Unidad Didáctica Matemática Financiera I 2016_1 Marzo

8/18/2019 Unidad Didáctica Matemática Financiera I 2016_1 Marzo

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD A DISTANCIA

SEMESTRE ABRIL - AGOSTO 2016

UNIDAD DIDÁCTICA

MATEMÀTICA FINANCIERA I

AUTOR: Ing. Patricio Ruales M..

Quito - Ecuador


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA -------------------------------------------------------------------------------------- 3RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS --------------------------------------------------------------------------------- 4UNIDAD I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5

1. GENERALIDADES ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5INTRODUCIÓN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 51.1 PORCENTAJE ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 51.1.1 APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES ---------------------------------------------------------------------------- 61.2 LOGARITMOS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 71.2.1 APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES ----------------------------------------------------- 81.3 PROGRESIONES -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 91.3.1 PROGRESIÓN ARITMÉTICA-------------------------------------------------------------------------------------------- 91.3.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: ----------------------------------------------------------------------------------------- 91.3.3 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA: --------------------------------------------------------------------------- 91.3.4 APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES -------------------------------------------------------------------------- 91.3.5 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ----------------------------------------------------------------------------- 11UNIDAD II ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12

2. INTERÉS SIMPLE ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 122.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES ------------------------------------------------------------------------------------- 122.2 CONCEPTOS BÁSICOS --------------------------------------------------------------------------------------------------- 122.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE ---------------------------------------------- 142.4 APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO ------------------ 152.5 APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO --------------------------------------------------------------- 162.6 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL ----------------------------------------------- 162.7 APLICACIÓN SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES ------------------------- 182.7 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ------------------------------------------------------------------------------- 20UNIDAD III ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 213. DESCUENTOS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 213.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES ------------------------------------------------------------------------------------- 213.2 CONCEPTOS PRINCIPALES --------------------------------------------------------------------------------------------- 21

3.3 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL -------------------------------------- 223.4 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO ------------------------------------------------------------------ 233.5 APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO ----------------------------------------------------------------------- 243.6 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ------------------------------------------------------------------------------- 27UNIDAD IV ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 284. ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO ------------------------------------------------------------ 284.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES ------------------------------------------------------------------------------------- 284.2 CONCEPTOS PRINCIPALES --------------------------------------------------------------------------------------------- 284.3 APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR ------------------------------------------------------------- 294.4 APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO -------------------------------------------------------------------- 344.5 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ------------------------------------------------------------------------------- 35UNIDAD V ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 375. INTERÉS COMPUESTO Y DEPRECIACIONES ---------------------------------------------------------------------- 37

5.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES ------------------------------------------------------------------------------------- 375.2 CONCEPTOS PRINCIPALES --------------------------------------------------------------------------------------------- 385.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE MONTO E INTERÉS COMPUESTO -------------------------- 415.4 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO ------------------- 425.5 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL ----------------------------------------------- 445.6 APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES ----------------------------------------------------------------------- 475.7 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ------------------------------------------------------------------------------- 53RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ---------------------------------------------------- 55EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE GENERALIDADES ----------------------------------------------------- 55EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE INTERÉS SIMPLE ------------------------------------------------------ 57EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE DESCUENTO ------------------------------------------------------------ 60EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE ECUACIONES DE VALOR------------------------------------------- 62EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE INTERÉS COMPUESTOS Y DEPRECIACIONES -------------- 68

BIBLIOGRAFIA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 75


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En el caso que nos ocupa, la formación en la especialidad profesional de Administración –

Contabilidad, la materia Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al

estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en

una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la toma

de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva

y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente contendrán

cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión.

En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la

cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones

financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos

conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el

mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la

empresa.

RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

La Matemática Financiera tiene relación con materias como: Contabilidad, AdministraciónFinanciera y Tributaria, Matemática, Estadística, Evaluación de Proyectos, Seguros,

Legislación Financiera y Bancaria y otras afines.


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UNIDAD I

1. GENERALIDADES

INTRODUCIÓN

Antes de empezar con el estudio de la Matemática Financiera es importante dar unrepaso de conocimiento de algunos temas generales de la Matemática Básica tales como

porcentaje, logaritmos y progresiones, como una base de la Matemática Financiera

1.1 PORCENTAJE

Se conoce también con el término tanto por ciento y se define como la

proporcionalidad que se establece con relación a cien unidades y se expresa con el símbolo

(%). Ejemplo 20,5% significa 20,5/100 = 0,205

Cualquier número que esté expresado en forma decimal se puede escribir como porcentaje

recorriendo el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo de % y

viceversa; ejemplo 0,4235 (0,4235)(100) = 42,35%

El porcentaje puede también expresarse en forma fraccionaria sobre todo en las tasas de

interés.

El cálculo del porcentaje se utiliza con frecuencia en el campo comercial y financiero para

representar: aumentos, disminuciones tasas de interés y de descuento, entre otros aspectos.

Para encontrar el porcentaje de una cantidad de realiza la siguiente operación %(Base o

cantidad) = Producto Ejemplo el 8 % de 229 (8/100)(220) = 17,6


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6

Si queremos encontrar de qué número 17,6 es el 8 % hacemos: 17,6/ 0,08 = 220

1.1.1 APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES

1. Calcular el 200% de 48.000 usd Por la regla de tres simple

48.000 100%

X 200%

96.000usd100%

200%x48,000 X

Directamente : 48.000* 2 = 96.000 usd

2. Calcular el 50 1/ 2 % de 30.000 usd

Por la regla de tres simple

30.000 100%

X 50,5%

usd150.51100%

50,5%x30,000 X

Directamente : 30.000 * 0,505 = 15.150 usd

3. Qué porcentaje de 1.000 usd es 71,25 usd

Por la regla de tres simple

1,000 100%

71.25 X


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El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo

del denominador. Ejemplo log b X

Y = log b (x) – log b (y)

El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el logaritmo del número.

Ejemplo: log b = n log b x

1.2.1 APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES

1. Calcular i

3,24 + (1 + i ) 50 = 6,345242 - 1

Solución:

( 1 + i ) 50 = 6,345242 - 1 - 3,24

( 1 + i ) 50 = 2,105242 ( aplico logaritmos a ambos lados )

log ( 1 + i ) 50 = log ( 2,105242 )

50 log (1 + i ) = log ( 2,105242 )

log(1 + i) =log(,)

log ( 1 + i ) = 0,006446041 ( obtengo el antilogaritmo a ambos lados )

1+ i = Antilog ( 0,006446041 )i = Antilog ( 0,006466041 ) – 1

i = 1,014999996 - 1 = 0,01499 = 1,499% ; i = 1,5%

2. Calcular n

(1 + 0,12125) n = 0,001042

Solución:

log ( 1 + 0,12125 ) n = log ( 0,001042)

n log (1,12125) = log (0,001042)

log (0,001042) -2,982132281

n = = = - 59,9997 = - 60

log (1,12125) 0,049702456

n = - 60


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1.3 PROGRESIONES

Son una serie de términos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del

anterior, sumando, multiplicando o dividiendo por una diferencia o razón común.

1.3.1 PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior al primero, se obtiene

sumándole un número constante llamado diferencia común.

Último término de una Progresión Aritmética: u = a + (n – 1)d

U = último término; a = primer término; n = número de términos y d = diferencia común

La suma de los términos de una Progresión Aritmética: S = (t1 + u)

1.3.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:

Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se encuentra del anterior

multiplicándole o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón.

Último término de una Progresión Geométrica: u = a.−

U = último término; a = Primer término; r = razón; n = número de términos

Suma: S = a (−)

− si r > 1 S =

−

− si r


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800, 840 880,...

a = Primer término = 800

d = diferencia común = 840 - 800 = 40

n = número de términos = 24

u = último término = a + ( n – 1 ) d

u = 800 + ( 24 – 1 ) 40 = 1.720

S = suma de términos = n/2*(a+u)

S = 24/2*(800+1.720)

S = 30.240 usd

2. Una empresa tiene ventas anuales por 500.000 usd. Desea incrementar el 12% anual

¿Cuánto venderá al inicio del año 12?

Solución: Es una progresión geométrica

a = primer término = 500.000

segundo término = 500.000 ( 1 + 0,12 )= 560.000

tercer término = 560.000 ( 1,12 ) = 627.200

es decir: la progresión es. 500.000; 560.000; 627.200

r = razón = 1+12% = 1,12

n = 12

u =ar 1n = 500.000 * 1.12112

; u=1’739.275 usd (ventas al inicio del año 12)

3. Hallar la suma de la progresión geométrica infinita1, ¼; 1/16, 1/64,..

Solución:

a = 1, r = ¼

3333.10.75

1

0.25-1

1

1/4-1

1

r -1

a s


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1.3.5 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un

impuesto igual al 10%; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente

al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?

2. Calcular n en la ecuación

5.225 ( 1 + 0,0255 ) n

= 3.750

3. Una persona debe el día de hoy 4.000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide

pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su

obligación, hallar el interés total que debe pagar.

4. Una computadora fue adquirida en 2.000 usd, la depreciación mensual es del 5 %. ¿Qué

valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso?


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UNIDAD II

2. INTERÉS SIMPLE

2.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES

Conocer las formas de calcular el interés simple en sus modalidades y sus aplicaciones

en el ámbito comercial y financiero.

Conocer y utilizar el proceso de cálculo de las variables del interés simple: capital,tasa de interés, tiempo.

Conocer y calcular el monto y el valor presente o actual a interés simple.

Conocer y comprender como se elabora una gráfica de tiempos y valores.

Conocer cómo se calculan los intereses sobre saldos deudores.

Resolver ejercicios prácticos.

2.2 CONCEPTOS BÁSICOS

Interés

Se define como la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad

producida por la inversión del capital.

Tasa de interés

Es la razón existente entre el interés devengado y el capital en la unidad de tiempo.


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Interés Simple

Se denomina así al interés producido por un capital en un determinado tiempo.

Año Comercial

Se lo considera de 360 días (meses de 30 días).

Año Calendario

Se considera tal cual aparece en el calendario es decir de 365 días, excepto si es bisiesto, en

cuyo caso se toma el año como 366 días.

Tiempo Exacto

Tomamos el número de días, tal cual consta en el calendario.

Tiempo Aproximado

Se toma el año de 360 días y los meses de 30 días.

Interés Exacto

Es aquel en que se divide el tiempo para 365 o 366 días.

Interés Ordinario

En este caso dividimos el tiempo para 360 días.

Monto a Interés Simple

Es la suma del capital original más los intereses.

Valor actual o Valor presente de un documento o deuda

Es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento de la deuda.

El tiempo que se toma para el cálculo, es el que falta para el vencimiento de la deuda.

Gráfica de tiempos y valores

Consiste en una línea recta. En la parte superior se colocan los valores nominal, actual y al

vencimiento, y en la parte inferior las fechas de suscripción, negociación y vencimiento.


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Interés sobre saldos Deudores

Los intereses se calculan sobre los saldos que van quedando después de deducir cada cuota

que se paga.

2.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE

1. Calcular el interés simple que genera un capital de 350.000 usd al 10% anual desde el 18 de

abril hasta el 8 de julio.

Solución:

Determino el tiempo exacto y el tiempo aproximado.

Tiempo Exacto Tiempo Aproximado

Abril 12 12

Mayo 31 30

Junio 30 30

Julio 8 8

81días 80 días

Cálculo del interés: I = Cit

a) Tiempo aproximado y año comercial

I = 350.000*0,10*80/360 = 7.777,78 usd

b) Tiempo exacto y año comercial

I = 350.000*0,10*81/360= 7.875,00 usd

c) Tiempo aproximando y año calendario

I=350.000*0,10*80/365 = 7.671,23 usd

d) Tiempo exacto y año calendario

I=350.000*0,10*81/365 = 7.767,12 usd

Evaluación: El interés más alto se obtiene cuando se calcula con el tiempo exacto y el año

comercial.


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2.4 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS YTIEMPO

1. Determinar cuál es el capital que al cabo de 120 días y con una tasa de interés del 8%

anual, produjo un rendimiento (interés) de 5.500 usd.

Solución:

I= Cit C=

C=

.

,∗/6 ; I = 206.250 usd

2. Establecer la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de 50.000 usd para que

produzca 4.500 usd de Interés en un tiempo de 210 días.

Solución:

I= Cit i =

i =

.

.∗/6 i =

.

.66,67 = 0,1543

i = 15.43%

3. Calcular el tiempo en el cuál un capital de 150.000 usd producirá un interés de 12.000 usd

a una tasa de interés del 1,25 % mensual.

Solución:

I= Cit t =

t = .

.∗,

t = 6,4 meses

1 mes 30 días X= 0.4* 30 = 12 días

0.4 X 1

t = 6 meses y 12 días


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2.5 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO

1. Determinar cuál será el monto que generará un capital de 80.000 usd durante 120 días al

1,5 % mensual.

Solución:

M=C (1 + it ) M = 80,000 ( 1+0.18*120/360) ; M= 84.800usd

i = 1,5 mensual = 18% anual

2. En el ejemplo anterior, ¿cuál es el interés producido?

Solución:

M = C +I I = M – C I = 84.800 – 80.000 ; I = 4.800usd

2.6 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL

1.- Un documento de 250.000 usd vence en 270 días .Calcular el valor actual 120 días antes

de su vencimiento considerando una tasa de interés del 9% anual.

Solución: C = valor actual

M=C (1 + it) C= M (1+ it)-1

C = 250.000 (1 + 0,09 * 120/360)-1 ; C= 242.718.45usd

2.- Establecer el valor actual, 80 días antes de su vencimiento, de un documento de 120.000

usd que vence en 150 días, considerando una tasa de interés del 1 % mensual. Elabore un

gráfico de tiempos y valores.

Solución:

i = 1% mensual = 12% anual

C = M (1 +it) C=120.000(1+0,12*80/360)-1; C= 116.883,12 usd


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i = 1% mensual

C=116.883,12 M= 120.000

0 70 150 (días)

80 días

3.- Un documento de 250.000 usd fue suscrito el 10 de abril con vencimiento en 120 días al

12 % anual. Establecer su valor actual al 17 de junio considerando una tasa de interés de

0,75% mensual.

Solución:

i = 12%

i = 0.75% mensual

250.000 C = 256.663,38 M = 260.000

10 de abril 17 de junio 8 de agosto

52 días

Establecemos la fecha que corresponde a 120 días plazo desde el 10 de abril y se calcula el

monto.

Abril 20 M= C (1 + it)

Mayo 31

Junio 30 M= 250.000 (1 + 0,12 * 120/360)Julio 31

Agosto 8 M= 260.000 usd

__

120 días

Se calcula el número de días que falta para el vencimiento y luego calcular el valor actual con

ese tiempo.


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18

i = 0,75 mensual = 9% anual

Junio 13

Julio 31

Agosto 8

Total 52 días

C = M (1+it) – 1

C = 260.000 (1+0,09 * 52/360) -1

C = 256.663,38 usd

2.7 APLICACIONES SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOSDEUDORES

1. Una persona obtiene un préstamo de 3.000 usd en una financiera a un plazo de 6

meses, al 2% mensual sobre saldos deudores. Calcular el valor de las cuotas mensuales, los

intereses y elaborar la tabla financiera. Aplicar los métodos lagarto y de saldos deudores.

Solución:

a) Método Lagarto:

M = C (1+it) M = 3.000 (1+0,02 *180/30) ; M = 3.360 usd

Cuota fija mensual = 3.360/6 = 560 usd

Intereses = 3.360 - 3.000 = 360 usd

b) Método de saldos deudores:

Valor cuota sin interés = 3.000 = 500 usd

6

.

1ra cuotaInterés 1ra cuota I = c i t = 3.000*0,02*1= 60


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Valor 1ra cuota = Capital + interés = 500+60 = 560

. 2da cuota

Se reduce el capital a $500; queda un saldo de 3.000 – 500 = 2.500

Interés = 2.500*0,02*1 = 50

Valor 2da Cuota = capital + interés = 500+50 = 550

Y así sucesivamente:

El valor de la última cuota es: (sexta)

Saldo de la deuda = 500

I = 500*0.02*1 = 10

Valor 6ta cuota = capital + interés = 500+10 = 510

Cuota fija

mensual = a+u = 560+510 = 535 usd

2 2

c) Tabla Financiera

Interés Pagado = 210usd

PERÍODO DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA

1 3.000 60 500 560

2 2.500 50 500 550

3 2.000 40 500 540

4 1.500 30 500 530

5 1.000 20 500 520

6 500 10 500 510

TOTAL 210 3.000 3.210


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2.8 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

1. Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de 100.000 usd al 12% de interés anual

desde el 20 de marzo al 15 de mayo.

2. Cuál será el interés que produce un capital de 30.000 usd durante 90 días al 8% anual.

3. Determinar qué capital puede producir 6.500 usd de interés en 60 días con una tasa de

interés del 10% anual.

4. Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de $80,000 para que produzca

12.000 usd en 180 días.

5. Calcular el monto y el interés que produjo un capital de 150.000 usd durante 90 días al

1,5% mensual.

6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de 200.000 usd que vence

en 90 días considerando una tasa de interés del 1,2% mensual.


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UNIDAD III

3. DESCUENTOS


Conocer y comprender el concepto de descuento Simple

Calcular el Descuento Racional

Calcular el Descuento Bancario

Diferenciar entre una tasa de interés y una tasa de descuento

Calcular el redescuento

3.2 CONCEPTOS PRINCIPALES

Descuento:

Acción de adquirir o pagar antes de su vencimiento documentos que de manera general se

pueden endosar.

Redescuento:

Operación mediante la cual un banco descuenta a otro banco documentos financieros que

originalmente ya fueron descontados.

Documentos de crédito:

Se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro como son una letra

de cambio o un pagaré.

https://www.google.com.ec/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/-OCl5mLpCtZg/UE1Q-QRy1kI/AAAAAAAAALg/uWPkJ88QtXw/s1600/imagen%2Bpara%2Bblog.png&imgrefurl=http://225-matematicafinancieraquinto.blogspot.com/&docid=qF5qnmezp8EDsM&tbnid=C51jNSm9ifLJ5M:&w=515&h=419&ved=0ahUKEwiU_5ausMDLAhXDMj4KHTuiBN4QxiAIAg&iact=c&ictx=1


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Documentos financieros:

A más de la letra de cambio y el pagaré existen otros documentos financieros así:

De renta fija.- Son de corto plazo, como son la póliza de acumulación, certificados de

inversión y de ahorros, certificados financieros, bonos de estabilización monetaria, etc.

De renta variable.- Corresponden a acciones emitidas por empresas.

Descuento racional o descuento simple:

Es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento y su valor

presente.

Descuento bancario, comercial o bursátil:

Se utiliza en operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por anticipado. Se

calcula sobre el monto. Para el cálculo se utiliza la tasa de descuento.

Tasa de descuento

Es el interés porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su

vencimiento.

Valor actual con descuento bancario, valor efectivo o bursátil:

Es la diferencia entre el valor a su vencimiento y el descuento bancario.

Relación: tasa de interés y tasa de descuento:

La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático. Se aplica

sobre el valor actual de un documento.

La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario. Se aplica sobre el

valor al vencimiento del documento.

3.3 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL

1. Un documento fue suscrito el 10 de junio por 250.000 usd a una tasa de interés del 2%

mensual y un plazo de 120 días. Establecer el valor actual y el descuento racional del

documento si se descuenta el 15 de julio al 18% anual.


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Solución:

C = 250.000usd

i = 2% mensual

t = 120 días

Fecha suscripción = 10 de junio

Fecha de vencimiento = 8 de octubre

Junio – 20

Julio – 31

Agosto – 31

Sept. – 30

Oct. – 8

TOTAL 120 días

i = 2% m * 12 = 24% anual = 0.24 i= 2% mensual

M = C (1 + i t)

M = 250.000 (1+0,24*120/360)

M = 270.000 usd

Dr = Descuento racional i= 18% anual

Dr = M – C

Dr = 270.000 – 258.992,81

Dr = 11.007,19 usd

3.4 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO

1. El 21 de abril se suscribe un documento por 300.000 usd a 90 días plazo. Determine el

descuento bancario del documento, si se descontó el 31 de mayo con una tasa de descuento

del 12% anual.

Solución:

Determinamos la fecha de vencimiento y a partir de ésta

el número de días entre descuento y vencimiento.

Fecha de descuento = 15 de julioi = 18% anual = 0.18

# días entre el 15 de julio y 8 deoctubre

.Julio – 16Agosto – 31Sept – 30Oct. – 8TOTAL 85 días

C = M (1+i t )C = 270.000 (1+0.18 * 85/360)

Nº de días que faltan para el vencimiento 85C = 258.992,81usd (valor actual)

250.000 C = 258.992,81 M = 270,000

10 de junio 15 de julio 8 de octubre120 días

85 días


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24

Fecha que suscribe = 21 de abril

d = 12% anual = 0.12 abril – 9

M = 300.000usd mayo - 31

Db = ? junio – 30

t = 90 días julio – 20 fecha de vencimiento

TOTAL 90 días

# días antes del vencimiento:

31 de mayo fecha de operación de descuento

junio – 30

julio – 20

TOTAL 50 días (# de días para vencer)

Db = M d t

Db = 300.000*0.12*50/360

Db = 5.000usd

3.5 APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO

1.-Una letra de cambio de 200.000 usd fue suscrita al 25 de mayo a 150 días plazo y con una

tasa de interés del 18% anual. Establecer cuál sería el valor que recibiría la persona dueña del

documento si realiza un descuento el 15 de septiembre a una tasa de descuento del 15% anual.

Expresar los resultados en un gráfico.

Solución:

Cálculo de la fecha de vencimiento # de días del descuento

Mayo – 6 Sept. - 15

Junio – 30 Oct. - 22

Julio – 31 TOTAL 37 días

Agosto – 31

Sept – 30

Oct. – 22

TOTAL 150 días


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25

Gráfico:

i = 18% anual

d = 15%

200.000 Cb. = 211.685,42 M = 215.000

25 de mayo 15 de sept. 22 de octubre

150 días

37 días

Cálculo del monto.

M = C (1+i t)

M = 200.000 (1+0.18*150/360) ; M = 215.000usd

Cálculo del valor actual con descuento bancario.Cb = M (1-d t)

Cb = 215.000(1-0,15*37/360) ; Cb=211.685,42usd

La persona recibe 211.685,42 usd

2.-Una persona solicita un préstamo de 12.000 usd a 90 días plazo, sobre el cual el banco

aplica una tasa de descuento del 15% anual. ¿Cuál es el valor efectivo que recibe y cuál es el

descuento bancario?

Solución:

Cb = M (1 – d t)

Cb = 12.000(1-0,15*90/360) = 11.550usd

Cb = 11.550 (Valor efectivo que recibe)

Db=M-Cb=12.000-11.550=450usd

Db= 450 (descuento bancario)


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26

3.- Una letra de cambio de 100.000 usd vence en 60 días. Establecer el descuento racional y el

descuento bancario si se descuenta 35 días antes de su vencimiento a una tasa del 15% anual.

Solución:

a) Descuento racional:

Gráfico: i=d =15%

C = 98,562.63 M = 100,000

0 60 (días)

35 días

Cálculo valor actual

C=M(1+it) 1

C=100.000(1+0,15*35/360) 1 ; C = 98.562,63usd

Cálculo descuento racional

Dr=M-C

Dr=100.000-98.562,63 ; Dr =1.437,37usd

b) Descuento bancario:

Db=Mdt

Db=100.000*0,15*35/360 ; Db = 1.458,33usd

Descuento bancario es mayor que el descuento racional.


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27

4.- Establecer la tasa de interés que equivale a una tasa de descuento del 18% anual durante

180 días.

Solución:

i =

− i =

,

−,∗/6

i=0,1978 i =19,78%


1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de 165.000usd

que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual a 150 días plazo; si fue

descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.

2. Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de julio por un

valor de 15.000usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75 días; si descuenta15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual.

3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir 60.000 usd

pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual.

4. ¿Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15,1876% anual durante 120

días?


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UNIDAD IV

4. ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO


Conocer los procedimientos para estructurar y resolver una ecuación de valor.

Formas de establecer la fecha focal.

Conocer la forma de consolidar deudas.

Solucionar problemas prácticos aplicando ecuaciones de valor.

Aplicar las ecuaciones de valor en comparaciones de ofertas para comprar o vender.

Conocer de qué forma se calculan los intereses en una cuenta de ahorros


Ecuaciones de Valor

Es un mecanismo de cálculo que permite a un deudor reemplazar un conjunto de obligaciones

por otro conjunto. Se utiliza también para calcular el monto o el valor actual de una serie de

obligaciones.

Fecha Focal

Es la fecha común o fecha referencial a la cual se trasladan tanto las obligaciones originales

así como las nuevas obligaciones.

Cuentas de Ahorro

Corresponde a un servicio bancario a base del cual se pagan intereses utilizando la fórmula

del interés simple sobre los valores recibidos por concepto de ahorro, de conformidad con lanormativa legal vigente.


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Ahorro

Es una reserva del ingreso que se destina para una utilización futura.

Liquidación de Intereses

Se utiliza dos modalidades:

1. Se considera el valor de la transacción sea depósito o retiro.

2. Se consideran los saldos.

4.3 APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR

1.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones:

350.000 usd al 1,25 % mensual vence en 30 días.

450.000 usd al 18 % anual vence en 60 días.

550.000 usd vence en 120 días.

Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento en 90 días y con una tasa de

interés del 20 % anual. Calcular el valor del pago único.

Solución:

Determinó los montos de las deudas: M = C (1 + i t)

1ª deuda: M = 350.000 (1 + 0,15 x 30 / 360) = 354.375 usd

2ª deuda: M = 450.000 (1 + 0,18 x 60 / 360) = 463.500 usd

3ª deuda: M = 550.000 usd

Gráfico:

f.f

354.375 463.500 550.000

0 30 60 90 120 (días)

Ecuación de Valor: M = C (1+it)


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30

C = M (1 + i t) -1

X= 354.375(1+0,2 x 60/360) + 463.500(1+0,2 x 30/360) +550.000 (1+0,2 x 30 /360) -1

X = 366.187,50 + 471.225 + 540.983,61

X= 1’378.396,11 usd (valor del pago único)

2.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones:



150.000 usd al 2 % mensual vence en 150 días.

Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento el día de hoy, considerando

en la transacción una tasa de descuento del 13% anual. Calcular el valor de la deuda.

Solución:

Determino los montos de las deudas: M = C (1 + i t)

M1 = 100.000 (1 + 0,14 x 50 / 360) = 101.944,44 usd

M2 = 50.000 (1 + 0,16 x 80/360) = 51.777,78 usd

M3= 150.000 (1+ 0,24 x 150 / 360) = 165.000 usd

Gráfico:

ff

101.944,44 51.777,78 165.000

0 50 80 150 (días)

X

Ecuación de Valor: Cb = M (1 – d t)

X= 101.944,44 (1-0,13 x 50 /360) +51.777,78 (1-0,13 x 80/360) +165.000(1-0,13 x 150 / 360).

X = 100.103,78 + 50.281,98 + 156.062,50

X = 306.448,26 usd.


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31

3.-Una persona pone en venta una casa y recibe tres ofertas:

1ª oferta:

20.000 usd al contado

10.000 usd a 6 meses


2ª oferta:



3ª oferta:




Calcular cuál de las tres ofertas le conviene aceptar. Considerar para el cálculo una tasa de

interés del 1.5% mensual:

Solución:

1,5 x 12 = 18% anual

1ª oferta:

C = M (1 + i t)-1

ff

20,000 10,000 10,000

0 6 12 (meses )

x

X = 20.000 + 10.000(1 + 0,18 x 6 /12)-1 + 10.000(1 + 0,18 x 12 / 12)-1

X = 37.648,89 usd


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32

2ª oferta:

ff

30,000 15,000

0 9 (meses)

X

X = 30.000 + 15.000 (1 0,18 9 / 12)−

X = 43.215,86 usd

3ª oferta:

ff

10,000 20,000 10,000

0 5 10 (meses)

X

X = 10.000 + 20.000(1 0,18 5 / 12)− + 10.000 (1 0,18 10 / 12)−

X = 37.300,30 usd

Le conviene aceptar la oferta Nº 2 ya que es la más alta.


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33

4.- Una persona realiza depósitos mensuales anticipados de 3.000 usd cada uno durante 6

meses, a un banco que paga 1,5% de interés mensual. Determinar el monto que tendrá luego

de 6 meses.

Solución: Gráfico

ff

3,000 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000

M= 18.945

0 30 60 90 120 150 180 (días)

M = C (1 + i t)

i = 1,5 x 12 = 18% anual

M=3.000(1+0,18x 180 / 360)+3-000(1+0,18x 150/360)+3.000(1+0,18x120/360)+

3.000(1+0,18x 90/360)+3.000(1+0,18x 60/360)+3.000(1+0,18 x 30/360)

M = 3.270 + 3.225 + 3.180 + 3.135 + 3.090 +3.045 ; M = 18.945 usd.

5.- Una persona realiza 4 pagos mensuales de 800 usd para cancelar una deuda con una tasa

de interés simple del 2% mensual. Establecer el valor original de la deuda.

Solución:

Gráfico:

ff

800 800 800 800

0 30 60 90 120 (días)X


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34

i = 2% x12 = 24% anual

C = M (1+i t) -1

X = 800(1+0,24*30/360)-1 + 800(1+0,24* 60/360)-1 + 800(1+0,24* 90/360)-1 +

800( 1+0,24*120/360)-1

X= 784,31 + 769,23 + 754,72 + 740,74

X = 3.049 usd (valor original de la deuda).

4.4 APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO

1.- Una persona abre una cuenta de ahorros el 31 de marzo del 2004 con 25.000 usd y realiza

las siguientes operaciones:

El 25 de abril deposita 10.000 usd.

El 15 de mayo deposita 5.000 usd.

El 10 de junio retira 15.000 usd.

El 6 de julio deposita 10.000 usd.Cuál es el saldo al 30 de septiembre si la tasa de interés fue del 10% anual considerar el año

comercial y el tiempo exacto.

Solución:

Calculamos el tiempo en días:

Abril 30 5

Mayo 31 31 16

Junio 30 30 30 20

Julio 31 31 31 31 25

Agosto 31 31 31 31 31

Septiembre 30 30 30 30 30

Total 183 158 138 112 86


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35

Se calcula el interés simple en cada transacción. I = Cit

I = 25.000 * 0,1 * 183 / 360 = 1.270,83

I = 10.000 * 0,1 * 158 / 360 = 438,89

I = 5.000 * 0,1 * 138 / 360 = 191,67

I = (15.000) * 0,1 * 112 / 360 = (466,67)

I = 10.000 * 0,1 * 86 / 360 = 238,89

35.000 usd (total capital) 1.673,61 usd (total interés)

Saldo cuenta corriente sin interés al 30 de septiembre = 35.000 usd

Al 30 de Septiembre la cuenta tendrá un acumulado de:

35.000 + 1.673,61 ; Saldo = 36.673,61usd


1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones:

200.000 usd a 60 días plazo.




La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, con

una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva.

2. Una persona recibe tres ofertas por un terreno:

1. oferta: 60.000 usd de contado.

50.000 usd a 12 meses plazo.

2. oferta: 40.000 usd de contado.




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36

3. oferta: 20,000 usd de contado.




¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual?

3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30-000 usd durante 3 meses en un banco

que reconoce una tasa de interés del 1,5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final

de los tres meses.

4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20.000 usd cada uno

durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica

una tasa de interés del 2% mensual por adelantado.

5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003 tenía un saldo

de 20.000 usd y realizó los siguientes depósitos y retiros:

El 15 de enero depositó 5.000 usd.

El 30 de enero retiró 7.000 usd.

El 20 de marzo depositó 10.000 usd.

El 21 de abril depositó 15.000 usd.

El 20 de junio retiró 10.000 usd.

Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con intereses

incluidos al 30 de junio del 2004.


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UNIDAD V

5. INTERÉS COMPUESTO Y DEPRECIACIONES

En esta Unidad realizaremos el estudio del Interés Compuesto, con sus diferentes variables: el

monto a interés compuesto y con períodos de capitalización fraccionarios; tasas equivalentes;

alternativas de inversión, cálculo de la tasa de interés y del tiempo; cálculo de valor actual;

descuento compuesto, ecuación de valor, conformación de ofertas y cálculo del tiempo

equivalente. Además incluye el estudio de las depreciaciones de activos con los métodos de

cálculo y sus aplicaciones.


Al finalizar la segunda parte el estudiante será capaz de:

Aplicar el concepto de interés compuesto y sus aplicaciones en la liquidación de

documentos financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier plazo.

Manejar los conceptos de período de capitalización, tasa de interés, monto y valor

actual a largo plazo; aplicar las diferentes tasas en inversiones y resolver problemas de interés

compuesto aplicando ecuaciones de valor.

Distinguir los diferentes métodos de depreciación y sus aplicaciones.


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Interés compuesto

Es el interés de un capital generado en la unidad de tiempo que se va acumulando al capital y

este valor genera nuevos intereses tantas veces como periodos de capitalización se

establezcan.

Diferencias entre interés simple e interés compuesto

El interés simple calcula los intereses por una sola vez, en tanto que en el interés compuesto

los intereses se capitalizan periódicamente.

Período de capitalización

Es el tiempo en el cual el interés se acumula al capital, puede ser anual, semestral, trimestral,

etc.

Tasa de interés

Se calcula por período de capitalización puede ser diario, mensual, trimestral, etc.

Monto a interés compuesto

Es el valor del capital acumulado luego de sucesivas adiciones de los intereses. Es la

diferencia entre el monto compuesto y el capital original.

Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios

Es el caso en el que el tiempo de pago no coincide con el período de la capitalización.

Tasas equivalentes

Es la relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva, o entre dos tasas nominales con

diferente período de capitalización

La tasa nominal se capitaliza varias veces en un año en tanto que la tasa efectiva se capitaliza

una vez al año.

Tasa equivalente son aquellas que con diferentes períodos de capitalización producen el

mismo interés o monto compuesto.


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Tasa de interés anticipada

Es aquella que permite pagar o cobrar intereses por adelantado.

Valor actual a interés compuesto

Se lo conoce también como cálculo del capital y corresponde al valor del documento o deuda

antes de la fecha de vencimiento, considerando una determinada tasa de interés.

Valor actual con tiempo fraccionario

Se calculan con períodos de capitalización que no sean enteros.

Descuento compuesto

Es la diferencia entre el monto y el valor de un documento.

Ecuaciones de valor en interés compuesto

Tiene el mismo significado que las ecuaciones de valor en interés simple.

Comparación de ofertas

Se utiliza en empresas o negocios de compra y venta de activos para relacionar la oferta más

alta para el vendedor y la más baja para el comprador.

Tiempo equivalente

Es el tiempo de vencimiento promedio de varias deudas.

Depreciaciones

Activo Fijo: es todo bien que está sujeto al desgaste, a las descomposturas y a loscambios en la tecnología como son: edificios, maquinarias, equipos de cómputo, mobiliario

de oficina, etc.

Depreciación: es la pérdida de valor que sufre un activo como consecuencia del uso o

del transcurso del tiempo. La mayoría de activos fijos a excepción de los terrenos y algunos

metales tienen una vida útil durante un período finito de tiempo, durante el cual van

disminuyendo su valor.


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Cargo por depreciación: son los cargos periódicos. Generalmente son depósitos

anuales.

Depreciación Acumulada: es el fondo de reserva que se va acumulando año tras año.

Valor en libros: es la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación

acumulada a una fecha determinada.

Valor de Salvamento o valor de desecho: es el valor que tiene el activo al final de su

vida útil y es igual al valor en libros en esa fecha.

Base de depreciación: es la diferencia entre el costo original y el valor de salvamento.

Método de Línea Recta: es el más simple y más utilizado para depreciar activos,

debido a que supone que la depreciación anual es constante durante la vida útil del activo. No

considera los intereses que genera el fondo de reserva.

Método de Porcentaje Fijo: considera que la depreciación es mayor en los primeros

años de vida del activo y menor en los últimos. No considera los intereses del fondo de

reserva.

Método de Suma de Dígitos: asigna un mayor cargo de depreciación a los primeros

años de uso del activo, lo cual es consecuente con la realidad. No considera los intereses que

genera el fondo de reserva.

Método por Unidad de Producción o Servicio: deprecia los activos en función de las

unidades de producción o servicio que haya generado el activo durante su vida útil. No

considera los intereses del fondo de reserva.

Método del Fondo de Amortización: considera los intereses que genera el fondo de

reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la

suma del cargo anual más los intereses ganados en ese período.


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5.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE MONTO E INTERÉS COMPUESTO

1.- Una empresa obtiene un crédito de 100.000usd a 4 años plazo con una tasa de interés del

18 % anual capitalizable trimestralmente.

Calcular el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento y el interés correspondiente.

Solución:

Calculamos las variables n e i

n = 4 años x 4 trimestres = 16 períodos

i = 0,18/4 trim. = 0,045

C = 100.000usd

Calculamos el Monto

M = C (1 + i) n M = 100.000(1 + 0,045)16 ; M = 202.237, 02usd

Calculamos el Interés Compuesto

I = M-C I = 202.237,02 – 100,000 I = 102.237,02usd

2.- Utilizando los métodos matemático y comercial, calcular el monto de una deuda de

50.000usd a interés compuesto durante 5 años y 9 meses de plazo con una tasa de interés del

15 % anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados.

a) Cálculo matemático

n = 5(12) + 9 = 69 =5 períodos

6 6

i = 0,15 = 0,075

2

C = 50.000usd

M = C (1 + i)n M = 50.000 (1 + 0,075)11,5 ; M = 114.859,61usd


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42

b) Cálculo Comercial

n = 69 = 66 + 3 = 11 + 3 = 11 + 0,5

6 6 6

Aplicamos interés compuesto a la parte entera de n e interés simple a la parte fraccionaria

M = C (1 + i) (1 + it)

M = 50.000 (1 + 0,075)11 (1 + 0,075 * 3/6) =

M = 50.000 (2,21561) (1,0375) ; M =114.934,71usd

El método comercial da un resultado ligeramente mayor que el método matemático.

5.4 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DELTIEMPO

1.- Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente, a la que es equivalente una tasa

efectiva del 20 %.

Solución:

i = 0,2 m = 4 (trimestral)

(1 + i) = (1 + j/m) m

(1 + 0,2) = (1 + j/m) 4

(1,2)1/4 = 1 + j / 4

j / 4 = (1,2)1/4 - 1

j = (1,2)1/4 -1 4 j = 0,1865 = 18,65% a.c.t

La tasa efectiva del 20 % es equivalente a una tasa nominal del 18,65% anual

capitalizable trimestralmente (a.c.t).

2.- En qué tiempo en años meses y días un capital de 125.000usd se convertirá en

3´250.000usd con una tasa del 18% anual capitalizable trimestralmente.


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43

Solución:

t =?

C = 125.000usd

M = 3´250.000usd

j = 18% a.c.t

i = j/m = 0,18/4 = 0,045

m = 4

n = mt

M = C (1 + i) m.t

(1 + i) m.t =

(1 + 0,045)4t = 3´250.000 = 26

125.000

Utilizamos logaritmos

4 t log (1,045) = log 26

4 t =log 6

log(,) =

,7

,6 =

7,

= 18,505

t = 18,505 años

t = 18 años + 0.505 años0,505* 12 meses = 6 meses + 0,6 meses

0,6 meses * 30 = 1,8 = 2 días

t = 18 años, 6 meses, 2 días


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45

M = C (1 + i )n = 1´000.000 ( 1 + 0,045 )24 ; M = 2´876.013,83usd

Cálculo de valor actual o precio de negociación

a) C = M (1 + i) n = 2´876.013,83 (1 + 0.14/12)-36 ; C = 1´894275,34usd

b) C = M (1 + i) n = 2´876.013,83 (1 + 0.16/2)-6 ; C = 1´812.376,56usd

3.- Luego de 5 años de la fecha de suscripción se negocia un documento suscrito, el día de

hoy por 1´200.000usd a 7 años y 3 meses, con una tasa de interés del 14 % anual capitalizable

semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha, considerando una tasa de interés del

10% efectiva. Efectuar el cálculo por los métodos matemático y comercial.

Solución:

a) Calcular el monto al final de los 7 años 6 meses

método matemático

n = 7 * 12 + 3 = 87 = 14,5 m = 2

6 6

i = j/m = 0,14/2 = 0,07

M = C ( 1 + i )n = 1´200.000 ( 1 + 0,07 )14.5

M = 3´200.707,76usd

método comercial

n = 87 = 14 + 3

6 6

14

M = C ( 1 + i )n ( 1 + it ) = 1´200.000 ( 1 + 0,07 ) ( 1 + 0,07 * 3/6 )

M = 1´200.000 (2,57853415) (1,035 ) ; M= 3´202.539,41usd


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46

b) Cálculo de valor actual luego de 5 años y 3 meses

Método matemático

Tiempo que falta para vencimiento: n = 7 años 3 meses – 5 años

n = 2 años 3 meses = 3,25 años

C = M( )− = 3´200.707,76 (1 0,10 )−, = 2´348.117,34usd

Método comercial

C = M ( )− (1 + it ) 1 = 3´202.539,41 ( 1 0,10 )− ( 1 + 0,10 * 3/12 ) 1

C = 3´202.539,41 (0,751315 ) ( 0,97561 )

C = 2´347.429,52usd

Gráfico

Método matemático

M = 3´202.539,41

C = 2´348.117,36

0 7,25 (años)

3,25 años

Método comercial

M = 3´202.539.41

C = 2´347.429,52

0 3.25 años 7.25 (años)


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47

5.6 APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES

1.- MAGNUN S.A adquiere maquinaria pesada por un valor de 35.000usd. Se calcula que su

tasa de depreciación será del 30% anual y se espera que su vida útil sea de 10 años.

a) Elaborar una tabla de depreciación para los 6 primeros años.

b) Hallar el valor en libros al final de 8 años.

c) ¿Cuál será el valor teórico de salvamento?

Solución:

a) Tabla de depreciación

TABLA DE DEPRECIACIÓN

AÑOS

DEP.

ANUAL

DEP.

ACUM

VALOR EN

LIBROS

% DE

DEPRECIAC

0 - - 35.000,00 0,30

1 10.500,00 10.500,00 24.500,00 0,30

2 7.350,00 17.850,00 17.150,00 0,30

3 5.145,00 22.995,00 12.005,00 0,30

4 3.601,50 26.596,50 8.403,50 0,30

5 2.521,05 29.117,55 5.882,45 0,30

6 1.764,74 30.882,29 4.117,72 0,30

Para calcular la depreciación anual hemos usado la fórmula Dk = V(k-1) d.

b) Valor en libros al final del 8vo. Año.

Vk = C ( – )


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48

V8 = 35.000 (1 – 0,30) → V8 = 2.017,68usd

c) Cargo por depreciación del 9no. Año.

Dk = Vk-1 d

D9 = V8 d → D9 = 2.017,68 * 0,30 → D9 = 605,30usd.

d) Valor teórico de salvamento.

S = C ( – )

S = 35.000 (1 – 0,3) → S = 988,66usd

2.- INDUSTRIAS ARTEX adquirió muebles de oficina por un valor de 25.000usd, se

estima que su vida útil es de 5 años y su valor de desecho de 3.000usd.

a).- Hallar los cargos anuales por depreciación. (Utilice la fórmula general).

Dk = n – k – 1 ( C – S )

s

b).- Elabore la tabla de depreciación.

Solución:

a) Calcular la base de depreciación.

B = C – S → B = 25.000 – 3.000 ; B = 22.000usd

Determinar la suma de dígitos

S = n ( n + 1 ) → S = 5 ( 5 + 1 ) = 5 * 6 ; S = 15

2 2 2


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49

b) Hallar los cargos anuales por depreciación.

Dk = n – k + 1 ( C – S ) → D1 = n – 1 + 1 ( C – S ) → D1 =( n /s) ( C – S )

s 15

D1 = 5/15 (22-000) → D1 = 7.333,33usd

D2 = 4/15 (22.000) → D 2 = 5.866,67usd

D3 = 3/15 (22.000) → D 3 = 4.400,00usd

D4 = 2/15 (22.000) → D 4 = 2.933,33usd

D5 = 1/15 (22.000) → D 5 = 1.466,67usd

D1 + D2 + D3 + D 4 + D5 = (C – S ) = depreciación total.

7.333,33 + 5.866,67 + 4.400,00 + 2.933,33 + 1.466,67 = 22.000usd

que es la depreciación total ( B ).


AÑOS

DEP.

ANUAL

DEP.

ACUM

VALOR /

LIBROS

0 - - 25.000,00

1 7.333,33 7.333,33 17.666,67

2 5.866,67 13.200,00 11.800,00

3 4.400,00 17.600,00 7.400,00

4 2.933,33 20.533,33 4.466,67

5 1.466,67 22.000,00 3.000,00


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50

3.- PETRÓLEOS Y ASOCIADOS S.A compró un martinete en un valor de 80.000usd al

que se le ha estimado un valor de desecho de 2.000usd y una vida útil de 60.000 horas de

operación.

a) Hallar el cargo por depreciación por hora de operación.

b) Elaborar la tabla de depreciación para los primeros 4 años de vida de la máquina,

durante los cuales las horas de operación fueron: 5.000; 7.000; 6.000 y 8.000.

Solución:

a) D =(C – S) / # horas operación = (80.000 – 2.000)/ 60.000 = 1,3usd/ hora de

operación.

b) Tabla de depreciación:


AÑOS

HORAS

OPER

DEP.

ANUAL

DEP.

ACUMULADA

VALOR EN

LIBROS

0 - - - 80.000

1 5.000 6.500 6.500 73.500

2 7.000 9.100 15.600 64.400

3 6.000 7.800 23.400 56.600

4 8.000 10.400 33.800 46.200

Ejemplo de cálculo de depreciación Anual: 5.000 * 1,3 = 6.500usd

7.000 * 1,3 = 9.100usd


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51

Método del fondo de amortización.

Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo, por

consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del cargo anual por depreciación

más los intereses ganados en ese período.

La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula del monto de una

anualidad: M = R( ( ( 1 + i ) ⁿ -1) / i )

Para determinar el pago periódico se despeja R = Mi / ((1 + i )ⁿ -1).

En este caso M = B, puesto que es el Monto que debe acumular al cabo de n años a una tasa

de interés i.

R = D, el cargo anual que debe efectuarse al fondo.

Entonces: Dk = B i / ((1 + i )ⁿ - 1) fórmula del cargo anual .

O también Dk = Bi/ ((1 + i)ⁿ - 1).

Y si n = K Dk = Bi / ((1 + i ) -1).

Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago periódico D a

un plazo K y a una tasa de interés i por periodo.

Ak = D ((1 + i ) -1) / i )

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual a la base de depreciación del activo.

4.- Constructora Ingenieros Asociados adquiere muebles de oficina para un edificio de

departamentos y oficinas que está construyendo. El costo de compra de los muebles es de

150.000usd y se calcula que tendrán una vida útil de 5 años. La tasa de interés es del 12%

anual y se estima que a su final tendrá un valor de desecho de cero.

a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo deamortización.


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b) Elaborar la tabla de depreciación.

Solución:

a) Cálculo de cargo anual.

B= C – S B= 150.000 – 0 = 150.000

D = Bi/ ((1 ) – 1 )

D= (150.000*0,12) / (( 1 0,12) -1)

D= 18.000/ (1,762341683 – 1)

D= 23.611,46usd

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de 23.611,43usd.

b) Tabla de depreciación

M = C ( ) ; M = 23.611,43 (1,12)


AÑOS

DEP.

ANUAL

INT.

GANAD

DEP.

ANUAL

DEP.

ACUMUL

VALOR/

LIBROS

0 - - - - 15.0000,00

1 23.611,46 0 23.611,46 23.611,46 126.388,54

2 23.611,46 2.833,38 26.444,84 50.056,30 99.943,70

3 23.611,46 6.006,76 29.618,22 79.674,52 70.325,48

4 23.611,46 9.560.94 33.172,40 112.846,92 37.153,08

5 23.611,46 13.541,63 37.153,10 150.000,02 0,02

118.057,30 31.942,71 150.000,02


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a) Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de 6´000.000usd luego

de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 12%

efectiva.

2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:

1ra oferta: 200.000usd de contado.

100,000usd a 1 año plazo.

2da oferta: 150.000usd de contado.

70,000usd a 12 meses plazo.

80.000usd a 24 meses plazo.

3ra oferta: 180.000usd de contado.



¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual

capitalizable semestralmente.(a.c.s)?.

3.-Industrias PGA adquiere un taladro en 450.000usd. Se estima que su vida útil será de 8

años, al final de los cuales el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un

modelo nuevo. Se estima también un valor de salvamento de 2.000usd. Se prevé que deberá

efectuarse una inversión de 4.000usd para actividades de desmontaje y traslado, para

deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal:

a) Establecer el cargo anual por depreciación.

b) Elaborar una tabla de depreciación.


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4.- Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25.000usd. Se estima una vida

útil de 5 años y un valor de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje fijo:

a) Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse.


5.- Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por

3´000.000usd y el terreno costó 400.000usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y

se estima que tendrá un valor de desecho de 1´200.000usd. Aplicando el método de suma de

dígitos calcular el valor en libros al final de los 8 años.

6.- Hormigonera Tarqui adquirió una máquina bloquera en 10.000usd. Se estima que tendrá

una vida útil durante la cual podrá producir 6´350.000 unidades y que a su final su valor de

salvamento será de 500usd. Usando el método de unidad de producción o servicio:

a) Hallar el cargo por depreciación por unidad

b) Elaborar la tabla de depreciación para los 5 primeros años de vida de la máquina,

durante los cuales las unidades producidas fueron: 550.000; 700.000; 600.000; 800.000;

400.000.

7.- Petróleos Oil Co. adquiere un taladro para perforación en 1´500.000usd. Se estima que su

vida útil será de 20 años al cabo de los cuales tendrá un valor de desecho del 15 % de su

costo. La compañía decide depreciar este equipo utilizando el método del fondo de

amortización y aplicando una tasa de interés promedio del 10% anual.

a) Determinar el cargo anual por depreciación. b) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 5

primeros años.

c) Establecer la depreciación acumulada y el valor en libros al final de los 10 años.


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RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE GENERALIDADES

1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un

impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente

al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?.

Solución:

250 Precio de lista+ 25 Impuesto (250 * 0,10)

275 Precio con impuesto

+ 11 Impuesto (275 * 0,04)

286 Valor de la factura (paga cli ente )

2. Calcular n en la ecuación

5.225 (1 + 0,0255)n

= 3.750

Solución:

5.225 (1 + 0,0255)n

= 3.750

(1 + 0,0255)n

= (3.750 / 5.225)

- n log (1 + 0,0255 ) = log ( 3.750 / 5.225 )

- n =log(

.

.)

log(,) -n =

− ,

.6 -n = - 13,173

n = 13,173


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3. Una persona debe el día de hoy 4.000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar

400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación,

hallar el interés total que debe pagar.

Solución: i = 2,5 % semestral = 0,025 ; t = 1

# de pagos que debe efectuar:.

= 10 pagos

Saldo Inicial = 4.000

Interés del primer pago = I = c.i.t. = 4.000 * 0,025 = 100

Saldo luego del primer pago = 4.000 - 400 = 3.600

Interés del segundo pago = I = C.i.t. = 3.600 * 0,025 = 90

Saldo luego del segundo pago =3.600 - 400 = 3.200

Interés del tercer pago = I = C.i.t. = 3.200 * 0,025 = 80

y así sucesivamente.

Para resolver este problema utilizamos las progresiones aritméticas

El interés total pagado será la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética

100, 90, 80…

En donde a = 100 ; n = 10 ; d = - 10

u = a + (n – 1) d ; U = 100 + ( 10 – 1 ) ( - 10 ) = 10

S = n/2*( a + u ) = 10/2*( 100 + 10 ) = 550 usd

4. Una computadora fue adquirida en 2.000 usd, la depreciación mensual es del 5 % ¿Qué

valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso?

Solución:


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58

Interés exacto con tiempo aproximado

I = 100.000*0,12*55/265 I = 1.808,22usd

Interés ordinario con tiempo exacto

I = 100.000*0,12*56/360 I = 1.866,67usd

Interés ordinario con tiempo aproximado

I = 100.000*0,12*55/360 I = 1.833,33usd

El mayor interés se obtiene con tiempo exacto y año comercial.

2.) Cuál será el interés que produce un capital de 30.000 usd durante 90 días al 8% anual.

Solución:

C = 30.000usd I = Ci t

t = 90 días I = 30.000 * 0,08 * 90

i = 8% anual 360

I = ? I = 600 usd

3.) Determinar el capital que puede producir 6.500 usd de interés en 60 días con una tasa

de interés del 10% anual.

Solución:

C = ? I = Ci t

I = 6.500usd

t = 60 días C =

C =

6.

,∗6/6 C = 390.000 usd.

i = 10 %


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60/75

60

t = 90 días C = 200.000 (1 + 0,144*90/360)-1

i = 1,2% =14.4% anual C = 193.050,19 usd

C = ?

C = 193.050,19 M = 200.000

Hoy 90 días

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE DESCUENTO

1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de 165.000usd,que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual y 150 días de plazo si fue

descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual.

Solución:

Plazo Tiempo de descuento

Abril – 5 Agosto - 24

Mayo – 31 Septiembre 22

Junio - 30 TOTAL 46 días

Julio - 31

Agosto 31

Sept. 22

TOTAL 150 días

i=16%anual

Gráfico:

i=19%anual

165.000 c=171.828,39 M = 176.000

25 de abril 7 de agosto 22 de sept.

150 días


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61

46 días

M= C(1+it)

M=165.000(1+0,16*150/360) = 176.000 usd

C = M (1+it) -1

C= 176.000(1+0,19*46/360) 1 =171.828,39 usd

Dr = M-C

Dr = 176.000-171.828,39 = 4.171,61 usd

2. ¿Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de julio por un

valor de 15.000 usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75 días; si se

descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual?

Solución:

PLAZO Tiempo de descuento

Julio – 30 15 días antes de vencer

Agosto – 31

Sept. – 14

TOTAL 75 días

M = C(1+ i t)

M = 15.000(1+0,12*75/360)=15.375 usd

Db =Mdt

Db = 15.375*0,10*15/360=64,06 usd

Gráfico: i=12% anual

d=10%

15.000 Fecha de descuento M = 15.375

1 de julio 15 días


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62

75 días

3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir 60.000 usd

pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual.

Solución:

M = Cb(1-dt) 1

M = 60.000(1-0,15*100/360) 1

M = 62.608,70 usd

4. ¿Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15,1876% anual durante 120

días?

Solución:

d = ?

i =15,1876% anual

t = 120 días

d = i(1+it) 1 d=0,151876(1+0,151876*120/360) 1

d = 0,144558

d = 14,4558%

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE ECUACIONES DE VALOR

1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones:

200.000usd a 60 días plazo.




La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, conuna tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva.


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63

Solución:

Gráfico:

ff

200.000 120.000 100.000 150.000

0 60 120 180 240 (días)

X

M = C (1 + i t)

X = 200.000(1 + 0,12 * 180 / 360) + 120.000(1+0,12 * 120 / 360) +

100.000(1 + 0,12 * 60 / 360) + 150.000

X= 212.000 + 124.800 + 102.000 + 150.000

X= 588.800usd

2. Una persona recibe tres ofertas para un terreno:

1. oferta: 60.000usd de contado.



30.000usd a 6 meses plazo.30.000usd a 12 meses plazo.





¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual?

Solución:


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64

1ra oferta:

ff

60,000 50,000

0 12 (meses)

C = M (1+ it)-1

X = 60.000+50.000 ( 1+0,18*12

12)-1

X = 102.372,88usd

2da oferta

ff

40.000 30.000 30.000

0 6 12 (meses)X

X = 40.000+30.000 ( 1+0,18*12

6)-1 + 30.000 ( 1+0,18*

12

12 )-1

X = 40.000+27.522,94+25.423,73

X = 92.946,67usd


65/75

65

3ª oferta:

ff

20.000 40.000 20.000 20.000

0 3 6 9 (meses )

X

X = 20.000 + 40.000(1+0,18* 3 /12)-1 + 20.000(1+ 0,18* 6 /12)-1 + 20.000 (1+0,18 * 9 /12)-1

X = 20.000 + 38.277,51 + 18.348,62 +17.621,15

X = 94.247,28usd

Le conviene aceptar la primera oferta que es la mejor.

3. Una empresa realiza depósitos mensuales de 30.000 usd durante 3 meses en un banco que

reconoce una tasa de interés del 1,5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final de

los tres meses.

Solución:

Gráfico: ff

30.000 30.000 30.000 M = 91.350

0 30 60 90 (días)

i = 1,5% x 12 = 18% anual


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66

M = C (1 + i t)

M= 30.000(1 + 0,18 * 60 / 360) + 30.000(1 + 0,18 * 30 / 360) + 30.000

M = 30.900 + 30.450 + 30.000

M = 91.350usd

4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de 20.000 usd cada uno durante

3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica una tasa de

interés del 2% mensual por adelantado.

Solución:

Gráfico:

20.000 20.000 20.000

0 30 60 90 (días)

X

X = 20.000+20.000 (1+0,24 *360

30)-1 + 20.000 (1+0,24 *

360

60)-1

X = 20.000+19.607,84+19.230,77

X = 58.838,61usd

5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2014 tenía un saldo de20.000usd y realizó los siguientes depósitos y retiros:

El 15 de enero depositó 5.000usd.

El 30 de enero retiró 7.000usd.

El 20 de marzo depositó10.000usd.

El 21 de abril depositó 5.000usd.

El 20 de junio retiró 10.000usd.


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EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE INTERÉS COMPUESTOS Y

DEPRECIACIONES

1. Calcular el descuento compuesto de un documento, cuyo monto será de 6´.000.000 usd

luego de 5 años, si fue descontado 2 años antes de su vencimiento, a una tasa de interés del

12% efectiva.

Solución:

Dc = M – C

Descuento compuesto matemáticoM = 6´000.000 usd i = 12% n = 2

Dc = M – M (1 + i )-n

Dc = 6´000.000 – 6´000.000( 1 + 0.12 )-2

Dc = 1`216.836,74 usd

Descuento compuesto bancario

M = 6´000.000 d = 12% n = 2Dbc = M[ 1 – ( 1 – d )n ]

Dbc = 6´000.000 [ 1 – ( 1 – 0.12 )2]

Dbc = 1´353.600 usd

2. Una empresa desea vender una propiedad y recibe tres ofertas:

1ra oferta: 200.000 usd de contado.100.000 usd a 1 año plazo.

2da oferta: 150.000 usd de contado.



3ra oferta: 180.000 usd de contado.



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¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés de 16% anual

capitalizable semestralmente.(a.c.s)?

Solución:

i = 0,16 / 2 = 0,0 8 semestral m = 2

1ª Oferta

C= M( )−

X = 200.000 + 100.000 (1 0,08)−∗

X = 285.733,88 usd

ff

200.000 100.000

0 1 (año)

2ª oferta :

ff

150.000 70.000 80.000

0 1 2 (años)

X

-1*2 -2*2

X = 150.000 + 70.000 (1 0,08)− + 80.000 (1 0.08)−

X = 150.000 + 60.013,72 + 58.802,39

X = 268.816,11usd

3ª oferta .

ff

180,000 100,000 20,0000 0.5 0.75 (años)


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70

X

X = 180.000+ 100.000 (1 0,08)− + 20.000(1 0,08 )−,

X = 180.000 + 92.592,59 + 17.819,45

X = 290.412,05usd

Le conviene la tercera oferta que es la más elevada.

3. Industrias PGA adquiere un taladro en 450.000 usd. Se estima que su vida útil será de

8 años, al final de los cuales el equipo se volverá obsoleto, lo que obligará a cambiarlo por un

modelo nuevo. Se estima también un valor de salvamento de 2.000 usd. Se prevé que deberá

efectuarse una inversión de 4.000 usd para actividades de desmontaje y traslado para

deshacerse del equipo. Aplicando el método lineal:

a) Establecer el cargo anual por depreciación.


Solución:

a) D=−

D =

.−(−.)

D = 56.500 usd

En este caso el valor de salvamento es negativo, por cuanto si se recuperan 2,000 usd por la

venta, debe realizarse una inversión de 4,000 usd para desmontaje y traslado.

S=2.000 – 4.000 ; S = -2.000 usd.

b) Tabla de depreciación.


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4. Constructora caminos y estructuras compró un tractor en 25.000 usd. Se estima una

vida útil de 5 años y un valor de salvamento igual a cero. Aplicando el método de porcentaje

fijo:

a) Determinar el porcentaje de depreciación que debe aplicarse


Solución:

a) C=25.000usd S=C ( 1 )

n=5 años S=25.000 ( 1 )

d= ? 0 =25.000 (1 )

Como se indicó anteriormente, está fórmula carece de significado si el valor de desecho es

cero, por cuanto su resultado sería indeterminado. En este caso se sustituye el cero por uno y

se aplica la fórmula.

25,000 ( 1 ) =1 ( 1 ) = 1/25.000 ( 1 ) =0,00004

Años

Dep.

Anual

Dep.

Acumul.

Valor en

libros

h D A V

0 450.0001 56.500 56.500 393.500

2 56.500 113.000 337.000

3 56.500 169.500 280.500

4 56.500 226.000 224.000

5 56.500 282.500 167.500

6 56.500 339.000 111.000

7 56.500 395.500 54.5008 56.500 452.000 -2.000


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(1-d) = (0.00004), -d = (0.00004), -1

0,2

d= 1-(0,00004) d= 0,868049 d = 86,8049%

b)Tabla de depreciación

Años

Dep.

Anual

Dep.

Acumul.

Valor en

libros d

0 - 25.000,00 0,868049

1 21.701,23 21.701,23 3.298,77 0,868049

2 2.863,50 24.564,73 435,27 0,868049

3 377,84 24.942,57 57,43 0,868049

4 49,86 24.992,42 7,58 0,868049

5 6,58 25.000,00 1,00 0,868049

En este caso observamos que prácticamente el total de la depreciación se ha cargado al primer

año y puede no ser conveniente la utilización de este método.

5. Ingenieros y Asociados construye un edificio de oficinas. La construcción fue por

3´000.000 usd y el terreno costó 400.000 usd. La vida útil del edificio se calcula en 20 años y

se estima que tendrá un valor de desecho de 1´200.000 usd. Aplicando el método de suma de

dígitos, calcular el valor en libros al final de los 8 años.

Solución:

Cálculo de la base de depreciación.

B= C - S (No consideramos el costo del terreno porque no se deprecia).

B= 3´000.000 – 1´200.000 ; S = 1´800.000 usd

Cálculo de la suma de dígitos.

s = n(n+1)/2 s = 20(20+1)/2 = 20*21/2 ; s = 210


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Calculamos el valor en libros. Se obtiene restando la depreciación acumulada del costo

original en el año K.

Vk = C – Ak Vk = 1´500.000 – 135.905,75

V5 = 1´364.094,25 usd

c) Calculamos la depreciación acumulada al cabo de 10 años

Ak = D ()

Ak = 22.261,02

(+,)

,

A10 = 354.783,33 usd

El valor en libros será:

V10 = 1´500.000 – 354.783,33 ; V10 = 1´145.216,67 usd

BIBLIOGRAFIA

Mora Zambrano Armando, (2014). Matemáticas Financieras. (Cuarta Edicion).

Bogotá: Alfaomega

Unidad Didáctica Matemática Financiera I 2016_1 Marzo

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