vector tiene que tener direccin radial. Pero adems de tener direccin radial, esta nica componente del campo slo puede ser funcin de la coordenada radial r y debe ser independiente de cualquiera de las coordenadas angulares. Si el campo dependiera de alguna de las coordenadas angulares su mdulo sera distinto en distintos puntos de la esfera. Esto nos permitira diferenciar entre los puntos U, V y W de la esfera y eso slo podra ocurrir si la simetra de la distribucin no fuera esfrica. Conclusin: El campo slo es funcin de la coordenada r.Volvamos a la ley de Gauss

Ya que la densidad de carga slo es funcin de r y esto le da simetra esfrica a la distribucin podemos simplificar la integral de volumen que en general debe ser una integral triple y convertirla en una integral simple de una sola variable. La integral de volumen, en general, habra que plantearla as: pero como en nuestro caso la densidad de carga slo es funcin de r (en esto consiste que la distribucin tenga simetra esfrica), entonces:

Volviendo a la ley de Gauss:

Dado que el campo y el diferencial de superficie son vectores paralelos, su producto escalar es igual al producto de sus mdulos. Adems como el campo tiene el mismo mdulo en todos los puntos de la superficie S2 podemos considerarlo constante en la integral de superficie y sacarlo fuera del integrando. Por otra parte la integral de superficie que queda, no es otra cosa que el valor de la superficie de una esfera de radio r. Por ltimo para determinar la expresin del campo slo falta pasar dicha superficie dividiendo y volver a asignarle el carcter vectorial:

La expresin hallada corresponde al campo elctrico en la regin a < r < b. En la regin r < a el campo corresponde solamente al producido por la carga puntual Q. En la regin r > b corresponde a una carga esfrica cuyo valor ser Q ms el valor de toda la carga contenida en la regin a < r < b.Cul debe ser el valor de la constante A para que el mdulo del sea constante en la regin a < r < b? Es decir en dicha regin el campo no debe ser funcin de r. Inspeccionando la expresin hallada, es fcil ver que para que ello ocurra el primer trmino dentro del parntesis debe ser nulo, y por lo tanto: De aqu obtenemos la expresin para A que es la solucin del problema:

Para pensar1) Cul es el valor de la carga total en la regin a < r < b?2) Cul es la expresin del campo en la regin r < a? Cunto vale el mdulo del campo elctrico en r = a?3) Cul es la expresin del campo en la regin r > b? Cunto vale el mdulo del campo elctrico en r = b?

4) Realizar un grfico que represente Er en funcin de r desde r = 0 hasta r ((5) La funcin Er = f(r), es continua o discontinua?Problema 8 unidad 2 explicado

8)El flujo del campo elctrico se puede interpretar como el nmero de lneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Por definicin utilizaremos la siguiente equivalencia:

Consideremos una carga puntual positiva q.

a) Demostrar que el nmero de lneas que atraviesan una superficie esfrica de radio r centrada en q es igual a q/(0b) Qu valor debe tener q para que salgan de ella 1000 lneas?

c) Cunto vale el flujo de E a travs de una superficie esfrica centrada en q de radio r = 10 metros?

a) Por la ley de Gauss, sabemos que el flujo del campo elctrico en una superficie cerrada es proporcional al valor de la carga encerrada dentro de dicha superficie. Es decir la carga neta que se encuentra en el volumen limitado por la superficie cerrada:

En este caso, por tratarse de una carga puntual:

Si la superficie gaussiana se elige de manera que sea una esfera de radio r en cuyo centro se ubica la carga q puntual, entonces el campo tendr el mismo mdulo en todos los puntos de dicha superficie.

Adems la direccin del campo es radial y su sentido hacia fuera (si suponemos que la carga q es positiva). El elemento infinitesimal de superficie se representa por medio de un vector normal a la superficie y con sentido hacia el exterior. Cuando la superficie es cerrada hay un nico sentido posible para el vector para cada punto.

Entonces el flujo se puede expresar as:

En esta expresin es la superficie de la esfera.

Entonces si multiplicamos el mdulo del campo elctrico a una distancia r de la carga puntual por el rea de una esfera de radio r centrada en la carga q, obtenemos el flujo del campo elctrico. Como el campo se expresa en N/C pero, convencionalmente, hemos adoptado que esto es lo mismo que lneas/m2, y lo multiplicamos por el rea expresada en m2, lo que obtenemos al calcular el flujo es nmero de lneas.

Como , entonces el nmero de lneas que surgen de la carga q es igual a

b) Adoptando convencionalmente que , para que de una carga emerjan 1000 lneas es necesario que tenga un valor que se puede obtener de . Es decir

c) El clculo del flujo que hemos realizado en el tem (a), nos muestra que dicho flujo es independiente del radio de la esfera. En efecto:

Esto es as, ya que segn la ley de Coulomb el campo de una carga puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r. Mientras que la superficie de una esfera centrada en q es directamente proporcional al cuadrado de la distancia r. Es decir:

En este clculo podemos apreciar la razn prctica por la cual se acostumbra escribir la constante de la ley de Coulomb en la forma . Adems vemos que para que la ley de Gauss sea vlida, el exponente de la distancia r en la ley de Coulomb debe ser necesariamente 2.

Por otra parte, si interpretamos al flujo como el nmero de lneas que atraviesa la superficie, es fcil ver que ese nmero no puede depender del radio de la esfera. Si de la carga q salen 1000 lneas que se dirigen hacia el infinito, cualquier esfera de radio arbitrario ser atravesada por esas 1000 lneas.

Si la esfera no est centrada en la carga q, tambin ser atravesada por esas 1000 lneas. Por lo tanto el flujo del campo elctrico ser el mismo a travs de una esfera que encierre a la carga q aunque dicha carga no est ubicada en su centro.

Si la superficie gaussiana (Cerrada) no tiene forma esfrica, si no cualquier otra forma arbitraria y la carga q est en cualquier punto interior, el nmero de lneas que atraviese a la SC ser el mismo. El flujo del campo elctrico es independiente del tamao y de la forma de dicha superficie.

Unidad 2 Problema 12 explicado

"Un globo esfrico tiene una carga Q constante distribuida sobre su superficie. A medida que se infla el globo, Cmo vara el campo elctrico en el interior, exterior y sobre la superficie del globo?"a) El campo en el interior del globo es nulo. Si tomamos cualquier superficie gaussiana interior al globo (no tiene que ser esfrica) la carga encerrada es cero, por lo tanto segn la ley de Gauss el flujo de E a travs de dicha superficie es nulo. Es decir dicha superficie no es atravesada por lneas de campo y eso es porque no hay campo.

As que aunque el radio del globo aumente, el campo seguir siendo cero. Es decir, en el interior del globo el campo elctrico es nulo y se mantiene nulo mientras el globo se infla.

b) En el exterior, es decir para cualquier r > Rglobo, el campo es igual al campo de una carga puntual ya que la distribucin tiene simetra esfrica. El campo es directamente proporcional a la carga Q e inversamente proporcional a la distancia al cuadrado r2, desde el centro del globo hasta el punto campo. Es decir, es independiente del radio del globo, por lo tanto mientras el globo se infla el campo en un punto exterior a una distancia r > Rglobo se mantiene constante aunque Rglobo vare.

c) El campo en un punto de la superficie del globo es igual al campo de una carga puntual a una distancia r = Rglobo del centro. Como la carga se mantiene constante y ahora r2 aumenta mientras se infla el globo, entonces E en la superficie disminuye. Otra forma de ver esto es la siguiente:

. Mientras el globo se infla la densidad superficial de carga ( disminuye y por lo tanto E disminuye.En el 1er parcial del 1er cuatrimestre del 2011, tom un problema que es una varianteva el enunciado y una explicacin resumida..

3) Un globo esfrico tiene una carga Q constante distribuida sobre su superficie exterior. A medida que se infla el globo

a) el campo elctrico sobre la superficie exterior del globo, aumenta, disminuye o permanece constante?

b) el potencial elctrico, respecto a (, en el centro del globo, aumenta, disminuye o permanece constante?

3) a) El campo de una esfera cargada para puntos exteriores a la esfera, r ( Rglobo, es igual al campo de una carga puntual. Entonces en la superficie exterior, r = Rglobo, el mdulo del campo es . A medida que el globo se infla, Rglobo aumenta y por lo tanto E disminuye.

b) El potencial de una esfera cargada para puntos exteriores a la esfera, r ( Rglobo, es igual al potencial de una carga puntual, , considerando que para r ( (, V( 0. Como el campo en el interior del globo es nulo, el potencial es constante. Es decir, el potencial tienen el mismo valor en la superficie del globo y en todos los puntos interiores incluyendo, por supuesto al centro, r = 0. Entonces el potencial en el centro del globo es . A medida que el globo se infla, Rglobo aumenta y por lo tanto V disminuye.

Esta respuesta al tem b, me condujo a otra pregunta, como debera suceder siempre en la cienciaSi el potencial es el trabajo por unidad de carga que hay que realizar para traer a una carga de prueba desde el infinito hasta el centro del globo por qu cuesta menos trabajo traer una carga si el globo est ms inflado?

Es decir, el globo tiene una carga Q y tiene un radio R1. Para traer a una carga qo desde el hasta r = 0, hay que hacer un trabajo .

Si el globo se infla y pasa a tener un radio mayor R2 > R1, entonces hay que realizar un trabajo menor!

Para pensar!

Es posible en algunos casos que el flujo sea cero pero sin embargo el campo no sea cero?

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