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CONCEPTOS BÁSICOS PARA NUESTRA UNIDAD DE EQUILIBRIO EN VIGAS

Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m.

LEYES DE NEWTON

Primera ley o ley de inercia Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinámica

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

Tercera ley o Principio de acción-reacción Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

ANÁLISIS EN DOS DIMENSIONES

VIGAS En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. En otras palabras, una viga es un elemento estructural que está diseñado para soportar cargas que están aplicadas en varios puntos a lo largo del mismo. Una viga puede estar sujeta a cargas concentradas F1, F2, …Fn (figura 1) que se expresan en Newtons, Libras o en sus múltiplos como kilonewtons o kips, como también puede estar sujeta a cargas distribuidas (figura 2) que se expresan en N/m, kN/m, lb/ft o kips/ft o en su defecto una combinación de las distribuidas y de las concentradas.

Figura 1

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Para nuestro estudio tendremos en cuenta:

MOMENTO DE UNA FUERZA Interpretación del momento El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación del cuerpo con respecto a éste. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas). El momento de una fuerza se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia, en el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al Joule en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el Joule representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza. En el sistema Inglés el momento se expresa como Libra·pie o Libra·pulgada. El momento de fuerza es equivalente al concepto de par motor, es decir, la fuerza que se tiene que hacer para mover un cuerpo respecto a un punto fijo y se condiciona por la masa y la distancia. Cálculo de momentos en el plano Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales de fuerzas, en los que todas las fuerzas y vectores directores están contenidos en un único plano, el cálculo de momentos se simplifica mucho porque se pueden considerar todos los momentos de las fuerzas como magnitudes escalares. Eso se debe a que el vector momento de fuerza, considerado como vector tridimensional sería perpendicular al plano de trabajo y, por tanto, sumar vectorialmente momentos se reduciría a sumar sólo su componente perpendicular al plano, que es una magnitud de tipo escalar. Si se considera una fuerza aplicada en un punto A del plano de trabajo y otro punto B sobre el mismo plano, el momento "plano" o escalar para realizar todos los cálculos necesarios viene dado por:

Siendo el módulo de la fuerza y siendo el brazo de la palanca, es decir, la distancia punto-recta entre el punto B desde el que consideramos los momentos y la recta de aplicación de la fuerza (distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza).

Figura 2

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En este caso, si por ejemplo una masa de un kilogramo está a un metro del eje de giro, al aplicar una fuerza F, el momento aplicado será la mitad del que se aplica con la misma fuerza pero con la masa situada a dos metros de distancia, para conseguir el mismo desplazamiento de giro.

EQUILIBRIO Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas. El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes. Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva. Ecuaciones básicas de equilibrio Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación.

Estas son dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres de traslación y tres de rotación.

Estas tres corresponden a tres posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo y las tres siguientes corresponden a tres grados de libertad de rotación.

En total representan seis formas de moverse, seis grados de libertad para todo cuerpo en el espacio. Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:

Ecuaciones alternas de equilibrio En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:

a) Una ecuación de traslación y dos momentos: siempre y cuando se cumpla que los puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela a Y.

Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.

b) Tres ecuaciones de momento: .

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Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y c no pueden ser colineales. Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas externas aplicadas a ella. Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos, esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas. Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apoyos (estabilidad interna). ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN EXTERNAS La estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas. Las ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las ecuaciones de equilibrio general más las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas), por ejemplo: Caso de reacciones concurrentes

No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el punto de concurrencia de las reacciones. · Caso de reacciones paralelas

No restringen el movimiento perpendicular a ellas. Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras planas Si Nº reacciones = Nº ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición; hay estabilidad. Si Nº reacciones < Nº ecuaciones; es inestable. Si Nº reacciones > Nº ecuaciones; es estáticamente indeterminado o hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina por:

GI externo =Nº reacciones – Nº ecuaciones Estabilidad y determinación interna Una estructura es determinada internamente si después de conocer las reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de equilibrio. Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas. La estabilidad y determinación interna están condicionadas al cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura. Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos: El método de las secciones y el método de los nudos.

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En el método de los nudos se aplican las ecuaciones (armaduras

planas) a cada nudo en sucesión y en el método de las secciones se aplican las ecuaciones a cada una de las partes de la estructura y se obtienen las

fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de corte trazada adecuadamente. Tipos reacciones según el tipo de apoyo

TIPO DE APOYO REACCIÓN

Patines, rodillos, balancines o superficie sin fricción Línea de acción conocida

Perno sin fricción, bisagra o articulación o superficies rugosas

Fuerza de dirección desconocida

Apoyos fijos Fuerza y par

Ejemplo 1. Determinar las reacciones en los apoyos A y B de la viga mostrada en la figura.

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Tomaremos como punto de referencia el apoyo en A, es decir tomaremos momentos con respecto a este punto para determinar inicialmente el valor de la reacción en B:

Para determinar el valor de la reacción en el punto A podemos tomar dos alternativas:

1. Para que el cuerpo se encuentre en equilibrio la sumatoria de las fuerzas (en este caso verticales) es cero:

2. Hallar momentos con respecto al punto B, para lo cual tenemos:

Para la solución problemas de vigas con cargas distribuidas en necesario tener en cuenta los primeros momentos de áreas básicos, puesto que es necesario buscar fuerzas equivalentes aplicadas en lugares específicos: Ejemplo 2. Determinar el valor de las reacciones de la viga mostrada.

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Para determinar las fuerzas equivalentes tendremos en cuenta las áreas de las formas geométricas descritas:

1. La fuerza nombrada W1 es un rectángulo cuya área es: y su punto de

aplicación se encuentra en el centro de su longitud .

2. La fuerza q2 es una fuerza distribuida que se inicia con 300 lb donde termina la fuerza W1 y termina en

cero al final de la viga, su valor es el área del triángulo: y se aplica a los 2/3 de su

final según se muestra en el momento del triángulo rectángulo, es decir se ubicará en:

o sea que el diagrama a solucionar es:

Solución:

Reacción en el punto A:

Ejercicios propuestos. Halle la reacción en los soportes A y B y la localización de una fuerza equivalente que produzca idénticas reacciones. 1.

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