NDICE.

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad con excitacin

armnica. ______________________________________________________ 1

3.1 Anlisis de un sistema sujeto a fuerza armnica externa. ____________ 1

3.2 Desbalanceo rotatorio y cabeceo de fechas rotatorias y elementos

rotativos. _____________________________________________________ 5

3.3 Excitacin armnica en la base. ________________________________ 2

3.4 Aislamiento de la vibracin ____________________________________ 7

3.5.- Instrumentos de medicin de vibraciones. _______________________ 9

1

Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad con excitacin

armnica.

Un sistema forzado es aquel que se encuentra sujeto a fuerzas o excitaciones externas. Estas excitaciones pueden ser 1.- Armnicas 2.- Peridicas 3.- Constantes 4.- Aleatorias 5.- Choques

Las fuerzas armnicas son de las ms comunes, y se representan por

F (t) Fo sen

t .

La fuente ms comn de excitacin armnica es el desbalance en las

mquinas rotatorias. La excitacin armnica puede ocurrir en la forma de una

fuerza o desplazamiento de algn punto del sistema.

3.1 Anlisis de un sistema sujeto a fuerza armnica externa.

Se dice que un sistema mecnico o estructural experimenta vibracin forzada

siempre que se suministra energa externa al sistema durante la vibracin. La

energa externa se puede suministrar ya sea mediante una fuerza aplicada o por

una excitacin de desplazamiento impuesta. La fuerza aplicada o la excitacin

de desplazamiento pueden ser armnica, no armnica pero peridica, no

peridica, o aleatoria. La respuesta de un sistema a una excitacin armnica se

llama respuesta armnica. La excitacin no peridica puede ser de larga o de

corta duracin.

La respuesta de un sistema dinmico a excitaciones no peridicas

repentinamente aplicadas se llama respuesta transitoria.

Ecuacin de movimiento.

Si una fuerza F(t) acta en un sistema de resorte-masa viscosamente

amortiguado, la ecuacin de movimiento se puede obtener aplicando la segunda

ley de Newton:

2

Como esta ecuacin no es homognea, la suma de la solucin homognea xh(t)

y la solucin particular, xp(t) proporciona la solucin general. La solucin

homognea, la cul es la solucin de la ecuacin homognea.

Representa la vibracin libre del sistema. Esta vibracin libre s e reduce con el

tiempo en cada una de las tres posibles condiciones de amortiguamiento

(subamortiguamiento, amortiguamiento crtico y sobreamortiguamiento) y en

todas las posibles condiciones inciales. Por tanto, la solucin general se reduce

en ltimo trmino a la solucin partcula xp(t), la cual representa la vibracin de

estado estable. El movimiento de estado estable est presente mientras la

funcin forzada est presente. La parte de movimiento que se reduce a causa

del amortiguamiento (la parte de vibracin libre) se llama transitoria. El ritmo al

cual el movimiento transitorio se reduce depende de los valores de los

parmetros del sistema k, c y m.

En general un sistema en vibracin forzada se representa como sigue:

Recordando que en el movimiento armnico la velocidad y la aceleracin se

encuentran adelantadas con respecto al desplazamiento en 90 y 180

respectivamente, los trminos de la ecuacin diferencial se pueden representar

grficamente por:

3

Del diagrama anterior encontramos que:

Las expresiones anteriores se pueden representar en forma adimensional

considerando que:

Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene lo siguiente:

Representando grficamente como se indica a continuacin:

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o

X

o

Las curvas anteriores nos muestran que el factor de amortiguamiento tiene

gran influencia sobre la amplitud y el ngulo de fase, en la regin de la

frecuencia prxima a la resonancia ( / n 1).

De acuerdo con lo anterior se tienen tres casos lmite:

a).- / n 1 , ( 0o

)

En este caso las fuerzas de inercia y amortiguamiento son pequeas, por lo

que se traduce en un pequeo ngulo de fase , siendo la magnitud de la

fuerza global casi igual a la fuerza del resorte, por lo que F k.

b). - / n 1 , ( 90 )

En este caso la fuerza de inercia que ahora es mayor, es equilibrada por la

fuerza de resorte; mientras que la fuerza aplicada supera la fuerza de

amortiguacin. La amplitud de resonancia se determina por la ecuacin

quedando:

c).- / n 1, ( 180 )

En este caso la inercia se encarga de equilibrar la fuerza, por lo que F m

5

En resumen la solucin general de la ecuacin diferencial es:

3.2 Desbalanceo rotatorio y cabeceo de fechas rotatorias y elementos

rotativos.

Desbalance

rotatorio.

El desbalance rotatorio es una de las causas ms comunes de vibracin en las

mquinas, y se debe a que el centro de gravedad no coincide con el eje de

rotacin. Esto se puede observar en la siguiente figura:

Consideremos el siguiente sistema resorte-masa restringido a moverse en la

direccin vertical y excitado por una masa rotatoria no balanceada tal y como se

muestra en la siguiente figura:

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De la figura tenemos que m = masa que gira

Movimiento de m : x e sen t M m = masa que no gira Movimiento de M m : x

1

Cabeceo de flechas rotatorias.

El cabeceo (whirling) es la rotacin del plano realizado por el eje flexionado con

respecto a la lnea de centros de los cojinetes.

Esto puede representarse como sigue:

Analizando el disco de masa m de la figura anterior tenemos:

Posicin de s : ( xs , ys )

Posicin de G : ( xs e cost, ys e sent )

En el cabeceo sincronizado O , s y G se mantienen fijos entre s para constante.

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3.3 Excitacin armnica en la base.

Frecuentemente se tienen equipos o partes de equipos que son excitados

armnicamente a travs de una base elstica, la que puede ser modelada por

resortes y amortiguadores. Por ejemplo, la suspensin de un automvil que es

excitada armnicamente por la superficie del camino, la que se puede modelar por

un resorte lineal en paralelo a un amortiguador viscoso. Otros ejemplos son las

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gomas de montaje de motores que separan el motor del automvil de su marco o el

motor de un avin de sus alas. Tales sistemas se pueden modelar considerando

que el sistema es excitado por el movimiento de la base. Este problema de

excitacin por la base es ilustrado en la Figura 3.1.

La ecuacin de movimiento para este sistema viene dada por: mx + c (x y ) + k(x y) = 0.

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5

6

7

3.4 Aislamiento de la vibracin

El aislamiento de la vibracin es un procedimiento mediante el cual se reducen los

efectos indeseables de vibracin. Bsicamente, implica la insercin de un miembro

elstico (o aislador) entre la masa vibratoria (equipo o carga til) y la fuente de

vibracin de modo que se logre una reduccin de la respuesta dinmica del sistema

sometido a condiciones especficas de excitacin por vibracin. Se dice que un

sistema de aislamiento es activo o pasivo segn si se requiere o no potencia externa

para que el aislador realice su funcin.

Un aislador pasivo se compone de un miembro elstico (rigidez) y un disipador de

energa (amortiguamiento). Algunos ejemplos de aisladores pasivos comprenden

resortes metlicos, corchos, fieltro, resortes neumticos y resortes elastomricos

(caucho). Un aislador activo se compone de un servomecanismo con un sensor, un

procesador de seales y un actuador. El aislamiento de vibracin se puede utilizar

en dos tipos de situaciones.

En el primer tipo, el cimiento o base de una mquina vibratoria se protege contra

grandes fuerzas desbalanceadas. En el segundo tipo, el sistema se protege contra

el movimiento de su cimiento o base. El primer tipo de aislamiento se utiliza cuando

una masa (o mquina) se somete a una fuerza o excitacin. Por ejemplo, en prensas

de forja y estampado, grandes fuerzas impulsoras actan en el objeto que se est

formando o estampando.

Estos impactos se transmiten a la base o cimiento pero tambin a las estructuras o

mquinas circundantes o cercanas. Tambin pueden provocar incomodidad a los

operarios de mquinas. Asimismo, en el caso de mquinas reciprocantes y

rotatorias, las fuerzas desbalanceadas inherentes se transmiten a la base o cimiento

de la mquina. En tales casos, la fuerza transmitida a la base, Ft(t) vara

armnicamente, y los esfuerzos resultantes en los pernos tambin varan

armnicamente, lo que podra provocar fallas por ftiga.

El aislamiento de vibraciones puede tener 2 objetivos alternativos: Aislar a la

mquina de las vibraciones ambientales Reducir las vibraciones que la misma

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mquina genera en su entorno. La vibracin excesiva puede provocar un fallo

prematuro de la maquinaria, fatiga estructural de los soportes, y el aumento de ruido

La interposicin de aisladores apropiados entre la estructura soporte y el material

garantiza en general dos funciones:- Una funcin esttica significativa, que permite

una mejor distribucin de las cargas absorbiendo ciertas tolerancias de fabricacin,

permitiendo as realizaciones ms seguras y ms econmicas.- Una funcin

dinmica, realizando un aislamiento de vibraciones y choques que mejora

sosteniblemente el confort vibratorio circundante y el tiempo de vida de los equipos.

Aislamiento activo

Para concretar el aislamiento activo se debe disear un controlador que genere una

seal que permita al actuador eliminar o reducir al mximo las vibraciones, de esta

manera, el sistema activo puede ser visto como un sistema que continuamente est

recalculando su capacidad de disipacin segn la perturbacin predominante. El

control activo involucra es uso de una fuente de energa externa, sensores,

actuadores y algn tipo de sistema de control electrnico con el objeto especfico

de reducir o mantener los niveles de vibracin dentro de los mrgenes definidos

previamente.

Un sistema de aislamiento activo de vibraciones puede considerarse como un

sistema en el cual las fuerzas disipativas son recalculadas continuamente para

obtener las caractersticas de funcionamiento deseadas. Las ventajas principales

son: Suministran o disipan energa cuando se requiere. Permiten atenuar

vibraciones en un rango amplio de frecuencias. Toleran diferentes tipos de

perturbaciones.

Aisladores de almohadilla

Estn hechos de capas de materiales flexibles diseados para amortiguar los

niveles de vibracin en aplicaciones que no son crticas, tales como: Generadores

montados en su propia caseta de exteriores, o donde se usan aisladores integrados

en el generador. Los aisladores de almohadilla varan en su efectividad, pero son

aproximadamente 75%eficientes.

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Aisladores de resorte

Entre los aisladores de resorte tenemos:

Resortes de metal

Resortes helicoidales

Resortes de anillo

Resortes tipo arandela

Resortes de malla de alambre

Aisladores de aire

Un aislador de aire, (o resorte de aire) es una columna de gas confinada en un

contenedor diseado para utilizar la presin del gas como el medio de fuerza del

resorte.

Aisladores plsticos

Los aisladores fabricados de plstico resistentes estn disponibles y tienen

caractersticas de rendimiento similares a los de goma y algn tipo de aislador de

metal en la configuracin equivalente. Los ms utilizados son los materiales de

polietileno para los elementos estructurales y de estrenlo para elastmeros

resistentes.

Aisladores elastmeros

Un elastmero es un polmetro que cuenta con la particularidad de ser muy elstico

pudiendo incluso, recuperar su forma luego de ser deformado. Debido a estas

caractersticas, los elastmeros, son el material bsico de fabricacin

3.5.- Instrumentos de medicin de vibraciones.

Las mediciones que se van a medir pueden clasificarse como

a).- Peridicas

b).- De choque

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De estos movimientos el peridico es el ms conocido, y los instrumentos utilizados

para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleracin, o pendiente de onda,

estn bien desarrollados.

En la medicin de choques, solamente son de inters los valores pico. En el caso

de los movimientos casuales, es deseable el espectro de frecuencia del valor

cuadrtico medio, siendo los instrumentos utilizados para estas mediciones de gran

complejidad y de reciente desarrollo.

La medicin de la Vibracin tambin se puede definir como el estudio de las

oscilaciones mecnicas de un sistema dinmico. Las mediciones de vibracin

deben ser hechas con la finalidad de producir los datos necesarios, para realizar

significativas conclusiones del sistema bajo prueba.

Estos datos pueden ser usados para minimizar o eliminar la vibracin, y por tanto

eliminar el ruido resultante.

En algunas aplicaciones, el ruido no es el parmetro a controlar, sino la calidad del

producto obtenido por el sistema. Un sistema de medicin y procesamiento de

seales de vibracin por computadora tpica, est formado por:

Los transductores de vibraciones (Acelermetros, LVDTs, Sondas de Corriente

Eddy) los cuales son los encargados de transformar las vibraciones en seales

elctricas.

Un sistema de acondicionamiento de seal, el cual se encarga de recoger las

diferentes seales, amplificarlas y llevarlas a los niveles de tensin aceptados por

el sistema de adquisicin de datos.

La tarjeta de adquisicin de datos, la cual se encarga de digitalizar la seal,

realizando para ello, un muestreo discreto de la seal analgica proveniente del

acondicionamiento de seal, y de introducirla al computador donde se realizan

diferentes tipos de procesamiento para obtener toda la informacin que se requiere

para el anlisis y monitoreo de las vibraciones de las mquinas.

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Los parmetros caractersticos de las vibraciones son:

Desplazamiento: Indica la cantidad de movimiento que la masa experimenta

con respecto a su posicin de reposo.

Periodo: Es el tiempo que tarda masa en realizar un ciclo completo.

Frecuencia: Es el nmero de ciclos que ocurren en una unidad de tiempo.

Velocidad: Se refiere a la proporcin del cambio de velocidad con respecto

al tiempo

Aceleracin: Proporciona la medida del cambio de la velocidad respecto al

tiempo

Los equipos que se utilizan para realizar medidas son similares a los que se

muestran a continuacin:

Un sonmetro es un instrumento que responde ante un sonido de forma

aproximada a como lo hara el odo humano, y se utiliza para medir el nivel

de presin sonora.

Los acelermetros se utilizan para medir las vibraciones producidas por

mquinas e instalaciones.

El analizador de espectros permite realizar el anlisis de las seales sonoras

y de vibraciones.

Los calibradores se utilizan para asegurar la fiabilidad de los equipos. El

calibrador genera un tono estable de nivel a una frecuencia predeterminada

y se ajusta a la lectura del equipo hacindola coincidir con el nivel patrn

generado por el calibrador.

Para que los equipos sean vlidos para realizar la medicin deben pasar unas

verificaciones y comprobaciones que garanticen el buen estado de los equipos:

Los sonmetros y los calibradores tienen que tener un certificado de verificacin

primitiva (facilitado por el fabricante en el momento que se adquiere el equipo).

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Adems de forma anual deben pasar una verificacin peridica para comprobar que

los equipos siguen en perfecto estado de funcionamiento.

El equipo tiene que tener una pegatina donde se refleje todas las verificaciones del

instrumento.