UNIDAD 2

Segunda Parte

Medidas de Dispersión o de Variabilidad

Asimetría y Curtosis

Puntajes Típicos

Escalas Derivadas

Rango Percentilar

Baremo

Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores observado.

𝑅 = 𝑋𝑚Á𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

Representa la distancia entre el mayor y el menor valor observado. Como

involucra el concepto de distancia es para nivel intervalar o proporcional.

La principal desventaja es que es muy sensible a los valores extremos y

nada a los intermedios.

Otro inconveniente es que está ligado al tamaño de la muestra utilizada. Es

probable que las muestras de mayor tamaño presente mayor amplitud aunque las

poblaciones de referencia tengan igual variabilidad.

Ejemplos:

A: 3,5,5,6,7,8,9 𝑅 = 6

B: 3,5,5,6,7,8,15 𝑅 =12

C: 3,9,9,9,9,9,15 𝑅 =12

La Amplitud (o rango) Intercuartílica/o es la distancia entre los cuartiles tercero y primero.

AIQ = 𝑄3 − 𝑄1

Tiene ventaja sobre el recorrido porque deja de lado los valores extremos, aquellos que

pertenecen al veinticinco por ciento más bajo o al veinticinco por ciento más alto de la

distribución, por lo que resulta más estable en el muestreo.

También se utiliza la amplitud (o rango) semi-intercuartílica o semi-recorrido intercuartilar

Es la semi-distancia entre los cuartiles tercero y primero: 𝑆𝑅𝐼𝐶 = (𝑄3 − 𝑄1)/2.

Es indistinto utilizar una u otra, ya que dan información equivalente; dividir por 2 no es

relevante pero es tradicional porque así la introdujo Galton.

En el esquema de la izquierda la distancia semi-intercuartílica es mayor que

en el de la derecha lo que se debe al hecho de que hay mayor variabilidad.

𝑄3 𝑄1 𝑄2

𝑄2 𝑄1 𝑄3 − 𝑄1 𝑄3

𝑄3 − 𝑄1

Es el promedio del cuadrado de las distancias de los valores a la media. Se

simboliza con 𝑠𝑋2 𝑠𝑋

2= (𝑥𝑖−𝑥 )

2

𝑛−1𝑛𝑖=1 *

La razón por la que se divide por 𝑛 −1 es que la expresión resultante tiene

mejores propiedades estadísticas que si se divide por 𝑛.

La varianza permite comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de

valores en una misma variable en un nivel intervalar.

Notar que (𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − 𝑥 ) = 0 ¿Por qué?

* Algunos autores la llaman cuasivarianza o peudovarianza.

Ejemplo

Sean los siguientes conjuntos de puntuaciones

𝑠𝑥2= (𝑥𝑖−𝑥 )

2 𝑛𝑖=1 / (𝑛 −1)

E: 1,2,5,9,13 𝑥 𝐸= 6

F: 4,5,6,7,8 𝑥 𝐹= 6

Para el conjunto E la varianza resulta

𝑠𝑥2= (−5)2+(−4)2+(−1)2+(3)2+(7)2 / 4 =

100

4= 25

Para el conjunto F la varianza resulta

𝑠𝑥2= (−2)2+(−1)2+(0)2+(1)2+(2)2 / 4 =

10

4= 2,5

Por lo que la serie E presenta mayor variabilidad en las puntuaciones que el

conjunto F, es decir, el conjunto de puntuaciones E, es más heterogéneo.

1- La varianza es un valor no negativo.

2- La varianza de una constante es cero: V(k)=0.

3- Si se suma una constante a un conjunto de puntuaciones, la varianza no

se modifica. Es decir:

Si 𝑦𝑖= 𝑥𝑖 + 𝑘

entonces 𝑠𝑌2= 𝑠𝑋2

4- Si se multiplica por una constante a un conjunto de puntuaciones, la

varianza de las nuevas puntuaciones es igual al producto de las originales

por el cuadrado de la constante. Es decir:

Si 𝑦𝑖= 𝑘 𝑥𝑖

entonces 𝑠𝑌2= 𝑘2 𝑠𝑋

2

En el ejemplo anterior, se ve a simple vista que el conjunto E es más variable que el F y esto

se refleja en la varianza. Sin embargo la diferencia entre los valores 25 y 2,5 parece muy exagerada;

no se ve que E sea 10 veces más variable que F. Esa “distorsión” se debe al efecto del cuadrado, ya

que la va varianza está en los cuadrados de las unidades de la variable. Por ejemplo, si la variable

se mide en metros, la varianza se mide en metros al cuadrado. Para corregir esta distorsión y tener

una medida de dispersión en las mismas unidades de la variable, a la varianza se le saca la raíz

cuadrada y se obtiene la desviación estándar o típica (o desvío típico):

=𝑠𝑋 𝑠𝑋2= (𝑥𝑖−𝑥 )

2 𝑛𝑖=1 /(n−1)

Para el conjunto E la desviación estándar es 20 ≅ 4,47

Para el conjunto F la desviación estándar es 2 ≅ 1,44

Estos valores sí parecen dar cuenta de la “separación promedio” con menos distorsión que

en la varianza.

Propiedades de la desviación típica

1- Es un valor no negativo

2- Si 𝑦𝑖= 𝑥𝑖 + 𝑘 entonces 𝑠𝑌 = 𝑠𝑋 3- Si 𝑦𝑖= 𝑘 𝑥𝑖 entonces 𝑠𝑌 = |𝑘| 𝑠𝑋

Se define como 𝐶𝑉𝑋= 𝑠𝑋𝑥 100

Por tanto, expresa la desviación estándar relativa a la media en porcentaje.

Este coeficiente permite comparar la variabilidad de grupos cuando las variables están

en un nivel proporcional.

Puede considerarse como un índice de representatividad de la media. Cuanto mayor

es el coeficiente de variación menos representativa es la media.

Este coeficiente no tiene significación en un nivel intervalar porque si el cero no es

absoluto, se puede hacer una transformación sumándole a todos los valores de X una

constante. Entonces la media quedaría incrementada en esa constante pero la

desviación estándar seguiría siendo la misma, con lo que el CV se alteraría y, por

tanto, no tendría sentido interpretarlo ya que variaría con las distintas escalas.

Por ejemplo: Supongamos que se mide la temperatura y se obtienen los datos: xi : 15 – 20 – 25 entonces 𝑥 = 20, sx = 5; por lo que CVX = 25%, es decir, que la desviación estándar represente una cuarta parte, un 25% de la media.

Pero como el cero de esta escala es arbitrario, los mismos tres valores podrían haber sido, por ejemplo, 115 - 120 – 125 (equivale a haber ubicado el origen de la escala 100 unidades más abajo). En ese caso la media es 120 pero la desviación estándar es la misma (recordar las propiedades cuando se suma una constante). Por tanto, el CVX = (5/120)x100 = 4,17%. Vemos que se altera totalmente la relación entre la desviación estándar y la media al hacer un cambio admisible en la escala intervalar. Entonces no tiene sentido interpretar este coeficiente porque varía con la escala.

Si, en cambio, los valores corresponden a un nivel proporcional, las únicas transformaciones válidas son las que multiplican por una constante. Como la desviación estándar y la media quedan multiplicadas por la misma constante, ésta se simplifica al hacer el cociente y el CV no se altera. Ésa es la razón por la que este coeficiente solamente tiene sentido en el nivel proporcional, porque es invariante ante las distintas transformaciones admisibles en el nivel de razón.

Ejemplo:

Sea X la variable peso, por ser medida sobre cien bebés recién nacidos y sobre cien

adultos. Se dispone de los resúmenes estadísticos para ambos grupos, los cuales se

exhiben a continuación:

Bebés Adultos

𝑥 𝐵 = 3 𝑘𝑔 𝑥 𝐴 = 60 𝑘𝑔

𝑠𝑋 𝐵 2 = 0,25 𝑘𝑔2 𝑠𝑥 𝐴

2 = 1𝑘𝑔2

𝑠𝑋𝐵 = 0,5 𝑘𝑔 𝑠𝑋𝐴 = 1𝑘𝑔

𝐶𝑉𝐵 = 3 𝑘𝑔

0,25 𝑘𝑔∗ 100 ≅ 8,3 % 𝐶𝑉𝐴 =

1 𝑘𝑔

60 𝑘𝑔∗ 100 ≅ 1,6 %

A pesar que de que la desviación típica para los bebés es menor que para los adultos

(0,5 kg < 1 kg), se observa que la variación del peso de los bebés de 0,5 kg en relación

a un peso medio de 3kg es mucho más significativa que la variación del peso de los

adultos de 1 kg sobre un peso medio de 60 kg. Esta situación es puesta de manifiesto

por el coeficiente de variación, pues 𝐶𝑉𝐵 > 𝐶𝑉𝐴 ( 8,3% > 1,6%).

Para variables cualitativas/cuasi-cuantitativas el concepto de variabilidad está

vinculado a la noción de concentración-dispersión.

La entropía cuantifica el nivel de incertidumbre acerca de la clase a la que

pertenece el dato y se calcula mediante la siguiente expresión:

𝐻 = − 𝑓𝑖 ∗ 𝑙𝑜𝑔 𝑓𝑖

A mayor entropía, mayor dispersión de los datos y mayor incertidumbre.

La entropía aumenta en la medida en que más equitativamente se distribuyen las

frecuencias entre las clases y con el número de clases.

Ejemplo:

Si hubiera que arriesgarse a adivinar qué color eligió cualquiera de los sujetos para

representar la palabra paz en la serie de datos siguientes diríamos blanco, tanto

para la serie 1 como para la 2, ya que fue el más elegido, pero tenemos más

certidumbre en la predicción en la serie 1 que en la 2.

Color blanco verde amarillo celeste rosa

Serie 1: Nro. de sujetos 16 8 5 7 4

Serie 2: Nro. de sujetos 10 8 6 9 7

¿Pero qué contestaríamos si la distribución de datos fuera como se muestra a

continuación?

Color blanco verde amarillo celeste rosa

Serie 3: Nro. de sujetos 8 8 8 8 8

CONCLUSIÓN

La entropía va en aumento Hserie 1 < Hserie 2 < Hserie 3 , siendo la serie 3 de

datos la que posee mayor entropía ya que todos los valores se reparten con la misma

frecuencia.

Esto puede comprobarse mediante el cálculo de la entropía según la fórmula

presentada.

Color f´ - f´log f´

Serie 1

f´

- f´log f´

Serie 2

f´

- f´log f´

Serie 3

BLANCO 0,4 0,1592 0,25 0,1551 0,5 0,1505

VERDE 0,5 0,1505 0,5 0,1505 0,5 0,1505

AMARILLO 0,125 0,1129 0,15 0,1236 0,5 0,1505

CELESTE 0,175 0,1325 0,225 0,1458 0,5 0,1505

ROSA 0,1 0,1 0,175 0,1325 0,5 0,1505

H = 0,6551 H = 0,7075 H = 0,7525

El grado de asimetría de una distribución hace referencia al grado en que los

datos se reparten equilibradamente por encima y por debajo de la tendencia central.

Ejemplo:

Las siguientes distribuciones de frecuencias representan las notas de un examen

fácil (A) medio (B) y difícil (C).

𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 1 2 3 6 8 12 16 22 15 10 5

B 2 5 8 10 15 20 15 10 8 5 2

C 5 10 15 22 16 12 8 6 3 2 1 𝑋 𝑋 𝑋

𝑀𝑜 𝑀𝑜 𝑀𝑜

𝐴 𝐵 𝐶

𝑀𝑑𝑛 𝑀𝑑𝑛

ÍNDICES DE ASIMETRÍA

𝐴𝑆= (𝑥𝑖 − 𝑥 )

3∗ 𝑓𝑖

n 𝑆𝑋3

𝑛

𝑖=1

𝐴𝑆= 𝑧𝑖3 ∗ 𝑓𝑖𝑛

𝑛

𝑖=1

Índice de asimetría de

Pearson

A 𝐴𝑆= -0,5449

B 𝐴𝑆= 0

C 𝐴𝑆= 0,5449

𝐴𝑆 = (𝑄3−𝑄2) − (𝑄2−𝑄1) / (𝑄3−𝑄1)

Índice de asimetría intercuartílico.

Está comprendido entre -1 y 1 con lo

que se facilita su interpretación.

Este índice sólo se puede

calcular en

distribuciones unimodales

𝐴𝑆 = (𝑥 − 𝑀𝑜)/𝑠𝑋

Es un gráfico útil para visualizar la simetría o tipo de asimetría de la distribución, además de

detectar datos atípicos (outliers). Muestra sobre el eje vertical los valores de la variable y muestra

una “caja” delimitada por los cuartiles primero y tercero. También se muestra la mediana (cuartil

segundo) y la media. Las líneas que se extienden hacia los valores extremos muestran el recorrido

de la variable, así como la distribución de las observaciones y su simetría.

8=P95

Max=10

Min=0

5=Q3

3=Mdn 𝑋 =3,72

25% extremo superior

25% extremo inferior

50% central

Concentración de Colesterol en sangre de 30 mujeres

Cumulative

Value Freq Percent Freq Percent

112 1 3.3 1 3.3

121 1 3.3 2 6.7

137 1 3.3 3 10.0

140 1 3.3 4 13.3

159 1 3.3 5 16.7

173 1 3.3 6 20.0

177 1 3.3 7 23.3

181 1 3.3 8 26.7

182 1 3.3 9 30.0

189 2 6.7 11 36.7

190 1 3.3 12 40.0

191 1 3.3 13 43.3

196 1 3.3 14 46.7

197 1 3.3 15 50.0

201 1 3.3 16 53.3

214 1 3.3 17 56.7

223 1 3.3 18 60.0

224 1 3.3 19 63.3

225 1 3.3 20 66.7

228 1 3.3 21 70.0

241 1 3.3 22 73.3

249 1 3.3 23 76.7

257 1 3.3 24 80.0

259 1 3.3 25 83.3

261 1 3.3 26 86.7

262 1 3.3 27 90.0

337 1 3.3 28 93.3

339 1 3.3 29 96.7

356 1 3.3 30 100.0

Total 30 100.0

Mediana:199

Q1

Q3

La mitad tiene menos de199 y la otra mitad más.

P50 = 199

A lo sumo 25% tienen menos de 181 y a lo sumo 75%

más de 181.

P25 = 181

A lo sumo 75% tienen menos de 249 y 25% más.

P75 = 249

112

Q1=181

Q2=199

Q3=249

339

249-181= 68

1.5 x 68 = 102

1.5 x 68 = 102

BOX AND WHISKER PLOT

Expresa el grado de apuntamiento de la curva que representa a la distribución de

frecuencias. Mayor curtosis significa mayor apuntamiento.

𝐶𝑟 = 𝑥𝑖−𝑥

4∗𝑓𝑖

n 𝑠𝑋4 − 3 𝑛

𝑖=1 = 𝑍𝑖4∗𝑓𝑖

n − 3𝑛

𝑖=1

𝐶𝑟 > 0 LEPTOCÚRTICA 𝐶𝑟= 0 MESOCÚRTICA 𝐶𝑟 < 0 PLATICÚRTICA

Las puntuaciones típicas zi ubican la posición de un sujeto i en relación a un

grupo de referencia. Partiendo del puntaje bruto o directo 𝑥𝑖 se puede definir

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥 la puntuación diferencial.

Indica a cuántas unidades por encima o por debajo de la media se encuentra un

puntaje directo 𝑥𝑖, sin que tengamos información acerca de la variabilidad de las

observaciones 𝑥𝑖 .

A los puntajes brutos x se los puede estandarizar o tipificar a través de la

siguiente transformación, por la que se obtiene la puntuación típica o puntaje

típico z que se define como

𝑧𝑖 = 𝑥𝑖−𝑥

𝑠𝑋 para una muestra o bien como

𝑧𝑖 = 𝑥𝑖−𝜇

𝜎 para una población,

La puntuación típica 𝑧𝑖 indica a cuántas desviaciones estándar por encima o por

debajo de la media está el puntaje 𝑥𝑖; de este modo se estandariza el alejamiento

que tiene una observación particular con respecto a la media, por lo cual se dice que

se ha expresado la posición de un sujeto relativa al grupo de pertenencia, en

términos de desviaciones estándar. Es tomar como unidad de medida la desviación

estándar.

En base a las propiedades mencionadas para la media y la varianza de una variable

X en secciones anteriores se puede deducir que la puntuación típica Z tiene media

igual a cero y varianza y desviación estándar iguales a uno.

Las puntuaciones típicas permiten hacer comparaciones, llevando los resultados a

una escala común. Son útiles en los siguientes casos:

- Hacer comparaciones entre unidades de distintos grupos; es decir, comparar Z de

distintas observaciones de un mismo sujeto o de sujetos diferentes.

- Hacer comparaciones entre variables medidas en distintas unidades (p.ej. metros y

centimetros) o de diferente naturaleza (como peso y estatura), ya que los puntajes Z

son adimensionales.

Comparación entre distintas variables

Ejemplo:

Malena obtuvo 13 puntos en una prueba de razonamiento lógico (RL), 12

puntos en una de razonamiento verbal (RV) y 10 puntos en una de memoria

visual (MV). Se sabe que las medias y desviaciones típicas de los puntajes

de cada prueba son (12,2), (14,2) y (8,1) respectivamente. ¿En qué prueba

tuvo el peor rendimiento relativo?

ZRL = (13-12)/2 = 0,5

ZRV = (12-14)/2 = -1

ZMV = (10-8)/1 = 2

ZRV ZRL ZMV

------|----------|-----|---------------|--

-1 0 0,5 2

El peor desempeño lo tuvo en razonamiento verbal, pues su puntaje típico es el

más alejado por debajo de la media.

Las puntuaciones típicas tienen indudables ventajas pero el inconveniente

de que algunas son negativas y casi todas tienen decimales. Por esta razón se

han buscado otras puntuaciones que permitan resolver estas dificultades.

Algunos puntajes derivados a partir del puntaje Z son:

Puntaje T definido por la transformación afín: T = 50 + 10. Z

La media es 50 y la desviación típica es 10. La ventaja que ofrece es la de

trabajar con números no negativos y redondear las cifras decimales.

Puntaje CI (cociente intelectual) con media 100 y desviación típica 15, definido

por la transformación afín: CI = 100 + 15. Z

Existe una equivalencia entre las puntuaciones en las escalas derivadas

X 𝑥 -3s 𝑥 -2s 𝑥 - s 𝑥 𝑥 + s 𝑥 +2s 𝑥 +3s

Z -3 -2 -1 0 1 2 3

|-----------|-------------|------------|-------------|--------------|--------------|

T 20 30 40 50 60 70 80

|-----------|-------------|------------|-------------|--------------|--------------|

CI 55 70 85 100 115 130 145

|-----------|-------------|------------|-------------|--------------|--------------|

Indica la posición relativa de un sujeto según el porcentaje de las puntuaciones

del grupo de pertenencia que se encuentran debajo de su puntuación.

Muestra la posición del sujeto en el grupo según el porcentaje de puntuaciones

que supera.

Ejemplo: un sujeto con rango percentilar 70 es el que obtuvo una puntuación que

supera al 70% de las puntuaciones de sus pares y que es superado por el 30%

de los casos.

Para su obtención es necesario conocer la distribución de la variable.

Es una tabla de valores transformados que permiten ubicar a un sujeto en relación a su grupo de

referencia.

Ejemplo

xi fi Fi F’i

20-29 0 0 0,00

30-39 10 10 0,03

40-49 30 40 0,13

50-59 50 90 0,29

60-69 70 160 0,52

70-79 90 250 0,81

80-89 40 290 0,94

90-99 10 300 0,97

100-109 5 305 0,98

110-119 5 310 1,00

Total 310

Se presenta una distribución de frecuencias para los

puntajes obtenidos en una prueba psicológica administrada a

310 personas. Con los datos agrupados se construye la ojiva

de Galton y a través de interpolaciones se obtienen los

percentiles (y por consiguiente los rangos percentilares)

correspondientes a estas puntuaciones brutas que permiten

establecer la correspondencia entre percentiles y puntajes

brutos como se muestra en la tabla.

Tabla 1

Percentil xi

10 47,0

20 54,4

30 60,4

40 64,9

50 69,3

60 72,9

70 76,3

80 79,8

90 87,3

También se pueden asignar a las

puntuaciones brutas las puntuaciones

típicas correspondientes como se

muestra en la Tabla 2.

Con esta información (Tabla 1)

sabemos que si una persona obtuvo 60

puntos tiene un puntaje bajo dado que

no supera el 30 por ciento del grupo,

mientras que si alguien obtuvo 77

puntos tiene un puntaje alto ya que

supera por lo menos a un 70 por ciento

de las observaciones.

Tabla 2

xi Puntaje z

20-29 - 2,8

30-39 - 2,1

40-49 - 1,5

50-59 - 0,9

60-69 - 0,2

70-79 0,4

80-89 1,1

90-99 1,7

100-109 2,3

110-119 3,0

Tanto la Tabla 1 como la Tabla 2 constituyen baremos, ya que posibilitan decidir cómo se

posiciona un sujeto dado con respecto a su grupo de referencia, ya sea a partir de los

percentiles o bien de los puntajes típicos. El baremo provee la transformación de puntajes

absolutos en puntajes relativos.