INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE MISANTLA

INGENERIA CIVIL

INTRODUCCION A LA MECANICA

DEL MEDIO CONTINUO

DOCENTE:

ING. MARTIN R. PEREZ JAIMES

ALUMNO:

BENJAMIN VALERA DIAZ

UNIDAD 5: ECUACIÓN CONSTITUTIVA

En análisis estructural, relaciones constitutivas conecte aplicado tensiones o fuerzas a tensiones o deformaciones. La relación constitutiva para materiales lineares es linear, y se conoce comúnmente como Ley de Hooke.

Más generalmente, adentro física, a ecuación constitutiva es una relación entre dos cantidades físicas (descritas a menudo cerca tensores) que son específicos a un material o a una sustancia, y no sigue directamente de ley física. Se combina con otras ecuaciones que representen leyes físicos

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para solucionar problemas físicos, como el flujo de un líquido en una pipa, o la respuesta de un cristal a un campo eléctrico.

La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue descubierta cerca Roberto Hooke y se conoce como ley de Hooke. Trata del caso de materiales elásticos lineares. El concepto de la “ley constitutiva” fue introducido en la tesis doctoral de Walter Noll en 1954.[1]

Algunas ecuaciones constitutivas están simplemente fenomenológico; otros se derivan de primeros principios. Una ecuación constitutiva tiene con frecuencia un parámetro tomado para ser una constante de la proporcionalidad en sistemas ideales.

5.1 ELASTICIDAD CLÁSICA

La Teoría de Elasticidad no es la explicación física de la elasticidad. Estudia la respuesta de un modelo de material llamado sólido elástico al ser aplicadas cargas o imponerse desplazamientos superficiales.

Por respuesta se entiende alguno de los siguientes campos: campo de esfuerzos, campo de deformaciones unitarias, campo de los desplazamientos. Se expresan como juego de funciones de posición y tiempo en términos de fuerzas internas, deformaciones locales y desplazamiento de partículas.

La Teoría de Elasticidad es una teoría del medio continuo. Por fuerzas internas no se entienden fuerzas atómicas, moleculares o aún entre cristales. Se trata de fuerzas entre elementos macroscópicos con dimensiones pequeñas en relación con aquellas típicas del sólido considerado, pero grandes en comparación con las dimensiones típicas de los cristales. Los términos deformaciones locales y desplazamientos de partículas están referidos a estos elementos macroscópicos.

Debido a la complejidad de los materiales reales, expresable en un amplio rango de propiedades, los intentos de estudio las reducen en grupos organizados a través de modelos que describen el comportamiento de un material ideal.

La Teoría de Elasticidad trata como material ideal al sólido perfectamente elástico. Desde un estado inicial sin cargas ni fuerzas internas, llega a un estado final deformado por aplicación cuasi-estática de un juego de cargas. Se puede llegar al mismo estado final por diferentes juegos de cargas que hacen el mismo trabajo. Además, este trabajo es totalmente recuperado en cualquier retorno a su estado inicial por una lenta remoción de las cargas. Esta es la definición de un sólido elástico ideal.

Aunque no existen sólidos reales con este comportamiento, a muchos se les reconoce un rango elástico en donde se comportan esencialmente de la manera descrita. Este rango varía según el material y las condiciones (en el caucho sin vulcanizar este rango llega las grandes deformaciones, en el acero sólo alcanza a las muy pequeñas). En este último caso, el más común, se ha encontrado

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que la deformación crece de manera proporcional a la carga. La teoría clásica de elasticidad lineal trata con una relación lineal homogénea entre esfuerzos y muy pequeñas deformaciones unitarias.

Se reconocen las siguientes relaciones de elasticidad:

• Geométricas: tri y bi dimensionales estudiados con el auxilio del análisis vectorial o tensorial.

• Cinemáticas: entendiendo el movimiento de un sólido sin referencia a las fuerzas que causan el movimiento.

• Dinámicas: estudio de las fuerzas externas sin referencia al movimiento que producen.

• Constitutivas: caracterizan la constitución de los materiales que componen el sólido considerado.

5.1.1 LEY DE HOOKE

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Caso unidimensional.-En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ11, ε = ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a:

donde E es el módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo.-Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

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5.1.1.1 ISOTROPIA

La isotropía es la característica de poseer iguales propiedades en cualquier dirección. Cuando la propiedad elasticidad se manifiesta en igual medida cualquiera sea la dirección en la que se ha producido la deformación o la dirección en la que se deforma, el material se denomina isótropo.

5.1.2 ENERGIA ELÁSTICA DE DEFORMACIÓN

Energía de deformación reversible e irreversible

Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.

En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

Energía potencial elástica.-La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

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Donde:

, son las componentes del tensor tensión.

, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.

Descomposición de la energía elástica.-La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen):

Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

Donde hemos hecho intervernir el módulo de compresibilidad K, que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos reexpresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales.

5.1.3 TENSOR PIOLA-KIRCHHOFF

Los tensores tensión de Piola-Kirchhoff son tensores usados en la teoría de la elasticidad con deformaciones finitas para representar la tensión con respecto a la configuración inicial no deformada. Esto contrasta con el tensor tensión de Cauchy usualmente usado para representar las tensiones configuración deformada.

En la teoría lineal de la elasticidad debido a que la configuración deformada y la configuración no deformada son prácticamente iguales, lo cual permite usar el tensor tensión de Cauchy para representar las tensiones en la configuración inicial no deformada con muy buena aproximación. Sin embargo, con grandes deformaciones ese modo de proceder no resulta adecuado, y en general se requiere el uso de los tensores de Piola-Kirchhoff. Existen dos tipos de tensores de Piola-Kirchoff:

Primer tensor de Piola-Kirchoff, que es un tensor mixto que relaciona la configuración inicial no deformada con las tensiones en la configuración deformada.

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Segundo tensor de Piola-Kirchoff, es un tensor simétrico que permite plantear el problema elástico sobre la configuración inicial.

Estos tensores deben toman su nombre de Gabrio Piola y Gustav Kirchhoff.

1er tensor tensión de Piola-Kirchhoff.-Mientras que en tensor tensión de Cauchy TC = (σij) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas de la configuración final deformada, el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR = (KIj) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas en la configuración inicial no deformada (configuración material). Las componentes de este tensor se relacionan con las del tensor de Cauchy mediante:

Donde es el gradiente de deformación, que relaciona la configuración inicial no deformada y la configuración final deformada. Más sencillamente en componentes y usando en convenio de sumación de Einstein, la relación anterior puede escribirse como:

Puesto que este tensor relaciona magnitudes de diferentes sistemas coordenados es un tensor de "dos puntos" o tensor mixto. En general, este tensor no será simétrico. En una rotación rígida las componentes de este tensor en general no se mantendrán constantes. Este tensor es el "momento conjugado" del gradiente de deformación.

2o tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Mientras que el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR relaciona fuerzas en la configuración final deformada con áreas en la configuración inicial no deformada, el segundo tensor de Piola-Kirchhoff ΣR = (SIJ) relaciona fuerzas y áreas sobre la configuración inicial no deformada, y por tanto constituye un tensor ordinario (no mixto). Las fuerzas sobre la configuración inicial de referencia se obtienen proyectando las fuerzas sobre la configuración deformada, a través de isomorfismo que relaciona ambas geometrías. La relación entre el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y el tensor tensión de Cauchy viene dado por:

Por definición además este tensor, al igual que el tensor tensión de Cauchy, es simétrico. La relación anterior expresada en componentes es simplemente:

Si el material rota mediante una "rotación rígida" sin cambio de forma y por tanto sin cambio en las tensiones, entonces las componentes del segundo tensor de Piola-Kirchhoff permanencen constantes durante dicha rotación.

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Este segundo tensor de Piola-Kirchhoff es el "momento conjugado" respecto a la energía total del tensor deformación de Green-Lagrange.

5.1.4 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA

Un problema de valor de frontera o contorno se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también safistace condiciones de frontera.

Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville. El análisis de estos problemas involucran funciones propias y operadores diferenciales.

Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de Dirichlet, o buscando una función armónica (solución de una ecuación de Laplace) cuya solución esta dada por el principio de Dirichlet.

5.1.5 TENSOR DE ELASTICIDAD

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles.

La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el sólido es elástico.

Teoría de la Elasticidad Lineal.-Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:

Cuando eso sucede decimos que tenemos un sólido elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del

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campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:

Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material).

Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica).

Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado

Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.

Tensión

Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable.

5.2 FLUIDOS

Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. los fluidos.

Cuando escuchas la palabra fluido, es posible que pienses en líquidos como el agua o el jugo de naranja, algo que puedas revolver con una cuchara. Es correcto, todos los líquidos son fluidos. Pero, ¿sabías que los gases como el aire también son fluidos?.

Si puedes revolver algo con una cuchara o absorverlo con una pajita, es un fluido. De hecho, todos los líquidos y gases son fluidos. En el espacio y dentro de las estrellas existe otro fluido llamado, plasma. El plasma es lo que forma a las estrellas.

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Los líquidos y los gases son fluidos porque los átomos o moléculas están dispuestos de forma más desordenada que en los sólidos, no están confinados a posiciones específicas sino que pueden moverse entre los demás.

¡La mayoría del universo está hecho de fluido! Las siguientes cosas son fluidos: avena, gelatina, leche, sangre, lluvia, la atmósfera de la Tierra, los océanos, planetas de gas gigantes como, Júpiter, estrellas como el Sol, y las inmensas nubes de gas y polvo espacial. ¿Se te ocurren otros?

Características de los fluidos Los fluidos son sustancias capaces de fluir. La posición relativa de sus moléculas puede cambiar continuamente. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. Tienen viscosidad Dependiendo de su viscosidad fluyen a mayor o menor velocidad.

Los fluidos se pueden clasificar de acuerdo a las características que presentan en Newtonianos y No newtonianos. También en líquidos y gases.

5.2.1 FLUIDOS IDEALES

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:

1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido

2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo

3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo

4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

5.2.2 FLUIDO NEWTONIANO

Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su tasa de deformación es lineal y pasa por el origen, es decir, el punto [0,0]. El mejor ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento, la miel o los geles que son ejemplos de fluido no newtoniano.

Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: el aire, el agua, la gasolina, el vino y algunos aceites minerales.

Ecuación constitutiva

Matemáticamente, el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido newtoniano se puede representar por la relación:

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Donde:

es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie sólida en contacto con el mismo, tiene unidades de tensión o presión ([Pa]).

es la viscosidad del fluido, y para un fluido newtoniano depende sólo de la temperatura, puede medirse en [Pa·s] o [kp·s/cm2].

es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección al plano en el que estamos calculando la tensión tangencial, [s−1].

La ecuación constitutiva que relaciona el tensor tensión y el gradiente de velocidad y la presión en un fluido newtoniano es simplemente:

5.2.3 FLUIDOS LAMINAR Y TURBULENTO

Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido Se llama flujo laminar o corriente laminar, al tipo de movimiento de un fluido cuando éste es perfectamente ordenado, estratificado, suave, de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse si la corriente tiene lugar entre dos planos paralelos, o en capas cilíndricas coaxiales como, por ejemplo la glicerina en un tubo de sección circular. Las capas no se mezclan entre sí. El mecanismo de transporte es exclusivamente molecular. Se dice que este flujo es aerodinámico. En el flujo aerodinámico, cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente

La pérdida de energía es proporcional a la velocidad media. El perfil de velocidades tiene forma de una parábola, donde la velocidad máxima se encuentra en el eje del tubo y la velocidad es igual a cero en la pared del tubo.

Se da en fluidos con velocidades bajas o viscosidades altas, cuando se cumple que el número de Reynolds es inferior a 2300. Más allá de este número, será un flujo turbulento.

La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar:

Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. En situaciones que involucren combinaciones de baja viscosidad, alta velocidad o grandes caudales, el flujo laminar no es estable, lo que hace que se transforme en flujo turbulento.

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Distribución de velocidades en un tubo con flujo laminar.

Fluido Turbulento

En mecánica de fluidos, se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido a esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible, más precisamente caótica.

Las primeras explicaciones científicas de la formación del flujo turbulento proceden de Andréi Kolmogórov y Lev D. Landau (teoría de Hopf-Landau). Aunque la teoría modernamente aceptada de la turbulencia fue propuesta en 1974 por David Ruelle y Floris Takens.

Distribución de velocidades al interior de un tubo con flujo turbulento.

BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtoniano

http://avdiaz.files.wordpress.com/2008/10/guia1enclase.pdf

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Constitutive_equation

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

http://www.ingenieria.peru-v.com/documentos/Apuntes_sobre_teoria_de_Elasticidad.pdf

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http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)

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