UNIDAD 3 INTEGRAL INDEFINIDA. 1. PROPIEDADES DE · PDF file∫f ()x dx =F x +k con k ......

IES Padre Poveda (Guadix) Matemticas II
Departamento de Matemticas Bloque I: Anlisis de Funciones Profesor: Ramn Lorente Navarro. Unidad 3: Integral Indefinida
1
Derivacin f f Integracin Derivacin e integracin son procesos inversos.
UNIDAD 3 INTEGRAL INDEFINIDA.
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones ( )xf y ( )xF definidas en un dominio D, decimos que:
( )xF es una primitiva de ( )xf si ( ) ( )xfxF =
Ejemplos: a) ( ) xxf cos= ( ) xsenxF = ya que ( ) ( ).cos xfxxF == b) ( ) xxf 2= ( ) 2xxF = ya que ( ) ( ).2 xfxxF == c) ( ) xxf cos= ( ) xsenxF += 5 ya que ( ) ( ).cos xfxxF ==
Fjate en el ltimo ejemplo: Si la funcin primitiva tiene una constante, sta se pierde al derivar ( ).xF Por tanto:
Si ( )xF es una primitiva de ( ) ( ) kxFxf + tambin lo es. Es decir, todas las primitivas de una funcin se diferencian en una constante. Integral indefinida de f: Es el conjunto formado por todas las primitivas de la funcin .f
( ) ( ) += .kconkxFdxxf Integral indefinida de f respecto a .x
Smbolo integral. ( )xf Integrando. dx Indica la variable respecto a la que estamos integrando. k Constante de integracin.
A pesar de ser operaciones inversas, la derivacin y la integracin NO tienen el mismo grado de dificultad:
Derivacin: De modo mecnico se calcula la derivada de cualquier funcin complicada.
Integracin: Existen funciones sencillas, cuya integral no se puede expresar con funciones elementales, como por ejemplo:
dxxxsen
Propiedades de la integral indefinida:
a) ( )[ ] ( ).xfdxxf = b) ( ) ( ) .+= kkxfdxxf c) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+ .dxxgdxxfdxxgxf d) ( ) ( ) = .dxxfkdxxfk
Cuidado!! ( ) ( ) ( ) ( ) .dxxgdxxfdxxgxf

2
2. INTEGRALES INMEDIATAS.
Otras integrales inmediatas: kxdxxxtg += secsec kxecdxecxxg += coscoscot
kaxarcsendx
xa+
=
22
1 kaxdx
xa+
=
arccos
122
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Funciones simples Funciones compuestas
= kdx0 += kxdx
++=+
11
1
nknxdxx
nn ( )[ ] ( ) ( )[ ] k
nxfdxxfxf
nn +
+=
+
11
+= kxdxx ln1
( )( ) ( ) +=
kxfdxxfxf ln
+= kedxe xx ( ) ( ) ( ) += kedxxfe xfxf
+= kaadxa
xx
ln ( ) ( )
( )
+= kaadxxfa
xfxf
ln
+= kxdxxsen cos ( )( ) ( ) ( ) += kxfdxxfxfsen cos
+= kxsendxxcos ( )( ) ( ) ( ) += kxfsendxxfxfcos
== dxxdxx2
2 seccos1
( ) kxtgdxxtg +=+= 21
( )( ) ( )( ) ( ) ==
dxxfxfdx
xfxf sec
cos2
2
( )( ) ( ) ( ) kxftgdxxfxftg +=+= 21
== dxxecdxxsen2
2cos1
( ) +=+= kxgdxxg cotcot1 2
( )( ) ( )( ) ( ) ==
dxxfxfecdx
xfsenxf cos 22
( )( ) ( ) ( ) kxfgdxxfxfg +=+= cotcot1 2
+=
kxarcsendxx21
1
( )( )[ ]
( ) +=
kxfarcsendx
xf
xf21
+=
kxdxx
arccos1
12
( )( )[ ]
( ) +=
kxfdxxf
xf arccos1 2
+=+ kxarctgdxx211
( )( )[ ] ( ) +=+
kxfarctgdxxf
xf21
kaxarctg
adx
xa+
=
+
1122

3
Ejemplo: Halla una primitiva de la funcin ( ) xxxf 22 += , sabiendo que esa primitiva se anula para .1=x Solucin:
( ) ( ) kxxxFkxxdxxx ++=++=+ 23
23
2
332
Como ( ) 3431 0101 ==++= kkF Por tanto: ( ) .34
32
3
+= xxxF
Ejercicio 1: Dada la funcin ,12)( 3 += xxxf calcula: a) La primitiva cuya grfica pasa por el punto ).1,2(A b) La primitiva que se anula para .2=x
Ejercicio 2: Determina )(xf sabiendo que ,24)( xxf = ,0)0( =f 1)0( =f y .2)0( =f
Ejercicio 3: Calcula las siguientes integrales:
dxa 2) dxxb 3) dxxc3
) dxxd 72) dxxe 3)
dxxf 47)
( ) dxxg 331)
( ) dxxh 427) dxxi 2
1
7) dxxj 45)
dxxk 7) dxxl 74) dxxm 34) + dxxn 2
1) + dxxx
x63
32) 2
( ) dxxseno 2) dxep x4) + dxeq x 74) dxxr
3 2
1) dxxxs
3 52)
( ) ++ dxxxxxt 37232) 245 + dxeeu x
x
1) dxxxv 3) dxx
xsenwcos
)
++ dx
xxxxx
2253)
23
++++ dx
exsenxexxy x
x
23
22 2cos3) ( )
+ dxx
xxsenxsenz cos
cos2)
3. MTODOS BSICOS DE INTEGRACIN.
3.1. INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN. Funcin integrandoSe expresa como combinacin lineal de funciones que sabemos integrar
de modo inmediato aplicando las propiedades de la integral indefinida. Ejercicios: Calcula:
+ dx
xxxa 52
cos5) 2
( )
dxx
xxb2
2) ++ dxxxc 21
3) ( ) + dxxd 22)
dxxxe 1)
+ dxf xxx
369)
++ dxx
xxg 34)3
++ dx
xxh 21
34)
+ dx
xxxi
35)
33
+ dx
xxxxj
1435)
24
+++ dx
xxxxk
1253) 2
23
dxxtgl 2) + dxxxm
5)
+ dxxxxn 2
24 105)
dxxxsen 22 cos1) dxxo 2cos)
+ dxx
xsenxpcos
22cos3)2

4
Otros cambios de variable Integral tipo:
dxxa 22
Cambio: tsenax = Ejemplo:
sentx
dxx
3
92
=
Integral tipo:
dxax 22
Cambio: txa cos= Ejemplo:
tx
dxxx
cos
2
4
1
22
=
Integral tipo:
dxxxsenmn
cos Cambios: a) n impar: xt cos= b) n par m impar: xsent = c) n y m pares: Se aplica:
2
2cos12 xxsen
=
2
2cos1cos
2 xx
+=
3.2. INTEGRACIN POR SUSTITUCIN (CAMBIO DE VARIABLE). Dada ( ) dxxf NO INMEDIATA
1) Realizamos el cambio de variable:
( )
( )dxxgdt
xgt
=
=
o bien:
( )
( )dttgdx
tgx
=
=
2) Sustituimos en el integrando y calculamos la nueva integral. 3) Deshacemos el cambio de variable.
Ejemplos:
kxarctgktarctgt
dtt
dtdtdxxdtdxx
txdx
xxa +=+=
+=
+=
===
=+
222
2
4 21
21
121
)1(22/21)
=+=====
== k
tdttdttdtdxxdtdxx
txdxxxb
23
22
23
21
43
43
43
4/421
213)
kxkx +=+= 322 )21(21)21(
21
23
kxktktdtttdt
dtdxxtx
dxx
xc ++=+=+=====+
=+
2
21
2
2822
28
82)
21
21
21
Ejercicios: Calcula:
( ) dxx
xa8ln) dxexb senxcos) dxxxsenc cos) 2 ( ) dxxd 524)
+ dxxxe 2312)
dxfx
x
913)
dx
xxg
41) + dxxeh x
21)
( ) + dxxxi 3ln1
1) dxxxj 2cos1) + dxxxk 94
1) 2 + dxxx
xl82
52) 2
+ dx
xtgxtgm
21) ( )+ dx
xxn
2ln1) dxxxsen 5cos
)
dxx
o216
1)
+ dxxexsenep
x
x
cos)
dxx
eqx 3)
dx
xr
2171) dxxs 21)
+ dxt xx
212) dxx
euxtg
2cos)
3.3. INTEGRACIN POR PARTES. Dadas dos funciones ( )xuu = , ( )xvv = derivables en un dominio D. Por la frmula de la

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