Unidad ¿Cómo Pensar II? LÓGICA PROPOSICIONAL Filosofia... · mazón lógico o matriz que...

Unidad

¿Cómo Pensar II?

LÓGICA PROPOSICIONAL

Filosofía

Gerardo Suárez Silva N° Reg. Propiedad Intelectual: 966979

Fichas y TextosFichas y Textos

LOS PINGUINOS SON EN BLANCO Y NEGRO. ALGUNOS PROGRAMAS DE TELEVISIÓN VIE-

JOS SON EN BLANCO Y NEGRO. POR LO TANTO, ALGUNIOS PINGUINOS SON PRO-

GRAMAS DE TELEVISIÓN VIEJOS.

LÓGICA: OTRA COSA EN LA QUE LOS PINGUINOS NO SON MUY BUENOS...

p W q V F V F V V V V F F F F

Filosofía

C omo dijimos, la lógica es una ciencia formal que estudia los principios de la demostra-ción e inferencia válida. El objeto de estudio de la lógica es la inferencia. La inferencia

es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica investiga los princi-pios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es acep-table, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.

La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización sim-bólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática. En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica, un cálculo definido por símbolos y reglas de inferencia, lo que ha permitido su aplicación a la informática. Hasta el siglo XIX, la lógica aristotélica y estoica mantuvo siempre una relación con los argumentos formulados en lenguaje natural. Hoy esa relación se trata bajo un punto de vista completamente diferente. La formalización estricta ha mostrado las limitaciones de la lógica tradicional o aristotélica, que hoy se interpreta como una parte pequeña de la lógica de clases.

Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasi-ficación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los ob-jetos que trata.

La Lógica Formal es conocida también como lógica clásica o aristotélica, Se imputa al filosofo ARISTOTELES ser el crea-dor de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMENIDES y ZELEO. Así mismo con el paso del tiempo, con la evolución de algunas corrientes matemáticas, específica-mente las aportaciones realizadas por los matemáticos EULER y BOOLE, a la álgebra, se da inicio a la Lógica Moderna, Matemática, Simbólica o Logística.

De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, de clases, cuantificacional y proposicional.

La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, se-mántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, pres-cindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza.

La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógi-ca de las normas.

La lógica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad. La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado),

estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser repre-sentados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”.

La lógica cuantificacional que estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad

La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partien-do de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos).

Esta lógica simbólica, de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje arti-ficial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utili-zando de operadores lógicos, también llamados conectores, functores, juntores, para poder construir formulas operando sobre las variables proposicionales y las proposicio-nes complejas.

Finalmente existe otro tipo de lógica que es la dialéctica, aunque ésta no la po-demos considerar como integrante de la lógica moderna, toda vez que la misma no tie-ne un contenido formal, sino ideológico; ni es “pasiva” como la lógica formal, sino que es activa, al obtener principios racionales a través de la interpretación de la historia, utilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la antítesis y su res-pectiva conclusión denominada síntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos con SOCRATES y PLATÓN quienes la concibieron como una técnica de discusión y de ob-tención de conclusiones, siendo la misma también estudiada y empleada por algunos filósofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros más.

Clasifi-cación de

Lógica Texto 1


Fichas y TextosFichas y Textos 11

Otra unidad de lógica…?

La lógica es un elemento de mediación inevita-ble entre el hombre y la computadora y muchos de los conceptos fundamentales en ciencia de la computación fueron descubiertos y desarro-llados por los lógicos, por lo menos, un decenio antes de la aparición de las primeras máquinas digitales. En la actualidad, la complejidad y el avance en la Informática, ha estrechado los vínculos entre ambas ciencias. John Mc Carthy en 1936 afir-maba: “Es razonable esperar que la relación en-tre la ciencia de la computación y la lógica va a ser tan fecunda en el próximo siglo como lo fue entre el análisis y la física en el siglo pasado”. Observemos que paralelamente a la sofistica-ción de la microelectrónica, que viene permi-tiendo la construcción de máquinas cada vez más veloces y más económicas, con mayor ca-pacidad de almacenamiento en menor volumen, se han desarrollado y están aún en pleno desarrollo técnicas formales para una especificación rigurosa, tanto de las estructuras de datos destinadas a ser procesadas en má-quinas, como de la acción de los programas so-bre estas estructuras. Las especificaciones formales de la lógica son necesarias para reducir lo aleatorio y empírico que acompañan la construcción y verificación de un programa de computadora. La lógica formal permite captar los criterios cu-ya función no pierde de vista la no ambigüedad, la consistencia interna, la calculabilidad efecti-va. En definitiva, la lógica es el campo de las especificaciones formales no arbitrarias logran-do la completitud. La compresión del cálculo proposicional es in-dispensable para captar el manejo de una ex-presión lógica en la computadora. El álgebra Booleana, y su expresión en el cálculo proposi-cional, interesan tanto a aquellos que se dedi-can a la investigación operacional (esquemas de programas) como a quienes están interesa-dos por la complejidad algebraica de un lengua-je formal, propio de los lenguajes informáticos.

Lógica y computaciónLógica y computación

FilosofíaFilosofía

La Lógica proposicional se ocupa del cálculo de proposiciones o enunciados (o sea, las operaciones entre ellos), sin tener en cuenta la estructura interna de las mismas.

Esto quiere decir que en este capítulo de la lógica vamos a trabajar solamente con los enunciados, o sea con la 2a operación.

¿Te acordás cuál era la propiedad de esta estructura lógica? ("Los enunciados son estructuras lógicas de diver-so grado de complejidad. .. que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos")

Otra característica de la lógica proposicional es que trabaja exclusivamente con formas: las proposiciones se abstraen o simbolizan mediante las letras proposicionales, tales como: p, q, r, s, etc. Esto quiere decir que, por ejem-plo "p", puede simbolizar tanto "Todo hombre es mortal", como también "Ese perro es malo", como "Juan es bohe-mio", etc. Ya no nos interesa tanto el contenido de la proposición, pero sí su forma.

Lenguaje formal de la lógica de enunciados. Siempre se ha dado por descontado que algún grado de formalización, en el estudio de lógica, es inevitable.

La introducción de letras minúsculas, p, q, r, . . . para representar enunciados facilita el análisis de la correc-ción de los argumentos:

Ejemplos

Cuando simbolizamos un enunciado compuesto, de la manera que lo hemos hecho en el ejemplo 2, lo que queda es un ar-mazón lógico o matriz que denominamos “forma enunciativa”. Estudiaremos formas enunciativas más bien que enunciados particulares.

Los elementos y reglas necesarios para determinar un lenguaje formal, que forman parte de la Sintaxis de la

Lógica, son:

Un alfabeto de símbolos primitivos.

Unas reglas de formación para combinar esos símbolos.

Una vez finalizada la formalización se asocian a las fórmulas obtenidas valores de verdad que les dan significado.

Dentro de los símbolos primitivos, encontramos

las variables de enunciado (letras enunciativas, o también letras proposicionales): p, q, r, . . . que desig-nan enunciados simples arbitrarios no especificados.

variables proposicionales: p, q, r, . . .

fórmulas proposicionales constituidas por variables proposicionales y conectivos:

Paréntesis, corchetes, llaves: ( ) * + , - Se los de-nomina conectivos de agrupación.



LA LÓGICA PROPOCISIONAL

Sócrates es un hombre

Sócrates es mortal

p

q

Si Sócrates es un hombre entonces Sócrates es mortal; Sócrates es un hombre; Sócrates es mortal.

Donde “Sócrates es un hombre” está sim-bolizado por la letra “p”; y “Sócrates es mortal”, por la letra “q”

Si p entonces q p q

~ ¬ es la negación.

. Es la conjunción

v es la disyunción inclusiva lógica.

w v es la disyunción exclusiva lógica.

→ es la implicación o condicional lógica.

es la doble implicación o bicondicional lógica

Es la falsedad conexa

Filosofía



Proposiciones Simples o atómicas

Las simples o atómicas son aquellas proposiciones que no admiten dentro de sí, más que una sola proposición, así por ejemplo: "Charly García es músico", "Sócrates fue un filósofo", etc. Aquí las vamos a simbolizar con una sola letra, por ejemplo "q"

En las simples, es muy fácil saber el valor de verdad: En ambos ejemplos es verdadero. En general, las proposiciones simples son aquellas de las que no se pueden extraer

otros enunciados, es decir, contienen un único enunciado.

Otros ejemplos:

“El tren llegó puntual" “Estaba esperándole"

“El examen era difícil" “Él había estudiado"

“Llegó tarde" “Se encontró con su amigo"

“Hay examen" “Le gusta lo que ve en clase"

"Juan estudia" “La peli resultó tan buena como decían

Proposiciones Compuestos o moleculares Las proposiciones compuestas o moleculares son proposiciones que admiten dentro de sí, dos o

más proposiciones unidas por nexos lingüísticos que se llaman conectivas extensionales. "París es la capital de Francia y Madrid es la capital de España". vemos claramente que en este caso se trata de dos proposiciones simples, unidas por un nexo 'Y'. Se simbolizará: p . q, siendo:

"p" = "París es la capital de Francia"

"q" = "Madrid es la capital de España"

"." (un punto) = el nexo o conectiva extensional que simboliza la "y" (conjunción)

Otros ejemplos:

“El tren llegó puntual y no estaba esperándole"

“El examen era difícil o él no había estudiado"

“No se encontró con su amigo porque llegó tarde"

“La película no resultó tan buena como decían"

“Juan estudia si hay examen o le gusta lo que se ve en clase"

En el ejemplo, "París es la capital de Francia y Madrid es la capital de España". es claro que am-bas proposiciones simples son verdaderas, y por lo tanto el valor de la proposición toda (compuesta) lo será también.

El problema se plantea cuando alguna de las dos no sea verdadera. Por ejemplo: "París es la ca-pital de Francia y Barcelona es la capital de España". Para estos casos existe una regla lógica que nos indica cuál será el valor de verdad de la proposición compuesta. En el ejemplo visto, estamos usando la conjunción, y su regla dice que el valor de verdad de la proposición compuesta será verdadero, solo cuando cada una de las proposiciones simples que la compongan sean verdaderas. Por ello: "París es la capital de Francia" es verdadera, pero "Barcelona es la capital de España "es falso. por lo tanto "París es la capital de Francia y Barcelona es la capital de España" es falsa

Existen, también otras conectivas. Las más importantes de ellas, y sus reglas lógicas, las encon-trás en el cuadro de la página siguiente.

CLASIFICA-CIÓN DE LAS PROPO-SICIONES

Texto 2

NOTA: Es recomendable utilizar minúsculas para evitar confusiones con las mayúsculas que se utilizan en la teoría de conjuntos, y las primeras letras (a,b,c, etc) que se utilizan en geometría y trigonome-tría para vértices, por lo mismo no es recomendable utilizar esta nota-ción para nombrar las proposicio-nes, pero tampoco está prohibida en algunos libros se manejan letras mayúsculas.


F i c has y T ex tosF i c has y T ex tos 44

Filosofía

ENUNCIADOS COMPLEJOS

NEXO O CONEC-

TIVA

FORMA TABLA DE VERDAD FORMULA-CIÓN

NEXOS MÁS COMUNES

EJEMPLO

NEGACIÓN ~ ~ p Cuando el

enunciado sea verdadero, su negación será falsa, y vice-versa

“No…” “no es cierto que…” “es falso que…” “no es verdad que…”

No es cierto que soy estu-diante

CONJUNCIÓN . p . q

Sólo será ver-dadera cuando ambos enun-ciados sean verdaderos

“… y …” “… mas …” “… pero …” “… , …”

Juan canta y María baila

DISYUNCIÓN INCLUSIVA v p v q

Sólo será falso cuando ambos enunciados sean falsos

“… o …” “… u …” “… y/o …” “… o bien …”

Podrán con-currir a la fiesta solos y/o acompaña-dos de sus padres

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA w p w q

Sólo será ver-dadera cuando ambos enun-ciados tengan distinto valor de verdad

“… o …” “… u …” “… o bien …”

Estoy vivo o estoy muerto.

CONDICIONAL

p q Será falsa, so-

lo cuando el antecedente sea verdadero y el conse-cuente falso

"Si ... enton-ces ... " "Si ... por lo tanto …” "Si ... , ... "

“… enton-ces…”

Si estudio, entonces apruebo

BICONDICIO-NAL p q

Será verdade-ra cuando am-bos enuncia-dos tengan el mismo valor de verdad

"... si, y solo si ..."

Ingreso a la facultad si y sólo si aprue-bo el CBC

FALSEDAD CONEXA p q Será verdade-

ra, solo cuando ambos enunciados sean falsos

“Ni … ni …” Ni llueve, ni hace frío

~ p

V F

F V

p .

q

V V V F F V V F F F F F

p v

q

V V V F V V V F V F F F

p w

q

V F V F V V V F V F F F p

q

V V V F V V V F F F F V

p q

V V V F F V V F F F F V

p q

V F V F F V V F F F F V

Filosofía



Veamos cada una en detalle: Una proposición Disyuntiva, es aquella que está

formada por proposiciones atómicas o moleculares, diga-mos p y q, con el conectivo lógico “o”. Se simboliza así: “v”, se escribe: p v q y se lee: “p o q”

Existen dos operadores de disyunción: La disyun-ción exclusiva o excluyente y la disyunción inclusiva o incluyente.

DISYUNCIÓN INCLUSIVA: Sólo será falso cuando ambos enunciados sean falsos.

La disyunción inclusiva sería algo intermedio entre la conjunción y la disyunción exclusiva, ya que pueden dar-se ambas opciones, o una de ellas. Lo que no puede pa-sar es que no se dé ninguna de las dos

Ejemplos: Los nervios eferentes son motores o asociativos.

(debe leerse como los nervios eferentes son motores o los nervios eferentes asociativos)

O bien Cervantes escribió el Quijote, o bien Julio César fue un emperador romano”.

Son dos o más proposiciones de las cuales puedo elegir una o más de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama tam-bién Incluyente. Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para que te deje ir a bailar el fin de semana debes cumplir una de estas dos condiciones: Traer 10 en tu examen de esta semana o lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el vier-nes” El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones:

p = “Juan saca 10 en su examen semanal”.

q= “Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes”.

p v q = “Juan saca 10 en su examen semanal o lava el coche de su papá de lunes a viernes”.

Debemos fijarnos que su papá le pidió cumplir con p o cumplir con q, significa que Juan puede cumplir con una sola de estas tareas para poder ir al boliche. Las posibles situaciones en las que Juan se podría caer para ir al boliche son: Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro, tanto p como q deben ser falsas. La disyunción inclusiva entre dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.

Juan no irá a bailar cuando no haga ninguna de las dos cosas. Por lo tanto, sólo será falso cuando ambos enunciados sean falsos.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Sólo será verdadera cuan-do ambos enunciados tengan distinto valor de ver-dad. Aquí se plantea claramente una situación donde solamente una de las dos opciones puede darse en forma excluyente

Ejemplos: O tomo un medicamento sin consultar o voy al médico a que me recete uno

Todo o nada

Un número natural es par o impar (debe leerse Un número natural es par o un número natural im-

par) Son dos o mas proposiciones de las cuales puedo elegir solo una, no permite que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también excluyente. Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para poder seguir estudiando debes tomar la decisión de inscribirte en Ingeniería en sistemas o en Ingeniería mecánica, pero no en ambas” El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en dos proposiciones:

p = “Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas”.

q = “Juan se inscribe en Ingeniería mecánica”.

p w q = “Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas o se inscribe en Ingeniería mecánica”.

En este caso Juan tiene ambas opciones y puede cumplir solo con una de ellas:

Las posibilidades de que Juan siga estudiando se reducen a

pesar de tener dos opciones. Porque o estudia una o estudia

otra. De esto se desprende que sólo será verdadera cuando

ambos enunciados tengan distinto valor de verdad.

NEGACIÓN: Cuando el enunciado sea verdadero, su negación será falsa, y viceversa

Si bien, en realidad es un enunciado sólo más un nexo, se lo considera complejo por su estructura.

Ejemplos: No quiero hacer la tarea No es cierto que hay que estudiar No es verdad que hoy es martes Es falso que hay vida en Marte. Es imposible que el átomo sea una molécula.

Venezuela no limita con Perú (debe entenderse co-mo “No es verdad que Venezuela limite con Perú”) Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición atómica o molecular a diferencia de los otros co-nectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conecti-vo Lógico “No”. Juan no va al boliche: En este caso, si “Juan va al boliche” es verdadero, ”Juan no va al boliche” es falso. Y si “Juan va al boliche” es falso, ”Juan no va al boliche” es verdadero.

Situaciones p q p v q

Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días.

V V V

Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero pudo lavar el coche todos los días.

F V V

Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no lavó el co-che todos los días.

V F V

Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días.

F F F

Situaciones p q p w q

Juan se inscribe en Ingeniería en sistemas y en Ingenie-ría mecánica

V V F

Juan sólo se inscribe en Ingeniería mecánica F V V

Juan sólo se inscribe en Ingeniería en sistemas. . V F V

Juan no se inscribe en ninguna de las dos carreras F F F

Filosofía



CONJUNCIÓN: Sólo será verdadera cuando ambos enunciados sean verdaderos Ejemplos:

2+ 2 es igual a 4, y 3 + 3 es igual a 6

Marte tiene satélites y Júpiter también (más especí-ficamente debe entenderse como "Marte tiene satélites y Júpiter tiene satélites", aunque en el lenguaje hablado o escrito se abrevie para no ser reiterativos)

Brasil está en Latinoamérica, más su idioma es el

Portugués. (En este caso, el “más” funciona co-mo “y; "sería Brasil está en Latinoamérica, y su idioma es el Portugués”)

Juan no juega al futbol, pero tiene voluntad. Hoy hará frio, también se esperan algunas lluvias. Podrán realizar la excursión, además conocerán

hermosos lugares Manuel e Ismael son universitarios.

Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para que te deje ir al boliche el fin de semana debes traer 10 en tu examen de esta semana y lavarme el coche todos los días des-de el lunes hasta el viernes” Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores, que reflejaremos en dos proposiciones: p = “Juan saca 10 en su examen semanal”. q = “Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes”. Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones para poder ir al boliche, ya que su papá utilizó la conjunción “y”:

El padre de Juan fue claro. Sólo accedería a su pedido si cum-plía con las dos condiciones. Las posibilidades de ir al boliche se reducen a solo una: Sólo será verdadera cuando ambos enunciados sean verdaderos.

CONDICIONAL: Será falsa, solo cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente falso La proposición condicional está compuesta por un anteceden-te y un consecuente. En ella se establece una relación de ne-cesidad entre el antecedente y el consecuente, de tipo causa efecto. (y no al revés) De hecho, la regla que rige esta proposición compleja, no afir-ma la veracidad de los hechos, sino que si se da el anteceden-te, necesariamente debe darse el consecuente. Dicho de otra manera, el consecuente es condición necesaria del antece-dente y el antecedente es condición suficiente del consecuen-te. Ejemplos:

Si es herbívoro, entonces se alimenta de plantas (en este caso no estoy afirmando que efectivamen-te el ser vivo en cuestión sea herbívoro, sino

que si lo fuese, necesariamente se alimenta con plantas)

Si un metal se calienta, se dilata. Tienes buena alimentación entonces tienes buena

salud. Evitarás enfermedades infantiles si vacunas a tu hijo

(en este caso el condicional se llama Inverso o repli-cativo: la operación de implicación está desordena-da. Es decir primero está el consecuente y luego el antecedente. Debe entenderse como: “Si vacunas a tu hijo, entonces evitarás enfermedades infantiles”)

Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Si te sacás un 10 en el examen de esta semana, entonces te dejo ir al boliche” p = “Juan saca 10 en su examen semanal”. q = “el padre lo deja ir al boliche”. Lo que se afirma en este enunciado es que es condición nece-saria que se saque 10 para ir al boliche. Veamos las opciones Pueden acontecer todas las situaciones en la semana de Juan,

pero lo único que no puede pasar es que si se saca un 10 el padre no lo deje ir a bailar, porque esto es lo que se afirmaba en la relación de necesidad que establece el condicional. Por lo tanto sólo será falso cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente falso

BICONDICIONAL: Será verdadera cuando ambos enun-ciados tengan el mismo valor de verdad Es un condicional “de ida y vuelta”, quiere decir que si se da uno, se da el otro y viceversa; a diferencia del condi-cional, donde el antecedente es condición necesaria pa-ra el consecuente pero no al revés.

Ejemplos: Un número es divisible por dos, si y sólo si

es un número par. Luis viajará al extranjero, si y sólo si o obtiene su visa Es fundamentalista si y sólo si es talibán

FALSEDAD CONEXA: Será verdadera, solo cuando am-bos enunciados sean falsos.

La falsedad conexa puede entenderse también como la con-junción de dos negaciones. Por ello para ser verdadera, tienen que ser falsas ambas.

Ejemplos:

Ni lerdo, ni perezoso (significa que no es lerdo y no es perezoso)

Ni está enojado, ni presentará una queja

Situaciones p q p . q

Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días.

V V V

Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero pudo lavar el coche todos los días.

F V F

Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no lavó el coche todos los días.

V F F


F F F

Situaciones p q p q

Juan pudo sacar 10 en su examen y el padre lo dejó ir al boliche

V V V

Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero el padre lo dejó ir al boliche

F V V

Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días.

V F F


F F V




1) Analizar las siguientes expresiones lingüís-ticas e indique si son o no proposiciones:

La constitución política México fue declarada y pro-mulgada por la asamblea constituyente en 1917

¿Quién es el pez gordo del narcotráfico?

Sea bienvenido

¡Por fin llegó la primavera!

Los números racionales son inteligentes.

Que tengan ustedes un buen viaje.

Solo se que no se nada.

Juan es bondadoso.

No digas mentiras.

Quizá existan miles de millones de universos.

Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar.

Los planetas del sistema solar a excepción de Plu-tón ocupan el mismo plano con respecto al sol.

El número 5 sonrió.

Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo

2) Señalar cuáles de las siguientes proposicio-

nes son simples y cuáles son complejos: Construyeron un dique para controlar las bruscas

crecidas de primavera

Comprendo tus puntos de vista pero no los compar-to.

O me ayudas con este trabajo, o tendré que llamar a otra persona

En los días feriados el centro de la ciudad permane-ce desierto

Si Carlos logra convencer a Jorge, lo consideraré un gran orador

No se han producido epidemias de viruela en los últimos 10 años

El río que cruza la llanura, provee de agua a todas las granjas linderas.

Este niño lee perfectamente más no escribe en ab-soluto.

Ni estás quieto, ni te quedás callado.

Sale el sol, si y sólo si se despejan las nubes.

3) Determinar en ejercicio anterior, de las complejas, de que tipo son

4) Determinar que tipo de enunciado comple-

jo es, subrayando o resaltando el nexo: En el invierno hace frio y en algunos lugares cae

nieve.

México está en crisis económica si y solo si se deva-lúa la moneda.

No es difícil desarrollar un software

Mi tía es enfermera y mi mamá es ama de casa.

O eres médico o eres enfermera.

Jamás he visto al vecino.

Es carnívoro si se alimenta de otros animales.

O el tejido epitelial es avascular o el tejido conjunti-vo es avascular.

Silvia es inteligente, sin embargo es floja

La epidermis es tejido epitelial o la dermis es tejido conjuntivo.

Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad.

Herófilo de Calcedonia es el Padre de la Anatomía y Erasístrato de Chios es el Padre de la fisiología.

Nunca he oído esa música.

Los dientes heterodonto son de 4 clases o los dien-tes difiodonto son de dos clases.

El Esfenoides es un hueso plano o el Fémur es un hueso largo.

El síndrome de Turner es causado en el sexo feme-nino o el Síndrome de Klinefelter es causado en el sexo masculino.

El Albinismo se da en ausencia de pigmento en la piel, ojos, cabello o la Galactosemia se da por acu-mulación de galactosa en el hígado.

El Daltonismo no permite la percepción normal del color rojo y verde o la Hemofilia es la tendencia a sangrar abundantemente con la menor herida.

El genotipo es la constitución genética de un orga-nismo o el fenotipo es la expresión del genotipo en un organismo.

El aracnoides es una capa avascular delgada o la piamadre es altamente vascularizada.

El número dos es par, pero el número tres es impar.

Si es joven, entonces es rebelde.

El número cuatro es par puesto que es divisible por dos

Es fundamentalista si y sólo si es talibán.

Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva.

Es imposible que el átomo sea molécula.

Es falso que el juez sea fiscal.

5) Dados los siguientes enunciados comple-jos, transcribir su forma lógica correcta, por ejemplo:

La Neuritis es la inflamación de uno o varios ner-vios: .”La Neuritis es la inflamación de un nervio o la neuritis en la inflamación de varios nervios”

La hormona es producto de la secreción de ciertos órganos del cuerpo de animales y plantas.

Los órganos homólogos tienen el mismo origen embriológico, la misma estructura interna, pero cuya forma y función son distintas.

La enterocolitis es la inflamación del intestino del-gado, del ciego y del colon

Los órganos homólogos tienen estructura diferente y distinto origen embriológico, pero realizan la mis-ma función.

O el encéfalo o la médula espinal está contenido en la cavidad craneal.

La materia ni se crea ni se destruye.

Pedro es tío o es sobrino.

ACTIVI-DAD


Simbolización Una forma enunciativa es una expresión, en la

que intervienen variables de enunciado y conectivas, que pude formarse utilizando las siguientes reglas:

A veces un enunciado complejo puede estar formado por más de dos enunciados simples y a veces puede combinar varias conectivas.

Por ejemplo: La enterocolitis es la inflamación del intestino

delgado, del ciego y del colon

Debe entenderse como: “La enterocolitis es la inflamación del intestino

delgado, la enterocolitis es la inflamación del ciego y la enterocolitis es la inflamación del colon”

En este caso hay tres enunciados complejos uni-dos por el mismo nexo, la conjunción. Por tanto debe simbolizarse con tres letras distintas:

p = “La enterocolitis es la inflamación del intes-tino delgado”

q = “la enterocolitis es la inflamación del cie-go”

r = “La enterocolitis es la inflamación del co-lon”

El nexo se coloca entre los enunciados:

Otro ejemplo: Se terminarán los problemas de sequía si llueve

Nos encontramos frente a u condicional de tipo inverso o replicativo, donde:

p = “se terminarán los problemas de sequía” q = “llueve ”

Debido a que el antecedente es que y el conse-cuente es p, la correcta formulación sería:

Otro ejemplo:

Si no apruebo el CBC, entonces no podré ingre-sar a la carrera.

Siempre se deben tomar para simbolizar los enunciados en forma afirmativa:

p = “apruebo el CBC” q = “podré ingresar a la carrera”

Aquí, además de un condicional, tenemos dos negaciones, es decir el antecedente y el consecuente están negados, por lo tanto, la simbolización correcta sería:

La negación siempre va “pegada” a la proposi-ción.

Pero cuando las operaciones que se combinan son otras distintas que la negación, será necesario agregar paréntesis, llaves, corchetes, etc.

Si me quedo dormido y no suena el despertador, llegaré tarde a clases.

p = “me quedo dormido ” q = “suena el despertador” r = “llegaré tarde a clases”

Para que llegue tarde a clases, deben darse am-bas situaciones: que me quede dormido y que n suene el despertador, por ello, el antecedente es complejo a la vez, es una conjunción y debe ir entre paréntesis

Jerarquía de simbolización: La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, las disyunciones, condicional, bicondicional y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición:

p q . ~r El correcto para resolverlo sería para este caso: 1. Primero negamos r ( ~r ) 2. Luego resolvemos la conjunción (q . ~r)

3. Por último resolvemos el condicional

Pero tiene mayor jerarquía los signos de agrupación, de esta manera, si nos encontramos con la proposición:

(p q) . ~r

1. Primero resolvemos la implicación (p q) 2. Luego hacemos la negación de r ( ~r )

3. Por último la conjunción. Con el resultado de (p q) y el resultado de ~r

Formulas bien formadas (wff): A la combinación de proposiciones y conectivos se la deno-mina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de ve-racidad, puede ser determinado.

[ ~p . ( p v q ) ] q ; [ p. (~p v ~ q ) ] q

[ ( ~p v q ) . ( p . r ) ] ( q v r ) No todas las formulas son bien formadas, si a una formula no se le puede dar un valor se dice que no es un formula bien formada.



p . q . r

q p

~p ~q

(p. ~q ) r




LAS TABLAS DE VERDAD

Se denomina así a la procedimiento a a través del cual es posible determinar el valor de verdad de una pro-posición, ya sea ésta atómica o molecular.

De esta manera hacemos una valoración de las variables enunciativas y las formas enunciativas binarias. Usando las tablas de verdad de las conectivas podemos construir la valoración de cualquier forma enunciativa, de-terminando el valor de verdad de la misma a partir del valor de verdad de sus componentes atómicos.

La construcción de una tabla de verdad responde a la siguiente fórmula: 2 = indica la cantidad de valores de verdad con los que trabajamos: (verdadero - falso) n = se reemplaza por al cantidad de proposiciones simples con las que se opera X = indica la cantidad de renglones que tendrá esa tabla, ya que expresa el número de todas las posibles combinaciones o filas, entre los valores de verdad, de las proposiciones que intervienen en la operación El procedimiento es el siguiente 1) Se simbolizan las proposiciones dadas. Por ejemplo "París es la capital de Francia y Madrid es la

capital de España", se simboliza: p . q 2) Aplicamos la fórmula Esta tabla de verdad tendrá cuatro renglones

7) Si la tabla de verdad tuviese tres proposiciones, por ejemplo p . q . r ( en ese caso la fórmula daría 8 renglones) los valores de verdad de la tercer proposición r se alternarían de a cuatro. Si tuviera cuatro, se alternarían de a 16, y así sucesivamente 8) En una forma proposicional compuesta, cada letra que se repita, le corresponderá la misma columna de valores de verdad que la primera Otros ejemplos:

2n = x

22 = 4

3) En la primer columna (en nuestro ejemplo: "p") se atribuyen en cada renglón, los valores de ver-dad en forma alternada de uno en uno, hasta completar la cantidad de renglones que tenga la tabla (en un nuestro ejemplo:

5) En la segunda columna (en nuestro ejemplo: "q") se atribuyen en cada renglón, los valores de verdad en forma alternada de dos en dos, hasta completar la cantidad de renglones que tenga la tabla

p

V F V F

q

V V f F

4) Nuestro ejemplo queda de la siguiente ma-nera:

6) Se procede a resolver la tabla de verdad, aplicando la regla lógi-ca correspondiente a esa conecti-va. El resultado se coloca debajo de la conectiva y se recuadra.

p . q

V V F V V F F F

p . q

V V V F F V V F F F F F

~ p

F V V F

Pedro es tío o es sobrino.

p v q

V V V F V V V V F F F F

22 = 4

Juan canta, baila y actúa.

En este caso re-solveremos pri-mero p . q y lue-go el resultado de éstos con r.

p . q . r

V V V V V F V V V V V V F V V F F F F V V V V F F F V V F F V V F F F F F F F F

23 = 8 No es cierto que el juez sea fiscal

Tenemos una sola pro-posición: p = “El juez es fiscal”

Y una sola conectiva, la negación

21 = 2


TABLAS DE VERDAD CON DISTINTAS CONECTIVAS

"Si baja la presión atmosférica y sopla viento sur, entonces es probable que lloverá"

En este ejemplo tenemos dos tipos de conectivas: conjunción y condicional. Lo podríamos simbolizar así: Es estos casos complejos, se resuelven primero las conectivas de menor alcance, es decir las conectivas que relacionan el menor número de letras, luego la de mayor alcance siguiente, y así sucesivamente hasta llegar a la conectiva principal, la cual proporcionará el resultado final de la operación realizada (el resultado final se colo-cará debajo de esta y se recuadrará para distinguirlo de otras columnas) En la medida que se vaya resolviendo una columna, se va tachando y uniendo para que quede claro cuál fue la opera- ción. Estas uniones se van escalando también de menor a mayor para distin- guir el orden en que fuimos resolviendo. En el caso de haber una negación, se resuelve siempre primero la negación y luego las otras conectivas. Por ejemplo: “Pienso y elijo una carera, o no podré anotarme en la facultad”



( p. q ) r

( p . q ) r

V V V V V

F F V V V

V F F V V

F F F V V

V V V F F

F F V V F

V F F V F

F F F V F

( p . q ) w ~ r

V V V V F V

F F V F F V

V F F F F V

F F F F F V

V V V F V F

F F V V V F

V F F V V F

F F F V V F

1) Demostrar las proposiciones de cada caso y sus posibles valores en una tabla de verdad y de-termine que tipo de proposición es (conjunción, disyunción exclusiva, disyunción inclusiva, negación, condicional, bicondicional, o falsedad conexa):

En un restaurante se regala un postre después de cada comida, pero solo se puede elegir uno entre es-tos dos: “Flan napolitano o gelatina mosaico”.

Una tienda se tiene la siguiente promoción: “En la compra de mas de $2000.00 pesos en artículos depor-tivos se le hace el 50% de descuento sobre la compra”.

Para ser merecedor de una beca un alumno debe contar con un promedio superior a 9.0 o demostrar que los ingresos de sus padres son inferiores a $1500.00 mensuales.

Para poder ingresar el ejercito un aspirante no debe tener tatuajes y ni padecer ninguna enfermedad contagiosa.

2) De la siguiente afirmación “Andrés es padre de Bernardo y éste es padre de Cecilia” se obtienen las si-guientes proposiciones:

p : Andrés es descendiente de Bernardo , es VERDADERO q : Bernardo es descendiente de Andrés , es FALSO r : Cecilia es descendiente de Bernardo , es FALSO s : Cecilia es descendiente de Andrés , es VERDADE-RO

Asignar los valores a las siguientes formulas de las tablas de verdad y explicar porque:

Proposición Valores Resultado

~p

~q

p . q

~p . ( q v ~r )

p w ( q s )

p q




Tautología, Contradicción y Contingencia: A partir del resultado de las tablas de verdad es posible clasificar las formas proposicionales en tres tipos Las Tautologías son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado valores

siempre verdaderos. Son formas proposicionales lógicamente verdaderas. Las tautologías interesan a la lógica especialmente porque son un tipo de leyes lógicas. Las leyes de la lógica proposicional son todas tautologías, son formas proposicionales, cuyos casos de sustitución son siempre verdaderos (solo tie-nen una interpretación verdadera)

Las Contradicciones son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado va-lores siempre falsos. Son formas proposicionales falsas por su forma lógica, al interpretar las letras pro-posicionales que la forman se obtienen siempre una proposición falsa.

Las Contingencias son aquellas formas proposicionales cuyas tablas de verdad dan por resultado valo-res en parte verdaderos y en parte falsos. Son formas proposicionales lógicamente indeterminadas, es decir, son verdaderas o falsas por razones fácticas y no por su forma lógica.

Equivalencia:

Dos proposiciones son equivalentes cuando sus tablas de verdad arrojan idéntico resultado

ACTIVI-DAD




3) Formalizar la siguiente proposición: “Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no po-dríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.” p: justificar hechos por su tradición q: ser inofensivo. r: ser respetuoso con los seres vivos. s: ser respetuoso con el medio ambiente. t: tener problemas. ~q: ser bárbaro. (= no ser inofensivo) u: ser digno de nuestro tiempo.

4) Formaliza las siguientes proposiciones y confecciona su tabla de verdad: Estás seguro y lo que dices es cierto o eres un mentiroso 2+2=4, si y solo si 4-2=2; y 2+3=5 si y solo si 5-3=2 Iré al centro el día de paro, si circulan los colectivos y el subte Fuimos al museo, pero ni encontramos las obras que buscábamos, ni nos dijeron dónde halladas Si llegamos tarde, no conseguiremos pasajes y no nos harán la reserva para el día siguiente Entregamos el proyecto mañana, o no lo entregamos y quedaremos fuera del concurso Si para la tormenta el avión llegará esta noche o mañana a la madrugada

5) Verificar si las siguientes proposiciones son equivalentes ( p q ) . ( q p ) p q ( p w q ) ( p v q ) . ~ ( p . q )

p q ~ p . ~ q

6) Simbolizar y realizar tabla de verdad Madrid no es la capital de España O Madrid es la capital de España, o Barcelona está en Inglaterra . Mozart fue músico o Barcelona no está en Inglaterra No es cierto que: Mozart fue músico y Barcelona está en Inglaterra

Madrid es la Capital de España o no lo es Maradona es drogadicto o no lo es, y la prensa tendrá que arrepentirse de todo lo que dijo. Si estudio y apruebo todas las materias en diciembre, entonces me podré ir de vacaciones tranquilo. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre

7) Determinar el valor de verdad, sabiendo que p y q son verdaderas, y que r y s son falsas (p. q) v ~ r p v (q. r) ~ p . ~ ( q. r) (p. s) v ~ r ( p . q) v (r. s )

8) Construye las tablas de verdad e indica si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias. ~ p v q

( p . q ) p

p ~p

( p ~q) . ( p v ~q )

( p ~q ) v ( p v ~q )

( ~p v q ) p q )




SIMBOLIZACIÓN DE ARGUMENTACIONES Recordamos que la argumentación es el modo de expresión e la tercera operación lógica que es

“razonar”. Razonar es la operación que obtenemos combinando enunciados. Las argumentaciones no son verdearas o falsas, sino válidas o inválidas. Si bien en esta lógica “hace foco” en la segunda operación, en las proposiciones, y por eso se lla-

ma proposicional, podemos también simbolizar desde este lenguaje las argumentaciones:

Lo primero que tenemos que hacer es identificar cuantos enunciados tiene esta argumentación, y cuáles hacen de premisa y cuál de conclusión. Las premisas pueden estar separadas unas de otras por un punto seguido o por una coma o por un punto y coma. La conclusión también puede estar separada de la misma manera, pero generalmente va precedida por “Por lo tan-to”, “de esto se concluye”, “de esto se sigue” y además de al raya que separa premisa y conclusión, se puede agre-gar el signo Veamos un ejemplo Me amas o me odias, yo sé que no me odias; por lo tanto, me amas.

1ª premisa = Me amas o me odias 2ª premisa = yo sé que no me odias Conclusión = me amas Procedemos a simbolizar: Aquí solo hay 2 enunciados. p= me amas q = me odias Como conectivas hayamos la disyunción exclusiva y la negación. Ahora sí simbolizamos de la siguiente manera

p w q

~ q

p

Otros ejemplos:

“Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis”

p q r q

( p . r ) q

“Si Rosa se somete a la operación de los ojos, entonces ya no tendrá que usar lentes y le cambiará la cara. Rosa usa lentes y además no le cambió la cara, por lo tanto, Rosa no se sometió a la operación de los ojos”

p ( ~q . r ) q ~r

~p

Dijimos que las argumentaciones son válidas o inválidas. Pero cómo hallar la validez de una forma de razonamiento en la lógica proposicional?

Veremos dos métodos: el método del condicional asociado, el método de la demostración y la prueba for-mal de invalidez.




MÉTODO DEL CONDICIONAL ASOCIADO: Dado un razonamiento o argumentación, debemos forzarlo a transformarse en una proposición (no se olviden que en este tipo de lógica trabajamos solo con la 2a operación). Para ello lo convertimos en una forma proposicional compuesta llama-da Condicional Asociado con dos características: unimos las premisas con una conjunción y todo esto hace de anteceden-te de la conclusión, que es el consecuente. Básicamente consiste en transformar esa forma de razonamiento en un "gran condicional", es decir, en la forma de una proposición condicional. ¿por qué? Porque cuando vimos las Tablas de Verdad, en el caso especial del Condicional, vimos que el único caso en que esta conectiva nos da un valor de verdad Falso, es cuando tenemos antecedente verdadero y consecuente falso; todos los demás casos dan valores de verdad verdaderos. Así, si nosotros pasamos la forma de un razonamiento a la forma de un condicional, nos quedará que las premisas formarán el antecedente y que la conclusión será el consecuente.

De esta manera, si aplicando las Tablas de Verdad y el resultado es una TAUTOLOGÍA, es decir que en todos los casos nos dan valores de verdad verdaderos, entonces decimos que esa forma es válida Si el resultado final fuese contradicción o contingencia, la forma del razonamiento es inválida, ya que en cualquiera de los dos casos, se pone de manifiesto que en el razonamiento en cuestión es posible que se de combinación de premisas verda-deras y conclusión falsa, lo cual, de acuerdo a lo que vimos de la definición de validez, hace que la forma sea inválida. El método del condicional asociado es un procedimiento mecánico fácil de usar cuando el razonamiento cuenta con pocas premisa s y pocas preposiciones. Para resolver razonamientos con mucha cantidad de premisas, es nece-sario utilizar el método de la demostración. Veamos un ejemplo: Si yo dedico una parte de todos los días al estudio y presto atención a las estrategias de aprendizaje sugeridas por los profesores, aprobaré las asignaturas del cuatrimestre. En verdad yo he prestado especial atención a las estrategias de estudio que me recomendaron y además todos los días dedico una cierta cantidad de horas a es-tudiar las materias. De esto se sigue que yo voy a aprobar las materias del cuatrimestre.

p = dedico una parte de todos los días al estudio q = presto atención a las estrategias de aprendizaje sugeridas por los profesores r = aprobaré las asignaturas del cuatrimestre

La simbolización correcta sería:

(p q) r

q p

r

Antecedente Consecuente

Premisas del razonamiento Conclusión del razonamiento

Al aplicar método del condicional asociado queda:

{ [(p q) r ] . ( q p ) } r

1ª premisa 2ª premisa conclusión

{ [( p q ) r ] . ( q . p ) } r

V V V V V V V V V V V

F F V V V F V F F V V

V F F V V V F F V V V

F F F V V F F F F V V

V V V F F F V V V V F

F F V F F F V F F V F

V F F F F F F F V V F

F F F F F F F F F V F

Es una TAUTOLOGÍA: Es una FORMA VÁLIDA

Resolvemos:




1) Determinar la validez mediante el método del condicional asociado

2) Simbolizar y determinar la validez mediante el método del condicional asociado Los simios fueron instruidos para pulsar la luz verde si oían un zumbido, y una luz roja si se trata-

ba de una palabra. Oían un zumbido o era una palabra. Por lo tanto los simios pulsaban una luz verde o una luz roja

El cráneo con dos cisuras es de un animal mamífero o es de un anfibio. El cráneo con dos cisuras no es de un mamífero. Luego el cráneo hallado es de un anfibio

O la máquina expendedora de boletos no te dio el vuelto, o colocaste un importe exacto. Colo-caste un importe exacto. Por lo tanto la máquina no te dio el vuelto.

Si la moral no existe y todo está permitido, vamos hacia la anarquía social. Ahora bien, no va-mos a la anarquía social. Además la moral existe. Luego, no todo está permitido

ACTIVI-DAD

a) p . q p v q q

b) p v q

~p q

c) q p q . p

d) p q q r p r

MÉTODO DE LA DEMOSTRACIÓN: Cuando los razonamientos contienen varias proposiciones atómicas diferentes como componentes, se hace difícil y tedioso utilizar tablas de verdad para probar su validez. Un método más conveniente es DEDUCIR las conclusiones de sus premisas por una secuencia de razonamientos más cortos y más elementales que ya se conocen que son validos y aceptados como reglas de inferencia, que es todo esquema valido de

razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones compuestas. Lo primero que hay que hacer es enumerar cada una de las premisas y colocarlas en columna. Numeramos cada una de las

premisas. A la conclusión se le coloca el signo / y se coloca la conclusión, ya que es el teorema a demostrar. Un ejemplo:

El procedimiento del método demostrativo consiste en dejar de lado la conclusión, pues es a donde se deberá llegar al finalizar la operación de prueba, y de este modo se demostrará la conclusión, y por ello que el razonamiento es válido. Hay que operar en las premisas aplicando las reglas lógicas (cuadro de la página siguiente). Las nuevas formas proposicionales que vayamos obteniendo, se colocan encolumnadas y numeradas debajo de la última premisa, e indicando al lado en qué premisa o entre cuáles aplicamos alguna regla lógica y qué regla aplicamos (poner abreviaturas). Si se logra llegar a la conclusión, partiendo de las premisas y efectuando transformaciones legítimas por las reglas lógicas; el razonamiento es válido. Pero si por la aplicación reiterada de las reglas lógicas no se puede llegar a la conclusión, habrá una gran posibilidad de que el razonamiento no sea válido

(p . q) (r . s) ~ (r . s)

~p v ~q

1) (p . q) (r . s) 2) ~ (r . s) / ~p v ~q

1) (p . q) (r . s) 2) ~ (r . s) / ~p v ~q 3) ~ ( p . q) de 1) y 2) por RMTT (regla del modus Tollendo Tollens)

4) ~p v ~q de 3) por RR (Regla de Reemplazo) L DEM (Ley de Demorgan)

El resultado, que coincide con la conclusión de nuestro razonamiento, se recuadra. Y esto quiere decir que hemos demostrado la conclusión, por lo tanto es una forma válida

Filosofía



LEYES LÓGICAS: son FORMAS PROPOSICIONALES lógicamente VERDADERAS cuyas tablas de verdad arrojan resultado siempre verdadero (TAUTOLOGÍAS). Se las denomina también EQUIVALENCIAS LÓGICAS (sus tablas de verdad son equivalentes)

Solo se pueden usar antecediéndoles la REGLA DE REEMPLAZO (RR)

LEY DE IDENTI-DAD (L Ident)

p ⇆ p Una proposición sólo es idéntica a si

misma

LEY DE IDEM-POTENCIA (L Idemp)

p p . p

LEY DE NO CONTRADICCIÓN (L No-cont)

~ ( p . ~ p ) No es posible que algo sea y no sea al mismo tiempo. NI que

una proposición se a verdadera y falsa al mismo tiempo

LEY DE 3º EX-CLUIDO (L 3º Excl.)

( p w ~ p ) Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posición intermedia.

LEY ASOCIATIVA (L Asoc.)

( p . q ) . r ⇆ p . ( q . r )

( p q ) r ⇆ p ( q r )

( p q ) r ⇆ p ( q r )

LEY CONMUTATIVA (L Conm.)

( p . q ) ⇆ ( q . p)

( p q ) ⇆ ( q p)

LEY DISTRIBUTIVA (L Dist.)

p . ( q r ) ⇆ ( p . q ) ( p . r)

p ( q . r ) ⇆ ( p q ) . ( p r) .

Esta ley puede aplicarse con con-junción, disyunción y bicondicional. Con el único conectivo que no pue-de aplicarse esta ley es con el co-nectivo de la condicional. Cambia el orden de las proposiciones sin mo-dificar el conectivo.

LEY DE DOBLE NEGA-CIÓN (L D Neg)

p ⇆ ~ ( ~ p ) ~ ~ p ⇆ p

Una proposición doblemente negada es igual a su afirmación y viceversa.

Esta ley ordena de diversas for-mas sin alterar los productos, cuando se tenga el mismo conecti-vo lógico, ya sea la conjunción o disyunción o bicondicional. (siempre y cuando sea con la mis-ma operación

Se aplican cuando se tienen dos conectivos diferentes: conjunción-disyunción o bien disyunción-conjunción. Dis-tribuye a la proposición fuera del paréntesis con las que están dentro de este

LEY DE MORGAN (L D Morg.)

( p . q ) ⇆ ( p q )

( p q ) ⇆ ( p . q ) La ley de Morgan sería algo así como la

distributiva de la negación. Tiene dos formas en las que se puede aplicar la ley. A partir de

una proposición en conjunción negada, se puede obtener la negación de cada uno de

los conjuntivos pero cambiando el conectivo a disyunción, pero cambiando el conectivo a

conjunción.

LEY DE TRANSPOSI-CIÓN DEL CONDICIO-

NAL (L Transp. Cond.)

(p q) ⇆ (q p) La trasposición de una preposición condi-

cional es una proposición con el mismo

conectivo condicional cambiando las

preposiciones antecedente y consecuente

y negándolas respectivamente

LEY DE DEFINICIÓN DEL CONDICIONAL

(L Def. Cond.)

( p q ) ⇆ ( p q ) ( p q ) ⇆ ( p . q )

También se la llama Ley de Implicación

Material. Esta ley permite cambiar el conec-

tivo principal de la proposición “condicional”

por “disyunción”, pero negando el antece-

dente, o bien por la negación de la conjun-

ción del antecedente y el consecuente

negado

LEY DE NEGACIÓN DEL CONDICIONAL

(L Neg Cond.)

~ (p q) ⇆ ( p . q)

Una preposición condicional negada es

equivalente a la conjunción del antece-

dente y el consecuente negado.

LEY DE EXPORTACIÓN

(L Export.)

[( p . q) r] ⇆[ p (q r)]

Filosofía



REGLAS LÓGICAS: son FORMAS DE RAZONAMIENTO lógicamente VÁLIDAS cuyas tablas de verdad arrojan resulta-dos siempre verdaderos (TAUTOLOGÍAS). También se las conoce como Leyes de implicación

REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS (RMPP)

p q p q

En esta regla, la primera premisa es un condicional, la segunda premisa es el antecedente de la primera premisa, para concluir en el consecuente

Si llueve, voy al cine Llueve Luego, voy al cine

REGLA DEL SILO-GISMO HIPOTÉTICO (RSH)

p q q r p r .

REGLA DE SIMPLIFICACIÓN

(R. Simpl.)

p . q → p p . q → q

Esta ley puede aplicarse a partir de una sola premisa, que es una proposición

compuesta cuyo conectivo principal es la conjunción; se concluye con cualquiera de

los enunciados simples..

REGLA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS (RMTT)

p q ~ q ~ p

En esta regla, la primer premisa es un condicional, la segunda premisa niega al consecuente y se concluye en la negación del antecedente.

Si hay luz solar, es de día No es de día Por lo tanto, no hay luz solar

REGLA DEL MODUS PONENDO TOLLENS (RMPT)

p w q p w q p q ~ q ~ p

En esta regla, la primera premisa es una disyunción exclusiva, la segunda premisa puede ser cualquiera de los dos enunciados, y la conclusión será el otro pero negado Duermo o estudio

Duermo No estudio

REGLA DEL MODUS TOLLENDO PONENS (RMTP)

p v q p v q ~ p ~ q q p

En esta regla, la primera premisa es una disyunción inclusiva, la segunda premisa puede ser cualquiera de los dos enunciados negados, y la conclusión será el otro afirmado Puedo estudiar Inglés o Francés No estudio inglés Estudio Francés

REGLA DE ADICIÓN (R. Adic.)

p → p v q

A una proposición cualquiera se puede adicionar, a través del conectivo de dis-

yunción, cualquier proposición pero cam-biando el conectivo a conjunción.

REGLA DE CONJUNCIÓN

(R. Conj.)

p q p . q

También se la llama Regla de Producto Lógico. Dos proposiciones separadas se pueden unir con el conectivo conjunción .

REGLA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO (RDC)

( p q ) . ( r s ) p v r q v s .

Las dos premisas de esta ley son proposiciones condicionales; para que pueda ser aplicada, se requiere que el conse-cuente de la primera premisa sea igual al antecedente de la segun-da premisa.

Como primera premisa se tiene la conjunción de dos proposiciones condicionales, su se-gunda premisa es la disyunción de los ante-cedentes de ambas condicionales y se concluye en la disyun-ción de sus consecuen-tes.




1) Resolver mediante el método demostrativo, usando la REGLA DE REEMPLAZO y diciendo qué LEY se aplicó A– 1) * a b c + . d / a b c . d ) B- 1) * x y z + ( k n ) / x y * z ( k n ) + C- 1) * n s f + / n s D- 1) (o . p) *q r s ) t+ u}/ (o . p) *q r s ) t + } u E- 1) (s . n )/ (s . n ) F- 1) * b j d + / * b j d + G- 1) (h t ) j a . c) + } / (h t ) j a . c) + H- 1) ( p . q ) * r s w t ) + / * (p . q ) r + s w t ) I- 1) * ( l m ) n + p w q ) / p w q ) . * ( l m ) n + J- 1) ( a b ) . c d ) / * ( a b ) . c + * ( a b ) . d + K- 1) (n . s) q b) a t ) + / (n . s) q b) + a t ) L- 1) ( f t ) . ( n u ) / * ( f t ) ( n u ) ] M- 1) * s . ( r ) + / ( s r ) N- 1) q ( p r ) / ( p r ) + q) O- 1) (he) f g) } i j k)+ / (he) f g) i j k)+ } P- 1) * ( v w ) + / ( v w ) Q- 1) *(l s t w j)+ *(l s a b)+ / (l s t w j) a b)+ R- 1) (s . g ) t j . n) + } / (s . g ) t j . n) + S- 1) d a b w c)+ } / d a b w c)+ T- 1) l w q) . j r) + / l w q) j r) U- 1) f w j) w t+ b d . h)+ / b d . h)+ f w j) w t+ 2) Justificar cada paso diciendo qué Ley, por medio de la Regla de Reemplazo, se utilizó.

A– 1) p s ) q / p s q )

2) p s ) + q

3) p s ) q

4) p s q )

ACTIVI-DAD




B- 1) * n s ) . ( t f ) + n s) r + / t f r)+ n s)}

2) n s) . t f ) r +

3) n s) . t f r )+

4) t f ) r + . n s)

5) t f r)+ n s)}

3) Resolver la inferencia de acuerdo a la ley aplicada

A- 1) q) p / q .p )

2) de 1) por RR L. Transp. Cond.

3) de 2) por RR L. Def. Cond.

4) de 3) por RR L. Conmut.

5) de 4) por RR L. de Morg.

B- 1) p r s)+ } / p r ) s

2) de 1) por RR L. Dob. Neg.

3) de 2) por RR L. Asoc.

4) de 3) por RR L. Conmut.

5) de 4) por RR L. Def. Cond.

6) de 5) por RR L. Transp. Cond.

4) Resolver aplicando método demostrativo

A- 1) p q+ } / q r

B- 1) q r p ) / p q r )

5) Resolver mediante el método demostrativo, usando las REGLAS LÓGICAS:

A- 1) d r ) m

2) d r ) / m

B- 1) a f ) j s)

2) j s) n / a f ) n

C- 1) b s ) a w x )

2) a w x ) + / b s )

D- 1) * t y ) n s f ) . j +

2) t y ) s f ) / n j




E- 1) d w * r j n ) + / d w * r j n ) + } k . ñ

F- 1) * l m s ) + . * p j l ) / l m s )

G- 1) (s t) * j w f n ) +

2) (s t) / j w f n )

H- 1) *(a b) s +

2) (x f) w z / *(a b) s + . *(x f) w z +

I- 1) n (m s) + } w

2) n (m s) + } / d

6) Justificar cada paso diciendo qué Ley o Regla se utilizó

A- 1) ( k l ) ( m n )

2) ( m n ) ( o . p ) 3) k / o

4) ( k l ) ( o . p )

5) k l

6) o . p

7) o

C- 1) p . q)

2) p q (r s)+ / r t

3) p

4) p (r s)

5) (q r)+ . (q v s )

5) q r

6) q

7) r

8) r t

F- 1) * a b c (d n)

2) l * b c a

3) l d / c

4) l

5) * b c a

6) * (b c) a

7) * a (b c)

8) d c

9) d

10) c

B- 1) i j

2) j k

3) l m

4) i l / k m

5) i k

6) (i k) . ( l m )

7) k m

D- 1) (p . q): (r s)

2) (r s ) / p q

3) (p . q)

4) p q

E- 1) *b c a+ (d c)

2) e * b . c a

3) e . d

4) e d

5) d e / c

6) e

7) d

8) b . (c. a)

9) (b . c) . a

10) d c

11) (d c) . (e d

12) c d

13) d c

14) c




7) Determinar la validez mediante el método demostrativo:

A- 1) p . q

2) q r / p . r

B- 1) p

2) p (q. r) / q

C- 1) s . t

2) (s m) n / s . n

D- 1) p q . r

2) r / p

8) Resolver la inferencia de acuerdo a la Regla aplicada

A- 1) * (p q ) w (r s ) + . (t v )

2) ( p t ) p . r

3) r . t / ( r s )

4) de 1) por R Simpl.


6) de 5) por R Adic.

7) de 6) por RR Ley Conmut.

8) de 2) y 7) por RMPP



11) de 4) y 10) por RMPT

B- 1) n . z )

2) * x ( w z ) + w n

3) ( w z ) x

4) j s ) / z j

5) de 4) por RR Ley de Morgan


7) de 6) por RR Ley Dobl. Neg.


9) de 8 por RR L Comnut.




MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO:

Es un método para demostrar la validez de un razonamiento que consiste en negar la conclusión y esperar que, por medio de la aplicación de la deducción (método demostrativo), se llegue a un absurdo del tipo por ejemplo: "A . ~ A". Como se puede observar, la expresión anterior viola el principio de identidad: "~ (A. ~A)", y por ello es absurdo. Se supone que si el razonamiento es válido, no puede haber ningún caso donde de premisa s verdaderas la con-clusión sea falsa. Por ello, si negamos la conclusión, forzamos a que la misma sea falsa, y con ello, al deducir aplicando las reglas, no llegamos más que a un absurdo. Veámoslo en un ejemplo:

Lo primero es negar la conclusión (paso 4), Y luego, partiendo de la nueva premisa que creo al negar la conclusión, tengo que llegar a un absurdo, logrando afirmar y negar alguna otra proposición del razonamiento. En este caso llegamos a: "a . ~ a" (paso 10) Vemos como mediante este procedimiento forzamos a ser inválido el razonamiento al ne-gar la conclusión, pero que llegamos a un ab-surdo: con lo cual demostramos, por medio del método de reducción al absurdo, que es absur-do considerar que esta forma de razonamiento sea inválida, o sea que ES VÁLIDA.

MÉTODO DE INVALIDEZ: ¿Cómo podemos saber que una forma de razonamiento es inválida? Antes dijimos que, si con el método demostrativo no podemos llegar a la conclusión aplicando las reglas y leyes lógicas, es probable que el razonamiento sea inválido. Pero puede ocurrir que efectivamente lo sea, y que sencillamente no demos con las reglas adecuadas para efec-tuar la demostración. Por ello, la incapacidad para demostrar la validez, no implica necesariamente que el razonamiento tenga una forma inválida. Por lo tanto, se hace imprescindible la existencia de una prueba formal de invalidez. El método que describiremos se haya estrechamente relacionado con las tablas de verdad, aunque es mucho más acotado. Por ello también se lo conoce como “método de tabla de verdad abreviado” Entonces:

1) ( t v c) ( b . p)

2) p a

3) ~ a /:. ~ t

1) ( t v c) ( b . p)

2) p a

3) ~ a /:. ~ t

4) ~ ( ~t ) En el primer paso se niega la conclusión

5) t de 4) por RR, L D Neg

6) t v c de 5) por R Adic

7) b . p de 1) y 6) por RMPP

8) p de 7) por R Simpl

9) a de 2) y 8) por RMPP

10) a . ~ a de 9) y 3) por R Conj

Método Se demuestra:

Condicional asociado VALIDEZ

Método demostrativo VALIDEZ

Método de reducción al absurdo VALIDEZ

Método de tabla de verdad abreviado INVALIDEZ




ACTIVI-DAD 1) Demostrar la validez por el método de reducción al absurdo

A- 1) p ( q . r )

2) r / p

B- 1) p q

2) r . p

2) s / q

C- 1) * ( p r ) q + m

2) p . s

3) n / m

D- 1) r w ( q p )

2) r. ( z u ) / u p

Será útil recordar cómo puede demostrarse que un razonamiento no es válido por medio de una tabla de verdad. Si puede encontrarse un solo caso (fila) en que puedan asignarse valores de verdad a las variables de enunciado, de modo tal que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa (o sea que el resultado no sea tautología), el razonamiento no es válido.

En el caso de esta prueba, vamos a intentar hacer esta asignación de valores de verdad, sin tener que cons-truir la tabla entera para ahorramos una parte del trabajo (por ello se la conoce como tabla de verdad abre-viada).

Precisamente, como partimos del supuesto de que es un razonamiento inválido, vamos a construir el único renglón de la tabla que me asegure que de premisas verdaderas, la conclusión es falsa. Veamos un ejemplo:

Dado el razonamiento: Sabemos que este razonamiento es inválido ya que es una alteración inadecuada del Modus Tolendo Ponens. Al ser inválido, su forma podrá dar lugar a que en la tabla de verdad aparezca algún renglón donde de considerar a las premisas verdaderas, la conclusión sea falsa. Supone-mos entonces que es inválido, anotando al lado de cada premisa el va-

lor "V' y al lado de la conclusión el valor "F". Tratamos ahora de confirmar nuestra suposición asignando a cada variable proposicio-nal un valor de verdad de modo tal que se ratifique la suposición inicial. En nuestro ca-so hemos optado por considerar a "p": "V”; y a "q" tam-bién "V” Ahora resolvemos las expresiones que nos quedan, y va-mos a observar que llegamos a confirmar nuestra suposi-ción, Por lo tanto la forma del razonamiento es inválida.

Otro ejemplo: FORMA INVÁLIDA Aquí la asignación de valores fue: p = F q = V

r = F

Conviene observar que, en este ejemplo también se puede conside-rar a q = F

p q p q

V p q

V p

F q

V p q V V

V p V

F q V

V p q V V V

V p V V

F q V F

V p q F V V V

V p r V F V V V

V r F V V

F p F F F




2) Demostrar la invalidez de los siguientes razonamientos:

A- p q

q r

p

q

C- ( p q ) r

r s

s

p . q )

E- p q )

( p . q ) ( r . s )

s r

r

3) Justificar cada paso de los siguientes métodos de reducción al absurdo, diciendo qué Ley o Regla se utilizó

A- 1) (a c) (b . d )

2) d e

3) e / a

4) (a)




8) de 7) por RR Ley Conmut.



11) de 10) y 3) por R Conj.

4) Los siguientes razonamientos son uno de forma válida y otro de forma inválida. Sim-bolizar y aplicar el método del condicional asociado al válido, y la prueba de invalidez al inválido.

A- Si la historia ha llegado a su fin, entonces la humanidad está condenada a repetirse. Efectivamente, la historia ha llegado a su fin. Por lo tanto, la humani-dad está condenada a repetirse.

B- Si las variables económicas permanecen estables, entonces hay reactivación y crecimiento. Las cifras indican que hay reactivación y crecimiento. En conse-cuencia, las variables económicas permanecen estables.

B- ( p q ) r

r

p . q )

D- p q . r )

( p s ) . ( p . s )

s ( p t )

q . r )

F- p q

p ( r s )

q t

t

B- 1) p ( q . r )

2) ( r q ) . s / p

3) (p)




7) de 6) por RR Ley de Morg.

8) de 5) R Simpl.


10) de 8) y 9) por R Conj.

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