UNIDAD DESARROLLO PÁGINAS FINALES 1 - oupe.es · PDF fileEjercicios y problemas 21 ......

22

1. Sistemas de numeración 82. Sistema de numeración decimal 103. Suma y resta de números naturales 124. Multiplicación de números naturales 145. División de números naturales 166. Operaciones combinadas 18

1. Potencias de base y exponentes naturales 282. Operaciones con potencias 303. Operaciones con potencias de la misma base 324. Raíz cuadrada de un número 34

1. Relación de divisibilidad 422. Múltiplos y divisores 433. Múltiplos de un número 444. Divisores de un número 455. Criterios de divisibilidad 466. Números primos y compuestos 477. Descomposición factorial de un número 488. Múltiplos comunes y mínimo común

múltiplo (m.c.m.) 509. Divisores comunes y máximo común

divisor (M.C.D.) 52

1. Los números enteros 602. Representación y orden de los enteros 613. Suma de números enteros 624. Resta de números enteros 645. Sumas y restas combinadas 666. Multiplicación de números enteros 677. División de números enteros 688. Operaciones combinadas con enteros 69

Estrategias para resolver problemasDiseñar un esquema con los pasos intermedios 20

Ejercicios y problemas 21

Evaluación 25

Estrategias para resolver problemasComprobar la solución 36


Evaluación 39

Estrategias para resolver problemasBuscar todos los casos posibles 54


Evaluación 57

Estrategias para resolver problemasIr hacia atrás 70


Evaluación 73

Evaluación de competencias: Aritmética (I) 74-77

4 Números enteros

58

1. Concepto de fracción 802. Comparación de fracciones con la unidad 823. Fracción de una cantidad 844. Fracciones equivalentes 865. Obtención de fracciones equivalentes 886. Simplificación de fracciones 89

Estrategias para resolver problemasHacer un dibujo representativo 90


Evaluación 93

5 Fracciones

78

1. Reducción a común denominador 962. Comparación de fracciones 973. Sumas y restas de fracciones 984. Multiplicación de fracciones 1005. División de fracciones 1026. Expresiones aritméticas con fracciones 103

Estrategias para resolver problemasComprender el enunciado 104


Evaluación 107

6 Operaciones con fracciones

94

1. Números decimales 1102. Ordenación de números decimales 1123. Fracciones y decimales 1144. Suma y resta de números decimales 1165. Multiplicación de números decimales 1186. División de números decimales 1207. Potencias y raíces cuadradas de números

decimales 122

Estrategias para resolver problemasHacer una estimación 124


Evaluación 127

7 Númerosdecimales

108

1. La medida y los cambios de unidad 1302. Unidades de longitud: el metro 1323. Unidades de capacidad: el litro 1344. Unidades de masa: el kilogramo 1355. Formas de expresar una medida 1366. Unidades de superficie: el metro cuadrado 1387. Unidades de volumen: el metro cúbico 1408. Unidades de tiempo 1429. Los cambios de divisas 143

Estrategias para resolver problemasObtener medidas indirectas 144


Evaluación 149

8 La medida

128

3 Divisibilidad

40

2 Potencias y raíces

26

1 Números naturales

6

UNIDAD DE SARROLLO PÁGI NA S FI NALE S

001-005 0S1MTLA11.00 8/4/11 12:12 P gina 2

3

1. Idea de razón 1522. Magnitudes directamente proporcionales 1543. Problemas de proporcionalidad directa 1564. Porcentajes 1585. Cálculo con porcentajes 1606. Aumentos y disminuciones porcentuales 162

Estrategias para resolver problemasGeneralizar 164


Evaluación 167

UNIDAD DE SARROLLO PÁGI NA S FI NALE S

9 Proporcionalidad

150

1. Expresiones algebraicas 1742. Valor numérico de una expresión algebraica 1763. Monomios y polinomios 1774. Operaciones con expresiones algebraicas 1785. Ecuaciones 1806. Ecuaciones equivalentes 1827. Resolución de ecuaciones de primer grado 184

Estrategias para resolver problemasPlantear una ecuación 186


Evaluación 189

10 Álgebra

172

1. Coordenadas cartesianas. Representación e interpretación de puntos 192

2. Organización de datos. Tablas de valores 1943. Funciones 1954. Representación de funciones: tablas y gráficas 1965. Interpretación de gráficas 1986. Detección de errores en las gráficas 2007. Identificación de relaciones de

proporcionalidad directa 201

Estrategias para resolver problemasElegir correctamente la escala para graduar los ejes 202


Evaluación 205

11 Tablas y gráficas

190

1. Población y muestra 2082. Tablas estadísticas. Frecuencias 2093. Gráficos estadísticos 2104. Media aritmética 2125. Experimentos aleatorios 2136. Sucesos. Probabilidad de un suceso 214

Estrategias para resolver problemasHacer un diagrama o gráfico 216


Evaluación 219

12 Estadística y probabilidad

206

1. Puntos y rectas 2262. Ángulos 2283. Clasificación y relaciones entre ángulos 2294. Operaciones con ángulos 231

Estrategias para resolver problemasHacer un dibujo relativo al problema 232


Evaluación 235

13 Elementos del plano.Ángulos

224

1. Polígonos 2382. Construcción de polígonos regulares 2403. Triángulos 2414. Cuadriláteros 2445. Circunferencia y círculo 2466. Simetría en figuras planas 249

Estrategias para resolver problemasPartir de un modelo más simple 250


Evaluación 255

14 Figuras planas

236

1. Teorema de Pitágoras 2582. Perímetro y área de una figura 2603. Área y perímetro de cuadriláteros 2624. Área y perímetro de triángulos 2645. Área y perímetro de polígonos regulares 2656. Área de polígonos 2667. Estimación de perímetros y áreas 2688. Área del círculo y otras figuras circulares 270

Estrategias para resolver problemasDescomponer un problema en otros más sencillos 272


Evaluación 277

15 Áreas yperímetros

256

1. Poliedros 2802. Primas y pirámides 2823. Cuerpos de revolución 2844. Cilindros, conos y esferas 2855. Volumen de un cuerpo 286

Estrategias para resolver problemasHacer un dibujo a escala 288


Evaluación 291

16 Cuerposgeométricos

278

Evaluación de competencias: Aritmética (II) 168-171

Evaluación de competencias: Álgebra. Tablas y gráficas. Estadística y probabilidad 220-223

Evaluación de competencias: Geometría 292-295

001-005 0S1MTLA11.00 8/4/11 12:12 P gina 3

44

Cada unidad del Libro del alumno se estructura del modo siguiente:

� Una página de Presentación.

� Una página de Recuerda y resuelve.

� Varias páginas de desarrollo.

� Una página de Estrategias para resolver problemas.

� Varias páginas de Ejercicios y problemas, que terminan con una Evaluación.

Además, al final de cada bloque se incluyen:

� Dos o cuatro páginas de Evaluación de competencias básicas.

Presentación

Las unidades se abren con una ilustración que sirve de apoyo a unaserie de actividades de carácter introductorio. El texto que completaesta página aborda, desde una perspectiva histórica o conceptual,cuestiones matemáticas relacionadas con los contenidos que se van atratar.

Recuerda y resuelve

Con esta página se pretende repasar conocimientos de unidades ocursos anteriores necesarios para acometer el estudio de la unidad.De forma paralela se incluyen, además, actividades para que se pongan en práctica dichos conocimientos.

Desarrollo

En estas páginas se exponen los contenidos esenciales y se proponenactividades para aplicar los conocimientos adquiridos.

Las actividades y los apartados Piensa y deduce y Observa y resuelve,que se intercalan a lo largo de las unidades, no se utilizan únicamentecomo un medio de aprendizaje de los contenidos teóricos, sino también como una herramienta para promover la actitud crítica yreflexiva de los alumnos en torno a los fenómenos que suceden a sualrededor, y para lograr una motivación permanente mediante laconstatación de la utilidad de lo aprendido. Así, los enunciados de losproblemas incorporan situaciones cercanas y motivadoras.

En los márgenes se realizan ampliaciones y observaciones a aquelloscontenidos estudiados paralelamente en la columna central, y se llama la atención sobre los errores más frecuentes y el cálculo mentalo con calculadora.

Las actividades están graduadas en tres niveles de dificultad. Las decálculo mental y aquellas que están pensadas para el empleo de lacalculadora llevan un icono específico que así lo indica.

1.2. Sistema de numeración romanoEl sistema de numeración romano emplea siete letras para representar

cualquier número.

Este sistema de numeración, igual que el egipcio, no es posicional y seajusta a las reglas que figuran en el margen para poder escribir cualquiercantidad con las letras anteriores.

Durante mucho tiempo se usó este sistema, pero no resulta cómodopara operar o trabajar con cantidades grandes; es por esta razón que cayó en desuso con el paso del tiempo. Aun así, seguimos empleándolohoy en día para la denominación de los siglos, la numeración de los volú-menes de una obra, para indicar las horas en algunos relojes, en la deno-minación de reyes o en la designación de congresos y olimpiadas, entreotros usos.

Números naturales 9

Uno Cinco Diez Cincuenta Cien Quinientos Mil

¿Varía el valor de M en el sistema de numeración romano según el lugarque ocupe en el número? ¿Es el sistema de numeración romano posicional?

Piensa y deduce

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Escribe el valor de los siguientes números romanos.

a) CXXIII � Ciento veintitrés

b) XIX � Diecinueve

c) MCDLXXX � Mil cuatrocientos ochenta

2 Escribe en números romanos.

a) Ciento cuatro � CIV b) Quinientos mil setenta � LXXD

Actividades

� Los volúmenes de una colección de libros se suelenordenar con números romanos. Escribe en númerosromanos los volúmenes de una enciclopedia del 1 al 20.

� Indica qué números son:

a) VI c) XI e) LV g) DC

b) XV d) LX f) CV h) MD

� Indica de que número se trata:

a) IV b) IX c) XC d) CD e) XL

� ¿Cuáles son los siguientes números?

a) III d) LXIV g) MDCCXXXIV

b) XXI e) CMXXIII h) MMCCCXL

c) XIX f) MCMLXXX i) MDXC

� Expresa en numeración romana estos números:

a) 25 e) 120 i) 1 820

b) 32 f) 650 j) 2 550

c) 60 g) 230 k) 3 787

d) 39 h) 1 570 l) 5 000

�� Escribe en números romanos:

a) 29 c) 69 e) 209 g) 1 456

b) 43 d) 99 f) 429 h) 2 934

�� Los siguientes números romanos están escritosincorrectamente. Indica la regla que no cumplen y escrí-belos correctamente.

a) IL b) VIV c) IM d) XXL

11

10

9

8

7

6

5

Actividades

� Aplicando el código que has visto más arriba, indi-ca el número representado en cada papiro:

a) b)

� En el sistema de numeración decimal existe el ceroy en el egipcio no. ¿A qué crees que es debido?

�� Los refrescos de naranja de un supermercadoestán colocados en latas sueltas, en paquetes de 6 latas yen cajas de 6 paquetes. Por la mañana, el encargadoescribe en su cuaderno 3 4 2, refiriéndose a 3 cajas, 4paquetes y 2 latas, y al final del día anota 1 2 5. a) Indica cuántas latas había por la mañana y cuántas al

finalizar el día.b) ¿Es posicional el sistema de anotación del encargado?c) ¿Por cuánto hay que multiplicar el valor de cada cifra

según su posición en el número que anota el encargado?

�� Señala las ventajas que ves a un sistema denumeración posicional en relación a otro que no lo es.4

3

2

1

8 UNIDAD 18

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para representar cualquier cantidad.

1.1. Sistemas posicionales y no posicionales

Los sistemas de numeración se clasifican en sistemas no posicionalesy sistemas posicionales.

El sistema de numeración egipcio, que acabas de ver en el Observa y resuelve, es un sistema de numeración no posicional, porque los símbolos que se emplean para escribir cualquier número tienen un valor fijo y no dependen de la posición que ocupan. De este modo, la inscripciónrepresenta el número ciento veintiocho.

Sin embargo el sistema de numeración que empleamos habitualmente,el sistema decimal, que tuvo su origen en la India y llegó a Europa graciasa los árabes, emplea 10 cifras distintas (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), cuyovalor depende del lugar que ocupan en el número. Así, por ejemplo:

En 324, el valor de cada cifra es: En 243, el valor de cada cifra es:� 4 unidades & 4 unidades � 3 unidades & 3 unidades� 2 decenas & 20 unidades � 4 decenas & 40 unidades� 3 centenas & 300 unidades � 2 centenas & 200 unidades

1

Un grupo de arqueólogos ha encontrado la ins-cripción del margen en un templo egipcio. Estánseguros de que representa una cantidad. Parasaber de qué número se trata, hay que conocerel sistema de numeración que usaban los egip-cios, que se servía de los símbolos de la derecha:

Además, cada símbolo tiene un valor fijo queno depende de la posición que ocupa en elnúmero. ¿Sabrías decir qué número representala inscripción?

Observa y resue lve

Mil

CienDiez

Diez mil Cien mil

Uno

Reglas del sistema de numeración romano

I. Si a la derecha de una letra apa-rece otra de igual o menor valorque ella, se suman sus valores:

CXX � 100 � 10 � 10 � 120

II. Solo se permite que la letra Iaparezca a la izquierda de la V o dela X; la X, a la izquierda de la L o dela C; y la C, a la izquierda de la D ode la M. En este caso restan su valora la letra que preceden:

IX � 10 � 1 � 9

XL � 50 � 10 � 40

III. Si entre dos cifras cualesquieraexiste otra menor, esta restará suvalor a la de la derecha:

XIX � 10 � (10 � 1) � 19

IV. Se permite como mucho tresrepeticiones seguidas de las letrasI, X y C. Las letras V, L y D no pue-den aparecer dos veces:

XXXX se escribe XL

LXL se escribe XC

V. Una rayita encima de una letramultiplica su valor por mil:

� 50 � 1 000 � 50 000L

6.4. Operaciones con la calculadoraNo todas las calculadoras hacen las operaciones en el mismo orden.

Puedes averiguar cómo opera tu calculadora introduciendo en ella laexpresión:

5 3 2 � Si el resultado que aparece en la pantalla es 16, la calculadora no res-

peta el orden de las operaciones y las efectúa según se van introdu-ciendo. Primero ha calculado 5 � 3 � 8, y después, 8 � 2 � 16.

� Si da como resultado 11, la calculadora respeta el orden de las opera-ciones. En primer lugar ha calculado 3 � 2 � 6, y después, 5 � 6 � 11.


Operaciones combinadas

6.1. Expresiones con sumas y restas

Las sumas y restas se efectúan de izquierda a derecha en el orden queaparecen. Si hay paréntesis se calcula primero su valor.

6 � 4 � 2 � 3 � 6 � 4 � (2 � 3) �

� 10 � 2 � 3 � � 6 � 4 � 5

� 8 � 3 � 11 � 10 � 5 � 5

6.2. Expresiones con multiplicaciones y divisiones

Las multiplicaciones y divisiones se efectúan de izquierda a derecha enel orden en que están. Si hay paréntesis, se calcula primero su valor.

6.3. Expresiones con las cuatro operaciones

Para calcular el valor de una expresión que incluye diferentes opera-ciones hay que proceder en este orden:

1. Se calcula el valor de las operaciones entre paréntesis.

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3. Se efectúan las sumas y restas de izquierda a derecha.

3 � 2 � 4 � 1 (3 � 2) � 4 � 1 �

� 3 � 8 � 1 � � 5 � 4 � 1 �

� 11 � 1 � 10 � 20 � 1 � 19

6

18 UNIDAD 118

¿Tienen el mismo valor estas dos expresiones?

6 � 4 � 2 � 3 6 � 4 � (2 � 3)

Piensa y deduce

Observa estos cálculos.

12 � 2 � 3 12 � (2 � 3)

6 � 3 � 18 12 � 6 � 2

¿Afecta el uso del paréntesis al resultado? ¿En qué orden se opera?

Observa y resue lve

¿Tienen el mismo valor estas dos expresiones?

3 � 2 � 4 � 1 (3 � 2) � 4 � 1

Piensa y deduce

EJERCICIOS RESUELTOS

6 Calcula 8 � (3 � 1) � 12 � (6 � 4).

8 � (3 � 1) � 12 � (6 � 4) � 8 � 4 � 12 � 2 � 8 � 4 � 6 � 4 � 6 � 10

Averigua cómo funciona tu calculadoraantes de usarla por primera vez.

Actividades

� Halla el valor de las dos expresiones de cada apar-tado y compara los resultados:

a) 14 � 10 � 3 y 14 � (10 � 3)

b) 18 � 7 � 3 � 4 y 18 � 7 � ( 3 � 4)

c) 15 � 3 � 4 � 1 y 15 � (3 � 4) � 1

d) 10 � 3 � 2 � 1 y 10 � (3 � 2 � 1)

e) 8 � 4 � 5 � 6 y 8 � 4 � (5 � 6)

� Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 3 � 2 � 3 c) 6 � 9 � 3

b) 12 � 2 � 3 d) 8 � 4 � 2 � 6

� Determina el valor de las dos expresiones de cadaapartado y compara los resultados:

a) 12 � 6 � 2 12 � (6 � 2)

b) 8 � 2 � 4 8 � (2 � 4)

c) 3 � 4 � 2 � 3 3 � 4 � (2 � 3)

� Halla el resultado de estas operaciones:

a) 3 � 4 � 2 g) 3 � 4 � 2 � 6 � 2

b) 8 � 10 � 2 � 3 � 2 h) 8 � 3 � 2 � 4 � 1

c) 3 � 2 � 4 � 5 i) 5 � 3 � 2 � 2

d) 2 � 3 � 4 � 2 � 3 � 2 j) 4 � 6 � 2 � 3 � 2 � 5

e) 4 � 3 � 2 � 5 � 2 k) 3 � 2 � 3 � 6 � 2

f) 8 � 12 � 3 � 2 � 6 l) 12 � 6 � 2 � 4 � 3 � 5 � 2

� Calcula:

a) 3 � 5 � ( 4 � 3)

b) 3 � (4 � 2) � 3

c) 3 � (6 � 2) � 4 � (2 � 3)

d) 12 � (3 � 4 � 2 � 1) � 4

e) 18 � 4 � (4 � 2 � 6) � 15 � 3

f) 5 � (7 � 3 � 2) � 12 � 4

g) 8 � 2 � 4 � 6 � (3 � 2)

h) 4 � 6 � 3 � (10 � 12 � 2 � 1)

�� Calcula:

a) 14 � [8 � (3 � 2)]

b) 2 � [4 � 5 � 2 � (6 � 3)]

c) (12 � 15) � [12 � 3 � (2 � 1)]

d) (9 � 3) � (5 � 1) � 4 � [6 � (3 � 1)]

e) [18 � (9 � 3 � 2)] � (12 � 7)

�� Calcula mentalmente sin escribir ningúnpaso intermedio.

a) 5 � 2 � 3 e) 3 � 2 � (5 � 1)

b) 12 � 5 � 2 f) 8 � (4 � 2)

c) 4 � (3 � 1) g) 10 � 5 � 3 � 2

d) 18 � 2 � 3 h) (10 � 5 � 3) � 2

�� Supón que tu calculadora hace las operacio-nes en el orden en el que se van introduciendo. ¿Cómocalcularías con ella el valor de las siguientes expresiones?

a) 125 � (60 � 37) c) (120 � 12) � 2

b) 24 � (10 � 7) d) 21 � 3 � 6

�� Indica en cuáles de estas expresiones se hanescrito paréntesis innecesarios:

a) (10 � 4) � 2

b) (6 � 3) � 2

c) 10 � (4 � 2)

d) (18 � 3) � 2

e) 6 � (3 � 2)

f) 18 � (3 � 2)

�� Coloca los paréntesis necesarios para que estasexpresiones tengan el valor indicado:

a) 3 � 4 � 6 � 3 � 39

b) 3 � 4 � 6 � 3 � 21

c) 3 � 4 � 6 � 3 � 15

d) 3 � 4 � 6 � 3 � 24

80

79

78

77

76

75

74

73

72

71

T e n e n c u e n t a

Si no hay paréntesis, las multiplica-ciones y divisiones se calculan antesque las sumas y las restas.

3 � 2 � 4 � 3 � 8

3 � 2 � 4 � 5 � 4


Recuerda y resuelve

Cuál es el valor de una cifra según su posición en un número.

1 Copia en tu cuaderno y completa:

a) 1 centena � … unidades c) 1 decena de millar � … unidades

b) 1 centena � … decenas d) 1 centena de millar � … unidades

2 Señala cuál es la cifra indicada de cada número:

a) La de las decenas de millar en el número 23 456.

b) La que vale trescientas mil unidades en el número 333 333.

3 Indica el orden de unidad de la cifra 7 en cada número:

a) 7 546 b) 274 569 c) 12 347 d) 1 756 341

Cómo se leen y se escriben los números naturales.

4 Escribe cómo se leen los siguientes números:

a) 305 c) 23 050 e) 1 002 304 g) 2 001 045

b) 1 900 d) 210 000 f) 3 000 012 h) 7 100 000

5 Escribe estos números:

a) Tres mil cinco. d) Dos millones ciento dos mil.

b) Doce mil ciento veinte. e) Tres millones doce mil.

c) Trescientos mil cuatro. f) Un millón doce.

6 Escribe con cifras, prestando atención a los ceros intermedios:

a) Dos millones tres mil dos. b) Catorce millones trescientos uno.

Cómo se suman, restan, multiplican y dividen los números naturales.

7 Haz estas sumas y restas:

a) 234 � 45 � 8 e) 7 023 � 132

b) 3 024 867 � 122 045 f) 45 678 � 345 � 1 230 � 18

c) 879 � 345 g) 9 872 � 523

d) 1 835 � 359 h) 5 042 � 13

8 Haz las siguientes multiplicaciones:

a) 456 � 34 c) 12 456 � 120 e) 35 � 4 000

b) 897 � 203 d) 250 � 320 f) 60 � 1 405

9 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) 328 � 14 c) 4 650 � 92 e) 23 400 � 990

b) 5 508 � 54 d) 48 325 � 120 f) 61 200 � 150

En un número una cifra vale:

Un número se lee de izquierdaa derecha. Cada tres órdenes de unidad esuna clase: unidades, millares,millones, millares de millón,billones…400 089 � Cuatrocientos milochenta y nueve2 003 850 � Dos millones tresmil ochocientos cincuenta

Desde la Prehistoria, el ser humano ha tenido la necesidad de contar; para ello ha recurrido adiversos métodos: hacer muescas en un hueso, inventar diferentes sistemas de numeración…Los números que hoy usamos para contar reciben el nombre de números naturales, y el sistema denumeración que empleamos en la actualidad para escribirlos es el sistema de numeración decimal,que tiene su origen en la India trescientos años antes de nuestra era.Los números naturales nos son de gran utilidad; no solo los empleamos para contar u ordenar,también se usan en códigos para identificar personas u objetos. Sin ellos, la sociedad que conocemos no sería posible.

Si hay un sitio en el que estamosrodeados de números por todoslados con diferentes finalidades esees el supermercado.

a) ¿Cómo identifica la caja el preciode cada artículo?

b) Para el desayuno, una familia de 4 miembros compra magdalenasen paquetes de 4 unidades; ¿cómo pueden calcular el númerode paquetes que necesitan para un desayuno si cada uno se comedos magdalenas?

c) Susana, la chica del carrito, ha comprado 5 L de zumo, y cadalitro cuesta 2 €; ¿qué operacióntiene que hacer para calcular el precio de los 5 L?

d) ¿Qué operación permite calcularel importe final de la compra?

e) Para pagar la compra queasciende a 68 €, Susana entrega un billete de 100 €. ¿Qué operaciónhay que hacer para calcular eldinero que le tienen que devolver?

Números naturales

Posición Valor

Unidad � 1

Decena � 10

Centena � 100

Unidad de millar � 1 000

Decena de millar � 10 000

Centena de millar � 100 000

Unidad de millón � 1 000 000

345Sumandos � 1 320

Suma 1 665

Minuendo 1 469Sustraendo � 990

Diferencia 479

Factores 651� 23

1 953�1 3020

Producto 14 973

Dividendo

45 DivisorResto 9 38 Cociente

12

SUM

ARE

STA

MU

LTIP

LICAC

IÓN

DIV

ISIÓ

N

001-005 0S1MTLA11.00 8/4/11 12:12 P gina 4

5

Evaluación de competencias

Las dobles páginas de Evaluación de competencias básicas se sitúanal final de cada bloque de unidades.

En esta sección se propone uno o varios textos sobre alguna noticia,historia, suceso, curiosidad… relacionados con la vida cotidiana y apartir de los cuales se plantean cuestiones ligadas a los contenidosdel bloque correspondiente.

Las cuestiones planteadas en esta sección permiten evaluar a losalumnos sobre la adquisición de las capacidades y las competenciasbásicas del curso.

Estrategias para resolver problemas

En esta página se explica una estrategia para abordar la resoluciónde un problema tipo. Para ello, se expone paso a paso la estrategia de resolución. Al final de la página se enuncian otros problemas paraponer en práctica el procedimiento estudiado.

Ejercicios y problemas

Estas actividades finales están agrupadas por contenidos y graduadasen tres niveles de dificultad. Además, pueden llevar los iconos decálculo mental o con calculadora.

Evaluación

Las unidades concluyen con una sección de Evaluación cuyo objetivoes valorar si los alumnos han adquirido los contenidos y capacidadespropios de la unidad.


Sistemas de numeración1 � Gonzalo y Manuel se han inventado un sistema denumeración secreto no posicional. Si el valor del númeroque está escrito en el recuadro es 1 253, averigua el valorde los números que hay a continuación:

a) �� b) ooo c) � ��

2 �� Los ordenadores funcionan utilizando un sistemade numeración binario que recibe ese nombre porquesolo usa el 1 y el 0 para expresar cualquier cantidad. En elrecuadro está escrito el número 11 en forma binaria ydebajo se indica el valor de cada cifra según su posición:

Así, 11 en el sistema binario se escribe 1011 porque1 � 8 � 0 � 4 � 1 � 2 � 1 � 1 � 11. Según esto:

a) Expresa en el sistema de numeración binario losnúmeros 2, 6, 21 y 40.

b) Escribe en numeración decimal los números 111 y10011, expresados en el sistema binario.

3 � Escribe en el sistema de numeración romano lossiguientes números:

a) 6 d) 229 g) 1 230

b) 12 e) 549 h) 2 520

c) 33 f) 569 i) 3 745

4 � Expresa en el sistema de numeración decimal:

a) IV e) CCL i) MCCXC

b) XV f) CXCIV j) MXXIX

c) XXXIII g) CDXXIV k) MDXL

d) XLVIII h) DCCLXXVI l) MMCCCXLIV

5 � Indica en el sistema de numeración decimal en quéaño se produjo cada acontecimiento:

a) Erupción del Vesubio: año LXXIX.

b) Fundación del islam por Mahoma: año DCXXII.

c) Invención de la pólvora en China: año MXLIV.

d) Primer vuelo en globo: año MDCCLXXXIII.

6 � Escribe en el sistema de numeración romano el añoen que se produjeron los siguientes acontecimientos:

a) Año 3000 a. C.: nace la civilización egipcia.

b) Año 490 a. C.: se corre la primera maratón.

c) Año 1453: Gutenberg inventa la imprenta.

d) Año 1969: el ser humano pisa la Luna.

7 �� Indica cuáles de las siguientes cantidades son inco-rrectas en el sistema de numeración romano y corrígelas:

a) IIIIIII b) VIII c) XIX d) XXXII e) LLLL

8 �� Nerón, famoso emperador romano, nació en elaño XXXVII y murió en el año LXVIII. ¿Cuántos años vivió?

Sistema de numeración decimal9 � Señala la cifra indicada en cada caso:

a) La cifra que ocupa las decenas de millón en el núme-ro 345 986 221.

b) La cifra que ocupa las unidades de millar de millón enel número 4 567 932 883 112.

c) La cifra que ocupa las decenas de billón en el número23 876 450 000 341.

10 � Establece el orden de unidad de la cifra indicada:

a) El 0 en el número 2 045 987 456.

b) El 4 en el número 18 456 980 000.

c) El 8 en el número 38 905 000 000 000.

d) El 2 en el número 20 000 000 000 000.

11 � Observa la tabla y contesta:

a) ¿Cuántas centenas son 54 decenas de millar?

b) ¿Cuántas unidades son 357 centenas?

c) ¿Cuántas unidades de millar son 12 centenas de millar?

d) ¿Cuántas unidades de millar son 2 millones?

12 � Escribe con todas las cifras la cantidad de cadaenunciado:

a) En el año 2005, la población mundial alcanzó los cinco mil quinientos millones de habitantes.

b) El presupuesto en inversiones se acerca a los dos bi-llones de euros.

c) Anualmente se destruyen millón y medio de hectáreasde bosque.

d) Se necesita invertir más de doce mil trescientos millo-nes de dólares en países africanos.

e) Un año luz equivale a nueve billones y medio de kiló-metros.

f) El presupuesto asciende a dos millones y medio deeuros.

13 �� ¿Cuántos números de cinco cifras terminan en 3?

20 UNIDAD 120

ProblemaUn ayuntamiento ha comprado 250 bandejas que contienen 20 pensa-mientos cada una. Parte de estas plantas se van a emplear en adornar 5rotondas, mientras que el resto se distribuirá en las jardineras por distintascalles. En cada rotonda piensan colocar 400 pensamientos, y en cada jardi-nera, 10 pensamientos. ¿Cuántas jardineras se necesitan?

ResoluciónHacemos el esquema partiendo de loque queremos saber (el número dejardineras) y vemos qué datos noshacen llegar a ello. Nos ayudamos decolores: sobre fondo rosa figuran losdatos que hay que ir averiguando ysobre fondo azul los ya conocidos.

Apoyándonos en el esquema, veamospaso a paso qué es lo que tenemosque calcular:

1. Calculamos los pensamientos quecompra el ayuntamiento.

250 �20�5000

2. Hallamos los pensamientos que sevan a plantar en las cinco rotondas.

5 �400�2000

3. Averiguamos el número de pensamientos disponibles para las jardineras.5000�2000�3000

4. Por último, calculamos cuántas jardineras se van a necesitar.3000�10�300

Así pues, se van a necesitar 300 jardineras.

Diseñar un esquema con los pasosintermedios

Una forma de resolver unproblema es buscar todos

los casos posibles.

Para llegar a la solución,muchas veces es necesariorealizar pasos intermedios.

Por ello puede resultar útil hacer un esquemapartiendo de lo que sequiere saber y viendo qué datos hay que irobteniendo antes.

BandejasPensamientospor bandeja

Pensamientosque se compran

Pensamientosque se empleanen las rotondas

RotondasPensamientospor rotonda

Pensamientospara jardineras

Pensamientospor jardinera

Número dejardineras

Otros problemas

� Marta compra tres entradas para un concierto ypaga con un billete de 50 € y otro de 20 €. Cada entradacuesta 18 €. ¿Cuánto dinero le devuelven?

� Roberto hace una revisión del coche a los 40 000 km.Si el cuentakilómetros marca 25 000 km y hace 1 500 kmcada mes, ¿dentro de cuántos meses lo llevará a revisar?

� En un campamento hay 72 jóvenes que se repartenen 6 equipos. Si a cada equipo le dan 9 cintas rojas y 3rosas, ¿cuántas cintas se necesitan en total para el juego?

� Un vendedor compra camisetas a 36 € el paquetede 12 unidades y las vende a 10 € el par. ¿Cuántas cami-setas debe vender para ganar 300 €?

� Rosana compra un televisor por 1300 € a plazos.Da una entrada y el resto lo paga en 6 meses sin recargo.Si paga 120 € cada mes, ¿cuánto pagó de entrada?

� En una granja avícola se han recogido 6 500 hue-vos. En el control de calidad se retiran 260. Con el restose preparan 120 cartones de dos docenas, y los quesobran se reparten en cartones de una docena. ¿Cuántoscartones de una docena se preparan en total?

� Carla va a comprar 20 kg de melocotones para surestaurante. Al ir a pagar, comprueba que no tiene dine-ro suficiente y se lleva solo 15 kg de melocotones, con loque tiene que abonar 15 € menos. ¿Cuánto ha pagadopor los 15 kg?

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Números naturales 2524 UNIDAD 124

39 � En unas olimpiadas escolares participan 24 equi-pos de 40 estudiantes cada uno más 12 equipos de 25 participantes cada uno. ¿Cuántos estudiantes hay entotal?

40 � En un congreso se quiere agrupar a 127 partici-pantes en grupos de 6 y, si sobra alguno, organizar unoscuantos grupos de 7. ¿Cuántos grupos de 7 se tienen quehacer para no dejar fuera a ningún participante?

41 � Se va a realizar una revisión bucal a todos losalumnos de un colegio. En total hay 650 estudiantes deESO, 224 de Bachillerato y 341 de Módulos. Si se quierecompletar la revisión en 5 días, ¿cuántos alumnos tienenque hacerse la revisión por término medio al día?

42 � Poner un suelo a una casa de 120 cuesta 5 760 €; ¿cuánto costará colocar el mismo suelo en una casa de82 ?

43 �� Patricia quiere descargarse, en su libro digital, 7 libros del mismo precio. Al ir a pagar, se da cuenta de que se ha salido del presupuesto, 60 €, y decide dejar 4 libros. Le sobran así 6 € de lo presupuestado. ¿Cuánto costaba cada libro?

44 �� Beatriz ha comprado 120 camisetas a 7 € para ven-derlas luego a 12 €. No consigue despachar 25 de ellas,que vende después en las rebajas a 10 €. ¿Qué beneficioha obtenido por la venta de todas las camisetas?

45 �� Un coche sale de una localidad para dirigirse aotra que está a 350 km. Al cabo de tres horas se encuen-tra a 110 km de su destino. Calcula la velocidad media ala que ha estado circulando durante esas tres horas.

46 �� Si 3 piñas pesan como 2 sandías, y 8 plátanos pesan lo mismo que una piña, es decir, 1 250 g, ¿cuántopesan 3 piñas, 2 sandías y 8 plátanos?

47 �� Ignacio es el encargado de reponer los artículosen un supermercado. Tras colocar 14 botellas de aceite,quedan expuestas 47 para la venta. Si al abrir por la ma-ñana había 23 botellas más de las que hay ahora, ¿cuán-tas botellas de aceite se han vendido a lo largo del día?

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m2

48 �� Mercedes y Antonio se quieren comprar una lava-dora que cuesta 620 €. Dan una entrada de 100 € y porel resto acuerdan pagar 50 € al mes durante 12 meses.¿Cuánto se habrían ahorrado si hubieran pagado al con-tado la lavadora?

49 �� Un agricultor cosecha 1 500 sacos de 30 kg de pa-tatas. Cuando las selecciona para vender, desecha 300 kgpor su tamaño y empaqueta el resto en bolsas de 5 kg,que vende luego por 2 € cada una. ¿Cuánto dinero ob-tiene por la venta de todas las bolsas?

50 �� En una frutería se suministran 12 bolsas de naran-jas y 5 sacos de patatas. Si en total se han enviado 252 kg y cada saco de patatas pesa lo mismo que 6 bolsas de naranjas, ¿cuántos kilos de naranjas y de patatas se hansuministrado?

51 �� Al repartir caramelos entre un cierto número deniños y niñas, tocan a 3 por cabeza y sobran 12. Si se aña-den 3 caramelos, cada niño percibe 1 caramelo más y nosobra ninguno. ¿Cuántos niños hay y cuántos caramelosse reparten?

52 �� En un congreso internacional participan 147 eu-ropeos, 231 americanos y 120 asiáticos, mientras que elresto son de origen africano. Los europeos representan la cuarta parte del total de asistentes. ¿Cuántos participan-tes africanos intervienen en el congreso?

53 �� Una clase de 1.° de ESO ha decidido organizarun viaje de fin de curso. El autobús cuesta 2 100 €, y laestancia por alumno, 78 €. Con diversas actividades hanconseguido reunir 1 625 €; además, les han concedidouna ayuda de 800 €. Si a la excursión están apuntados25 estudiantes, ¿cuánto dinero debe aportar cada uno deellos?

54 �� En el horno de una pastelería se dispone de 40 docenas de huevos para elaborar 50 bizcochos y, conlos huevos que sobren, algunas galletas. Por cada bizco-cho se emplean 6 huevos, y por cada docena de galletas,4 huevos. ¿Cuántas galletas podrán hornearse?

55 �� Un artesano adquiere por 150 € el material pa-ra confeccionar 50 cestos. Además, por la venta de cadacesto debe pagar 4 € al dependiente que se los vendeen un mercadillo. ¿Qué precio tiene que ponerle a cadacesto para obtener unas ganancias de 900 € por la ventade todos?

56 �� Jaime y Rosa deciden comprar un regalo a me-dias para su amigo Leonardo. Jaime pone en ese momento20 € porque no lleva más dinero encima, mientras queRosa aporta 40 €. Al pagar les devuelven 10 € que sequeda Rosa. ¿Cuánto dinero le debe Jaime a Rosa?

Conoces las diferencias entre un sistema de numeración posicional y uno que no lo es1 Con los siguientes símbolos escribe el número indi-cado en cada apartado:

� � 1 � � 5 � � 25

a) 2 b) 12 c) 27

2 ¿Es el sistema de numeración empleado en el ejer-cicio anterior posicional o no posicional?

Manejas el sistema de numeración romano3 Expresa en números romanos:

a) 23 b) 69 c) 190 d) 1 509

4 Escribe en el sistema de numeración decimal:

a) XCII b) MDCCLIV c) MMDXL

Conoces los órdenes de unidad superiores a la unidad de millón5 Indica el orden de unidad que ocupa cada cifra enel número 12 345 890 672.

6 Señala el valor y el orden de unidad que ocupa lacifra a la que se refiere cada apartado:

a) El 4 en el número 43 897 332.

b) El 1 en el número 12 897 650 000 000.

7 Escribe cómo se leen los siguientes números:

a) 12 000 605 c) 1 000 345 000

b) 12 014 000 345 d) 5 345 000 000 000

Manejas las aproximaciones de númerosnaturales8 Redondea cada cantidad a los dos órdenes de uni-dad indicados:

a) 3 456 a las centenas y a las unidades de millar.

b) 129 456 a las unidades de millar y a las centenas demillar.

c) 19 856 008 a las unidades de millón y a las decenasde millón.

9 Indica si las aproximaciones son por exceso o pordefecto

a) 14 328 & 14 300

b) 321 723 & 320 000

c) 49 823 & 50 000

d) 1 234 567 & 1 000 000

Relacionas los términos de una suma, de unaresta, de una multiplicación y de una división10 Averigua el valor que falta en cada apartado:

a) 4 350 � �? � 345 d) 654 � �? � 890

b) �? � 450 � 120 e) 420 � �? � 13 440

c) �? � 15 � 930 f) �? � 45 � 4 320

Aplicas las propiedades de las operaciones para facilitar tus cálculos11 Calcula mentalmente aplicando las propiedadesde las operaciones:

a) 125 � 30 � 70 � 75

b) 12 � 8 � 12 � 2

c) 34 � 102

d) 18 � 99

e) 15 � 9 � 15 � 6

12 Calcula mentalmente:

a) 8 000 � 200 c) 60 � 300

b) 240 � 30 d) 18 � 2 000

Calculas el valor de expresiones aritméticas

13 Efectúa estas operaciones:

a) 3 � 3 � 4 � 2 � 2 � 8 � 4 � 1

b) (3 � 3) � 4 � 2 � (2 � 8) � 2 � 1

c) (3 � 3 � 4 � 2) � 2 � 8 � (4 � 1)

d) 3 � (3 � 4 � 2 � 2 � 8 ) � 4 � 1

Resuelves problemas aritméticos que requieranhacer más de dos operaciones

14 Clara es diseñadora de bolsos. Se ha gastado 150 €en material para confeccionar 50 bolsos. Por cada unoque vende debe pagar 4 € de impuestos. ¿A qué pre-cio tiene que poner cada bolso para ganar 900 € por laventa de todos?

15 Berni ha dado una entrada de 100 € para comprarun televisor que cuesta 990 €. El resto lo paga en 12plazos de 85 € cada uno. ¿Cuánto dinero habría aho-rrado si no lo hubiese pagado a plazos?

16 Mar y Pilar van a cenar a un nuevo restaurante quehan abierto en el barrio. Cuando llega la cuenta, Marpone 20 €, y Pilar, 40 €. Al pagar, les devuelven 10 €.Como Pilar se queda con las vueltas, ¿cuánto dinero ledebe Mar si pagaban a medias la cena?

169

¿Qué combo elegiría para darse de alta un cliente que priorice la oferta televisiva?

a) ¿Cuánto pagaría el primer año por el servicio con IVA? ¿Y el segundo año?

b) Calcula cuánto se ahorra este cliente anualmente gracias a la promoción de bienvenida.

c) Si el cliente decide contratar el servicio Opción Cine, ¿qué cantidad figuraría al mes en la facturapara pagar, sin tener en cuenta el impuesto del valor añadido?

María lleva tres años dada de alta en el servicio COMBO MEDIO y le llega la siguiente factura:

a) ¿Qué errores aprecias en la factura?

b) ¿Qué cantidad de dinero le han cobrado de más a María?

c) Investiga qué puede hacer María, en el caso de que la compañía no reconozca su error y no ledevuelva el importe que ha pagado de más.

Flora es dueña de una cafetería y, con el fin de aumentar su clientela, ha decidido contratar laopción TV Deporte y el servicio de wifi para que sus clientes puedan disfrutarlos en su local. Además, contrata la protección antivirus y el servicio de mantenimiento.

a) ¿Qué COMBO tiene que elegir para poder optar a estas posibilidades?

b) Desglosa la factura que tendrá que pagar en el mes de abril.

Emilio es un cliente antiguo que, navegando por Internet, ha descubierto las nuevas promocionesde bienvenida que tiene la compañía. Decide llamar al Departamento Atención al Cliente parareclamar por el trato desfavorable que tienen los clientes antiguos con respeto a las nuevas altas.

a) Si Emilio tiene contratado el COMBO MINI, ¿cuánto se ahorraría si le aplicasen la tarifa del nuevocliente?

b) Para satisfacer a Emilio, la compañía le hace una oferta especial: 23 €/mes (sin IVA) por su paquete de servicios contratados durante 6 meses. ¿Mejora esta oferta la promoción de bienvenida?

En la publicidad de la empresa se establece un compromiso de permanencia obligatoria en la compañía de 12 meses. ¿Qué opinas sobre esta obligación? ¿Crees que el cliente debería decidircuándo se da de alta o de baja en un servicio sin que tenga que ser sancionado por ello o estás deacuerdo con la permanencia obligatoria?

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UNIDADES 49

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Lee atentamente el texto sobre los precios de diferentes servicios ofertados por una compañía telefónica y responde luego a las preguntas.

Imagínate que quieres contratar por primera vez los servicios de esta compañía y te decides por elCOMBO MINI.

a) ¿Cuánto pagarás el segundo mes sin incluir el IVA? ¿Y con IVA?

b) ¿Cuánto pagarás el decimoquinto mes sin incluir el IVA? ¿Y con IVA?

Nota: El IVA aplicable es del 18 %.

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ias BLOQUE II: ARITMÉTICA (II)

PAQUETES DE SERVICIOS DE TELECOMUNICACIONES

En la página de una compañía telefónica se pueden ver los siguientes paquetes de servicios de tele-fonía, televisión e Internet:

Nota: Compromiso de permanencia durante 12 meses. Todas las tarifas aparecen indicadas sin IVA. La promoción debienvenida durará los 12 primeros meses.

Servicios adicionales no incluidos en las ofertas de los paquetes (IVA incluido):

1. Servicio wifi: 3,54 €/mes.

2. Protección antivirus: 4,72 €/mes.

3. Servicio de mantenimiento: 5,31 €/mes.

4. Opción Cine (solo para los clientes del COMBO MEDIO): 7,67 €/mes.

5. Opción TV Deporte (solo para los clientes del COMBO SÚPER): 6,49 €/mes.

6. Alta e instalación: 53,1 €.

COMBO MINI

– Llamadas gratis a los teléfonos fijosnacionales.

– Internet a velocidad baja.– Televisión en abierto.

Antes: 40 €/mesPromoción de bienvenida: 29 €/mes

COMBO MEDIO

– Llamadas gratis a los fijosnacionales y a los móviles de lacompañía.

– Internet a velocidad media.– Televisión en abierto y más de

90 canales de televisión digital.


COMBO SÚPER

– Llamadas gratis a los fijosnacionales y a los móviles de todaslas compañías.

– Internet a velocidad alta.– Televisión en abierto más

80 canales de televisión digital.


Periodo: 2 febrero-1 marzo del 2011

Servicios contratados COMBO MEDIO 77 €/mesOpción TV Deporte 5,5 €/mesAlta e instalación 45 €

Total factura 82,5 €/mes

Total a pagar (IVA incluido) 97,35 €/mes

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Supongamos que un cartón de leche de un litro y medio cuesta 1,24 €.

a) ¿Cuánto debería costar un cartón de medio litro, para que el precio del producto fuera propor-cional?

b) Teniendo en cuenta los resultados que has obtenido, ¿cuánto vale el litro de leche?

c) En realidad, los productos minidosis son más caros que el resto, porque se tienen en cuenta loscostes extras de envasado y demás factores. Sabiendo que el cartón de medio litro es un 15 %más caro, ¿cuál será su precio?

Un bote de tomate frito con capacidad para 250 cm3 cuesta 0,93 €.

a) ¿Cuánto costará un bote de tomate frito minidosis (100 mL), si es un 12 % más caro?

b) ¿Cuánto habrá que pagar por un bote de 500 mL si su precio es proporcional al de 250 cm3?

En el artículo se habla de pasta minidosis. Si un paquete de pasta de medio kilogramo está pensadopara 4 comensales, ¿cuántos gramos debería contener un paquete de pasta para una persona? ¿Ypara 6 personas?

Supongamos que cada cápsula de café de 8 g cuesta 0,25 €, y que un paquete de café de 250 gvale 2,62 €.

a) Calcula cuántos cafés de 8 g podrías hacer con el paquete.

b) ¿Cuánto tendrías que pagar por las cápsulas de café si quisieras hacer los mismos cafés que conel paquete de 250 g?

En el mismo artículo de El País puede leerse: «A más gente viviendo sola, más basura. Los hogarespequeños generan más residuos, y el incremento de envases minidosis y de comida preparada noayuda a una situación complicada de por sí. En España, según datos de Greenpeace, los hogaresgeneraron un 40 % más de basura entre 1996 y 2003. El 50 % de los residuos de envases generadosson domésticos».

a) Comenta esta frase: «El 50 % de los residuos de envases generados son domésticos».

b) ¿Se generan muchos residuos en tu hogar? ¿Los sabes clasificar para su reciclado? Haz unrecuento de los envases que se tiran a la basura en tu casa en una semana y clasifícalos según elporcentaje de envases orgánicos, de papel, de plástico y de vidrio.

c) Investiga sobre la triple R: Reducir, Reutilizar y Reciclar.

d) Elabora un plan para aplicar la triple R en tu hogar.

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UNIDADES 49

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Lee atentamente el texto sobre las minidosis de algunos productos y, a continuación,responde a las preguntas.

¿Qué son, según el artículo, las minidosis?

Busca en un diccionario las siguientes palabras: hedonista, sibarita y recalcitrante.

En el artículo se nombran varias palabras en inglés. Identifícalas y explica su significado.9

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ias BLOQUE II: ARITMÉTICA (II)

MINIDOSIS

Según las últimas encuestas, cada vez hay más hogares unipersonales en el mundo. No solo sonmuchos, sino que se «comen» el 12 % del gasto total en productos de gran consumo. Y lo mejor detodo, están dispuestos a gastar hasta un 65 % más en la cesta de la compra que el resto de los hogares, ya que disponen de más dinero.

Personas que vivan solas las hay de muchos tipos; los grupos mayoritarios son el formado por hombres menores de 45 años de clase media, y el integrado por viudas mayores de 65 con un presupuestoajustado. Ellas son racionales y planifican su compra; ellos (y, en general, los jóvenes), no. «Los singles de menor edad son consumidores hedonistas, sibaritas y caprichosos.» Son marquistas, y no se fijan tanto en el precio como en que el producto sea fácil de preparar. «En un 30 % de lasocasiones en que realizan alguna comida en casa, siguen el impulso me apetecía.»

Además de jóvenes impulsivos, hay silvers (de entre 45 y 65) con poco tiempo, o seniors (mayores de65) con tiempo, pero sin coche para ir al híper. Da igual su tipología, que sean divorciados o solterosrecalcitrantes, sibaritas o ahorradores… todos tienen una cosa en común: el packaging de los ali-mentos les viene grande. Los envases siguen siendo pensados para familias. Y a ellos se les estropeala comida envasada en grandes cantidades y concebida para familias de varios miembros.

Esta realidad ha abierto los ojos a muchas empresas. La palabra clave es minidosis: bolsitas con unaración de arroz, lasañas congeladas para uno, minibotes de legumbres, botes de tomate frito caserode 100 mL, brik de leche de medio litro, bandejas de fruta variada (con una pieza de cada), café encápsulas, raciones de pasta…

Estos productos minidosis son más caros que el resto (entre un 10 % y un 15 %), pues hay más costesde embalaje, almacenaje, etiquetado, envasado…; sin embargo, para el consumidor, el gasto psico-lógico de tirar el producto sobrante que se estropea es mayor. Es decir, que uno prefiere gastar másen lo que necesita, que sentirse a disgusto por despilfarrar la comida.

Modificado de El País, 29/11/2008

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