Unidad 3

Cálculo integralUnidad 3. Métodos de integración

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Presentación de la unidad

Durante el estudio de la unidad 1 se abordó el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar una función si se conoce su antiderivada, o su integral definida. También se ejercitó la habilidad para resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en esta unidad se presentan las diferentes técnicas y métodos para resolver integrales.

Entre los métodos están la integración por partes, integración usando funciones trigonométricas, integración por sustitución trigonométrica, y la integración de un cociente mediante la descomposición de fracciones parciales entre sus diferentes casos. También se muestra cómo abordar cierto tipo de integrales mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso se revisarán las integrales impropias, en donde se extenderá el concepto de integral definida al caso donde el intervalo es infinito; así como el caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo [a,b].

Propósitos de la unidad

Durante esta unidad incrementarás tu competencia para resolver integrales mediante diferentes métodos y reglas de integración y desarrollarás tu habilidad de escoger métodos apropiados para resolver integrales. También, identificarás integrales que requieran el uso de tablas de integrales para su resolución

Competencia específica

Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica.

3.1. Integración por partes

Se comenzará esta unidad revisando el método de integración por partes. Dicho método es una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Se mostrará también el proceso de integración cuando se tienen funciones expresadas como raíces cuadradas.

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 1



3.1.1. Integrales por partes

Actividad 1. Métodos de integración

En esta primera actividad, tu participación la realizarás en un foro. Sigue las indicaciones que se te presentan a continuación:

1. Investiga por tu cuenta:




Además de los estudiados hasta ahora, ¿qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?

2. Comparte tu respuesta con tus compañeros(as) mediante un nuevo comentario en el foro.

Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as) al comentar sus participaciones. Tu Facilitador(a) retroalimentará las participaciones.

3. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes

3.1.2. Sustitución para racionalizar




3.2. Integrales trigonométricas

En este tema se revisarán las integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ello, se conocerán y aplicarán algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas.

3.2.1. Integrales trigonométricas

Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas.

La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada, en una integral más accesible, que permita realizar el proceso de integración de forma práctica.




3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos




3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes

Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas




3.2.4. Sustitución trigonométrica

3.2.4. Sustitución trigonométrica




Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales




3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite




3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido

Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales

Debido a que la integración ofrece más retos que la diferenciación, se explicarán algunos puntos que debes considerar cuando trates de resolver integrales.

Es de mucha ayuda tener tablas de integrales, es muy aconsejable tratar de memorizarlas, o por lo menos las fórmulas básicas de integración

3.4.1. Tablas de fórmulas integrales




Para resolver integrales, es necesario utilizar varias fórmulas dependiendo de lo que se solicite en cada caso; con la intención de facilitar las cosas, se te presenta a continuación una tabla, incluye las fórmulas de integrales que utilizarás con más frecuencia.

Da clic para descargar el documento Fórmulas de integración.

Actividad 6. Fórmulas de integración

Con el objeto de reflexionar sobre el tema de las fórmulas de integración, durante esta actividad participarás en un foro. Realiza lo que se te pide a continuación.

De manera individual y previo al foro:

1. Investiga las fórmulas de integración que puedan ser útiles para resolver integrales (además de las que ya se te proporcionaron).

2. Reflexiona sobre las posibilidades de aplicación de las fórmulas (tanto de las que hayas investigado como las que se te proporcionaron previamente) y elige tres que consideres más relevantes o interesantes.

Posteriormente:

3. Comparte las fórmulas elegidas con tus compañeros(as) mediante el foro de discusión y explica por qué las has seleccionado.

4. Consulta las participaciones de tus compañeros(as) y comenta sus aportaciones. Tu Facilitador(a) retroalimentará las participaciones.

5. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.4.2. Estrategias para integrar

Es importante conocer varias técnicas de integración, y contar con una estrategia para enfrentar las integrales. Así, para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:




Actividad 7. Resolución de integrales

3.5. Integrales impropias

La integral impropia está definida por dos casos:

• Intervalo infinito.

• Discontinuidad infinita en [a, b]

Durante este tema se estudiarán ambos casos.

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos




3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos





Has llegado al final de la unidad y es momento de que demuestres lo que has aprendido. Para ello:

1. Descarga el siguiente documento y realiza lo que en él se te solicita.

Da clic para descargar el documento.

2. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de aprendizaje.

Da clic para descargar la Escala de evaluación.

3. Guarda tu trabajo con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias para que lo revise y te retroalimente.

* Es importante que atiendas las observaciones de tu Facilitador(a), y de ser necesario incorpores las sugerencias a tu evidencia de aprendizaje para volverla a enviar.

Al terminar tu evidencia:

Ingresa al foro Preguntas de Autorreflexión y consulta las preguntas que tu Facilitador(a) presente para esta unidad; a partir de ellas, debes elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado CIN_U3_ATR_XXYZ.

Envía tu archivo mediante la herramienta Autorreflexiones.

Cierre de la unidad

En esta unidad aprendiste que dentro de los métodos de integración trigonométrica existen algunas técnicas de integración que te servirán para resolver integrales trigonométricas que contienen senos, cosenos, tangentes y secantes; otros más, te ayudarán a realizar sustituciones trigonométricas en el cálculo de integrales, así como en los diferentes casos donde el método se use para integrar funciones racionales mediante fracciones parciales.

Recuerda estudiar de manera constante, ya que el desarrollo de estas habilidades matemáticas es necesario para la resolución de problemas de cálculo en áreas afines como Telemática, Desarrollo de Software, Biotecnología, Energías renovables, entre otras.




Ahora es momento de que resuelvas tu Examen final (disponible en el Aula, junto a las pestañas de las unidades) que es parte de la calificación global de la asignatura.

¡Continúa esforzándote!

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.

Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.


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