Unidad 3 Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

UNIDAD III

18 horas

Ecuaciones e inecuaciones lineales Objetivo: El estudiante resolver problemas contextualizados en los cuales se apliquen ecuaciones lineales con una incgnita, sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 y 3 x 3, mediante mtodos algebraicos y su interpretacin grfica en un ambiente de respeto y tolerancia. Introduccin Numerosas situaciones problemticas pueden ser planteadas y resueltas a travs de ecuaciones e inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones temas referidos en esta unidad que son enriquecidos con ejemplos y ejercicios en situaciones reales. Se enfatizando la visualizacin grfica de las soluciones. Las matemticas son como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo

Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales

3.1 ECUACIONES, INECUACIONES Y CONTEXTO Las ecuaciones se aplican en la representacin simblica de modelos matemticos que pueden anticipar realidades en diferentes ciencias, tales como qumica, fsica, biologa, etc., as como, en la vida diaria. Es importante entender la asociacin modelo mate-mtico-realidad y observar que cada problema o situacin conduce a mode-los especficos.

Un ejemplo clsico de modelo matemtico: Ley de enfriamiento de Newton Ecuacin que modela: T = A + (T0 A)e-kt Donde: T = T (t) temperatura (en grados) como funcin

del tiempo t (en minutos). A = temperatura del medio ambiente T0 = temperatura inicial del elemento que se

enfra (agua en este caso). e = 2.71828183

Ecuacin es toda igualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios; la expresin que aparece antes de la igualdad se llama miembro izquierdo y la que est despus, miembro derecho. Por ejemplo: 5x2 + 10x = 20x miembro miembro izquierdo derecho

Inecuacin es toda desigualdad entre dos expresiones algebraicas, o bien, entre dos polinomios. Por ejemplo: 5x2 + 10x > 20x 2x + 3 < 5

Encontrar la solucin de una ecuacin, implica encontrar el valor(es) de la(s) variable(s) de la ecuacin que cumplan la igualdad; es decir, cualquier elemento del conjunto de nmeros o elementos sobre el que se plantea la ecuacin que cumpla la condicin de satisfacer la ecuacin es la solucin de la misma. Es posible que ningn valor dado a la variable haga cierta la igualdad, o que para todo valor la ecuacin sea vlida. La solucin de una inecuacin es un conjunto de nmeros que satisfacen la desigualdad.

Ejemplos: A continuacin, se presentan situaciones que pueden modelarse con lenguaje algebraico, dando origen a una ecuacin o inecuacin. 1. Un joven ha comprado 4 chicles, 3 paletas que cuestan $5.00 ms que el chicle c/u, y 5

bolsas de bombones cuyo costo es de $10.00 ms que la paleta c/u. Si por todo pag $150.00, cunto cuesta cada dulce?

Elegir una literal que represente a cada dulce: Por ejemplo, costo por chicle: x costo por paleta: y = x + $5.00

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costo por bolsa de bombones: z = y + $10.00 = (x + $5.00) + $10.00 dinero gastado = $150.00 La ecuacin que modela la situacin es: g = 4x + 3y + 5z Expresando g en trminos de una sola literal:

g = 4x + 3(x + $5.00) + 5[(x + $5.00) + $10.00]

2. Un farmacutico debe preparar 15 ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solucin debe tener 2% de ingrediente activo, pero slo tiene disponibles soluciones al 10 y al 1%. Qu cantidad de cada solucin debe usar para completar la receta?

Cantidad de ml requerida de la solucin al 10%: x, lo cual se expresa como 0.1x. Cantidad de ml requerida de la solucin al 1%: y = 15 x, lo cual se expresa como 0.01y = 0.01(15 x). Cantidad de ingrediente activo requerido al 2%: 15 ml, equivalente a 0.02(15) = 0.3. La situacin presentada queda modelada por la ecuacin:

0.1x + 0.01(15 x) = 0.3 3. Un profesor dice a un nio que tiene que aadir 12 unidades a un nmero dado y dividir

el resultado por 13. Pero el nio, que no presta atencin, resta 13 del nmero dado y divide el resultado por 12. Se extraa, pues la respuesta es correcta. Cul es el nmero dado?

La ecuacin que modela esta situacin es: Nmero dado: x

12

13

13

12 =+ xx

4. Karen, Carmen y Karime son hermanas. Karen tiene 6 aos y Carmen tiene 2 aos ms que Karime. La suma de los aos de Carmen y Karime no alcanza a igualar la edad de Karen. Cuntos aos tiene Karime, si su edad es un nmero impar?

Edad de Karen: 6 Edad de Carmen: x + 2 Edad de Karime: x Inecuacin que modela esta situacin:

(x + 2) + x < 6 Simplificacin:

2x + 2 < 6

83


Ejercicios 3.1

I. Plantea una situacin que pueda ser modelada mediante una ecuacin. Comentar el resultado con los compaeros de equipo y seleccionar uno, para exponerlo al grupo.

II. Disear la ecuacin que modele las situaciones planteadas. 1. Pedro fue a cortar mangos a una huerta; para salir debe pasar por dos puertas y en cada

una de ellas debe dejar dos tercios de los mangos que lleve en ese momento. Si pedro sali con 8 mangos, cuntos mangos cort?

2. La suma de tres nmeros impares consecutivos es igual a 27. Cul es el nmero ms

pequeo de esos tres? 3. Carlos quiere comprar chocolates. Si compra 6 chocolates le sobraran $12, mientras

que para comprar 8 tendra que pedir prestado $14. Si todos los chocolates cuestan lo mismo, cunto cuesta cada chocolate?

4. El flujo que emana de una manguera puede llenar un tanque en 10 horas, mientras que

un desage puede vaciarlo en 15 horas. Cunto tiempo tardar el tanque en llenarse si la manguera y el desage estn abiertos al mismo tiempo?

II. Disear la inecuacin que modele las situaciones planteadas. 1. Ricardo, Anselmo y Carlos son hermanos. Ricardo tiene 38 aos y Anselmo tiene 5

aos ms que Carlos. La suma de los aos de Anselmo y Carlos no alcanza a igualar la edad de Ricardo. Cuntos aos tiene Carlos, si su edad es un nmero impar?

2. Se dispone de un nmero de monedas, entre 197 y 205, que son repartidas entre las

personas A, B y C. Se sabe que B recibe 15 monedas ms que C y A recibe el doble de lo que recibe B. Cuntas monedas recibe cada uno?

III. Aplicando los conocimientos previos, resolver los modelos mostrados en los ejemplos

planteados en este tema para encontrar su solucin. 3.2 LA ECUACIN LINEAL DE UNA VARIABLE Y SU VISUALIZACIN

GRFICA La representacin grfica de una ecuacin lineal o de primer grado es una lnea recta, que se establece mediante la expresin y = ax + b. Para hacer la grfica se aplica el mtodo de tabulacin, para lo cual se le asignan valores a x; al ser sustituidos en la expresin y = ax + b se tienen los valores de y, obteniendo parejas ordenadas, mismas que se representan en el plano cartesiano.

84


Recuerda que: La solucin de la ecuacin ax + b = 0 es el valor de x correspondiente a y = 0 en la grfica de la recta y = ax + b. As, la solucin es la abscisa del punto donde la recta intercepta (corta) al eje x. Si x = c es solucin de ax + b = 0, para encontrar la solucin de las inecuaciones ax + b > 0 y ax + b < 0, se sustituye un valor de x > c y otro de x < c en dichas inecuaciones y se elige como solucin la desigualdad x > c o x < c que contenga el valor que, al ser sustituido, satisface la inecuacin.

En la expresin y = ax + b, a = 0 y b 0, la grfica es una recta horizontal, paralela al eje x, en donde la ecuacin asociada y = 0x + b no tiene solucin; grficamente no hay un punto que corta al eje x. Si y = ax + b, a = 0 y b = 0, entonces la recta se traza sobre el eje x, y la solucin de la ecuacin y = 0x es el conjunto de nmeros reales.

La solucin de una ecuacin se denomina raz de la ecuacin.

3.2.1 Interpretacin de la raz o solucin de ax + b = 0 a partir de la visualizacin

grfica de y = ax + b Ejemplos: I. A continuacin se hace una tabulacin para graficar la ecuacin lineal indicada,

visualizando a partir de esta la solucin o raz de dicha ecuacin.

1. En el anlisis grfico de y = x 1: Tabulacin

x y P (x, y) 4 y = (4) 1 = 3 P (4, 3) 3 y = (3) 1 = 2 P (3, 2) 2 y = (2) 1 = 1 P (2, 1) 1 y = (1) 1 = 0 P (1, 0) 0 y = (0) 1 = 1 P (0, 1) 1 y = (1) 1 = 2 P (1, 2) 2 y = (2) 1 = 3 P (2, 3)

85


En este ejemplo, la abscisa del punto que corta la recta con el eje x es un entero. Luego, se visualiza con claridad que la interseccin de la recta con el eje x es 1, valor correspondiente a y = 0; luego, la solucin o raz de la ecuacin x 1 = 0 es x = 1. En ocasiones no es posible visualizar con exactitud la abscisa del punto de interseccin de la recta con el eje x; entonces, se supone un posible valor y se verifica que para ste; y = 0. Hay ejercicios en los que no es posible visualizar la solucin exacta y se hace necesario recurrir a otro mtodo. 2. En el anlisis grfico de y = 2x + 1: Tabulacin

x y P(x, y) 2 y = 2(2) + 1 = 3 P(2, 3) 1 y = 2(1) + 1 = 1 P(1, 1) 0 y = 2(0) + 1 = 1 P(0, 1) 1 y = 2(1) + 1 = 3 P(1, 3)

2

1 012

12 =+

=y

0

2

1 ,P

La interseccin de la recta con el eje x se supone 2

1 , con lo cual se verifica que y = 0;

luego, la solucin o raz de la ecuacin 2x + 1= 0 es x =2

1 . 3. En el anlisis grfico de y = 2x 1: Tabulacin

x y P(x, y) 2 y = 2(2) 1 = 5 P(2, 5)1 y = 2(1) 1 = 3 P(1, 3)0 y = 2(0) 1 = 1 P(0, 1)

2

1 01

2

12 =

=y

0,2

1P

1 y = 2(1) 1 = 1 P(1, 1) 2 y = 2(2) 1 = 3 P(2, 3) 3 y = 2(3) 1 = 5 P(3, 5)

raz

86


La interseccin de la recta con el eje x se supone 2

1, con lo cual se verifica que y = 0;

luego, la solucin o raz de la ecuacin 2x 1 = 0 es x =2

1.

3.2.2 Solucin de las inecuaciones ax + b > 0 y ax + b < 0 a partir de la visualizacin

grfica de y = ax + b Ejemplos: I. A continuacin, se hace una tabulacin para graficar la ecuacin lineal y = 3x 3,

visualizando a partir de esta la solucin de las inecuaciones 3x 3 > 0 y 3x 3 < 0. 1. En el anlisis grfico de y = 3x 3: Tabulacin

x y P(x, y) 0 y = 3(0) 3 = 3 P(0, 3) 1 y = 3(1) 3 = 0 P(1, 0) 2 y = 3(2) 3 = 3 P(2, 3)

Se visualiza que la raz de 3x 3 = 0 es x = 1. Para encontrar la solucin de 3x 3 > 0 y 3x 3 < 0, hacer lo que sigue: Se elige un valor sobre el eje x; a la derecha de la raz (x > 1) y y otro a la izquierda de la raz (x < 1); sean stos x = 2 y x = 0. Se sustituyen en las inecuaciones: En 3x 3 > 0 Para x = 2, 3(2) 3 > 0, se tiene 3 > 0; se satisface la desigualdad y x > 1 es solucin de 3x 3 > 0 Para x = 0, 3(0) 3 > 0, se tiene, 3 > 0; no se satisface la desigualdad y x < 1 no es solucin de 3x 3 > 0

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En 3x 3 < 0 Para x = 2, 3(2) 3 < 0, se tiene 3 < 0; no se satisface la desigualdad y x > 1 no es solucin de 3x 3 < 0 Para x = 0, 3(0) 3 < 0, se tiene, 3 < 0; se satisface la desigualdad y x < 1 es solucin de 3x 3 < 0. Nota: si en el primer intento de sustitucin la inecuacin que contenga el smbolo >, se satisface, se ha encontrado su solucin; en caso contrario, se ha encontrado la solucin de la inecuacin con el smbolo


Comprobacin:

1. 5x 1 = 2x 3 33

221

3

25

=

5x 2x = 3 + 1 33

41

3

10 =

3x = 2 3

13

3

13 =

Se verifica la igualdad; luego, la raz x = 3

2 es correcta.

3

2x =

2. 2x + 3 = 9 Comprobacin: 2x = 9 3 2 (3) + 3 = 9 2x = 6 6 + 3 = 9

x = 2

6 9 = 9

x = 3

Si se quiere resolver una ecuacin con denominadores, se debe multiplicar la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, con la finalidad de eliminarlos.

3. 79

4

3

1

9

7

6

7 =+ xxx 3

3

2

1

1

3

3

1

3

9

9

1

1

3

6

mcm = (2) (3) (3) = 18

=+

1

7

9

4

3

1

9

7

6

718 xxx

Se sugiere que el mcm se divida entre cada denominador y se mltiplique cada vez por el correspondiente numerador, dando como resultado, la ecuacin: 21x + 14 6x = 8x 126 21x 6x 8x = 126 14 7x = 140

x = 7

140 x = 20

89


Ejercicios 3.2

I. Determina visualmente la raz de la ecuacin lineal mediante su representacin grfica, as como la solucin de las inecuaciones correspondientes.

1. Ecuacin: y = 2x + 2, Raz = _____ Inecuaciones: y > 2x + 2 Solucin = _______ y < 2x + 2 Solucin = _______ Grfica:

90


2. Ecuacin: Inecuaciones: y = 3x 6 Raz = _____ y > 3x 6 Solucin = _______

y < 3x 6 Solucin = _______ Grfica:

3. Ecuacin: Inecuaciones: y = 4x + 2 Raz = _____ y > 4x + 2 Solucin = _______

y < 4x + 2 Solucin = _______ Grfica:

91






92


II. Obtn grficamente la solucin de las siguientes ecuaciones lineales, utilizando el mtodo de tabulacin.

1. y = x 3

Tabulacin

x y P(x, y)

2. y = 2x 1

Tabulacin

x y P(x, y)

3. y = x + 1

Tabulacin

x y P(x, y)

93


III. Resuelve las ecuaciones siguientes utilizando la transposicin de trminos y haz la comprobacin para verificar que sta sea correcta.

1. 4x + 8 = 0 2. x + 4 = 3 3. 2x 5 = 0 4. 3x 12 = 0

5. 2

x 1 = 0

6. 9x 4 = 3x 16

7. 3x 2 = 2x + 1

8. 2(x 1) (x 1) = 0

9. 6(4x 7) 5(2x + 5) = 3

10. a (x 2) b(x 1) = b a

11.

12.

13.

14. p + p2x = q2x q

15. m + na nx = ma

IV. Encuentra por equipo una ecuacin lineal con una variable que tenga la solucin dada;

elijan a uno de los integrantes para que sea quien exponga el ejercicio al grupo.

1. x = 3 2. x = 1

5

33 =x. 4. x = 2

V. Disea, en equipo la ecuacin que modele las situaciones planteadas y encuentra la

solucin a cada una. Compara el resultado con el obtenido por los otros equipos. 1. Encuentra tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 60.

2. Luis tiene 12 monedas ms que Paco y entre ambos tienen 78. Cuntas monedas tiene cada uno?

3. Dentro de la ciudad, un automvil rinde 6 km/l; en cambio, en carretera rinde 8.5 km/l. Si el automvil consumi 90 l en un recorrido de 690 km, qu parte del recorrido hizo en la ciudad?

4. Santiago es 4 veces mayor que Juan, y en 4 aos ms slo tendr el doble de edad. Cul es la edad actual de cada uno?

94


5. Al abrir su alcanca, Susana encontr que, entre monedas de $5.00, $10.00 y $25.00, reuna $850.00. Tambin encontr que el nmero de monedas de $10.00 era el triple que las de $25.00 y que las de $5.00 eran el doble que las de $10.00. Cuntas monedas de cada denominacin haba en la alcanca?

6. Un obrero A puede realizar un trabajo en tres das y otro B puede hacerlo en 6 das. Halla el tiempo que tardarn en realizar el mismo trabajo los dos juntos.

7. Halla las dimensiones de un rectngulo sabiendo que su permetro es igual a 110 cm y que su longitud es 5 cm menor que el doble de su anchura.

8. Un depsito se puede llenar en 6 horas abriendo la llave de agua fra y en 8 horas con la llave de agua caliente. Si abriendo el desage puede vaciarse en 4 horas, en cunto tiempo se llena el depsito si se tienen las dos llaves y el desage abiertos?

9. Halla 2 nmeros sabiendo que su suma es 37 y que, si se divide el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el residuo 5.

10. Hace 10 aos, la edad de Carlos era 4 veces mayor que la edad de Javier y, hoy da, es solamente el doble. Halla las edades actuales.

11. Un estudiante lleva a la escuela una bolsa con galletas. A la hora del descanso da a uno de sus compaeros la mitad de sus galletas y media ms. A una amiga de otro grupo le da la mitad de lo que le queda en la bolsa y media galleta ms. Por ltimo, a su hermano le da la mitad de las galletas que le quedan y media ms. Cuando decide comer galletas resulta que slo le queda una. Cuntas galletas tena originalmente la bolsa?

3.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 x 2 y 3 x 3 Una ecuacin lineal en dos variables x y y es de la forma ax + by = c, donde a, b, c son constantes y a, b no son ambas iguales a cero. Se tiene un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, si consideramos dos ecuaciones de la forma ax + by = c. Tambin se dice que es un sistema de dimensiones 2 x 2. a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 A la pareja de valores x y y que satisfacen ambas ecuaciones se le llama solucin del sistema dado.

95


Se tiene un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas, si consideramos 3 ecuaciones de la forma ax + by = c. Tambin se dice que es un sistema de dimensiones 3 x 3. a1x + b1y + c1 = d1 a2x + b2y + c2 = d3 a3x + b3y + c3 = d3 A los valores x, y, z que satisfacen simultneamente las ecuaciones se les llama solucin del sistema dado.

Ejemplos:

A continuacin, se presentan dos situaciones que pueden modelarse con lenguaje algebraico, dando origen a un sistema de ecuaciones.

1. Paola tiene 27 aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos, la edad de Paola doblar la edad de Carmen. Cuntos aos tiene cada una?

Planteamiento algebraico: Edad actual de Carmen: x Edad actual de Paola: y Edad de Carmen, dentro de 8 aos: x + 8 Edad de Paola, dentro de 8 aos: y + 8 Ecuaciones: y = x + 27 y + 8 = 2(x + 8) de donde, simplificando y acomodando, Se tiene: x y = 27 y + 8 = 2x + 16 2x y = 8

Sistema de ecuaciones que modela la situacin:

==

82

27

yxyx

2. En cierta heladera, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas, cobran

$34.00 un da. Otro da, por 4 copas del mismo helado y 4 galletas, cobran $44.00, y un tercer da son $26.00 por una horchata y 4 galletas. Tienes motivos para pensar que alguno de los tres das te presentaron una cuenta incorrecta?

Solucin Planteamiento: Precio de la copa de helado: x Precio de la horchata: y Precio de la galleta: z Ecuaciones: x + 2y + 4z = 34 4x + 4y = 44 y + 4z = 26 x + y = 11

96


Sistema de ecuaciones que modela la situacin:

=+=+=++

264

11

3442

zyyx

zyx

3.3.1 Visualizacin grfica de la solucin de un sistema lineal 2 x 2 La grfica de un sistema lineal 2 x 2 y 3 x 3, se obtiene trazando en un mismo plano cartesiano las 2 o 3 ecuaciones. Existen 3 casos de solucin del sistema:

Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, la solucin del sistema es la coordenada (x, y), o bien (x, y, z).

Cuando las rectas trazadas son paralelas, el sistema no tiene solucin. Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el sistema tiene una

infinidad de soluciones. Ejemplos: En la siguiente grfica se visualiza la solucin del sistema:

==+

13

94

yxyx

Las rectas se trazaron utilizando el mtodo de tabulacin. Se observa el caso en donde las rectas se intersectan y la solucin es el punto (1, 2); es decir, x = 1 y y = 2.

97


x + 4y = 9

Solucin

3x y = 1

Comprobacin: x + 4y = 9 3x y = 1 (1) + 4(2) = 9 3(1) (2) = 1 1 + 8 = 9 3 2 = 1 9 = 9 1 = 1 Las dos ecuaciones se satisfacen con los valores x = 1, y = 2, lo cual verifica que las soluciones son correctas. 3.3.2 Mtodos algebraicos de solucin de un sistema lineal 2 x 2 Algunos otros mtodos de solucin de un sistema lineal 2 x 2, adems del mtodo geomtrico, son: suma y resta, sustitucin y determinantes. Para cualquier mtodo que se aplique, la solucin del sistema es la misma. Mtodo de suma y resta Para aplicar este mtodo se siguen los siguientes pasos: 1. Se pretende obtener una ecuacin en una variable, para lo cual se elige eliminar los

trminos que contienen una de las dos variables, si es necesario. Se debe multiplicar la ecuacin(es) por nmeros tales que hagan iguales a los coeficientes de una variable seleccionada y que los signos de estos coeficientes sean distintos.

2. Se efecta la suma de las ecuaciones, resultando una ecuacin en una variable. 3. Se resuelve esta ecuacin obtenida de la suma, encontrando el valor para una de las

variables.

98


4. Se sustituye el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema a resolver, encontrando la ecuacin en la otra variable la cual tambin debe ser resuelta para obtener su valor.

5. La solucin del sistema ser la de los dos valores encontrados. Ejemplo: Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, por el mtodo de suma y resta.

( )( )

=+=

294

113

yxyx

Se elije eliminar el trmino con la variable y. 1. Al multiplicar (1) por 4, se obtiene: Nota: si al efectuar la suma

de las ecuaciones se obtiene 0x + 0y = c, el sistema no tiene solucin. Si resulta 0x + 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

( )

( )

=+=

294

14412

yxyx

2. Se suman:

1313

94

4412

==+=

xyxyx

3. Se resuelve la ecuacin obtenida de esta suma:

13

13=x , de donde, x = 1 4. Sustituyendo x = 1 en (1) se tiene: 3(1) y = 1, Al resolver esta ecuacin: 3 y = 1 y = 1 3 y = 2, se tiene y = 2 5. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es:

x = 1, y = 2 Mtodo de sustitucin Para aplicar este mtodo se siguen los pasos siguientes: 1. Se elige una de las ecuaciones del sistema, en la cual se despeja una de las variables. 2. Se sustituye el despeje obtenido en la otra ecuacin del sistema, quedando una

ecuacin en una variable, la cual hay que resolver encontrando el valor de una variable.

99


3. El valor encontrado se sustituye en el despeje obtenido en el primer paso, encontrando as el valor de la otra variable.

4. La solucin del sistema ser la de los dos valores encontrados. Ejemplo: Con la finalidad de mostrar que la solucin del sistema 2 x 2 es la misma para cualquier mtodo, se resuelve el mismo sistema del ejemplo anterior, aplicando el mtodo de sustitucin.

( )( )

=+=

294

113

yxyx

Nota: si al resolver la ecuacin en una sola variable se obtiene 0x = c, o 0y = c, el sistema no tiene solucin, y si resulta 0x = 0 o 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

1. Se elige despejar y en la ecuacin (1), de donde: y = 1 3x 2. Sustituyendo este despeje en la ecuacin (2) se obtiene:

y = 3 x 1

x + 4(3x 1) = 9 Al resolver esta ecuacin tenemos: x + 12x 4 = 9 13x = 9 + 4

13

13=x , de donde, x = 1 3. Sustituyendo x = 1 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene: y = 3(1) 1 = 3 1, de donde y = 2 4. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es:

x = 1, y = 2 Mtodo por determinantes (de Cramer) Este mtodo consiste en formar determinantes a partir de los coeficientes de las ecuaciones del sistema y desarrollarlos como a continuacin se indica. Dado un sistema de ecuaciones 2 x 2:

100


222

111

cybxacybxa

=+=+

Para encontrar la solucin del sistema, se desarrollan los determinantes siguientes:

12212

1

2

1 bababb

aa

D == 12212

1

2

1 bcbcbb

cc

Dx == 12212

1

2

1 cacacc

aa

Dy ==

Si D 0, la solucin del sistema es nica y se encuentra efectuando las divisiones:

DDx x=

DD

y y= Ejemplo: De nueva cuenta, se resuelve el mismo sistema del ejemplo anterior, aplicando el mtodo por determinantes.

( )( )

=+=

294

113

yxyx

Se resuelven los determinantes:

( )( ) ( )( ) 1311211434

1

1

3 =+===D

( )( ) ( )( ) 139419414

1

9

1 =+===xD

( )( ) ( )( ) 2612711939

1

1

3 ====yD Efectuando las divisiones indicadas, se tiene:

113

13 ===DDx x 2

13

26 ===DD

y y

As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) es:

x = 1, y = 2

101


3.3.3 Mtodos algebraicos de solucin de un sistema lineal 3 x 3 Algunos mtodos de solucin de un sistema lineal 2 x 2, son: sustitucin y determinantes. Para cualquier mtodo que se aplique, la solucin del sistema es la misma. Mtodo de sustitucin Para aplicar este mtodo se siguen los siguientes pasos: 1. Se elige una de las ecuaciones del sistema, en la cual se despeja una de las variables. 2. Se sustituye el despeje obtenido en las otras dos ecuaciones del sistema, quedando dos

ecuaciones con dos variables; es decir, un sistema 2 x 2, el cual ya se sabe resolver. 3. Los valores encontrados se sustituyen en el despeje obtenido en el primer paso,

encontrando as el valor de la otra variable. 4. La solucin del sistema ser la de los tres valores encontrados. Ejemplo: Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3 x 3 por el mtodo de sustitucin.

( )( )( )

=+=+

=+

35534

2325

112

zyxzyxzyx

1. Se elige despejar y en la ecuacin (1) de donde: y = 1 2x + z y = 2x + z + 1 2. Sustituyendo este despeje en la ecuacin (2) se obtiene: x 5(2x + z + 1) + 2z = 3 Se simplifica, x + 10x 5z 5 + 2z = 3 11x 3z = 3 + 5 (4) 11x 3z = 2 Sustituyendo este despeje en la ecuacin (3) se obtiene: 4x + 3(2x + z + 1) 5z = 5 Se simplifica: 4x 6x + 3z + 3 5z = 5 2x 2z = 5 3 2x 2z = 8 (5) x + z = 4

102


De la ecuacin (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente:

( )

( )

=+=

54

42311

zxzx

Para resolver este sistema: Se elije eliminar el trmino con la variable x. 1. Al multiplicar (5) por 11 se obtiene:

( )

( )

==

5441111

42311

zxzx

2. Se suman:

4214

441111

2311

==

=

zzxzx

3. Se resuelve la ecuacin obtenida de esta suma:

14

42

=z de donde

4. Sustituyendo z = 3 en (4) se tiene: 11x 3(3) = 2, Al resolver esta ecuacin: 11x 9 = 2 11x = 2 + 9

11

11=x , se tiene 5. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (4) y (5) es:

x = 3

x = 1

x = 1, z = 3

6. Sustituyendo estos valores x = 1 y z = 3 en el despeje obtenido en el primer paso, se

encuentra as el valor de la otra variable. y = 2x + z + 1 y = 2(1) + (3) + 1 y = 2 + 3 + 1

y = 2 7. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) es:

x = 1, y = 2, z = 3

103


Mtodo por determinantes (de Cramer) Dado un sistema de ecuaciones 3 x 3:

3323

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa

=++=++=++

Para encontrar la solucin del sistema se desarrollan los determinantes siguientes:

312231123213132321

3

2

1

33

22

11

cbacbacbacbacbacbaccc

bababa

D ++==

2

1

22

11

cc

baba

312231123213132321

3

2

1

3

2

1

cbdcbdcbdcbdcbdcbdccc

bbb

Dx ++==3

2

1

ddd

2

1

2

1

cc

bb

2

1

dd

312231123213132321

3

2

1

3

2

1

cdacdacdacdacdacdaccc

aaa

Dy ++==3

2

1

ddd

2

1

2

1

cc

aa

2

1

dd

312231123213132321

33

22

11

dbadbadbadbadbadbabababa

Dz ++==3

2

1

ddd

2

1

dd

22

11

baba

Obsrvese que para desarrollar cada uno se aumentaron las dos primeras filas.

Si D 0, la solucin del sistema es nica y se encuentra efectuando las divisiones:

104


DDx x=

DD

y y= DDz z=

Ejemplo: Con la finalidad de mostrar que la solucin del sistema 3 x 3 es la misma para cualquier mtodo, se resuelve el mismo sistema del ejemplo anterior, aplicando el mtodo por determinantes.

( )( )( )

=+=+

=+

35534

2325

112

zyxzyxzyx

Se resuelven los determinantes:

=

=

5

2

1

34

51

12

D

2

1

51

12

= (2)(5)(5) + (1)(3)(1) + (4)(1)(2) (4)(5)(1) (2)(3)(2) (1)(1)(5) = 50 3 + 8 20 12 + 5 = 63 35 = 28

=

=

5

2

1

35

53

11

xD

2

1

53

11

= (1)(5)(5) + (3)(3)(1) + (5)(1)(2) (5)(5)(1) (1)(3)(2) (3)(1)(5) = 25 + 9 10 + 25 6 15 = 59 31 = 28

=

=

5

2

1

54

31

12

yD

2

1

31

12

= (2)(3)(5) + (1)(5)(1) + (4)(1)(2) (4)(3)(1) (2)(5)(2) (1)(1)(5) = 30 + 5 + 8 12 + 20 + 5 = 56

105


= =

5

3

34

5

1

1

12

zD

3

1

51

12

= (2)(5)(5) + (1)(3)(1) + (4)(1)(3) (4)(5)(1) (2)(3)(3) (1)(1)(5) = 50 + 3 12 + 20 +18 + 5 = 84 Efectuando las divisiones indicadas, se tiene:

128

28 ===DDx x 2

28

56 ===DD

y y 328

84 ===DDy z

As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (2) es:

x = 1, y = 2, z = 3 Ejercicios 3.2

I. Encuentra la solucin a los problemas planteadas en los ejemplos previos:

1. Paola tiene 27 aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos 2. En cierta heladera, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas II. Disea un sistema de ecuaciones que modele las situaciones planteadas y encuentra la

solucin, utilizando el mtodo ms apropiado. 1. El pap de Julio pesa 42 kg ms que Julio; si los dos juntos pesan 138 kg, cunto pesa

cada uno? 2. La edad de un hijo, ms la tercera parte de la edad del padre suman 22 aos. Dentro de

6 aos, la edad del padre exceder en 10 aos el doble de la edad del hijo. Cul es la edad actual de cada uno?

3. Se tiene 3 recipientes con cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3 del agua del primero

en el segundo y luego 1/4 del agua del segundo en el tercero y, por ltimo, extraemos 1/10 del agua del tercer recipiente para verterla en el primer recipiente, obteniendo 9 l en cada recipiente, qu cantidad de agua tena cada uno de ellos?

4. Tres amigos fueron a la dulcera. Miguel gast $27 y compr un caramelo y dos paletas.

Luis gast $41 y compr un caramelo y dos chocolates. Cunto gast Hugo si compr un caramelo una paleta y un chocolate?

106


5. Un cohete y su combustible pesan juntos 5,200 kg. Despus de que se haya gastado una cuarta parte del combustible, el cohete y el combustible restante pesan 4,600 kg. Cul es el peso, en kilogramos, del cohete?

6. Un grupo de personas se rene para ir de excursin, totalizando 20 entre hombres, mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero resulta ser el triple del nmero de nios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualara al de los hombres. Cuntos hombres, mujeres y nios han ido de excursin?

7. En una competencia deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categoras:

infantiles, cadetes y juveniles. El doble del nmero de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al nmero de cadetes y, por otra, coincide con el quntuple del nmero de juveniles. Determina el nmero de atletas que hay en cada categora.

107

Ecuaciones e inecuaciones linealesIntroduccin1. Paola tiene 27 aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos, la edad de Paola doblar la edad de Carmen. Cuntos aos tiene cada una?Mtodo de sustitucinMtodo de sustitucin

Unidad 3 Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

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