INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIO DE PANNUCO

NGENIERIA ENI ELECTRONICA

E- 401

CATEDRATICA:ING. LILIA ALEJANDRA ALVARADO

DELFIN

ALUMNO:HERNANDEZ LARA OSCAR JAIRO

MATEMATICAS VUNIDAD 6

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PARCIALESParte 1

6.1 DEFINICIONES (ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, ORDEN Y LINEALIDAD).

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.

Una ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.Ejemplos:

 El orden  de una ecuación diferencial está determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuación diferencial. 

Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:

 

 

Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar

se gún el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta

en la ecuación.  Ejemplos: 

455

2

2

yydx

dy

dx

d

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Otro ejemplo pero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden

0

,,2

2

3

3

y

yxu

x

yxu

 En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como: 

kxwdx

dxv

dx

dxu

dx

d

ydx

dy

dx

d

kykydx

d

0122

2

21

zyxfz

fy

fx

zyxwz

zzyxvy

yzyxux

x

yxvy

yxux

,,

0,,,,,,

0,,

2

2

2

2

2

2

0,,,,

y

dx

d

dx

dyyxF

n

n

 A continuación se abordara otro clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad. Recordemos que una ecuación se dice lineal si 

xgaxfaxfaxfa nnnn 01111 Donde los ai no todos son cero. En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma

 

Donde xan  es una función de x no cero.

 Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x. ¿Qué es una ecuación diferencial?   Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable

; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.

Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias .

xgyaydx

dxay

dx

dxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

011

1

1

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

  Ejemplo

La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.

Definición  [ Orden de una ecuación diferencial]El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.

Definición  [Ecuación Diferencial lineal]Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal  si se puede escribir de la forma

donde los coeficientes para son funciones reales, con

. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. 

Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes

si las funciones son constantes para toda , en caso contrario, decimos que

es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.

Ejemplo La ecuación diferencial

es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y

representa un modelo del aprendizaje. La variable representa el nivel de

habilidad del individuo como una función del tiempo . Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se esté aprendiendo.

Ejemplo La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza

electromotriz .  

Ejemplo  La ecuación

es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea. La ecuación

es de primer orden, no lineal y no homogénea. La ecuación

homogénea. El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.   Ejemplo  La ecuación

se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en . La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en él . La ecuación

se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en , y . Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas.

6.2 FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN.

Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones más obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.

Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

ORDEN. El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,d2y + 5 [dy]3 - 4y = exdx2 dx

es una ecuación diferencial de segundo orden.

GRADO. Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación no lineal. 

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión. Así (1)

es una PDE de 2 orden, mientras que (2)

es una PDE de primer orden.

La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es, en cambio, no lineal

6.3 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E

HIPERBÓLICAS) .

Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables indepenientes):

donde a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica

se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas, parabólicas e hiperbólicas de igual modo que las cónicas. Esto es, si

> 0 la ecuación es elíptica;

= 0 la ecuación es parabólica;

< 0 la ecuación es hiperbólica

Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de Laplace pertenecen a los tipos

Ecuación de difusión: parabólica

Ecuación de onda: hiperbólica

Ecuación de Laplace: elíptica

Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los coeficientes de la ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuación puede cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación

es elíptica en la región > 0, parabólica a lo largo de las rectas = 0, e

hiperbólica en la región < 0.

Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables indepenientes):

donde a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica

se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas, parabólicas e hiperbólicas de igual modo que las cónicas. Esto es, si

> 0 la ecuación es elíptica;

= 0 la ecuación es parabólica;

< 0 la ecuación es hiperbólica

Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de Laplace pertenecen a los tipos Ecuación de difusión: parabólica Ecuación de onda: hiperbólica Ecuación de Laplace: elíptica

Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los coeficientes de la ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuación puede cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación

es elíptica en la región > 0, parabólica a lo largo de las rectas = 0, e

hiperbólica en la región < 0.3. ECUACIONES DE EULER Se llama ecuación de Euler a una ecuación de la forma

La solución general se puede obtener del siguiente modo, haciendo el cambio

donde p,q,r y s son constantes

de igual modo

por último

Sustituyendo en la ecuación diferencial (3)

Ahora se elige p = r = 1 de modo que q y s sean raíces de la ecuación

es decir, de modo que los coeficientes de

y

sean cero. Por tanto, llamando a las raíces x1 y x2, quedaría la ecuación:

Ahora bien

y por lo que la ecuación puede expresarse

Si

es decir la ecuación es elíptica o hiperbólica

cuya solución general se reduce a

donde F y G son funciones arbitrarias, pero

luego la solución general de las ecuaciones elípticas e hiperbólicas es de la forma:

x1 y x2 son reales si la ecuación es hiperbólica, pero si es elíptica, son complejas. Si la ecuación es parabólica:

volviendo a la ecuación (3) y haciendo sólo p = 1, la ecuación (4) será

Se busca q tal que

es una raíz doble Llevando este valor a (4)

pero como = ab, sustituyendo el valor de "a" despejado de esta igualdad, la ecuación queda

con tal que r y s no sean cero simultáneamente, la ecuación resultante es

cuya solución general es de la forma

con F y G funciones arbitrarias, pero

con r y s arbitrarios, pero no simultáneamente ceros. Luego, la solución general de una ecuación parabólica es

Aunque hemos resuelto, desde el punto de vista matemático, las ecuaciones de Euler, estas soluciones tienen muy poco valor cuando se imponen unas condiciones de contorno dadas y una condición de valor inicial. Suele resultar muy difícil obtener la expresión de las funciones F y G. Por ello, este procedimiento, más académico que útil, va a dar paso a otro más eficaz que, además, nos va a ayudar a ver el sentido físico de lo que se trata de resolver. Este método se conoce con el nombre de método de separación de variables.