Unidad Academica 1

HUANCAYOPERU

UNIVERSIDAD?PERUANA LOS ANDES

EDUCACIN?A?DISTANCIA

MATEMTICA DISCRETA

FACULTAD?DE?INGENIERIA

ING. VCTOR CALLE VIVANCO

2UPLA MATEMTICA DISCRETA

TABLA DE?CONVERSIONES:

INDICADORES?DE?LOGRO

? ACTIVIDAD

..! OBSERVACIN

RESUMEN

BIBLIOGRAFA RECOMENDADA

NEXO

AUTOEVALUACIN?FORMATIVA

1.?PRESENTACIN?DE?LA GUA DIDCTICA

3

UPLAMATEMTICA DISCRETA

Una de las mayores preocupaciones y dificultades para el estudiante la constituye elhecho de que la parte modular de un cuerpo no est, en la sola presentacin de laasignatura, siendo necesaria una gua para seguir el proceso de enseanza de maneraordenada.

El objetivo de la presente, gua didctica, del curso de Matemtica Discreta, esproporcionar al estudiante una herramienta que pueda ayudarle en el desempeo de suaprendizaje. Los lineamientos ms claros para el desarrollo de la asignatura seencuentran en esta gua.

Es importante que el participante tenga en esta gua, un medio de consulta durante elperiodo de su aprendizaje. La confianza debe primar en l, ya que estar en constanteasesoramiento respectivo por el docente responsable de la materia.

Espero que la presente gua rena las condiciones deseadas por los estudiantes:conceptuacin clara y profunda de los puntos tratados en la estructura del curso. Larecomendacin principal del autor es que, se utilice este documento y se revise confrecuencia, no perdiendo as el nexo con la materia, ni poner al olvido los objetivostrazados. As mismo se recomienda revisar continuamente las actividadesprogramadas, con la finalidad de no retrasar la entrega de los trabajos propuestos encada UnidadAcadmica.

Vctor Calle Vivanco, Ingeniero Industrial de profesin, egresado de laUniversidad Nacional Mayor de San Marcos, con registro CIP 31638.Labor por ms de 5 aos en varios proyectos Industriales de la Construccinen la costa central y norte del pas; tiene estudios de Maestra en Produccinen la UNMSM; ha participado en diferentes cursos y seminarios tales como:Sistema de Educacin a Distancia, Teora y Prctica, Uso y explotacin de

bases de datos con SPSS, Tecnologas de la Informacin, etc. Con una amplia experienciacomo docente universitario en diferentes universidades como: UNSCH, UCCI, UNCP yUniversidad Peruana Los Andes, en la Facultad de Ingeniera, y responsable de laconduccin en esta experiencia de aprendizaje, de la presente asignatura.Correo Electrnico: [email protected]: 246768, 253553 celular: 933103Como docente es acompaar, guiar y estimularlos en el aprendizaje, del mismo modo,

absolver algunos consultas que desean hacerlo durante el proceso dedesarrollo del curso.

2.?PRESENTACIN?DEL EQUIPO?DOCENTE

Una de las mayores preocupaciones y dificultades para el estudiante la constituye elhecho de que la parte modular de un cuerpo no est, en la sola presentacin de laasignatura, siendo necesaria una gua para seguir el proceso de enseanza de maneraordenada.

El objetivo de la presente, gua didctica, del curso de Matemtica Discreta, esproporcionar al estudiante una herramienta que pueda ayudarle en el desempeo de suaprendizaje. Los lineamientos ms claros para el desarrollo de la asignatura seencuentran en esta gua.

Es importante que el participante tenga en esta gua, un medio de consulta durante elperiodo de su aprendizaje. La confianza debe primar en l, ya que estar en constanteasesoramiento respectivo por el docente responsable de la materia.

Espero que la presente gua rena las condiciones deseadas por los estudiantes:conceptuacin clara y profunda de los puntos tratados en la estructura del curso. Larecomendacin principal del autor es que, se utilice este documento y se revise confrecuencia, no perdiendo as el nexo con la materia, ni poner al olvido los objetivostrazados. As mismo se recomienda revisar continuamente las actividadesprogramadas, con la finalidad de no retrasar la entrega de los trabajos propuestos encada UnidadAcadmica.

Vctor Calle Vivanco, Ingeniero Industrial de profesin, egresado de la UniversidadNacional Mayor de San Marcos, con registro CIP 31638.Labor por ms de 5 aos en varios proyectos Industriales de la Construccin en la costacentral y norte del pas; tiene estudios de Maestra en Produccin en la UNMSM; haparticipado en diferentes cursos y seminarios tales como: Sistema de Educacin aDistancia, Teora y Prctica, Uso y explotacin de bases de datos con SPSS, Tecnologasde la Informacin, etc. Con una amplia experiencia como docente universitario endiferentes universidades como: UNSCH, UCCI, UNCP y Universidad Peruana Los Andes,en la Facultad de Ingeniera, y responsable de la conduccin en esta experiencia deaprendizaje, de la presente asignatura.Correo Electrnico: [email protected]: 246768, 253553 celular: 933103Como docente es acompaar, guiar y estimularlos en el aprendizaje, del mismo modo,absolver algunos consultas que desean hacerlo durante el proceso de desarrollo delcurso.

2.?PRESENTACIN?DEL EQUIPO?DOCENTE

4

UPLA MATEMTICA DISCRETA

3.?INTRODUCCIN A LA ASIGNATURA

La asignatura de Matemtica Discreta, es un curso del III ciclo de la carrera profesionalde Ingeniera de Sistemas y Computacin, es de carcter bsico y obligatorio, vinculadoa la carrera respectiva.

Es parte de las matemticas que estudia objetos discretos, y relacionada con temas delas ciencias de la computacin, surgiendo como una disciplina que unifica diversas reastradicionales de las matemticas (combinatoria, probabilidad, geometra de polgonos,aritmtica, grafos, rboles,...), como consecuencia de, entre otras cosas su inters es lacomputacin, la informtica y las telecomunicaciones.

La implantacin de nuevos planes de estudio y la reforma de los existentes hace que laMatemtica Discreta haya sido introducida como un elemento importante de laformacin bsica.

La intuicin y la lgica, sin embargo debe primar en la prctica con los ejemplosanalizados.

UNIDAD I.- Introduccin al Tema de los Grficos y rbolesLos GrficosSucesin de Vrtices, Caminos y Ciclos en los GrafosMatrices para Grafos

UNIDAD II.- ConjuntosOperaciones con ConjuntosSub ndices e ndicesPares Ordenados y Notacin Matricial

UNIDAD III.- Grficos o GrafosIsomorfismo de GrafosDiagrficas con PesoConstruccin de Grafos y Uso deAlgoritmos

UNIDAD IV.- Grafos Eulerianos y hamiltonianosGrafos EulerianosTeorema de EulerGrafos hamiltonianosTeoremas condicionalesExamen Parcial

UNIDAD V.- rbolesTipos de rbolesAlgoritmo de Kruskalrboles Enraizados y Binarios de Bsqueda

UNIDAD VI.- rboles Pesados

ESTRUCTURADE LAGUA

5


Algoritmo HuffmanCdigo Prefijo

UNIDAD VII.- Algebra BooleanaSmbolos LgicosClculo ProposicionalFuncin y Expresin BoolenaLeyesAlgebraicas

UNIDAD VIII.- Analgico y DigitalSistemas Numricos y BinariosConversionesCompuertas LgicasTablas de verdadMtodo de KarnaughExamen Final

Las unidades y los temas que la conforman estn suscritos a ocho aspectosfundamentales. El primero, induce a conocer el marco general referente a grficos yrboles. La segunda, interpretar la teora de conjuntos, los ndices y sub ndices, y lospares ordenados y su representacin matricial; el tercero y cuarto conocer en formaintegral los grficos o grafos, los algoritmos y su construccin en base a datosdeterministicos, demostracin del isomorfismo y determinacin de sus pesos o valores;quinto, se plantea el conocimiento de los rboles, algoritmos para su construccin, losmismos son de dos tipos enraizados o dirigidos y no dirigidos; el sexto, conocer laexistencia de los rboles pesados; sptimo, conocer las bondades del algebra booleana,sus aplicaciones, sus leyes y las redes lgicas; finalmente octavo, conocer la funcin y laconversin de unidades decimales a otros cdigos utilizados en la electrnica(autmatas).

La informacin y comunicacin en el nuevo milenio y el gran impacto de las tecnologashan abierto nuevas posibilidades para una mejor gestin de las instituciones y un cambioen los planteamientos didcticos de los programas que se desarrollan en la modalidadde Educacin a Distancia por la Universidad Peruana LosAndes.

Las exigencias del aprendizaje continuo en el campo laboral exigen a lasorganizaciones, la necesidad de formar enseando a autoaprender, siendo unaalternativa vlida la capacitacin constante mediante la educacin virtual.

El alumno se convertir en partcipe activo o protagonista de su propio aprendizaje, sinduda, para ello requerir de su compromiso y de cualidades como la constancia,iniciativa y capacidad de autogestin, utilizando los textos de referencia y el uso deInternet, telfono y otros medios para las consultas y tutoras.

Se recomienda al estudiante, para el mejor resultado acadmico, programar su horariosemanal de estudio, para poder dar lectura a la unidad correspondiente, las actividadesde cada unidad y las autoevaluaciones.

6


4.?OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

OBJETIVOS ESPECFICOS

OBJETIVOS ESPECFICOS POR UNIDAD

Al finalizar el estudio de la asignatura el participante ser capaz de:

Analizar, comprender y valorar a los objetos discretos que la Matemtica Discretaestudia, para relacionarlo con las ciencias de la computacin, la informtica, lastelecomunicaciones y la teora de decisiones.

Al terminar el curso el estudiante ser capaz de:* Comprender que los grafos y rboles son la base de la representacin estructural

interna y externa de los computadores y autmatas.* Saber que la intuicin y la lgica priman en la construccin de los grafos y rboles.* Entender que los circuitos de los ordenadores como de otros dispositivos

electrnicos poseen entradas y salidas con solo dos estados, el 0 el 1.

PRIMERAUNIDADACADMICA: Introduccin a los Grafos y rboles- Saber definir el concepto de grafos y rboles- Conocer la valencia de un grafo y determinar sus caminos por medio de aristas y la

sucesin de sus vrtices.- Identificar y construir las matrices de un grafo como del rbol.

SEGUNDAUNIDADACADMICA: Conjuntos- Define el concepto de conjunto- Identifica los diferentes tipos y operaciones entre conjuntos.- Hace uso correcto de los ndices y sub ndices en la estructura y solucin de

sistemas de ecuaciones as como de los pares ordenados.

TERCERAUNIDADACADMICA: Grafo o Grficas- Identifica a los grafos no dirigidos y dirigidos (diagrficas)- Sabe de que se trata el isomorfismo de grafos- Construye perfectamente el grafo a partir de datos como antecedentes inmediatos

de sus aristas y de sus vrtices.- Sabe utilizar el algoritmo correspondiente para etiquetar los vrtices del grafo

construido.

CUARTAUNIDADACADMICA: Grafos: eulerianos y hamiltolianos- Conoce la estructura de los grafos eulerianos y su aplicacin- Demuestra la existencia de circuitos eulerianos, con teoremas- Reconoce a los grafos hamiltolianos por sucesin de vrtices- Demuestra la existencia de circuitos hamiltolianos con teoremas.QUINTAUNIDADACADMICA: rboles- Define correctamente el concepto de rbol

7


8UPLA MATEMTICA DISCRETA

- Identifica los diferentes tipos de rboles y la forma como se generan.- Aplica los rboles dirigidos en estructuras jerrquicas y en informaciones tcnicas

especializadas.- Codifica correctamente las hojas de un rbol en un diagrama de bsqueda.

SEXTAUNIDADACADMICA: rboles Pesados- Utiliza correctamente el algoritmo de Huffman- Demuestra de manera correcta la funcin de los Cdigos Prefijos- Codifica las hojas de un rbol pasado dando su uso adecuado.

SPTIMAUNIDADACADMICA:Algebra BooleanaEl estudiante estar en la capacidad de:- Definir y demostrar las leyes booleanas.- Identificar en el circuito de los ordenadores como de otros dispositivos electrnicos,

entras y salidas con solo dos estados, el 0 el 1.- Conocer los smbolos conectivos lgicos y el clculo proposicional.

OCTAVAUNIDADACADMICA:Analgico Digital- Conoce los sistemas numricos, Binarios y sus conversiones- Hace uso correcto de las compuertas lgicas y de sus tablas de verdad- Conoce el mtodo Karnaugh para la minimizacin de funciomes.

Dentro del plan de estudios, la asignatura de Matemtica Discreta tiene como prerequisito establecido el curso de Matemtica Bsica II: Anlisis Combinatorio, Matrices ydeterminantes, Geometra analtica plana, Coordenadas polares

5.?REQUISITOS

6.?LOS?MEDIOS

9UPLAMATEMTICA DISCRETA

7.?CONTENIDO?PROGRAMTICO

CONTENIDO PROGRAMTICO DE

UNIDAD ACADMICA N 1

Unidad Acadmica 2CONJUNTOS

2.1 Notaciones?de?conjuntos

Unidad Acadmica 3GRAFOS O GRAFICAS

3.1 Definiciones?bsicas

Unidad Acadmica 4GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS

4.1 Grafos?eulerianos

Unidad Acadmica 6ARBOLES PESADOS

Unidad Acadmica 5RBOLES

Unidad Acadmica 8ANALGICO DIGITAL

Unidad Acadmica 6ALGEBRA BOOLEANA

7.1 Smbolos?conectivos?lgicos

10


AUTOR

ROSEN, K, H.

GARCA, F., HERNANDEZ, G.

ROOS, S.

COLMAN

LIPSCHUIZ, S., LIPSON, M.

HORTOLA, M, T., LEACH, S.

TRIAS, J.

COMELLAS/FABREGA

GRIMALDI, R, P.

ANDERSON, I.

TTULO Y EDITORIAL

Matemtica Discreta y susAplicaciones,

Edit. Mc Graw Hill

Problemas Resueltos de Matemtica Discreta,

Edit. Thomson

Matemtica Discreta, Edit. Prentice Hall

Estructura de Matemtica Discreta para la

Computacin, Edit. Prentice Hall

2000 Problemas Resueltos de Matemtica

Discreta, Edit. Mc Graw Hill

Matemtica Discreta y Lgica Matemtica,

Edit. Complutense

Matemtica Discreta Problemas Resueltos,

Edit. UPC

Matemtica Discreta, Edit.Alfaomega

Matemtica Discreta y Combinatoria,

Edit.Addison Wesley

Introduccin a la Combinatoria, Edit. Vicens-vives

AO

Espaa 2004

2003

Mexico 1995

Mexico 1988

2004

1998

2001

2003

1997

1993

8.?ORIENTACIONES?BIBLIOGRFICAS

9.?ACTIVIDADES

El curso presenta las siguientes actividades, los que se pretende reforzarn losconocimientos aprendidos:

Al finalizar cada unidad acadmica se plantea actividades, segn requerimiento dela unidad respectiva. Podr realizar cada actividad cuantas veces lo desee hastaestar seguro de que est correcto.

Al finalizar cada autoevaluacin se le dar a conocer las respuestas, de tal maneradetermine los puntos que necesita alcanzar. La nota alcanzada en laautoevaluacin no ser considerada como nota de tareas acadmicas, pero serde mucha ayuda para conocer su avance.

En el semestre se le dar cuatro actividades, las mismas que podr realizarlas yque sern de carcter obligatorio. La calificacin obtenida ser la nota de tareaacadmica.

a) AUTOEVALUACIN

b) ACTIVIDADES OBLIGATORIAS

11


Las tareas se deben entregar en las fechas programadas, en caso contrario no sepodr calificar dichos trabajos en forma regular.

No son obligatorias, pero se le recomienda que su participacin en ella ser demucho beneficio. Estos son los foros de debate que son asincrnicos. Paraparticipar en los foros se les dar un tema de discusin al que se le dar respuesta atravs de la plataforma electrnica.

La otra modalidad ser mediante los chats previa publicacin en la web de la fechay hora.

Es importante revisar con cuidado el calendario propuesto donde se le dar aconocer las fechas de entrega de los trabajos, siendo este una semanaaproximadamente.

Tambin es fundamental obtener opiniones de sus compaeros para una mejorprofundizacin de los conceptos, mediante la comunicacin a travs de los correoselectrnicos publicados en la pgina web o en las reuniones de tutora presencial.

La evaluacin de la asignatura ser como sigue:

PPP = Primer Promedio Parcial = ( Primer Examen Parcial + Promedio TareaAcadmica ) / 2.

SPP = Segundo Promedio Parcial = ( Segundo Examen Parcial + Promedio TareaAcadmica ) / 2

PF = Promedio Final = ( PPP + SPP ) / 2

EC = Examen Complementario =( PF + 2 ( EC ) ) / 3

Estn obligados a dar el Examen Complementario solo los alumnos desaprobados en elPF.

Los dos exmenes parciales como el complementario, son pruebas escritas, las quesern desarrolladas por los participantes en forma presencial y sobre los temastratados.

En todos los casos , las preguntas estarn formulados de la siguiente manera: 80% deprctica y 20% de teora.

c) ACTIVIDADES RECOMENDADAS

10.?EVALUACIN

La escala de calificacin es de 0 a 20; siendo la nota aprobatoria mnima de 11.

El estudio de las unidades acadmicas que se dan en el texto se podr realizar con el usoconstante de los medios y materiales que la presente gua indica. Los temas han sidoagrupados en bloques o unidades para la fcil comprensin y mejor estudio de cada unade las partes del temario.

El profesor a travs de las tutoras podr resolver todas las dudas por haber en elcontenido, sobre las cosas prcticas planteadas en cada unidad del texto.

Todas las semanas se tendr una comunicacin sincrnica con el alumno mediante elChat, en fecha y hora determinada por la programacin la que se dar a conocer en sudebida oportunidad.

La tutora tendr un carcter general, cualquier alumno tendr acceso a ella. Todo lorequerido para la finalidad indicada se encontrar en la pgina web del curso.

11.?ORIENTACIN?PARA EL ESTUDIO?DE?CADA UNIDAD

12.?ORIENTACIN?PARA LAS TUTORAS

12


La Matemtica Discreta es la parte de las matemticas que estudiaobjetos discretos, esta relacionada con temas de las ciencias de lacomputacin, presentando la importancia del pensamiento preciso ymatemtico, ingrediente esencial de ambas disciplinas y de hecho detodas las ciencias.

Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades noes sencillo pero se puede apelar a ciertos ejemplos matemticosconocidos y contraponerlo de continuo que es la idea central del cursode Bases de Matemticas.

La matemtica discreta surge como una disciplina que unifica diversasreas tradicionales de las matemticas (combinatoria, probabilidad,geometra de polgonos, aritmtica, grafos...), como consecuencia de,entre otras cosas, su inters en la computacin, la informtica y lastelecomunicaciones.

La matemtica discreta proporciona , por otro lado, algunas basesmatemticas para otros aspectos de la computacin y la informtica :estructura de datos, algortmica, base de datos, teora de autmatas,sistemas operativos, investigacin operativa,... as como ayuda aldesarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero:capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representaradecuadamente algunos conceptos.

La intuicin y la lgica, sin embargo debe primar en la prctica con losejemplos analizados.

Inicialmente se introduce una breve descripcin de la Teora de Grafosy rboles, como soporte necesario para la construccin einterpretacin de los mismos en la unidad acadmica siguiente.

Cada unidad termina en un Nexo y en una autoevaluacin, lo mismo seincluye en ellos puntos ms importantes que cubre algunassugerencias sobre como utilizar a manera de repaso. Una de lasmejores formas para aprender un material que se pretende seguirusando, es relacionar cada idea nueva con todos los conceptosconocidos y situaciones que pueda, y visualizar planteamientos en loscuales el nuevo hecho le pueda ser til. Se ha incluido en el textomuchos ejemplos para simplificar este proceso.

PRESENTACINP

RE

SE

NTA

CI

N

13


PROGRAMACIN?GENERAL

INTRODUCCIN AL TEMA DE LOS GRAFOS Y RBOLES

CONJUNTOS

GRAFOS O GRFICAS

GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS

1.1 rboles 181.2 Grafos?o?grficas 191.3 Camino?en?la?grfica 191.4 Sucesin?de?vrtices 201.5 Camino?cerrado 201.6 Ciclo 211.7 Grfica?acclica 211.8 Valencia 211.9 rboles 221.10 Matrices?para?grfica 241.11 rbol 251.12 Autoaprendizaje 28

Unidad Acadmica?1

2.1 Notaciones?de?conjuntos 312.2 Nmeros?naturales 322.3 Nmeros?enteros?positivos 322.4 Nmeros?racionales 322.5 Operaciones?con?conjuntos 332.6 Sub?ndices?e?ndices 352.7 Pares?ordenados?notacin?matricial 402.8 Autoevaluacin?formativa 48

Unidad Acadmica?2

3.1 Definiciones?bsicas 493.2 La?funcin???y??camino?en?un?grafo 513.3 Isomorfismo?de?grafos 563.4 Diagrficas?con?peso 583.5 Construccin?de?una?diagrfica 603.6 Algoritmo?de?numeracin?de?vrtices?de?un?digrafo 623.7 Representacin?matricial?de?grafos 663.8 Autoevaluacin?formativa 72

Unidad Acadmica?3

4.1 Grafos?eulerianos 754.2 Grafos?hamiltonianos 794.3 Autoevaluacin?formativa. 85

Unidad Acadmica?4

15


RBOLES

ARBOLES PESADOS

LGEBRA BOOLEANA

ANALGICO DIGITAL

5.1 Tipos?de?rboles 875.2 Propiedades?de?los??rboles 875.3 Algoritmo?de?kruskal 925.4 rboles?enraizados 955.1.1 Invalencia: 1015.1.2 Exvalencia: 1015.1.3 Valencia: 1025.5 Autoevaluacin?formativa 106

Unidad Acadmica?5

6.1 rboles?pesados 1076.2 Algoritmo?huffman?(l) 1146.3 Cdigos?prefijos 1186.4 Autoevaluacin?formativa 125

Unidad Acadmica?6

7.1 Smbolos?conectivos?lgicos 1277.2 Clculo?proposicional 1287.3 Funcin?y?expresin?booleanas 1307.4 Leyes?algebraicas 1327.5 Algunas?demostraciones?de?leyes?booleanas 1337.6 Analgico?-?Digital 1397.7 Autoevaleacin?formativa 141

Unidad Acadmica?7

8.1 Sistemas?numricos 1518.2 Sistema?binario 1518.3 Conversin?de?decimal?a?binario 1518.4 Conversin?de?decimal?al?cdigo?bcd??cdigo?8421 1528.5 Cdigo?ascii 1528.6 Redes?lgicas 1538.7 Compuertas?lgicas 1548.8 Tablas?de?verdad 1558.9 Smbolos?y?tablas?de?verdad?de?las?compuertas 1558.10 Autoevaluacin?formativa 168

Unidad Acadmica?8

16


En esta unidad se da una introduccin ligera a grficos y rboles. Estos temas son defcil comprensin y sus conceptos son ilustrados por dibujos. Aunque la exposicin deltema con frecuencia sea intuitiva, sin ser descuidada. En unidades de aprendizajeposteriores se retomar estos elementos, introduciendo la matemtica de modoriguroso, que por ahora no se hace. Se da un trato inicial sencillo para adquirir prctica ysensibilidad hacia el tipo de problemas relacionados con la matemtica discreta. Sedebe entender primero las situaciones sencillas y luego las complejas.

Al leer y estudiar los ejemplos fciles, debe tratar de imaginar otros ms difciles ycomplicados e interrogarse acerca de la validez del razonamiento.

Las grficas son diagramas que proporcionan la informacin si se interpretanadecuadamente. Son como mapas de carreteras diagramas de circuitos o de flujo que seconectan entre varias partes del mismo.Algunos ejemplos de grficas son:

a. Diferentes partes de una ciudad y las diferentes rectas que los unen, con lasdistancias conocidas.

b. La representacin de un diagrama de flujo

UNIDAD ACADMICA N?1

INTRODUCCIN A LAS?GRFICAS Y RBOLES

300

240

190200

350150

150250

17


1.1 RBOLES

rboles son grficos conexas acclias que nace de un grfico cclico, al eliminaralgunos de sus aristas que forman dicho ciclo.

Ejemplo:

a. El experimento de arrojar varias veces una moneda

b. Un diagrama de circuito elctrico

Al analizar cada uno de estos diagramas se v que constan cada uno de ellos derectngulos, crculos o puntos y lneas que las unen. Algunas veces las lneas estndirigidas, es decir, son flechas y otras veces los objetos o lneas estn marcadas.

Al finalizar la presente unidad el estudiante sabr:

* Definir el concepto de grficos y rboles* Determinar la valencia de un grafo y determinar los caminos y la sucesin de sus

vrtices.* Identificar, construir las matrices de un grafo como del rbol.

cc

ccc ccs csc

ss

css scc scs

c

cs

ssc

sc

s

sss

INDICADORES?DE?LOGRO

18


1.2 GRAFOS O GRFICAS

1.3 CAMINO EN LAGRFICA

Lo ms importante en una grfica son sus objetos y lneas, los objetos representados porpuntos o crculos, son llamados VERTICES y las lneas que las unenARISTAS.

Donde (I) tiene 8 aristas y 7 vrtices, (II) tiene 7 aristas y 5 vrtice, (III) tiene 7 aristas y 4vrtices. Las aristas que unen al vrtice v con el vrtice w en la grfica (III) se llamanaristas mltiples. Una de esta aristas conecta al vrtice w consigo mismo, a esta se ledenomina LAZO.

Son las aristas que se unen. En las grficas interesan ms las aristas que se unen paraformar un camino. Para ilustrar la idea de camino se tiene el siguiente ejemplo:Se tiene las siguientes grficas, con su orientacin respectiva:

En este grafo (A) los caminos son:ADL,ADJK,AEGK,AEHM, BHM, BGK, CFGK, CFHMy CIM.

(I)

(II)

(III)V w

X Y

6

1 2

5

3

4 7

8

D

A

B

C

E

F

G

H

I

JL

k

M

(A)

(a =?a )ij 38

19


En (B) los camino son: dbfe, cfeba. En los caminos se permiten la repeticin de aristas:babefaab y su longitud es la cantidad de aristas que tiene, entonces babefaab, tienelongitud 8.

Las aristas adyacentes en un camino tienen un vrtice comn. Por lo tanto, un caminodetermina una sucesin de vrtices.

La sucesin de vrtices correspondiente a los caminos antes mencionados son:

El nmero de vrtices en una sucesin de vrtices supera en uno al de las aristas en uncamino.

Un camino es cerrado si el primero y el ltimo vrtice de la sucesin de vrtices son elmismo.

1.4 SUCESIN DE VRTICES

1.5 CAMINO CERRADO

(?B?)

bw a

c

v

d e

f

x y

En?( A )

CAMINO SUCESIN?DE VRTICES LONGADL 3AEGK 4ADJK 4BGK 3BHM 3CFGK 4CFHM 4CIM 3

3-1-2-83-1-4-5-83-1-2-5-83-4-5-83-4-7-83-6-4-5-83-6-4-7-83-6-7-8

45544554

En?(?B?)

CAMINO SUCESIN?DE VRTICES LONGd-b-f-e 4c-f-e-b-a 5b-a-f-e-c 5c-a-f-e-b 5b-a-b-e-f-a-a-b 8

x-v-w-y-vv-w-y-v-w-wv-w-w-y-v-wv-w-w-y-v-wv-w-w-v-y-w-w-w-v

56669

20


En el grfico ( B ):

1) b-a-b-e-f-a-a-b 2) d-c-f-e-d 3) f-e-b

son cerrados, cuya sucesiones de sus vrtices son:

1) v-w-w-v-y-w-w-w-v 2) x-v-w-y-v-x 3) w-y-v-w

Es un camino cerrado eficiente en el sentido de que no se repiten aristas y en la sucesinde vrtices todos son distintos, excepto el primero y el ltimo.

Ejemplo 1: En el mismo grfico ( B ) f-e-b es un ciclo, cuyos vrtices son: w-y-v-w.

Ejemplo 2: d-c-f-e-d es un camino cerrado donde se repite la arista d y en su sucesin devrtices x-v-w-y-v-x se repite el vrtice v. Entonces no es un ciclo.

Ejemplo 3: c-a-f-e no es un ciclo, no repite aristas, pero en la sucesin de vrtices v-w-w-y-v se repite el vrtice w.

Una grfica es acclica si no tiene ciclos. Un camino es acclico si la subgrfica quecontiene las aristas y los vrtices del camino es acclico .

Ejemplo: La siguiente figura no es acclica porque v-u-y-x-w-v es un ciclo.

a) s-t-v-w-y-z es acclica b) u-v-t-v-w es acclica c) v-t-v no es cclico.

El camino u-v-t-v-w-x-y-z-u no es acclico, ya que la subgrfica que determina contiene elciclo: u-v-w-x-y-u.

La valencia de un vrtice en una grfica es el nmero de aristas que convergen en lcuando sta no es dirigido. Si el grafo es dirigido la valencia de sus vrtices es igual a lasuma de las aristas que convergen y divergen de l.

1.6 CICLO

1.7 GRFICA ACCLICA

1.8 VALENCIA

l

s

t

vu z

k

xw

m

y

21


Ejemplo:

Si todos los vrtices de una grfica conexa tienen valencia par, entonces la grfica tieneun circuito EULERIANO. Ejemplo:

* Se dice que un grafo tiene circuito de Euler, cuando existe un camino cerrado quecontenga exactamente a cada una de sus aristas y tenga sus vrtices valencia par.

Son grficas acclicas conexas, que nacen de los grafos cclicos al eliminar alguna desus aristas que forman dicho ciclo.

En la unidad 4 se abordar con mayor detalle todo lo concerniente al tema incluyendosus aplicaciones en las ciencias de la computacin como estructura de datos.

Ejemplo:

Las siguientes estructuras son rboles:

1.9 RBOLES

1

3 5

2

( A )

2

1

3

4

5

( B )

5

3

3( C )

3

4

4

4

4

4

..! OBSERVACIN?1.1

22


( a) ( b)

( c ) ( d )

1. En la siguiente grfica, cuales de las siguientes sucesiones de vrtices describencaminos:

a) s t u v w x y z b) t v w z y x c) s t u sd) v w v w v w v e) t u s s f) w v u s t v w

2. Cules caminos del ejercicio anterior son caminos cerrados y cuales caminos sonciclos?

3. Cules de las siguientes grficas tienen circuito de Euler? Para los que no tengan,de una explicacin.

t

s

u

v w

x

z

y

t

s

u

v w

x

z

y

v

w

y

x

z

u

s t

v wx

y z

? ACTIVIDAD??1?.1

23


( A) ( B ) ( C )4. De cada una de las grficas de la pregunta anterior, construya tres rboles

generadores.

Una grfica consiste en puntos y lneas, es decir de vrtices y aristas. Otra manera dedescribir una grfica es considerar todas las parejas de vrtices y el nmero de aristasque lo unen. Puede haber lazos en la grfica, se debe considerar parejas de dos vrticesiguales. Acomodando este nmero de aristas en un formato rectangular se obtiene loque se llama MATRIZ DE UNAGRFICA.

Por tanto para encontrar la matriz de una grfica o convertir la grfica en matriz se siguelos siguientes pasos:

1.- Se enlista los vrtices en forma ordenada, marcndolos, utilizando subndices paraindicar el orden v , v , v ,..., v

2.- Se toma en cuenta primero el rengln o fila, luego la columna.

De manera general M ( ij ) es el i-simo rengln o fila y j-sima columna, siendo el nmerode aristas del vrtice vi al vrtice vj, mencionando primero el rengln o fila y despus lacolumna.

Ejemplo 01: Hallar la matriz correspondiente a la grafica siguiente:

V1 V2a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

M = a31 a32 a33 a34

V3 V4 a41 a42 a43 a44

Luego la matriz de la grfica ser:

0 2 1 12 1 0 1

M = 1 0 0 01 1 0 0

Ejemplo 02. Hallar la matriz correspondiente para la grafica siguiente (rbol)

1.10 MATRICES PARAGRFICA

1 2 3 n

V1 V2 V3 V4

V6V5????????

?

?

????????

?

?

?

000100

000010

000100

101010

010101

000010

M

24


* La nomenclatura de los vrtices de un grafo como del rbol se coloca de maneraordenada de arriba hacia abajo.

Es aquella grfica que se obtiene eliminando aristas que forman ciclos en el grafo. Alrbol que se genera de este modo se le denomina rbol mnimo o rbol generadormnimo.

Ejemplo: Se tiene el siguiente grafo ciclico:

Entonces el rbol mnimo es

tambin puede ser:

, , etc.

1. Construir las matrices para las siguientes grficas:

1.11 RBOL

V1 V2 V3

V5V4

V6 V7 V8

ab c

d

e h i

fg j

k

ab

d

e h

jg

b cd

i

fg j

V1 V2

V3 V4

V1 V2

V4 V5

V3

V1

V2

V4V5

V3

..! OBSERVACIN??1.2

? ACTIVIDAD??1.2

25


(A) ( B ) ( C )2. Determinar las matrices para los rboles siguientes, colocando la nomenclatura de

sus vrtices en forma correcta.

(A) ( B )

( C ) (D )

Considerando lo siguiente:

1. La estructura de un cableado elctrico* Vrtices son los puntos de energa.* Aristas son los cables que conducen energa.

2. En una ciudad aristas son las vas que comunican con diferentes puntos de lamisma, que viene a ser los vrtices.

* Un grafo es cualquier figura que tiene vrtices y aristas que estn conectados(conexas). Sus aristas pueden ser rectas o curvas y que no tienen valor vectorial.Dicha grfica puede ser dirigida cuando sus aristas estn orientadas con flechas yson no dirigidos cuando no tienen orientacin indicada.

* Un rbol nace de un grafo cualquiera cclica, al eliminar algunas de sus aristas queforman dicho ciclo y sus vrtices permanecen igual. Si un rbol tiene 8 vrtices,

APLICACIONESV1 V2

V3 V4V5

V6 V7

Punto de la

ciudad

CaminoV1 V2

V3

V4 V5

RESUMEN

26


este debe tener 7 aristas, dichas aristas siempre deben estar conexas.* La matriz de un grafo de manera general M(ij) es el i-simo rengln o fila y i-sima

columna, siendo el nmero de aristas del vrtice Vi al vrtice Vj, mencionandoprimero el rengln o fila despus la columna.Apartir de la matriz, de un grafo o rbolse puede construir al grafo rbol.

* El camino en un grafo esta formado por la sucesin de sus aristas o vrtices, lasucesin de vrtices es mayor en uno que la sucesin de las aristas en los grafos orboles. Ejemplo. Si la sucesin de aristas en el camino de un grafo es 8, entoncesla sucesin de vrtices de dicho camino es igual a 9.

* La valencia de los vrtices de un grafo esta formado por la cantidad de aristas queconfluyen en l.

1. GRIMALOI, R. P. "Matemtica Discreta y Combinatoria" Edit. Addison Wesley,1997.

2. ROSS "Matemtica Discreta" Edit. Iberoamericana S.A. Mexico 19883. GARCIA, F ; HERNANDEZ, C. "Problemas resueltos de Matemticas Discretas"

Edit. Thomson, Barcelona 20034. COLMAN "Estructura de Matemticas Discretas para la computacin" Edit.

Prentice Hall Mexico 1986

* En la siguiente unidad se tocar los conceptos tericos de conjuntos, operacionescon conjuntos, ndices, sub ndices y pares ordenados. Se recomienda alestudiante repasar estos conceptos.

BIBLIOGRAFA RECOMENDADA

NEXO

27


Matemticas Discretas UnidadAcadmica N 01

Nombre:Apellidos: Fecha:Ciudad : Semestre:

1. Dado los siguientes grafos:

(A) ( B )a. Determinar el camino ms largo y el camino ms corto entre el vrtice inicial (i) y el

vrtice final (j)b. Haga el cuadro de caminos y la sucesin de sus vrtices.

2. Dibuje el grafo correspondiente de cada una de las siguientes matrices:

3. Hallar la matriz de los siguientes grafos:

(A) ( B ) ( C )

4. (A). Hallar la matriz de los siguientes rboles dando una eleccin adecuada delorden de sus vrtices.

??????

?

?

??????

?

?

?

01110

10101

11001

10001

01110

P

????

?

?

????

?

?

?

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

2

0

1

2

2

Q

??????

?

?

??????

?

?

?

01110

10110

11001

11001

00110

R

??????

?

?

??????

?

?

?

01101

10101

11210

00101

11010

S

V1

V2 V3

V4 V5

V1 V2

V4 V5

V3

V5

V1

V2 V3 V4

28


AUTOEVALUACIN?FORMATIVA

A

B

D

E LJ

G K

C F

I

H M

( j )( i )

4

(j )( i )

1

2 3

56

7

8

9

10

1112

13

(A) ( B )

( C ) ( D )

( E ) ( F )

(B) Construya los siguientes grafos:

a. Dos grafos que tengan sus vrtices de valencia 3, 4, 2 y 4b. Dos grafos que tengan sus vrtices de valencia 2, 3, 4 y 2c. Dos grafos que tengan circuito de Euler.

29


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