Unidad I

Unidad I Herramientas Estadísticas Básicas

2011

Bautista Palacios Efrain Calatayud Pérez Concepción

Candelas Zamorano Carlos Orestes Osorio Garrido Emmanuel

Instituto Tecnológico de Orizaba 13/09/2011

Unidad I

Herramientas estadísticas básicas Página 2

Contenido

Las siete herramientas básicas y la solución de Problemas ................................................................. 4

Definir el Problema ......................................................................................................................... 4

Hojas de Verificación .......................................................................................................................... 5

Definición ........................................................................................................................................ 5

Objetivo ........................................................................................................................................... 5

Diagramas de flujo .............................................................................................................................. 5

Histograma .......................................................................................................................................... 6

Ejemplo 1 ........................................................................................................................................ 9

Ejemplo 2 ...................................................................................................................................... 10

Ejercicios Propuestos .................................................................................................................... 12

Diagrama de Pareto ........................................................................................................................... 13

Introducción .................................................................................................................................. 13

Regla 80/20 ................................................................................................................................... 13

Definición ...................................................................................................................................... 13

Elaboración del diagrama de Pareto: ............................................................................................. 13

Usos del diagrama de Pareto ......................................................................................................... 14

Ejercicios ....................................................................................................................................... 15

Diagrama de Causa y Efecto (Diagrama de Ishikawa) ...................................................................... 18

Procedimiento ............................................................................................................................... 19

Diagrama de Dispersión .................................................................................................................... 20

Elaboración ................................................................................................................................... 20

Análisis de Correlación ................................................................................................................. 21

Concepto de Correlación ............................................................................................................... 21

Coeficiente de correlación lineal de Pearson (r) ........................................................................... 21

Definición del coeficiente de correlación lineal ............................................................................ 21

Cálculo del coeficiente de correlación de Pearson ........................................................................ 22

Ejemplo ......................................................................................................................................... 22

Prueba de correlación en los diagramas de dispersión .................................................................. 23

Gráficas de control ............................................................................................................................ 25

Lectura y uso de la gráfica de control ........................................................................................... 25

1. Puntos fuera de control ...................................................................................................... 25

2. Tendencias continuas ........................................................................................................ 26

3. Cambio repentino de nivel ................................................................................................ 26

4. Ciclos ................................................................................................................................. 27

5. Inestabilidad ...................................................................................................................... 27

Unidad I


Clasificación de las gráficas de control ......................................................................................... 28

Gráfica de control por variables ( - ) y ( - ) ........................................................................... 29

Pasos para su construcción ........................................................................................................ 29

Ejemplo ..................................................................................................................................... 30

Para los gráficos ( - ) ................................................................................................................. 30

Gráfica de medias ...................................................................................................................... 30

Gráfica de rangos ...................................................................................................................... 31

Para los gráfico ( - ) ................................................................................................................... 31


Gráfica de desviación estándar .................................................................................................. 31

Ejemplo ..................................................................................................................................... 32

Para los gráficos ( - ) ................................................................................................................. 32


Gráfica de rangos ...................................................................................................................... 33

Para los gráfico ( - ) ................................................................................................................... 33


Gráfica de desviación estándar .................................................................................................. 34

Gráficas por atributos .................................................................................................................... 34

Gráfica de fracción defectiva “p” .................................................................................................. 35

Ejemplo 1 .................................................................................................................................. 36

Ejemplo 2 .................................................................................................................................. 36

Gráfica de defectivos “np” ............................................................................................................ 37

Ejemplo 1 .................................................................................................................................. 38

Ejemplo 2 .................................................................................................................................. 39

Gráfica c o defecto por muestra .................................................................................................... 39

Ejemplo 1 .................................................................................................................................. 40

Ejemplo 2 .................................................................................................................................. 41

Gráfica U o defectos por muestra .................................................................................................. 42

Ejemplo 1 .................................................................................................................................. 42

Ejemplo 2 .................................................................................................................................. 43

Referencias bibliográficas ................................................................................................................. 45

Unidad I


Las siete herramientas básicas y la solución de Problemas

De acuerdo don Hosotani (1992), un problema es la diferencia que existe entre un estado de ideal

(objetivo) y un estado real o actual.

Una situación adversa puede considerarse como el nivel de desperdicio en cierta operación. Si se

tiene un nivel un nivel actual de 10% y el objetivo es tener 1%, esa diferencia se define como un

problema.

Un proyecto de mejoramiento puede ser el siguiente: suponer que el tiempo de respuesta promedio

a llamadas de clientes es de 10 minutos, pero se desea reducirlo a 5 minutos. Esa diferencia se

considera como un problema.

En general, los proyectos seleccionados están enfocados a mejorar la calidad, disminuir costos y/o

mejorar el servicio. Una manera de hacerlo es un nivel operativo podría ser con base en los

indicadores de operación que están bajo control del equipo cuta misión será resolver el problema.

El objetivo es el nivel de mejoramiento que se desea lograr. Está en función de la dificulta del

problema y las habilidades del equipo para resolverlo. El objetivo debe responder: el qué

(indicador), el cuánto (hasta dónde se desea mejorar de manera realista) y cuándo (el tiempo para

hacerlo).

Definir el Problema

Algunas veces, al tratar de enfrentar un determinado problema, se tiene creencias acerca de lo que

está pasando, ideas vagas o simplemente suposiciones. Estas posturas conducen a tener una

situación problemática inespecífica o ambigua. La manera de actuar asertivamente y poder definir el

problema con objetividad es recolectar información y pasarla por alguna de las herramientas que se

usan para definir un problema.

Definición Objetiva de un problema

Ideas Información Incompleta

Situación Problematica Inespecífica

Aplicación de las Herramientas Básicas

Problema definido

Creencias

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Hojas de Verificación

En la fase de localización de hechos para la solución del problema que mejore la calidad, casi

siempre se necesita alguna forma de recopilación de datos. Las hojas de registro u hojas de

verificación, también conocidas como hojas de control son usadas con el propósito de recolectar

datos.

Las hojas de verificación involucran cálculos de frecuencias y a veces se usan tablas. El

procedimiento de su elaboración consiste simplemente en el recuento de la frecuencia de una

categoría dada y su anotación correspondiente. La categoría utilizada podría ser tanto una variable

como un atributo. Su resultado se puede usar para construir un histograma de frecuencias. La

recopilación de datos no se debe llevar a cabo a ciegas. Primero se deben formular preguntas

básicas como:

¿Qué pregunta tratamos de contestar?

¿Qué tipo de datos necesitamos para contestar la pregunta?

¿Dónde podremos encontrar los datos?

¿Quién puede proporcionar los datos?

¿Cómo podemos recopilar los datos con un esfuerzo mínimo y con la mínima posibilidad de

error?

Para reunir los datos se puede usar casi cualquier tipo de forma. Las hojas de datos son esqueletos

sencillos en columnas o tablas para anotar los datos. Para generar información útil a partir de los

datos se necesita, en general, más trabajo. Las hojas de verificación son tipos especiales de formas

de recopilación de datos en las que se pueden interpretar resultados en forma directa sin mayor

trabajo.

Definición

Son formatos para recolectar, presentar y analizar información.

Objetivo

Estandarizar y agilizar la recolección, la presentación y análisis de información. Las hojas de

verificación pueden ser usadas como herramienta como para definir el problema o para evaluar la

solución a éste.

Tipos de hojas de verificación

1. Para visualizar distribuciones.

2. Para registrar el total de defectos por cada tipo.

3. Para localizar defectos.

4. Para estratificar e registro de número de unidades defectuosas.

5. Para verificar procedimientos.

Diagramas de flujo

Un diagrama de flujo del proceso de producción y/o servicio, es una representación gráfica en la

que se muestran todos los pasos necesarios y en secuencia para llevar a cabo un determinado

proceso, y como se relacionan entre sí, ya que se usan símbolos que describen los diferentes tipos

de operaciones que intervienen en dicho proceso. A continuación se muestra la simbología para la

elaboración de los diagramas de flujo.

Unidad I


Simbología

Representación Gráfica Significado

Operación

Retraso

Inspección

Transportación

Almacenaje

Actividad combinada

Auxiliados con la simbología anterior; podemos graficar cualquier proceso en una hoja de diagrama

de flujo y observar así la efectividad de cada evento o actividad.

Los diagramas de flujo del proceso de producción y/o servicio, son particularmente útiles para

comprender la configuración de las entradas, el proceso y las salidas. Estos son más eficientes y

representativos de un proceso, cuando se elaboran con la participación de todo el personal que

interviene en e proceso: operarios, empleados, supervisores, administradores y clientes.

Histograma ¿Qué es?

Una gráfica de la distribución de un conjunto de medidas. Un histograma es un tipo especial de

gráfica de barras que despliega la variabilidad dentro de un proceso. Un histograma toma datos

variables (tales como alturas, pesos, densidades, tiempo, temperaturas, etc.) y despliega su

distribución. Los patrones inusuales o sospechosos pueden indicar que un proceso necesita

investigación para determinar su grado de estabilidad.

¿Cuándo se utiliza?

Cuando se quiere comprender mejor el sistema, específicamente al:

Hacer seguimiento del desempeño actual del proceso.

Seleccionar el siguiente producto o servicio a mejorar.

Probar y evaluar las revisiones de proceso para mejorar.

Necesitar obtener una revisión rápida de la variabilidad dentro de un proceso.

Desde un sistema estable, se pueden hacer predicciones sobre el desempeño futuro del sistema. Un

equipo para efectuar mejoras utiliza un histograma para evaluar la situación actual del sistema y

para estudiar resultados. La forma del histograma y la información de estadísticas le ayudan al

equipo a saber cómo mejorar el sistema. Después de que una acción por mejorar es tomada, el

equipo continua recogiendo datos y haciendo histogramas para ver si la teoría ha funcionado.

¿Cómo se utiliza?

1. Después de la recolección de datos, contar el número de puntos de datos (n) en su muestra.

Ver la figura a continuación.

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2. Determinar el rango, R, para todo el conjunto de datos al restar el valor menor de los datos

del mayor.

3. Determinar el número de intervalos, denotados como K. Utilizar esta pauta:

Puntos de Datos Intervalos

30-50 5-7

51-100 6-10

101-250 7-12

Más de 250 10-20

Está gráfica es un método práctico únicamente. Esta determinará el número de barras que el

histograma tendrá a lo largo de su eje horizontal.

4. Determinar la extensión del intervalo, L. La fórmula sencilla

. Es útil y apropiada

para aproximar L al número entero más cercano.

5. Construir los intervalos determinando el límite del intervalo, o los puntos finales. Tomar la

medida individual más pequeña en el conjunto de datos. Utilizar este número o aproximarlo

al siguiente número entero más bajo. Este se convierte en el punto final más bajo para el

primer límite del intervalo. Ahora, se debe tomar este número y sumar la duración del

intervalo. El siguiente límite de clase más bajo iniciaría en el número. El primer intervalo es

el número más bajo y todo hasta, pero sin incluir, el número que empieza el próximo

intervalo más alto. Esto hará que cada uno de los datos se ajusta en una y sola una, clase.

Finalmente, sumar de forma consecutiva las clases, manteniendo el rango de todos los

números. Ver figura a continuación.

Unidad I


6. Construir una tabla de frecuencias basada en los números computados arriba (ej. Número de

clases, duración de clases, límite de clases). La tabla de frecuencia es realmente un

histograma en una forma tabular. Ver figura anterior.

7. Trazar y marcar los ejes horizontal y vertical.

8. Dibujar las barras para representar el número de puntos de datos en cada intervalo. La altura

de barras deberá ser igual al número de puntos de datos en ese intervalo, según se mide en

el eje vertical.

9. Poner título y fecha a la gráfica. Indicar el número total de puntos de datos y mostrar los

valores nominales y límites (si es el caso). Quizás también se quiere agregar otras notas

describiendo más a fondo el sujeto de las mediciones y las condiciones bajo las cuales se

tomaron. Estas notas ayudan a otros interpretar la tabla y sirven como un registro de la

fuente de los datos. Ver figura a continuación.

10. Identificar y clasificar el patrón de variación; desarrollar una explicación lógica y pertinente

del patrón. No olvidar la confirmación de las teorías por medio de la reunión de datos

adicionales y de la observación.

Unidad I


Consejos para la interpretación:

Si las causas de variación son comunes, el histograma se distribuye normalmente (simétrico, forma

de campana); pero otras posibilidades (particularmente para procesos fuera de control) es inclinarlo

(a la izquierda o derecha) y/o bi-modal (con dos picos).

Ejemplo 1

Se han recogido datos sobre el tiempo de vida de las pilas eléctricas del tipo AA producidas por la

empresa VOLTA. Para la muestra de 200 pilas se procedió a registrar el número de horas en que se

suministraron.

164 165 168 164 163 170 162 166 177 173

170 164 165 167 174 167 167 167 167 169

165 164 164 159 169 164 168 164 164 176

164 168 163 163 173 167 165 167 167 161

170 161 171 170 163 166 166 167 166 170

178 158 172 171 168 155 154 174 155 161

170 167 174 158 165 167 168 170 167 167

160 168 159 164 159 163 160 166 163 166

163 170 170 169 175 170 164 177 170 164

164 164 161 159 179 158 179 165 158 166

168 173 164 168 171 177 165 164 177 169

173 163 170 150 170 153 167 171 153 172

158 177 169 156 167 162 166 164 162 170

161 165 163 159 156 170 163 170 170 157

164 169 166 160 163 163 169 166 163 160

159 170 157 164 165 175 163 165 175 165

161 168 167 166 169 166 171 159 166 164

153 161 157 163 160 163 165 158 163 157

155 174 170 169 167 179 157 166 179 159

164 163 174 168 165 160 173 164 160 159

Se elabora las clases correspondientes y ya antes determinadas, y se ubican los valores de los 200

focos en cada una de su clase correspondiente, quedando de la siguiente manera:

LRI LRS Fi

149.5 153.5 4

153.5 157.5 11

157.5 161.5 29

161.5 165.5 56

165.5 169.5 50

169.5 173.5 31

173.5 177.5 14

177.5 181.5 5

Unidad I


Por último se elabora el histograma de frecuencias.

Ejemplo 2

El gerente de producción de una compañía fabricante de envases plásticos para alimentos desea

conocer el comportamiento del peso (en gramos) de uno de sus productos. Con este fin se tomaron

lecturas de 120 envases, durante una semana, para realizar con dichos datos un histograma. Los

datos recopilados se muestran en la siguiente hoja de verificación:

Hoja de Verificación

Objetivo: Registro del peso (gr.) del envase AS. 9.6

Responsable: Víctor Oropeza Periodo: 1/06/92-6/06/92

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

5.53 5.08 5 5.13 5.6 5.16

6.5 4.4 8.91 7.86 5.85 5.83

7.6 5.31 7.08 5.08 9.7 5.5

6.73 4.25 5.5 6.5 5.31 4.6

5 5.6 5.75 2.35 7.08 5.5

6.21 5.25 6 5.3 4.75 5.75

6.7 5.98 5.75 7.1 5.45 5.41

7.18 7.53 6.5 5.8 7.15 6.5

5.83 5.23 6 5.06 4.98 5.08

7.51 7.61 5.83 5.21 5.58 7.3

5.76 6.7 8 8.11 7.7 7.6

5.7 5.86 5.41 4.81 4.63 5.25

5.31 5.41 6.5 6.38 5.9 7.15

7.36 6.01 7.25 5.86 9.48 6.58

7.28 5.9 6.6 5.45 9.13 5.41

4.76 7.2 7.3 7.45 7.71 5.91

5.15 5.2 5 5.1 5.55 5.08

4.75 6.3 6.41 5.16 5.11 5.5

4.78 4.78 5.5 3.61 9.31 4.25

5 5.31 7.3 5.71 5.6 4.78

0

10

20

30

40

50

60

(14

5.5

-14

9.5

]

(14

9.5

-15

3.5

]

(15

3.5

-15

7.5

]

(15

7.5

-16

1.5

]

(16

1.5

-16

5.5

]

(16

5.5

-16

9.5

]

(16

9.5

-17

3.5

]

(17

3.5

-17

7.5

]

(17

7.5

-18

1.5

]

(18

1.5

-18

5.5

]

Histograma de Frecuencias

Unidad I


Se elabora las clases correspondientes y ya antes determinadas, y se ubican los valores de los 120

focos en cada una de su clase correspondiente, quedando de la siguiente manera:

LRI LRS Fi

2.345 3.265 1

3.265 4.185 1

4.185 5.105 23

5.105 6.025 52

6.025 6.945 14

6.945 7.865 22

7.865 8.785 2

8.785 9.705 5

0

10

20

30

40

50

60 Histograma de Frecuencias

Unidad I


Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1

Se consideró la fracción de error de 40 capturistas de datos en el departamento de sistemas de una

empresa. Las medidas de los reprocesos internos de los 40 capturistas redondeadas a dos decimales,

se dan a continuación:

0.31 0.28 0.35 0.32 0.32

0.34 0.31 0.30 0.34 0.29

0.33 0.31 0.32 0.33 0.34

0.33 0.39 0.33 0.36 0.32

0.35 0.29 0.31 0.30 0.32

0.29 0.30 0.32 0.28 0.35

0.37 0.36 0.33 0.37 0.30

0.32 0.33 0.29 0.32 0.31

a) Construya la tabla de frecuencias.

b) Construya el histograma

Suponga que el límite máximo aceptable de reproceso es 0.35. Marque en el histograma el límite de

especificación y conteste lo siguiente:

c) ¿Cuál es el porcentaje de empleados fuera de especificación?

Ejercicio 2

Para incrementar la rapidez del etiquetado de botellas por una máquina de modelo antiguo en una

compañía de jugos, se decide observar la variabilidad del proceso mediante la elaboración de un

histograma de frecuencias. Para iniciar este proyecto, se tomaron datos para conocer la cantidad de

cajas de botellas etiquetadas por día. Se hicieron 50 observaciones (al término del día), cuyos

resultados se presentan a continuación. La unidad de medida está dada en cajas.

7532 6991 8457 8457 6584

8457 7932 8011 6337 6867

6275 6549 8115 7352 8643

5944 6897 7457 8119 7237

8963 7396 8745 6429 7593

6501 8254 7253 7470 8240

7883 7453 6485 8019 6953

9121 7032 5985 6581 7495

7569 6854 8736 6825 6238

6578 8337 7693 7318 6372

a) Construya la tabla de frecuencias.

b) Construya el histograma y haga una breve interpretación de los resultados.

Unidad I


Diagrama de Pareto

Introducción

Los problemas de calidad en realidad representan pérdidas (productos defectuosos y su costo),

razón por la cual es importante aclarar el patrón de las distribución de a pérdida. La mayoría de las

pérdidas se deben a unos pocos tipos de defectos, y estos defectos a su vez, pueden atribuirse a un

número muy pequeño de causas. Si se identifican las causas de estos “Pocos defectos vitales”,

podremos eliminar casi todas las pérdidas, concentrándonos en esas causas particulares y dejando

de lado por el momento los otros “Muchos defectos triviales”. El uso del análisis de Pareto nos

permite solucionar este tipo de problemas con eficiencia.

El análisis de Pareto se aplica con frecuencia para analizar los datos reunidos en las hojas de

verificación de artículos defectuosos, con la finalidad de separar claramente “los pocos defectos

vitales de los muchos triviales”, y proporciona dirección en la selección de proyectos de mejora.

Regla 80/20

Esencialmente la filosofía del principio de Pareto nos proporciona la regla del 80/20, en la cual, el

80% de los defectos son el resultado del 20% de las causas disponibles o identificados. Esto

significa normalmente que una cantidad importante de defectos que pueden ser atribuidos a unas

pocas categorías y es en esas categorías donde se debe centrar la atención, lo que supondría un

aumento significativo de la calidad del proceso.

Definición

Un diagrama de Pareto, es un histograma de las causas de los defectos, ordenados por categorías, de

mayor frecuencia a menor frecuencia, razón por la cual la barra más alta queda representada a la

izquierda y la más pequeña a la derecha. Asimismo, se acostumbra trazar una curva de frecuencia

acumulada sobre el histograma. Esta ayuda visual muestra claramente la magnitud relativa de los

defectos y se puede usar para identificar oportunidades de mejora. En esta forma se destacan los

problemas más costosos o importantes.

Elaboración del diagrama de Pareto:

1. Determinar que artículos o temas causantes de error van a ser gráficados.

2. Recolectar datos para un periodo determinado.

3. Tomar datos de la frecuencia con que ocurre cada artículo o tema.

4. Tomar el porcentaje de frecuencia en que ocurre cada artículo o tema en relación al total de

artículos o temas.

5. Dibujar el eje horizontal y el vertical en la hoja para gráficas. Se gradúa el eje vertical y se

colocan los artículos o temas en el eje horizontal en una secuencia de mayor o menor

frecuencias.

6. Dibujar una gráfica de barras.

7. Dibujar una gráfica lineal que represente la acumulación de los artículos o temas.

8. Anotar el periodo para el cual fueron tomados los datos, el nombre de la persona o grupo

de personas que los recopiló y el propósito.

Unidad I


Usos del diagrama de Pareto

1. Para determinar cuáles causan el problema.

Si hay muchos defectos, se observará que sólo unos cuantos son influyentes. Y por ello, si

los esfuerzos de corrección se concentran en esos cuantos influyentes, se habrá resuelto el

problema en gran parte.

2. Para investigar la causa error.

Hay dos maneras de clasificar las causas de error. La primera clasificación es en términos

de resultados como defectos de producción, localización del suceso, pasos en que se

produce. La segunda clasificación es en términos de causas como defectos en materiales,

maquinaria, instrumentos, métodos de trabajo, trabajadores, etc. Los puntos del problema se

identifican por medio de la clasificación de resultados y luego para conocer sus causas se

pasan al diagrama de Pareto.

3. Para reportar y registrar en archivo.

El diagrama de Pareto es muy sencillo y conveniente para formarse una clara idea de cuáles

son las principales causas de un problema.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los imperfectos de los artículos defectuosos en una

planta que produce resina. Utilizando dichos datos elabore el diagrama de Pareto correspondiente.

Tipo de defecto Frecuencia

Maltrato superficial 32

Grietas 23

Incompleto 48

Accidente 4

Otros 8

Total 115

Tipo de defecto Frecuencia

absoluta (Fi)

Frecuenta

absoluta acum.

(∑ Fi)

Frecuencia

relativa (% Fi)

Frecuencia

relativa acum.

(∑ % Fi)

Incompleto 48 48 0.417 0.427

Maltrato

superficial 32 80 0.278 0.695

Grietas 23 103 0.200 0.895

Otros 8 111 0.700 0.965

Accidentes 4 115 0.035 1.000

Total 115

Unidad I


Ejercicios

1. La siguiente tabla muestra los registros de los defectos observados en el cumplimiento de la

garantía de refrigeradores del taller de servicio de una comercializadora, así como los

costos de reparación de asociados a cada uno de ellos. Los datos fueron recabados del año

anterior, habiéndose vendido 4752 piezas.

Tipo de defecto Número de defectos

ni

Costo de reparación

por unidad ui

Costo total de

reparación por tipo

de defecto ci=ni*ui

Empaques 119 $650 $77350

Compresor 49 $5000 $245000

Termostato 39 $1100 $42900

Manchas(pintura) 36 $286 $10296

Condensador 26 $2145 $55770

Puerta desalineada 21 $560 $11760

Rayaduras 20 $320 $6400

Ahora se obtendrá el porcentaje de la siguiente manera:

Donde:

ci=Elemento de costo total por tipo de defecto

N= Costo total de reparación por tipo de defecto

Unidad I


Que es el porcentaje del compresor, pondremos otro ejemplo:

Este es el porcentaje de costo total de reparación de los empaques, así se harán la operación hasta

que acaben los defectos.

El porcentaje acumulado se calculará de la siguiente manera:

Defecto Porcentaje

% Porcentaje Acumulado %

Compresor 54.51% 54.51%=54.51%

Empaques 17.21% 54.51%+17.21%=71.72%

Condensador 12.41% 54.51%+17.21%+12.41%=84.13%

Termostato 9.54% 54.51%+17.21%+12.41%+9.54%=93.67%

Puerta

desalineada 2.62% 54.51%+17.21%+12.41%+9.54%+2.62%=96.29%

Manchas 2.29% 54.51%+17.21%+12.41%+9.54%+2.62%+2.29%=98.59%

Rayaduras 1.42% 54.51%+17.21%+12.41%+9.54%+2.62%+2.29%+1.42%=100.00%

La tabla siguiente muestra la ordenación de los tipos de defectos de acuerdo a los costos, y se

proporcionan, además, los resultados de los cálculos de los porcentajes relativos y acumulados:

Tipo de defecto Costo total de

reparación por tipo

de defecto ci=ni*ui

Porcentaje

%

Porcentaje

Acumulado

%

Compresor $245000 54.51% 54.51%

Empaques $77350 17.21% 71.72%

Condensador $55770 12.41% 84.13%

Termostato $42900 9.54% 93.67%

Puerta desalineada $11760 2.62% 96.29%

Manchas(pintura) $10296 2.29% 98.59%

Rayaduras $6400 1.42% 100%

Total $449476

De estas tablas podemos apreciar que aunque el número de ocasiones en que se observó

“empaques”(11) es mucho mayor que la frecuencia del defecto “compresor”, el 54.51% del costo de

reparación es atribuible al defecto “compresor”, en tanto que la reparación del defecto “empaques”

contribuye sólo con el 17.21% del costo total de reparación, por lo que si se encaminan los

esfuerzos a eliminar (o disminuir) el defecto “compresor” disminuiría significativamente el costo de

reparación.

Se procederá a hacer el diagrama de Pareto, el cual se muestra a continuación:

Unidad I


2. En el departamento de compras de una compañía se analizaron 50 órdenes de compras,

encontrándose 43 de ellas con los siguientes errores:

ERROR FRECUENCIA

Entrega a destiempo 3

Orden de compra(O.C.) sin fundamento 1

Material no adecuado 1

Datos incompletos 24

Entrega de material en exceso 1

Condiciones de pago equivocadas 5

O.C. repetida 2

No existe O.C. 6

Elabore el diagrama de Pareto para estos datos.

Error Frecuencia Porcentaje Acumulado

Datos incompletos 24 55.8%

No existe O.C. 6 69.8%

Condiciones de pago equivocadas 5 81.4%

Entrega a destiempo 3 88.4%

O.C. repetida 2 93.0%

O.C. sin fundamento 1 95.3%

Material no adecuado 1 97.7%

Entrega de material en exceso 1 100.0%

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

100.0%

$-

$50,000.00

$100,000.00

$150,000.00

$200,000.00

$250,000.00

$300,000.00

$350,000.00

$400,000.00

Co

mp

reso

r

Emp

aqu

es

Co

nd

ensa

do

r

Term

ost

ato

Pu

erta

d

esal

inea

da

Man

chas

Ray

adu

ras

Diagrama de Pareto de Costos

Costo Total

Unidad I


Diagrama de Causa y Efecto (Diagrama de Ishikawa) En la fábrica de los productos elaborados mediante un proceso, normalmente puede haber

problemas de variación en su calidad final, a causa de diversas razones. La meta de la solución de

problemas consiste en identificar las cusas que originan la variación (los problemas), para

corregirlos eliminándolos (Evans y Lindsay, 1993).

El diagrama de causa y efecto es una herramienta importante que ayuda a la generación de ideas en

cuanto a las causas del problema y por lo tanto, sirve como base para localizar soluciones. Este es

un método gráfico sencillo que sirve para presentar en un solo plano, una cadena de causas y

efectos, y para definir las causas y las relaciones de organización existentes entre las variables.

Debido a su estructura (forma) con frecuencia se le llama diagrama de esqueleto de pescado. Las

causas más importantes deben de ir cerca de la cabeza y las menos importantes cerca de la cola, las

espinas se dividen en primaria, secundaria, etc. según el número de espinas que existan.

La estructura general de un diagrama de causa y efecto se muestra en la siguiente figura, en ella se

observa que en el extremo final de una línea horizontal se anota un problema, asimismo, observe

que cada rama que apunta al tallo principal representa una causa posible. Y las ramas que apuntan a

las causas más probables de un problema, sirve también para recopilar mayor información acerca de

las causas, y todo ello con las finalidad de analizar eficientemente dicha información.

0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0% 60.0% 70.0% 80.0% 90.0% 100.0%

0 5

10 15 20 25 30 35 40

Dat

os

inco

mp

leto

s

No

exi

ste

O.C

.

Co

nd

icio

nes

de

pag

o

equ

ivo

cad

as

Entr

ega

a d

esti

emp

o

O.C

. rep

etid

a

O.C

. sin

fu

nd

amen

to

Mat

eria

l no

ad

ecu

ado

Entr

ega

de

mat

eria

l en

exc

eso

Frecuencia

Porcentaja Acumulado

Unidad I


Ishikawa recomienda que las causas potenciales que originan teóricamente las fallas o los defectos

en cualquier proceso productivo, se clasifiquen en 6 categorías, a las que les denomina las 6 M’s y

que son las siguientes:

Mano de Obra

Materiales

Maquinaria

Métodos de trabajo

Medición de la variable

Medio ambiente

Cada una de las M´s anteriores debe ser evaluada con sus MU´s correspondientes, existen 3 MU´s

los cuales son:

Muda: desperdicio.

Mura: inconsistencias (cuello de botella).

Muri: trabajo tensionante.

Un ejemplo de evaluación de las M´s con sus MU´s correspondientes quedarían de la siguiente

forma:

Mano de obra

Muda: tiempo ocioso.

Mura: mala asignación de personal y falta de capacitación.

Muri: operaciones monótonas, operaciones difíciles y mal ambiente de trabajo.

Materiales

Muda: altos niveles de inventario y mal manejo de material.

Mura: mal control de requerimiento de material.

Muri: manejo de materiales peligrosos.

Maquinaria

Muda: tecnología sobrada.

Mura: subutilización de las máquinas y obsolescencia.

Muri: utilización de maquinaria peligrosa.

Métodos

Desperdicio: exceso de operación es un proceso.

Mura: falta de especificaciones o procedimientos.

Muri: manejo excesivo de información.

Procedimiento

1. Definir el problema: puede incluir el empleo de histogramas de los resultados de los datos

recopilados, resultado de las gráficas de control, resultados de los diagramas de Pareto, etc.

2. Seleccionar el método para realizar el análisis: a menudo en esta fase se incluyen reuniones

(con representantes de producción, ingeniería, calidad, ventas y cualquier otro grupo que

pudiera estar relacionado en alguna forma con el problema en cuestión), en donde al aplicar

la técnica de la “lluvia de ideas” pueda surgir una inspiración súbita ya sea, para identificar

una posible causa o bien una posible solución para eliminar una causa.

3. Determinar la característica de calidad (Efecto).

Unidad I


4. Dibujar una línea principal de izquierda a derecha e indicar la característica de calidad en el

extremo derecho.

5. Anotar las causas mayores en las ramas y luego encerrarlas en casillas.

6. Escribir las causas menores en las ramas menores.

7. Analizar las causas y tomar las medidas correctivas necesarias.

Diagrama de Dispersión

Es una gráfica que se construye utilizando los ejes coordenados, y su objetivo consiste en analizar y

estudiar la relación potencial existente entre dos variables diferentes, normalmente una de ellas se

denomina Variable independiente X y la otra Variable dependiente Y.

En la rama de la ingeniería industrial, los diagramas de dispersión se utilizan ampliamente en el

área de control de calidad, para analizar y estudiar las relaciones de causa y efecto. Bajo este punto

de vista, al construir el diagrama de dispersión se utiliza al eje de las abscisas (X) para representar a

la variable independiente, la cual normalmente nos sirve para indicar la causa que originan un

defecto. Y el eje de las ordenadas (Y) se utiliza para representar a la variable dependiente, la cual

normalmente nos sirve para indicar el efecto resultante por una causa. Este concepto se muestra a

continuación:

Elaboración

1. Reúna pares de datos (X, Y) cuyas relaciones se desea estudiar, y organice dicha

información en una tabla. Se recomienda recopilar al menos 30 pares de datos.

2. Encuentre los valores mínimo y máximo para las variables (X, Y). Decida las escalas que

va a usar en los ejes coordenados, de manera que ambas longitudes sean aproximadamente

iguales, lo cual hará que el diagrama sea más fácil de leer. Cuando una de las variables

represente a un factor (causa) y la otra represente una característica de calidad (efecto), use

el eje de las abscisas (X) para representar el factor (causa) y use al eje de las ordenadas (Y)

para representar las características de calidad (efecto).

3. Registre los datos en el gráfico (utilizando los ejes coordenados). Cuando se repitan pares

de valores, muestre dichos datos mediante círculos concéntricos en el diagrama.

4. Registre todos los aspectos que puedan ser de utilidad. Cerciórese de que se incluyan los

siguientes datos, de manera que cualquier otra persona, además de la que elaboró el

diagrama, pueda comprenderlo con claridad:

a) Título del diagrama

b) Nombre y unidades de las variables

c) Periodo de tiempo en que se realizó el diagrama

d) Numero de pares de datos

e) Titulo y unidades de cada eje

Unidad I


Análisis de Correlación

Es el conjunto de técnicas estadísticas empleado para medir la intensidad de la relación existente

entre dos variables diferentes. El principal objetivo del análisis de correlación, consiste en

determinar qué tan intensa es la relación existente entre dos variables. Normalmente el primer paso

consiste en mostrar los valores numéricos correspondientes a pares de datos (que representan a dos

variables diferentes), en un diagrama de dispersión.

Concepto de Correlación

En estadística se dice que existe una correlación entre dos variables diferentes, cuando se observa

que una de ellas está relacionada con la otra de alguna manera. Asimismo, el término correlación

significa “relación mutua” entre dos series de valores. El análisis de correlación estadística se usa

para interpretar el significado de los diagramas de dispersión.

En las figuras se muestran los tipos más comunes de correlación existentes entre dos variables

diferentes y su correspondiente significado.

Si la correlación es positiva, se observa que en aumento de la variable independiente X ocasiona un

aumento en la variable dependiente Y. si la correlación es negativa, se observa que un aumento de

la variable independiente X, ocasiona una disminución en la variable dependiente Y. la ausencia de

correlación nos indica que el aumento de valor en una de las variables no ocasiona ningún efecto en

el valor de la otra variable, es decir, se observa que entre las dos variables no se presenta ninguna

relación de causa y efecto.

Coeficiente de correlación lineal de Pearson (r)

Desarrollado por el investigador Karl L. Pearson en el año 1900, el coeficiente de correlación lineal,

describe la intensidad de la relación existente entre 2 conjuntos de variables de nivel de intervalo o

de nivel de razón. El coeficiente de correlación se denota por r, con frecuencia se le menciona

también como “r de Pearson” o “coeficiente de correlación producto-momento de Pearson”. El

coeficiente de correlación lineal r de Pearson puede tomar cualquier valor entre -1.00 a +1.00

inclusive. Un coeficiente de correlación lineal igual a -1.00 o igual a +1.00 nos indica una

correlación perfecta.

Definición del coeficiente de correlación lineal

Es la medida de la intensidad de la relación lineal existente entre los valores de las variables (X, Y)

apareados, presentes en una muestra.

El siguiente cuadro resume la dirección e intensidad del coeficiente de correlación lineal de Pearson

(r).

Unidad I


Cálculo del coeficiente de correlación de Pearson

Este coeficiente nos permite determinar el valor numérico de la medida de la intensidad de la

relación lineal existente entre dos conjuntos de variables apareados, utilizando la siguiente

ecuación:

r= coeficiente de correlación lineal de Pearson, y además -1 < r > +1

n= número de pares de datos (X, Y) presentes en la muestra.

ƩX= suma de todos los puntajes de la variable independiente X.

ƩX2= denota que cada valor de la variable aleatoria X se debe elevar al cuadrado y luego todos esos

cuadrados deben sumarse.

(ƩX)2= denota que los valores de la variable aleatoria X deben sumarse y el total resultante debe

elevarse al cuadrado.

ƩY= suma de todos los puntajes de la variable dependiente Y.

ƩY2=denota que cada valor de la variable aleatoria dependiente Y debe elevar al cuadrado y luego

todos esos cuadrados deben sumarse.

(ƩY)2=denota que los valores de la variable aleatoria dependiente Y deben sumarse y el total

resultante debe elevarse al cuadrado.

ƩXY= denota que cada valor de la variable independiente X primero debe multiplicase por su

correspondiente valor de la variable dependiente Y, y después de obtenerse todos esos productos, se

deben sumar.

Ejemplo

La empresa Copier Sales of America, Inc., vende copiadoras a negociaciones grandes medianas y

pequeñas en Estados Unidos y Canadá. La señorita Marcy Bancer fue promovida recientemente al

puesto de “Gerente nacional de ventas”. A la próxima junta de ventas asistirán los representantes de

ambos países. A ella le gustaría notar la importancia de hacer llamadas extras cada día. Para ello,

decide reunir alguna información acerca de la relación entre “El número de llamadas realizadas” y

“El número de copiadoras vendidas”. Seleccionó al azar una muestra de 10 representantes y

determinó el número de llamadas que hicieron el último mes y el número de copiadoras que

vendieron. La información muestral que obtuvo se presenta a continuación en la siguiente tabla.

Representante de

ventas

Número de

llamadas

realizadas

Número de

copiadoras

vendidas

Tom Séller 20 35

Jeff Hall 40 60

Brian Virost 25 40

Juan Flores 30 60

Susan Welch 10 30

Carlos Ramírez 15 40

Rich Niles 20 45

Luis Kiel 28 50

Mark Reynolds 20 30

Soni Jones 35 70

Unidad I


Identificando las variables:

Xi: El número de llamadas telefónicas realizadas por agente

Yi: El número de copiadoras vendidas por agente.

Colocar los pares de datos en un gráfico

Prueba de correlación en los diagramas de dispersión

Hemos visto cómo utilizar los diagramas de dispersión para determinar las relaciones entre dos

tipos de datos. Pero ¿cómo se puede determinar el grado de correlación cuando ésta existe?

Podemos emplear cualquiera de los dos métodos siguientes: uno consiste en calcular el coeficiente

de correlación y el otro se basa en el papel de probabilidad binomial. Aquí hemos de referirnos al

más práctico de los dos: el denominado método de la mediana para el análisis de correlaciones.

El método consiste en los siguientes pasos:

1. Halle la mediana de y la mediana de . Trace ambas medianas en el gráfico de

dispersión.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50

Nú

me

ro d

e c

op

iad

ora

s ve

nd

idas

Número de llamadas realizadas

Número de copiadoras vendidas

Lineal (Número de copiadoras vendidas)

Unidad I


2. Denote con I, II, III y IV los cuatros sectores demarcados por las medianas, a partir del

extremo superior derecho y en sentido contrario al de las agujas del reloj. Cuente la

cantidad de puntos que hay en cada sector.

Sector Puntos

(I) 19

(II) 4

(III) 20

(IV) 5

Sobre la línea 2

Total 50

3. Determina la cantidad de puntos II y IV, y N (cantidad total de datos menos la cantidad de

puntos sobre la línea). La cantidad de puntos de II y IV es ; y .

4. Compare la cantidad total de puntos de II y IV con la columna “cantidad límite de puntos”

de la tabla de prueba del signo. Si la cantidad de puntos de ambos sectores es menor que el

límite, existe correlación.

N Cantidad límite de

puntos en I + III, II + IV N

Cantidad límite de puntos en I + III, II + IV

20 5 42 14

21 5 44 15

22 5 46 15

23 6 48 16

24 6 50 17

25 7 52 18

26 7 54 19

27 7 56 20

28 8 58 21

29 8 60 21

30 9 62 22

32 9 64 23

34 10 66 24

36 11 68 25

38 12 70 26

40 13

5. Cuando , la cantidad límite de punto es 16. Como , existe correlación

positiva.

Unidad I


Gráficas de control Las gráficas de control son un intervalo de confianza en una escala de series y tiempo. Una gráfica

de control permite establecer si un proceso se encuentra o no controlado.

En una gráfica de control se registran o identifican dos aspectos:

Variaciones debidas a causas comunes, es decir, características propias de cada proceso

(método, diseño, especificaciones).

Variaciones debido a causas asignables, tales como: (materia prima, mano de obra,

maquinaria y equipo etc.).

Las características de interés a controlar en un gráfico de control se muestran en la siguiente figura:

Lectura y uso de la gráfica de control

La lectura de una gráfica de control se realiza buscando puntos fuera de los límites de control o

detectando patrones de anormalidad en el conjunto general de los puntos. Cuando se tenga un

proceso fuera de control, los responsables deben darse a la tarea de identificar las causas especiales

que estén afectando el sistema, para llegar a eliminarlas.

1. Puntos fuera de control

Estos puntos se refieren a la presencia de una sola lectura que difiere mucho de las otras. A veces,

un punto que parezca un salto realmente es una parte de un proceso estable. Este patrón es uno de

los más sencillos de reconocer, y por el hecho de darse en forma aislada es fácil de identificar y de

determinar sus causas.

Unidad I


Posibles causas:

Variación en el tamaño muestral.

Toma de muestras de una distribución totalmente distinta.

2. Tendencias continuas

Este patrón se define como una variación gradual y constante en forma ascendente o descendente,

siendo este patrón fácil de reconocer. La tendencia puede surgir debido a causas que operen sobre el

sistema de un modo gradual.

Posibles causas:

Producto que se deteriora gradualmente.

Desgaste en el equipo.

Mejoramiento gradual de la técnica del empleado.

Efecto de un mejor programa de mantenimiento de equipo.

Efecto de control de procesos en otras áreas.

3. Cambio repentino de nivel

Un cambio repentino de nivel se presenta como un cambio súbito en una dirección. Una cierta

cantidad de puntos se localizan en un solo lado (inferior o superior) de la gráfica, y si los datos se

gráficaran separados, se verían dos distribuciones diferentes.

Unidad I


Posibles causas:

Nuevo empleado.

Nuevo jefe.

Nuevo equipo o nuevo ajuste de equipo.

Cambio en el método.

Cambio en la motivación de los empleados.

Cambio a un diferente proveedor.

Cambio en los estándares.

4. Ciclos

Los ciclos son tendencias cortas que ocurren en patrones repetidos. Las causas de los ciclos son

variables de proceso que se presentan de una manera más bien regular. Los ciclos pueden

identificarse determinando el tiempo en el cual aparecen los picos sucesivos y relacionando este

intervalo con los elementos del proceso.

Posibles causas:

Efectos estacionales, tales como la temperatura o la humedad.

Fatiga del empleado.

Rotación del personal.

Horarios de mantenimiento.

Desgaste de equipo.

Diferencia regular entre proveedores.

5. Inestabilidad

Un patrón inestable presenta puntos erráticos que fluctúan lo largo de la gráfica de control, y la

fluctuación parece ser muy ancha comparada con los límites de control. La inestabilidad puede

deberse a una sola causa o a causas conjuntas. Aunque en este caso el patrón es complejo, recuerde

que probablemente las causas son más bien simples.

Unidad I


Posibles causas:

Ajuste excesivo del equipo.

Empleado sin capacitación.

Equipo que necesita reparación.

Efecto de gráficas de control instaladas en otras áreas.

Empleados sin experiencia.

Empleados descuidados.

Mantenimiento mediocre.

Productos defectuosos.

Por lo que si una gráfica indica alguna de estas causas asignables o combinación de ellas se dice que

el proceso no está bajo control. Por otro lado, la carta de control indica que un proceso es estable

(bajo control estadístico) cuando sus puntos caen dentro de los límites de control y fluctúan o varían

aleatoriamente (con una apariencia errática y sin orden) a lo ancho de la carta.

Clasificación de las gráficas de control

Gráficos de control

Gráficas por variables Gráfica por atributos

Gráficas de medias (X-R) ó

(X-S)

Gráfica de fracción defectiva (p)

Gráfica de rangos (R) Gráfica de defectivos o defectuosos (np)

Gráfica de desviación estándar

(S)

Gráfica de defectos por muestra (c)

Gráfica de defectos por unidad (u)

Las gráficas de control por variables son la representación gráfica de las características medibles

que nos dan a conocer la frecuencia e intensidad de las variaciones, los valores medios y la

desviación estándar.

Una variable es una característica de calidad basada en una medida por ejemplo:

La dimensión de una pieza en cm.

Temperatura (°C)

Resistencia a la tensión ( kg/cm3)

Unidad I


Cuando son conocidos µ y σ las formulas utilizadas para la creación de los gráficos son:

Cuando no son conocidos µ y σ las formulas utilizadas para la creación de los gráficos son:

Donde A, A1, A2, d2, D1, D2, D3, D4, C2, B4, B2, B3, B4 son factores de corrección y se consultan en

las tablas de acuerdo al tamaño de la muestra.

Gráfica de control por variables ( - ) y ( - )

Estas gráficas muestran las medias de un proceso y su rango. La ventaja de estas gráficas es el

hecho que podemos vigilar el comportamiento de las medias y al mismo tiempo su variación, la

cual permite se tome las acciones preventivas para evitar la ocurrencia de los efectos.

Pasos para su construcción

1. Seleccionar la característica de interés a controlar.

2. Controlar los factores que puedan afectar las características seleccionadas (mano de obra,

materia prima, medio ambiente, método etc.)

3. Preparar el equipo para realizar la inspección.

4. Tomar la muestra en el orden cronológico para no alterar el azar

Unidad I


5. Calcular la media, el rango y la desviación estándar para cada una de las muestras.

6. Calcular la media de medias, la media de rangos y las desviaciones estándar.

7. Calcular los límites de control superior e inferior utilizando los factores de corrección

respectivos.

8. Trazar la línea central.

9. Construir la gráfica.

Ejemplo

En el proceso de fibras de lana se vio la conveniencia de controlar la acidez del colorante (ph), para

tal efecto se hicieron pruebas cada 20 min y se registraron los resultados en grupos de tamaño 6.

Las mediciones se presentan en la siguiente tabla:

Realizar las gráficas de control ( - ) y ( - )

Para los gráficos ( - )

Gráfica de medias

= 4.18

= .21

= .08

LSC= + A2 = 4.17 + (.483) .22= 4.27

LC= = 4.17

LIC= - A2 = 4.17 - (.483) .22= 4.06

Muestra a b c d e f X R σ

1 4.22 4.2 4.2 4.08 4.15 4.15 4.17 0.14 0.051

2 4.25 4.22 4.1 4.15 4.1 4.15 4.16 0.15 0.062

3 4.2 4.22 4.01 4.17 4.18 4.3 4.18 0.29 0.095

4 4.2 4.25 4.18 4.05 4.17 4.1 4.16 0.2 0.072

5 4.15 4.2 4.03 4.15 4.31 4.25 4.18 0.28 0.096

6 4.18 4.17 4.17 4.3 4.15 4.1 4.18 0.2 0.066

7 4.22 4.24 4.23 4.07 4.19 4.25 4.20 0.18 0.067

8 4 4.15 4.18 4.1 4.3 4.2 4.16 0.3 0.101

9 4.1 4.15 4.3 4.36 4.15 4.1 4.19 0.26 0.110

10 4.2 4.25 4.2 4.3 4.15 4.1 4.20 0.2 0.071

11 4.35 4.2 4.25 4.12 4.3 4.1 4.22 0.25 0.099

Promedios 4.18 0.22 0.08

3.95

4

4.05

4.1

4.15

4.2

4.25

4.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gráfica de medias

Unidad I


Para gráficar debe considerarse que en el eje de las x irá cada subgrupo de muestras y en el de las y

los valores que corresponden a la media de cada muestra.

Gráfica de rangos

LSC= D4 = .22 (2.0004) = .44

LC= = .22

LIC= D3 = .22 (0) = 0

Para la gráfica de rangos se sigue la misma metodología que para la gráfica de medias, con la

variante de que los valores a gráficar corresponden al rango de cada muestra.

Para los gráfico ( - )

Gráfica de medias

LSC= + A1 = 4.18 + (1.410)(.08)= 4.29

LC= = 4.18

LIC= - A1 = 4.18 - (1.410)(.08)= 4.06


LSC= B4 = .08 (1.970) = .1576

LC= = .08

LIC= B3= .08 (.3) = .0024

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3.9

3.95

4

4.05

4.1

4.15

4.2

4.25

4.3

4.35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gráfica de rangos

Gráfica de medias

Unidad I


Ejemplo

La siguiente tabla proporciona las lecturas efectuadas del espesor (en milésima de pulgadas) de la

pintura de ciertas placas metálicas. Esta característica de calidad es crítica para el cliente, de modo

que se ha decidido monitorear este proceso mediante los gráficos (X-R) ó (X-S).

Para los gráficos ( - )

Gráfica de medias

= 2.12

= .35

= .11

LSC= + A2 = 2.12 + (.308) .22= 2.18

LC= = 2.12

LIC= - A2 = 2.12 - (.308) .22= 2.05

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X R S

1 2.08 2.26 2.13 1.94 2.3 2.15 2.07 2.02 2.22 2.18 2.14 0.36 0.111

2 2.14 2.02 2.14 1.94 2.3 2.08 1.94 2.12 2.15 2.36 2.12 0.42 0.137

3 2.3 2.1 2.2 2.25 2.05 1.95 2.1 2.16 2.37 1.98 2.15 0.42 0.136

4 2.1 2.1 2.15 1.97 2.25 2.12 2.1 1.9 2.04 2.08 2.08 0.35 0.096

5 2.06 2.12 1.98 2.12 2.2 2.02 2.19 2.03 2.02 2.09 2.08 0.22 0.074

6 2.14 2.22 2.18 2.27 2.17 2.26 2.15 2.07 2.02 2.36 2.18 0.34 0.099

7 2.07 2.05 1.97 2.05 2.16 2.02 2.02 2.14 2.07 2 2.06 0.19 0.059

8 2.08 2.31 2.12 2.18 2.15 2.17 1.98 2.05 2 2.26 2.13 0.33 0.107

9 2.13 1.9 2.12 2.04 2.4 2.12 2.15 2.01 2.3 2.14 2.13 0.5 0.141

10 2.13 2.16 2.12 2.22 2.12 2.07 2.04 2.28 2.12 2.1 2.14 0.24 0.070

11 2.24 2.34 2.4 2.26 2.13 2.15 2.08 2.02 2.05 2.18 2.19 0.38 0.125

12 2.25 1.91 1.96 2.04 1.93 2.08 2.29 2.42 2.1 2 2.10 0.51 0.170

13 2.03 2.1 2.24 2.2 2.25 2.03 2.06 2.19 2.13 2.2 2.14 0.22 0.084

14 2.08 1.92 2.14 2.2 2.02 2.04 1.94 2.05 2.12 2.06 2.06 0.28 0.086

15 2.04 2.14 2.18 2.12 2 2.02 2.05 2.34 2.12 2.05 2.11 0.34 0.101

16 1.92 2.1 2.13 2.02 1.93 2.17 2.24 1.98 2.34 2.12 2.10 0.42 0.136

17 2.12 2.3 2.01 2.2 2.11 1.93 2.02 2.25 2.05 2.1 2.11 0.37 0.115

18 1.98 2.3 2.31 2.12 2.08 2.1 2.15 2.35 2.12 2.26 2.18 0.37 0.121

19 2.08 2.12 2.11 2.22 2 1.95 2.15 2.14 2.28 2.31 2.14 0.36 0.113

20 2.22 2.05 1.93 2.08 2.15 2.27 1.95 2.11 2.12 2.1 2.10 0.34 0.106

Promedios 2.12 0.35 0.11

LECTURAS


Unidad I


Gráfica de rangos

LSC= D4 = .35 (1.777) = .622

LC= = .35

LIC= D3 = .22 (.223) = .049

Para los gráfico ( - )

Gráfica de medias

LSC= + A1 = 2.12 + (1.028)(.11)= 2.23

LC= = 2.12

LIC= - A1 = 2.12 - (1.028)(.11)= 2.006

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfica de medias

Gráfica de rangos

Gráfica de medias

Unidad I



LSC= B4 = .11 (1.716) = .189

LC= = .11

LIC= B3= .11 (.284) = .031

Gráficas por atributos

Las gráficas de control por variables muestran las características de calidad que son medibles y

expresadas en unidades.

Las gráficas de control por atributos tratan con las características de calidad que son observadas

solamente por que se ajustan o no a requerimientos especificados y se expresan por dos palabras

opuestas tales como: si o no, pasa o no pasa, defectuoso o no defectuoso, bueno o malo.

El control por atributos es aquel que muestra solamente el número de artículos elaborados de

acuerdo con las especificaciones y el número de artículo que se salen de esas especificaciones.

Los atributos son aquellas variaciones controlables que generalmente se juzgan visiblemente, por

ejemplo: el acabado de una superficie puede presentar una apariencia satisfactoria o no.

En general, el objeto examinado está de acuerdo o no con las especificaciones. Los tipos más

comunes de estás gráficas son las siguientes:

Fracción defectiva “p”

Artículos defectuosos “np”

Defectos por muestra “c”

Defectos por unidad “u”

Para efectos de una operación de control por atributos es necesario establecer definiciones de ciertos

vocablos que se emplean:

Defecto (c). Toda causa simple que hace que un elemento no cumpla con las

especificaciones impuestas como una característica de calidad.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Unidad I


Defectuoso (np). Se designa así a todo elemento que presente uno o más defectos (de

igual o diferente clase) con respecto a las características de calidad que se le imponen.

Fracción defectiva (p). relación que existe entre el número de defectuosos de la muestra

con respecto al número de elementos que forman esa muestra.

ú

ú

ú

ú

Gráfica de fracción defectiva “p”

Cuando se gráfica un control por atributos y se toma la producción de un día, es muy común que el

número de elementos producidos no resulte siempre el mismo encontrándose algunas variaciones en

cantidad y por lo tanto lotes de distintos tamaños.

Para elaborar la gráfica “p” se deben de seguir los siguientes pasos:

1. Se hace el registro de los datos, anotando el numero de lote, fecha de su examen, tamaño de

lote, numero de defectuosos encontrados en la muestra o lote y la fracción defectiva.

2. Se calcula la línea central

C=

3. Calcular el tamaño medio de los lotes.

ú

4. Calcular la desviación estándar.

5. Calcular los límites de control

LSC= + 3

LC=

LIC= - 3

6. Construir la gráfica.

Unidad I


Ejemplo 1

= 22857/20= 1142.85

σp= = .0084

LSC= .089 + 3(.0084)= .114

LC= .089

LIC= .089 – 3(.0084) = .063

Ejemplo 2

En una agenda noticiosa se decide registrar durante un periodo de 20 días, en una hoja de

datos, el número de comunicaciones enviadas por fax, señalando cuales de estos tienen

fallas.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico p

Unidad I


99/585= .17

= 585/20= 29.25

σp= = .069

LSC= + 3 = .17 + 3(.069) = .377

LC= = .17

LIC= - 3 = .17 – 3(.069) = 0

Gráfica de defectivos “np”

Esta gráfica es igual a la de fracción defectiva con la variante de que los puntos de la gráfica

corresponden al número de defectuosos np encontrados en cada unos de los lotes, se recomienda

que esta gráfica se utilice únicamente cuando todos los lotes sean del mismo tamaño o de un tamaño

muy aproximado entre sí, (una variación de +- 10% del tamaño medio, pues el valor que

corresponde a la línea central n está en función del tamaño del lote. El valor de la línea central de

la gráfica no se obtiene dividiendo la suma de los defectuosos de todos los lotes entre el número de

lotes revisados o inspeccionados.

LC= n =

ú

El valor de la desviación estándar está dada por:

σn =

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico p

Unidad I


Los límites de control se obtienen aplicando las siguientes fórmulas:

LSC= n + 3 σn LC= LIC= n - 3 σn

Ejemplo 1

En un galvanizado de rondanas entran al proceso lotes de 400 piezas, que se examinan para

determinar defectos superficiales de adherencia de la capa de zinc. En 15 lotes consecutivos se

obtuvieron los siguientes resultados.

Lote Tamaño Defectuosos

1 400 1

2 400 3

3 400 0

4 400 7

5 400 2

6 400 0

7 400 1

8 400 0

9 400 8

10 400 5

11 400 2

12 400 0

13 400 1

14 400 0

15 400 3

∑ 6000 33

LC= 33/15= 2.2

33/ 6000 = .0055

σn = = 1.47

LSC= 2.2 + 3 (1.47) = 6.61

LC= 2.2

LIC= 2.2 – 3(1.47) = -2.21= 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gráfico np

Unidad I


Ejemplo 2

Los datos de la inspección realizada en el departamento de forja de piezas de chapa metálica

aparecen en la tabla adjunta. Elabore la gráfica np de los datos.

Lote Tamaño Defectuosos

1 300 12

2 300 15

3 300 17

4 300 21

5 300 40

6 300 0

7 300 25

8 300 31

9 300 27

10 300 0

11 300 11

12 300 13

Σ 3600 212

LC= np= 212/12= 17.67

212 / 3600 = .059

σn = = 4.07

LSC= 17.67 + 3 (4.07) = 29.9

LC= 17.67

LIC= 17.67 – 3(4.07) = 5.46

Gráfica c o defecto por muestra

Esta gráfica es muy conveniente cuando no existe un tamaño natural del lote, es decir, cuando se

trata de determinar la uniformidad de la calidad sobre iguales longitudes, áreas, o volumen de un

producto.

A diferencia de la gráfica np, que trata el número de defectos en una muestra, la gráfica c estudia el

comportamiento de un proceso considerando el encontrado al inspeccionar una unidad de producto

o servicio.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gráfico np

Unidad I


La gráfica hace uso del hecho que un producto o servicio es aceptable aunque presente cierto

número de defectos. Un automóvil, por ejemplo, funciona aunque tenga el parabrisas estropeado o

su reloj descompuesto.

Algunos de los objetivos de esta gráfica son los siguientes:

Reducir el costo de tener que repetir trabajos.

Informar a los supervisores y a la administración acerca del nivel de calidad.

Determinar qué tipo de defectos no son permisibles en un producto o servicio, e informar

sobre la probabilidad de ocurrencia de defectos en un área o proceso de trabajo.

Las gráficas c deben utilizarse sólo cuando el “área de oportunidad de encontrar defectos”

permanece constante. Esto es, las muestras deben ser todas de la misma área o cantidad, la cual

deberá fijarse de antemano.

LC= =

ú

= LSC= + 3 LC= LSC= - 3

Ejemplo 1

En una producción de placas de fundición para bases, se han encontrado defectos tales como:

grietas, pequeñas cavidades etc. Se han tomado 300 placas consecutivas para trazar la gráfica de

control c, la cual servirá de base para producciones futuras, el resultado fue el siguiente:

Muestra Defectos

1 2

2 0

3 0

4 1

5 1

6 3

7 1

8 3

9 0

10 1

11 3

12 2

13 5

14 1

15 4

16 5

17 0

18 3

19 1

20 2

21 1

22 2

23 3

24 1

25 1

26 2

27 0

28 2

29 1

30 4

Σ 55

55/30 = 1.83

= 1.35

LSC= 1.83 + 3 (1.35) = 5.85

LC= 1.83

LIC= 1.83 – 3 (1.35) = 0

Unidad I


Ejemplo 2

Los siguientes datos muestran los resultados obtenidos al realizar una auditoría de producto

terminado en un proceso cuya salida es muy sofisticada.

Lote Defectos

1 17

2 16

3 16

4 17

5 17

6 18

7 24

8 19

9 19

10 18

11 14

12 15

13 15

14 16

15 20

16 16

17 14

18 16

19 15

20 19

Σ 341

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico c

Gráfico c

341/20 = 17.05

= 4.12

LSC= 17.05 + 3 (4.12) = 29.41

LC= 17.05

LIC= 17.05 – 3 (4.12) = 4.69

Unidad I


Gráfica U o defectos por muestra

Es muy conveniente usar esta gráfica para el caso de que un producto al presentarse o revisarse este

formados por varias unidades normales y para las cuales la inspección cubre más de una

característica.

La gráfica u puede ser usada bajo cada una de las siguientes suposiciones:

Como substituto de la gráfica c cuando el tamaño muestral (constante) contiene más de

una unidad de inspección, y se desea gráficar el número de defectos por unidad de

inspección.

Cuando el tamaño muestral varía, de modo que la gráfica c no puede usarse.

Límites variables usando tamaños muestrales individuales.

Límites constantes usando el promedio del tamaño muestral cuando los tamaños no

difieren grandemente.

Fórmulas

= ú

ú

σ =

LSC= + 3 σ

LC=

LIC= LSC= - 3 σ

Ejemplo 1

= 1288/580 = 2.2

σ .33

LSC= 2.2 + 3 (.33) = 3.19 LIC= 2.2 LSC= 2.2 + 3(.33) = 1.21

Unidad I


Ejemplo 2

La tabla adjunta muestra los resultados de la inspección de 20 lotes de tres tamaños diferentes:

20,25 y 40. Elabore la gráfica u para estos datos.

Lote n c u

1 20 72 3.6

2 20 38 1.9

3 40 76 1.9

4 25 35 1.4

5 25 62 2.48

6 25 81 3.24

7 40 97 2.42

8 40 78 1.95

9 40 103 2.58

10 40 56 1.4

11 25 47 1.88

12 25 55 2.2

13 25 49 1.96

14 25 62 2.48

15 25 71 2.84

16 20 47 2.35

17 20 41 2.05

18 20 52 2.6

19 40 128 3.2

20 40 84 2.1

Σ 580 1334

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico u

Unidad I


= 1334/580 = 2.3

σ .33

LSC= 2.3 + 3 (.33) = 3.3 LIC= 2.3 LSC= 2.3 + 3(.33) = 1.31

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Gráfico u

Unidad I


Referencias bibliográficas

Las 7 Herramientas Básicas de la Calidad, División de Graduados de Investigación Instituto

Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey, 1995.

Unidad I

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