UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC

Tema 4.1.

Circuitos de primer orden

1

Elementos pasivos: Condensador

Elemento que almacena energía en forma de carga eléctrica, proporcional a la tensión entre sus extremos.

Compuesto por dos placas conductoras separadas por un material aislante.

C = capacidad

Unidades: Faradios [F]

1F=1C/1V

𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝐴𝐵

𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑣𝐴𝐵(𝑡)

𝑑𝑡

𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝑣𝐴𝐵 𝑡0 +1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

C

A B

I

C

2

Comportamiento de C en continua

En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.

En un condensador, i(t) = C∙dvAB(t)/dt = C∙0 = 0

i(t)=0 -> El condensador equivale a un circuito abierto.

Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen los condensadores por circuitos abiertos:

+

- 5V

2KΩ

6KΩ 5mF +

- 5V

2KΩ

6KΩ

3

Tipos de condensadores

4

¿Dónde hay condensadores?

Flash

Vehículo eléctrico

Equipo corrección factor potencia Circuito electrónico

5

Elementos pasivos: Bobina

Elemento que almacena energía magnética.

Compuesto por un hilo conductor devanado en forma helicoidal.

L = inductancia.

Unidades: Henrios [H].

𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑡0 +1

𝐿 𝑣𝐴𝐵 𝑡 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

L

A B

I

L

I

6

Comportamiento de L en continua

En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.

En una bobina, vAB(t) = L∙di(t)/dt = L∙0 = 0

vAB(t)=0 -> La bobina equivale a un cortocircuito.

Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos :

+

- 5V 6KΩ +

- 5V

10mH

6KΩ

7

Tipos de bobinas

8

¿Dónde hay bobinas?

Ferrita (interferencias)

Transformador

Circuito electrónico

Cocina inducción

Motor eléctrico

9

Principio de dualidad

Bobinas y condensadores son elementos duales.

Su modelo matemático coincide con sólo cambiar C por L y V por I: Condensador: i(t) = C∙dv(t)/dt

Bobina: v(t) = L∙di(t)/dt

En DC, un condensador es un circuito abierto.

En DC, una bobina es un cortocircuito.

10

Asociación de bobinas en serie

Elementos en serie:

Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.

Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.

Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.

L1 L2 A B C

Leq A C

Las inductancias en serie se suman.

Leq = L1 + L2

11

Asociación de bobinas en paralelo

Elementos en paralelo:

Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.

En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.

A

L1 L2

B

Leq

A

B

𝟏

𝐋𝐞𝐪=𝟏

𝐋𝟏+𝟏

𝐋𝟐

Los inversos de las inductancias en paralelo se suman.

12

Asociación de condensadores en serie

Elementos en serie:

Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.

Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.

Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.

C1 C2 A B C

Ceq A C

Los inversos de las capacidades en serie se suman.

𝟏

𝐂𝐞𝐪=𝟏

𝐂𝟏+𝟏

𝐂𝟐

13

Asociación de condensadores en paralelo

Elementos en paralelo:

Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.

En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.

Las capacidades en paralelo se suman.

C1 C2

A

B

Ceq

A

B

Ceq = C1 + C2

14

Régimen permanente vs. transitorio

Régimen permanente o estacionario: es la respuesta de un circuito para tiempos que tienden a ∞.

Régimen permanente en DC: las tensiones y corrientes son constantes.

Régimen permanente en AC: las tensiones y corrientes son funciones cosenoidales.

15

Régimen permanente vs. transitorio

Régimen transitorio: es la respuesta de un circuito para tiempos pequeños.

Sólo estudiaremos Régimen transitorio en DC.

Dos tipos de circuitos:

Circuitos de primer orden

Circuitos de segundo orden

16

Circuitos de primer orden Características

Su comportamiento se representa por una ecuación diferencial de primer orden.

Los circuitos de primer orden se pueden reducir a:

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

Is

R C

CIRCUITO RC

17

Circuitos de primer orden Características

Cualquier circuito con una sola bobina o un solo condensador es un circuito de primer orden, basta hacer los equivalentes de Thevenin o Norton para el resto del circuito:

L ? C ?

18

Circuitos de primer orden Características

Si hay varias bobinas o varios condensadores pero se pueden reducir a un solo elemento por agrupaciones serie o paralelo estamos en el mismo caso.

Si en el circuito hay simultáneamente bobinas y condensadores, el circuito NO es de primer orden.

19

Ecuación diferencial de primer orden Circuitos RL y RC

Ecuación de malla:

−Vs + VR + VL=0

−VS + i · R + Ldi

dt= 0

di

dt+R

L· i =

VSL

Ecuación de nodo:

−IS + i1 + i2=0

−IS +v

R+ C

dv

dt= 0

dv

dt+1

RC· v =

ISC

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

i

Solución: i(t)

Is

R

C

CIRCUITO RC

i1 i2

v

Solución: v(t)

20

Ecuación diferencial de primer orden

Ecuación de malla:

−Vs + VR + VL=0

−VS + i · R + Ldi

dt= 0

di

dt+R

L· i =

VSL

Ecuación de nodo:

−IS + i1 + i2=0

−IS +v

R+ C

dv

dt= 0

dv

dt+1

RC· v =

ISC

dx(t)

dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

21

Ecuación diferencial de primer orden Solución general

Ecuación diferencial:

dx(t)

dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏

Solución:

x t =𝑏

𝑎+ 𝑘 · e−𝑎t

o a, b, k son constantes

o x(t) es la variable; para el circuito RL es la corriente de malla i(t) y para el circuito RC es la tensión de nodo v(t).

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

x 0 =𝑏

𝑎+ 𝑘

𝑘 = x 0 −𝑏

𝑎

22

Ecuación diferencial de primer orden Circuito RL

Ecuación diferencial: di

dt+R

L· i =

VSL

Solución:

i t =VSR+ k · e−

RLt

o VS, R, L son datos del circuito

o i(t) es la corriente de malla del circuito RL

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

k = i 0 −VSR

23

Ecuación diferencial de primer orden Circuito RC

Ecuación diferencial: dv

dt+1

RC· v =

ISC

Solución:

v t = IS · R + k · e−1RCt

o VS, R, C son datos del circuito

o v(t) es la tensión de nodo del circuito RC

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

k = v 0 − IS · R

24

Ecuación diferencial de primer orden Representación gráfica de x(t)

25

• En el gráfico, la constante de tiempo τ es el instante de tiempo en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de x(t).

• En el circuito RL, τ=L/R, y en el circuito RC, τ=RC. Las unidades de τ son segundos.

Métodos de resolución de problemas

Método de la ecuación diferencial o método de reducción.

Método paso por paso

26

Método de la ecuación diferencial

Caso: circuitos con bobinas

27

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

i

di

dt+R

L· i =

VSL

i t =VSR+ k · e−

RLt

• el valor de k se obtiene

aplicando C.I.:

k = i 0 −VSR

1) Reducir a: 2) Encontrar i(t):

3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de i(t)

Método de la ecuación diferencial

Caso: circuitos con condensadores

28

dv

dt+1

RC· v =

ISC

v t = IS · R + k · e−1RCt

• el valor de k se obtiene

aplicando C.I.: k = v 0 − IS · R

1) Reducir a: 2) Encontrar v(t):

Is

R

C

CIRCUITO RC

i1 i2

v

3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de v(t)

Método de la ecuación diferencial ¿Por qué se trabaja con i(t) para las bobinas y con v(t)

para los condensadores?

29

Porque es más fácil aplicar C.I.

En las bobinas, la i no varía bruscamente:

i(0-)=i(0+) v(0-)≠v(0+)

En los condensadores, la v no varía bruscamente:

v(0-)=v(0+) i(0-)≠i(0+)

0- = antes del cambio 0+ = después del cambio

t t

i(t) v(t)

t t

v(t) i(t)

Método de la ecuación diferencial Ejemplo (1)

El interruptor ha estado en la posición 1 por largo tiempo, en t=0 el interruptor se mueve a la posición 2. Calculad la corriente i(t) por la resistencia R2, para t>0.

VS=12V, R1=6kΩ, R2=3kΩ, C=100μF

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