Unidad 7 - Junta de Andalucía · 2016-02-24 · Vibraciones y ondas. Unidad 7 J.M.L.C. - Chena -...
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Unidad 7
Vibraciones y ondas El oscilador armónico
Vibraciones y ondas. Unidad 7 J.M.L.C. - Chena - IES Aguilar y Cano
El oscilador armónico❖ Movimientos periódicos: Se repiten las posiciones cada cierto tiempo.❖ Movimientos oscilatorios: Movimientos periódicos que cambian de
sentido sobre una misma trayectoria.
Periodo (T): Tiempo que tarda el móvil en repetir una misma posición después de haber realizado una oscilación completa. Frecuencia (f): Número de oscilaciones que realiza el móvil en la unidad de tiempo.
Cualquier sistema o cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable, tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de dicha posición de equilibrio bajo la acción de una fuerza restauradora.
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El oscilador armónicoCuando la fuerza restauradora es proporcional a la separación de la posición de equilibrio del cuerpo, como la restauradora en los muelles que obedece a la ley de Hooke, su posición es una función sinusoidal del tiempo (funciones seno o coseno). Como a estas funciones se las denomina armónicas, el movimiento que describe el cuerpo se denomina MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS).
~F = �k ~r
Una partícula tiene un MAS cuando oscila bajo la acción de una fuerza restauradora que es proporcional a la distancia al punto de equilibrio. Cualquier partícula o sistema con un MAS se denomina oscilador armónico.
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El oscilador armónico
La ecuación que representa un MAS puede escribirse
x = A cos(!t+ �)
donde:
x: se denomina elongación.
A: es la amplitud.
ω: es la frecuencia angular, ω = 2πf
(ωt + δ): es la fase del movimiento.
δ: es la fase inicial o constante de fase.
La ecuación del MAS
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El oscilador armónicoEjercicio
La ecuación de un oscilador armónico es x = 6 sen πt, expresado en unidades del S.I. Calcula el periodo, la frecuencia y la amplitud.
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El oscilador armónicoLa velocidad en el MAS
x = A cos(!t+ �)
v =dx
dt
= �A! sen(!t+ �)
Multiplicando la ecuación de la posición por ω, elevando ambas al cuadrado y sumándolas, obtenemos:
v2 = A2!2 sen2(!t+ �)
!
2x
2= A
2!
2cos
2(!t+ �)
!
2x
2 + v
2 = A
2!
2
v = ±!
pA
2 � x
2
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El oscilador armónicoEjercicio
Una partícula describe un movimiento armónico simple con una frecuencia de 10 Hz y 5 cm de amplitud. Determina la velocidad cuando la elongación es x = 2,5 cm.
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El oscilador armónicoLa aceleración en el MAS
v =dx
dt
= �A! sen(!t+ �)
comox = A cos(!t+ �)
a =
dv
dt
=
d
2x
dt
2= �A!
2cos(!t+ �)
a = �!
2x
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El oscilador armónicoEjercicio
Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las constantes del movimiento (amplitud, fase inicial, pulsación, frecuencia y periodo) y describe las expresiones de la elongación, velocidad y aceleración. Calcula la elongación, velocidad y aceleración en el instante t = 1,75π s. ¿Cuál es la diferencia de fase entre este instante y el instante inicial?
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El oscilador armónicoDinámica del MAS
Cuando un cuerpo es apartado de su posición de equilibrio estable, la fuerza recuperadora tiende a devolverlo a dicho posición. Esta fuerza producirá una aceleración cuyo valor será:
F = �kx ma = �kx a = � k
m
x
Como vimos antes, la aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario:
a = �!
2x
Así que si ambas son la misma aceleración ha de cumplirse que:
!2 =k
m
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El oscilador armónicoLas características dinámicas de un oscilador son la masa (m) y la constante restauradora (k), por lo que la frecuencia angular sólo depende de ellas. Como esta está relacionada con el periodo por:
! =2⇡
T
✓2⇡
T
◆2
=k
m
Despejando el periodo obtenemos:
T = 2⇡
rm
kf =
1
2⇡
rk
mf =
1
T
El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema y es independiente de la amplitud.
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El oscilador armónicoEjercicio
Un muelle se estira 2 cm cuando se cuelga de él una masa de 300 g. Calcula la constante de elasticidad del muelle y la frecuencia angular con que oscilaría si se separase de su posición de equilibrio.
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El oscilador armónicoEnergía del MAS (energía potencial)
Las fuerzas restauradoras que cumplen la ley de Hooke son conservativas. En ese caso, como ya sabemos:
W = ��Ep
Si calculamos el trabajo que realiza dicha fuerza cuando desplaza el cuerpo desde una posición x a la de equilibrio (x = 0) y aplicamos la expresión anterior obtenemos que:
Ep =1
2kx
2 Ep =
1
2
kA2cos
2(!t+ �)
La energía potencial también varía de forma periódica sinusoidal con valor nulo en la posición de equilibrio y valor máximo en los extremos.
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El oscilador armónicoEnergía del MAS (energía cinética)
Al dejar libre el oscilador en un extremo, disminuye su energía potencial y comienza a aumentar su energía cinética. Esta vale:
Ec =1
2mv2
Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad obtenida anteriormente:
Ec =1
2m!2A2sen2(!t+ �) Ec =
1
2kA2sen2(!t+ �)
Ec =1
2k(A2 � x
2)
La energía cinética también varía de forma periódica sinusoidal, con valor máximo en la posición de equilibrio y valor nulo en los extremos.
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El oscilador armónicoEnergía del MAS (energía mecánica total)
Podemos comprobar que en ausencia de fuerzas disipativas, la energía mecánica de un oscilador armónico se mantiene constante.
El valor de la energía mecánica de un oscilador armónico es proporcional al cuadrado de su amplitud.
E = Ec + Ep =1
2k(A2 � x
2) +1
2kx
2 =1
2kA
2
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El oscilador armónicoEjercicio
Una partícula de 10–3 kg de masa recorre un segmento de 5 cm de longitud en 1 s, con movimiento armónico simple. La partícula en el instante inicial está situada en la posición central del recorrido y se dirige hacia elongaciones positivas.
a) Calcula su energía cinética en el instante 2,75 s.b) ¿Cuál es el primer instante en que coinciden los valores de la
energía cinética y de la energía potencial?c) Representa gráficamente la velocidad de la partícula frente al
tiempo transcurrido.
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El oscilador armónicoEl péndulo simple Un péndulo simple es una masa puntual que
pende de un hilo inextensible de masa despreciable. Para pequeñas desviaciones de su posición de equilibrio se comporta como un oscilador armónico. La fuerza restauradora es:
F = �mgsen✓ = �mg✓ = �mg
x
l
Como esta fuerza es la que proporciona la aceleración, esta vale:
ma = �mg
x
l
) a = �g
l
x
T = 2⇡
sl
g
Y como a = �!
2x !2 =
g
l
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El oscilador armónicoEjercicio
Un péndulo está calibrado para realizar una oscilación completa en 1 s en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto retrasará o adelantará al cabo de un día cuando se traslade a un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g = 9,7 m/s2?
