Unidad 4. Factorizacion LU
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Métodos Numéricos I
UNIDAD 4: FACTORIZACIÓN LU Y SUS APLICACIONES
Introducción
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UnidaUnidaUnidaUnidad 4.d 4.d 4.d 4. Factorización LU y sus Factorización LU y sus Factorización LU y sus Factorización LU y sus AplicacionesAplicacionesAplicacionesAplicaciones
Introducción
Si A puede escribirse como el producto de dos matrices LU:
Dónde:
LUA =
L= Matriz triangular inferior.
U= Matriz triangular superior.
Para poder resolver un sistema de ecuaciones utilizando esta factorización se tiene:
Sistema de Ecuaciones
−−
= bxA
LUA =
−−
= bxLU
bCL =
−
44434241
333231
2221
11
0
00
000
llll
lll
ll
l
4
3
2
1
C
C
C
C
=
4
3
2
1
b
b
b
b
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Sustitución hacia adelante:
1111bCL = ⇒
11
1
1
L
bC =
2222121bCLCL =+ ⇒
22
121
22
2
2
L
CL
L
bC −=
3333232131bCLCLCL =++ ⇒
33
232
33
131
33
3
3
L
CL
L
CL
L
bC −−=
4444343242141bCLCLCLCL =+++ ⇒
44
343
44
242
44
141
44
4
4
L
CL
L
CL
L
CL
L
bC −−−=
44
3433
242322
14131211
000
00
0
U
UU
UUU
UUUU
4
3
2
1
x
x
x
x
=
4
3
2
1
C
C
C
C
Sustitución hacia atrás:
4344CxU = ⇒
44
4
4
U
Cx =
3434333CxUxU =+ ⇒
33
434
33
3
3
U
xU
U
Cx −=
2424323222CxUxUxU =++ ⇒
22
424
22
323
22
2
2
U
xU
U
xU
U
Cx −−=
1414313212111CxUxUxUxU =+++ ⇒
11
414
11
313
11
212
11
1
1
U
xU
U
xU
U
xU
U
Cx −−−=
Se encuentra C por medio de una sustitución hacia delante CxU =
−
, por medio de una
sustitución hacia atrás se encuentra
−
x la solución al sistema de ecuaciones.
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Ejemplo
Supóngase que se desea resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
14 1 1 1 2 x1 2
4 12 1 1 1 x2 4
2 -2 8 -2 2 X x3 = 12
1 1 -1 12 -2 x4 1
1 1 2 -2 14 x5 8
Si conocemos la factorización donde L y U son las siguientes matrices:
1 0 0 0 0
L= 0.28571429 1 0 0 0
0.14285714 -0.18292683 1 0 0
0.07142857 0.07926829 -0.14122137 1 0
0.07142857 0.07926829 0.23435115 -0.14295125 1
14 1 1 1 2
U= 0 11.7142857 0.71428571 0.71428571 0.42857143
0 0 7.98780488 -2.01219512 1.79268293
0 0 0 11.5877863 -1.92366412
0 0 0 0 13.1280632
Si necesitamos resolver el sistema de ecuaciones y ya conocemos las matrices L y U sólo
se realiza una sustitución hacia adelante para conocer los valores de −
C como se muestra:
L C b
1 0 0 0 0 c1 2
0.28571429 1 0 0 0 c2 4
0.14285714 -0.18292683 1 0 0 c3 = 12
0.07142857 0.07926829 -0.14122137 1 0 c4 1
0.07142857 0.07926829 0.23435115 -0.14295125 1 c5 8
Posteriormente se realiza una sustitución hacia adelante:
U X C
14 1 1 1 2 x1 2
0 11.7142857 0.71428571 0.71428571 0.42857143 x2 3.428571
0 0 7.98780488 -2.01219512 1.79268293 x3 = 12.34146
0 0 0 11.5877863 -1.92366412 x4 2.328244
0 0 0 0 13.1280632 x5 5.025955
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Y la solución del sistema es:
⇒
x1 -0.0518155
x2 0.16951687
x3 = 1.52574216
x4 0.26447683
x5 0.38284057
Hay varias formas de transformar a la matriz de coeficientes A en las dos matrices L y U para hacerlo en este capítulo se verán los métodos de:
1. Cholesky
2. Doolittle
3. Crout