Unidad 6 polinomios

1 I.N.T.”SAN FERNANDO REY” – Prof. para el tercer ciclo de E.G.B.3 y Polimodal – ÁLGEBRA 2003

UNIDAD 6 – POLINOMIOS

Recordemos, antes de desarrollar el tema, el concepto de dominio de integridad. Llamamos dominio de integridad a todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, es decir a todo anillo íntegro. Por ejemplo es un anillo íntegro. Como todo cuerpo es anillo íntegro, son también dominio de integridad:

FORMAS POLINÓMICAS O POLINOMIOS FORMALES

Llamamos forma polinómica, polinomio formal o simplemente polinomio en una indeterminada x, sobre un dominio de integridad A, a toda expresión del tipo.

Obsérvese que no hacemos ninguna hipótesis sobre x, ni siquiera que x sea un elemento incógnito de A, aunque se comporte como tal. Por ello decimos que x es simplemente un símbolo o indeterminada.A a0 llamamos término independiente y si an 0, an recibe el nombre de coeficiente principal.

Si an = 1 llamamos polinomio mónico.

Cuando no hay dudas sobre la indeterminada de la cual se trata, podremos indicar simplemente P en lugar de P(x).

Grado de un polinomio

Llamaremos grado del polinomio P e indicaremos gr P, al entero no negativo así:

Ejemplo:

gr Q = 4

Igualdad de polinomios

Diremos que dos polinomios son iguales si y sólo si, son del mismo grado y tienen iguales los coeficientes de las mismas potencias de x

Ejemplo son polinomios iguales

OPERACIONES

En el conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x, con coeficientes en el dominio A, que denotaremos A[x], definimos las operaciones suma y producto de la siguiente manera:

Sean los polinomios P(x), Q(x) tales que:

Supongamos que , entonces introducimos la siguiente

DefiniciónEl polinomio suma P(x)+ Q(x) está dado por

Es decir

con bn+1 = bn+2 = .... = bm-1 = bm = 0Analicemos ahora el grado:

DefiniciónEl polinomio producto P(x) . Q(x) está dado por


En la última expresión hemos utilizado la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Recordemos que los índices de la suma i y la j son índices mudos, es decir, podemos darles cualquier otro símbolo sin que cambie por ello el valor de la suma. Podemos, entonces, cambiarlo para darle a nuestra última expresión una forma diferente que nos permita ver inmediatamente el grado del polinomio producto. Razonemos de la siguiente manera: tanto i como j dan el grado del término correspondiente de los polinomios P(x) y Q(x). Entonces, el exponente i + j da el grado del término (i + j)-ésimo del polinomio producto; llamemos k a éste grado, es decir, k = i + j. Por lo tanto, podemos re-escribir nuestra última expresión como:

Es claro, a partir de esta última expresión, que siendo k el exponente de x, y por lo tanto, el grado de cada término del polinomio producto, el grado de P(x).Q(x) es m + n, pues la suma sobre k va desde cero hasta m + n. Este es, entonces, su valor máximo.

ESTRUCTURA DE (A[x], +, . )

El conjunto de todas las formas polinómicas en x, sobre un dominio de integridad A, que hemos denominado A[x], es, con la suma y el producto anteriormente definidos, un nuevo dominio de integridad que contiene a A.

(A[x], +) verifica los siguientes axiomas

A 1 Ley de cierre o ley de composición internaA 2 AsociatividadA 3 Existencia de elemento neutro: es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos. El polinomio nulo no tiene grado.A 4 Existencia de inversos aditivos: El polinomio inverso de P es –P, que verifica que gr P = gr (–P).A 5 Conmutatividad

En consecuencia

(A[x], . ) Verifica los siguientes axiomasA6 Ley de cierre o ley de composición internaA7 AsociatividadExistencia de elemento neutro: El polinomio identidad o unidad es aquel cuyo término independiente es 1 y todos sus otros coeficientes son nulos. Lo denotaremos como I(x) ó simplemente I.Conmutatividad

En consecuencia

El producto de polinomios no cumple con la existencia de inverso multiplicativos, pues no todo polinomio no nulo de A[x] admite inverso multiplicativo en A[x].

A8 Distributividad del producto respecto de la suma en A[x]

En consecuencia, como con el producto es conmutativa y tiene elemento neutro, diremos que

A[x] no tiene divisores de ceroDebemos probar que el producto de dos polinomios es nulo solamente si uno de los dos lo es. Es decir P. Q = 0 .

Probaremos por el contrarrecíproco: .

Sean

pues al menos tiene un término no nulo que el grado

m + n.

Entonces la terna

POLINOMIO EN UN CUERPO K

A los polinomios en una indeterminada x con coeficientes en un cuerpo K denotaremos K[x].


Elementos inversibles en K[X]

El anillo de polinomios K[x] no es un cuerpo, pues no todo elemento no nulo de K[x] admite inverso multiplicativo en K[x].

TeoremaUn polinomio de K[x] admite inverso multiplicativo sí y sólo si, es de grado cero.

Sea Demostración)

un polinomio con inverso multiplicativo en . Como K[x] es dominio de integridad se tiene: gr (P.Q) = gr P + gr Q = gr 1 = 0 y como el grado de un polinomio se define como un entero no negativo, debe ser gr P = gr Q = 0 , como se quería demostrar.

. Dado qye K es un cuerpo, a0 admite inverso multiplicativo y es P -1 = a0

-1.Y está probado que los únicos elementos inversibles de k[x] son las constantes de K[x], que son las constantes no nulas de K.

División de polinomios

Dados dos polinomios A y B de K[x], siendo B no nulo, existen y son únicos los polinomios Q y R/i) A = B.Q + R A |_B____ii) R Q

Se pueden presentar los casos:Si Si

TEOREMA DE RUFFINI

Si el dividendo A es tal que grA = n > 1 y el divisor B es tal que gr B = 1 y además B es mónico, es posible hallar el cociente y el resto de la división de A por B mediante el procedimiento llamado regla de Ruffini.En efecto, sean Q y R el cociente y el resto, respectivamente. Por el algoritmo de la división se tiene:A = B.Q + R ; y además con gr Q = gr A – gr B = n -1 . Entonces

es decir que podemos identificar a R como un elemento K (un número) que llamaremos r

Sea entonces

Por el algoritmo de la división, A = B . Q + r = (x-c) . Q + r . Distribuyendo Q no queda

Reuniendo términos del mismo grado, se tiene

La igualdad entre los polinomios A dados por la última ecuación y la de más arriba sólo es posible si los coeficientes de las potencias de x son iguales. Es decir

Estos resultados pueden recordarse fácilmente si se disponen en el esquema siguiente:

an an-1 an-2 .... a1 a0

c cqn-1 cqn-2 .... cq1 cq0

qn-1 qn-2 qn-3 .… q0 r

En la primera línea del esquema son los coeficientes del polinomio dividendo A. La segunda línea indica, a la izquierda de la línea vertical, la raíz c del polinomio divisor B y luego, en la i-ésima columna, los


resultados de los productos cqn-i+1. Finalmente, la última línea contiene la suma (algebraica) de las dos filas superiores.

Ejemplo:Sea A = 3x – 2x3 + 5x4 – 6, y B = x + 3Para aplicar el esquema explicado arriba, se necesita que los coeficientes del divisor A estén ordenados según un orden decreciente en la potencias de x, completando con ceros, en caso de faltar alguna.

Q = 5x4 – 17x3 + 51x2 –150x y r = – 456

ESPECIALIZACIÓN DE LA INDETERMINADA X

DefiniciónSean . Llamaremos especialización de x por al elemento que anotamos de K tal que:

Ejemploa) Sean P = 3x3 – x2 + 1 y b) Sean P = 3ix + i y

c) P = 5 y

TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de P por es

Demostración)Dividiendo P por , se tiene, por el algoritmo de la división que: P = ( ).Q + r, donde r es el resto de

la división de P por . Especializando x por resulta:

Ejemploa) Sea P(x) = 2x3 + 5x2 + 2x + 1 y Q(x) = x + 2

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Definición:Sean . El elemento es raíz de P sí y sólo si la especialización de x por es 0.

Es decir:

Ejemplo:a) Si P(x) = x2 – 4x + 4 entonces es raíz de P, pues P(2) = 22 – 4.2 + 4 = 0

b) Si P(x) = x2 + 1 entonces es raíz de P pues P(i) = i2 + 1 = – 1 + 1 = 0

Teorema es raíz de P sí y sólo si x – divide a P

Demostración)

Insistimos en la valides de las siguientes equivalencias


EjemploDado P = 2x3 + 4x2 – 8x –16, factoreando se tiene que P = 2(x3 + 2x2 – 4x– 4 = 2[ x2(x + 2) – 4(x + 2)] = 2(x2 – 4)(x + 2)= 2(x – 2)(x + 2)(x + 2).

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Todo polinomio de grado positivo admite una raíz en . Se dice que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado.

Únicamente enunciaremos el teorema y no lo demostraremos pues la misma requeriría conocimientos superiores a los que se presupone para el lector de estas notas.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Todo polinomio de grado n ≥ 1 puede escribirse, de manera única, como producto de la forma

Demostración) Por inducción completa

1. Si gr P(x) = n = 1, entonces

Queda demostrado en el caso n = 1

2. Suponemos que la propiedad es válida cuando gr P(x) = n = h.

3. Demostraremos (utilizando la hipótesis 2.) que la propiedad de válida cuando gr P(x) = n = h + 1.Sea P de grado h + 1. Por el teorema del álgebra, P admite una raíz en . Llamaremos a esta raíz, entonces (x - ) divide a P; es decir, P(x) = ( x - ).Q(x), siendo gr Q = h.Esquemáticamente

ah+1xh+1 + ......α h+1

a h+1 xh + .... 0 = resto

Además, por la hipótesis inductiva 2., siendo Q de grado h debe poder factorizarse como .

El esquema anterior muestra que el coeficiente del término de grado h es ah+1. Reemplazando Q en la expresión de P, nos queda

Lo que demuestra que el teorema es válido para todo n ≥ 1, y se tiene:

Por otra parte, la unicidad de la descomposición está asegurada por el teorema fundamental de la aritmética en K[x].

Consecuencias

1. El teorema de la descomposición factorial afirma que todo polinomio P de grado positivo puede escribirse como el producto del coeficiente principal por n factores binomiales de primer grado (no necesariamente distintos). Dada que los factores son exactamente n (pues de lo contrario P no sería de grado n) y algunas (o todas) las αi pueden ser iguales, es claro que todo polinomio P de grado n ≥ 1 admite a lo sumo n raíces distintas en .

2. Supongamos ahora que entre esos n binomios hay exactamente k1 iguales entre si, k2 iguales entre si,..., kr iguales entre si, etc, con r ≤ n. Entonces la descomposición factorial de P resulta:

Analizando el grado, resulta evidente que debe cumplirse que k1 + k2 + ...+kr = n, es decir que la suma de los órdenes de multiplicidad de las raíces de un polinomio es igual a su grado.


RAÍCES MÚLTIPLES

Pongamos rigurosamente lo dicho acerca de las raíces múltiples en el párrafo anterior. Queremos asociar a cada raíz de P un número k, llamado orden de multiplicidad, que indique el número de veces que P es divisible por . Introducimos entonces, la siguiente

Definición:Decimos que es raíz múltiple de P de orden de multiplicidad k si y sólo si ( )k divide a P, pero no (

)k+1.

En símbolos

es raíz múltiple de P de orden de multiplicidad .

que es equivalente a:

es raíz múltiple de P de orden de multiplicidad .

Si K = 1 se dice que es una raíz simple. Si k = 2, que es raíz doble y así sucesivamente.

TEOREMA DE GAUSS

Si el polinomio , de grado n y término independiente no nulo, admite una raíz racional p / q, siendo p y q coprimos (máximo común divisor igual a 1), entonces p es divisor del término independiente (a0) y q lo es del coeficiente principal (an)

Hipótesis:

Tesis:

Demostración:Dado que p/q es raíz de P, se tiene:

Escribiendo la última igualdad en forma desarrollada,

Despejando el primer término de esta última ecuación y sacando factor común p, nos queda:.

donde hemos llamado s al entero.

Por esta última expresión puede verse que s es un entero, dado que cada término es un producto entre los enteros a1, a2 , ...., an , p y q. Además la expresión a0qn = ps muestra que p divide a a0qn. Expresémoslo en la forma habitual al algoritmo de división. a0qn | p 0 sEs decir dividiendo a0qn por p se obtiene s como cociente y 0 como resto. Recordemos que en la hipótesis también habíamos pedido que p y q fueran coprimos. Esto es, que no tengan factores en común en su descomposición en factores primos. Por lo tanto, p no divide a q y tampoco a qn ( esto es bastante obvio pues qn sólo contiene los mismos factores que q repetidos n veces). Si p divide a a 0qn, pero no a qn, significa que necesariamente p divide a a0, como queríamos demostrar. Nos resta ahora ver que también q divide a an.Usando la ecuación (1) despejamos el término anpn:

.donde t es el entero

.Usando el mismo razonamiento que en el caso anterior, podemos decir que si anpn = qt , entonces q divide a anpn pero no a p. Por lo tanto, q divide a an.

BIBLIOGRAFÍA ÁLGEBRA I – Armando O. Rojo – Editorial “El Ateneo” – Bs. As. 1972. NOTAS DE ÁLGEBRA I – GENTILE, Enzo R. – Ediciones Colihue – EUDEBA - 1988


ÁLGEBRA MODERNA - Herstein, I. N – Editorial E. Trillas S.A – México - 1970 ÁLGEBRA MODERNA – AYRES, Frank Jr. _ Ed. Mc Graw Hill – 1991 ÁLGEBRA ABSTRACTA – FRALEIGH, John B. – Ed. Addison-Wesley Iberoamericana S.A – 1987.

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