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Unidad 8

Vibraciones y ondas Movimiento ondulatorio

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Vibraciones y ondas. Unidad 8 J.M.L.C. - Chena - IES Aguilar y Cano

Movimiento ondulatorio

Una onda consiste en el movimiento de la propagación de una perturbación sin que exista transporte neto de materia.

En una onda se propaga energía pero no materia. Pero aunque no sea materia sí puede interaccionar con ésta.

En la representación de una onda se muestra como varía la propiedad perturbada en función del tiempo o de la distancia al foco origen de la perturbación.

Una onda transporta energía pero no materia.


Movimiento ondulatorioSegún el soporte

❖ Ondas mecánicas: necesitan de un medio material para propagarse. ❖ Ondas electromagnéticas: no requieren de un medio material para

propagarse.

Según las dimensiones de propagación ❖ Unidimensionales: se propagan en una sola dirección.❖ Bidimensionales: se propagan por una superficie (dos dimensiones).❖ Tridimensionales o espaciales: se propagan por el espacio (tres

dimensiones).

Según la dirección de perturbación frente a la de propagación ❖ Longitudinales: ambas direcciones coinciden.❖ Transversales: ambas direcciones son perpendiculares entre sí.

Clasificación de las ondas



La propagación de una onda mecánica requiere que el medio sea elástico y posea inercia. De la relación entre estas dos propiedades depende la velocidad de propagación de una onda en un medio material. Así, en general, la velocidad de propagación de una onda se expresa por:

que aplicado al caso de un pulso en una cuerda sería:

donde T es la tensión (propiedad elástica) y µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, densidad lineal, (propiedad inercial).

Ondas mecánicas

v =

spropiedad elastica

propiedad inercia

v =

sT

µ


Movimiento ondulatorioEjercicio

¿Con qué velocidad se propagará una onda transversal en una cuerda de 5 m sometida a una tensión de 300 N, si la masa de dicha cuerda es de 12,3 kg? ¿Qué masa debería tener la cuerda para que dicha onda transversal se desplazase con el doble de velocidad?



La expresión matemática que representa la propagación de una onda es una función de la coordenada de la dirección de avance y del tiempo. A dicha función se la denomina función de onda.

Si el movimiento de avance de una onda es de izquierda a derecha, la función es de la forma:

Y si se desplaza de derecha a izquierda, tiene la forma:

Donde v es la velocidad a la que se propaga la onda.

Ecuación de onda

y = f(x, t)

y = f(x� vt)

y = f(x+ vt)



Una perturbación que se propaga en un medio debido a un oscilador armónico constituye una onda armónica. En ella cabe definir las siguientes características:

Longitud de onda, λ: distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de perturbación (misma fase).

Periodo, T: Tiempo que tarda un punto cualquiera en volver al mismo estado de perturbación.

Frecuencia, f: Número de veces que un punto cualquiera pasa por el mismo estado de perturbación en la unidad de tiempo (inversa del periodo).

Número de onda, k: Número de longitudes de onda que hay en 2π radianes.

Velocidad de propagación, v: Desplazamiento efectuado por la onda en la unidad de tiempo, es decir, una longitud de onda, λ, en un tiempo T.

Ondas armónicas



Una onda armónica que se propaga hacia la derecha a lo largo del eje X, viene dada por la ecuación:

Considerando las relaciones entre magnitudes, tenemos que:

Y si la onda armónica se desplazara hacia la izquierda:

Ecuación de las ondas armónicas

y(x, t) = A sen k(x� vt)

y(x, t) = A sen (kx� !t)

y(x, t) = A sen (kx+ !t)



Un extremo de una cuerda tensa horizontal de 4 m de longitud tiene un movimiento oscilatorio armónico de dirección vertical. En el instante t = 0,3 s la elongación de ese extremo es 2 cm. Se mide que la perturbación tarda en llegar de un extremo a otro de la cuerda 0,9 s y que la distancia entre dos mínimos consecutivos es 1 m. Calcula:

a) La frecuencia.b)La amplitud del movimiento.c) La velocidad del punto medio de la cuerda en el instante t = 1 s.

Ejercicio



Comprueba que son válidas las siguientes expresiones de la función de onda:

siendo A la amplitud, f la frecuencia, λ la longitud de onda, v la velocidad de propagación y k el número de onda.

⇠(x, t) = A sen k(vt� x)

⇠(x, t) = A sen 2⇡⇣ft� x

�

⌘

⇠(x, t) = A sen kv

✓t� x

�f

◆

⇠(x, t) = A sen(2⇡ft� kx)



La ecuación de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es:

a) Determina las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagación).

b)Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de un punto de la cuerda y sus valores máximos.

c) Determina los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1 m del origen en el instante t = 3 s.

y(x, t) = 0, 05 cos 2⇡(4t� 2x)



Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbación se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresión que representa el movimiento de la cuerda.


Movimiento ondulatorioPrincipio de Huygens

Todo punto de un medio alcanzado por un frente de onda se comporta como un foco emisor de ondas secundarias. La envolvente a todas las ondas secundarias constituye un nuevo frente de ondas.

Permite explicar de forma sencilla algunas propiedades de las ondas: reflexión, refracción, difracción e interferencias.

Una onda se propaga como frentes de onda, siendo un frente de onda la superficie que une todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en un mismo instante.

http://www.walter-fendt.de/html5/phes/refractionhuygens_es.htm



Cuando una onda que se propaga por un medio llega a la superficie de separación con otro medio distinto, parte de la onda se refleja y sigue propagándose por el mismo medio, mientras que la otra parte pasa a propagarse por el otro medio, donde al ser distinto, lo hará con diferente velocidad.

La primera parte de la onda recibe el nombre de onda reflejada y la segunda onda refractada.

Reflexión y refracción



❖ El rayo incidente, el reflejado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo plano.

❖ El ángulo de incidencia y el reflejado son iguales.

Leyes de la reflexión



❖ El rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo plano.

❖ Ley de Snell:

Leyes de la refracción

sen ✓isen ✓R

=vivR



Una onda, de 4 cm de longitud de onda, se propaga por la superficie del agua de una cubeta de ondas con una velocidad de 20 cm/s. En un instante dado el frente de ondas accede a una zona menos profunda con un ángulo de 30º, respecto a la superficie de la recta que separa los dos medios. Si la longitud de onda en este segundo medio es 3 cm, deduce la dirección por la que se propaga.



Es el fenómeno por el cual una onda modifica su dirección de propagación al encontrarse con aberturas u obstáculos.

Este fenómeno tiene importancia cuando las dimensiones de la abertura o del obstáculo son comparables con la longitud de onda.

Difracción



El problema de superposición se plantea cuando por un medio se propagan dos o más ondas. Según el principio de superposición, la elongación de la onda resultante es la suma de las elongaciones de cada una por separado.

También se dice que la perturbación producida en un punto por dos o más ondas es igual a la suma algebraica de las perturbaciones producidas en dicho punto por cada una de las ondas consideradas de modo aislado.

Ninguna de las ondas pierde sus características; es decir, después de superponerse, cada una se propaga de la misma forma que antes.

Al superponerse, los efectos de las ondas pueden en cada punto reforzarse o debilitarse, dando lugar a los fenómenos de interferencias, constructivas o destructivas, respectivamente.

Principio de superposición



Consideremos dos ondas armónicas de la misma amplitud, longitud de onda y frecuencia, pero de diferente fase (una de ellas está desfasada un ángulo δ respecto a la otra). Ambas viajan por un mismo medio y en la misma dirección.

Al coincidir ambas en un punto x en un instante t, la perturbación en ese punto será la suma de ambas perturbaciones:

Como

Interferencias

y1 = A sen(kx� !t)

y2 = A sen(kx� !t+ �)

y = y1 + y2 = A [sen (kx� !t)| {z }a

+sen (kx� !t+ �)| {z }b

]

sen a+ sen b = 2 cos

✓a� b

2

◆· sen

✓a+ b

2

◆


Movimiento ondulatorioLa perturbación resultante viene dada por:

Si las ondas están en concordancia de fase: δ = 0 ⇒ A’ = 2A cos 0 = 2A Dos ondas que interfieren con desfase nulo lo hacen de manera constructiva.

Si las ondas están en oposición de fase: δ = π ⇒ A’ = 2A cos π/2 = 0

Dos ondas que interfieren en oposición de fase lo hacen de manera destructiva.

y =

✓2A cos

�

2

◆

| {z }A0

·sen✓kx� !t� �

2

◆



Consideremos dos focos que emiten ondas de las mismas características. ¿En qué puntos del medio se dará una onda constructiva?, ¿y una destructiva?

Condiciones de máximos y mínimos

Calculando la elongación en ese punto del medio: y = y1 + y2:

y1 = A sen(kx1 � !t)

y2 = A sen(kx2 � !t)

y =

2A cos k

✓x1 � x2

2

◆�

| {z }A0

·sen✓k(x1 � x2)

2

� !t

◆

La interferencia será constructiva cuando (x1 – x2) = nλ ⇒ Condición de máximo.

La interferencia será destructiva cuando (x1 – x2) = (2n + 1) λ/2 ⇒ Condición de mínimo.



Dos ondas sonoras, de ecuación y = 1,2 cos 2π (170t - 0,5x) Pa, proceden de dos focos coherentes e interfieren en un punto P que dista 20 m de un foco y 25 m del otro foco. Determina la perturbación que originan en el punto P cada uno de los focos, en el instante t = 1 s. Calcula la diferencia de fase de las ondas al llegar al punto considerado y determina la amplitud de la perturbación total en el citado punto.



Un caso especial e importante de interferencia de ondas es el que se da entre ondas idénticas que viajan por el mismo medio pero en sentidos opuestos.

En realidad no es un movimiento ondulatorio propiamente dicho, pues cada punto del medio vibra con un MAS de distinta amplitud. Los puntos que vibran con máxima amplitud reciben el nombre de vientres (o antinodos) y los que no vibran, nodos. Por tanto la energía no se propaga en una onda estacionaria.

Ondas estacionarias

y1 = A sen(kx� !t)

y2 = A sen(kx+ !t)

y = y1 + y2 = 2A sen kx| {z }A0

· cos!t Ecuación de un MAS



❖ La amplitud es función de la posición, x, de modo que determinados puntos oscilan con amplitud máxima y otros no oscilan.

❖ La frecuencia es igual a la de las ondas que interfieren.

Nodos: En ellos la amplitud es nula → sen kx = 0 → kx = 0, π, 2π, 3π,...

y = y1 + y2 = 2A sen kx| {z }A0

· cos!t

2⇡

�

x = n⇡ ) x = n

�

2

Vientres: En ellos la amplitud es máxima → sen kx = 1 → kx = ⇡

2,3⇡

2,5⇡

2, . . .

2⇡

�

x = (2n+ 1)⇡

2) x = (2n+ 1)

�

4



Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación:

donde x e y vienen expresados en centímetros y t en segundos.a) Calcula la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de las ondas

componentes, cuya superposición puede dar lugar a la onda dada.b)¿Qué distancia hay entre nodos?c) ¿Cuál es la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda en la

posición x = 4,5 cm y en el instante t = 0,4 s?d)¿Se transporta energía en dicha onda?

y(x, t) = 10 sen

⇡

3

x cos 20⇡t



Una cuerda de longitud L, fija por ambos extremos (una cuerda de un instrumento musical). En este caso, los extremos cumplen la condición de nodos, así que:

Donde v es la velocidad de propagación de la onda.

Dándole a n valores (1, 2, 3, ...) obtenemos las posibles frecuencias que darán lugar al establecimiento de ondas estacionarias. Cuando n = 1 tendremos la frecuencia fundamental y a partir de n = 2 tendremos los distintos armónicos.

Frecuencias de las ondas estacionarias

L = n�

2

Como � =v

f) L = n

v

2f) f = n

v

2L



Una cuerda de guitarra de 1 m de larga fija por ambos extremos vibra formando 4 nodos. Los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento máximo de 4 mm. Si la velocidad de las ondas en la cuerda es 660 m/s, halla la frecuencia con la que vibra la cuerda y la expresión de la función de la onda estacionaria.

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