Unidad 5 Integración-1

UNIDAD 5 INTEGRACIN ING. INDUSTRIAL(Sist. Abierto)

CALCULO VECTORIAL Pgina 1

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL INGENIERIA INDUSTRIAL

Sistema Abierto

3 SEMESTRE

MATERIA: CALCULO VECTORIAL

DOCENTE: NAYELI HERRERA BUSTAMANTE

TRABAJO:

ESTUDIANTES: Avils Del ngel Alfonso......A12500756 Castillo Mata Vernica......A12500790 Gonzlez Hernndez Santa Genoveva.......A12500793 Guzmn Torres Nora Anglica......A12500394 Hernndez Desiderio ngela Ivette...A12500765 Ortega Gonzlez Jonatn.A12500835

AULA E-7

Cerro Azul, Ver. A 17 de Noviembre del 2013



I N D I C E

INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 4

INTEGRACIN ................................................................................................................................ 5

Conceptos y aplicaciones .......................................................................................................... 7

5.1 INTRODUCCIN A LA INTEGRACIN ......................................................................................... 9

Integral de Riemann ........................................................................................................... 12

Integral de Darboux ............................................................................................................ 13

Integral de Lebesgue .......................................................................................................... 14

5.2 INTEGRAL DE LINEA ................................................................................................................ 16

Aplicaciones de la Integral de Lnea........................................................................................... 20

Trabajando Integrales de Lnea.............................................................................................. 22

Ejemplo # 1 ............................................................................................................................. 23

5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES .............................................................................. 24

5.4 APLICACIONES A REAS Y SOLUCIN DE PROBLEMA .............................................................. 31

5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES ...................................................................... 34

Ejemplo # 1 ............................................................................................................................. 37

5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS .............................................................................. 37

Relacin con las coordenadas cartesianas ......................................................................... 38

Relacin con las coordenadas esfricas ............................................................................. 38

Lneas y superficies coordenadas .......................................................................................... 38

Base coordenada .................................................................................................................... 39

Diferenciales de lnea, superficie y volumen .......................................................................... 40

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas ........................................................... 41

Relacin con las coordenadas cartesianas .................................................................. 42

Relacin con las coordenadas cilndricas ................................................................... 42

Lneas y superficies coordenadas .......................................................................................... 42

Coordenadas Esfricas......................................................................................................... 46

Sistema de Coordenadas Esfricas ..................................................................................... 47

Ecuaciones para transformar de Esfricas a Rectangulares ....................................... 47

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esfricas ....................................... 47



Ecuaciones para transformar de Esfricas a Cilndricas ............................................. 47

Ejemplo # 4 ........................................................................................................................... 48

Ejemplo # 5 ........................................................................................................................... 48

Ejemplo # 6 ........................................................................................................................... 48

Ejemplo # 7 ........................................................................................................................... 48

Ejemplo # 8 ........................................................................................................................... 49

Ejemplo # 9 ........................................................................................................................... 49

5.7 APLICACIN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILNDRICAS Y

ESFRICAS .................................................................................................................................... 50

Ejemplo# 01........................................................................................................................ 56

Ejemplo# 02........................................................................................................................ 57

CONCLUSIN ............................................................................................................................... 58

BIBLIOGRAFA .............................................................................................................................. 59



INTRODUCCIN

La integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas,

especialmente en los campos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una

integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos. El clculo

integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el

proceso de integracin o anti derivacin, es muy comn en la ingeniera y en la

matemtica en general y se utiliza principalmente para el clculo de reas y

volmenes de regiones y slidos de revolucin.

Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren descartes, Isaac

newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de

newton generaron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la

derivacin y la integracin son procesos inversos. Dada una funcin f(x) de una

variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral Es igual al rea de la

regin del plano (x, y) limitada entre la grfica de f, el eje x, y las lneas verticales x = a

y x = b, donde son negativas las reas por debajo del eje x.1

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva: una

funcin F, cuya derivada es la funcin dada . En este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las integrales

definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e

indefinidas.

Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la

geometra diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron

primero a partir de las necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la

formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo.

Los conceptos modernos de integracin se basan en la teora matemtica abstracta

conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un

solapamiento considerable. As, el rea de la piscina oval se puede hallar como una

elipse geomtrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann,

como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El

resultado obtenido con el clculo ser el mismo en todos los casos.

Si uno avanza confiadamente en la direccin de sus sueos y deseos para llevar la

vida que ha imaginado, se encontrar con un xito inesperado.
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INTEGRACIN

La integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico.

Bsicamente, una integral es una generalizacin de la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeos.

El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las

matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la

ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y

volmenes de regiones y slidos de revolucin.

Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la

derivacin y la integracin son procesos inversos.

Dada una funcin de una variable real y un intervalo de la recta real, la

integral

Es igual al rea de la regin del plano limitada entre la grfica de , el eje , y las

lneas verticales y , donde son negativas las reas por debajo del eje .

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva: una

funcin F, cuya derivada es la funcin dada . En este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las integrales

definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e

indefinidas.
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/Integraci%f3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida



Los principios de la integracin fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del

siglo XVII. A travs del teorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de

forma independiente, la integracin se conecta con la derivacin, y la integral definida

de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las

integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas del clculo, con

numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.

Bernhard Riemann dio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en un lmite que

aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos

verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas

de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios

sobre los cuales se hace la integracin. La integral curvilnea se define para funciones

de dos o tres variables, y el intervalo de integracin [a, b] se sustituye por una cierta

curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la

curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempean un papel fundamental en la

geometra diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron

primero a partir de las necesidades de la fsica, y tienen un papel importante en la

formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las del electromagnetismo.

Los conceptos modernos de integracin se basan en la teora matemtica abstracta

conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

Se interpreta como el rea bajo la curva

de f, entre a y b.

La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C.,

con el papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para

calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera tcnica sistemtica

documentada capaz de determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo

(circa 370 a. C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un

nmero infinito de formas para las cuales se conocieran el rea o el volumen. Este

mtodo fue desarrollado y usado ms adelante por Arqumedes, que lo emple para

calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos similares

fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu
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Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde, Zu Chongzhi us este

mtodo para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro

de astronoma del siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas

ideas de clculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo

de exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de

los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar

los fundamentos del clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron

nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los

primeros indicios de una conexin entre la integracin y la derivacin.

Conceptos y aplicaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Considrese una piscina. Si

es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y

profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen de agua que puede contener

(para llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para

atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son

sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el clculo integral de reas se sigue el siguiente razonamiento:

Inicialmente se puede considerar una curva entre y ,

suponiendo que .

La respuesta a la pregunta Cul es el rea bajo la funcin , en el intervalo desde

hasta ? Es que el rea coincidir con la integral de . La notacin para esta integral

ser

.

Como primera aproximacin, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta

x=1 y y=f (0)=0 y y=f (1)=1. Su rea es exactamente 1. Tal como se puede ver, el

verdadero valor de la integral tendr que ser ms pequeo. Reduciendo el ancho de

los rectngulos empleados para hacer la aproximacin se obtendr un mejor

resultado; as, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximacin

los puntos 0, 15, 25, as hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura

del lado derecho de cada pedazo de la curva, as , , y as hasta
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. Sumando las reas de estos rectngulos, se obtiene una mejor aproximacin

de la integral que se est buscando,

Ntese que se est sumando una cantidad finita de valores de la funcin f,

multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede

ver fcilmente que la aproximacin contina dando un valor ms grande que el de la

integral. Empleando ms pasos se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no

ser nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se toma el valor de la

izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el

rea, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeo. La idea clave es la transicin

desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximacin

multiplicados por los respectivos valores de la funcin, hasta usar pasos infinitamente

finos, o infinitesimales. La notacin

Concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S"

alargada), de los valores de la funcin multiplicados por pasos de anchura

infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al clculo real de integrales, el teorema fundamental del clculo, debido

a Newton y Leibniz, es el vnculo fundamental entre las operaciones de derivacin e

integracin. Aplicndolo a la curva raz cuadrada, se tiene que mirar la funcin

relacionada y simplemente tomar , donde y son las

fronteras del intervalo [0,1]. (ste es un ejemplo de una regla general, que dice que

para f(x) = xq, con q 1, la funcin relacionada, la llamada primitiva es F(x) =

(xq+1)/ (q+1).) De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se calcula

formalmente como

Histricamente, despus de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los

infinitesimales no fructificasen, Riemann defini formalmente las integrales como el

lmite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el lmite de una diferencia (la

anchura del intervalo). La dependencia de la definicin de Riemann de los intervalos y

la continuidad motiv la aparicin de nuevas definiciones, especialmente la integral
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de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras

mucho ms flexibles. As, la notacin

Hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la funcin, donde

mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aqu A indica la regin de

integracin.) La geometra diferencial, con su "clculo de variedades", proporciona

otra interpretacin a esta notacin familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma

diferencial, = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la

derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (ms general) teorema de

Stokes,

A partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el

teorema fundamental del clculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a travs de innovaciones

modernas como el anlisis no estndar. Estos mtodos no slo reivindican la intuicin

de los pioneros, tambin llevan hacia las nuevas matemticas, y hacen ms intuitivo y

comprensible el trabajo con clculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un

solapamiento considerable. As, el rea de la piscina oval se puede hallar como una

elipse geomtrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann,

como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El

resultado obtenido con el clculo ser el mismo en todos los casos.

5.1 INTRODUCCIN A LA INTEGRACIN

Introduccin a la Integracin

La integracin es un mtodo para la obtencin de una funcin o un valor cuyo

diferencial sea equivalente a la misma funcin.

Esto significa que si la funcin dada es f(x), mediante integrarla obtendramos g(x).

Ahora bien, si g (x) es el diferencial de la funcin g(x) entonces g (x) y f (x) son la

misma funcin en s.
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El proceso de integracin es el inverso de la diferenciacin. El smbolo se utiliza para

denotar la funcin de integracin.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una funcin F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos, dy = f(x) dx = d [F(x)]

O, y = f(x) dx = F(x). Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la

integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x).

Aqu f(x) dx es leda como la integral de f(x) dx. En la ecuacin anterior, f(x) es

llamada integrando y F(x) es llamada la integral o funcin primitiva de f(x). Adems la

integracin de f(x) con respecto a x es F(x).

Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores

discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas. Esto

significa que el mtodo de integracin se utiliza para sumar el efecto de una funcin

que vara continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza

variable.

Es de notar que el lgebra ordinaria no proporciona algn mtodo para sumar el

efecto de una funcin que vare. La integracin es de dos tipos, integracin indefinida

e la integracin definida.

Cuando una funcin es integrada dentro de los lmites definidos, la integral se

denomina integral definida.

Por ejemplo. F (x) dx es la integral definida de f(x) entre los lmites a y b y es escrita

como, f(x) dx = F(x) = F (b) F(a).

Aqu a se llama lmite inferior y b se llama lmite superior de integracin.

Si una funcin est dada por y = + C, donde C es una constante de integracin

entonces, dy/ dx = d (55 + C)/ dx = 254 + 0 = 254



Como la integracin es el proceso inverso de la diferenciacin, por tanto 254 dx =

55. Esto significa que durante la integracin la constante no aparece.

Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 254 dx = 55 o 55 + C.

Dicha integracin se conoce como integracin indefinida. Por consiguiente en todas

las integrales indefinidas, se supone que est presente una constante de integracin C,

si la condicin de integracin, esto es, el lmite de integracin no es mencionado.

Es por esto que debemos aadir una constante C en el resultado de todas las

integrales indefinidas.

Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos mtodos para entender la diferencia

entre ambos.

27 p2 (p3 + 2)8 dx

El ejemplo anterior no contiene lmites de integracin y por tanto es una integral

indefinida.

27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C

Ahora bien, si ponemos los lmites de la integracin como,

27 p2 (p3 + 2)8 dx

(p 3 + 2)9

(33 + 2)9 - (23 + 2)9

= 381957187929

De la misma forma que una funcin vectorial de la variable escalar t admite la funcin

derivada, admite tambin la posibilidad de ser integrada, siempre en el caso que

cumpla las condiciones de integralidad.

La CIRCULACIN C del vector a lo largo de una curva cualquiera entre los

puntos A y B se expresa as:

y como resulta finalmente:



(16)

El Flujo de un vector a travs de una superficie viene dado por la expresin:

(17)

Aqu dSx, dSy y dSz representan las proyecciones del elemento de superficie dS segn

los planos yz, xz e yz respectivamente.

Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se

establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser

integrables con otras definiciones, pero tambin en ocasiones por razones

pedaggicas. Las definiciones ms utilizadas de la integral son las integrales de

Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define en trminos de sumas de Riemann de funciones

respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a, b] un intervalo cerrado de

la recta real; entonces una particin etiquetada de [a, b] es una secuencia finita

y denotamos la

particin como

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos,

cuando se muestrea a la derecha, el mnimo, el mximo, o la izquierda.
http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1ticas%29http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png



Esto divide al intervalo [a, b] en n subintervalos [xi1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi1, xi]. Sea i = xixi1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta particin etiquetada es el ancho del subintervalo ms grande obtenido por la particin, maxi=1n i. Un sumatorio de Riemann de una funcin f respecto de esta particin etiquetada se define como

As cada trmino del sumatorio es el rea del rectngulo con altura igual al valor de la funcin en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una funcin f sobre el intervalo [a, b] es igual a S si: Para todo > 0 existe x > 0 tal que, para cualquier particin etiquetada [a, b] con

paso ms pequeo que , se tiene

, donde

Cuando las etiquetas escogidas dan el mximo (o mnimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexin que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Integral de Darboux

La Integral de Darboux se define en trminos de sumas de los siguientes tipos:

Llamadas suma inferior y superior respectivamente, donde:

Son las alturas de los rectngulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectngulos. La

integral de Darboux est definida como el nico nmero acotado entre las sumas

inferior y superior, es decir,
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Darbouxhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Darbouxhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Darboux



La interpretacin geomtrica de la integral de Darboux sera el clculo del rea de la

regin en [a, b] por el Mtodo exhaustivo. La integral de Darboux de una funcin f en

[a, b] existe si y slo si,

Del Teorema de Caracterizacin que dice que si f es integrable en [a, b] entonces >0

P particin de [a, b]: 0U (f, P)-L (f, P) , evidencia la equivalencia entre las

definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que

Integral de Lebesgue

La integral de Riemann no est definida para un ancho abanico de funciones y

situaciones de importancia prctica (y de inters terico). Por ejemplo, la integral de

Riemann puede integrar fcilmente la densidad para obtener la masa de una viga de

acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva

la creacin de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido ms

amplio de funciones. La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad

a base de centrar la atencin en los pesos de la suma ponderada.

As, la definicin de la integral de Lebesgue empieza con una medida, . En el caso ms

sencillo, la medida de Lebesgue (A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b a, as la

integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En

casos ms complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados,

sin continuidad y sin ningn parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma

ponderada. Como expresa Folland: "Para calcular la integral de Riemann de f, se

particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue,

"de hecho lo que se est particionado es el recorrido de f".

Un enfoque habitual define primero la integral de la funcin caracterstica de un

conjunto medible A por:

.

Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que slo tienen un

nmero finito n, de valores diferentes no negativos:
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Medida_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_Lebesguehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADstica_%28matem%C3%A1ticas%29&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_medible&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funciones_escalonadas&action=edit&redlink=1



(Donde la imagen de Ai al aplicarle la funcin escalonada s es el valor constante ai).

As, si E es un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquier funcin medible no negativa f se define

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de

funciones escalonadas que son ms pequeas o iguales que f. Una funcin medible

cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_mediblehttp://es.wikipedia.org/wiki/Supremo



5.2 INTEGRAL DE LINEA

Integral de Lnea. La integracin de lnea es la tcnica de integracin para una funcin

a lo largo de una curva dada.

Tambin es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria,

curva integral etc.

Aqu uno podra confundir la integral de lnea y el clculo de la longitud de un arco con

la ayuda de la integracin.

Ambos, los campos escalares as como los vectoriales pueden ser integrados

utilizando este mtodo.

Una integracin de lnea de tales campos producira una sumatoria de valores de

campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F acta sobre una partcula y haga que se mueva

sobre la trayectoria AB como se muestra a continuacin.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la

partcula a lo largo de una distancia pequea s ser, W = F. s.

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para

mover la partcula a lo largo de toda la trayectoria se calcular la suma de todas las

piezas pequeas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integracin, por

supuesto como,
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralDeLinea



Aqu es importante notar que en lugar de escribir los lmites de integracin, slo el

nombre de la trayectoria est escrito en el subndice.

Esto significa que la integracin se est efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integracin totalmente diferente, dado que aqu la variable est

siendo integrada con respecto a la funcin, y no se est incrementando a lo largo de

una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razn en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas

Cartesianas x e y. Y la funcin es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos

componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,



El clculo de la integral de lnea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas ms pequeas de igual longitud. Elija un punto

arbitrario en la curva y nmbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva

completa.

Trace una lnea recta entre cada par de estos puntos de muestra. Sea la distancia

entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicacin de la funcin de estos puntos de muestra y las respectivas distancias

entre ellos puede considerarse como el rea del rectngulo con altura f(r (ti)) y

anchura s.

Tomando la sumatoria de tales trminos con lmite.

Reconstruyendo la ecuacin anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de lnea encuentra una gran aplicacin prctica.



Incluso la ley del electromagnetismo de Faraday est inspirada en la integral de lnea

misma. Tambin el clculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede

hacerse utilizando la integral de lnea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo, para

p (t) = (-t/, 1)

F ds = F (p (t)). p (t) dt

= F (p, t). (-t/, 1) dt

= (0,). (-t/, 1) dt

= dt

Asuma que t = sin u y dt = cos u du

F ds = cos (u) du

Cos (u) du

cos2 (u) du

La integracin anterior puede realizarse fcilmente utilizando las tcnicas de

integracin.

Se dan funciones vectoriales en aplicaciones fsicas tales como campo elctrico y

campo magntico. Aparecen con regularidad los productos escalares de estas

funciones vectoriales, con otro vector tal como la distancia o longitud de un trayecto.

Cuando tal producto se suma sobre una longitud de trayecto, donde cambian tanto las

magnitudes como las direcciones, esa suma viene a ser una integral llamada integral

de lnea.

Tambin se usa una integral de lnea en la definicin general de trabajo en mecnica.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elefie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/magfie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vsca.html#vsc1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/intcon.html#intconhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/wint.html#wg



Aplicaciones de la Integral de Lnea

La integral de lnea del campo elctrico alrededor de un bucle cerrado es igual al voltaje generado en ese bucle (ley de Faraday):

Tal integral se usa tambin en el clculo de la diferencia de voltaje, puesto que el voltaje es trabajo por unidad de carga. El clculo del voltaje cerca de una carga puntual es un buen ejemplo. La integral de lnea de una fuerza sobre un trayecto es igual al trabajo realizado por esa fuerza sobre el trayecto.

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las

interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la

integral de lnea de un campo escalar.

En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es

evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del

plano complejo, se llama tambin integral de contorno.

Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser: El clculo de la longitud de una curva

en el espacio;

El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee

una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/intare.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elefie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/maxeq2.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elewor.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elevol.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/potpoi.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/potpoi.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/force.html#deforhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/wint.html#wg



de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos

vectoriales) que acten sobre el mismo.

Una funcin vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;

La parametrizacin de una trayectoria en . Se llama

integral de lnea de F sobre a la integral:

Una forma ms utilizada para expresar la integral de lnea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva tambin se pude expresar as:

Entonces despus de resolver el producto punto obtenemos:



Trabajando Integrales de Lnea

A la hora de trabajar integrales de lnea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con xito nuestro clculo: Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

Luego trabajamos la funcin a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrizacin en dicha funcin. E integramos:

Luego sustituimos dS por: Teniendo as lo siguiente:
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_1.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_2.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_1.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_2.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_1.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_2.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_1.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_2.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_1.jpghttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Integral_de_linea_2.jpg



Ejemplo # 1

Evaluar la integral de lnea del campo vectorial sobre

la trayectoria de una hlice

Solucin: Se resuelve la integral de acuerdo a la definicin

Ejemplo #2

Evale donde c consiste del arco c1 de la parbola y=x que va de (0,0) -> (1,1) y c2 que es el segmento de recta de (1,1)->(1,2) Parametrizacin de las curvas

C1:

, donde

C2:

, donde Con esto ya podemos evaluar nuestro integral de lnea:



5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES

Integrales iteradas dobles y triples

La integracin iterada es un mtodo de integracin en el cual efectuamos la operacin

de integracin en cascada con respecto a cualquier variable en relacin con las otras

variables que se mantienen constantes. La notacin convencional de la integracin

iterada es como se muestra a continuacin,

En el ejemplo anterior, primero se calculara la integracin con respecto a la variable

y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la

comprensin, tambin puede ser escrita como,

La integracin iterada tambin puede realizarse como integracin definida e

indefinida.

En el ejemplo anterior hemos mostrado una integracin indefinida iterada.

Del mismo modo tambin puede hacerse que la integracin definida itere.

Lo anteriormente definido es una integracin iterada doble. De manera similar,

tambin puede llevarse a cabo una integracin iterada triple.

En esa situacin, efectuamos la integracin tres veces en cascada cada momento con

respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como

trminos constantes.

La notacin convencional para la integracin triple es,
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralesIteradasDoblesYTriples



En la figura siguiente, tenemos una funcin como, z = f(x, y),

Si calculamos la integracin doble de esta funcin, la salida sera algo como,



Vamos ahora a comprender el mtodo de clculo para esta integral. El mtodo para

determinar el volumen de una figura slida mediante dividirla en trozos de igual

tamao e integrarla para el slido entero es conocido por todos. Sin embargo, es

conocido por muy pocas personas que tambin este puede utilizarse para determinar

la integral doble de una funcin.

Suponga que la columna cilndrica Q pasa a travs de la figura dada, como se muestra

en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el

plano como xx. El rea transversal de la columna Q es similar al rea de la curva z = f

(x, y). Esta rea yace entre (x, Y2) y (x, Y1). Aqu los puntos (x, Y2) y (x, Y1), son los

puntos de interseccin de la regin dada y del plano de interseccin.

La seccin transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada.

Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor ms pequeo es a. Como se

puede ver en la figura anterior la recta x= x intersecta el plano R en slo dos puntos y

los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor

que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algn valor de x a partir de la

ecuacin de frontera de la regin R.

La ecuacin anterior puede reescribirse como,



Al colocar este valor en la ecuacin del volumen obtenemos,

Donde la ecuacin de volumen es,

Para esta ecuacin, primero realizamos la integracin con respecto ay, la cual es la

integracin interior considerando a x como un trmino constante y luego con respecto

a x considerando a y como trmino constante.

De la misma forma, la integracin iterada triple se utiliza para calcular el momento de

inercia, centroides, etc. La integracin triple tambin es calculada en los sistemas de

coordenadas esfricas y cilndricas.

INTEGRALES ITERADAS

Suponemos que z = f(x, y) es continua en cada (x, y) F. Formemos la integral simple

con respecto a x b

adx).y,x(f donde se mantiene fijo Y al realizar la integracin.

Naturalmente, el valor de la integral anterior depender del valor utilizado para Y o

sea que podemos escribir: b

adx).y,x(f)y(A

La funcin A (y) est definida para c y d y se puede demostrar que si f(x, y) es

continua en F entonces A (y) es continua en [c, d].

Se puede calcular la integral de A (y) y se escribe

dyxb

ad).y,x(f

d

c

d

cdy).y(A ][



Podramos haber fijado primero x, luego formar la integral d

cdy).y,x(f)x(B

entonces

b

a

b

a

d

cdxdy).y,x(fdx).x(B ][

Obsrvese que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre

de integrales iteradas.

En dyxb

ad).y,x(f

d

c

d

cdy).y(A ][ integramos primero con respecto a x

(considerando y constante) y luego con respecto a y; en

b

a

b

a

d

cdxdy).y,x(fdx).x(B ][

integramos utilizando un orden

inverso.

Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.

Esta situacin es ms complicada que la que hemos visto.



Consideremos una regin F donde la frontera est formada por las rectas x = a, x = b, y

= p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a x b. Definimos b

a

q

pdx.dy).y,x(f

)x(

)x(

donde primero integramos (para x fijo) desde la curva inferior hasta la superior, es

decir a lo largo de un segmento tpico. Luego integramos con respecto a x desde a

hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradas sobre una

regin F, integrando primero respecto de y tenemos b

a

q

pdx.dy).y,x(f

)x(

)x(

integrando respecto de x ser d

c

s

rdy.dx).y,x(f

)y(

)y(.

Integrales iteradas triples.

Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de

R3:

R = [a, b] [c, d] [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a x b, c y d, e z h}

Donde a < b, c < d, e < h son nmeros reales fijos.

Sean: D1 _ [a, b] [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que (x, y) (x, y) para

todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el

rectngulo [a, b] [c, d] del plano x, y.

Hgase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 est en

el plano horizontal z = 0 y proyectndose sobre el, en el espacio, estn las grficas

de las funciones

(x, y) y (x, y).

Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R =

[a, b] [c, d] [e, h] definido como:

D = {(x, y) 2 D1, (x, y) z (x, y)} (1)

En el dibujo realizado antes D es el slido comprendido entre las grficas de las

funciones y, que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.

Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastn) vertical _(x, y) z

(x, y) est contenido en el slido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastn vertical

barre el slido D.

Definicin



El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple. Respecto de x,

y, si su proyeccin D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama Dominio

(tridimensional) simple respecto de y, x si su proyeccin D1 sobre el plano z = 0 es

Simple respecto de y.

El anlisis del solido D a continuacin debe seguirse con figuras tridimensionales,

como la explicada antes de la definicin 3.1.1:

Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x.

Entonces. Por la definicin 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es

simple respecto a x, y

Adquiere la forma siguiente

D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ (x), _(x, y) _ z _ (x, y)} (1b)

Se puede mirar a D de la forma que describimos ms abajo, en vez de verlo como

generado por, bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando

(x, y) se mueve en D1. Para cada x = x0 2 [a, b] fijo, la interseccin del solido D con el

plano vertical x = x0 (este plano es

Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, tajada o feta del solido D al

cortarlo con un

Plano vertical, que tiene por ecuacin:

D \ {x = x0} = {(y, z): _(x0) _ y _ (x0), _(x0, y) _ z _ (x0, y)} (1c).



5.4 APLICACIONES A REAS Y SOLUCIN DE PROBLEMA

Suma y resta de vectores: mtodo grfico y analtico. Cuando necesitamos sumar 2 o

ms magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritmticamente. Por

ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2; 3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K.

Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte

de magnitudes tienen direccin y sentido, debemos utilizar mtodos diferentes a una

simple suma aritmtica. Estos mtodos pueden ser grficos o analticos, pero ambos

casos se consideran adems de la magnitud del vector, su direccin y su sentido.

Resolucin de problemas de suma de vectores.

Descomposicin y composicin rectangular de vectores por mtodos grficos y

analticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener

un nmero mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema

equivalente tiene un nmero mayor de vectores, el procedimiento se llama

descomposicin. Si el sistema equivalente tiene un nmero menor de vectores, el

procedimiento se denomina composicin. En la siguiente, se muestra un vector a cuyo

punto de aplicacin se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas

cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos

una lnea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores ax

y haya s formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector

a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ngulo



(90).Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la

composicin. Un ejemplo: encontrar grfica y analticamente las componentes

rectangulares del siguiente vector.

Solucin por mtodo grfico.

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con

regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide

aproximadamente 3.4cm que representan 34N. Para hallar el valor de la componente

de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y segn la escala

encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solucin por mtodo analtico. Al fin de determinar el valor de las componentes de

manera analtica observemos que se forma un tringulo rectngulo al proyectar una

lnea hacia el eje de las X y otro al proyectar una lnea hacia el eje de las Y.

trabajaremos solo con el tringulo rectngulo formado al proyectar la lnea hacia el eje

de las X. las componentes perpendiculares del vector F sern: para Fx el cateto

adyacente y par Fy el cateto opuesto al ngulo de 30. Por lo tanto debemos calcular

cunto valen estos dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonomtricas

seno y coseno. Calculo de Fy: Sen 30 = cateto opuesto = Fy Hipotenusa FD espejemos

Fy: Fy = F sen 30 = 40N x 0.5 = 20N Calculo de Fx: Cos 30 = cateto adyacente = Fx

Hipotenusa F Despejemos Fx: Fx = F cos 30 = 40N x 0.8660 = 34.64N Si comparamos

los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera grfica y

analtica, encontraremos una pequea diferencia. Esto se explica si consideramos que

al hallar las componentes grficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar

el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analtica se

eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisin.

Resolucin de problemas de suma de vectores Un jinete y su caballo cabalgan 3km al

norte y despus 4km al oeste. Calcular: Cul es la diferencia total que recorren? Cul

es su desplazamiento? Solucin: Como la distancia es una magnitud escalar,

encontramos la distancia total recorrida al sumar aritmticamente las dos distancias:

dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km Para encontrar su desplazamiento, que es una

magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una direccin

particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama

vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al

norte, representado por d1, despus el segundo desplazamiento de 4 km. Al oeste

representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo

del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos

desplazamientos. El origen del vector resultante r es el mismo que tiene el origen del

vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de r



medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su direccin se determina

por el ngulo que forma.

As, encontramos que r =5 km. con un ngulo de 37 en direccin noroeste.

Descomposicin y composicin rectangular de vectores por mtodos grficos y

analticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener

un nmero mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema

equivalente tiene un nmero mayor de vectores, el procedimiento se llama

descomposicin. Si el sistema equivalente tiene un nmero menor de vectores, el

procedimiento se denomina composicin. En la siguiente, se muestra un vector a cuyo

punto de aplicacin se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas

cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos

una lnea perpendicular hacia el eje de las x y otra hacia el eje de las y, los vectores a x

y a y as formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector

a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ngulo (90).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composicin.

Un ejemplo: encontrar grfica y analticamente las componentes rectangulares del

siguiente vector. Solucin por mtodo grafico Para encontrar de manera grfica las

componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que

establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10n8. Trazamos nuestro vector

al medir el ngulo de 30 con el transportador. Despus a partir del extremo del

vector, trazamos una lnea perpendicular hacia el eje delas x y otra hacia el eje de las y.

En el punto de interseccin del eje x quedara el extremo del vector componente fx.

En el punto de interseccin del eje y quedara el extremo del vector componente fy. En

ambas componentes su origen ser el mismo que tiene el vector f = 40n, el cual

estamos descomponiendo: Par encontrar el valor de la componente en x del vector f o

sea fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor.

En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34n. Para hallar el valor

de la componente de y del vector f o sea fy, es suficiente medir con la regla la longitud,

y segn la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de

20n. Solucin por mtodo analtico Calculo de fy: sen 30 = cateto opuesto = fy

Hipotenusa f Despejemos fy: fy = f sen 30 = 40n x 0.5 = 20n Calculo de fx: cos 30 =

cateto adyacente = fx hipotenusa f Despejemos fx: fx = f cos 30 = 40n x 0.8660 =

34.64n Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de fy y fx de

manera grfica y analtica, encontraremos una pequea diferencia. Esto se explica si

consideramos que al hallar las componentes grficamente estamos expuestos a

cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio,



de manera analtica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es

obtenido con mayor precisin.

La resolucin de problemas es la fase que supone la conclusin de un proceso ms

amplio que tiene como pasos previos la identificacin del problema y su modelado.

Por problema se entiende un asunto del que se espera una solucin que dista de ser

obvia a partir del planteamiento inicial. El matemtico G.H. Wheatley lo defini de

forma ingeniosa: La resolucin de problemas es lo que haces cuando no sabes qu

hacer.

La resolucin de problemas reside principalmente en dos reas: la resolucin de

problemas matemticos y la resolucin de problemas personales en los que se

presenta algn tipo de obstculo a su resolucin, 2 mientras que los fundamentos son

estudiados en psicologa del pensamiento, ciencia cognitiva y teora de la decisin.

5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

De la misma manera en que la integral de una funcin positiva f (x) de una variable

definida en un intervalo puede interpretarse cmo el rea entre la grfica de la

funcin y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funcin positiva f (x, y) de

dos variables, definida en una regin del plano x y, se puede interpretar como el

volumen entre la superficie definida por la funcin y el plano x y en ese intervalo. Al

realizar una integral triple de una funcin f (x, y, z) definida en una regin del

espacio x y z, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x,

y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la regin de

integracin. Para integrales de rdenes superiores, el resultado geomtrico

corresponde a hipervolmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera ms usual de representar una integral mltiple es anidando signos de

integracin en el orden inverso al orden de ejecucin (el de ms a la izquierda es el

ltimo en ser calculado), seguido de la funcin y los diferenciales en orden de

ejecucin. El Dominio de Integracin se representa simblicamente para cada

diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el

signo de integral de ms a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una funcin de

ms de una variable por lo que las integrales mltiples indefinidas no existen.

Definicin
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Modelado_de_problema&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_problemas#cite_note-Zimmermann-2http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Psicolog%C3%ADa_del_pensamiento&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia_cognitivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_decisi%C3%B3nhttp://mitecnologico.com/sistemas/Main/IntegralDobleEnCoordenadasPolares



Una forma relativamente sencilla de definir las integrales mltiples es mediante su

representacin geomtrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por

la ecuacin xn + 1 = f(x1,, xn) y una regin T en el espacio definido por los ejes de las

variables independientes de la funcin f (si T es una regin cerrada y acotada y f est

definida en la regin T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie

definida por x3 = f(x1, x2) y una regin T en el plano x12 es igual a alguna integral

doble, si es que la funcin f est definida en regin T.

Se puede dividir la regin T en una particin interior, formada por m subregiones

rectangulares sin solapamiento que estn completamente contenidas en T. La norma |

| de esta particin est dada por la diagonal ms larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i, x 2i,, xni) que est contenido dentro de la subregin con

dimensiones x1ix2i xni para cada una de las m subregiones de la particin, se

puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el

objeto definido por xn + 1 = f(x1,, xn) y la subregin i. Este espacio tendr una

magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto

definido por la ecuacin xn + 1 = f(x1,,xn) y la regin T mediante la suma de

Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las

subregiones:

Esta aproximacin mejora a medida que el nmero m de subregiones se hace mayor.

Esto sugiere que se podra obtener la magnitud exacta tomando el lmite. Al aumentar

el nmero de subregiones disminuir la norma de la particin:

El significado riguroso de ste ltimo lmite es que el lmite es igual L si y slo si para

todo existe un > 0 tal que para toda particin de la regin T (que satisfaga | | | | <

), y para todas las elecciones posibles de (x1i, x2i,, xni) en la isima subregin. Esto

conduce a la definicin formal de una integral mltiple:

Si f est definida en una regin cerrada y acotada T del definido por los ejes de las

variables independientes de f, la integral de f sobre T est dada por:

Siempre que el lmite exista. Si el lmite existe se dice que f es integrable con respecto

a T.

Propiedades



Las integrales mltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales

simples.

Si deseamos integrar funcin definida dentro de una regin , generalmente lo

haramos evaluando la integral doble sobre la regin de integracin

que definiramos utilizando los mtodos que hemos visto antes en coordenadas

rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con

ciertas figuras circulares (p.ej. crculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definicin de

su regin de integracin se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares,

dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

Entonces, haciendo esta transformacin, tendramos que ahora la regin esta

definida como

el diferencial de rea se definira como

y la integral quedara como

Teorema

Si es continua en un rectngulo dado por , donde

entonces,



Ejemplo # 1

Recordatorio Evaluar:

Donde R es la regin del semi-plano superior limitado por los crculos

y .

5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje. El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana. Un punto P en coordenadas cilndricas se representa por (, , z), donde:
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: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la

longitud de la proyeccin del radio vector sobre el plano XY.

: Coordenada acimutal, definida como el ngulo que forma con el eje X la

proyeccin del radio vector sobre el plano XY.

z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el

punto P al plano XY.

Los rangos de variacin de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal se hace variar en ocasiones desde - a +. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, vuelve a aumentar, pero aumenta o disminuye en radianes.

Relacin con las coordenadas cartesianas

Las coordenadas cilndricas pueden ponerse en funcin de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones

y sus inversas

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual no est definida.

Relacin con las coordenadas esfricas

Las coordenadas cilndricas funcionan como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esfricas. ste ltimo se relaciona con el de las cilndricas por las ecuaciones

y sus inversas

Lneas y superficies coordenadas



Las lneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilndricas, estas son:

Lneas coordenadas : Semirrectas horizontales partiendo del eje Z. Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales. Lneas coordenadas z: Rectas verticales

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies =cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies =cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos horizontales.

Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.png



En el clculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilndricas se obtiene que la expresin del vector de posicin en estas coordenadas sea

Ntese que no aparece un trmino . La dependencia en esta coordenada est oculta en los vectores de la base.

Diferenciales de lnea, superficie y volumen

Diferencial de lnea. Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie. La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = constante. El resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos

superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son

= cte:

& varphi;= cte:

z= cte:

Diferencial de volumen. El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres



diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

Que para coordenadas cilndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano Coordenadas esfricas

El sistema de coordenadas esfricas se basa en la misma idea que las coordenadas

polares y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una

distancia y dos ngulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes:

el radio r, el ngulo polar o colatitud y el acimut .

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de

90 a -90 (de -/2 a /2 radianes), siendo el cero el plano XY. Tambin puede variar

la medida del acimut, segn se mida el ngulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a

360 (0 a 2 en radianes) o de -180 a +180 (- a ).



Relacin con otros sistemas de coordenadas

Relacin con las coordenadas cartesianas

Las coordenadas esfricas pueden ponerse en funcin de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones

y sus inversas Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual no est definida.

Relacin con las coordenadas cilndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esfricas, est el de las coordenadas cilndricas, que se relaciona con el de las esfricas por las relaciones

y sus inversas

Lneas y superficies coordenadas

Las lneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esfricas, estas son: Lneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.

Lneas coordenadas : Semicrculos verticales (meridianos) Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales (paralelos).



Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies r=cte.: Esferas con centro el origen de coordenadas. Superficies =cte.: Conos rectos con vrtice en el origen. Superficies =cte.: Semiplanos verticales.

Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal. Integral triple en coordenadas cilndricas y esfricas Este tipo de integrales se utilizan cuando la funcin F viene dada en coordenadas cilndricas o esfricas. Es decir la funcin viene dada de la siguiente manera:

DOS CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

1. Es importante observar la posicin de los lmites de la integral triple para saber con

cual diferencial se va a integrar primero, con cual diferencial se va a integrar segundo

y con cual diferencial se va a integrar al final.

2. Es importante tambin reconocer a cul de los tres parmetros corresponden cada

uno de los lmites de las tres integrales para saber cual deber sustituirse en cada una

de ellas

RESOLUCIN DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS O

ESFRICAS.

),,( zrF
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_esfericas.png



EJEMPLO 1: Calcular la siguiente integral triple dada en coordenadas esfricas

Coordenadas Cilndricas

En los sistemas de coordenadas cilndricas un punto P del espacio tridimensional est

representado por la terna ordenada (r, , z), donde r y el son las coordenadas

polares de la proyeccin de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Rectangulares

4

0 0

2

0

2

cos

dzdrdr



Las coordenadas cilndricas son tiles en problemas que tienen simetra alrededor de

un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetra.

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilndricas

Ecuaciones para transformar de Cilndricas a Esfricas

El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay

simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Ejemplo # 1

Convertir el Punto a coordenadas cilndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

El cuadrante donde es negativo (-3) y es positivo (3) es el IV

cuadrante.

Ahora encontramos :



Entonces, el punto en coordenadas cilndricas es:

Ejemplo # 2

Convertir el punto en coordenadas cilndricas a coordenadas rectangulares.

Encontremos

Ahora encontremos

Ahora encontremos

Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:

Ejemplo # 3

Escribir la ecuacin en coordenadas cilndricas.

Sabemos que entonces sustituimos en la ecuacin, obteniendo:

y sta ecuacin ya est expresada completamente en coordenadas

cilndricas, pues solo depende de y .

Coordenadas Esfricas

Las coordenadas esfricas (, , ) de un punto P en el espacio, donde =OP es la distancia del origen a P, es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas, y es el ngulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P 0 0



El sistema de coordenadas esfricas es especialmente til en problemas donde hay simetra alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esfricas como los tres nmeros que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de interseccin de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esfricas

Es el sistema de coordenadas esfricas un punto p del espacio que viene representado

por un tro ordenado , donde:

1.- es la distancia de P al origen, .

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para .

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto , .

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Ecuaciones para transformar de Esfricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esfricas

Ecuaciones para transformar de Esfricas a Cilndricas



Ejemplo # 4

Convertir el punto a coordenadas rectangulares.

El punto en coordenadas rectangulares es: .

Ejemplo # 5

Convertir la ecuacin rectangular a coordenadas cilndricas.

Ejemplo # 6

Convertir la ecuacin rectangular a coordenadas esfricas.

Ejemplo # 7



Describa la superficie cuya ecuacin en coordenadas cilndricas es z=r. Solucin La ecuacin dice que el valor z, o altura, de cada punto sobre la superficie es igual que r, la distancia del punto al eje z. Como no aparece, puede variar. Por lo tanto, cualquier trazo horizontal en el plano z+ k (K>)) es un circulo de radio k. estas trazas sugieren que la superficie es un cono. Esta prediccin puede confirmarse si se convierte la ecuacin en coordenadas rectangulares. De la primera ecuacin tenemos

Reconocemos la ecuacin como la de un cono circular cuyo eje es el eje z.

Ejemplo # 8

Encuentre una ecuacin rectangular para la superficie cuya ecuacin esfrica es = sen sen Solucin,

= = = sen sen = y

Que es la ecuacin de una esfera con centro y radio

Ejemplo # 9

Utilice una computadora para trazar la imagen del slido que se obtiene al taladrar un agujero de radio 3, que pasa por el centro de una esfera de radio 4.

Solucin. Para que las ecuaciones resulten sencillas, escojamos el sistema de coordenadas de modo que el centro de la esfera se encuentre en el origen y el eje del cilindro que forma el agujero sea el eje z. Podramos usar coordenadas cilndricas o esfricas para describir el slido, pero la descripcin es ms sencilla si empleamos coordenadas cilndricas. Entonces, la ecuacin del cilindro es r=3 y la ecuacin de la esfera es

o .Los puntos del solido se encuentran fuera del cilindro y dentro de la esfera, de modo que satisfacen las desigualdades.

3 r

Para asegurar que la computadora trace solo las partes apropiadas de estas superficies buscamos su interseccin resolviendo el sistema de ecuaciones r=3 y r =

= 3 z= .



5.7 APLICACIN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILNDRICAS Y

ESFRICAS Hallar la masa de la porcin del slido elipsoidal Q dado por 4x2 + 4x2 + z2 = 16, que

est por encima del plano xy, supuesto que la densidad en un punto del slido es

proporcional a su distancia al plano xy.

SOLUCION: La funcin densidad es p (r, 0, z) = k z. Los lmites para z son

0 < = <

16 4x2 4y2 = 16 4 r2 = 2 4 r2

Ejemplo

Calcular el volumen del slido W limitado por el paraboloide z a x y 2 2 2 y el

plano XY.

El slido W se muestra en la Figura.
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/AplicacionDeLaIntegralTripleEnCoordenadasCartesianashttp://mitecnologico.com/sistemas/Main/AplicacionDeLaIntegralTripleEnCoordenadasCartesianas



El paraboloide corta al plano XY en la circunferencia x y a

z

2 2 2

0

Segn se ha visto es:

x

y

z

w

(0,0,a 2 )

R a

V W a x y dx dyR

( ) ( ) 2 2 2

Es evidente la conveniencia del cambio a coordenadas polares:

V W a r r dr d d a r r dra r r a

R

aa

( ) ( ) ( )*

2 2

0

22 2

0

2 2 4

0

4

22 4 2

Nota. Podra haberse obtenido V (W) por medio de una integral simple, al tratarse de

un slido de revolucin en torno al eje OZ.

Ejemplo

Calcular el rea de la regin limitada por la elipse de ecuacin: x

a

y

b

2

2

2

21 ,

utilizando integracin doble y un adecuado cambio de coordenadas.

Es evidente que el cambio :

x

au

y

bv

, es decir, :x au

y bv

hace corresponder tal

elipse a la circunferencia u v2 2 1 .

Es decir:



Luego:

( ) ( , ) ( )* *

*R dx dy J u v dudv abdudv ab R abR R R

Si no se da como supuesto el conocimiento del rea del crculo, se efectuara en la

ltima integral sobre R*, un cambio a coordenadas polares:

R ab dudv ab d r dr abR

* 02

0

1

En conjunto, el cambio x ar

y arsen

cos

transformar R** en R , siendo R**:

Aplicaciones de la integral triple

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

Una forma alternativa del Teorema de Green es la siguiente:

Anlogamente, el Teorema de la divergencia, llamado tambin de Gauss relaciona una

integral triple sobre una regin slida Q con una integral de superficie sobre la

superficie de Q. Para poder aplicar este Teorema es necesario que la superficie S sea

cerrada y que corresponda adems, al borde completo del slido Q.



TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS

APLICACIN DEL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS

EJEMPLO 1: Sea Q la regin slida acotada por los planos de coordenadas y por el

plano 2x + 2y + z = 6, y sea F = xi + y2j + z k. Calcular:

Donde S es la superficie de Q.

Solucin: En la figura de la derecha vemos que Q est acotada por cuatro porciones de

superficie. En consecuencia, seran necesarias cuatro integrales de superficie para

calcular la doble integral anterior.

Sin embargo, el teorema de la divergencia permite llegar al resultado con slo una

integral triple. Realizando lo siguiente:



Tenemos que:



En geometra plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una

descripcin cmoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que

recordemos la conexin entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene

coordenadas cartesianas y coordenadas polares , entonces, de la figura,

,
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UNIDAD 5 INTEGRACIN

Unidad 5 Integración-1

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