Unidad 5: FÓRMULAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I

Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas

Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 1

Unidad 5: FÓRMULAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La característica que llama más la atención al alumno cuando estudia trigonometría

es la enorme cantidad de fórmulas que tiene que aprender o memorizar.

Localiza en tu libro de texto, o apuntes, las formulas trigonométricas que aparecen

resaltadas como importantes. Allí hallarás una demostración y explicación de cómo se

utilizan.

Estas son algunas de las más utilizadas:

Presta atención al ejemplo que aparece resuelto en este video.




Video 5 – 1 – a : https://www.youtube.com/watch?v=KNKtro9N0nE

Presta atención a la resolución del ejercicio de simplificación que aparece en el

siguiente video.

Video 5 – 2 – a : https://www.youtube.com/watch?v=_7SVKP74Pn4

Presta atención a la resolución de todos los ejercicios de simplificación que aparecen

en el siguiente video.

Video 5 – 2 – b : https://www.youtube.com/watch?v=8sN8sXqjl-A

https://www.youtube.com/watch?v=KNKtro9N0nE

https://www.youtube.com/watch?v=_7SVKP74Pn4

https://www.youtube.com/watch?v=8sN8sXqjl-A




Ejercicio 5 – 1.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS)

Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas

que aparecen en el siguiente video.

Video 5 – 3 – a : https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA


Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas

que aparecen en el siguiente video.

Video 5 – 3 – b : https://www.youtube.com/watch?v=A5mcbFkMJR0

Aquí tienes otro ejemplo de la resolución de un ejercicio de identidades

trigonométricas que aparece en el siguiente video.

Video 5 – 3 – c : https://www.youtube.com/watch?v=Yu63ixRvXkY

https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA

https://www.youtube.com/watch?v=A5mcbFkMJR0

https://www.youtube.com/watch?v=Yu63ixRvXkY




Y otro ejemplo más de la resolución del ejercicio de identidades trigonométricas que

aparece en el siguiente video.

Video 5 – 3 – d : https://www.youtube.com/watch?v=5FioTmDE5Ho


Ahora una para ti sin video de ayuda.

Demuestra la siguiente identidad:

https://www.youtube.com/watch?v=5FioTmDE5Ho




Las ecuaciones trigonométricas son muy variadas. Te pido que resuelvas las

más sencillas.

En primer lugar te muestro unas cuantas resueltas por mí mismo.

Ejemplo 1.- (ecuación de primer grado)

i) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = 0,4

ii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = - 0,4

iii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = 0,4

iv) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = - 0,4

v) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = 0,4

vi) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = - 0,4

Solución:

Este tipo de ecuaciones tiene como máximo dos soluciones. La calculadora científica

nos permite averiguar una solución, la otra la averiguamos con un truco. Las resolveremos

en grados; si el ejercicio pidiera la solución en radianes pues no hay problema, después los

pasaríamos a radianes, como hemos visto en el ejercicio 1.

i) SHIFT SEN-1

0,4 = y las calculadora nos da una solución 23º34º41º

Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de seno son

positivos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los

valores de seno son positivos. Este ángulo es 180 – A.

Soluciones: 23º34º41º y 180 - 23º34º41º = 156º25º19º

ii) SHIFT SEN-1

- 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -23º34º41º

Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de seno son

negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores

de seno son negativos. Este ángulo es el complementario

180 – A. Soluciones: - 23º34º41º y 180 – (-23º34º41º) = 203º34º41º. Pero el

ángulo negativo no se suele utilizar y lo pasamos a positivo sumándole 360º, y

obtenemos 360 + (-23º34º41º) = 336º25º19º

iii) SHIFT COS-1

0,4 = y las calculadora nos da una solución.87º42º27º.

Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de coseno son

positivos. El otro ángulo estará en el cuarto cuadrante, donde también los valores

de coseno son positivos. Este ángulo es 360 – A. Soluciones: 87º42º27º. y 360 -

87º42º27º = 272º17º33º

iv) SHIFT COS-1

- 0,4 = y las calculadora nos da una solución.113º34º41º

Este ángulo está situado en el segundo cuadrante donde los valores de coseno son

negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores

de coseno son negativos. Este ángulo es el complementario 360 – A. Soluciones:

113º34º41º y 360 - 113º34º41º = 246º25º19º

v) SHIFT TAN -1

0,4 = y las calculadora nos da una solución. 21º48º5º




Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de tangente son

positivos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores

de tangente son positivos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: 21º48º5º y 180 +

21º48º5º = 201º48º5º

vi) SHIFT TAN-1

- 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -21º48º5º

Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de tangente son

negativos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los

valores de seno son negativos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: - 21º48º5º y

180 + (-21º48º5º) = 158º11º55º. Pero el ángulo negativo no se suele utilizar y lo

pasamos a positivo sumándole 360º, y obtenemos 360 + (-21º48º5º) =

338º11º55º

Atención signo de las razones trigonométricas

Seno Coseno

En estos esquemas vemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante.

Mientras que el coseno es positivo en el primero y el cuarto. Existe otro esquema similar

para la tangente que es positiva en el primero y el tercero.

Recuerda Ecuaciones trigonométricas básicas

SOLUCIONES SOLUCIONES SOLUCIONES

sen x = 1 x = 90º cos x = 1 x = 0º tan x = 1 x = 45º y 225º

sen x = 0 x = 0º y 180º cos x = 0 x = 90º y 270º tan x = 0 x = 0º y 180º

sen x = -1 X = 270º cos x = -

1

x = 180º tan x = -

1

x = 135º y 315º

Las ecuaciones de la tabla anterior son muy importantes y los estudiantes de

matemáticas superiores de los últimos cien años(al menos) han terminado memorizándolas,

pero la cuestión no es memorizar sino aprender. Estos resultados se obtienen del estudio del

círculo goniométrico de la unidad 4.

NOTA IMPORTANTE

sen A = número, los dos valores del ángulo A son:

A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 – A1




cos A = número, los dos valores del ángulo A son:

A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 360 – A1

tan A = número, los dos valores del ángulo A son:

A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 + A1

Ejercicio 5 – 4.-(DOS ÁNGULOS CON UNA MISMA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA)

Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior.

En cada caso halla, en grados, dos valores para el ángulo A tales que:

a) sen A = 0,32 ; b) cos A = 0,58 ; c) tan A = - 1,5 ; d) sen A = - 0,63

Ejemplo 2.- (ecuación de segundo grado)

Presta atención al siguiente ejercicio. Tiene cuatro apartados. En el apartado a)

encontramos una ecuación de segundo grado completa y aplicamos la fórmula. En los dos

siguientes las ecuaciones son incompletas y no se aplica la fórmula sino el procedimiento

correspondiente; despejar con la raíz cuadrada o sacar factor común. La última ecuación es

más difícil pues mezcla dos razones trigonométricas distintas, el seno y el coseno, y en este

caso debemos recurrir a la fórmula fundamental de la trigonometría (seno)2 +(coseno)

2 = 1,

para despejar y sustituir.




Observa de qué manera al resolver una ecuación trigonométrica de segundo grado se

obtienen una o dos ecuaciones de primer grado, como las del ejemplo 1. Por lo tanto ya te

has dado cuenta de que resolver una de estas ecuaciones es un laborioso ejercicio de cálculo.

Ejercicio 5 – 5.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE SEGUNDO GRADO)

Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior. Soluciona las

siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) ; b) ; c) √

Ejercicio 5 – 6.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS)

Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video, pero sustituye

senx por cosx.

Video 5 – 4 – e : https://www.youtube.com/watch?v=3RzvkD0XJw8

https://www.youtube.com/watch?v=3RzvkD0XJw8




Ejercicio 5 – 7.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS)

Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video. Pero sustituye

el 1 por -1.

Video 5 – 4 – f : https://www.youtube.com/watch?v=F6G56eccQV0

En matemáticas utilizamos una medida de ángulos diferente a los grados, y son los

radianes. Debes conocer esta unidad de medida.

https://www.youtube.com/watch?v=F6G56eccQV0




Atención la calculadora en trigonometría

Podemos trabajar en grados DEG o radianes RAD. Para seleccionar uno u otro, debes pulsar

la tecla MODE dos veces y elegir 1 o 2. Si trabajas en radianes usarás el número , lo

encontrarás en la calculadora como segunda función en la última fila tercera columna, en

color marrón. Ya sabes que para obtenerlo debes pulsar antes la tecla SHIFT.

Truco Pasar de radianes a grados y viceversa

Así el resultado es




Ejercicio 5 – 8.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA)

i) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores.

ii) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores.

Ejercicio 5 – 9.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA)

Ejercicio 5 – 10.-(GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS)

Investiga en tu libro de texto y escribe en tu cuaderno las características más

importantes de cada una de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Una función trigonométrica aparece representada en el siguiente video. Presta

atención a la detallada explicación.

Video 5 – 7 – a: https://www.youtube.com/watch?v=VxSyRH_sWwU

https://www.youtube.com/watch?v=VxSyRH_sWwU




Otra función trigonométrica muy diferente aparece en el siguiente video. Presta

atención a la detallada explicación.

Video 5 – 7 – b: https://www.youtube.com/watch?v=IqrX6E8VHl8

https://www.youtube.com/watch?v=IqrX6E8VHl8

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