Unidad Didactica 1 Introducción a la topografía y a la geodesia

1Unidad Didctica I

INTRODUCCIN A LA TOPOGRAFA Y GEODESIA

Profesor Responsable : Julio Manuel de Luis Ruiz

Asignatura: "Topografa y Geodesia", Plan de Estudios 2010Grado en Ingeniera de los Recursos Mineros y Grado en Ingeniera de los Recursos Energticos.

UNIVERSIDAD DE CANTABRIAINGENIERA CARTOGRFICA,

GEODSICA Y FOTOGRAMETRA.

ESCUELA POLITCNICA DE INGENIERA DE MINAS Y ENERGA

1. DEFINICIN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BSICOS

1.1. Topografa y geodesia

1.2. Encuadre referencial

1.3. La modelizacin convencional del relieve

1.4. Lectura de mapas y planos

2. INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA. APLICACIN A LA TOPOGRAFA Y GEODESIA

2.1. Necesidad y lmites de su estudio. La medida como variable aleatoria

2.2. Funciones de densidad que se apoyan en la distribucin normal

2.3. Consideraciones adicionales

3. FUNDAMENTOS DE ASTRONOMA GEODSICA

3.1. Introduccin a la astronoma

3.2. Sistemas de coordenadas

3.3. La tierra en el universo

ESTRUCTURA





1.- DEFINICIN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BSICOS1.1.- TOPOGRAFA Y GEODESIA

REPRESENTAR EN PAPEL

OBJETIVO UNA ZONA DE LA

COMN SEPERFICIE

TOPOGRAFIARepresentacin de zonas de la tierra de pequea extensin (10 km ) con lo que NO se puede despreciar la

curvatura terrestre.

MAPAS





FORMA REAL DE LA TIERRA

SUPERFICIE

EQUIPOTENCIAL

Se considera GEOIDE a la superficie equipotencial, coincidente aproximadamente con el nivel medio de los mares.






CARACTERIZACIN DEL GEOIDE

Cualquier punto de la superficie se encuentra en EQUILIBRIO del conjunto de fuerzas que interactuan.

La direccin de la gravedad en cualquier punto de es perpendicular al GEOIDE.

Se define altura geoidal como la altura existente entre el GEOIDE y la FIGURA de APROXIMACION debidas a las variaciones de densidad de la tierra. (+/-100m).

ECUACIN MATEMTICA DE LA SUPERFICIE SIN DETERMINAR EN SU TOTALIDAD.






CARACTERIZACIN DEL GEOIDE






2FIGURAS DE APROXIMACIN






FIGURAS DE APROXIMACIN

GEOIDEECUACIN

MATEMTICA COMPLEJA

ESFERA

ELIPSOIDE






ESFERA COMO FIGURA DE APROXIMACIN

RADIO = R

CENTRO (X,Y,Z)






CENTRO (X,Y,Z)

DOS PARMETROS:

SEMIEJE MAYOR = a

SEMIEJE MENOR = b

Aplanamiento =

Primera Excentricidad = e

Segunda Excentricidad = e

a

bae

22

=

ELIPSOIDE COMO FIGURA DE APROXIMACIN

a

ba =

b

bae

22

'

=






1798- DELAMBRE.- 6.375.653 1:334

1830- EVEREST.- 6.377.276 1:300

1880- STRUVE.- 6.378.298 1:295

1909- HAYFORD.- 6.378.388 1:297

1942- KRASSOWSKY.- 6.378.245 1:298,30

1964- INTERNACIONAL.- 6.378.160 1:298,25

ELIPSOIDE COMO FIGURA DE APROXIMACIN






ELEMENTOS ESTRUCTURALES

1.- EJE TERRETRE

2.- POLO TERRESTRE

3.- PLANO MERIDIANO

4.- MERIDIANO

5.- ECUADOR

6.- PLANO PARALELO






3ELEMENTOS ESTRUCTURALES

7.- VERTICAL ASTRONMICA

8.- VERTICAL GEODSICA

9.- VERTICAL GEOCNTRICA10.- PLANO HORIZONTAL

11.- MERIDIANA







12.- DESVIACIN DE LA VERTICAL







13.- COORDENADAS GEOGRFICAS







14.- DIFERENCIAS MERIDIANOS







15.- LATITUD

ASTRONMICA

16.- LATITUD

GEODSICA

17.- LATITUD

GEOCNTRICA

18.- LONGITUD

GEODSICA

19.- LONGITUD

ASTRONMICA







20.- ACIMUT GEODSICOngulo entre dos planos que contienen a la normal al elipsoide en el punto P. Un plano contiene al polo norte del elipsoide y el otro al punto Q.

21.- ACIMUT ASTRONMICOngulo entre dos planos que contienen a la vertical de lugar en P. Un plano contiene al polo norte celeste y el otro plano al punto Q.

22.- DATUMLugar determinado donde coincide geoide y elipsoide. Coinciden las coordenadas geodsicas y astronmicas.






4RED GEODSICA NACIONAL

RED GEODSICA 1918

RED GEODSICA 1866






RED GEODSICA NACIONAL

RED GEODSICA PRIMER ORDEN

RED GEODSICA 1987







RED GEODSICA SEGUNDO ORDEN

CANTABRIA ARCO BAHA







RESEA VRTICE GEODSICO







http://www.cnig.eshttp://www.ign.es












5RED NIVELACIN DE ALTA PRECISIN






RESEAS NAP






DEFINICINConjunto de tcnicas y mtodos que tienen por objetivo determinar la forma y dimensiones de un terreno, para poder representarlo de forma grfica sobre un plano.

TERRENO MAPA

MAPA TERRENO

TOPOGRAFA

OBJETIVO

Medicin de ngulos y distancias con instrumentos adecuados y poder as determinar los posicionamientos en una doble vertiente:





1.- DEFINICIN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BSICOS1.2.- ENCUADRE REFERENCIAL

LA TOPOGRAFA EN LA INGENIERA

1.- GENERACIN CARTOGRFICA

2.- BUEN USO DE LA CARTOGRAFA

3.- DEFINICIN GEOMTRICA

4.- EJECUCIN, MEDICIN Y CONTROL

5.- EXPLOTACIN USUAL DE LA OBRA

INGENIERA PROYECTO TOPOGRAFA






MAPAS PLANOS Y CARTAS

MAPAS: toda representacin plana de una parte de la superficie terrestre, que por su extensin y debido a la curvatura de la superficie de la tierra, requiere de sistemas de transformacin.- Analtico.- Estudian un fenmeno temtico y lo asocian con un lugar.- Experimentacin.- Combinaciones de dos o ms mapas analticos. - Sntesis.- Soportan toda la informacin posible en la hoja.

PLANOS: representan una superficie donde se prescinde de la curvatura terrestre, la relacin entre medida plano y real es constante.

CARTAS: mapas empleados para la navegacin area o martima.






PRINCIPALES MAGNITUDES

LINEALES.-

km, m, dm, cm, mm

SUPERFICIALES.-

km2, ha, m2

ANGULARES.-

Sexagesimal: grados(), minutos('), segundos(").

Centesimales: grados (g), minutos (c), segundos (cc).

Radianes:

1 radin = 1.296.000/2=206265

1 radin = 4.000.000/2=636620cc






6PROBLEMTICA CONDICIONADA

1.- TAMAO

2.- RELIEVE

3.- PROYECCIN






PROBLEMTICA CONDICIONADA

1.- TAMAO ESCALAS

NUMRICAS l = tamao de plano

L = tamao real

GRFICAS

TRANSVERSALES

E = l/L







1.- TAMAO ESCALAS

PLANO TCNICO (PT) Escala grande1/100 1/500 1/1.000 1/5.000 1/10.000

MAPA TOPOGRFICO (MT) Escalas medianas1/25.000 1/50.000 1/100.000 1/200.000

MAPA GEOGRFICO (MG) Escalas pequeas1/400.000 1/500.000 1/800.000 1/1.000.000

MAPAS GENERALES (MG) Escalas generalesDesde 1/1.000.000 en adelante







1.- TAMAO ESCALAS LIMITE PERCEPCIN VISUAL

Se define como Limite de Percepcin Visual a la distancia a la cual dos puntos que estn muy prximos el ojo humano los confunde con uno slo. Se admite que usualmente este valor sea 0,2 mm.

PAPEL ESCALA REAL1/500 10cm1/1000 20cm

0.2mm 1/2000 40cm1/5000 1m1/25000 5m1/50.000 10m

Esto supone una INCERTIDUMBRE al observar un mapa o un plano ascomo un lugar donde disfrazar el error cometido en funcin de la escala.






EL LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

Conjunto de tcnicas y operaciones necesarias llevar a cabo para representar un terreno.

Levantamiento NO convencional

Levantamiento SI convencional

- CLSICO

- FOTOGRAMTRICO





1.- DEFINICIN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BSICOS1.3.- LA MODELIZACIN DEL RELIEVE

EL LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO CLSICO

PROYECCIN DE PUNTOS SITUADOS EN EL TERRENO






7EL LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO CLSICO

GENERACIN DE CURVAS DE NIVEL







Relacin entre Escala y Equidistancia.







Curvas de nivel directoras e intercaladas.







Generacin de las curvas de nivel.






ELEMENTOS DE LA MODELIZACIN DEL RELIEVE

Posicin altimtrica de puntos situados entre dos curvas de nivel consecutivas.






Pendientes y secciones por un punto.







8Divisorias, Vaguadas y Collados.







Cumbres y Simas.







Traza

Rectilnea.

CARACTERIZACIN DE LOS PERFILES LONGITUDINALES






Traza NO

Rectilnea.







Traza NO

Rectilnea.







Guitarra caracterstica

del perfil longitudinal.







9CARACTERIZACIN DE LOS PERFILES LONGITUDINALES

Identificacin del perfil

Distancia al origen

Distancias parciales

Cota del terreno

Cota de la rasante

Altura de desmonte

Altura de terrapln

Guitarra caracterstica

del perfil longitudinal






CARACTERIZACIN DE LOS PERFILES TRANSVERSALES

Definicin ySecciones Tipo






CLCULOS VOLUMTRICOS

Perfiles consecutivos de igual configuracin.

)(2

21 TTd

V TT += )(2 21DD

dV TD +=






CLCULOS VOLUMTRICOS

Perfiles consecutivos en Desmonte y Terrapln.

22T

bVT =12

Da

VD =






CLCULOS VOLUMTRICOS

Sucesin de perfiles en media ladera.

+++=

**

*

2)(

2

2

21TD

DdDD

dVD

+++=

**

*

2)(

2

2

21TD

TdTT

dVT






APLICACIONES CARACTERIZADAS

A.- Anlisis altimtricosB.- Determinacin de cuencas de aportacinC.- Estudio de zonas vistas y ocultasD.- Caracterizacin de trazadosE.- Cubicacin de movimientos de tierrasF.- Anlisis de pendientesG.- Evaluacin de volmenes por estratos horizontalesH.- Volumen de excavacin en tneles






10

PROBLEMTICA DE LA REPRESENTACIN CARTOGRFICA

FIGURA NO DESARROLLABLE => PROYECCIONES CARTOGRFICAS

A.- PROYECCIONES B.-DESARROLLOS GEOMTRICAS CARTOGRFICOS






LA PROYECCIN UTM

Situacin del Cilindro Transverso a la Tierra.






LA PROYECCIN UTM

Proyeccin conforme. Meridiano central del huso, automecoico. El Ecuador y el meridiano central de cada uso se

representan por lneas rectas. El origen de coordenadas es la interseccin de

Ecuador con el meridiano central del huso.






LA PROYECCIN UTM

Referenciacin de la UTM en Espaa.






INSTITUTO GEOGRFICO NACIONAL

PRINCIPALES MISIONES

Proyecto, observacin y clculo de la red geodsica.

Proyecto observacin y clculo de la red de nivelacin.

Sistemas de informacin geogrfica.

Imgenes de satlites.

Ortoimgenes.





1.- DEFINICIN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BSICOS1.4.- LECTURA DE MAPAS Y PLANOS

1.4.1.- INTRODUCCIN GENERAL

PRINCIPALES PUBLICACIONES

Mapas Nacionales y Autonmicos.

Mapa Topogrfico Nacional 1/50.000 y 1/25.000

Ortoimgenes.

Mapas Temticos.

Cartografa Digital.





INSTITUTO GEOGRFICO NACIONAL



11


Ejecucin de Cartografa militar, hoy de libre difusin.

SERVICIO GEOGRFICO DEL EJRCITO


Mapas Serie 5V, escala 1/25.000

Mapa Serie L, escala 1/50.000

Mapa Serie C, escala 1/100.000

Mapas Serie 2C, escala 1/200.000








Obtener Cartas Marinas con el objetivo de proporcionar informacin nutica fiable

INSTITUTO HIDROGRFICO DE LA MARINA


PORTULANOS, escalas mayores de 1/25.000

APROCHES, cartas marinas a escala 1/25.000

CARTAS DE NAVEGACIN, escala 1/50.000-1/200.000

ARRUMBAMIENTOS, escala 1/200.000-1/300.000








Ejecucin de planos a escala 1/2.000 de las reas de influencia de los aeropuertos.

Ejecucin de Cartas ereas, que permitar la navegacin area.

SERVICIO CARTOGRFICO Y FOTOGRFICO DEL EJRCITO DEL AIRE


Mapa aeronutico de Espaa, escalas 1/1.000.000

Mapas de Aeropuertos, escalas 1/2.000








Obtener Cartografa Regional que mejore las escalas del Mapa Topogrfico Nacional.

SERVICIOS CARTOGRFICOS REGIONALES


Mapa Autonmico a escala 1/5.000

Mapa de Ncleos Urbanos 1/2.000

Ortofotografas








Obtener Cartografa Local, generalmente de mbito municipal que mejore las escalas de la Cartografa Regional.

SERVICIOS CARTOGRFICOS LOCALES


Mapa de Ncleos Urbanos 1/1.000 y 1/500.

Ortofotografas








En la redaccin de proyectos, se hace necesaria la presencia de planos que permitan realizar las mediciones con suficiente grado de precisin.

CONSULTORES Y OFICINAS DE PROYECTOS


Planos a escala 1/2.000

Planos a escala 1/1.000

Planos a escala 1/500







12

Es muy usual referir las altitudes al nivel medio del Mar Mediterrneo en Alicante y emplear la Proyeccin Universal Transversal Mercator (UTM), utilizando el elipsoide de Hayford con Datum en Postdam.

REFERENCIACIN 1/50.000







REFERENCIACIN 1/25.000







UBICACIN DEL MTN50 Y MTN25







COORDENADAS GEODSICAS DEL MTN50







COORDENADAS GEODSICAS DEL MTN25







DECLINACIN MAGNTICA

Informa, para un punto del territorio centrado en la hoja, el valor del ngulo entre el norte geogrfico y el norte magntico, en una fecha concreta. Tambin se informa de la variacin de la misma.

CONVERGENCIA DE CUADRCULA

ngulo para el centro de la hoja, que forma el eje de cordenadas del sistema referencial adoptado (usualmente la proyeccin UTM) con la direccin del norte geogrfico.





INFORMACIN GEOGRFICA ADICIONAL



13

DETALLE DE LA DECLINACIN MAGNTICA Y CONVERGENCIA DE CUADRCULA





INFORMACIN GEOGRFICA ADICIONAL



INFLUENCIA DE LA ESCALA EN EL MAPA O PLANO

ESCALA 1/50.000 ESCALA 1/25.000 ESCALA 1/5.000






1.4.2.- ASPECTOS PARTICULARIZADOS DE MAPAS Y PLANOS

INFLUENCIA DE LA ESCALA EN EL MAPA O PLANO

ESCALA 1/2.000







INFLUENCIA DEL OBJETIVO DE EJECUCIN

SGE IGNAsignatura: "Topografa y Geodesia", Plan de Estudios 2010

Grado en Ingeniera de los Recursos Mineros y Grado en Ingeniera de los Recursos Energticos.






LEYENDA Y SIGNOS CONVENCIONALES

ESCALA 1/50.000

ESCALA 1/25.000







DIVISIONES ADMINISTRATIVAS







14

STRAND:

Zona del litoral que es batida por la marea. Depende de la pendiente del litoral y de la magnitud de la marea de la zona.

LNEA MARTIMO-TERRESTRE:

Lnea de separacin de zona martimo-terrestre, lnea posicionada fsicamente en el terreno, tiene vigencia administrativa, aunque no tenga ninguna propiedad ni altimtrica ni planimtrica.







HIDROGRAFA MARINA E INTERNA ZONAS DE MARISMA Y PLAYA EN MTN25







SMBOLOS USUALES EN HIDROGRAFA







TIPOS DE REPRESENTACIN

PROBLEMTICA EN SU REPRESENTACIN:

Identificar el cultivo representativo de un lugar.

Usos susceptibles de cambios a corto plazo.

Confusin en la lectura dada la gran variedad de especies.Asignatura: "Topografa y Geodesia", Plan de Estudios 2010







VEGETACIN Y USOS DEL SUELO

USOS DEL SUELO Y CULTIVOS EN EL MTN25







CULTIVOS EN 1/5.000







15

Vrtices geodsicos

Canteras y minas

Iglesias, ermitas, cementerios

Molinos

Torres, castillos y faros

Centrales elctricas

Lneas elctricas







La informacin contenida en los planos depende fundamentalmente de las exigencias impuestas a la empresa especializada que realiza el trabajo y al control de calidad que impone el particular o la Administracin que encarga el trabajo.

Para una misma escala, y para zonas parecidas, las hojas resultantes pueden contener una informacin muy diferente.







INFORMACIN ADICIONAL

DEFINICIN:

Representacin analtica de las caractersticas del terreno, mediante sistema Coordenadas y Atributos, almacenadas en un soporte para su posterior procesado, edicin y explotacin, consiguiendo la automatizacin del proceso.






1.4.3.- INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS CARTOGRFICOS NUMRICOS

BASES CARTOGRFICAS NUMRICAS

VENTAJAS: Soporte de la informacin estable. Almacenamiento fcil, poco voluminoso, y mantiene la precisin geomtrica.

Puesta al da fcil y rpida. Posibilidad del cambio de los sistemas de referencia y de escala, posibilidad de realizar selecciones selectivas.

Posibilidad de integrar la informacin en SIG. Eliminar partes tediosas como el dibujo de cajetines, simbologa, rotulacin, etc.








HERRAMIENTAS BSICAS









HERRAMIENTAS BSICAS







16


HERRAMIENTAS DE MEDIDA








HERRAMIENTAS DE DIGITALIZACIN








HERRAMIENTAS DE MODELIZACIN








RESULTADOS







IMPORTANCIA DE LAS BCN

MDT BCN

BDT

SIG







BASES CARTOGRFICAS NUMRICAS INEVITABILIDAD Y CAUSAS DE ERROR

Toda tcnica de medida est sometida a la inevitable dependencia de los errores. Como principales causas del error se pueden establecer:

A.- LIMITACIN DE LOS SENTIDOS

B.- CONDICIONES INSTRUMENTALES

C.- CONDICIONES AMBIENTALES





2.- INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA2.1.- NECESIDAD Y LIMITES DEL ESTUDIO2.1.1.- INEVITABILIDAD Y CAUSAS DE ERROR

17

TIPOS DE ERROR

GROSEROS O EQUIVOCACIONES.- No son admisibles y fcilmente evitables, suelen representar variaciones sustanciales frente a la magnitud real.

SISTEMTICOS.- Se presentan al realizar una medida y proceden de una causa permanente que obliga a cometerlo siguiendo una tendencia marcada, son evitables con una metodologa adecuada.

ACCIDENTALES.-

Provienen de todas las causas posible no siguiendo ninguna tendencia marcada, se pueden acotar pero no evitar.






PROBABILIDAD MATEMTICA

1 POSTULADO DE GAUSS

Los errores en las mediciones se presentan ms a menudo, cuanto menor es su valor absoluto.

2 POSTULADO DE GAUSS

Los errores del mismo valor absoluto pero distinto signo se presentan con igual frecuencia.










2.- INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA2.1.- NECESIDAD Y LIMITES DEL ESTUDIO

2.1.2.- INTRODUCCIN AL ESTUDIO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIN:

VARIABLE ALEATORIA: Es una variable que toma unos valores llamados resultados con una cierta probabilidad.

Resultados Finitos Variable DiscretaResultados Infinitos Variable Continua

La forma de expresar la distribucin de la probabilidad (Modelo de comportamiento) de las variables aleatorias continuas, se hace a travs de la funcin de densidad y la funcin de distribucin.







FUNCION DE DENSIDAD

FUNCION DE DENSIDAD

Establece la valoracinpuntual o por tramos de laprobabilidad en el espaciomuestal considerado.







FUNCION DE DISTRIBUCIN

FUNCION DEDISTRIBUCIN

Establece la valoracinacumulada en tiempo de la probabilidad en el espaciomuestal considerado.







MOMENTOS DE VARIABLES CONTINUAS

Se define momento de una variable aleatoria continua como

a = Valor respecto al que se establece el momentoK = Orden del momento 1, 2, 3, ...

= RKK

a dxxfaxM )()(

18







MOMENTOS DE VARIABLES CONTINUAS:

A.- ESPERANZA O MEDIA

B.- VARIANZA

==

=

=

dxxfxMK

origena)(

1

1

0

==

=

=

dxxfxMK

mediaa)()(

2

222

VarianzaDesviacinTpicaDesviacin

Varianza=

=

=

_

2





2.- INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA2.2.- FUNCIONES DE DENSIDAD SOBRE LA NORMAL

2.2.1.- DISTRIBUCIN NORMAL

( )

pi

2)(

2

2

2

=

x

exf

221

0 == MM

FUNDAMENTO DE LA DISTRIBUCIN:

],[ 2N






2.2.1.- DISTRIBUCIN NORMAL

[ ]

[ ] [ ]

=

xzCambio

NN

VariableCambio

TABULADAN

1,0,

_

1,0

2

TABULACIN DE LA DISTRIBUCIN:

pi2)(

2

2x

exf

=






2.2.2.- DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL

OTRAS DISTRIBUCIONES:

A.- CHI-CUADRADO DE PEARSON

B.- T DE GOSSET (STUDENT)

C.- F DE SNEDECOR

2

2

21

2

22

)( nn

xn

n

eXxf =

=

tn

x

n

n

nxf

n

=

+

+=

+

2

12

1

2

2

1

1)(

pi

Fxxn

m

n

m

nm

nm

xfm

nmm

=

+

+=

+

2

222

1

22

2)(










2.2.3.- APROXIMACIN AL EMPLEO DE LA NORMAL

POBLACIN Y MUESTRA ALEATORIA

POBLACIN:

MUESTRA:

- Media Muestral

- Varianza Muestral

[ ]2,N[ ]2,Sxn

=

=

n

i

ixn

x1

1

( )=

=

n

i

i xxn

S1

22

1

1

POBLACIN

MUESTRA










2.2.3.- APROXIMACIN AL EMPLEO DE LA NORMAL

MUESTREO CON DISTRIBUCIN NORMAL

- Media Muestral

- Varianza Muestral

- Error Medio Cuadrtico de la muestra

=

=

n

i

ixn

x1

1

( )=

=

n

i

i xxn

S1

22

1

1

( )1

1

2

2

==

=

n

xx

Se

n

i

i

c

19









2.- INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA2.2.- FUNCIONES DE DENSIDAD SOBRE LA NORMAL2.2.4.- TRATAMIENTO SIMPLIFICADO DE LOS ERRORES

PLANTEAMIENTO GENERAL

- Variable Normal es reproductiva:

dada una variable aleatoria

de lo que se deduce:

[ ]2, xxNX = [ ]2, yyNY =YXZ +=

[ ]22, yxyxNZ ++=

222

yxz

yxz

+=

+=










PLANTEAMIENTO GENERAL

- Reproductividad y error medio cuadrtico de la media:

( ) 2121 ce( ) 2222 ce

...........

( ) 22 nnce ( ) ( ) ( ) ( )222212222122 ...... ncccnffc eeee +++=+++==

( )=

=

n

i

i

cc

f

c eee1

2

( ) ( )n

e

n

neen

ne

ne ccc

n

i

c

m

c ==== =

2

1

2 11

Peso de una Observacin:

22

1;

1

=

=

BA C

B

C

Ae

Pe

P

Media Ponderada:

=+

+=

n

n

BA

BBAAF

Pin

Pi

ErrorPP

PXPX

1

1

2

)1(










OBSERVACIONES CON DIFERENTE PESO

X

X

X

BFB

AFA

=

=

=

......................

A.- Para medir 2.000 m. se utiliza una cinta mtrica de 25m. midiendo tramos de 20m. cada uno . Sabiendo que el error en cada tramo es de 1,5 cm. Calcular el error total en la medicin.

cme

e

nee

TOTAL

TOTAL

TRAMOTOTAL

15

20

20005,1

=

=

=













EJERCICIO PRCTICO Nmero 1.-

B.- El error cuadrtico en la determinacin de un ngulo es de 5cc. Evaluar el error sabiendo que se han efectuado cuatro lecturas.

CC

TRAMO

TRAMO

TOTALTRAMO

e

e

n

ee

5,2

4

5

=

=

=














C.- El error angular cenital depende de tres circunstancias independientes. El error medio cuadrtico de las tres es 4cc, 10cc y 8cc

respectivamente. Calcular el error medio cuadrtico final.

cc

c

c

ncc

e

e

eeee

4,13

8104

....

222

22

2

2

=

++=

+++=














20

Una distancia se mide con un determinado instrumento, obtenindose los siguientes resultados:

52,3 52,2 52,2 51,8 52,7

51,7 51,9 52,4 52,1 51,7

Calcular:

A.- El valor ms probable.

B.- El error medio cuadrtico

C.- Precisin de una medida aislada.

D.- Precisin del valor ms probable.

E.- Probabilidad de que el valor resulte inferior a 52,4

F.- Probabilidad de que el valor resulte mayor que 52














VALOR MS PROBABLE

10,52

10

51,7 52,4 51,8 52,2 52,1 51,9 52,7 52,2 52,3

==

++++++++=

x

x

96,0;0 2 == RR ( ) 3266,011096,0

=

=ce

ERROR MEDIO CUADRTICO

1032,010

3266,0===

n

ee cc

ERROR MEDIO CUADRTICO DE LA MEDIA














PRECISIN DE UNA MEDIDA AISLADA

PRECISIN DEL VALOR MS PROBABLE

...............

33,02,52

33,03,52

ceXi

11,010,52 ceX














PROBABILIDAD 52,0

31,03266,0

1,520,52=

=

=

ce

XVPTABLA

En la tabla se obtiene 0,6217 es decir 62,17%














Un equipo topogrfico evala un cierto ngulo horizontal obteniendo los siguientes valores:

481520 481440 481540 481510481450 481520 481450 481610481600 481540

Calcular:

A.- El valor ms probable.

B.- El error medio cuadrtico

C.- Precisin de una medida aislada.

D.- Precisin del valor ms probable.

E.- Probabilidad de obtener un valor inferior a 481536

F.- Probabilidad de obtener un valor mayor a 481500Asignatura: "Topografa y Geodesia", Plan de Estudios 2010














21

481520 = 48x3600 + 15x60 + 20 = 920

481540 = 48x3600 + 15x60 + 40 = 940

481450 = 48x3600 + 14x60 + 50 = 890

481450 = 48x3600 + 14x60 + 50 = 890

481600 = 48x3600 + 16x60 + 0 = 960

481440 = 48x3600 + 14x60 + 40 = 880

481510 = 48x3600 + 15x60 + 10 = 910

481520 = 48x3600 + 15x60 + 20 = 920

481610 = 48x3600 + 16x60 + 10 = 970

481540 = 48x3600 + 15x60 + 40 = 940














VALOR MS PROBABLE VALOR MS PROBABLE



''22'1548''922 ==>=

92210

940970920910880960890890940920=

+++++++++=

''83602 =R ( ) ''47,301108360

=

=ce

''6,910

5,30===

n

ee cc















PRECISIN DEL VALOR MS PROBABLE

...............

''5,30''40'1518

''5,30''20'1548

ceXi

''10''22'1548 ceX














PROBABILIDAD 481500

72,05,30

922900=

=

=

ce

XVPTABLA

En la tabla se obtiene 0,7642 es decir 76,42%














Tres equipos topogrficos diferentes evalan una misma distancia, obteniendo los siguientes resultados:

Equipo A.- 218,27 / 218,14 / 217,98 / 218,10 / 218,31

Equipo B.- 217,51 / 218,37 / 217,81 / 218,22

Equipo C.- 218,15 / 218,08 / 218,21

CALCULAR:

1.- Los valores ms probables de cada medicin.

2.- El error medio cuadrtico de una medicin aislada realizada por cada equipo.

3.- Precisin de una medida aislada.

4.- El error medio cuadrtico de los valores ms probables.














22

5.- Precisin del valor ms probable en cada caso.

6.- Error mximo en cada medida.

7.- peso de cada una de las medidas.

8.- Media ponderada.

9.- Calcular las siguientes probabilidades:

a.- Probabilidad de obtener una medida mayor que 218.20 utilizando el equipo A

b.- Probabilidad de obtener una medida menor que 217,75 utilizando el equipo B

c.- Probabilidad de obtener una medida comprendida entre 218,12 y 218,17 empleando el equipo C.














VALOR MS PROBABLE

16,2185

218,31218,10217,98218,14218,27=

++++== AAX

9775,2174

218,22217,81218,37217,51=

+++=== BBX

1466,2183

218,21218,08218,15=

++== CCX















( )12

=n

Rec

nn xXR

xXR

xXR

xXR

=

=

=

=

.....................

33

22

11

0650.02

00846,0

3913,03

45940,0

1332,04

07100,0

==

==

==

C

B

A

c

c

c

e

e

e

0= R


...............

1332,014,218

1332,027,218

ceXi

...............

3913,037,218

3913,051,217

ceXi

...............

0650,008,218

0650,015,218

ceXi















PRECISIN DE LA MEDIA O VALOR MAS PROBABLE

0596,016,218

Ac

A eX

n

ee cc =

0375,03

0650,0

1957,04

3913,0

0596,05

1332,0

===

===

===

n

ee

n

ee

n

ee

C

C

B

B

A

A

c

c

c

c

c

c

1957,09775,217

Bc

B eX

0375,01466,218

Cc

C eX














ERROR MXIMO EN CADA MEDIDA

2

1

==

cePPeso

ca ee = 5,2

1625,00650,05,25,2

9783,03913,05,25,2

3330,01332,05,25,2

===

===

===

CC

BB

AA

ca

ca

ca

ee

ee

ee

PESO DE CADA OBSERVACIN

24,2711,7110375,0

11

111,261957,0

11

78,1052,2810596,0

11

2

2

2

2

2

2

==

=

==

=

==

=

C

B

A

c

C

c

B

c

A

eP

eP

eP


Unidad Didactica 1 Introducción a la topografía y a la geodesia

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