UNIDAD 4: Equilibrio de cuerpos rígidos. Elasticidad

8-3 Composición de fuerzas paralelas, Centro de gravedad

8-4 Deformación de los sólidos. Ley de Hooke. Módulo de Young.

8-4 Relación de Poisón. Dilatación cúbica. Módulo de rigidez. Torsión

8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo

8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo

1F

2F

3F

4F

A la fuerza única que produce el mismo efecto que las individuales, aplicadas simultáneamente, se las denomina Resultante.

1F 2F

4F

3F

R

R

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

Si además las fuerzas se aplican en un mismo punto, se llaman concurrentes

Ya vimos que a la fuerza única que produce el mismo efecto que las individuales, aplicadas simultáneamente, se las denomina Resultante.

Esto sucede normalmente cuando trabajamos sobre partículas, entendiendo como tales a cuerpos tan pequeños que se los puede suponer como un punto

1F2F

4F

3F

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

yF

O F

ˆy yF F j

Cualquier fuerza puede ser sustituida por sus vectores componente, actuando en el mismo punto

y

xxF

.xF F cosˆ

x xF F i

.yF F sen

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

2F

1F

3F

nF

1 2 3 ... nR F F F F

R F

1 2 3 ...x x x x xnR F F F F

x xR F

1 2 3 ...y y y y ynR F F F F

y yR F

2 2x yR R R 2 2 2

x y zR R R R

ˆ ˆx yR R i R j

y

x

Rarctg

R

x

y

1F

2F

4F

3F

8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo

E

4321 FFFFR

0 RE

04321 FFFFE

054321 FFFFF

01

n

iiF

primera condición de equilibrio de un cuerpo.

R

5E F

00...321 xnxxxx FFFFF

00...321 znzzzz FFFFF

1

ˆˆ ˆ( ) 0n

ix iy izi

F i F j F k

01

n

iiF

00...321 ynyyyy FFFFF

8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo

Equilibrio unidimensional

y

N

LW

x

0xF

0yF

0)( LWN

LWN

T3

T1

yEquilibrio bidimensional

T2

T1

o

T3 T2 x

senTT .31

T3x

T3y

0yF 013 TT y

0. 13 TsenT 0xF 032 xTT

0cos.32 TTcos.32 TT

cos.1

sen

T

T2

T1

o

T3

T1

y

x

W

0yF 01 WT WT 1

Equilibrio bidimensional

T3

T1

y

T2

T1

o

T3 T2 x

senTT .31

2Ttg

W

T3x

T3y

cos.32 TT

cos.sen

W

sen

WT 3W

Equilibrio bidimensional

Ejemplo

Determinar las tensiones T1 y T2 de las cuerdas que sostienen la lámpara de peso P en la posición indicada de la figura

T2T1

P=80N

40°30°

F

F

O

Si una de las fuerzas se aplica en el punto O y la otra en el punto A, la regla comenzará a girar, en sentido contrario a las aguas del reloj. La regla no está en equilibrio y sin embargo se cumple que F=0.

F

F

O

A

Consideremos la figura. Si se aplican dos fuerzas iguales F, en el centro de una regla rígida ligera, la regla queda en equilibrio, ya que se cumple la primera condición de equilibrio dada por la ecuación F=0.

M

Las fuerzas no concurrentes pueden producir una rotación o momento que hacen girar el cuerpo. En este caso el cuerpo no está en equilibrio, ya que está girando, y sin embargo cumple la primera condición de equilibrio.

8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo

En el juego del sube y baja, los niños aprenden muy pronto que la distancia a la cual se sientan respecto al eje de giro, es tan importante como su peso. El niño que es mas pesado se sienta a una distancia mas corta que el niño que es mas liviano

El equilibrio se consigue cuando el torque que tiende a producir una rotación en sentido de las agujas del reloj, es igual al torque que tiende a producir una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj

La Segunda condición de equilibrio dice que la suma de todos los torques debido a las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, respecto a cualquier punto, debe ser cero

0oM

8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo

De manera general, para que un cuerpo esté en equilibrio se debe cumplir:

Primera Condición de Equilibrio:

0xF

0yF

Segunda Condición de Equilibrio:

0oM

8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo

Supongamos tener una regla de peso despreciable y un metro de longitud, suspendida de su centro. Un bloque de 20N cuelga en la marca correspondiente a 80cm. Otro bloque cuyo peso se desconoce equilibra exactamente el sistema cuando cuelga en la marca de 10cm. ¿Cuánto pesa el segundo bloque?

Ejemplo

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

P1 P2=20N

Un anuncio metálico de peso W=100N de una tienda cuelga del extremo de una varilla horizontal de longitud L=1,2m y peso 30N. La varilla se sostiene mediante un cable que forma un ángulo =30° con la horizontal, y tiene una articulación en el punto P. Calcular la tensión del cable y las componentes de la fuerza que la articulación ejerce sobre la varilla en P

Ejemplo

1,2m

100N

30°P

8-3 Composición de fuerzas paralelas, Centro de gravedad

1F

2F

3F

nF

1r2r

3rnr

1F

3F

nF

2FR

1 2 3 ...R n

1 1 2 2 3 3. . . . ... .R n nR r F r F r F r F r

1 1 2 2 3 3. . . ... .n nR

F r F r F r F rr

R

1 10F N

2 5F N

3 20F N

4 15F N1,5m 0,8m 2m

Composición de fuerzas paralelas

Torque y Centro de masa1 1 2 2

1 2

. . ... . .

...n n i i

cmn

r m r m r m r mr

m m m M

1W

1r

.n nW m g

2r

cmr

nr

1m 2m

nm

2W

nW

W

M

.n nr m g

n n nr W

1 1 2 2. . ... .n nr m g r m g r m g

1 1 2 2( . . ... . )n nr m r m r m g

.i ir m g

Multiplicando y dividiendo por la masa total:

..

i ir mM g

M .cmr M g

cmr W

Propiedades elásticas de la materia

Un cuerpo elástico es aquel que regresa a su forma original después de una deformación.

Un cuerpo inelástico es aquel que no regresa a su forma original después de una deformación.

8-4 Deformación de los sólidos. Ley de Hooke. Módulo de Young

FP

x

kFR

Ley de Hooke:

xkFR .

Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elástico que se puede deformar al estirarse.

Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento.

La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por:

x

Fk

La constante de resorte k es una medida de la elasticidad del resorte.

Esfuerzo y deformación

Esfuerzo se refiere a la causa de una deformación, y deformación se refiere al efecto de la deformación.

La fuerza descendente F causa el desplazamiento x.

Por tanto, el esfuerzo es la fuerza; la deformación es la elongación.

L

DL

Un esfuerzo de tensión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen alejándose mutuamente.

Un esfuerzo de compresión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una hacia la otra.

Tipos de esfuerzo

Tensión

Compresión

F

F

Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada F al área A sobre la que actúa:

Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado.

Ejemplos: Cambio en longitud por unidad de longitud; cambio en volumen por unidad de volumen.

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝑭𝑨 22 o Pa :

inlb

mN

Unidades

Esfuerzo y deformación longitudinales

AA

F

Para alambres, varillas y barras, existe un esfuerzo longitudinal F/A que produce un cambio en longitud por unidad de longitud. En tales casos:

L

DL

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝑭𝑨

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛=∆𝑳𝑳

AA

F

L

DL

Ejemplo. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2mm de diámetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200 N. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado? Primero encuentre el área del

alambre:

A = 3.14 x 10-6 m2

𝐴= 𝜋 .𝐷2

4¿𝜋 .(0,002𝑚)2

4

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝐹𝐴

¿200𝑁

3,14.10−6𝑚2

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=6,37. 107 𝑃𝑎

AA

F

L

DL

Ejemplo. Si el alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. ¿Cuál es la deformación longitudinal?

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛=∆ 𝐿𝐿

Deformación

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛=0,00308𝑚

10𝑚

El límite elástico

El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado permanentemente.

Resistencia a la rotura

La resistencia a la rotura es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse.

El módulo de elasticidad

Siempre que el límite elástico no se supere, una deformación elástica (deformación) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo).

𝑀 ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑=𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜

𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛

AA

F

L

DL

Ejemplo. Si el límite elástico para el acero del alambre es 2.48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin superar el límite elástico?

F

Recordando: A

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝐹𝐴

=2,48.108 𝑃𝑎

𝐹=( 2,48.108𝑃𝑎 ) . 𝐴

𝐹=( 2,48.108𝑃𝑎 ) .3,14 .10− 6𝑚2

AA

F

L

DL

Ejemplo. Si La resistencia a la rotura para el acero es 4089 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin romper el alambre?

F

Recordando: A

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝐹𝐴

=4,89. 108 𝑃𝑎

𝐹=( 4,89.108 𝑃𝑎) . 𝐴

𝐹=( 4,89.108 𝑃𝑎) .3,14 .10−6𝑚2

Módulo de Young

Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el ancho o espesor, se tiene preocupación por el módulo longitudinal de elasticidad, o módulo de Young (Y).

𝑀 ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑑𝑒𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔=𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑌=

𝐹𝐴∆ 𝐿𝐿

𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 : 𝑃𝑎𝑜𝑙𝑏𝑖𝑛2

AA

FL

DL

Ejemplo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo aplicado al alambre de acero fue 6.37 x 107 Pa y la deformación fue 3.08 x 10-4. Encuentre el módulo de elasticidad para el acero

𝑌=207.109𝑃𝑎

𝑀 ó𝑑𝑢𝑙𝑜=𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜

𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛

𝑌=6,37. 107 𝑃𝑎3,08.10−4

Valores representativos para módulos elásticos

Módulo de corteUn esfuerzo cortante altera sólo la forma del cuerpo y deja el volumen invariable. Por ejemplo, considere las fuerzas cortantes iguales y opuestas F que actúan sobre el cubo siguiente:

La fuerza cortante F produce un ángulo cortante . El ángulo es la deformación y el esfuerzo está dado por F/A como antes.

l

∆x F

F

Módulo de corte

l

∆x F

F

La deformación es el ángulo expresado en radianes:

El esfuerzo es fuerza por unidad de área:

El módulo de corte S se define como la razón del esfuerzo cortante F/A a la deformación de corte :

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=𝑭𝑨

𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛=∅=∆ 𝒙𝒍

𝑆=

𝐹𝐴∆ 𝑥𝑙

=

𝐹𝐴∅

𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 : 𝑃𝑎𝑜𝑙𝑏𝑖𝑛2

Ejemplo. Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de diámetro se proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36,000 N. ¿Cuál es la desviación ∆x del perno?

A = 7.85 x 10-5 m2

𝐴= 𝜋 .𝐷2

4¿𝜋 .(0,01𝑚)2

4

𝑆=

𝐹𝐴∆ 𝑥𝑙

=𝐹 .𝑙∆ 𝑥 . 𝐴

∆ 𝑥=𝐹 .𝑙𝑆 . 𝐴

∆ 𝑥=36000𝑁 .0,04𝑚

8,27. 1010 𝑃𝑎 .7,85 .10−5𝑚2

∆ 𝑥𝑙

∆x= 0,222mm

F

Elasticidad volumétrica

No todas las deformaciones son lineales. A veces un esfuerzo aplicado F/A resulta en una disminución del volumen. En tales casos, existe un módulo volumétrico B de elasticidad.

𝐵=𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖 ó𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝐵=−

𝐹𝐴∆𝑉𝑉

El signo (-) es para que B sea (+) ya que un aumento de presión ∆P(+) implica disminución de volumen ∆V(-) y viceversa.

¿−∆ 𝑃∆𝑉𝑉

Ejemplo. Una prensa hidrostática contiene 5 litros de aceite. Encuentre la disminución en volumen del aceite si se sujeta a una presión de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.)

𝐵=−∆ 𝑃∆𝑉𝑉

¿−∆ 𝑃 .𝑉∆𝑉

∆𝑉=−∆ 𝑃 .𝑉𝐵

¿− 3.106 𝑃𝑎 .5 𝑙1700. 106 𝑃𝑎

∆𝑉=−8,82ml