unidad completa de algebra lineal isc

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA LINEAL

PROF. M.C JOSÈ

LUIS RUIZ MALDONADO

ACTIVIDAD 1. “NUMEROS COMPLEJOS

EQUIPO No. 6

GUILLERMO MORALES MALDONADO 11510163

SWITMY MAYUMI ALVAREZ RUIZ 11510226

HIPOLITO MAGDALENO DOMINGUEZ 11510154

CHRISTIAN GONZALO JIMENEZ ANCHEYTA 11510219

Aula Martes Miércoles Viernes

1


M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TAPACHULA, CHIAPAS; 30 DE AGOSTO DE 2011

ACTIVIDAD No. 1

EXAMEN DIAGNOSTICO

1.- Resolver Problemas

a) x2 + 4x + 12 = 0

Paso 1:

Se transpone el término independiente al miembro de la derecha.

x2 + 4x = - 12

Paso 2:

Se obtiene la mitad del coeficiente del término lineal y se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros para que esta no se altere.

x2 + 4x + ( 42

)2 = - 12 + ( 42

)2

x2 + 4x + (2)2 = - 12 + (2)2

Paso 3:

Se ha completado un trinomio cuadrado perfecto, el cual puede descomponerse en 2 factores.

(x + 2)2 = - 12 + 4

(x + 2)2 = - 8

Paso 4:

Se extrae raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad.

(x + 2)2 = - 8

2


(x + 2) = - 8

x = - 2 ± - 8

o bien

x1 = - 2 + - 8 x2 = - 2 - - 8

Paso 5:

Comprobación para x1 Comprobación para x2

(- 2 + - 8)2 + 4 (- 2 + - 8) + 12 = 0 (- 2 - - 8)2 + 4 (- 2 - - 8) +12 = 0

4 - 4- 8 - 8 - 8 + 4- 8 + 12 = 0 4 + 4- 8 - 8 - 8 - 4- 8 + 12 = 0

16 – 16 = 0 16 – 16 = 0 0 = 0 0 = 0

b) 2 x – y = -1 x +3 y = 10

Paso 1: Debemos decidir cual de las 2 literales igualamos. Escogemos la x de la 2da. Ecuación, para que tenga el mismo coeficiente que la de la primera, se multiplica por 2 y para que sea de signo contrario se multiplica por - 2.

2 x – y = -1 (- 2) x +3 y = 10

2x - y = - 1 -2x - 6y = - 20

-7y = - 21

y = −21−7

y = 3

Paso 2: Ahora este valor se sustituye en alguna de las 2 ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita. En este caso la primera.

2 x – y = -1

3


2x – 3 = -1

2x = -1 + 3

2x = 2

x = 22

x = 1

Paso 3: Sustituyendo los valores encontrados para las incógnitas en las 2 ecuaciones.

Comprobación en la ecuación 1 Comprobación en la ecuación 2

2 x – y = -1 x +3 y = 10

2(1) – 3 = -1 1 + 3(3) = 10

2 – 3 = -1 1 + 9 = 10

-1 = -1 10 = 10

c) x + y + z = 6 2x + y – z= 1

x – y + 4z = 11

Paso 1: Primero procedemos a calcular los determinantes D, x, y, z. Las determinantes se forman con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes de cada ecuación. (Regla de cramer).

1 1 1 1 1 (-)

D = 2 1 -1 2 1 = 4 – 1 – 2 – 1 – 1 – 8 = - 9

1 -1 4 1 -1 (+)

6 1 1 6 1 (-)

x = 1 1 -1 1 1 = 24 – 11 – 1 – 11 – 6 – 4 = 24 – 33 = −9−9

= 1

11 -1 4 11 -1 (+)

4


1 6 1 1 6 (-)

y = 2 1 -1 2 1 = 4 – 6 + 22 – 1 + 11 - 48 = 37 – 55 = −18−9

= 2

1 11 4 1 11 (+)

1 1 6 1 1 (-)

z = 2 1 1 2 1 = 11 + 1 – 12 – 6 + 1 – 22 = 13 - 40 = −27−9

= 3

1 -1 11 1 -1 (+)

Paso 2: Llegar a una identidad en la comprobación de las 3 ecuaciones, significa que el valor obtenido de nuestras incógnitas es correcto.

Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

x + y + z = 6 2x + y – z = 1 x – y + 4z = 11

1 + 2 + 3 = 6 2(1) + 2 – 3 = 1 1 – 2 + 4(3) = 11

6 = 6 4 – 3 = 1 -1 + 12 = 11

1 = 1 11 = 11

2.- ESCRIBIR CADA UNO DE LOS METODOS PARA RESOLVER

ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables por este método

se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Despejamos una de las variables de una de las ecuaciones.

PASO 2: La sustituimos en la otra ecuación y resolvemos para encontrar el valor

5


de la variable que corresponde.

PASO 3: Sustituimos dicho valor en la ecuación del Paso 1 y resolvemos para

obtener el valor de la otra variable.

PASO 4 : Comprobamos sustituyendo los valores en ambas ecuaciones.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables por este método

se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Despejamos una de las variables de ambas ecuaciones

PASO 2: Igualamos dichas ecuaciones y resolvemos para la variable que queda.

PASO 3: Sustituimos el valor de esta variable en alguna de las ecuaciones del

paso 1 y resolvemos para la otra variable.

PASO 4: Comprobamos la solución sustituyendo los valores de ambas

ecuaciones.

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables utilizando este

método, seguimos los siguientes pasos:

PASO 1: Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que ambas

ecuaciones tengan el coeficiente de una de las variables iguales excepto tal vez

por el signo.

PASO 2: Se suman o se retan las ecuaciones para eliminar esa variable.

PASO 3: Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

PASO 4: Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para

encontrar el valor de la otra variable. A este método también se le conoce como el

método de reducción.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO POR DETERMINANTE

MÉTODO DE DETERMINANTE

6


Para encontrar el valor de las incógnitas por el método de determinante se

sustituyen los términos independientes en la columna donde están las “x”

( Cuando se requiere conocer la “x”) y en el denominador se pone la matriz

original, lo mismo para calcular el valor de “y”.

METODO DE SARRUS

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas de 3 incógnitas con

determinantes se utiliza el método de Sarrus para utilizar los coeficientes, y este

nos indica que debemos agregar a la matriz las primeros 2 renglones. Para

resolver esta determinante se multiplica la diagonal principal por la diagonal

secundaria.

METODO DE KRAMER

Para el cálculo de los valores de cada una de las incógnitas del sistema de

ecuaciones simultáneas los elementos o coeficientes se acomodan de acuerdo a

La regla de Kramer, que nos indica que debemos de sustituir los términos

independientes por los coeficientes de la variable que se va a resolver, en el

denominador del determinante se pone la matriz original.

7


ALGEBRA LINEAL

PROF. M.C JOSÈ LUIS RUIZ MALDONADO

ACTIVIDAD 2. “INVESTIGAR Y/O ANALIZAR BIBLIOGRAFIAS DE ALGEBRA LINEAL

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


TAPACHULA, CHIAPAS; 13 DE SEPTIEMBRE DE 2011

ACTIVIDAD No. 2

8


INVESTIGAR Y/O ANALIZAR BIBLIOGRAFIAS DE LIBROS DE ALGEBRA LINEAL

LIBROS

9

Algebra linealSegunda ediciónStanley I. GrossmanGrupo editorial Iberoamericana

Introducción al algebra lineal Howard antonEditorial Limusa S. A.

Algebra linealQuinta ediciónStanley I. GrossmanEditorial Mc GrawHill

Algebra lineal IIFerran Puerta SalesEditorial UPC

Algebra linealSegunda ediciónSeymour LipschutzEditorial Mc GrawHill

Algebra lineal y teoría de las matricesI.N. Herstein David J. WinterGrupo editorial Iberoamericana

Algebra lineal y geometria cartesianaJuan de BurgosEditorial Mc GrawHill


FUENTES DE INFORMACION ELECTRONICO

Algebra Lineal:http://personal.us.es/meneses/algebra_lineal_08_09.pdf

10

http://personal.us.es/meneses/algebra_lineal_08_09.pdf


Algebra Lineal:http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf

Sistemas lineales, matrices y vectores:

http://www.youtube.com/watch?v=W6_ZucLU5LA

11

http://www.youtube.com/watch?v=W6_ZucLU5LA

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf


Algebra lineal:

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Algebra.html

Algebra lineal:

http://www.slideshare.net/tile/algebra-lineal-550443

12

http://www.slideshare.net/tile/algebra-lineal-550443

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Algebra.html


Algebra lineal:

http://www.youtube.com/watch?v=lMDg20BoNW0

13


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 3. INVESTIGAR HISTORIA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS, FORMAS Y POTENCIAS DE “I”. PROPIERDADES CICLICAS DE “I”

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No.3

INVESTIGAR HISTORIA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS, FORMAS Y POTENCIAS DE “I” Y PROPIEDADES CICLICAS DE “I”

14


Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables".

Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo (Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas.

Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., un sistema de numeración útil.

Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.

Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones.Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4 , etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 2 entre 19 de la siguiente manera:

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador.Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción. Creyeron

15


que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas.

Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente. La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india.

Hasta entonces, en Europa se habían evitado los números negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos eran denominados numeri absurdi.

Se debió esperar hasta el siglo XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un número negativo aislado en la ecuación4x = -2Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como

16


x2 - 2x + 5 = O

Y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocian. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.

Gerolamo Cardano

17


Matemático (1501 Pavía, ducado de Milán, 1576 Roma, actual Italia)

Cardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Su padre era abogado en Milán, pero su experiencia en Matemática hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de Geometría. Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia. Con más de cincuenta años, conoció a Chiara Micheria, una viuda treintañera, que luchaba por criar 3 hijos. Chaira quedó embarazada de Fazio, con quien se casó años después.

Cardano comenzó como asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera. Aunque su padre quería que estudiara derecho, Cardano ingresé a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra. Cardano se graduó de médico en 1525.Malgastó lo que recibió de su padre y se dedicó al juego para mejorar sus finanzas (dados, cartas, ajedrez), del cual hizo un medio de vida ya que habitualmente era más lo que ganaba que lo que perdía. En este ambiente estuvo rodeado de gente de dudosa reputación. El juego se convirtió en una adicción que te duró muchos años y te hizo perder mucho tiempo valioso, dinero y reputación.

Una vez acabados sus estudios intentó ejercer medicina en su Milán natal, pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el colegio de médicos. Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvió al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empeñar las joyas de su esposa Lucía, con quien se había casado en 1531.

18


Buscando desesperadamente un cambio en su suerte, se mudó a Milán, pero te fue peor y entró en la pobreza. En 1539, Cardano publicó sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, además de Matemática. Cardano fue un ardiente astrólogo, llevaba amuletos y predecía el futuro durante las tormentas. También escribió sobre el juego.

Ese mismo año Cardano se acercó a Tartaglia, que se había hecho famoso por ganar un duelo matemático resolviendo ecuaciones de tercer grado, y trató de que te explicara el método. Tartaglia aceptó con la promesa bajo juramento de Cardano de que no iba a publicarlo hasta que el mismo Tartaglia lo publicara. Durante los siguientes 6 años Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado sin ningún resultado. Entre 1540 y 1542, Cardano se dedicó al juego de nuevo. En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hoy día sabemos que los resultados publicados y muchas de las ideas contenidos no eran suyos.

Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x, es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.

A sus 50 años era un médico famoso y conocido. Entre sus pacientes estuvo el Arzobispo de Escocia. Se decía que padecía tuberculosis y Cardano dijo que la sabía curar, lo cual no era cierto. Viajó a Edimburgo y afortunadamente para el obispo, y también para Cardano, resultó que la enfermedad era asma. Cuando Cardano pasó por Londres en el viaje de vuelta, fue recibido por el joven rey Eduardo VI a quien hizo un horóscopo. Le predijo larga vida y un próspero futuro, lo cual le puso en una situación incómoda cuando el chico murió poco después.

Aunque, en varias ocasiones, Cardano había sido profesor de matemáticas de las universidades de Milán, Pavia y Bolonia, teniendo que dimitir de todas ellas por algún escándalo. Al regresar de Escocia era un importante profesor de Medicina en la Universidad de Pavia y con muchos pacientes adinerados, se transformó en un hombre rico y afortunado. En 1546, murió su mujer Lucía y se transformó en rector del Colegio de Médicos de Milán, al cual tanto te costó ingresar. Su mujer

19


murió a la edad de 31 años, dejando a Cardano con dos hijos y una hija. De ellos, el mayor, Giambattista estudió medicina y parecía tener un brillante porvenir.

Giambattista se casó y su mujer tuvo tres hijos, ninguno de los cuales resultó ser de su marido. Parece ser que por ello Giambattista le preparó un pastel con arsénico y ella murió. Giambatista fue encarcelado, torturado y finalmente ejecutado el 13 de abril de 1560, ya que Cardano no pudo pagar la suma de dinero que te exigían para salvar a su hijo.Todo esto afectó mucho a Cardano. Con su otro hijo tampoco tampoco tuvo consuelo, fue un criminal y estuvo en prisión muchas veces por ello. En 1562 abandonó Milán, la ciudad de sus triunfos y tragedias, siendo profesor de medicina en la universidad de Bolonia.

Enfermo, en 1565 Ferrari regresa a Bolonia para enseñar Matemática. Allí es envenenado con arsénico por su propia hermana. En 1570 fue encarcelado por herejía por realizar el horóscopo de Jesús y por escribir el libro "En homenaje a Nerón", el odiado emperador anticristiano. Sorprendentemente, salió de prisión poco después y se trasladó a Roma como astrólogo de la corte papal.

También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovechó su experiencia como jugador y una autobiografía extremadamente franca, De propria vita, que adquirió cierta fama. Hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el día de su muerte, el 20 de septiembre de 1576, y que se suicidó para hacer correcta la predicción.

Pero Cardano ha pasado a la historia porque se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuántica, publicándolos antes que ellos.

Raffaele Bombelli

20


(Bolonia, c. 1530- id., 1572) Matemático italiano. En su obra se encuentran interesantes contribuciones a las ecuaciones bicuadradas, a la teoría de los números y al paso progresivo del álgebra geométrica a la geometría analítica.Rafael Bombelli nació en enero de 1526 en Bolonia (Italia). Era uno de los seis hijos de Antonio Mazzoli que cambió su apellido por el de Bombelli. La familia Mazzoli era una noble y rica familia a la que le habían sido confiscadas todas sus propiedades, debido al apoyo que había dado a la familia Bentivoglio en sus disputas con el Papa Julio II. Fue Antonio, padre de Rafael, el que logró recuperar sus propiedades y pudo volver a Bolonia.

Rafael Bombelli no recibió una educación universitaria, sino que adquirió su formación con el ingeniero y arquitecto Pier Francesco Clementi. El propio Bombelli eligió la profesión de ingeniero y arquitecto, trabajando para Rufini, un noble romano que llegaría a obispo de Melfi. No se sabe exactamente como adquirió Bombelli su interés por las matemáticas, probablemente el motivo fue que vivía en la región de Italia donde se desarrollaban los desafíos matemáticos entre Cardano, Tartaglia y otros, con el fin de resolver ecuaciones.

Su patrón Alejandro Rufini le encargó un proyecto para desecar las marismas del valle de Chiana. Aunque este trabajo no llegó a terminarse, Bombelli con su proyecto adquirió una gran reputación en ingeniería hidráulica. En 1561 Bombelli va a Roma a reparar el puente de Santa María sobre el Tíber. A pesar del fracaso del puente su fama como ingeniero no sufrió ninguna merma.

En una de sus visitas a Roma, Bombelli hizo un gran descubrimiento matemático. Antonio María Pazzi, profesor de matemáticas en la universidad de Roma, le enseñó a Bombelli un manuscrito de la Aritmética de Diofanto y los dos decidieron

21


hacer conjuntamente una traducción del mismo. A pesar de que nunca llegaron a completar la traducción, Bombelli, a la luz del texto de Diofanto comenzó a revisar sus conocimientos de álgebra. De hecho, en su libro III, 143 de los 272 problemas que aparecen son originales de Diofanto, hecho que el propio Bombelli reconocía. La obra de Bombelli titulada "Álgebra" está dividida en cinco libros. Los tres primeros fueron publicados en 1572, y anunciaba que los libros IV y V, dedicados a la geometría, aparecerían seguidamente. Desgraciadamente Bombelli nunca llegó a publicar estos volúmenes porque la muerte se lo impidió. Murió en 1573, probablemente en Roma.

En 1923, un manuscrito de Bombelli fue descubierto en una biblioteca de Bolonia. Además de una versión manuscrita de los tres libros ya publicados, había un manuscrito inconcluso de los otros dos libros. La geometría incompleta de Bombelli fue publicada en 1929, y en ella se aprecia una influencia de los procedimientos geométricos de Omar Khayyam.En el Álgebra de Bombelli se dan las reglas de los signos, que aún hoy dan tantos problemas a los estudiantes, para operar con números positivos y negativos. Además fue el primero que escribió las reglas para la suma, resta y multiplicación de los números complejos. Además demostró que usando el cálculo de los números complejos podían resolverse ecuaciones. Bombelli usó una notación muy sofisticada para su tiempo. Es justo reconocer a Bombelli como el inventor de los números complejos y su Algebra tuvo una influencia capital en Leibniz.

Bombelli, un ingeniero, hizo un uso práctico de los números complejos porque dichos números le daban resultados útiles. El Álgebra de Bombelli es uno de los más importantes trabajos matemáticos del siglo XVI, y fue el único que dio importancia a los números complejos cuándo aún nadie se la daba.

22


POTENCIAS DE i

En cuanto a potencias de i (la unidad imaginaria de un número complejo), se tienen 4

potencias conocidas como básicas, ya que en ellas nos basaremos para sacar otras

potencias más grandes.

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en

cuatro.

Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4,

y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

22÷4=5, y el resto es 2

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

i27 = −i

23


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 4. SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 4

SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

24


Z1+Z2= (a1+a2) + (b1+b2)i

Ejemplo:

Z1=3+2i con z2=-8+4i

Z1+Z2= (3-8) + (2+4)i

Z1+Z2=-5+6i

NOTA: para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes

correspondientes.

RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

Z-W= (a-c)+ (b-d) i

Ejemplo:

Z=4+7i y w=2+3i

Z-W= (4-2) + (7-3) i

Z-W=2+4i

NOTA: para restar números complejos se restan sus componentes correspondientes.

PROPIEDADES

1. Propiedad de cierre para la suma: si Z y W son números complejos, entonces

tanto Z+W como z-W son números complejos.

2. Propiedad asociativa: si Z, W y U son números complejos.

25


Z +(W+U)= (Z+W) + U

3. Propiedad conmutativa: si Z y U son números complejos.

Z+U= U+Z

4. Propiedad del elemento neutro: El numeró complejo, 0=0+0i es el elemento

neutro para la suma.

En efecto si, Z=a+bi es cualquier número complejo, se tiene:

Z+0= (a+bi) + (0+0i)= (a+0) (b+0) i= Z

De la misma manera se puede probar que 0+Z=Z

5. Propiedad del opuesto: si Z=a+bi es un numero complejo, el opuesto de esta

es –Z=-a-bi, el cual es el otro número complejo, siendo:

Z+ (-Z) = (-Z) + Z=0

Usando todas las propiedades es posible calcular expresiones complicadas en

la que aparezcan sumas y restas de números complejos.

Ejemplo- calcule el valor de Z donde:

Z= (5+2i) + [(10-8i) + [(6+3i) – (7+2i)]]

Z= (5+2i) + [(10-8i) + (-1+i)]

Z= (5+2i) + (9-7i)

Z= 14-5i

26


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 5. EJERCICIOS

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 5

EJERCICIOS

Z1 = 2 – 3i

Z2 = - 1 + 5i

Z3 = 2i

Z4 = - 7

27


A) Z1 + 2Z2 = (2- 3i) + 2(-1 + 5i)

= 2 -3i – 2 + 10i

= 7i

B) (1+ i)(z1) = (1 + i) (2 + 3i)

= 2 + 3i + 2i + 3i2

= 2 + 5i + 3(- 1)

= 2 + 5i -3

= - 1+ 5i

C) Z3 * Z4 = (2i) (-7) = - 14i

D) (z1) (z3) = (2 + 3i) (- 2i)

= - 4i – 6i2

= -4i – 6(-1)

= - 4i + 6

= 6 – 4i

E) (z2)2= (-1+5i)2

=1-10i + 25i2

=1-10i + 25(-1) =1-10i-25

=-24-10i = -(24 +10i)

F) (z1)3= (2-3i)3

28


(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

=23-3(2)2(3i) + 3(2) (3i)2 - (3i)3

=8-36i +54i2-27i (i)

=8- 36i + 54(-1) – 27 (-1)i

=8 – 36i -54 + 27i

=-46-9i

G) 1/z2= 1/-1+5i *-1-5i/-1-5i

= -1-5i / (-1)2-(-5i)2

=-1-5i/1-25i2

= -1-5i/1-25(-1)

= -1-5i/1 + 25

= -1-5i/26

= -1/26 – 5/26i

H) z1/z3 = 2 – 3i/2i *-2i/ -2i

= -4i +6i/ 4i2

=-4i +6(-1)/ -4(-1)

= -4i + 6/4

= -4i/4 -6/4

=-i -3/2

29


=- 3/2 – i

____

I) Z1*Z3 = (2- 3i)(2i)= 4i – 6 i2

= 4i – 6(-1)

= 6 + 4i

= 6- 4i

J) Z1 = √ (2)2 – (3i)2

= √4 – 9i2

= √ 4 – 9(-1) = 4 + 9

=√ 13

K) i * Z2 = i(-1 – 5i) = -i – 5i2 = √ (- i)2 – (5i2)2

= √i2 – 25i4

= √-1 -25 (-1) (-1)

= √-26

= √26i

30


L) Z1*Z2*Z3*Z4 = 2 – 3i* -1 + 5i

=- 2 +13i - 15i2 (2i)

= 4i + 26i2 – 30i3 (-7)

= 28i – 182i2 + 210 i3

= 28 i – 182(-1) + 210 (-1)i

= 28i +182 -210i

= 182 – 182i

ALGEBRA LINEAL

31



ACTIVIDAD 6. RESOLVER EJERCICIOS CON EL TEOREMA DE MOIVRE

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 6

RESOLVER EJERCICIOS CON EL TEOREMA DE MOIVRE

a) Z=1=i; r= √2; ϴ=π/4=450

Z2= [√2 (cos π/4 + i sen π/4)] 2

Z2= √2 (cos π/2 + i sen π/2)

Z2= √2 (0 + i.1)

Z2= 0 + √2i

Z2= √2i

32


Z3= [√2 (cos π/4 + i sen π/4)] 3

Z3= √23 (cos(3) π/4 + I sen (3) π/4)

Z3= 2 √2 (-√2/2 + I √2/2)

Z3= -2 + 2i

b) Z= ½ + √3/2i

r= 1; ϴ= π/3= 600

k= 0, 1,2,3,4

Z5= cos (5) π/3 + i sen (5) π/3

Z0= 5√1 [cos ϴ+2(0) π + i sen ϴ+2(0) π]

5 5

Z0= 5√1 [cos π/3+2 (0) π + i sen π/3+2 (0) π]

5 5

Z0= 5√1 [cos π/15 + I sen π/15]

Z0= 5√1 [0.9781 + i.0.2079]

Z0= 0.978147 + 0.2079i

Z1= 5√1 [cos π/3 + 2(1) π + i sen π/3 + 2(1) π]

5 5

Z1= 5√1 [cos 7/3 π + i sen 7/3 π]

Z1= ½ + √3/2i

Z2= 5√1 [cos π/3 + 2(2) π + i sen π/3 + 2(2) π] 2

5

Z2= 5√1 [cos 13/5 π + i sen 13/5 π]

Z2= 5√1 [-0.9135 + i 0.4062]

Z2= -0.9135 + 0.4067i

Z3= 5√1 [cos π/3 + 2(3) n + i sen π/3]

5 5

Z3= 5√1 [cos 14/15 π + i sen 14/15 π]

33


Z3= -0.6691-0.7931i

Z4= 5√1 [cos π/3 + 2(4) π + i sen π/3 + 2(4) π]

5 5

Z4= 5√1 [cos 5/3 π + i sen 5/3 π]

Z4= 1/2- √3/2i

APLICAR LA FORMULA DE MOIVRE

a) (cos ϴ + i sen ϴ) 2= cos (2 ϴ) + i sen (2 ϴ)

= cos 2 ϴ + i sen ϴ

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Sen (2a) = (2 sen a cos a)

Cos (2a) = (cos2 a- sen2 a)

(Cos ϴ + (sen ϴ) 2 = cos2 ϴ- sen2 ϴ + c (2 sen ϴ cos ϴ)

a) [ 2 (cos π/3 + i sen π/3)]3= 23 [ cos (3(π/3)) + I sen (3 (π/3))]

3 [cos π + i sen π] = 8[(-1) + i (0)] = -8 + 0(i)

b) (cos ϴ + i sen ϴ)0 = cos 0 + i sen 0= 1+i(0)= 1

c) 4√16 cos π + 16 i sen π

Z= 16 cos π + 16i sen π= 16(-1) + 16(i.0) = -16 + 0.i

ǀZǀ= √ (-16)2 + (0)2= √256= 16

Z0= 4√16 [cos (π + 2(0) π) + i sen (π + (0) π)]

4 4

Z0= 2 [cos π/4 + i sen π/4]

Z1= 4√16 [cos (π + 2(1) π) + I sen (π + 2(1) π)

4 4

Z1= 2 [cos 3π/4 + i sen 3π/4]

34


Z2= 4√16 [cos (π + 2(2) π) + i sen (π + 2(2) π)]

4 4

Z2= 2 [cos 5π/4 + i sen 5π/4]

Z3= 4√16 [cos (π + 2(3) π) + i sen (π +2 (3) π)]

4 4

Z3= 2 [cos 7π/4 + i sen 7π/4]

TRANSFORMA A FORMA DE EXPONENCIAL

a) Z= ½ + √3/4

ǀZǀ= √ (1/2)2 + (√3/2)2= √1/4 + 3/4= √4/4= 1

ϴ= tg-1 (b/a) = tg-1 (√3/2) = tg-1 (√3) = 600= π/3

1/2

Z= ǀZǀ (cos ϴ + i sen ϴ) = (cos π/3 + i sen π/3)

Z= ei.π/3

b) Z= √2/2 + i √2/2

ǀZǀ= √ (√2/2) 2 + (√2/2) 2 = √2/4 + 2/4= √4/4= 1

ϴ= tg-1 (√2/2) = tg-1 (1) = 450= π/4

√2/2

Z= (cos π/4 + i sen π/4)

Z= ei.π/4

35


ALGEBRA LINEAL


36


ACTIVIDAD 7. APLICAR LA FORMULA DE MOIVRE

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 7

APLICAR LA FORMULA DE MOIVRE

TRANSFORMANDO A FORMA EXPONENCIAL

d e3+iπ/6= e3. eiπ/6

POTENCIA DE FOMA TRIGONOMETICA (FORMULA MOIVRE)

(a + bi)…Zm = (a + bi) m… poco practico

37


Z= r (cos m ϴ + i sen m ϴ)

Z m = rm (cos m ϴ + i sen m ϴ)… practica

m√Z= m√r (cos ϴ + 2kπ + i.sen ϴ +2kπ)6/k= 0, 1,2…(m-1)

m m

Ejemplo:

W2= 5√z

W= 5√r (cos ϴ + 2(0) π + i.sen ϴ +2(0) π) 5 5

W1= 5√r (cos ϴ + 2(1) π + i.sen ϴ +2(1)π) 5 5

W1= 5√r (cos ϴ + 2π + i.sen ϴ +2π) 5 5

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 8. 11 CONSEJOS DE BILL GATES

EQUIPO No. 6

38







M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 8

11 CONSEJOS DE BILL GATES

Regla # 1: la vida no es justa… acostúmbrate a ello.

Regla # 2: al mundo no le importa tu autoestima. El mundo espera que triunfes en algo antes de que puedas sentirte bien contigo mismo.

Regla # 3: No ganarás $60 mil dólares al mes justo después de graduarte. Tampoco serás un vicepresidente con un teléfono móvil hasta que consigas ambas cosas.

Regla # 4: Si crees que tu maestro es rudo espera a que conozcas a tu futuro jefe.

Regla # 5: Trabajar en un lugar de hamburguesas no atenta contra tu dignidad. Tus abuelos tenían otra forma de llamar a este tipo de actividades: oportunidades.

Regla # 6: Si te equivocas no culpes a tus padres, asume tu responsabilidad y aprende de los errores.

Regla # 7: Antes de que tú nacieras tus padres no eran tan aburridos como lo son ahora. Se volvieron así porque tienen que pagar tus cuentas, limpiar tu ropa, y escucharte hablar de lo cool que crees ser. Así que antes de salvar el bosque de manos de los parásitos nacidos en la generación de tus padres, trata de limpiar por ti mismo tu propio armario.

39


Regla # 8: En tu escuela quizá la gente ya no esta separada en ganadores y perdedores, pero en la vida real aún se mantiene esta distinción.

Regla # 9: La vida no esta dividida en semestres. No existen las vacaciones de verano y pocos empleadores están interesados en ayudarte a encontrarte a ti mismo. Para eso utiliza tu propio tiempo extra laboral.

Regla # 10: La televisión no es como la vida real. En la vida real la gente de hecho no vive en cafeterías conviviendo con sus amigos, tienen que ir a trabajar.

Regla # 11: Se amable con los nerds, probablemente termines trabajando para uno de ellos.

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 9. INVESTIGACION SOBRE EL TEOREMA DEL RESIDUO. TEOREMA DEL FACTOR Y TEOREMA DEL ALGEBRA

EQUIPO No. 6



40





M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 9

INVESTIGACION SOBRE EL TEOREMA DEL RESIDUO, TEOREMA DEL FACTOR Y TEOREMA DEL ALGEBRA

TEOREMA DEL RESIDUO

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4.

Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).

El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:

f(x) = (x-1)(x+2)

Como se muestra, (x-1) es un factor.

41


TEOREMA DEL FACTOR

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f(k) = 0.

Ejemplo

Si se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2, para ello se podría tantear un primer factor, (x − a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es (x − 1) un factor? Para saberlo, se sustituye x = 1 en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no 0), (x − 1) no es un factor de x3 + 7x2 + 8x + 2. Así que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = − 1 en el polinomio):

.

Que da como resultado 0. Por tanto, x − ( − 1), que es equivalente a x + 1, es un factor, y -1 es una raíz de x3 + 7x2 + 8x + 2.

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo x3 + 7x2 + 8x + 2 entre (x + 1) para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de nuevo por el teorema del factor, o directamente con la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

TEOREMA DEL ALGEBRA

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces1 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p (z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

42


Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n

polinomios de la forma .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).2 Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 10. INVESTIGACION DE MATEMATICOS QUE DESARROLLARON EL ALGEBRA LINEAL

EQUIPO No. 6




43




M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 10

INVESTIGACIÒN DE MATEMATICOS QUE DESARROLLARON EL ALGEBRA LINEAL

HERON DE ALEJANDRIA

(En griego: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς ) (ca. 10–70 d. C.) fue un ingeniero y matemático helenístico, que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto); ejerció de ingeniero en su ciudad natal, Alejandría. Este griego es considerado uno de los cientí-ficos e inventores más grandes de la antigüedad[] y su trabajo es representativo de la tradición científica helenista.

Su mayor logro fue la invención de la primera máquina de vapor, conocida como eolí-pila, y la Fuente de Herón. Es autor de numerosos tratados de mecánica, como La neumática donde estudia la hidráulica, y Los autómatas el primer libro de robótica de la historia. En La dioptra describe el funcionamiento de este aparato, similar al actual teodolito, usado en observaciones terrestres y astronómicas durante siglos. También en este libro describe el odómetro, utilizado para medir distancias recorridas por un viandante (o un vehículo).

44

http://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Grecia

http://es.wikipedia.org/wiki/Egipto_(provincia_romana)

http://es.wikipedia.org/wiki/Alejandr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego


Describió, aunque de forma arcaica, la ley de acción-reacción de Isaac Newton, expe-rimentando con vapor de agua. Generalizó el principio de la palanca de Arquímedes. Además, realizó una descripción detallada del hýdraulis de Ctesibio (un órgano que funcionaba con agua).

En óptica, propuso en su Catóptrico que la luz viaja siguiendo el camino geométrica-mente más corto.

Herón escribió numerosos libros y tratados en diversas áreas, como la mecánica en el que encontramos sus tratados sobre neumática y autómatas. Sobre la óptica tiene un libro titulado Catóptrico.

Trabajo como matemático

Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático, tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más acierto que cualquier otro de su época.Como matemático, escribió La Métrica, obra donde estudia las áreas y volúmenes de diversas superficies y cuerpos. Desarrolló también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones.

Fórmula de Herón

Su logro más destacado en el campo de la geometría es la denominada fórmula de Herón, donde establece la relación entre el área de un triángulo y la longitud de sus lados:

«En un triángulo de lados a, b, c, y semiperímetro s=(a+b+c)/2, su área es igual a la raíz cuadrada de s(s-a)(s-b)(s-c).»

DIOFANTO

45

http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica


(griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Dióphantos ho Alexandreús), nacido alre-dedor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra".

Resolvió problemas con ecuaciones algebraicas e inventó un formulismo particular.

Su principal obra es la "Arithmetica", dedicada casi exclusivamente a la resolución

exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, de forma que la rama del análi-

sis que se dedica a esta tarea, se conoce hoy en día como análisis diofántico.

La obra más conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130 problemas,

distribuidos en 13 libros, de los que sólo se conservan 6. La mayoría de los problemas

son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racio-

nal, pues en aquella época no tenían sentido los números negativos y mucho menos

los irracionales.

Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx = c

ax2 = bx + c

ax2 + c = bx

El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época

no existía el cero ni los números negativos.

Aritmética también trata sobre teoría de números. Parece ser que Diofanto sabía que

ningún número de la forma 4n + 3 o 4n - 1 puede obtenerse como la suma de dos

cuadrados, ni ningún número de la forma 24n + 7 puede obtenerse como la suma de

tres cuadrados.

Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abre-

viatura para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbó-

lica actual.

Aritmetica ha sido un libro muy influyente en el desarrollo de la matemática. La traduc-

ción más famosa es la de Bachet en 1621, que es la edición en que Fermat hizo su

célebre anotación.Su obra se caracteriza por su estilo analítico propio, único en toda

la literatura matemática antigua. Los escritos de Diofanto contribuyeron de manera es-

encial para el perfeccionamiento de la notación algebraica, a la vez que abrieron nue-

46


vas perspectivas para el desarrollo del álgebra de la época. La obra de Diofanto sirvió

de base a tres importantes corrientes de la matemática posterior: la geometría analíti-

ca, el álgebra moderna y la teoría de números.

Se puede considerar a Diofanto como el fundador del Álgebra.

Diofanto escribió otros libros, como Porismas, que se ha perdido y otro Sobre núme-

ros poligonales que ha llegado hasta nuestros días. Otro trabajo titulado Preliminares

a los elementos de geometría, que se atribuía a Heron, se cree que pertenece a Dio-

fanto.

AL-JWARIZMI

Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, (حساب المقابلة و (الجبر nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es

considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración.

OBRAS

Álgebra

En su tratado de álgebra Al-Kitab al-mukhtaṣar fi hīsāb al-Gabr wa'l-muqābala (El Li-

bro Recopilatorio sobre el Cálculo por Compleción y Equilibrio), obra eminentemente

didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la

vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de Rosen de las pala-

bras de Al-Jwarizmi describiendo los fines de su libro, dan cuenta de lo que el sabio

pretendía enseñar:

47


Aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren cons-

tantemente en casos de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos

sus tratos con los demás, o cuando se trata de la mensura de tierras, la excavación

de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y tipos."

Traducido al latín por Gerardo de Cremona, se utilizó en las universidades europeas

como libro de texto hasta el siglo XVI. Es posible que antes de él se hubiesen resuelto

ecuaciones concretas, pero éste es el primer tratado conocido en el que se hace un

estudio exhaustivo.

Luego de presentar los números naturales, al-Jwarizmi aborda la cuestión principal en

la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o

cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejem-

plo, una unidad era un número, una raíz era x y un cuadrado x2. Aunque en los ejem-

plos que siguen usaremos la notación algebraica corriente en nuestros días para ayu-

dar al lector a entender las nociones, es de destacar que al-Juarizmi no empleaba

símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras.

Primero reduce una ecuación a alguna de las seis formas siguientes:

1. Cuadrados iguales a raíces.

2. Cuadrados iguales a números.

3. Raíces iguales a números.

4. Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo x2 + 10x = 39

5. Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo x2 + 21 = 10x

6. Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo 3x + 4 = x2

La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-jabr ("compleción", el

proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el

proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando aparecen a

ambos lados de la ecuación). Luego, al-Jwarizmi muestra como resolver los seis tipos

de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos. Por ejemplo,

para resolver la ecuación x2 + 10x = 39, escribe:

"Un cuadrado y diez raíces son iguales a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este

tipo de ecuación es aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con

diez de sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este tipo de

ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces en el proble-

ma que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas

48


por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraído

la raíz cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las raíces, 5, resul-

tando 3. Por lo tanto el número tres representa una raíz de este cuadrado."

Sigue la prueba geométrica por compleción del cuadrado, que no expondremos aquí. Señalaremos sin embargo que las pruebas geométricas que usa al-Jwarizmi son objeto de controversia entre los expertos. La cuestión, que permanece sin respuesta, es si estaba familiarizado con el trabajo de Euclides. Debe recordarse, en la juventud de al-Jwarizmi y durante el reinado de Harun al-Rashid, al-Hajjaj había traducido los Elementos de Euclides al árabe, y era uno de los compañeros de al-Jwarizmi en la Casa de la Sabiduría. Hay historiadores que opinan que el tratamiento de al-Jwarizmi fue probablemente inspirado en el reciente conocimiento de los Elementos. Otros, sin embargo, sostienen que los Elementos le eran completamente desconocidos. Continúa el Hisab al-jabr w'al-muqabala examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como (a + bx)(c + dx). La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.

Aritmética

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente Kitab al Yamaa ua al Tafriq

bi Hisab al Hindi, ( الهند بحساب التفريق و الجامع ,libro de la suma y de la resta" ,(كتاب

según el cálculo indio", sólo conservamos una versión latina del siglo XII, Algoritmi de

numero Indorum. Desafortunadamente, se sabe que la obra, traducida al inglés, se

aparta bastante del texto original. En esta obra se describe con detalle el sistema in-

dio de numeración posicional en base 10 y métodos para hacer cálculos con él. Se

sabe que había un método para encontrar raíces cuadradas en la versión árabe, pero

no aparece en la versión latina. Posiblemente fue el primero en utilizar el cero como

indicador posicional. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración

en el mundo árabe y posteriormente en Europa.

Astronomía

De su tratado sobre astronomía, Sindhind zij, también se han perdido las dos versio-

nes que escribió en árabe. Esta obra se basa en trabajos astronómicos indios a dife-

rencia de manuales islámicos de astronomía posteriores, que utilizaron los modelos

49

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Euclides

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Euclides


planetarios griegos del `Almagesto' de Ptolomeo. El texto indio en que se basa el tra-

tado es uno de los obsequiados a la corte de Bagdad alrededor de 770 por una misión

diplomática de la India. En el siglo X, Maslama al-Majriti realizó una revisión crítica de

la versión más corta, que fue traducida al latín por Adelardo de Bath; existe también

una traducción latina de la versión más larga, y ambas traducciones han llegado hasta

nuestro tiempo. Los temas principales cubiertos en la obra son los calendarios; el cál-

culo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas; tablas de senos y

tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralajes y eclipses; y

visibilidad de la Luna.

Geografía

En Geografía, con una obra denominada Kitab Surat-al-Ard, revisó y corrigió a Ptolo-

meo en lo referente a África y al Oriente. Lista latitudes y longitudes de 2402 sitios, y

emplaza ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos, como base

para un mapa del mundo entonces conocido. Incluye mapas que, en conjunto, son

más precisos que los de Ptolomeo. Esta claro que donde hubo mayor conocimiento

local disponible para al-Jwarizmi, como las regiones del Islam, África y el Lejano

Oriente, el trabajo es mucho más exacto que el de Ptolomeo, pero parece haber usa-

do los datos de éste para Europa. Se dice que en estos mapas trabajaron a sus órde-

nes setenta geógrafos.

Otras obras

Su obra conocida se completa con una serie de obras menores sobre temas como el

astrolabio, sobre el que escribió dos textos, sobre relojes solares y sobre el calendario

judío. También escribió una historia política conteniendo horóscopos de personajes

prominentes.

OMAR JAYYAM

50


(c. 18 de mayo de 1048 - c. 4 de diciembre de 1131). Matemático, astrónomo y poeta

persa, nacido en Nishapur.

Realizó relevantes investigaciones en astronomía, que abarcaron la compilación de

tablas astronómicas y particularmente, la corrección del antiguo calendario Zaratus-

trano, que los persas habían conservado debido a su exactitud, a pesar de que la cul-

tura islámica imponía a todas las naciones conquistadas su calendario lunar. Las in-

vestigaciones realizadas, le permitieron calcular el error del calendario persa que te-

nía un año de 365 días exactos. Para el nuevo calendario, que se llamó Yalalí, (por

orden de Malek Shah, que también se llamaba Yalaledín) Jayam calculó la duración

del año con una exactitud pasmosa. Su error es de un día en 3770 años, menor aún

que el del calendario gregoriano (de un día en 3330 años), que se comenzaría a em-

plear en Europa a partir del 15 de octubre de 1582. Fue formalmente inaugurado el 15

de marzo de 1079, y es el calendario empleado todavía hoy por los Persas. Jayam no

pudo terminar las tablas astronómicas a causa de las muertes de Nezam-el-Molk, y en

el mismo año, 1092 DC, la del sultán Malek Shah.

Hizo su peregrinación a La Meca, según la costumbre musulmana en el 1092 DC. A su regreso a Neishabur, permaneció vinculado a la corte donde se desempeñó como historiador y juez, y dio clases de disciplinas como matemáticas, astronomía, historia, medicina y filosofía. Lamentablemente, su obra científica sólo nos llegó en parte. Son extraordinarias: la Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo, de la geometría de Euclides, la Tesis sobre demostraciones de álgebra y comparación escrita en árabe (traducida por Woepecke en 1851), y el Tratado sobre la exactitud del sistema indio para calcular raíces de ecuaciones referido a ecuaciones de segun-do y tercer grado, Los problemas en aritmética y cálculo, la Descripción de las tablas astronómicas de Malek Shah, el ensayo Luz de la Razón sobre la ciencia en general, y la Disertación sobre ciencias naturales. Existen unos ocho trabajos más, sobre físi-ca, economía, historia, filosofía, metafísica y tradiciones.

En su Tesis sobre demostraciones de álgebra y comparación desarrolla el primer pro-cedimiento de solución de las ecuaciones cuadráticas y cúbicas a partir de las seccio-nes cónicas, que permite encontrarles una raíz positiva, y asimismo logra demostrar que tienen al menos una segunda raíz. Su afirmación de que no se puede hallar las raíces de las ecuaciones de tercer grado mediante regla y compás, no pudo ser de-mostrada hasta 750 años después, y la teoría de las ecuaciones de tercer grado, se desarrolló recién en el siglo XVII, con Descartes.

Fue el primero que describió el desarrollo de la potencia de un binomio con exponente natural, y estableció, por primera vez en la historia de las matemáticas, la idea de que las fracciones podrían constituir un campo numérico con propiedades más amplias que el campo de los números naturales, único conocido entonces, y que databa des-

51

http://es.wikipedia.org/wiki/Nishapur

http://es.wikipedia.org/wiki/Persia

http://es.wikipedia.org/wiki/1131

http://es.wikipedia.org/wiki/4_de_diciembre

http://es.wikipedia.org/wiki/Circa


http://es.wikipedia.org/wiki/18_de_mayo

http://es.wikipedia.org/wiki/Circa


de los griegos. Estos conceptos teóricos se contaron entre las matemáticas de punta durante todo el renacimiento europeo. La crónica de Nezam-el-Molk, destaca a Jayam como insuperable astrónomo. Pero sus aportes a las matemáticas, que entonces no se comprendieron en toda su trascendencia, aventajan notoriamente sus importantes logros en astronomía.

A pasar de las dificultades de la época en la que vivía, escribió numerosos trabajos, entre los que se incluye "Problemas de Aritmética", que es un libro de música y otro de álgebra y todo esto antes de cumplir sus 25 años.

En 1070 escribió su famoso trabajo de álgebra, Tratado sobre demostraciones de pro-blemas de álgebra, el cual contiene una completa clasificación de ecuaciones cúbicas resueltas geométricamente, mediante la intersección de secciones cónicas. Y es que intentó clasificar ecuaciones cuadráticas con éxito, aunque no pudo encontrar la solu-ción para todas las ecuaciones cúbicas, a pesar de estar seguro de que era posible hacerlo, ya que en algunos casos halló soluciones geométricas.

Malek Shah, nieto del fundador de la dinastía selyúcida, llamó a Omar Jayam para que se trasladase a Isfahán para instalar un observatorio. Omar dirigió este conserva-torio durante 18 años, convirtiéndose en un centro de investigación excepcional. En este lugar se elaboraron tablas astronómicas y se contribuyó a la reforma del calenda-rio, ya que las investigaciones llevadas a cabo le permitieron calcular el error del ca-lendario persa, el cual tenía 365 días exactos y debemos de tener en cuenta que a fi -nales del S.XIX eran 365,242196 días y en la actualidad la duración que se da del año es de 365,242190. Este calendario hoy día es el empleado por los persas. En 1092 se produce la muerte de Malek Shah y se abandona la financiación del observatorio, por lo que la reforma del calendario es abandonada y las tablas astronómicas no pueden ser llevadas a cabo, es decir, acabadas por Omar y es que él mismo sufrió los ata-ques de los ortodoxos musulmanes al interrumpirse el período de paz tras la muerte de Malek Shah.

Investigó las ecuaciones y a él se debe el que la incógnita de las mismas se llame x: Jayam la llamaba shay ("cosa" o "algo", en árabe). El término pasó a xay en caste-llano, y de ahí quedó sólo la inicial x.

LEONARDO FIBONACCI

52


(c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utiliza-do, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

Liber Abaci (Libro del Ábaco). Escrito en 1202, revisado y considerablemente aumentado en 1228, se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones graduales, de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas in-troducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se pre-sentan a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numerado-

res unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción , que no se descompone. Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda, como en las lenguas semíticas.

Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente.

Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geo-metricam pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relati-vas al número y a la geometría) Comprende quince problemas de análisis de-terminado e indeterminado de primer grado. Dos de esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II.

Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólo-go de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de la edi-ción de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométrico-algebraico. Trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y los otros dos sobre los restantes de éste. Lo reduce a una ecua-ción de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentá-gono en el sistema sexagesimal .

Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas no consisten en una recopilación sistemática de las pro-piedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro, un matemático de la corte de Federico II.

53


CARL FRIEDERCH GAUSS

(30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

OBRAS

1799: Disertación sobre el teorema fundamental del álgebra, con el título: De-monstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem inte-gram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse ("Nuevas pruebas del teorema donde cada función integral algebraica de una variable puede resolverse en factores reales [i.e. polinomiales] de primer o se-gundo grado")

1801: Disquisitiones Arithmeticae 1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambi-

entium (Theorie der Bewegung der Himmelskörper, die die Sonne in Kegelschnitten umkreisen), trad. al inglés × C. H. Davis, reempreso 1963, Dover, NY

1821, 1823 & 1826: Theoria combinationis observationum erroribus minimis ob-noxiae. Drei Abhandlungen betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung als Grundlage des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes. trad. al inglés × G. W. Stewart, 1987, Society for Industrial Mathematics.

1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Soci-etatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99-146. "General Investigations of Curved Surfaces" (published 1965) Raven Press, New York, trad. × A.M.Hiltebeitel & J.C.Morehead.

1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Ab-handlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Zweiter Band, pp. 3-46

1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Dritter Band, pp. 3-44

54

http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN250442582_0003




http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR1255

http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN35283028X_0006_2NS

http://books.google.com/books?id=ORUOAAAAQAAJ&dq=Theoria+Motus+Corporum+Coelestium+in+sectionibus+conicis+solem+ambientium&source=gbs_summary_s&cad=0

http://books.google.com/books?id=ORUOAAAAQAAJ&dq=Theoria+Motus+Corporum+Coelestium+in+sectionibus+conicis+solem+ambientium&source=gbs_summary_s&cad=0

http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235993352

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Doctorado

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnetismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros

http://es.wikipedia.org/wiki/Alemania

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Astr%C3%B3nomo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6ttingen


http://es.wikipedia.org/wiki/23_de_febrero

http://es.wikipedia.org/wiki/Brunswick


http://es.wikipedia.org/wiki/30_de_abril


Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Ver-lag 2005, mit Anmerkungen von Neumamn, ISBN 978-3-8171-3402-1 (es gibt auch engl. Übers. mit Anmerkungen von Jeremy Gray, Expositiones Math. 1984)

Obras colectivas de Gauss online, traducciones al alemán del texto en latín y comentarios de varias autoridades.

HERMANN GRASSMANN

(Stettin, 15 de abril de 1809 - 26 de septiembre de 1877) fue un lingüista y matemático alemán. También fue físico, humanista, erudito y editor.

En la primavera de 1832 obtuvo una plaza de profesor ayudante en el Instituto de Ste-ttin.

Fue sobre esta época cuando realizó sus dos primeros descubrimientos matemáticos significativos, que estaban destinados a llevarlo a las importantes ideas que desarro-llaría años después. En la premisa de su Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Teoría de la extensión lineal, una nueva rama de las matemá-ticas – 1844), Grassmann describe cómo había ido llegando a estas ideas ya alrede-dor del año 1832.

Entre los muchos temas que abordó Grassmann está su ensayo sobre la teoría de las mareas. Lo elaboró en 1840, tomando como base la teoría de la Méchanique analyti-que de Lagrange y de la Méchanique céleste de Laplace, pero exponiendo esta teoría por métodos vectoriales, sobre los que trabajaba desde 1832. Este ensayo, publicado por primera en los Collected Works de 1894-1911, contiene el primer testimonio escri-to de lo que hoy se conoce como álgebra lineal y la noción de espacio vectorial. Gra-

55

http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D38910.html

http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D38910.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9783817134021


ssmann desarrolló estos métodos en Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik y Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet.

En 1844, Grassmann publica su obra maestra, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, más conocido como Ausdehnungslehre, que se puede traducir como "teoría de la extensión" o "teoría de las magnitudes extensivas". Des-pués de proponer en Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, el trabajo empieza con definiciones de naturaleza más bien filosófica. Grassmann de-mostró además que si la geometría se hubiese expresado en forma algebraica como él proponía, el número tres no hubiese desempeñado el papel privilegiado que tiene como número que expresa la dimensiones espaciales; de hecho, el número de posi-bles dimensiones de interés para la geometría es ilimitado.

Desarrollando una idea de su padre, Grassmann definió también en Ausdehnungsleh-re el producto exterior, llamado también "producto combinatorio" (en alemán: äußeres Produkt o kombinatorisches Produkt), la operación clave en el álgebra que hoy se co-noce como álgebra externa. (Conviene no olvidar que en los tiempos de Grassmann la única teoría axiomática disponible era la Geometría euclidiana, y que la noción ge-neral de álgebra abstracta aún no había sido definida.) En 1878, William Kingdon Cli-fford unió el álgebra externa con los cuaterniones de William Rowan Hamilton, sustitu-yendo la regla de Grassmann epep = 0 por epep = 1. Para mayor detalle véase álgebra externa.

El Ausdehnungslehre fue un texto revolucionario, muy avanzado en su época como para poder ser apreciado. Grassmann lo expuso como tesis doctoral, pero Möbius no se consideró capaz de valoralrlo y se lo remitió a Ernst Kummer, que lo rechazó sin haber llevado a cabo una lectura atenta. En los 10 años siguientes, Grassmann escri-bió una serie de trabajos aplicando su teoría de la extensión, incluyendo una Neue Theorie der Elektrodynamik de 1845, y diversos trabajos sobre curvas y superficies alegbraicas, con la esperanza de que estas aplicaciones movieran a los demás a to-mar más en serio su teoría.

En 1846, Möbius invitó a Grassmann a una competición para resolver un problema originalmente planteado por Leibniz: idear un cálculo geométrico privado de coordena-das y propiedades métricas. Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfun-dene geometrische Charakteristik de Grassmann, fue la idea ganadora. Hay que decir sin embargo que el resultado de Grassmann fue el único presentado. De cualquier manera, Möbius, que era uno de los miembros del jurado, criticó el modo en que Gra-ssmann introdujo la noción abstracta sin proporcionar al lector intuición alguna sobre la validez de estas nociones.

En 1853, Grassmann publicó una teoría sobre el modo en que se mezclan los colores; ésta y sus tres leyes de los colores siguen enseñándose hoy en día. El trabajo de Grassmann entraba en contradicción con el de Helmholtz. Grassmann escribió tam-bién sobre cristalografía, electromagnetismo, y mecánica.

56


En 1861 Grassmann expuso la primera formulación axiomática de la aritmética, usan-do ampliamente el principio de inducción. Giuseppe Peano y sus seguidores citaron ampliamente este trabajo a partir de 1890.

En 1862, Grassman, tratando de conseguir el reconocimiento de su teoría de la exten-sión, publicó la segunda edición de la 'Ausdehnungslehre', ampliamente reescrita, y con la exposición definitiva de su álgebra lineal. El resultado, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, que se conoce como "Enseñanza de la dilatación" no fue mejor considerada que la edición original, a pesar de que el método de exposición de esta segunda versión de 'Ausdehnungslehre' se anticipara a lo que han sido los libros de texto en el Siglo XX. En esta obra desarrolla un cálculo operato-rio directo para las diversas magnitudes geométricas, que se conoce como números de Grassmann.

El único matemático que valoró en su justa medida las ideas Grassmann en vida de éste fue Hermann Hankel. EN su obra Theorie der complexen Zahlensysteme(1867) ayudó a que se conocieran mejor las ideas de Grassmann. Este trabajo:

"... desarrolló una parte del álgebra de Hermann Grassmann y de los cuaterniones de Hamilton. Hankel fue el primero que reconoció la importancia de los textos de Grass-mann, que habían sido menospreciados durante mucho tiempo... " (introducción de Hankel en el Dictionary of Scientific Biography. New York: 1970-1990)

Se tardó en adoptar los métodos matemáticos de Grassmann pero influyeron directa-mente en Felix Klein y Élie Cartan. La primera monografía de A. N. Whitehead, Uni-versal Algebra de 1898, incluía la primera exposición sistemática en inglés de la teoría de la extensió y del álgebra exterior. La teoráa de la extensión se aplicó al estudio de las formas diferenciales y en las aplicaciones de dichas formas al análisis y a la geo-metría. La geometría diferencial usa el álgebra exterior. Para una introducción sobre la importancia del trabajo de Grassmann en la física matemática.

ÉVARISTE GALOIS

(25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) Era un joven matemático francés naci-do en Bourg-la-Reine. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido sin resolver. Su trabajo

57


ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama princi-pal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. La teoría constituye una de la bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS, etc.

SYLVESTER, JAMES JOSEPH

(3 de septiembre de 1814, Londres – 15 de marzo de 1897, Oxford) fue un matemáti-co británico. Profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford hizo impor-tantes contribuciones en el campo de las matrices (acuñó el término matriz ), teoría de las invariantes algebraicas (en colaboración con su colega A. Cayley), determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el método dialítico para eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales) y creó un importante vocabulario matemático. Fue además fundador del American Journal of Mathematics.

En 1877, aceptó la presidencia de la sección de matemáticas en la Universidad Johns Hopkins y, en 1 878, fundó el American Journal of Mathematics, la primer revista ma-temática de Estados Unidos. En 1883, asumió la presidencia del departamento de geometría en Oxford, pero, pocos años después, comenzó a perder la memoria y re-gresó a Londres.

58


GEORGE BOOLE

(2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico.Como inventor del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas.

ARTHUR CAYLEY

(Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 - Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matemático británico. Es uno de los fundadores de la escuela británica moder-na de matemáticas puras.

Además de su predilección por las matemáticas, también era un ávido lector de nove-las, le gustaba pintar, apasionado de la botánica y de la naturaleza en general, y afi-cionado al alpinismo.

Fue educado en el Trinity College de Cambridge. Estudio durante algún tiempo la ca-rrera de leyes con lo que trabajó de abogado durante 14 años, a la vez que publicaba un gran número de artículos. Luego pasó a ser profesor en Cambridge. Fue el primero que introdujo la multiplicación de las matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Ha-milton que dice que cualquier matriz cuadrada es solución de su polinomio caracterís-tico. Dio la primera definición moderna de la noción de grupo.

59

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_Computaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9tica_computacional&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9tica_computacional&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole

http://es.wikipedia.org/wiki/Reino_Unido

http://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico


http://es.wikipedia.org/wiki/8_de_diciembre


http://es.wikipedia.org/wiki/2_de_noviembre


Recibió la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.

En combinatoria, su nombre está unido a la fórmula nn − 2 que enumera los árboles de-corados con n picos.

Se llama a veces octavas de Cayley o números de Cayley a los octoniones.

Es el tercer matemático más prolifico de la historia, sobrepasado tan solo por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la matemática. Cayley es autor de una colección de artículos suyos llamado "Collecterd Mathematica Papers of Cayley", que contiene 966 artículos en trece grandes volúmenes.

CHARLES HERMITE

(24 de diciembre de 1822 - 14 de enero de 1901) fue un matemático francés que in-vestigó en el campo de la teoría de números, sobre las formas cuadráticas, polino-mios ortogonales y funciones elípticas, y en el álgebra. Varias entidades matemáticas se llaman hermitianas en su honor. También es conocido por la interpolación polinó-mica de Hermite.

Fue el primero que demostró que e es un número trascendente y no la raíz de una ecuación algebraica o polinómica con coeficientes racionales. Ferdinand von Linde-mann siguió su método para probar la trascendencia de π (1882).

Publicaciones

"Sur quelques applications des fonctions elliptiques.", Paris, 1854 "Cours professé à la Faculté des Sciences", ed. Andoyer, 4ª ed. Paris, 1891 "Correspondance", ed. Baillaud & Bourget, Paris, 1905, 2 vols.

60


"Oeuvres de Charles Hermite" ed. Picard para la Academia de Ciencias, 2 vols., Paris, 1905 & 1908.

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 11. EXAMEN: PROGRAMA DE NUMEROS COMPLEJOS

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE

61




ACTIVIDAD No. 11

EXAMEN. PROYECTO QUE SE LLAME PROGRAMA DE NUMEROS COMPLEJOS

import javax.swing.JOptionPane;

public class AlgebraL

{

int s, r, m,d, re,s1, r1,m1, n1, n2, n3, n4;

private void proceso(int me)

{

if(me==1)

{

n1=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un NumeroReal","SUMA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n2=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario i","SUMA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n3=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Real","SUMA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n4=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario i","SUMA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

s=n1+n3;

s1=n2+n4;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"El resultado de la suma es "+s+"+"+s1+"i","ALGEBRA LINEAL",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

}

if(me==2)

62


{

n1=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Real","RESTA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n2=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario i","RESTA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n3=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Real","RESTA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n4=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario i","RESTA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

r=n1-n3;

r1=n2-n4;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"El resultado de la resta es "+r+"-"+r1+"i","ALGEBRA LINEAL",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

}

if(me==3)

{

n1=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Real","MULTIPLICACION DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

n2=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario i","MULTIPLICACION DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

m=n1*n2;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"El resultado de la multiplicacion es "+m+"i","ALGEBRA LINEAL",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

}

if(me==4)

{

n1=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Real","DIVISION DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

63


n2=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"Dame un Numero Imaginario","RESTA DE # COMPLEJOS",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

d=n1/n2;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"El resultado de la division es "+d+"i","ALGEBRA LINEAL",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

}

if(me==5)

{

System.exit(0);

}

}

public static void main(String args[])

{

AlgebraL obj=new AlgebraL();

int z=0,v;

String a="";

a+="INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA\n\n Prof. M.C. Jose Luis Ruiz Maldonado\n";

a+=" ALGEBRA LINEAL\n\n";

a+=" Guillermo Morales Maldonado\n Switmy Mayumi Alvarez Ruiz\n";

a+=" Hipolito Magdaleno Dominguez\nChristian Gonzalo Jimenez Ancheyta\n\n";

a+="PROGRAMA DE NUMEROS COMPLEJOS\n\n";

a+=" Ing. SISTEMAS COMPUTACIONALES\n Segundo Semestre\n\n";

a+="Tapachula Chiapas, a 13 de Septiembre del 2011.-";

JOptionPane.showMessageDialog(null,a);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"B I E N V E N I D O AL P R O G R A M A","Instituto Tecnologico de Tapachula",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

64


for(z=0;z<=10;z++)

{

v=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"M E N U \n 1.- Suma \n 2.- Resta \n 3.- Multiplicacion \n 4.- Division \n 5.- Salir","NUMEROS COMPLEJOS",JOptionPane.ERROR_MESSAGE));

obj.proceso(v);

}

}

}

65


ALGEBRA LINEAL


UNIDAD II. “MATRICES Y DETERMINANTES”

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



66


INDICE

MATRICES Y DETERMINANTES 66

Actividad No. 12 Definicion de matriz, notacion y orden______________________68-71 Actividad No. 13 Operaciones con matrices______________________________________________72-81 Áctividad No. 14 Clasificaciòn de las matrices____________________________________________82-85 Actividad No. 15 Transformaciones elementales por renglon__________________________________86

Escalonamiento de una matriz________________________________________86-88 Rango de una matriz__________________________________________________89-90

Actividad No. 16 Calculo de la inversa de una matriz______________________________________91-95 Calcular la matriz inversa por el método Gauss-Jordán_____________________ 00 Actividad No. 17 Definición de determinante de una matriz ____________________________ 96-97 Desarrollo de determinantes con la regla de Sarrus ____________________ 97-99 Desarrollo de determinantes por cofactores _____________________________ 99 Actividad No. 18 Propiedades de los determinantes ________________________________ 100-102 Actividad No. 19 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta ________________ 103-105 Actividad No. 20 Aplicación de matrices y determinantes ___________________________ 106-110

67


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 12. “DEFINICION DE MATRIZ, NOTACION Y ORDEN”

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


TAPACHULA, CHIAPAS; 04 DE OCTUBRE DE 2011

Actividad No. 12

68


DEFINICION DE MATRIZ, NOTACION Y ORDEN

Introducción

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos así como manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados en el siglo XIX por los matemáticos ingleses J. J Sylvester, Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos hábitos en donde se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las ciencias sociales, económicas y biológicas.

Matrices

Definición y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas de modo:

A=( a11 a12 a13a21 a22 a23am1 am2 am3

…a1na2namn) ← FILA DE LA MATRIZ “A”

COLUMNA DE MATRIZ “A”

Abreviadamente se puede

A = ( a i j)

Cada elemento de la matriz lleva 2 subíndices, el primero de ellos “i” indica la fila en el que se encuentra el elemento y el segundo “j” la columna.

Así el elemento a23 está en la fila 2 y en la columna 3. Las matrices siempre se representan con letras mayúsculas.

EJEMPLOS:

Los siguientes son ejemplos de matrices:

A=(2 13 4 ) B=(√6 −4

1 201) C=( 3 1 0

2 −4 0−1 −1/5 √2)

A tiene 2 filas y 2 columnas su tamaño es 2 x 2.

69


B tiene 2 filas y 3 columnas diremos que su tamaño es de 2 x 3.

C tiene 3 filas y 3 columnas diremos que su tamaño es de 3 x 3.

Tipos de matrices

1.- Se llama matriz nula a la que tiene todos sus elementos cero.

A = (0 00 0

00)

Es una matriz nula de tamaño 2 x 5.

2.- Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila es decir su dimensión es 1 x n.

A = (1 0 4 )

Es una matriz fila de tamaño 1 x 4.

3.-Se llama matriz columna a la que solo consta de una sola columna, es decir su dimensión es m x 1.

C = ( 10√3)

Es una matriz columna de tamaño 3 x 1.

4.-Una matriz cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n

A = (2 01 3)

La matriz es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

D = ( 1 2 36 5 4

−3 −4 0) De orden 3

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22,…, amn, siendo la matriz:

A = ( a11 a12 a13a21 a22 a23am1 am2 am3

a1na2namn)

70


En la matriz “D” del ejemplo anterior su diagonal principal está formada por 1, 5, 0(color amarillo).

D = ( 1 2 36 5 4

−3 −4 0)Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir

Traza(A)= a11+a22+a33+…+amn

Y en el caso de “D”.

Traza(D)= 1 + 5 + 0 = 6.

La diagonal secundaria está formada por los elementos: a1n-1, a3, n-2,…, an1. En la matriz “D” anterior estará formada 3, 5,-3(color verde).

5.- Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.

Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Son ejemplo de estas matrices:

E=( 1 0 0−2 5 05 1 2) F=(1 4 1 /3

0 9 −50 0 π )

TRIANGULAR SUPERIOR TRIANGULAR INFERIOR

Si una matriz es a la vez triangular superior y triangular inferior, solo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.

A = (100090002)

6.-Una matriz de este tipo de denomina matriz diagonal.

G = (1 0 00 −15 00 0 3)

7.-Por ultimo si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se les denomina matriz unidad o identidad. Se suele representar por “In” donde “n” es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:

71


I2 = (1 00 1) I3 = (1 0 0

0 1 00 0 1)

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 13. “OPERACIONES CON MATRICES”

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


72



ACTIVIDAD No. 13

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y diferencia

Dada dos matrices A y B, podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla:

“Para sumar o restar los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño”.

Ejemplo

( 21 3−42 1) - (20 4

3 21 ) = ( 0 1−1−7 0−4 )

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre si.

Propiedades de la suma y diferencia de matrices

a) Conmutativa A + B = B + A

b) Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro. La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de –A

Ejemplo

Si A= ( 0−1−4−2

3−9 ) -A = ( 014 2

−3 9)

Porque ( 0−1−4−2

3−9 ) + ( 014 2

−3 9) = (000000)

73


Producto por un número real

Si dada una matriz cualquiera A y un número real K, el producto de ambos se realizan multiplicando todos los elementos de A, por el número real resultando otra matriz de igual tamaño (evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).

Ejemplo

-5 = ( 2 13−4 21) = (−10−5−15

20−10−5 )

Propiedades

a) Distributiva respecto a la suma de matrices

K( A +B ) = k * A + k *B

b) Distributiva respecto a la suma de números

K * A + d * A

c) Asociativa

K( d * A ) = ( k * d ) A

d) Elemento neutro, el numero I

I * A = A

Ejercicios

1. Si A=(1 10 1) y B=(−1 0

0 2), hallar una matriz x que verifique la ecuación:

2x-4.A=B

2 x−4 (1 10 1)=(−1 0

0 2)2 x+(−4 −4

0 −4)=(−1 00 2)

74


2 x=(−1 00 2)−(−4 −4

0 −4)

2 x=(3 40 6) x=

(3 40 6)

2

x=(32

2

0 3)Comprobación:

2( 32

2

0 3)−4(1 10 1)=(−1 0

0 2)

(3 40 6 )+(−4 −4

0 −4 )=(−1 00 2)

(−1 00 2)=(−1 0

0 2)2. Determinar las matrices X y Y sabiendo que:

3 x−5 y=(1 −28 1 )

Ecuacion lineal

(3) −x+3 y=(2 43 0)

3 x−5 y=(1 −28 1 )

−3 x+9 y=(6 129 0 )

4 y=( 7 1017 1 )

y=( 7 1017 1 )

4

75


y=(74

52

174

14)

3 x−5(74

52

174

14)=(1 −2

8 1 )

3 x+(−35

4−50

4−85

4−54

)=(1 −28 1 )

3 x=(1 −28 1 )−(

−354

−504

−854

−54

)3 x=(

394

424

1174

94

)

x=

(394

424

1174

94

)3

x=(134

72

394

34)

Comprobación

76


3 x−5 y=(1 −28 1 )

3(134

72

394

34)−5(

74

52

174

14)=(1 −2

8 1 )

(394

212

1174

94

)+(−35

4−25

2−85

4−54

)=(1 −28 1 )

(1 −28 1 )=(1 −2

8 1 )

Trasposición de matrices

Dada la matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A y se representa por esta simbología At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

A=( 2 1 07−3 4 21) 2*4 At = (

2 −31 40 27 1

) 4*2

Evidentemente si A es una matriz de tamaño m*n entonces su traspuesta tendrá tamaño n*m.

Por ejemplo la matriz A= 2*4 At= 4*2

A= m*n At = n*m

Si la matriz A es cuadrada su traspuesta tendrá el mismo tamaño.

Propiedades

a) (At)t = A, es decir la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

b) (A+B)t =At + Bt

77


c) (K * A)t = K * At

En base a esta nueva operación podemos definir otras 2 clases de matrices que son:

Matriz Simétrica, Es aquella para la que se cumple At = A

Por ejemplo:

A= (2 1 31 0 −23 −2 √7) At = (2 1 3

1 0 −23 −2 √7)

En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.

Producto de Matrices

Hay que dejar en claro desde el principio que no todas las matrices puedan multiplicarse. 2 matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:

“Para multiplicar 2 matrices A y B, en este orden A*B, es condición indispensable que el numero de columnas de A sea igual al número de filas de B”.

4*2 ; 2*n

Si no se cumple esta condición no puede realizarse el producto, de modo que es una condición que debemos comprobar previo a la multiplicación.

Una vez comprobado que el producto de A*B se puede realizar, si A es una matriz m*n y B es una matriz n*p, entonces el producto A*B da como resultado una matriz C.

A= m*n B= n*p A*B= C (m*p)

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna que se encuentra en la columna j de la matriz C= A*B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”.

Ejemplo:

A= (−3 21 42 53 −2) y B= (

0 −4 11 −2 12 0 23 2 1

)78


A= (−1 3 2 40 1 5 1 ) B= (

1 0 32 2 13 3 14 1 0

) = (27 16 221 18 6)

2*4 4*3

(-1)(1)+(3)(2)+(2)(3)+(4)(4) = 27 (0)(1)+(1)(2)+(5)(3)+(1)(4) = 21

(-1)(0)+(3)(2)+(2)(3)+(4)(1) = 16 (0)(0)+(1)(2)+(5)(3)+(1)(1) = 18

(-1)(3)+(3)(1)+(2)(1)+(4)(0) = 2 (0)(3)+(1)(1)+(5)(1)+(1)(0) = 6

Propiedades del producto de matrices

a) Asociativa:

A *( B + C ) = A*B + A*C

b) Distributiva respecto la suma:

A *( B + C ) = A * B + A * C

( B + C ) * A = B * A + C * A

c) Elemento neutro: La matriz identidad correspondiente, si A es m*n

A * In = A

In * A = A

d) En general el producto de matrices no es conmutativa.

A * B ≠ B * A

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula.

(2 1 30 2 1) ( 5

2−4) = (00)

2*3 3*1 2*1

(2)(5) + (1)(2) + (3)(-4) = 0

(0)(5) + (2)(2) + (1)(-4) = 0

79


Matriz Inversa

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad (In).

Todo número real excepto el 0 tiene inverso.

Trasladando a esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada de orden n, existe su inversa x para el producto de matrices, tal que A*X=In es decir, el producto de A por su inversa produce un elemento neutro, la matriz identidad.

Sin embargo, hay algunas diferencias con los números reales.

1.- No podemos despejar la matriz inversa.

2.- No todas las matrices cuadradas no nulas tienen inversa.

3.- Definamos en primer lugar el termino matriz inversa.

Dada una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe otra matriz de mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada.

A-1 = matriz inversa de A

Por lo tanto:

A * A-1 = In

A-1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única.

80


Para calcular dicha matriz inversa existe 2 métodos:

a) Método Algebraico

Consiste en determinar A-1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir si por ejemplo queremos determinar la inversa de:

A = ( 1 2−1 1)

2 * 2

Lo que estoy buscando es otra matriz de igual tamaño tal que A*A-1=I2

A-1= (x yz t )

A*A-1 = ( 1 2−1 1) (x y

z t ) = (1 00 1)

( x+2 z y+2t−x+z − y+t ) = (1 0

0 1)

x + 2z = 1

-x + z = 0

y + 2t = 0

-y + t = 1

x = 13 z =

13 t =

13 y =

−23

(13+ 2

3−23

+ 23

−13

+13

23+

13

) = (1 00 1)

81


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 14. “CLASIFICACION DE MATRICES”

EQUIPO No. 6




82




M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 14

CLASIFICACION DE MATRICES

Matriz fila.

Una matriz fila está constituida por un solo renglón.

A = (2 3 −1 )

Matriz columna.

Una matriz columna tiene una sola columna.

A = (−716 )

Matriz rectangular.

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m*n.

(1 2 59 1 3)

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii = Diagonal principal constituyen la diagonal principal.

83


La diagonal secundaria la forman los elementos con.

i + j = n + 1 (1 2 −62 6 50 1 4 )

Matriz Nula

Es una matriz nula cuando todos los elementos son ceros

(0 00 0)

Matriz Triangular Superior

Es una matriz triangula superior los elementos ordenados por debajo de la diagonal principal son ceros.

(1 7 −20 −3 40 0 2 )

Matriz Triangular Inferior

Es una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

(2 0 01 2 03 5 6)

Matriz Diagonal

Es una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo en la diagonal principal son nulos.

(2 0 00 2 00 0 6)

84


Matriz Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

(2 0 00 2 00 0 2)

Matriz Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

(1 0 00 1 00 0 1)

Matriz Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

A=(2 3 01 2 03 5 6) At =(2 1 3

3 2 50 0 6)

Matriz Regular

Una matriz regular aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz Singular

Para que una matriz singular no tiene inversa

Matriz Idempotente

Una matriz A es ID si: A2 = A

Matriz Involutiva

Una matriz A es involutiva si:

85


A2 = In

Matriz Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A= At

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 15. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLON. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. RANGO DE UNA MATRIZ

EQUIPO No. 6



86





M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 15.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLON. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. RANGO DE UNA MATRIZ

ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

87


A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

I. Intercambiar la posición de dos filas.II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

TeoremaA partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

88


El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

RANGO DE UNA MATRIZ

Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducir a de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspecti-va, utilizando el método de Gauss.Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A, a la que aplicamos el metodo de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor numero de ceros posible), realizando operaciones elementales en filas.Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rg(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss.

Ejemplo: Calcular el rango de las siguientes matrices:

89


A = (1 12 2) B = (0 3

1 1) C = ( 1 1 02 1 1

−1 1 −2) y D = ( 2 4 6−1 −2 −3)

(1 12 2) f 2−2∗f 1

→ (1 1

0 0) , Rg(A) = 1, solo una fila distinta de cero.

(0 31 1)

←f 2→f 1

¿→

¿ (1 10 3) , Rg(B) = 2 hay 2 filas no nulas.

( 1 1 02 1 1

−1 1 −2) f 2−2∗f 1→ ( 1 1 0

2 1 1−1 1 −2) f 3+ f 1

→ (1 1 0

0 −1 10 2 −2)

f 3+2∗f 2→

(1 1 00 −1 10 0 0) , Rg(C) = 2 hay 2 filas no nulas.

( 2 4 6−1 −2 −3) 2∗f 2+ f 1

→ (2 4 6

0 0 0) , Rg(D) = 1, solo una fila no nula.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz.De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el metodo de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en colum-nas.Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre que valores va a estar ese rango.Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango solo puede ser 0, 1, 2 ´o 3, no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango solo puede ser 0,1 ´o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más, pues una matriz solo tiene rango cero si es la matriz nula).

Resumiendo:Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que:

1 ≤ Rg(A) ≤ min{m, n}

Ejemplo

90


Calcular en función de k el rango de la matriz:

A = (1 1 23 3 k )

Aplicando Gauss,

(1 1 23 3 k ) f 2−3∗f 1

→ (1 1 2

0 0 k−6)Ahora es evidente que si k-6=0, la última fila es nula. Por tanto, si k=6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k-6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2.Resumiendo:

Si k ≠ 6, entonces Rg(A) = 2Si k=6, entonces Rg(A) = 1

Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ Rg(A) es máximo.

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 16. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ EJERCICIO. CALCULAR LA MATRIZ INVERSA POR EL METODO GAUSS-JORDAN

EQUIPO No. 6



91





M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 16.

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ EJERCICIO. CALCULAR LA MATRIZ INVERSA POR EL METODO GAUSS-JORDAN

MATRIZ TRASPUESTA

Es la matriz que obtenemos de cambiar filas por columnas. La traspuesta de A la representamos por At.

Ejemplo

A2x3 = (−1 2133 5 ) At

3x2 = (−1 32315 )

MATRIZ ADJUNTA

Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

Ejemplo

Adj (A) = A = ( a11 a12 a13a21 a22 a23am1 am2 am3

a1na2namn)

92


MATRIZ INVERSA

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A-1 y que verifica:

A * A-1 = A-1 *A =1

“El producto de la matriz original con la matriz inversa nos da la matriz identidad.”

La matriz inversa de A es

A-1 = 1

|A| (Adj (A) )T

Solamente tiene inversa las matrices cuadradas cuyo determinantes es distinto de cero.

Propiedades de la inversa

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.

( A * B )-1 = B-1 * A-1

Ejemplo

Calcular la inversa de la matriz

A = (2−21−111−1 35)

Para calcular la inversa, primero calculamos su determinante.

Determinante A: det(A)

Det(A) = |2−2 1−11 1−13 52−2 1−11 1

| 93

= 10= -3= 2

= -1 = 6= 10


= 10 – 3 + 2 – (-1+ 6 + 10) =

= 10 – 3 + 2 + 1 – 6 = - 6 El determinante de A es: - 6

A11 = |1 13 5| = 5 – 3 = 2 A12 = |−1 1

−1 5| = - 5 + 1 = - 4

- (- 5 + 1 ) = 4

A13 = |−1 1−1 3| = -3 + 1 = 2

A21 = |−2 13 5| = -10 – 3 = - 13 A22 = | 2 1

−1 5| = 10 + 1 = 10

A23 = | 2 −2−1 3 | = 6 – 2 = 4 An1 = |−2 1

1 1| = - 2 – 1 = - 3

An2 = | 2 1−1 1| = 2 + 1 = 3 An3 = | 2 −2

−1 1 | = 2 – 2 = 0

Adj(A) = ( 24−21311−4−3−3 0 )

94


Traspuesta de A

Adj(A)t= ( 213−34 11−3−2−4 0) A-1 = -

16

( 213−34 11−3−2−4 0)

Comprobación

A-1 * A = ( 213−34 11−3−2−4 0) (

2−21−111−1 35) =

A -1 * A = A-1 = - 16

(−6 0 00−6000−6) = (10 0

01 000 1) = I3

APLICACIÓN A LA RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 x−2 y+ z=1

−x+ y+z=0

−x+3 y+5 z=−4

La inversa la hemos calculado. Pongamos el sistema en forma matricial.

(2−21−111−1 35) ( xyz ) = ( 1

−2−4)

Multiplicando ambos términos de la igualdad por su inversa

( 213−34 11−3−2−4 0) (

2−21−111−1 35) ( xyz ) =

95


- 16

( 213−34 11−3−2−4 0) (

1−2−4) = -

16

(−12−66 ) = ( 2

1−1)

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 17. DEFINICION DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LA REGLA DE SARRUS.

DESARROLLO DE DETERMINANTES POR COFACTORES

EQUIPO No. 6



96

X = 2

Y= 1

Z =-1





M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 17

DEFINICION DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LA REGLA DE SARRUS. DESARROLLO

DE DETERMINANTES POR COFACTORES

DEFINICION DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pe-queñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz 1 x 1 = det(A)=A

El determinante de una matriz 2 x 2 es:

|a11 a12a21 a22| = a11a22 – a12a21

El determinante de una matriz 3 x 3 es:

(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33)

97


= a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a13a22a31-a23a32a11-a12a21a33

La fórmula anterior se conoce como Regla de Sarrus.

DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LA REGLA DE SARRUS

La definición de determinantes es bastante engorrosa y se hace mucho mas pesada a medida que aumenta el orden de la matriz A.

En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el caso de dichos determinantes.

Si la matriz es A = (a11a12a13a21a22a23a31a32a33) entonces el determinante de A se calcula

mediante de dos expresiones obtenidas del siguiente modo:

Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:

- Los elementos de la diagonal principal, a11 ・ a22 ・ a33.- Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina inferior izquierda : a12 ・ a23 ・ a31.- Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento ais-lado de la esquina superior derecha: a21 ・ a32 ・ a13.

Gráficamente

Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:

- Los elementos de la diagonal secundaria, a13 ・ a22 ・ a31.- Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina inferior derecha: a12 ・ a21 ・ a33.

- Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina superior izquierda: a32 ・ a23 ・ a11.

Gráficamente:

98


Y entonces det (A)= Sumandos positivos - Sumandos negativos.

Por ejemplo, en el caso de la matriz:

A = (−2 4 56 7−33 02 )

Se tiene que aplicando la regla de Sarrus:

det(A)=(-2)·7·2+4·3·(-3)+6·5·0-(3·7·5+0·(-2)·(-3)+6·4·2)=-28-36-105-48=-217.

DESARROLLO DE DETERMINANTES POR COFACTORES

Suponga una matriz A n × n, el cofactor (i, j) de la matriz A se define como:Cij = (-1)i+jMij

Ejemplo

Determine C32 de la matriz A:

A = (1 2 −13 4 00 1 −4)

Calculamos primero M32:

A = (1 2 −13 4 00 1 −4) , M32 = (1 −1

3 0 ) = (1)(0) − (3)(−1) = 3

Por tanto, C32 = (−1)3+2M32 = (−1)5(3) = −3.

99


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 18. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

100


SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 18.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración, son:1. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, basta elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0.2. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.3. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cam-bia de signo, por ejemplo:

| 0 12−31 32−524 3 1

3−2−8 1| = 91 | 0 12−3

1 32−53−2−8 1

24 3 1| = - 91

4. Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un nú-mero, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:

| 0 12−31 32−524 3 1

3−2−8 1| = 91 | 012−3

2 64−1024 31

32−81| = - 182

Pero | 02 4−62 64−10

4 86 26−4−16 2

| = 16 * 91 = 1456

101


5. Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia.Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3.

6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,

|A| = |At|

7. Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que:

det(A−1) = 1

det (A)

Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o supe-rior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varıa al realizar a la matriz ciertas transforma-ciones elementales en filas, como indica la propiedad 5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad.

Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o co-lumna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces solo tendremos que cal-cular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos:

102


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 19. INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVES DE LA ADJUNTA.

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



103


Actividad No.19

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA ATRAVES DE LA ADJUNTA

Dada una matriz cuadrada A, su matriz adjunta es el resultante de sustituir cada ter-mino de A por sus adjuntos respectivos.El adjunto de un término aij de la matriz A resulta del determinante de la submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que pertenece el termino aij multiplicado por (-1)(i+j) . El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

A-1 = 1

|A| (Adj (A) )T

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.

Definición y fórmulas de cálculo

Dada una matriz A su matriz de adjuntos es la única matriz B tal que:

ABT =BTA = det(A) I

Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos por lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente formula explicita. Dadas las componentes explicitas de la matriz (a ij ) = A ∈ Mnxn para cada i y j se define la matriz A (i, j) como la matriz de orden (n-1) obtenida a partir de A eliminando la fila i-èsima y la columna j-èsima. Y se define la cantidad:

dij = (-1) i + j det(A)(i, j)

Y se obtiene que esta son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos ya que, es decir, adj(A) =dij

Ejemplo

Dada una matriz 2 x 2

A = (A11 A12A21 A 22)

104


Su matriz de adjuntos viene dada por:

Adj(A) = ( A22 −A 21−A12 A11 )

Dada una matiz 3 x 3

A = (A11 A12 A13A21 A 22 A23A31 A 32 A33)

Su matriz adjunta viene dada por:

Adj(A) = + [A 22 A23A 32 A33] - [A 21 A23

A 31 A33] + [A 21 A22A 31 A32]

−[A12 A 13A32 A 33] + [ A11 A13

A 31 A33] - [ A11 A12A 31 A32]

+ [A 12 A13A 22 A23] - [ A11 A13

A 21 A23] + [ A11 A12A 21 A22]

A22A33 – A23A32 A23A32 - A21A33 A21A32 - A22A31

= A32A13 – A33A12 A33A12 –A31A13 A31A12 – A32A11

A12A23 – A13A22 A13A21 – A11A23 A11A22 – A12A21

Para matrices de 3 x 3 tambien puede usarse la siguiente formula:

[adj(A)]ij = 12

∈mni ∈pqjampanq

105


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD 20. APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 20.

APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES

TECNICA GAUSS-SEIDEL

106


El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el re-sultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede in-crementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es imprác-tico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes nú-meros de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solu-ción o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergi-rá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita dife-rente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la conver-gencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa conver-gencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores ab-solutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos pro-blemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar va-lores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.

2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.

3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incóg-nita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.

107


4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utili-zando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógni-tas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuel-ta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.

5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una itera-ción particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor se-rá la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la preci-sión obtenida en los valores de las incógnitas para un dado.

CRIPTOGRAFÌA

La palabra criptografía es un término genérico que describe todas las técnicas que permiten cifrar mensajes o hacerlos ininteligibles sin recurrir a una acción específica. El verbo asociado es cifrar.

La criptografía se basa en la aritmética: En el caso de un texto, consiste en transformar las letras que conforman el mensaje en una serie de números (en forma de bits ya que los equipos informáticos usan el sistema binario) y luego realizar cálculos con estos números para:

modificarlos y hacerlos incomprensibles. El resultado de esta modificación (el mensaje cifrado) se llama texto cifrado, en contraste con el mensaje inicial, lla-mado texto simple.

asegurarse de que el receptor pueda descifrarlos.

108

http://es.kioskea.net/contents/base/binaire.php3

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/Lorenz-SZ42-2.jpg


El hecho de codificar un mensaje para que sea secreto se llama cifrado. El método inverso, que consiste en recuperar el mensaje original, se llama descifrado.

El cifrado normalmente se realiza mediante una clave de cifrado y el descifrado requiere una clave de descifrado. Las claves generalmente se dividen en dos tipos:

Las claves simétricas: son las claves que se usan tanto para el cifrado como para el descifrado. En este caso hablamos de cifrado simétrico o cifrado con clave secreta.

Las claves asimétricas: son las claves que se usan en el caso del cifrado asi-métrico (también llamado cifrado con clave pública). En este caso, se usa una clave para el cifrado y otra para el descifrado.

En inglés, el término decryption (descifrado) también se refiere al acto de intentar descifrar en forma ilegítima el mensaje (ya conozca o no el atacante la clave de descifrado). Cuando el atacante no conoce la clave de descifrado, hablamos de criptanálisis o criptoanálisis (también se usa el término decodificación). La criptología es la ciencia que estudia los aspectos científicos de estas técnicas, es decir, combina la criptografía y el criptoanálisis.

Las funciones de la criptografía

La criptografía se usa tradicionalmente para ocultar mensajes de ciertos usuarios. En la actualidad, esta función es incluso más útil ya que las comunicaciones de Internet circulan por infraestructuras cuya fiabilidad y confidencialidad no pueden garantizarse. La criptografía se usa no sólo para proteger la confidencialidad de los datos, sino también para garantizar su integridad y autenticidad.

Criptoanálisis

109

http://es.kioskea.net/contents/secu/secuintro.php3





El criptoanálisis consiste en la reconstrucción de un mensaje cifrado en texto simple utilizando métodos matemáticos. Por lo tanto, todos los criptosistemas deben ser resistentes a los métodos de criptoanálisis. Cuando un método de criptoanálisis permite descifrar un mensaje cifrado mediante el uso de un criptosistema, decimos que el algoritmo de cifrado ha sido decodificado. Generalmente, se distinguen cuatro métodos de criptoanálisis:

Un ataque de sólo texto cifrado consiste en encontrar la clave de descifrado uti-lizando uno o más textos cifrados;

Un ataque de texto simple conocido consiste en encontrar la clave de descifra-do utilizando uno o más textos cifrados conociendo el texto correspondiente;

Un ataque de texto simple elegido consiste en encontrar la clave de descifrado utilizando uno o más textos cifrados. El atacante tiene la opción de generarlos a partir de textos simples;

Un ataque de texto cifrado elegido consiste en encontrar la clave de descifrado utilizando uno o más textos cifrados. El atacante tiene la opción de generarlos a partir de los textos simples.

ALGEBRA LINEAL


UNIDAD III. “SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES”

EQUIPO No. 6





110



M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


TAPACHULA, CHIAPAS; 11 DE NOVIEMBRE DE 2011

INDICE

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 111

Actividad No. 21 Definicion de Sistemas de Ecuaciones Lineales____________113-116 Actividad No. 22 Clasificaciòn de Sistemas de Ecuaciones Lineales y tipo de solucion______117-120 Áctividad No. 23 Interpretacion geometrica de las soluciones____________________________121-126 Actividad No. 24 Metodos de solucion de un Sistema de Ecuaciones Lineales__________________127

Gauss- Jordan___________________________________________________128-131 Inversa de una matriz_______________________________________________131-133

Regla de Cramer___________________________________________________134-135 Actividad No. 25 Ejercicios resueltos ___________________________________________ 136-142 Actividad No. 26 Comprobaciòn: (CBA)-1 = C-1 B-1 A-1 ______________________________ 143-144 Actividad No. 27 Proyecto (Código)____________ _________________________________ 145-150

111


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 21. DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


112



Actividad No. 21.

DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el es-pacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

(3x1+2 x2+x3=1

2 x1+2x2+4 x3=−2

−x1+12x2−x3=0 )

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3

que satisfacen las tres ecuaciones.

113

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

(a11 x1+a12 x2+…+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2)

(am1 x1+am2 x2+…+mnxn=bm )

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferen-te a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

EXPRESIÒN MATRICIAL DE UN SISTEMA

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

(a11a12a13…a1n

a21 a22 a23…a2n

.. . .

.. . .am1am2am3…amn

) (x1

x2

.

.xn

) = (b1

b2

.

.bm

) m xn n x1 m x1

114

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructural

http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales

http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales


La matriz A = (a11a12a13…a1n

a21 a22 a23…a2n

.. . .


) se llama matriz de coeficientes, la

matriz X = (x1

x2

.

.xn

) se llama matriz de incógnitas y la matriz B = (b1

b2

.

.bm

) se llama matriz

de términos independientes.

La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

(A|B)= [( a11a12a13…a1n

a21 a22 a23…a2n

.. . .


)(b1

b2

.

.bm

)]Se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) o bien por A*.

115


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 22 CLASIFICACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPO DE SOLUCION

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 22.

CLASIFICACION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y TIPO DE SOLUCION

116


CLASIFICACION.-

Según como sea el TÉRMINO INDEPENDIENTE:

Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en

SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector nulo)

AX=0

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el término independiente es no nulo

AX=0

Siendo b≠0

Según LA EXISTENCIA o no de SOLUCIONES

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes ca-sos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede dis-

tinguirse entre: o Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de solu-

ciones.o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Quedando así la clasificación:

117


Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

sistemacompatibledeterminado⟺det (A )≠0

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

x+2 y=12 x+4 y=2

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya

pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compati-bles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

118

http://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)


sistemacompatible indeterminado⇒ det A=0

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométri-ca del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

x+2 y=42 x+4 y=7

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

sistemaincompatible⇒ detA=0

TIPO DE SOLUCIONES.-

Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. De acuerdo con su solución, un sistema puede ser:

Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución. o Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es

única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.

119

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralela

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 23 INTERPRETACIÒN GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 23

INTERPRETACIÒN GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES

Un sistema con n, incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas de 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representen las ecuaciones. Si no

120


existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema de 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución del sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para un sistema de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esa óptica.

Ejemplo:

Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecua-ciones.Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

* Reducción* Igualación* Sustitución

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e in-terpretar el sistema:

x+2 y=−3 −2 y+ y=1

Por reducción

2 x+4 y=−6−2 x+ y=1

5 y=−5

De donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.

121


Es decir, la solución del sistema es única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Solución del sistema, punto(-1, -1)

Resolver e interpretar el sistema

x+2 y=−3−2 x+ y=1

Por igualación:

x=−3−2 y

x=5+2 y2

De donde:

−3−2 y=5+2 y−2

→ 4 y+6=5+4 y→0 y=−1→0=−1

lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompati-ble y por tanto las rectas son paralelas.

Geométricamente:

122


Sistema sin solución. Rectas paralelas

Resolver e interpretar el sistema:

x+2 y=−3−2 x+ y=1

Por sustitución:

Como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Infinitas soluciones. Las rectas coinciden

Lo expresaremos así. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x. Así si le da-mos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solución como:

x=−2 λ –3y= λ siendo λ ∈R

y como λ puede ser cualquier número real, hay infinitas soluciones.

Estos son los únicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incógnitas, y su interpretación geométrica.

123


Interpretación geométrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Como cada ecuación lineal con 3 incógnitas corresponde a un plano en el espacio, la solución del sistema corresponderá a la posición en que dichos planos estén en el es-pacio. Lo más sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos solo pueden estar en 3 posiciones:

* Son coincidentes: Lo cual es fácil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coeficientes de las incógnitas y los términos independientes proporcionales, es decir, si los planos son:

α=Ax+By+Cz=Dβ=A +B y+C z=D

Entonces se verifica:

AA

= BB

= CC

= CC

(siempre que se puedan realizar las operaciones).

Por ejemplo:

Los planos 2 x+3 y−z=5 y −10 x−15 y+5 z=7 son secantes.

Puesto que podemos determinar la posición de los planos 2 a 2, podemos determinar en qué posición se encuentran los 3 a la vez, fijándonos en los casos:

1. Si el sistema es S.C.D. (Solución única), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la solución del sistema.

124


2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:

a) Los tres planos se corten en una recta.b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.c) Los tres planos son coincidentes.

3. Si el sistema es S.I. (Sin solución), puede ocurrir que:

a) Los planos se cortan dos a dos.b) Dos planos son paralelos y el otro los corta.c) Los tres planos son paralelos.d) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

125


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 24 METODOS DE SOLUCIÒN DE UN SISTEMA DE ECUACION LINEAL: GAUSS-JORDAN. INVERSA DE UNA MATRIZ. REGLA DE CRAMER.

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 24

METODOS DE SOLUCIÒN DE UN SISTEMA DE ECUACION LINEAL: GAUSS-JORDAN. INVERSA DE UNA MATRIZ. REGLA DE CRAMER.

GAUSS-JORDAN

La eliminación de Gauss-Jordán, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en

126


triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incognitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera

multiplicada por 32

, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

(2 1 −1 8

012

12

1

0 2 1 5)

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por y por , respectivamente.

(2 0 −1 6

012

12

1

0 2 −1 1)

Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles

la tercera multiplicada por -2 y por 12

, respectivamente:

127


(2 0 0 4

012

032

0 0 −1 1)

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

2 x=4

y2=3

2

−z=1

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 12

, 2 y -1

respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

X=2

Y=3

Z=−1

Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

x= numeros de hombresy= numeros de mujeresz=numeros de niños

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

x + y + z = 30

128


Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

x + 3y = 2z + 20

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

x + y = 2z

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

x+ y+z=30 x+ y+z=30

x+3 y=2 z+20 x+3 y−2 z=20

x+ y=2 z x+ y−2 z=0

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

x+ y+z=30

2 y−3 z=−10

−3 z=−30

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer mas operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

−3 z=−30 z=−30−3

z=10

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

2 y−3 z=−10 z=10 2 y – 30=−10 2 y=20 y=10

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10

x+ y+z=30 y=10

129


z=10

x+10+10=30 x=30−10−10 x=10

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

x+ y+z=30 x=10 x+3 y=2 z+20 y=10 x+ y=2 z z=10

INVERSA DE UNA MATRIZ

La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo de las mate-máticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operacio-nes algebraicas complejas.

Matriz identidad y matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define matriz iden-tidad I como la que, con la misma dimensión n, está formada por elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo valor es 1. Es decir: A×I=I × A=A .

Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1 también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz identidad:

A× A−1=A−1× A=I .

Toda matriz que tiene inversa se dice invertible o regular, mientras que cuando carece de inversa se denomina matriz singular.

Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A× X=I , siendo los coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas. También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según el siguiente esquema:

Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2,…, n, se forma primero su matriz amplia-da (A | I).

130


Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz hasta conse-guir reducir A a la matriz unidad. Las mismas transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A−1.

Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices ampliadas son:

Multiplicación de una fila por un número distinto de cero. Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra. Intercambio de filas.

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:

Donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

Resolución de un sistema por la matriz inversa

Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales me-diante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo:

Cuando la matriz de los coeficientes no es invertible, el sistema no tiene solución (es incompatible).

Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación AB = BA = Identidad, entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se escribe A−1. De esta manera:

A A−1=A−1 A=I

De la definición anterior se deduce que(A-1)-1 = A, si A tiene inversa. Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro número nos indica que tiene inversa.

131


Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil, dependiendo del tamaño de la misma. Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:

A = (2 4 64 5 63 1 −2)

Encontrar la inversa de A o A−1.

Si tomamos la definición de inversa encontramos que A A−1=I , entonces:

(2 4 64 5 63 1 −2)(a b c

d e fg h i ) = (1 0 0

0 1 00 0 1)

Resolviendo encontramos:

(2a +4 d +6 g4a +5d +6 g3a +1d −2 g)(

2b +4e +6 h4 b +5e +6 h3b +1e −2h)(

2c +4 f +6 i4c +5 f +6 i3c +1 f +2i) = (1 0 0

0 1 00 0 1)

Igualando término a término, encontramos una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:

A-1 = (−83

73

−1

133

−113

2

−116

53

−1) METODO DE CRAMER

132


Los sistemas que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas dos condiciones se llaman sistemas de Cramer ), se puede aplicar una regla muy sencilla para calcular la solución y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer. Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar.

La regla de Cramer:

Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la incógni-ta número que se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna que (correspondiente al lugar que ocupe la incógnita que se está calculando) por la columna de términos independientes.

Ejemplo

Resolver el sistema2 x+ y−z=11x−3 y=−20

4 x+2 y+5 z=8

Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cra-mer:

Para x sustituimos la primera columna por la de términos independientes pues x es la primera incógnita:

X=[ 11 1 −1−20 −3 0

8 2 5 ] = −49−49

¿1

______________ −49

Para y sustituimos la segunda columna por la de términos independientes pues y es la segunda incógnita

Y = [ 11 1 −1−20 −3 0

8 2 5 ] = −343−49

= 7

______________ −49

Para z sustituimos la tercera columna por la de términos independientes pues z es la tercera incógnita).

133


Z = [2 1 111 −3 −202 2 8 ]=

98−49

= -2

134


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 25 EJERCICIOS RESUELTOS POR LA REGLA DE CRAMER, GAUSS-JORDAN Y MATRIZ INVERSA

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 25

EJERCICIOS RESUELTOS POR LA REGLA DE CRAMER, GAUSS-JORDAN Y MATRIZ INVERSA

REGLA DE CRAMER

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

135


3 x−2 y=1 x+5 y=3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

x y x y b

A:b=(3 −21 5

⋮ 1⋮ 3)

Calcular el determinante de A. Así pues:

|A|=3.5 (−2.1 )=15+2=17

Último paso consiste en calcular las incógnitas:

|B|=1.5 (−2.3 )=11

|C|=3.3−1.1=9−1=8

B y

x=|1 −23 −5|

17=5+6

17=11

17

x b

y=|3 11 3|17

=9−117

= 817

GAUSS-JORDAN

A=( 2 4 310 −8 −94 4 −3)

136


La matriz aumentada del sistema es:

B=( 2 4 310 −8 −94 4 −3

302) ❑R1→

12R2

→ ( 1 4

32

10 −8 −94 4 −3

3202)

(1 432

0 −28 −244 4 −3

32

−152

) ❑R3→R 3−4 R1

→ (1 2

32

0 −28 −240 −4 −9

32

15−4

) ❑R2→R3

→

(1 232

0 −28 −240 −4 −9

32

15−4

) ❑R2→−14R2

→ (1 2

32

0 −28 −240 −4 −9

32

15−4

) ❑R3→R 3−28 R2

→

(1 232

0 194

0 0 −39

32113)

❑R3→

139

R3

→ (1 2

32

0 194

0 0 1

32113)

Por lo que el sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:

x1+2x2+32x3=

32→(1)

x2+94x3=1→(2)

x3=13→(3)

Por lo tanto:

x3=13

137


Sustituyendo “x3” en (2):

x2+94 ( 1

3 )=1

x2+34=1

x2=1−34; x2=

14

Sustituyendo “x2” y “x3” en (1):

x1+214+ 3

2 ( 13 )=3

2

x1+12+1

2=3

2

x1+1=32

x1=32−1; x1=

12

Es decir, finalmente:

x1=12

x2=14

x3=13

MATRIZ INVERSA

138


Si A x = b, entonces:

A=( 2 1 −11 −1 1

−3 2 −4) B=(−30

−3)Para comprobar si la matriz “A” es invertible:

detA=|−1 12 −4|−(−1 )|1 1

3 −4|+(−1 )| 1 1−3 2|=2 ( 4−2 )−(−4+3 )−(2−3)

detA=2 (2 )−(−1 )− (−1 )=4+1+1=6

Por lo tanto la matriz “A” es INVERTIBLE con solución única y determinante detA=6

El primer paso a realizar, será calcular los cofactores de la matriz “A”:

A11=¿|−1 1

2 −4|=(−1) (−4)−(1 ) (2)=4−2=2¿

A

12=¿−| 1 1−3 −4|=−(−4+3 )=−(−1 )=1¿

A

13=¿| 1 −1−3 2 |=2−3=−1¿

A

21=¿−|1 12 −4|=−(4+2)=−(−2)=2¿

A22=¿| 2 1

−3 −4|=−8−3=−11¿

A

23=−¿| 2 1−3 2|=−( 4+3)−(7 )=7¿

A

31=¿| 1 −1−1 1 |=1−1=0¿

A

32=−¿|2 −11 1 |=−(2+1)=−(3 )=−3¿

139


A33=¿|2 1

1 −1|=−2−1=−3¿

Por lo que la matriz “B” de cofactores es:

B=(2 1 −12 −11 −70 −3 −3)

Y con ello, puede obtenerse la matriz adjunta de “A” , definida en la siguiente expresión: AdjA=Bt

Por lo que al momento de sustituir, se obtiene:

AdjA=( 2 2 01 −11 −3

−1 −7 −3) Teniendo la matriz adjunta de “A” y su determinante, puede obtenerse la matriz inversa “A-1”:

A−1=16 ( 2 2 0

1 −11 −3−1 −7 −3)

A−1=(13

13

0

16

−116

−12

−16

−76

−12

)

140


Si de despeja al vector matriz de incógnitas o variables del modelo matemático A x = b : x=A−1b Expresado en forma matricial, se obtiene lo siguiente:

x=(13

13

0

16

−116

−12

−16

−76

−12

)−30

−3

Por lo que los resultados finales son:

a=−1b=1 c=2 COMPROBACIÓN de los valores obtenidos:

2a+b−c=−3 a−b+c=0 −3a+2b−4 c=−3 2 (−1 )+1−2=−3 −1−1+2=0 −3 (−1 )+2 (1 )−4 (2 )=−3−2+1−2=−3 −2+2=0 3+2−8=−31−4=−3 0=0 5−8=−3−3=−3 −3=−3

141


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 26 COMPROBACIÒN: (BA)-1 = B-1 A-1

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 26

COMPROBACIÒN: (BA)-1 = B-1 A-1

142


Proposición:

Si A y B son matrices no singulares del mismo orden, entonces (BA)−1 = B−1 A−1

Demostración:

¿¿ A−1)AB = B−1

(A−1A)B = (B−1 I B) = B−1B = I

AB(B−1 A−1) = AB B−1 A−1= A I A−1= A A−1 = I

De donde se concluye que:

(AB)−1 = B−1 A−1

Como no siempre la multiplicación de matrices es conmutativa, no es cierto en general que:

(AB)−1 = A−1 B−1

ALGEBRA LINEAL

143



ACTIVIDAD NO. 27 PROYECTO: PROGRAMA QUE RESUELVE SISTEMA DE ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 27

PROYECTO DE LA UNIDAD NO. 3

import javax.swing.*;

public class AlgebraLineal

{

public static void main(String arg[])

{

144


AlgebraLineal equipo= new AlgebraLineal();

float a=0, b=0, c=0, d=0, e=0, f=0, g=0, h=0, i=0, j=0, k=0, l=0, m=0, n=0, o=0, p=0, q=0, r=0, s=0, t=0, u=0, v=0, w=0, x=0, y=0, z=0, A=0, B=0, C=0, D=0, E=0, F=0, G=0, H=0, I=0, J=0;

int K, opc;

String aa="";

String bb="";

String cc="";

aa+=" INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA\n\n Prof. M.C. Jose Luis Ruiz Maldonado\n\n";

aa+=" ALGEBRA LINEAL\n\n";

aa+=" Proyecto de la unidad No. 3\n\n";

aa+=" Sistemas de ecuaciones lineales\n\n";

aa+=" ALUMNOS:\n";

aa+=" Guillermo Morales Maldonado\n Switmy Mayumi Alvarez Ruiz\n";

aa+=" Hipolito Magdaleno Dominguez\n Christian Gonzalo Jimenez Ancheyta\n\n";

aa+=" Ing. SISTEMAS COMPUTACIONALES\n Segundo Semestre\n\n";

aa+=" Tapachula Chiapas, a 11 de Noviembre del 2011";

JOptionPane.showMessageDialog(null,aa,"<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"B I E N V E N I D O AL P R O G R A M A","Instituto Tecnologico de Tapachula",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"ESTE PROGRAMA RESUELVE SISTEMA DE ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

145


JOptionPane.showMessageDialog(null,"RECUERDA QUE PRIMERO TIENES QUE INGRESAR LA MATRIZ POR LO CUAL DEBES DE DIJITAR PRIMERAMENTE EL #1","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

do{

opc=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"DIGITA LA OPCION DESEADA\n 1.- DETERMINANTE\n 2.- ADJUNTA\n 3.- INVERSA\n","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

if(opc==1)

{

JOptionPane.showMessageDialog(null,"INGRESA LOS COEFICIENTES DE TU SISTEMA DE ECUACION\n INGRESA LOS VALORES POR FILA","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE);

a=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL PRIMER VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

b=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL SEGUNDO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

c=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL TERCER VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

d=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL CUARTO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

e=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL QUINTO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

f=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL SEXTO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

g=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL SEPTIMO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

h=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL OCTAVO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

i=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null," DAME EL NOVENO VALOR","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

j=((a*e)*i)+((b*f)*g)+((d*h)*c);

146


k=((c*e)*g)+((b*d)*i)+((f*h)*a);

l=j-k;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"LA DETERMINANTE DE LA MATRIZ ES:" +l,"<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

}

if(opc==2)

{

JOptionPane.showMessageDialog(null,"CALCULANDO LA ADJUNTA","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE);

m=(e*i)-(f*h);

n=-((b*i)-(c*h));

o=(b*f)-(c*e);

p=-((d*i)-(f*g));

q=(a*i)-(c*g);

r=-((a*f)-(c*d));

s=(d*h)-(e*g);

t=-((a*h)-(b*g));

u=(a*e)-(b*d);

bb=bb+m +" " +n+" "+o+"\n";

bb=bb+p +" " +q+" "+r+"\n";

bb=bb+s +" " +t+" "+u+"\n";

JOptionPane.showMessageDialog(null,bb,"<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

}

if(opc==3)

{

147


JOptionPane.showMessageDialog(null,"CALCULANDO LA INVERSA DE LA MATRIZ","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE);

v=((1/l)*m);

w=((1/l)*n);

x=((1/l)*o);

y=((1/l)*p);

z=((1/l)*q);

A=((1/l)*r);

B=((1/l)*s);

C=((1/l)*t);

D=((1/l)*u);

cc=cc+v +" " +w+" "+x+"\n";

cc=cc+y +" " +z+" "+A+"\n";

cc=cc+B +" " +C+" "+D+"\n";

JOptionPane.showMessageDialog(null,cc,"<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

}

if(opc>=4)

{

JOptionPane.showMessageDialog(null,"ESTA OPCION NO ESTA DISPONIBLE","<<EQUIPO # 6>>",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

}

K=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"DESEAS REALIZAR ALGO MAS?? \n 1.- SI\n 2.-NO"));

}while(K==1); }}

148


ALGEBRA LINEAL


UNIDAD IV. “ESPACIOS VECTORIALES”

EQUIPO No. 6



149





M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


TAPACHULA, CHIAPAS; 02 DE DICIEMBRE DE 2011

INDICEESPACIOS VECTORIALES

Actividad 28. Definición de espacio vectorial 153-160

Actividad 29. Definiciòn de subespacio vectorial y sus propiedades________________161-165Actividad 30. Combinación Lineal. Dependencia e independencia lineal 166-169Actividad 31. Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base 170-176Actividad 32. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades…………….....177-179Actividad 33. Base ortonormal. Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt……. 180-183Actividad 34. Ejercicios…………………………………………………………………….… 184-209Actividad 35. Proyecto de la unidad 4: Programa que suma vectores……………..… 210-213

150


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 28 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

151


SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 28

DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de

un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los

elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre

dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o

requisitos iniciales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del

cuerpo, escalares.

Un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta

geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por un modulo (o

longitud) y una dirección (u orientación).

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta

dirigidos o flechas en el plano o en el espacio.

Ejemplos:

• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que

no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el

caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se

dirige.

• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su

efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que

opera.

• El desplazamiento de un objeto.

152


Se denomina escalar a los números reales o complejos que sirven para describir un

fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de dirección.

Formalmente es un tensor de rango cero.

En términos matemáticos, se llama escalar a los elementos de un cuerpo (en algunos

casos también a los elementos de un anillo), generalmente números, y en particular

se usa cuando se quiere distinguirlos claramente de los vectores en el álgebra lineal y

en cualquier rama que use módulos o espacios vectoriales.

Espacio Euclidiano Dimensional

Si n es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n

números reales (a1 ,a2 ,….an ). El conjunto de todas las n-adas ordenadas se conoce

como espacio n dimensional y se denota por Rn.

Cuando n=2, o bien, 3, es común usar los términos “pareja ordenada” y “terna

ordenada”, en lugar de 2-ada y 3-ada ordenadas. Cuando n=1, cada n-ada ordenada

consta de un número real y, por tanto R1 se puede concebir como el conjunto de los

números reales.

(a1 ,a2 , a3 )

(a1 ,a2 , a3 )

Se dice que dos vectores u=(u1 , u2 ,……un ) y v=(v1 , v2 ,……vn ) en Rn son iguales si:

u1=v1 . u2=u2,… ..un=vn

La suma de u + v se define por:

u+v=(u1+v1 , u2+v2 ,… ..un+vn )

Y si k es cualquier escalar, el múltiplo escalar ku se define por

153

a b


ku=(ku1 ,ku2 ,……,kun )

Las operaciones de adición y multiplicación escalar dadas en esta definición se

denominan operaciones estándar sobre Rn. Se define el vector cero en Rn como el

vector.

0=(0,0 ,… .. ,0 )

Si u=(u1 ,u2 ,…. ,un ) es un vector cualquiera en Rn, entonces el negativo (o inverso

aditivo) de u se denota por –u y se define por:

−u=(−u1 ,−u2 ,…. ,−un )

Se define la sustracción de vectores en Rn por v – u = v + (-u) o, en términos de las

componentes,

v−u=v+(−u )=(v1 , v2 ,…. , vn)+ (−u1 ,−u2 ,…. ,−un )

¿(v1−u1 , v2−u2 ,… .. , vn−un)

ESPACIO EUCLIDIANO n DIMENSIONAL

a) u+v=v+u

b) u+( v+w )=(u+v )+w

c) u+0=0+u=u

d) u+(−u )=0 , es decir , u−u=0

e) k (lu )=(kl )u

f) k (u+v )=ku+kv

g) (k+l )u=ku+lu

h) lu=u

154


Con este teorema se pueden manipular los vectores en Rn.

Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial x+u=v, se puede sumar –u a

ambos miembros y proceder como sigue:

( x+u )+(−u )=v+(−u )

x+(u−u )=v−u

x+0=v−u

x=v−u

Si u=(u1 , u2 ,……un) y v=(v1 , v2 ,……vn) son vectores cualesquiera en Rn, entonces el

producto euclidiano interior u * v se define por

u∗v=u1 v1+u2 v2 ,….+un v n

Ejemplo 1

El producto euclidiano interior de los vectores

u=(−1,3,5,7 ) y v=(5 ,−4,7,0)

En R4 es

u∗v=(−1 ) (5 )+ (3 ) (−4 )+ (5 ) (7 )+ (7 ) (0 )=18

En el siguiente teorema se listan las cuatro propiedades aritméticas principales del

producto euclidiano interior.

Si u, v y w son vectores en Rn y k es un escalar cualesquiera, entonces:

a) u∗v=v∗u

b) (u+v )∗w=u∗w+v∗w

c) (ku )∗v=k (u∗v )

d) v∗v≥0.ademas , v∗v=0 si y solo si v=0

155


Ejemplo 2

(3u+2v )∗(4u+v )= (3u )∗(4 u+v )+(2 v )∗(4 u+v )

¿ (3u )∗(4u )+ (3u )∗v+ (2 v )∗( 4u )+(2v )∗v

¿12 (u∗u )+3 (u∗v )+8 (v∗u )+2 ( v∗v )

¿12 (u∗u )+11 (u∗v )+2(v∗v )

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES

Sea V un conjunto arbitrario de objetos sobre los cuales se definen dos operaciones,

la adición y la multiplicación por escalares (números reales). Por adición se entiende

una regla para asociar, con cada pareja de objetos u y v en V, un elemento u + v,

llamado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiende una regla para asociar,

con cada escalar k y cada objeto en u en V, un elemento ku, llamado múltiplo escalar

de u por k.

a) Si u y v son objetos en V, entonces u + v esta en V.

b) u+v=v+u

c) u+( v+w )=(u+v )+w

d) Existe un objeto 0 en V tal que 0, u = u + 0 = u para todo u en V

e) k (u+v )−ku+kv

f) (k+l )u=ku+lu

g) lu−u

Ejemplo

El conjunto V=Rn, con las operaciones estándar de adición y multiplicación escalar

definidas en la sección anterior, es un espacio vectorial. Los axiomas 1 y 6 se

deducen de las definiciones de las operaciones estándar sobre Rn.

156


ESPACIOS VECTORIALES GENERALES

El argumento es semejante al que se uso en el ejemplo 5 y se basa en el hecho de

que los puntos de V satisfacen ecuaciones parametricas de la forma:

x=at

y=bt −z<t<+ z

z=ct

Ejemplo:

Sea V el conjunto de las funciones con valor real definidas sobre toda la recta real. Si

f=f(x) y g=g(x) son dos de esas funciones y k es cualquier numero real, se define la

función suma f + g y el múltiplo escalar hf por

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )

(kf ) ( x )=kf (x)

En otras palabras el valor de la función f + g en x se obtiene al sumar los valores de f

y g en x. El vector cero en este espacio es la función constante cero, es decir, la

función cuya grafica es una recta horizontal que pasa por el origen.

157


(1 ,−1 ) V

(−1 ,−1 )

158


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 29 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 29

DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

Algunos de los espacios vectoriales que hemos dado como ejemplo están

relacionados entre sı.

159


Por ejemplo, C(I) es subconjunto de RI y P puede pensarse como subconjunto C(R ),

ya que cada polinomio define una función continua en R . Más aun, las operaciones

son las mismas tanto en RI como en C(I) y tanto en C(R ) como en P. Esta situación

la de tener un subconjunto de un espacio vectorial V que, con las operaciones

definidas en V, también es un espacio vectorial es muy común y tiene consecuencias

importantes.

Definición de subespacio.

Un subconjunto S de un espacio vectorial V es subespacio de V si S es un espacio

vectorial con las operaciones definidas en V. Notamos que con esta definición C(I) es

subespacio de RI y P es subespacio de C(R). De acuerdo con la definición de

subespacio, para concluir que un subconjunto S de V es subespacio deberíamos

probar lo siguiente:

1. S no es vacío.

2. la suma y el producto definidos en V son operaciones cerradas en S, es decir,

u+v es elemento de S si u y v son elementos de S, y αu es elemento de S si α es un

escalar arbitrario y u es elemento de S (en caso contrario la suma no serıa una ley de

composición interna o el producto por escalares no serıa una ley de composición

externa).

3. se verifican las propiedades 1 a 8 de la definición de espacio vectorial.

Sin embargo no es necesario probar el tercer punto debido al siguiente

Teorema 1 (Teorema del subespacio). Sea S un subconjunto de un espacio vectorial

V. Entonces S es subespacio de V si y solo si se verifican las siguientes condiciones:

1. S no es vacío.

2. Si u y v pertenecen a S entonces u+v pertenece a S.

3. Si u pertenece a S y α es un escalar arbitrario, αu pertenece a S

160


Ejemplo

1. Claramente S = {0}, (el conjunto que solo contiene al elemento nulo de V) y S=V

son subespacios de V . A estos subespacios se los denomina subespacios triviales.

2. En R2 toda recta S que pase por el origen es subespacio. Esta afirmación puede

justificarse mediante el teorema del subespacio apelando a las interpretaciones

geométricas de la adición de vectores en el plano (regla del paralelogramo) y del

producto de vectores por escalares. En efecto, S no es vacío porque el origen de

coordenadas pertenece a S. Por otra parte, si sumamos dos vectores contenidos en

la recta S aplicando la regla del paralelogramo, se comprueba fácilmente que el vector

resultante pertenece a la misma recta. Por último, si multiplicamos un vector

cualquiera de S por un escalar, el vector que obtenemos tiene la misma dirección que

el primero y por lo tanto también pertenece a S.

Mediante argumentos geométricos y el teorema del subespacio también es posible

demostrar que toda recta o plano que contenga al origen es subespacio de R3

3. Sea A ∈ Kmxn (K = R o C), entonces S ={x ∈ Km : Ax = 0} es subespacio de Km.

Para comprobarlo usamos nuevamente el teorema del subespacio

161


i) S no es vacío porque 0 ∈ S, ya que A0 = 0.

ii) Sean u y v ∈ S. Por lo tanto Au = 0 y Av = 0. Entonces A(u+v) = Au+Ab = 0+0,

con lo cual u+v ∈ S.

iii) Supongamos u ∈ S. Entonces Au=0. Para comprobar que v=αu conα un escalar

arbitrario pertenece a S, veamos que Av=0.

PeroAv=A (αu)=α (Au)=α 0=0. Con esto último queda demostrado que S es

subespacio. A partir de este resultado se puede deducir en forma analítica que toda

recta en R2 que pase por el origen es subespacio. En efecto, si S es una recta que

pasa por el origen, sus puntos verifican una ecuación de la forma ax1 + bx2 = 0, es

decir, S={x∈ R2ax1+bx2=0 }.

Si llamamos A=[ab ] ,tenemos que S={x∈ R2: Ax=0 }, que es subespacio por lo que ya

vimos. En forma similar se demuestra que una recta S en R3 que pase por el origen

es subespacio. En este caso los puntos de S son solución de un sistema de dos

ecuaciones lineales homogéneas, es decir,

S={x∈ R3: ax1+bx2+cx3=0∧dx1+ex2+ fx3=0

Si ahora consideramos la matriz A = [a b cd e f ], tenemos que

S={x∈ R3: Ax=0 }, que es un subespacio de R3.

4. Dado un número natural o nulo n, denominado Pn al subconjunto de P compuesto

por los polinomios de grado menor o igual a n junto con el polinomio nulo. Entonces

p∈Pn si y solo si p=an tn+an−1t

n−1+…+a0.

Por ejemplo, p=t3+t y q=2 t2−t+1 son elementos de P3 ; q también es elemento de P2,

mientras que p no lo es.

Pn es subespacio de P y, por ende, es un espacio vectorial real. En efecto, Pnno es

vacío por que Pncontiene al polinomio nulo. Por otra parte, la suma de dos polinomios

de grado menor o igual a n es de grado menor o igual a n, y el producto de un

162


polinomio de grado menor o igual a n por una constante es igual es un polinomio

menor o igual a n, con lo cual las operaciones suma y producto son cerradas en Pn .

5. Dado un intervalo I de la recta real, consideremos al conjunto C1(I ¿ formado por to-

das las funciones f : I →R derivables con continuidad. Evidentemente C1(I ¿es un sub-

conjunto de C(I ¿, pues toda función derivable es continua. Afirmamos que C1(I ¿ es

un subespacio C(I ¿. En efecto, como la función nula es derivable y su derivada, que

es la misma función nula, es continúa, C1(I ¿, no es vacio. Por otra parte, si f y g perte-

necen aC1(I ¿, f +gpertenece a C1(I ¿, pues ( f +g ) =f +g . Similarmente, si f ∈C1(I ¿, y α

es un número real cualquiera, (a f ) =a f , es continua y, por lo tanto, a f pertenece a C1(

I ¿.

En forma similar se puede probar que C k(I), el conjunto compuesto por todas las fun-

ciones definidas en I que son k-veces derivables con continuidad, es subespacio de

C(I).

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 30 COMBINACION LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

EQUIPO No. 6


163






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 30

COMBINACION LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar

esos vectores multiplicados por sendos escalares.

v=a1 v⃗1+a2 v⃗2+⋯+an v⃗n

Cualquier vector se puede poner como

combinación lineal de otros que tengan

distinta dirección.

w⃗=2⃗u+3⃗v

Esta combinación lineal es única.

164


Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una

combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los

coeficientes de la combinación lineal.

a1 v⃗1+a2 v⃗2+⋯+an v⃗n=0

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos

se puede expresar como combinación lineal de los demás.

a1 v⃗1+a2 v⃗2+⋯+a3 v⃗3= 0⃗

v⃗1=−a2

a1

v⃗2−a3

a1

v⃗3

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano u⃗=¿ son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

u⃗=k v⃗ (u1 ,u2 , u3 )=(k v1 , k v2 , kv3)

u1

v1

=u2

v2

=u3

v3

=k

[ u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3]=0

165


Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 v⃗1+a2 v⃗2+⋯+an v⃗n=0⃗

a1=a2=⋯=an=0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componen-tes no son proporcionales.

[ u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3]≠0

Ejercicio hecho en clases

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser

escrito con una combinación lineal de los restantes.

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes.

a1 v⃗1+a2 v⃗2+⋯+an v⃗n=0

a1=a2=⋯=an=0

( u1 u2 u3

v1

w1

v2 v3

w2 w3)=0

166


EJERCICIO

Estudia si son linealmente independientes o dependientes los vectores

u⃗=(2,3,1 ); v⃗=(1,0,1 ) ; w⃗=(0,3 ,−1 )

¿a (2,3,1 )+b (1,0,1 )+c (0,3 ,−1 )=(0,0,0 )

2a+b=0

3a+3c=0

a+b−c=0

|2 1 03123

0 31 −11 00 3

|=(0+0+3 )−¿

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 31 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

EQUIPO No. 6

167







M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 31

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE

BASE.

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Base: Un conjunto finito de vectores v1 , v2 ,⋯ , vn es una base para un espacio

vectorial V si v1 , v2 ,⋯ , vn es linealmente independiente

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn

En Rn se define

1 0 0

e1=(00), e2=(010) , e3=(01) ,⋯ en=(00)

168


Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz

identidad (e1 , e2 , .. . , en ) es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto,

constituye una base en Rn.

Ejemplo

Base canónica para M22 que (1 00 0) (0 1 ) (0 0 ) (0 0 ), y generan a M22

Si (c1 c2

c3 c4)=(1 0

0 0)+(0 10 0)+(0 0

1 0)+(0 00 1)=(0 0

0 0)c1=c2=c3=c4=0

Entonces es obvio que c1=c2=c3=c4=0. Así, estas matrices son linealmente

independientes y forman una base para M22 .

Definición

Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión

de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de

dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Siv=(o )

entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye

una base, se ve que DimRn=n

CAMBIO DE BASE

Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1 ,u2 ,⋯será igual a

m1u1+m2u2+m3u3+⋯.

169


El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será

n1 v1+n2 v2+n3Supongamos que u1 ,u2 ,⋯ se representan en la base B2 de esta forma:

u1=a11v1+a21v2+⋯+an1 vn

u2=a12 v1+a22 v2+⋯+an2 vn

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

un=a1n v1+a2n v2+⋯+ann vn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x=m1 (a11 v1+a21 v2+⋯+an1 vn )+m2 (a12 v1+a22 v2+⋯+an2 vn )+⋯

Reordenando queda:

x=(m1a11 v1+m2a21 v2+⋯+mnan1 vn )v1+⋯+m1a1n v1+m2a2n v2+⋯+mnann vn+⋯

Comparando con la fórmula x=m1a11+m2a12+⋯+mna1n deducimos que:

n1=m1a11+m2a12+⋯+mna1n

n2=m1a21+m2a22+⋯+mna2n

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

nn=m1ann+m2an2+⋯+mna2n

Esto se puede expresar de forma matricial:

n1=a11+a12+⋯+a1nm1

n2=a21+a22+⋯+a2nm2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

170


nn=ann+an2+⋯+a2n mn

Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la

base B1 nos queda:

x '=Ax

despejando X nos queda:

x=A−x '

Base

Un conjunto de vectores {v1 , v2,⋯ , vn } forma una base para V si {v1 , v2 ,⋯ , vn } Es

linealmente independiente. {v1 , v2 ,⋯ , vn } genera V.

Así pues, Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en ℜn es una base

en ℜn . En ℜn definimos

e1(100⋮0) , e2=¿(

010⋮0),e3=(

001⋮0),⋯ , en=(

000⋮1)¿

Como los términos ei son las columnas de la matriz identidad (cuyo determinante es

1), entonces {e1, e2, ..., en} es linealmente independiente y, por tanto, constituye una

base en ℜn. Esta entidad especial se llama base canónica en ℜn.

171


Teorema 1. Si {v1 , v2 ,⋯ , vn } es una base de V y si v ∈ V, entonces existe un conjunto

único de escalares c1 , c2 ,⋯ ,cn tales que v=c1 v1, c2 v2 ,⋯ , cn vn

Teorema 2. Si {u1 , u2 ,⋯ , un } y {v1 , v2 ,⋯ , vn } son bases del espacio vectorial V,

entonces m = n; esto es, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V poseen el

mismo número de vectores.

Dimensión

Si el espacio vectorial V posee una base finita, la dimensión de V es el número de

vectores en la base, y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra

manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si v={0 } entonces V

se dice que es de dimensión cero.

Notación. Se simboliza la dimensión de V como dim V.

Teorema 3. Supóngase que dim v=n Si u1 ,u2 ,⋯ , um es un conjunto de m vectores

linealmente independientes en V, entonces m ≤ n.

Teorema 4. Sea H un subespacio del espacio vectorial V de dimensión finito.

Entonces H es finito-dimensional y dimH ≤dimV

Demostración. Sea dim v=n Cualquier conjunto de vectores en H linealmente

independiente, lo es también en V. Por el Teorema 3, cualquier conjunto linealmente

independiente en H, cuando más, contiene n vectores. Así pues, H es de dimensión

finita. Más aún, como una base en H es un conjunto linealmente independiente, se ve

que dim H ≤n

Teorema 5. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio

vectorial V de dimensión n, constituyen una base.

172


Ejercicios resueltos en clase

Base: Tres vectores u⃗ , v⃗ , w⃗ con distinta dirección forman una base, porque cualquier

vector se puede poner como combinación lineal entre ellos x⃗=(a ,b ,c )

Dimension: Si el espacio vectorial v⃗ tiene una base con un numero infinito de

elementos. Entonces la Dim v es el numero de vectores en todas las bases y v se les

denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si de otra manera a v se le

denomina de dimensión infinita. Si el espacio vectorial es igual a cero se dice que v

tiende Dim v=0

EJERCICIO

Para que los vectores de a los vectores u⃗=(1,1,1 ); v⃗=(1 , a ,1 ); w⃗=(1,1 , a )forman una

base.

|1 1 11111

a 11 a1 1a 1

|=a2+1+1−(a+1+a )=a2+2−a−1−a=a2+2−2a−1

¿

¿

Para a≠1 Forman una base.

173


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 32 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

EQUIPO No. 6





174



M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 32

ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS

PROPIEDADES

Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto

interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo

(u , v ) , llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α∈C ,

entonces:

PROPIEDADES:

1.- (v , v)≥0

EJEMPLO

Un producto interno en RnRn.- es un espacio con producto interno con (u , v )=u∗v .

2.-(v , v)=0 si y sólo si v=0.

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. Entonces

i U y v son ortogonales si (u , v )=0

EJEMPLO

175


Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3 ,−1) y (2 ,6 i) son ortogonales

porque

((3 ,−1) ,(2 ,6 i))=3∗2+(−i)(6i)=6+(−i)(−6 i)=6−6=0 Además (3 ,−i)¿=¿ .

3.-v .(u , v)=(v ,u)

Conjunto ortonormal.- El conjunto de vectores v1 , v 2 ,. . . , vn es un conjunto ortonormal

en V si

(vi , vj)=0 Para i

Y v i=¿1

4.- (u+v ,w)=(u ,w)+(v ,w)

5.- (u , v+w)=(u , v)+(u ,w)

6.- (α u , v)=α(u , v)

7.- (u ,α v)=α (u , v)

176


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 33 BASE ORTONORMAL, PROCESO ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 33

177


BASE ORTONORMAL, PROCESO ORTONORMALIZACION DE GRAM-

SCHMIDT

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt

En matemáticas y análisis numérico, el método de ortonormalización de

Gram–Schmidt de álgebra lineal es un método de ortogonalizar un conjunto de

vectores en un espacio prehilbertiano, más comunmente el espacio euclídeo Rn.

Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,

…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente

vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los

vectores v1, …, vk.

Este método lleva el nombre en honor a Jorgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Método de Gram–Schmidt

Definimos el operador proyección con

proju v=⟨v ,u ⟩⟨u ,u ⟩

u .

Proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u.

El método de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

178

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_(%C3%A1lgebra_lineal)&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Operador

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Erhard_Schmidt&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Linealmente_independiente&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonalizaci%C3%B3n&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_prehilbertiano

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal


http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt

u1=v1 e1=u1

∥u1∥

u2=v2−proju1 v2 , e2=u2

∥u2∥

u3=v3−proju1 v3−proju2 v3, e3=u3

∥u3∥

⋮ ⋮

uk=vk−∑j=1

k−1

proj u j vk , ek=uk

∥uk ∥

EJERCICIOS:

1.- Determina si las siguientes pares de valores son ortogonales o paralelos.

a)[ 2−1] y [32]

Solución:

|u→2+|√→2=|u→− v→|2

¿

179


{4+1 }+{9+4 }=(−1)2+(−3)2 = 5+13=1+9 = 18≠10

b )[ 2−1] y [35]

2 i−i3 i+5 i

u (2 ,−1 ) y v (3,5 );u . v=(2x 3 )+(−1 x5 )=6−5=1

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si el producto escalar es igual a cero

c){ 14

−7} y {232}=¿

(1,4 ,−7 ) (2,3,2 )=(1 x2 )+( 4 x3 )+ (−7 x2 )=2+12−14=0

d){1010} y {010

1}

(1,0,1,0 ) (0,1,0,1 )= (1 x 0 )+(0 x1 )+(1 x0 )+ (0x 1 )=0

2.-∝ y B , para que los vectores sean ortogonales.

{1∝23} y { 4

5−2 B

7}=0

(1 ,−∝ ,2,3 ) (4,5 ,−2 B ,7 )=0 ; 4−5∝−4 B−21=0 ; −5∝=−4+4B−21

∝=−4+4 B−215

=∝=45− 4B

5−21

5=−4−4 B+21

5

Sustituyendo

4−5 ( 4−4 B+215 )−4 B+21=0

180


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 34 EJERCICIOS

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 34

EJERCICIOS

181


EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINACION LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

1.- Dado S=((1,1,0) ,(0,2,3) ,(1,2,3)). Determinar si S es LI o LD.

(0,0,0 )=a (1,1,0 )+β (0,2,3 )+ y (1,2,3 )

(0,0,0 )=(a ,a ,0 )+(0,2 β ,3 β )+( y ,2 y ,3 y )

(0,0,0 )=(a+ y ,a+2 β+2 y ,3 β+3 y )

a+ y=0

a+2β+2 y=0

3 β+3 y=0

(1 010

23

1 02 03 0) f 2=f 2−f 1(1 0

00

23

1 01 03 0) f 2=

f 2

2=(1 0

03

13

1 012

0

3 0)

f 3=f 3−3 f 2(1 000

10

1 012

0

32

0) f 3=23f 3(1 0

00

10

1 012

0

0 0)

Solución:

como existe única solución (trivial) entonces S es Linealmente Independiente LI.

2.- Dado B=((1,1,3) ,(3,5,5) ,(2,1,8)) . Determinar si B es LI o LD.

182


(0,0,0 )=a (1,1,3 )+β (3,5,5 )+ y (2,1,8 )

(0,0,0 )=(a ,a ,3a )+(3 β ,5 β ,5 β )+(2 y , y ,8 y )

(0,0,0 )=(a+3 β+2 y ,a+5 β+ y ,3a+5 β+8 y )

a+3β+2 y=0

a+5β+ y=0

3a+5 β+8 y=0

(1 313

55

1 22 13 8) f 2=f 2−f 1(1 3

00

2−4

2 0−1 02 0) f 3=f 3+2 f 2(1 3

00

20

2 0−1 00 0)

3.-Sean el espacio vectorial ¿ y el conjunto T ∁

M 3∗1∗T=( (1,1,1 ) , (0,1,1 ) , (1,0 , k ) )

¿Para qué valores de K?

a) T es linealmente independiente

b) T es linealmente dependiente

(0,0,0 )=a (1,1,1 )+β ( 0,1,1 )+ y (1,0 , k )

(0,0,0 )=(a ,a ,a )+( 0 , β , β )+( y ,0,8 , yk )

(0,0,0 )=(a+ y ,a+β ,a+β+ y )

a+ y=0

a+ β=0

a+ β+ y=0

183


(1 011

11

1 00 0k 0) f 3=f 3−f 2(1 0

00

10

1 0−1 0k 0)k=0

a) ∀ k∈R={0 } El determinante de T es igual a cero; por lo tanto existe una única

solución, entonces ∀ k∈R={0 } T es linealmente independiente.

b) si k=0 es el determinante de T es igual a cero, por lo tanto existen infinitas so-

luciones; entonces si k=0, T es linealmente dependiente.

4.- Dado A=(2 t 2+t , t2+3 , t). Determinar si A es igual a LI o LD.

(0,0,0 )=a (2 t2+t )+β ( t2+3 )+ y ( t )

(0,0,0 )=(2a t2 , at )+(β t 2 ,3 β )+( yt )

(0,0,0 )=(3 β ,at+ yt ,2a t 2+ β t 2)

3 β=0

a+ y=0

2a+β=0

(0 312

01

0 01 00 0)=f 2→f 1(1 0

02

31

1 00 00 0) f 3=f 3−2 f 2(1 0

00

11

1 00 0

−2 0)f 3=f 3−f 2(1 0

00

10

1 00 0

−2 0) f 3=−12

f 3(1 000

10

1 00 01 0)

Solución:

como existe única solución (trivial) entonces Aes Linealmente Independiente LI.

184


5.- Dado D=(2 t2+t+1 ,3 t 2+ t−5 ,t+13) . Determinar si D es LI o LD.

(0,0,0 )=a (2 t2+t+1 )+β ( 3t 2+t−5 )+ y (t+13 )

(0,0,0 )=(2at 2, at , a )+(3 βt 2+βt−5 β )+( yt+13 y )

(0,0,0 )=(a−5 β+13 y ,at+ βt+ yt ,2at2+3 βt2 )

a−5 β+13 y=0

a+ β+ y=0

2a+3 β=0

(1 −512

13

13 01 00 0) f 2=f 2−f 1(1 −5

00

60

13 0−12 0−26 0) f 3=6 f 3−13 f 2(1 −5

00

60

13 0−12 0

0 0)∋∞soluciones

Como existen infinitas soluciones, entonces D es linealmente Dependiente (LD).

6.- Dado C=¿ . Determinar si C es LI o LD.

(0,0,0 )=a (1−3 t+3 t2−t3 )+β (1−2 t+ t2 )+ y (1−t )

(0,0,0 )=(a−3at+3at2−at3 )+ (β−2 βt+βt 2 )+( y− yt )

(0,0,0 )=(a+ β+ y ,−3at−2βt− yt ,3at2+βt 2 ,−at 3 )

a+ β+ y=0

−3a−2 β− y=0

3a+β=0

185


a=0

(1 1

−33

−1

−210

1 0−1 000

00) f 2=f 2+3 f 1(

1 1000

1−21

1 02 0

−31

00) f 3=f 3+2 f 2(

1 1000

100

1 02 01

−100)

f 4=f 4+ f 3(1 1000

100

1 02 011

00)∋ !solucion

Como existe única solución (trivial). Entonces C es linealmente independiente LI.

7.- Dado D=((2,1,3 ) , (1,2,1 ) , (1,1,4 ) ,(1 ,−5,1)) Determinar si D es LI o LD.

(0,0,0 )=a (2,1,3 )+β (1,2,1 )+ y (1,1,4 ) δ (1 ,−5,1 )

(0,0,0 )=(2a ,a ,3a )+(β ,2 β , β )+( y , y ,4 y ) ( δ ,−5δ , δ )

(0,0,0 )=(2a+β+ y+δ ,a+2β+ y−5 δ ,3a+β+4 y+δ )

2a+β+ y+δ=0

a+2β+ y−5 δ=0

3a+β+4 y+δ=0

(2 113

21

1 11 −54 1

000)=f 1→f 2(1 2

23

11

1 11 −54 1

000) f 3=f 3−3 f 1(1 2

00

−3−5

1 −5−1 111 16

000)

f 2=−13f

3(1 200

1−5

1 −513

−113

1 16

000) f 3=f 3+5 f 2(1 2

00

10

1 −513

−113

23

73

000)

∋∞soluciones

186


Como existen infinitas soluciones, Entonces E es linealmente dependiente LD.

8.- Dado B=((1 ,−1,2,1,5) ,(2,1,0,1,3) ,(0,1 ,−2,1,1)). Determinar si B es LI o LD.

(0,0,0 )=a (1 ,−1,2,1,5 )+β (2,1,0,1,3 )+ y (0,1 ,−2,1,1 )

(0,0,0 )=(a ,−a ,2a ,a ,5a )+ (2β , β ,0 , β ,3 β )+ (0 , y ,−2 y , y , y )

(0,0,0 )=(a+2 β ,−a+ β+ y ,2a−2 y ,a+β+ y ,5a+3 β+ y )

a+2β=0

−a+ β+ y=0

2a−2 y=0

a+ β+ y=0

5a+3 β+ y=0

(1 2

−1215

1013

0 01 0

−211

000) f 2=f 2+ f 1(

1 20000

3−4−1−7

0 01 0

−211

000) f 3=f 3−7 f 2(

1 20000

1000

0 0−1 0−641

000)

f 4=f 4+16f

3(1 20000

1000

0 0−1 0−600

000)

∋! solucion

Como existe única solución (trivial). Entonces B es linealmente independiente LI.

187


9.- Sea el espacio vectorial p2 ( x ) , s⊂ p2 ( x ) ;s={1−x+δ2 ,1−δx+x2 , δ+x+x2}

Determinar para que valores δ el conjunto s es:

A) Linealmente independiente

B) Linealmente dependiente.

(0,0,0 )=a (1−x+δ2 )+β ( 1−δx+x2 )+ y (δ+x+x2)

(0,0,0 )=(a−ax+aδ 2 )+(β−βδx+βx2 )+( yδ+ yx+ y x2)

(0,0,0 )=(a+ β+ yδ ,−ax−βδx+ yx ,aδ2+βx2+ y x2 )

a+ β+ yδ=0

−a−βδ+ y=0

aδ+β+ y=0

|s|=( 1 1−1δ

δ1

δ 01 01 0)

|s|=−δ−δ+δ+δ 3−1+1

|s|=δ 3−δ

|s|=δ (δ2−1 )

|s|=δ ( δ+1 ) (δ−1 )

∴ δ=0; δ=1;δ=−1

188


a) ∀ δ∈R−{0,1 ,−1 } El determinante de s es diferente de cero, entonces existe

única solución por lo tanto ∀ δ∈R−{0,1 ,−1 } s es linealmente independiente LI.

b) si δ=0; δ=1 ;δ=−1 El determinante de s es igual a cero, entonces existen infi-

nitas soluciones, por lo tanto si δ=0 ;δ=1 ;δ=−1 s es linealmente dependiente

LD.

10.- Dado A=(2−3 t+2 t2 ,−1+2 t−2 t 2 ,−3+4 t +2t 2) Determinar si A es LI o LD.

(0,0,0 )=a (2−3t+2t 2 )+β (−1+2t−2t 2 )+ y (−3+4 t+2 t2 )

(0,0,0 )=(2a−3at+2at 2)+ (−β+2βt−2βt 2 )+(−3 y+4 yt+2 yt 2 )

(0,0,0 )=(2a−β−3 y ,−3at+2 βt+4 yt ,2at 2−2βt 2+2 yt 2 )

2a−β−3 y=0

−3a+2 β+4 y=0

2a−2β+2 y=0

( 2 −1−32

2−2

3 0−4 02 0) f 1=

12f 2( 1

−12

−32

2−2

32

0

−4 02 0

) f 3=f 3−2 f 1(1−12

00

231

32

0

12

0

4 0)

f 2=f 2−23f 3(1

−12

00

01

32

0

0 04 0

) f 2→f 3(1−12

00

10

32

0

4 00 0

)∋∞soluciones

Como existen infinitas soluciones, entonces A es linealmente dependiente LD.

189


EJERCICIOS RESUELTOS DE BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL. CAMBIO DE BASE

1 para que valores de a los vectores u=1,1,1, v=1,a,1 y w=(1,1,a) forman una base.

1111a111a1111 a1≠0

a2+1+1−a+1+a=a2+1+1−a−1−a

¿a2−2a+1≠0 (a−1)2

(a−1)2≠0 ;a≠1

Para a≠1 forma una base

2. Si V=R3, una base muy sencilla de V es:

β=1,0,0 ;0,1,0 ;(0,0,1)

la cual es conocida como base canónica de R3. Otras bases de R3 son:

β'=2,0,0;0,1,0;(0,0,1) β ' '=1,1,1 ;1,1,0 ;(1,0,0)

190


β ' ' '=504,0,0 ;0,7,0 ; (0,0,1/2)

En general, toda base de R3 estará formada por tres vectores linealmente

independientes que pertenezcan a R3. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un

conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.

1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V

serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.

2. No todas las bases tienen un número finito de elementos.

3. Las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos

elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X : β=1 , x , x2 , x3 ,…

Dimension sobre un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial sobre K:

Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.

Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

Notacion:

Dado un espacio vectorial E y un subespacio F ∁ E, tenemos que:

Si E tiene dimensión n o indicaremos como

dimE=n .

191


Si F tiene dimension m como subespacio de E lo indicaremos como

dimEF=m .

4. Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+

m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores

unitariosV 1 ,V 2 , ...¿ serán1V 1+n2V 2+n3V 3+ ...

Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:

v1=a11 v1+a21 v2+...+an1 vn

v2=a12 v1+a22 v2+...+an2 vn

¿¿

vn=a1n v1+a2n v2+...+ann vn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x=m1(a11v1+a21 v2+...+an1 vn)+m2(a12 v1+a22 v2+ ...+an2 vn)+ ...

Reordenando queda:

x=(m1a11+m2a12+ ...+mna1n)v 1+ ...+(m 1an1+m2an2+...+mn ann)v n

Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:

n1=m1a11+m2a12+...+mna1n

n2=m1a21+m2a22+ ...+mna2n

¿¿

192


nn=m1ann+m2an2+...+m1ann

Esto se puede expresar de forma matricial:

n1=a11+a12+...+a1nm1

n2=a21+a22+…+a2nm2

¿¿

nn=ann+an2+...+annmn

Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la base B1

nos queda:

X '=AX

despejando X nos queda:

X=A−1 X '

5. Se consideran las siguientes bases de R5

B1={(1,1,1,1,1) ,(1,1,1,1,0) ,(1,1,1,0,0) ,(1,1,0,0,0), (1,0,0,0,0)}

B2={(1,3,2 ,−1,1), (0,1,2,1,0),(2,0,0,1,1) ,(3,1,2,4 ,−2) ,(1,3,2,1,2)}

Hallar con la ayuda de DERIVE:

a) Las coordenadas de los vectores de la base B2 respecto de la base B1

b) Las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto de la base B2.

193


"Definimos los vectores de B1"

v1:=[1,1,1,1,1]

v2:=[1,1,1,1,0]

v3:=[1,1,1,0,0]

v4:=[1,1,0,0,0 ]

v5:=[1,0,0,0,0]

"Y los vectores de B2"

v1:=[1,3,2 ,−1,1]

v2:=[0,1,2,1,0]

v3:=[2,0,0,1,1]

v4:=[3,1,2,4 ,−2]

v5:=[1,3,2,1,2]

"(a)"

x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v1

¿

x1+ x2+x3+x4=3 ,

x1+ x2+x3=2 ,

x1+ x2=−1 ,

x1=1¿

[ x1=1, x2=−2 , x3=3 , x4=1 , x5=−2]

"coordenadas de v1 en base B1"

x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v2

¿

194


x1+ x2+x3+x4=1 ,

x1+ x2+x3=2 ,

x1+ x2=1

x1=0¿

[ x1=0 , x2=1 , x3=1 , x4=−1 , x5=−1]

"coordenadas de v2 en B1"

x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v3

¿

x1+ x2+x3+x4=1

x1+ x2+x3=0 ,

x1+ x2=1,

x1=1¿

[ x1=1, x2=0 , x3=−1 , x4=0 , x5=2]


x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v 4

¿

x1+ x2+x3+x4=1

x1+ x2+x3=2 ,

x1+ x2=4 ,

x1=−2¿

[ x1=−2 , x2=6 , x3=−2 , x4=−1 , x5=2]


195


x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v5

¿

x1+ x2+x3+x4=3

x1+ x2+x3=2 ,

x1+x 2=1 ,

x1=2¿

[ x1=2 , x2=−1, x3=1 , x4=1 , x5=−2 ]


"(b)"

x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v1

¿

3∗x1+x2+x4+3∗x5=1 ,

2∗x1+2∗x2+2∗x4+2∗x5=1

−x1+ x2+x3+4∗x 4+ x5=1

x1+ x3−2∗x4+2∗x5=1¿

[ x1=−568

, x2=9

34, x3=

2768

, x4=−168

, x5=1134

]


x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v2

¿

3∗x1+x2+x4+3∗x5=1 ,

2∗x1+2∗x2+2∗x4+2∗x5=1

−x1+ x2+x3+4∗x 4+ x5=1

x1+ x3−2∗x4+2∗x5=0¿

196


[ x1=768

, x2=1

34, x3=

368

, x4=1568

, x5=5

34]


x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v3

¿

3∗x1+x2+x4+3∗x5=1 ,

2∗x1+2∗x2+2∗x4+2∗x5=1

−x1+ x2+x3+4∗x 4+ x5=0

x1+ x3−2∗x4+2∗x5=0¿

[ x1=3568

, x2=5

34, x3=

1568

, x4=7

68, x5=

−934

]

"coordenadas de v3en B2"

x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v 4

¿

3∗x1+x2+x4+3∗x5=1 ,

2∗x1+2∗x2+2∗x4+2∗x5=0

−x1+ x2+x3+4∗x 4+ x5=0

x1+ x3−2∗x4+2∗x5=0¿

197


[ x1=1134

, x2=−1317

, x3=−534

, x4=934

, x5=3

17]


x1∗v1+x2∗v2+x3∗v3+x4∗v4+x5∗v5=v5

¿

3∗x1+x2+x4+3∗x5=0 ,

2∗x1+2∗x2+2∗x4+2∗x5=0

−x1+ x2+x3+4∗x 4+ x5=0

x1+ x3−2∗x4+2∗x5=0¿

[ x1=517

, x2=−117

, x3=7

17, x4=

117

, x5=−517

]

coordenadas de {v} rsub {5} en B2

6. SeaB={(1,0 ,−1) ,(−1,1,0) ,(1,1,1)} yC={(1,1,0) ,(1,0,1),(0,1,1)}bases de Â3.

Queremos hallar la matriz de transición de la base B a la Base C. Para ello expresamos los

vectores de la base B como combinación lineal de los vectores de la base C, es decir

(1,0 ,−1)=a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)

(−1,1,0)=a(1,1,0)+b(1,0,1)+g(0,1,1)

(1,1,1)=a (1,1,0)+b(1,0,1)+g (0,1,1) ,

lo cual nos lleva a los 3 sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz,

1=a+b

−1=a+b

1=a+b

0=a+g

1=a+g

1=a+g

−1=b+g

198


0=b+g

1=b+g

Û [ (1,0 ,−1)]C=(1,0 ,−1)[(−1,1,0)]C=(0 ,−1,1)[(0,1,1)]C=(1/2,1/2,1/2)

por lo tanto la matriz de transición buscada es , en efecto, si w=(2,-3,4), en el ejemplo

anterior comprobamos que

(2 ,−3,4 )=−3(1,0 ,−1)−4 (−1,1,0)+1(1,1,1)Þ

[(2 ,−3,4 )]B=(−3 ,−4,1)

En efecto,

(−52

)(1,1,0)+( 92)(1,0,1)+(−1

2)(0,1,1)=(2,−3,4)

Sean B={4 x−1,2 x2−x ,3 x2+3 },C={1,1+x ,1+x+x2¿} bases de P2.

a) Encuentre A, la matriz de transición de la base B a la base C

b¿ Si [P(x )]B=(3 ,−2,1), encuentre [ p(x )]C

c ¿Si [q (x)]C=(1,2,1) , ,encuentre [q (x )]B y q(x )

Solución1:

1+2 x+3 x2=1.1+2. x+3.x2Þ[1+2 x+3 x2]

B=(1,2,3)

Solución 2

a)

199


(1,0)=a(1,1)+b(−1,1)1 ,0=a−b

(0,1)=a(1,1)+b(−1,1)0 ,1=a+b

b)

(1,1)=a (1,0)+b(0,1)a=1b=1

(−1,1)=a (1,0)+b(0,1)a=−1b=1

A y P son matrices inversas

Conjetura:

Si A es la matriz de transición de la base S a la base B, entonces A-1 es la matriz de

transición de la base B a la base S, En efecto, A [v ]S=[v ]B Þ[v ]B=A−1 [v ]S

¿Porqué podemos asegurar que A es invertible?

w=3(1,1)-2(-1,1) = (5,1)

Solución3:

es la matriz de transición de la base B a la base canónica.

es la matriz de transición de la base C a la base canónica.

Por lo tanto Q-1 es la matriz de transición de la base canónica a la C.

Q-1P es la matriz de transición buscada; en efecto

Q-1*(P*[w]B)= Q-1*[w]S=[w]C

EJERCICIOS RESUELTOS DE BASE ORTONORMAL. PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT

1.- Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn (con el convencional producto

interno)

200


s={v1=(31) , v2=(32)}

Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

u1=v1=(31)

u2=v2−proju1 v2=(22)−proj(31)(

22)=(−2/5

6 /5 ) .

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

⟨u1 ,u2 ⟩=⟨(31)(−2/56/5 ) ,⟩=−6

5+6

5=0.

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamaño como hemos

mostrado anteriormente:

e1=1

√10 (31) ; e2=1

√ 4025

(−2565

)= 1

√10 (−13 )

2.- Utilizando el procedimiento de Gram- Schmidt ortonormalizar la base siguiente:

B= {V 1 ,V 2 ,V 3 }={1,2,3 }

PASO 1: Convertir la base dada en una base ortogonal (B´)

W 1=V 1→W 1=1

W 2=V 2−proyw1 v2→w2=2−(1 ) (2 )→w2=0

w3=v3−proyw2 v3−proyw1 v3→w3=3−( 0 ) (3 )−(1 ) (3 )→w3=0

B= left lbrace {W} rsub {1} , {W} rsub {2} , {W} rsub {3} , right rbrace = left lbrace 1,0,0 right rbrace

201


PASO 2: Convertir la base ortogonal (B´) (B´) en una base ortonormal (B´´).

ui=wi

‖wi‖, donde i=1,2 ,…,n u1=

w1

‖w1‖=1

1=1 u2=

w2

‖w2‖=0

0=∉

B= left lbrace {u} rsub {1} , {u} rsub {2} , {u} rsub {3} , right rbrace = left lbrace 1, , right rbrac∉ ∉

u3=w3

‖w3‖=0

0=∉

Como w2 y w3 no existen la base dada no se puede ortonormalizar

3.- Dado el espacio vectorial V de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el

producto escalar:

.

Calcular la matriz asociada al producto escalar respecto de la base

SOLUCIÓN:

Un producto escalar es un caso particular de forma bilineal simétrica, por lo tanto

existe una matriz simétrica asociada al producto escalar, respecto de cualquier

base B= {U ,V }de . Dicha matriz vendrá dada por: (U∗U U∗VU∗V V∗V )

En este caso particular tenemos que: y que .

Tal y como se ha definido el producto escalar, lo que sabemos es que:

202


1∗1=∫0

1

1.1dx=∫0

1

dx=1

1∗x=∫0

1

1.xdx=∫0

1

xdx=1/2

x∗x=∫0

1

x . xdx=∫0

1

x2dx=1 /3

Luego, la matriz asociada al producto escalar en la base (1 , x ) es:

( 1 1/21/2 1/3)

4.- De un producto escalar definido en respecto de la baseB= {U ,V }, se sabe que:

i ¿U∗U=2

ii¿U∗(3U+V )=5

iii¿ v∗v=5 (U∗U )

a) Calcular la matriz asociada al producto escalar.

b) Calcular (2,3 )∗(1,4 )

SOLUCIÓN:

a) A=(U∗U U∗VU∗V V∗V )

Tenemos que:

U∗U=2

203


U∗(3U+V )=5⟹3 (U∗U )+ (U∗V )=5⟹6+U∗V=5⇒U∗V=−1 V∗V=5 (U∗U )=10

La matriz asociada al producto escalar es: A=( 2 −1−1 10 )

b) (2,3 )∗(1,4 )=(2,3 ) A (14)=(2,3 )( 2 −1

−1 10 )(14)=113

5.- Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión N y U un subespacio vectorial

de E, , el subespacio complemento ortogonal de U, calcular:

a) dim (U∩U⊥ )

b) dim (U+U⊥ )

SOLUCIÓN:

a) Sabemos que la suma de U yU⊥ es directa, por tanto U∩U⊥={0 } con lo cual

U∩U⊥=0

b) Además de ser suma directa se tiene que U ⨁U⊥=V , directamente se obtiene que

dim (U+U⊥ )=dim ( v )=n

6.- Sea f={( x , y , z )∈⊓3

2 x+ y−z=0} calcular una base ortonormal de

SOLUCIÓN:

Primero hallaremos una base de si es ortogonal, bastaría con normalizar y el

problema estaría resuelto, sino aplicaremos el método de Gram-Schmidt para

transformarla en otra base de que sea ortonormal.

f={( x , y , z )∈⊓3

2 x+ y−z=0}={( x , y , z )∈⊓3

z=2 x+ y }=¿

204


{( x , y ,2 x+ y )∈n3 x , y ,∈⊓}=⟨ (1,0,2 ) , (0,1,1 ) ⟩

Una base para F es B1={(102) ,(

011)}= {U 1 ,U 2 } que sus vectores no son ortogonales

ya que U 1−T−U 2=(1,0,2 )(011)=2≠0

Aplicamos el método de Gram-Schmidt

V 1=U 1=(102)

V 2=U 2=(011)−2

5 (102)=(−2/5

11/5 )

B2={(102) ,(

−2/51

1/5 )} es una base ortogonal de F y normalizando los vectores de B2 se

obtiene B

3={(1/√ 50

2/√ 5),(−2 /305 /√ 301/√ 30)}que es una base ortonormal de

7.- Considérese el espacio vectorial con el producto interior euclidiana. Aplicar el

proceso de gram-schmidt para transformar los vectores básicos

v1=(1,1,1 ) , v2=(0,1,1)Y v3=(0,0,1)

Calcular la base ortogonal

a¿ v1=(1,1,1) , v2=(−2/3,1/3,1/3) , v3=(0 ,−1/2,1/2)

b¿ v1=(2,3,1) , v2=(−2/3,1/3,1/3) , v3=(0 ,−1/2,1/2)

205


c ¿v1=(4,5,1) , v2=(−2/3,1/3,1/3) , v3=(0 ,−1/2,1/2)

d ¿v1=(7,8,1), v2=(−2 /3,1 /3,1/3) , v3=(0 ,−1 /2,1 /2)

e ¿v1=(9,5,1), v2=(−2 /3,1/3,1/3) , v3=(0 ,−1/2,1/2)


proceso de gram-schmidt para transformar los vectores básicos x1=(1,1) , x2=(1,2)

Calcular la base ortogonal

a¿ v1=(1,1) , v2=(−1 /2,1 /2)

b¿ v1=(3,1) , v2=(−1 /2,1 /2)

c ¿v 1=(5,1) , v 2=(−1/2,1/2)

d ¿v 1=(7,1) , v 2=(−1/2,1/2)

e ¿v1=(9,1) , v 2=(−1/2,1/2)

9.-Considérese el espacio vectorial con el producto interior euclidiana. Aplicar el

proceso de gram-schmidt para transformar los vectores básicos x1=(1,1) , x2=(1,2)

Calcular la base ortonormal

a¿q1=(0.707,0.707) , q2=(−0.707,0 .707)

b¿q1=(2.707,2 .707) , q2=(−0.707,0 .707)

c ¿q1=(4.707,4 .707), q2=(−0.707,0 .707)

d ¿q1=(6.707,6 .707) , q2=(−0.707,0 .707)

e ¿q1=(7.707,7 .707), q2=(−0.707,0.707)

206



proceso de gram-schmidt para transformar los vectores básicos

x1=(1,−1 ,−1), x2=(0,3,3), x3=(2,3,4)

Calcular la base ortonormal

a¿q1=(0.577 ,−0.577 ,−0.577) , q2=(0.816,0 .408,0 .408) ,q3=(0 ,−0.707,0 .707)

b¿q1=(2.577 ,−0.577 ,−0.577) , q2=(0.816,0 .408,0 .408), q3=(0 ,−0.707,0 .707)

c ¿q1=(4.577 ,−0.577 ,−0.577) , q2=(0.816,0 .408,0 .408), q3=(0 ,−0.707,0 .707)

d ¿q1=(6.577 ,−0.577 ,−0.577) ,q2=(0.816,0 .408,0.408) , q3=(0 ,−0.707,0 .707)

e ¿q1=(8.577 ,−0.577 ,−0.577), q2=(0.816,0.408,0 .408) , q3=(0 ,−0.707,0 .707)

ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 35 PROYECTO: PROGRAMA QUE SUMA VECTORES

EQUIPO No. 6


207






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



Actividad No. 35

PROYECTO DE LA UNIDAD NO. 4

import javax.swing.*;

public class Vectores

{

public static void main (String arg [])

{

Vectores yo=new Vectores();

int a,i, opc = 0;

float c, e[], suma=0, sum=0, r=0, re=0, res=0, resul = 0, ang=0, angu=0, angulo=0, b,

d;

e = new float[200];

String aa="";

208


aa+=" INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA\n\n Prof.

M.C. Jose Luis Ruiz Maldonado\n\n";

aa+=" ALGEBRA LINEAL\n\n";

aa+=" Proyecto de la unidad No. 4\n\n";

aa+=" Espacios Vectoriales\n\n";

aa+=" ALUMNOS:\n";

aa+=" Guillermo Morales Maldonado\n Switmy Mayumi

Alvarez Ruiz\n";

aa+=" Hipolito Magdaleno Dominguez\n Christian Gonzalo

Jimenez Ancheyta\n\n";

aa+=" Ing. SISTEMAS COMPUTACIONALES\n

Segundo Semestre\n\n";

aa+=" Tapachula Chiapas, a 11 de Noviembre del 2011";

JOptionPane.showMessageDialog(null,aa,"<<EQUIPO #

6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"B I E N V E N I D O AL P R O G R A M

A","Instituto Tecnologico de Tapachula",JOptionPane.ERROR_MESSAGE);

do

{

a=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"CUANTOS VECTORES

TIENES?","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

for(i=1;i<=a;i++)

{

209


b=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null,"INTRODUCE EL

VECTOR","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

d=Float.parseFloat(JOptionPane.showInputDialog(null,"INTRODUCE EL VALOR DEL

ANGULO","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

c= (float)Math.cos(d * Math.PI / 180);

e[i]=c*b;

suma=suma+e[i];

c= (float) Math.sin(d * Math.PI / 180);

e[i]=c*b;

sum=sum+e[i];

r=suma*suma;

re=sum*sum;

res=r+re;

resul= (float) Math.sqrt(res);

ang=sum/suma;

angu= (float) Math.atan(ang);

angulo=angu+180;

String bb="";

bb=bb+"SUMARTORIA F(X) ES="+suma+"\n";

bb=bb+"SUMARTORIA F(Y) ES="+sum+"\n";

bb=bb+"LA RESULTANTE ES="+resul+"N"+"\n";

bb=bb+"EL ANGULO ES="+angulo+"º"+"\n";

210


JOptionPane.showMessageDialog(null,bb,"<<EQUIPO

#6>>",JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE);

}

opc=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"1.- REGRESAR\n2.-

SALIR","<<EQUIPO #6>>",JOptionPane.QUESTION_MESSAGE));

}while(opc==1);

}

}

ALGEBRA LINEAL


UNIDAD V. TRANSFORMACIONES LINEALES

EQUIPO No. 6




211




M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



INDICE

TRANSFORMACIONES LINEALES

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES___________________________216-219

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES___________________________220-228

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES_________________229-236

212


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 36 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

EQUIPO No. 6





213



M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 36

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Se inicia el estudio de las funciones con valor vectorial de una variable vectorial.

Es decir, funciones que tienen la forma w=f (v) en donde la variable independiente v y

la dependiente w son vectores. Se enfoca la atención en una clase especial de

funciones vectoriales conocidas como transformaciones lineales. Estas funciones

tienen muchas aplicaciones importantes en física, ingeniería, ciencias sociales y

diversas ramas de las matemáticas.

Si V Y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en

W, con cada vector en V, se dice que F aplica (mapea) Ven W y se escribe

F :V →WAdemás, si F asocia el vector w al vector v se escribew=F (v ) y se dice que

w es la imagen de v bajo F.

Como ilustración, si v=(x , y)es un vector en R2 , entonces la fórmula

F (v )=(x , x+ y , x− y)

Define una función que aplica R2 en R3. En particular, si v=(1,1), entonces x=1y y = 1

de modo que la imagen de v bajo F es F ( v )=(1,2 ,0).

Definición

214


Si F :→W es una función del espacio vectorial V hacia el espacio vectorial W,

entonces F es una transformación lineal si

i.- F (u+v )=F (u )+F(v ) para todos los vectores de u y v en V.

ii.- F ( ku )=kF(u) para todos los vectores de u en V y todos los escalares k.

sea F :R2→R3 la función F (v )=(x , x+ y , x− y)

si u = (x1 , y1¿ y v = (x2 , y2¿, entonces u + v = (x¿¿1+x2 , y1+ y2)¿de modo que:

F (u+v )=(x1+x2 , [x1+x2 ]+ [ y1+ y2 ] , [ x1+x2 ]−[ y1+ y2 ])

= (x1 , x1+ y1 , x1− y1)+¿¿

= F (u )+F (v)

También, si k es un escalar,ku=k x1 , k y1 de manera que:

F ( ku )=¿

¿k ¿

¿kF (u )

Por lo tanto, F es una transformación lineal.

Si F :V →W es una transformación lineal, entonces para v1y v2 cualesquiera en V y

cualesquiera escalares k 1 y k 2, se tiene que:

F (k1 v1+k2 v2 )=F (k1 v1 )+F (k2 v2 )=k1F (v1 )+k2 F(v2)

De modo análogo, si v1, v2……………….vn son vectores en V y k 1, k2………………k n son

escalares, entonces:

F (k1 v1+k2+…………….+kn vn )=k1F (v1 )+k 2F (v2 )+…………+knF (vn)

215


DOS OBSERVACIONES SOBRE NOTACION

1.- Se escribe T :V →W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al

espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un

subconjunto de W como imagen.

2.- Se escribe indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”.

Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

Ejemplo

Sean V Y W dos espacios vectoriales cualesquiera. La aplicación T :V →W tal que

T ( v )=0 para todo v en V es una transformación lineal conocida como transformación

cero. A fin de ver que T es lineal, obsérvese que

T (u+v )=0 ,T (u )=0 , T ( v )=0T (ku )=0

Por lo tanto

T (u+v )=T (u )+T ( v ) y T (ku )=kT (u)

Ejemplo

Sea V cualquier espacio vectorial. La aplicación T :V →V definida por T ( v )=v se

conoce como transformación identidad sobre V.

Si, T :V →V es una transformación lineal de un espacio vectorial Ven sí mismo,

entonces T es un operador lineal sobre V.

216


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 37 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: IMAGEN Y NUCLEO

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

SEGUNDO SEMESTRE


217



ACTIVIDAD No.37

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:IMAGEN Y NUCLEO

Teorema 1

Sea T :V →W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores

u , v , v1 v2 ,…………… ..vn en V y todos los escalares a1, a2 ,……… ..an :

i. T(0) = 0

ii. T(u – v) = Tu – Tv

iii. T(a1 v1+a2 v2+… ..+an vn=a1T v1+a2T v2+……+anT vn

Nota:

En la parte de i el cero de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el cero de

la derecha es el vector cero en W.

Demostracion.-

i. T (0)=T (0+0)=T (0)+T (0) .

Asi 0=T (0)– T (0)=T (0)+T (0) –T (0)=T (0)

ii. T(u – v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tviii. Esta parte se prueba por inducción. Para n = 2 se tiene T ¿ = T ¿ . Así la ecuación

(1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k, y se prueba para

n=k+1 :T (a1 v1+a2 v2+… ..+ak vk+ak +1 vk+1 )=T (a1 v1+a2 v2+… ..+ak vk )+T (ak+1v k+1)

Y usando la ecuación en la parte iii) para n = k, esto es igual a

a1T v1+a2T v2+….+akT vk+ak+1T vk+1 ¿

Que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

218


Observación:

Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii).

Un dato importante de las transformaciones lineales es que están completamente

determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2

sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1 ,v2 ,……vn }. Sean

w1 ,w2 ,…..wn vectores en W. suponga que T 1 ,T2 son transformaciones lineales de V en

W tales que T 1 v1=T2 v i=wi para i = 1, 2, ….., n. Entonces para cualquier vector v ∈V ,

T 1 v=T 2 v ; es decir T 1=T2.

Demostración.-

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares a1, a2 ,……….an tales

que v=a1 v1+a2 v2+…..+an vn . Entonces el inciso iii) del teorema 1,

T 1 v=T 1¿

¿a1w1+a2w2+….+anwn .

De manera similar

T 2 v=T 2¿

¿a1w1+a2w2+….+anwn .

Por lo tanto, T 1 v=T 2 v

El teorema 2 indica que si T=V →W y V tiene dimensión finita, entonces solo es

necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es si

se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de

cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2 ,… ,vn

219


una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en la prueba del teorema

2

Tv=a1Tv1+a2Tv2+…..+anTvn

Asi, se puede calcular Tv para cualquier vector v ∈V si se conocen Tv1 ,Tv2,……Tvn

Ejemplo:

Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se

conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que T = (100)=(23),

T=(010)=(−1

4 ) y T=(001)=( 5

−3) . Calcule T ( 3−45 )

Solución:

Se tiene

( 3−4

5 ) = 3(100)−4 (010)+5(001)

Entonces

T( 3−4

5 ) = 3T(100)−4T (010)+5T (001)¿3(2

3)-4T(−14 )+5T ( 5

−3)=(69)+( 4

−16)+( 25−15)=( 35

−22)Surge otra pregunta; si w1 ,w2 ,………wn son n vectores en W, ¿existe una transformación

lineal T tal que Tv1=w1, para i = 1, 2, …, n? La respuesta es si, como lo muestra el

siguiente teorema.

220


Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1 ,v2 ,……vn }. Sea W un

espacio vectorial que contiene los vectores w1 ,w2 ,…..wn. Entonces existe una

transformación lineal única T :V →W tal que Tv1=w1 para i = 1, 2, …, n.

Demostracion.-

i. Tv1=w1

ii. Si v=a1 v1+a2 v2+…..+an vn,

Entonces

Tv = a1w1+a2w2+….+anwn .

Como B es una base para V, T esta definida para todo v ∈ V; y como W es un espacio

vectorial, Tv ∈ W. Entonces falta demostrar que T es lineal; lo que se deduce

directamente de la ecuación (1). Si u = a1 v1+a2 v2+… ..+an vn, y v =

β1 v1+ β2 v2+… ..+βn vn,

Entonces:

T (u+v )=T [ (a1+β1 )v1+(a2+β2 )v2+… ..+(an+βn )vn]

¿ (a1+ β1 )w1+(a2+β2 )w2+… ..+(an+βn )wn ¿

¿ (a1w1+a2w2+… ..+anwn )+¿

¿Tu+Tv

De manera similar, T(αv ¿=αTv , asi que T es lineal. La unicidad de T se obtiene del

teorema 2 y la prueba queda completa.

Observación.-

221


En los teoremas 2 y 3 los vectores w1 ,w2 ,…..wn. no tienen que ser independientes y, de

hecho, ni siquiera tienen que ser distintos. Mas aun, se hace hincapié en que los

teoremas se cumplas si V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita, no solo

Rn. Observe que también W no tiene que ser finita.

Ejemplo

Definición de una transformación lineal de R2 en R3

Encuentre una transformación lineal de R2 en el plano.

W={( xyz ):2 x− y+3 z=0 }Solución

Se sabe que W es un subespacio en R3 con vectores básicos w1=(120) y w2=(0

31).

Utilizando la base estándar R2, v1=(10) y v2=(01)

Se define la transformación lineal T por T = (10)=(120) y T=(01)=(031)Entonces, como lo demuestra el análisis que sigue al teorema 2, T está

completamente determinada. Por ejemplo:

T( 5−7)= T[5(10)−7 (01)]=5T (0

1)−7T (01)=5(1

20)−7(0

31)=( 5

−11−7 )

De manera mas general,

T ( xy )=( x2x+3 y

y )222


NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Definición.-

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T :V →W una transfomacion lineal.

Entonces:

i. El núcleo de T, denotado por un T, esta dado por

nuT= {v∈V :Tv=0 }

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta denotado por

ℑT= {v∈W :w=Tv para algunav∈V }

Teorema 4

Si T :V →W es una transformación lineal, entonces,

i. nu T es un subespacio de V.

ii. Im T es un subespacio de W.

Demostración.-

i. Sean u y v en un T; entonces T (u+v )=Tu+Tv=0+0=0 y T (αU )=αTx=α 0=0de

forma que u + v y αUestán en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w=Tu y x=Tv para dos vectores u y v en V. Esto

significa que T (u+v )=Tu+Tv=w+ y y Tu (αU )=αTu=αw. Por lo tanto, w + x y αw

están en Im T.

Ejemplo

Nucleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv=0 para todo v ∈ V (T es la transformación cero). Entonces nu T = V e

Im T= {0 }.

223


Ejemplo

Nucleo e identidad de la transformación identidad

Sea Tv = v para todo v ∈V (T es la transformación lineal). Entonces un T = {0 } e Im T

= V

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo

se encuentra en el núcleo. En la segunda solo el vector cero se encuentra en el

núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo

Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T :R3→R3 definida por T=( xyz )=( xy0 )Esto es, T el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Si T=( xyz )=( xy0 )=0=(000) entonces x = y = 0.

Asi un T ={( x , y , z ); x= y=0 , z∈ R }, es decir, el eje z, e Im T = {x , y , z }: z=0, es decir, en

el plano xy. Observe que dim nu T = 1 y dim Im T = 2.

Ejemplo

Nucleo e imagen de un operador traspuesto

Sea V=M nm y defina T :M nm→M nmpor T(A) = At. Si TA = At=0, enonces At es la

matriz cero de m x n. Asi, un T = {0 } y es claro que Im T =M nm. Esto significa que v(T)

= 0 y p(T) = mn.

Ejemplo

Nucleo e imagen de una transformación p3 en p2

224


Defina T :P3→P2por T(p) = T (a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3¿=¿). Entonces si T(p)

o ,a0+a1 x+a2 x2=0 para toda x, lo que implica a0=a1=ca0=0. Asi un T=

{p∈ p3: p ( x )=a3 x3 } e Im T=P ,v (T )=1 y p (T )=3.

Ejemplo

Nucleo e imagen de un operador integral

Sea V=[0,1] y defina J :C [ 0,1 ] :→R por Jf=∫0

1

f (x )dx .

Entonces un J={f ∈ [0,1 ] :∫0

1

f ( x )dx=0}.Sea αun numero real. Entonces la función la

constante f(x) = α para x∈[0,1] esta en C[0,1] y ∫0

1

α dx=α . Como esto se cumple para

todo numero real α se tiene que Im J = R .

225


ALGEBRA LINEAL


ACTIVIDAD NO. 38 ALGUNAS APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

EQUIPO No. 6






M3 15-17 15-16 15-17

226


SEGUNDO SEMESTRE



ACTIVIDAD No. 38

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Reflexión respecto al eje x

En R2 se define una función T mediante la fórmula T( xy )=( x− y ). Geométricamente, T

toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno

requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos p1 , p2 , p3 , p4 y a

los materiales como R1 ,R2 , R3 y R4 . La tabla siguiente muestra el número de unidades

de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

227

El vector (x,-y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x,y)


Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos.

¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1 , p2 , p3 , y p4 el número de

artículos fabricados de los cuatro productos y sean r1 , r2 , r3el número de unidades

necesario de los tres materiales.

Entonces se define:

P=(p1

p2

p3

p 4

) r=(r 1

r 2

r 3) A=(2 1 3 4

4 2 213 3 12)

Por ejemplo, suponga que p=(103020) ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para

producir estos números de unidades de los cuatro producto? De la tabla se tiene que

r1=p1 2+ p21+ p33+ p4

¿10 x2+30 x1+20 x 3+50 x 4=310unidades

De manera similar

r2=10 x 4+30x 2+20 x2+50 x1=190unidades

Y

r3=10x 3+30 x3+20 x 1+50x 2=240unidades

228

( 50)


En general se ve que

(2 1 3 44 2 2 13 3 1 2)(

p1

p2

p3

p 4

) = (r 1

r 2

r3)

O

Ap = r

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como el vector de

producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por

r=T ( p )=A p. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el

vector de la materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinaria.

Como se verá esta función también es una transformación lineal.

Una transformación lineal de R2 en R3

Sea T :R2→R3 definida por T( xy )=( x+¿ yx−¿ y

3 y ) ,Por ejemplo, T( 2

−3)=(−15

−9) . Entonces,

T[( x1

y1)+( x2

y2)]=T ( x1+¿ x2

y1+¿ y2)=¿ (x1+¿ x2+¿ y1+ y2

x1+¿ x2−¿ y1− y2

3 y1+¿¿3 y2)

¿( x1+¿ y1

x1−¿ y1

3 y1)+( x2+¿ y2

x2−¿ y2

3 y2)

Pero

( x1+¿ y1

x1−¿ y1

3 y1)=T ( x1

y1) y ( x2+¿ y2

x2−¿ y2

3 y2)=T ( x2

y2)

229


Así

[( x1

y1)+( x2

y2)]=T ( x1

y1)+T (x2

y2)

De manera similar

T [α( xy)]=T (αxαy)=(αx+¿αyαx−¿αy

3αy )=α( x+ yx− y3 y )=αT ( xy )

Asi, T es una transformación lineal.

Transformación cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T :V →W por T v=0 para todo v en V.

Entonces T (v1+v2 )=0=0+0T v1+Tv2 yT (αv )=0=α 0=αTv. En este caso, T se denomina

la transformación cero.

La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y definaI :V →V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio

que I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u

operador identidad.

Transformación de reflexión

Sea T :R2→R2 definida por T( xy )=(−xy ) . Es fácil verificar que T es lineal. En términos

geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje.

230


Transformacion de Rn→Rmdada por la multiplicación por una matriz m x n

Sea A una matriz de m x n y defina T :Rn→Rm por Tx = Ax.

Como A ( x+ y )=Ax+Ay y A (αx )=αAx si x y y están en Rn, se observa que T es una

transformación lineal. Entonces, toda matriz A de m x n se puede utilizar para definir

una transformación lineal de Rn en Rm .

Transformación de rotación

Suponga que el vector v=( xy)en el plano xy se rota un ángulo θ(medido en grados o

radianes) en sentido contrario a las manecillas del reloj. Llame a este nuevo vector

rotado v =( xy ). Entonces, si r denota la longitud de v(que no cambia por la rotación)

x=r cos α y=r senα

x =r cos (θ+α ) y =r sen (θ+a)

231

El vector (-x,y) es la reflexión al eje y del vector (x,y)

(x`,y`) se obtiene rotando

(x,y) un ángulo θ


Pero r cos (θ+α ) = rcosθ+cos❑α−r senθsen α ,de manera que

x =x cosθ− y senθ (3)

De manera similar, r(senθ+a¿ = r sen θ cos α+r cosθsen α ,o sea

y =x senθ+ y cosθ (4)

Sea

Aθ=(cosθ −senθsenθ cosθ ) (5)

Entonces de (3) y (4), se ve que Aθ=( xy )=( xy ). La transformación lineal T :R2→R2

definida por Tv = Aθ v , donde Aθ está dado por (5) se llama transformación de

rotación.

Transformación de proyección ortogonal

Sea H un subespacio de Rn . La transformación de proyección ortogonal

P :V→H

Se define por

Pv=proyH v

Sea {u1 , u2 ,…… , uk } una base ortonormal para H. Entonces se tiene

Pv=(v∗u1 , )u1,+(v∗u2 )u2+… ..+(v∗uk )uk

Como (v1 +¿v2 )∗u=v1∗u+v2∗u y (αv )∗u=α (v∗u ) , se ve que P es una transformación

lineal.

Dos operadores de proyección

232


Se define T :R3→R3 por T ( xyz )=( xy0). Entonces T es el operador de proyección que

toma un vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano xy.

De manera similar, T ( xyz )=(x0z ) proyecta un vector en el espacio sobre el plano xz

.

Operador de transposición

Defina T :Mmn→M nmpor T (A )=A . Como ( A+B ) =A +B y (αA ) =αA , se ve que T es denominado operador de transposición, es una transformación lineal.

Operador integral

Sea J :C [ 0,1 ]→R definida por Jf=∫0

1

f (x )dx .

Como ∫0

1

[ f ( x )+g (x)] dx=¿∫0

1

f ( x )dx+∫0

1

g (x )dx y∫0

1

af ( x )dx=a∫0

1

f ( x )dx ¿ si f y g son

continuas, se ve que J es lineal. Por ejemplo J (x3 )=14, J se denomina operador

integral.

Operador diferencial

Suponga que D :C I [0,1 ]→C [0,1] se define por Df=f . Como ( f +g ) =f +g y (af ) =af si f

y g son diferenciables, se ve que D es lineal. D se denomina operador diferencial.

233

b) proyección sobre el

plano xz( xyz )=(x0z )


234

unidad completa de algebra lineal isc

Documents

Transcript of unidad completa de algebra lineal isc