Unidad i Analisis y Valoracion de Operaciones Financieras

8/18/2019 Unidad i Analisis y Valoracion de Operaciones Financieras

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ÍNDICE

UNIDAD I

INTERÉS Y MONTO SIMPLE

1.1. PORCENTAJES 0081.1.

1Cálculo de poce!"#$e% 00&

1.1.'

U!# c#!"(d#d )á% u! poce!"#$e * u!# c#!"(d#d )e!o% u! poce!"#$e 00&

1.1.+.

Ac"(,(d#de% de e!"e!#)(e!"o 01'

1.' PRO-RESIONES 01+

1.'.1.

Poe%(o!e% A(")/"(c#%. 01+

1.'.1.1.

Su)# de u!# poe%(! #(")/"(c# 01

1.'.'.

Poe%(o!e% -eo)/"(c#%. 012

1.'.'.1

3l"()o "/)(!o de u!# poe%(! eo)/"(c# 012

1.'.'.'.

Su)# de u!# poe%(! eo)/"(c# 014

1.+ LO-ARITMOS 015

1.+.

1.

Pop(ed#de% de lo% lo#(")o% 017

1. ECUACIONES 01&

1.2 E$ec(c(o% # e%ol,e 0'0

UNIDAD I

INTERÉS SIMPLE2.1. De6(!(c(! 022

'.'. I!"e/% %()ple e7#c"o * od(!#(o. 0'+

'.+. Cálculo del )o!"o # (!"e/% %()ple 0'5

'.. Cálculo del ,#lo #c"u#l # (!"e/% %()ple 0'&

'.2. Ecu#c(o!e% de ,#lo # (!"e/% %()ple 0+0

'.4 De%cue!"o %()ple 0+1

'.4.

1.

Rede%cue!"o 0+1

'.4.'

De%cue!"o #c(o!#l. 0+1



'.4.+.

De%cue!"o #!c#(o o co)ec(#l 0+'

'.5. Rel#c(! "#%# de (!"e/% * "#%# de de%cue!"o 0+

'.8. EJERCICIOS PROPUESTOS9 0+4

UNIDAD IIINTERÉS Y MONTO COMPUESTO

+.1. De6(!(c(!9 00

+.'. D(6ee!c(# (!"e/% %()ple:(!"e/% co)pue%"o 00

+.+. ;)ul# del )o!"o # (!"e/% co)pue%"o 01

+.+.1.

Cálculo del )o!"o cu#!do e7(%"e pe(odo% de c#p("#l(<#c(! 6#cc(o!#(o% 0

+.. Co!cep"o de "#%#% e=u(,#le!"e% de (!"e/% 02

+..1.

T#%# !o)(!#l #!u#l de (!"e/% 02

+..'.

T#%# e6ec"(,# de (!"e/% 02

+..+.

;)ul# u"(l(<#d# p## c#lcul# l# "#%# !o)(!#l e! "#%# e6ec"(,# o,(ce,e%#

04

+.2 Cálculo de lo% o"o% co)po!e!"e% de l# 6)ul# del )o!"o # (!"e/%co)pue%"o

05

+.2.1.

;)ul# del cálculo del c#p("#l o ,#lo #c"u#l 05

+.2.'.

;)ul# del cálculo del !>)eo de pe?odo% 05

+.2.+.

;)ul# del cálculo de l# "#%# de (!"e/% 08

+.4 Ecu#c(o!e% de ,#lo # (!"e/% co)pue%"o 08

+.5. T(e)po e=u(,#le!"e 020

+.8. E$ec(c(o% Popue%"o% 021

UNIDAD III

RENTAS Y @ O ANUALIDADES.1. A!u#l(d#de% o Re!"#% 054

.1.1.

De6(!(c(! de #!u#l(d#d. 02

.1.'

Alu!o% co!cep"o% 02

Pe?odo de p#o 02Pl#<o de u!# #!u#l(d#d 02

T#%# de l# #!u#l(d#d 022



P#o9 022

Re!"# #!u#l9 022

Re!"#% pepe"u#%: 022

.'. Cl#%(6(c#c(! de l#% #!u#l(d#de%. 022

.'.1. Se>! 6ec#% de (!(c(o * "e)(!#c(! del pl#<o 022

.'.1.1.

A!u#l(d#d c(e"#9 022

.'.1.'.

A!u#l(d#d e,e!"u#l o co!"(!e!"e9 022

.'.'.

Se>! l# 6o)# de p#o9 022

.'.

'.1.

A!u#l(d#d #!"(c(p#d#9 022

.'.'.'.

A!u#l(d#d od(!#(# o ,e!c(d#9 022

.'.'.+.

A!u#l(d#d d(6e(d# 022

.'.+.

Se>! lo% (!"e,#lo% de p#o 024

.'.+.1.

A!u#l(d#d %()ple 024

.'.+.'. A!u#l(d#d e!e#l 024

.+. B#lo de l#% #!u#l(d#de% 024

.+.1.

S()olo?# u"(l(<#d# p## l#% #!u#l(d#de% 024

.. Cálculo del )o!"o o ,#lo 6u"uo de l# #!u#l(d#d 025

.2. Cálculo del ,#lo #c"u#l o pe%e!"e de l# #!u#l(d#d 025

.4. Cálculo del p#o pe(d(co 025

.4.1.

;)ul# del p#o e! 6u!c(! del )o!"o de l# #!u#l(d#d. 025

.4.

'.

;)ul# del p#o e! 6u!c(! del ,#lo #c"u#l de l# #!u#l(d#d. 028

.5. Cálculo del !>)eo de pe?odo% de p#o 028

.5.1.

Cálculo de ! e! 6u!c(! del )o!"o9 028

.5.'.

Cálculo de ! e! 6u!c(! del ,#lo pe%e!"e9 028

.8. Cálculo de l# "#%# de (!"e/% 02&

.&. E$ec(c(o% popue%"o%9 045



.10 A!u#l(d#d A!"(c(p#d# 050

.10.1.

;)ul# p## c#lcul# el )o!"o de u!# #!u#l(d#d #!"(c(p#d#9 050

.10.'.

;)ul# p## c#lcul# el ,#lo pe%e!"e de u!# #!u#l(d#d #!"(c(p#d#9 050

.11 A!u#l(d#d D(6e(d# 05'

.11.1

;)ul# del ,#lo pe%e!"e de l# #!u#l(d#d d(6e(d#. 05+

.1' E$ec(c(o% popue%"o% %oe #!u#l(d#de% #!"(c(p#d#% * d(6e(d#% 05

UNIDAD IB

AMORTIACIN DE CRÉDITOS Y CONSTITUCIN DE ;ONDOS

2.1. A)o"(<#c(! de c/d("o% 054

2.1.1.

Cálculo del ,#lo del p#o pe(d(co 054

2.1.'.

Cálculo del C#p("#l (!%olu"o * co!%"ucc(! de l# "#l# de #)o"(<#c(! 055

2.1.+.

Pe?odo de #c(# 058

2.1..

Deeco% del #ceedo * del deudo 080

2.1.2.

Co!%"ucc(! de "#l#% de #)o"(<#c(! cu#!do %e "#"# de c/d("o% co!cuo"#% (!ce)e!"#le% de u! #o #l %(u(e!"e9

081

2.'. Co!%"("uc(! de 6o!do% o 6o!do% de #)o"(<#c(! 08+

2.'.1.

Cálculo de l#% cuo"#% p## co!%"("u( el 6o!do 08

2.'.'.

Cálculo de l#% cuo"#% p## co!%"("u( el 6o!do cu#!do c#)(# l# "#%# de(!"e/% o el ,#lo del p#o e! c(e"o% pe?odo%.

082

2.+ EJERCICIOS PROPUESTOS 088

UNIDAD IB

FONOS4.1. INTRODUCCION 0&1

4.'. Co!cep"o 0&'

4.+ P#"e% e%e!c(#le% de u!# ol(#c(! o o!o 0&'

;ec# de e)(%(!9 0&'

B#lo !o)(!#l9 0&'

B#lo de ede!c(! 0&'

;ec# de ede!c(! 0&'

T#%# de (!"e/% !o)(!#l9 0&+

Cup!9 0&+



4. ;)ul# de Cálculo del pec(o de u! o!o 0&+

4.2. PRECIO ENTRE ;ECGAS DE PA-OS DE CUPONES 0&5

4.2.1.

Pec(o !e"o o e6ec"(,o de u! o!o 0&8

4.4. Fo!o cup! ceo9 100

4.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 100

UNIDAD IB

BALOR ACTUAL NETO BANH TASA INTERNA DERETORNO TIR.

A!ál(%(% del BAN * TIR

FIFLIO-RA;IA 10+

PRESENTACINEn el mundo contemporáneo donde la modernidad, integración y globalización son sinónimos de

desarrollo y competitiidad unas de las caracter!sticas releantes del mundo globalizado son los

cambios ertiginosos en todos sus ámbitos, en el especial tecnológico, el económico y "inanciero,

los cuales son determinantes en el "uncionamiento cultural de los pa!ses. #s! mismo, las

matemáticas "inancieras eolucionan constantemente, en la medida $ue cambia el escenario sobre el

cual act%an.



&or ello, consciente de la dinámica $ue reiste todo programa acad'mico, este (e)to es un

compendio sobre temas "undamentales del campo de las "inanzas, necesario para entender el mundo

de los negocios. *on este propósito utilizo un lengua+e claro, sencillo, práctico, rico en conceptos,

con una gran cantidad de casos resueltos con el m'todo conceptualaplicatio y aplicando algunas"unciones "inancieras de E)cel.

-a intención de este te)to básico $ue pongo a consideración de los seores estudiantes de la

escuela de /ngenier!a en *ontabilidad y #uditor!a es o"recer una gu!a de estudio en el amplio campo

de las matemáticas "inancieras $ue pueda "acilitar el entendimiento de los principales temas

relacionados a este campo.

&ara "inalizar aspiro $ue la presentación de este (e)to ásico sira de gu!a $ue logre satis"acer los

re$uerimientos de primera mano en lo $ue a cálculo de operaciones "inancieras se re"iere.

UNIDAD IINTERÉS Y MONTO SIMPLE

&reio al desarrollo de temas de este te)to básico, es pertinente y recomendable realizar un breerepaso de conocimientos de matemáticas básicas, en especial de a$uellos $ue se utilizan con más"recuencia en el te)to: el porcenta+e, los logaritmos, las progresiones y sus correspondientesaplicaciones. Esta rápida reisión conceptual y práctica "acilitará la comprensión del contenido deeste material didáctico.

Objetivo general

*onseguir $ue el estudiante est' en condiciones de entender el contenido de las matemáticas"inancieras.

Objetivos específicos

ominar y aplicar el concepto de porcenta+e. &racticar aplicaciones reales de porcenta+e e descuentos. #plicar logaritmos a las ariables n e i. eisar conceptos de progresiones. eisar ecuaciones básicas.

1.1. PORCENTAJES



En matemáticas "inancieras el t'rmino porcenta+e o tanto por ciento se conoce la proporcionalidad$ue se establece en elación con cada cien unidades. *onsiste en e)presar un n%mero como una"racción de 100 3porciento, $ue signi"ica de cada 1006 y se e)presa con el s!mbolo .

*ual$uier n%mero e)presado en "orma decimal puede ser escrito como porcenta+e, colocandosimplemente el punto decimal dos lugares a la derec8a y agregando el s!mbolo, de tal manera

$u':

• 9 signi"ica 9 unidades de cada 100. e e)presa6

100=0,06

• 40 signi"ica 40 unidades de cada 100. e e)presa40

100=0,4o0,40

• 0,5 signi"ica tomar 0,5 unidades de cada 100. e e)presa0.5

100=0,005

El 100 de una cantidad es el mismo n%mero, pues se toma su totalidad. Es decir, el 100 de 90 es90.

1.1.1Cálculo de poce!"#$e%

e utilizarán dos tipos de procedimientos $ue son los más utilizados:

16 ado un porcenta+e respeto de una cantidad, se trata de encontrar el alor resultante. En estecaso se utiliza la regla de tres simple de la siguiente manera el ;0 de 500 por regla de ;simple,erá:

100 500 ;0 <

26 ada la cantidad resultante, se trata de encontrar el porcenta+e respecto de una cantidad. sediide la cantidad resultante entre la cantidad dada, multiplicada por cien, como podemos apreciar a continuación:

a6 =>u' porcenta+e de 900 es 72?

72

600∗100=12

b6 =e $u' cantidad es de 72 el 12?

72

12 =600

1.1.' U!# c#!"(d#d )á% u! poce!"#$e * u!# c#!"(d#d )e!o% u! poce!"#$e



En muc8as ocasiones se desean saber cuál es el resultado directo de una cierta cantidad más un porcenta+e o menos un porcenta+e, tomando en cuenta $ue cual$uiera $ue "uera la cantidad seentenderá $ue está representada por el 100 y $ue a este porcenta+e se aade o se disminuye el

porcenta+e re$uerido seg%n sea el caso.

#s! por e+emplo s! deseamos saber cuál será el alor de @ 400,oo más el 20A se entenderá $ue en

t'rminos de porcenta+e los @ 400 representa el 100 y $ue este 100 se le suma el 20 ytendremos el alor re$uerido, tambi'n podr!amos sacar el resultado multiplicando los 400 por el120 o por 1.2 y tendremos la respuesta $ue en este caso es @ 4B0,oo.

#nálogamente se deseamos saber cual será el alor de @ 400,oo menos el 20A se entenderá $ue ent'rminos de porcenta+e los @ 400 representa el 100 y $ue este 100 se le resta el 20 ytendremos el alor re$uerido, tambi'n podr!amos sacar el resultado multiplicando los 400 por elB0 o por 0.B y tendremos la respuesta $ue en este caso es @ ;20,oo.

E$ec(c(o% e%uel"o%1 El %ueldo á%(co de A e% )#*o =ue el %ueldo á%(co de F e! el '0. S( de%pu/% de u!

"(e)po # A le #u)e!"#! el '2 * # F el +0.# E! =u/ F e% )e!o =ue A #!"e% del #u)e!"o. E! =u/ A e% )#*o o )e!o =ue F de%pu/% del #u)e!"oc E! =u/ F e% )#*o o )e!o =ue A de%pu/% del #u)e!"o

De%#ollo9#ntes de resoler el e+ercicio amos a dar e$uialencias tanto de # como de :1 C 1 sueldo de antes del aumento 3representa el 1006#1 C 1 D 20 C 1.20 1 sueldo de # antes del aumento#2 C 1.20 1 1.25 C 1.50 1 ueldo de # despu's del aumento2 C 1 D ;0 C 1.;0 1 ueldo de despu's del aumento

Fna ez $ue tenemos las e$uialencias resolemos el e+ercicio realizando una regla de tressimpli"icada, es decir en el numerador siempre irá el alor $ue se a a comparar y en eldenominador pondremos el alor con el $ue se compara, as! por e+emplo en el literal a6 el alor $uese a a comparar es y el alor con el $ue se a a comparar es #, a este resultado se le restará el 1$ue representa el 100, si el nueo alor es positio diremos $ue el resultado es mayor $ue y si larespuesta es negatia el resultado es menor $ue, as!:

a6 En $u' es menor $ue # antes del aumento.B1

1.20 B1

−1=(0.833333−1 )=−16.67

igni"ica $ue es menor comparado con # en un 19.97 Re%pue%"#

b6 En $u' # es mayor o menor $ue despu's del aumento

1.50 B1

1.30 B1−1=(1.1538−1 )=15.38

E)presa $ue # es mayor $ue en un 15.;B Re%pue%"#

c6 En $u' es mayor o menor $ue # despu's del aumento



1.30 B1

1.50 B1−1=(0.866667−1 )=−13.33

es menor $ue # despu's del aumento en un 1;.;; Re%pue%"#

' F e% el 5 de AH C e% el 48 de FH D e% el 4 de C# Ku/ de A e% D H =u/ e% D co! el#c(! # A Ku/ de D e% F H =ue e% F co! el#c(! # Dc E! =u/ D e% )#*o o )e!o =ue Ad E! =u/ F e% )#*o o )e!o =ue D

De%#ollo9# igual $ue en el e+ercicio anterior primero se desarrolla las e$uialencias:# C # epresenta el 100 C 0.74# Es el alor de * C0.74#0.9B C 0.50;2# Es el alor de * C 0.50;2#0.94 C 0.;2204B# Es el alor de

a6 >u' de # es A $u' es con relación a #0.322048 A

A =0.322048∗100=32.20

es el ;2.20 de # Re%pue%"#

b6 >u' de es A $ue es con relación a 0.74 A

0.322048 A=2.2978∗100=229.78

es el 22G.7B de Re%pue%"#

c6 En $u' es mayor o menor $ue #

0.322048 A

A −1=(0.322048−1 )=−67.78

es menor $ue # en un 47.7B Re%pue%"#

d6 En $u' es mayor o menor $ue 0.74 A

0.322048 A−1=(2.2978−1 )=129.78

es mayor $ue en un 12G.7B Re%pue%"#

1.1.+ Ac"(,(d#de% de e!"e!#)(e!"o

1 Re%ol,ea 4 de ;00

b B.5 de G00

c G,125 de 1.200d 7,0925 de 10.000



e 19,25 de 20.000" ;0,;; de ;0.000g ;00 de 4.0008 45,25 de 9.000i 0,25 de 5.000

Re%pue%"#%9# 12A b6 79,5A c6 10G,50A d6709,25A e6 ;250A "6 G.0GGA g6 12.000A 86 2.715A i6 12,50

2 =>u' porcenta+e dea 1200 es 240?

b 10.000 es G0?c 50 es 0,40?d 40.000 es 5000?

Re%pue%"#%a6 20A b6 0.G, c6 0.BA d6 12,5

; =e $u' cantidad es

a 12 el ;0? b 20 el 2,5?c ;00 el G,75 ?d 2500 el 4,75 ?e 55 el ; ,125 ?" 1.B00 el 0,05 ?

Re%pue%"#%a6 40A b6 B00A c6 ;.079,G2A d6 52.9;1,5BA e6 1.790A "6 ;.900.000,oo

16 El precio del art!culo # es igual a su n%mero de lista multiplicado por @ 9000A el #rt!culo cuesta; eces más $ue el art!culo #A el art!culo * cuesta 0.5 eces menos $ue el art!culo #. =*uál es el

precio en dólares del art!culo ?A =*uál es el precio en dólares del art!culo *?El n%mero de lista es @ 2G

Re%pue%"#9 4&4.000 pec(o de F H 85.000 pec(o de C

26 es el 20 de #A * es el ;0 de A es el 40 de *

a6 >u' de es b6 >u' de # es c6 >u' de es

Re%pue%"#9 # 1'H '.0H c 8++.++

1.1. Apl(c#c(! de poce!"#$e%

-as aplicaciones más comunes del porcenta+e se dan en los siguientes casos:

escuento por compra al contado escuento por compra al contado con aplicación de impuestos *álculo del porcenta+e del precio de costo



*álculo del porcenta+e sobre el precio de enta

1.1..1 De%cue!"o po co)p# #l co!"#do

i $ueremos calcular el alor de la "actura de enta de una cocina cuyo precio de lista es de @;50,sobre el cual se está o"reciendo el 12 de descuento por enta al contado, lleamos a cabo el

siguiente procedimiento:

P()eo9

@;50 precio de lista 42 12 de descuento 3;506 30,126

@ ;0B

Seu!do9

@;50 310,126 C @;0B

1.1..' De%cue!"o po co)p# #l co!"#do co! #pl(c#c(! de ()pue%"o%

&ara calcular el alor de la "actura de enta de un re"rigerador cuyo precio de lista es de@4B0, sobre el aal se o"rece el 15 de descuento por compra al contado y además, se ledebe aplicar el 10 de impuestos a las entas. El procedimiento es el siguiente:

P()eo9@4B0,00 &recio de lista

72,00 15 de descuento 34B06 30,156 @40B,00 &recio con descuento D 40,B0 10 impuesto a las entas 340B6 30,106 @44B,B0

Seu!do9

4B0,00 310,156C @40B,0040B,B0 31D0,106C @44B,B0

1.1..+ C#lculo del poce!"#$e del pec(o de co%"o

i un comerciante desea calcular el precio de enta de un producto cuyo precio de costo esde @25,00 y del cual desea obtener un bene"icio del 20. e debe realizar el siguiente

procedimiento:

P()eo9

Pec(o de ,e!"# Pec(o de co%"o U"(l(d#d&recio de enta C 25,00 D25,00 30,206



&recio de enta C 25,00 D 5,00&recio de enta C @;0,00

Seu!do9

&recio de enta C 25,00 31D0,206 C @;0,00

#8ora para e)presar la utilidad 8allada en el problema anterior como porcenta+e del precio de costoy del precio de enta, tenemos:

&orcenta+e sobre el precio de costo:

25,00100 356 31006 5,00) )C C '0 25

&orcenta+e sobre el precio de enta:

;0,00100 356 31006 5,00) )C C 1445 ;0

1.1.. Cálculo del poce!"#$e %oe el pec(o de ,e!"#

*on "recuencia, los comerciantes utilizan este procedimiento para calcular el precio de entaal cliente.

E$e)plo9

i se $uiere calcular el precio de un par de zapatos $ue tiene un costo de @12,00 y se busca unautilidad del 25 sobre el precio de enta, se realiza el siguiente procedimiento:

PRECIO DE BENTA PB Pec(o de Co%"o PC U"(l(d#d

PB @ U"(l(d#d PC &H I 30, 25 &H6 C 12, 00

&H 31 0, 256 C 12, 00 &H 30, 756 C 12, 00 12, 00

&HC C @19, 00 0, 75

Ftilidad C &H I &* C 19,00 12,00 C @4,00

1.' PRO-RESIONES

on una sucesión de n%meros algebraicos en la $ue cada t'rmino posterior al primero puedeobtenerse del anterior sumando, multiplicando o diidiendo por una di"erencia o razón com%n.



E)isten dos clases de progresiones, las aritm'ticas y las geom'tricas, a continuación comentaremos breemente de cada una de ellas:

1.'.1. Poe%(o!e% A(")/"(c#%.

Es una sucesión de n%meros, llamados t'rminos, tales como:

a6 5,B, 11,14, 17,20 ,2;

b6 50, 49, 42, ;B, ;4, ;0, 29,22

En las progresiones puestas como e+emplo cual$uier t'rmino posterior al primero debe ser obtenido

del t'rmino anterior, mediante la suma de un n%mero constante llamado di"erencia com%n as!: en #

se tiene 7 t'rminos, el primero es 5 y cada uno de los t'rminos siguientes se obtiene sumando la

di"erencia com%n ; al t'rmino anterior.

En el e+emplo se tiene B t'rminos el primero es 50 y cada uno de los t'rminos siguientes se

obtiene sumando la di"erencia com%n 346 , al t'rmino anterior.

El %ltimo t'rmino buscado está en "unción del n%mero de t'rminos n , por consiguiente se

propone la siguiente "órmula para encontrar el %ltimo t'rmino:u=a+ (n−1 )d

onde:

u=último término

a= primer término

n=númerodetérminos

d=diferenciacomún

#s! por e+emplo para encontrar el t'rmino Jo. 7 del primer e+emplo se tiene $ue:

u=5+ (7−1 ) 3

u=5+18=23

i $ueremos encontrar el t'rmino Jo. B del segundo e+emplo procedemos de la siguiente manera:

u=50+ (8−1)−4

u=50−28=22



1.'.1.1. Su)# de u!# poe%(! #(")/"(c#

-a suma de una progresión aritm'tica puede 8allarse mediante la "órmula, $ue se presenta acontinuación.

S=n

2 (a+u )

E$e)plo 19

Encontrar la suma de los 20 primeros t'rminos de la progresión aritm'tica 12A 1BA 24A ;0AK

S=n

2 (a+u )

&rimero es necesario calcular el %ltimo t'rmino.

a=12;n=20 ;d=6

u=a+ (n−1 )d

u=12+(20−1 ) (6)

u=12+114

u=126

-uego aplicando la "órmula de la suma se tiene

S=n

2 (a+u )

S=20

2 (12+126 )

S=10 (12+126 )

S=10 (138 )

S=1380

E$e)plo '9

Apl(c#c(!

El seor !az compra un e8!culo para su empresa y paga al "inal del primer mes @ 2.000, al "inal

del segundo mes @ 1.G50A al "inal del tercer mes @ 1.G00. =*uánto pagará por el e8!culo si 8ace 1B pagos? 2.000A 1.G50A 1.G00K es una progresión aritm'tica cuya razón es 50



u=a+ (n−1 )d

u=2.000+ (18−1 )∗(−50)

u=2.000+ (18−1 )∗(−50 )

u=2.000−850

u=1.150

S=n

2 (a+u )

S=18

2 (2.000+1.150 )=$ 28.350 Re%pue%"#

1.'.'. Poe%(o!e% -eo)/"(c#%.

Fna progresión geom'trica está constituida por una sucesión de n%meros tales $ue cada uno de ellosse deria del anterior multiplicándolo o diidi'ndole por una cantidad constante llamada razón o"actor de la progresión#s!:

• 4A BA 19A ;2A 94A 12BAKes una progresión geom'trica ascendente cuya razón es 2.

• 500A 250A 125A 92.50A ;1.25A 15,925A 7,B125K es una progresión geom'trica descendentecuya razón es 0,5

1.'.'.1 3l"()o "/)(!o de u!# poe%(! eo)/"(c#

-a "órmula para encontrar el %ltimo t'rmino de una progresión geom'trica es la siguiente:

u=a∗rn−1

onde:

uC %ltimo t'rminoaC primer t'rminorC razón o "actor nC n%mero de t'rminos

E$e)plo +9

*alcular el t'rmino n%mero 10 de la siguiente progresión2A 9A 1BA 54AKK



De%#ollo9#plicando la "órmula se tiene

u=2∗310−1

u=2∗39

u=2∗19.683

u=39.366 Re%pue%"#

1.'.'.'. Su)# de u!# poe%(! eo)/"(c#

&ara esta operación tenemos dos "órmulas y son las siguientes:

s=a∗r

n−a

r−1 Lórmula se aplica cuando la razón de la progresión es mayor $ue 1

s=a−a∗r

n

1−r Lórmula se aplica cuando la razón de la progresión es menor $ue 1

E$e)plo 9

Encontrar la suma de los 10 primeros t'rminos del e+ercicio anterior:

De%#ollo9

e aplica la "órmula cuya razón es mayor $ue 1:

s=2∗3

10−2

3−1

s=118098−2

2

s=59.048 Re%pue%"#

E$e)plo 29

Encontrar la suma de los 10 primeros t'rminos de la siguiente progresión:

1000A 500A 250A 125AK



e aplica la "órmula cuya razón es menor $ue 1:

s=a−a∗r

n

1−r

s=1000−1000∗0.5

10

1−0.5

s=1000−0.9765625

0.5

s=1.998,05 Re%pue%"#

1.+ LO-ARITMOS

Fna de las aplicaciones en la resolución de casos relacionados con las matemáticas "inancieras es la

aplicación de los logaritmos.

El logaritmo proiene de una operación conocida $ue es la po"e!c(#c(! si decimos $ue 23=8

entonces se tiene $ue log .82=3 con esto demostramos $ue de la potenciación sale la

logaritmación, la base de la potencia $ue es 2 se conierte tambi'n en base del logaritmo, al B en la

potenciación lo denominamos potencia mientras $ue en tema de logaritmos se llama n%mero dellogaritmo, en la potenciación al ; lo denominamos e)ponente y en la logaritmación se llama

logaritmo por consiguiente:

El logaritmo de un n%mero en una base determinada es el e)ponente al cual 8ay $ue elear la base

para obtener el n%mero. Es la "unción matemática inersa de la "unción e)ponencial.

1.+.1. Pop(ed#de% de lo% lo#(")o%

El logaritmo de un producto de dos o más n%meros positios es igual a la suma de los

logaritmos de dic8os n%meros. 3#636 C -og # D -og

El logaritmo del cociente de dos n%meros positios es igual al logaritmo del numerador

menos el logaritmo del denominador. -og. #M C log # I log .

El logaritmo de una potencia de un n%mero positio es igual al producto del logaritmo del

n%mero multiplicado por el e)ponente de la potencia. log . An=n∗log . A



El cologaritmo de un n%mero es igual al logaritmo de su rec!proco, se utiliza para calcular el

logaritmo de un n%mero decimal menor $ue 1 o cuando el signo menos asoma delante de un

logaritmo.

E$e)plo 9*alcular ( de

(1+i )10=2,367363675

olución:

#plicando una de las propiedades de logaritmos a ambos miembros se tiene.

10∗log (1+i )=log2,367363675

log (1+ i )=log2,367363675

10

log (1+ i )=0.374264979

10

log (1+ i )=0.037416497

*omo el resultado es menor $ue 1 entonces aplico antilogaritmo para seguir con el e+ercicio y se

tiene:1+i=1.09

luego el 1 $ue está sumando a i pasa al otro membro de la ecuación restando as!:

i=1.09−1=0.09=9 Re%pue%"#

E$e)plo 5.

*alcular el alor de n de

(1+0.09 )n=2,367363675

esolución:

n∗log (1.09)=log2.367363675

n=log2.367363675

log (1.09)

n=0.374264979

0.037426497

n=10 Re%pue%"#



1. ECUACIONES

Fna ecuación es una (u#ld#d entre dos e)presiones algebraicas, denominadas miembros ot'rminos, en las $ue aparecen alores o datos conocidos y desconocidos denominados tambi'n

incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

-os alores conocidos com%nmente son n%meros a las incógnitas generalmente se representa conletras, constituyen los alores $ue se pretende 8allar.

E$e)plo

esoler la siguiente ecuación: 4 x−1=11+ x

-a e)presión de la iz$uierda del igual se le llama primer miembro y la e)presión del lado derec8o

del igual se llama segundo mimbro de la ecuación

-a ariable representa la incógnita, mientras $ue el coe"iciente 4 y los n%meros 1 y 11 sonconstantes conocidas. -a igualdad planteada por una ecuación será cierta o "alsa dependiendo de losalores num'ricos $ue tomen ambos miembrosA se puede a"irmar entonces $ue una ecuación esuna igualdad condicional, en la $ue solo ciertos alores de las ariables la 8acen cierta.

&ara el e+emplo propuesto se tiene:

4 x−1=11+ x

4 x− x=11+1

3 x=12

x=12

3 =4 Re%pue%"#

Jota : recuerde $ue al trasladarse los elementos de la ecuación de un lado al otro del igual, pasansiempre realizando la operación aritm'tica contraria a la indicada en el sitio original as! por e+emplo

si está restando pasa sumando, si está multiplicando pasa diidiendo etc.

1.2. E$ec(c(o% # e%ol,e

1 Encuentre el t'rmino Jro. 10 y la suma de los 10 primeros t'rminos de las siguientes

progresiones aritm'ticas:a6 ;A 5A 7AK

b6 20A 24A 2BAK



c6 50A 95A B0AKd6 45A 42A ;GAKe6 90A 54A 4BAK

Re%pue%"#%9 a6 21 y 120 b6 59 y ;B0 c6 1B5 y 1175 d6 1B y ;15 e6 9 y ;;0

2 Encuentre el t'rmino Jro. 10 y la suma de los 10 primeros t'rminos de las siguientes progresiones geom'tricas:a6 ;A 9A 12AK

b6 4A 4.B0A 5.79AKc6 10.000A 5.000A 2.500AKd6 12A 1BA 27AKe6 20.000A 5.000A 1.250AK

Re%pue%"#%9 a6 1.5;9 y ;.09G b6 20,94 y 10;,B; c6 1G,5; y 1G.GB0,47 d6 491,;2 y1.;5G,G9 e6 0.0B y 29.999,94

; *alcule i de los siguientes problemas:

a6 (1+i )160 C2;,79GG09G9

b6 (1+i )80 C2,219715217

c6 (1+i )18 C;,975B040BG

d6 (1+i )12 C2,BG1091919

e6 (1+i )

−12

C0.1;721G525Re%pue%"#%9 a6 2 b6 1 c6 7.5 d6 G.25 e6 1B

4 *alcule n de los siguientes problemas:

a¿ (1+0.12 )n CBG7,90

b

¿ (1+0,09 ) ¿n C22,2512250;

c¿ (1+0,045) ¿n C2,20B47B799

d

¿ (1+0,075) ¿n C2,;B177G5GG

e

¿ (1+0,06 ) ¿−n C0,704G9054

Re%pue%"#%9 a6 90A b6 ;9A c6 1BA d6 12A e6 9



UNIDAD IINTERÉS SIMPLE

En la presente unidad se estudiarán algunos conceptos de lo que signifca el

interés simple, con sus dierentes variables: tasa de interés, tiempo, capital,

monto y sus aplicaciones en el campo de la economía y las fnanzas.Objetivo general

#prender a calcular el inter's simple en sus di"erentes "ormas y realizar aplicaciones prácticas en el d!a a d!a de los negocios.

Objetivos específicos

E)plicar los conceptos de inter's simple, tiempo, capital, monto, alor actual, inter's,descuento y ecuaciones de alores e$uialente.

E)plicar la di"erencia entre descuento real y descuento comercial, y tiempo real y tiempoapro)imado.

esoler e+emplos de cálculos de tasa, tiempo, capital, monto, alor actual y descuento a

inter's simple. esoler e+emplos de ecuaciones de alores e$uialentes a inter's simple.

'.1. De6(!(c(!

El inter's es el alor del dinero obtenido por el al$uiler de un capital en "unción de una tasa deinter's y el tiempo transcurrido de dic8o al$uiler. El dinero, como cual$uier bien, tiene un precio$ue es el inter's. Nste es el pago por el uso del dinero a+eno y se e)presa con la letra /.

Es el alor $ue se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo $ue dura una

inersión se deben %nicamente al capital inicial. *uando se utiliza el inter's simple, los interesesson calculados "unción %nicamente del capital principal, la tasa de inter's y el tiempo transcurrido.

e las de"iniciones e)puestas se deduce $ue el inter's está directamente relacionado con lautilización del dinero, $ue está siempre produciendo más alor, en "unción del tipo de inter's y deltiempo. En consecuencia, se puede indicar $ue inter's es el alor $ue se paga por el uso del dinero.

u "órmula está dada por:

I =C ∗i∗t

espe+ado las ariables *apital, (asa y (iempo se obtiene:

C = I

i∗t

i= I C ∗t

∗100



t = I

C ∗i

onde:

/ C Es el inter's simple * C Es el capital

i C Es la tasa de inter's e)presada en porcenta+e o en decimales

t C Es el tiempo e)presado en aos

E7o"#c(!9

Es usual e)presar la tasa de inter's en periodos $ue no son anuales. *uando se trata de inter'ssimple sencillamente diida 'ste entre el n%mero de periodos por ao. &or e+emplo, para obtener latasa de inter's mensual sólo diida entre 12. O si es diaria se diidirá para ;90 o ;95 seg%n sea elcaso.*abe 8acer notar $ue la tasa de inter's y el plazo tienen $ue estar en las mismas unidades de tiempo.

'.'. I!"e/% %()ple e7#c"o * od(!#(o.

Fna de las caracter!sticas de la actualidad es la prisa con la $ue cambian las cosas, y el campo de las"inanzas no es la e)cepción. Es asombroso er cómo los eentos nacionales e internacionalesin"luyen sobremanera en las tasas de inter's $ue o"recen los bancos e instituciones "inancieras.

Esta dinámica da lugar a $ue las inersiones a plazo "i+o, las pólizas por e+emplo, se o"recen con periodos más cortos de lo $ue "ueron en tiempos pasados. -os plazos a8ora se eal%an en d!as y noen meses u otras unidades como antes, en estas condiciones los cálculos operatios se realizan por lo menos en cuatro "ormas distintas, como se demuestra a continuación.

#l ealuar las tasas de inter's o de descuento por d!a, el ao puede ser considerado de ;90 o ;95d!as. #l primer caso se le llama inter's simple ordinario o comercial y al segundo inter's simplee)acto o calendario.

El plazo tambi'n se eal%a de dos maneras:a6 *on tiempo real o e)acto, si se contabilizan los d!as naturales entre las "ec8as inicial y

terminal. b6 *on tiempo apro)imado si todos los meses son considerados $ue contienen ;0 d!as.

e debe tomar en cuenta $ue cuando no se especi"i$ue lo contrario, el inter's o el descuento seránealuados como simple comercial con tiempo apro)imado.

EPEQ&-R 1:

*alcular el inter's simple ba+o las cuatro modalidades e)plicadas anteriormente, $ue gana un [email protected],oo $ue se presta el 1 de marzo del 2012 y su plazo de encimiento es el 25 de noiembre



del mismo ao, si la tasa de inter's anual es del 12 anual.

esarrollo

&rimeramente se procede a calcular el tiempo e)acto y el tiempo apro)imado:

# Ao co)ec(#l "(e)po e7#c"o

#(R*apital 10.000(asa 12 anual(iempo 3e)acto6 29G d!as#o 3comercial6 ;90 d!as

I =C ∗i∗t

I =10.000∗0.12∗269

360

I =$ 896,67 Re%pue%"#

Ao co)ec(#l "(e)po #po7()#do#(R*apital 10.000(asa 12 anual(iempo 3apro)imado6 294 d!as#o 3comercial6 ;90 d!as

I =C ∗i∗t

I =10.000∗

0.12∗

264360



I =$ 880 Re%pue%"#

c Ao c#le!d#(o e7#c"o "(e)po e7#c"o

#(R*apital 10.000(asa 12 anual(iempo 3e)acto6 29G d!as#o 3calendario6 ;95 d!as

I =C ∗i∗t

I =

10.000∗0.12∗269

365

I =$ 884,38 Re%pue%"#

d Ao c#le!d#(o e7#c"o "(e)po #po7()#do

#(R

*apital 10.000(asa 12 anual(iempo 3apro)imado6 294 d!as#o 3calendario6 ;95 d!as

I =C ∗i∗t

I =10.000∗0.12∗264

365

I =$ 867,95 Re%pue%"#

ealizando un análisis de los resultados nos damos cuenta $ue la opción más "aorable para los bancos e instituciones "inancieras $ue prestan dinero es más coneniente traba+ar con la opción a6ao comercial y tiempo e)acto. En cambio para los $ue reciben el dinero prestado les conieneutilizar la opción d6 ao calendario tiempo apro)imado.

EJEMPLO '9

*alcular el capital $ue produ+o un inter's de @4.500 en 120 d!as a una tasa del G



esarrollo:#ntes de resoler recuerde $ue se debe tomar en cuenta $ue cuando no se especi"i$ue lo contrario,el inter's o el descuento serán ealuados como simple comercial con tiempo apro)imado.

#(R*apital ?

(asa 0.0G anual(iempo 120 d!as/ @4.500

C = I

i∗t

360

C = 4.500

0.09∗120

360

C = 4.500

0.09∗120

360

C =4.500

0.03

C =4.5000.03

C =$150.000 Re%pue%"#

EJEMPLO +9

*on los datos del e+ercicio calcular la tasa de inter's

#(R*apital @150.000(asa ? anual(iempo 120 d!as/ @4.500



i= I

C ∗t ∗100

i= 4.500

150.000∗120

360

∗100

i= 4.500

50.000∗100

i= 4.500

50.000∗100

i=9 anual Re%pue%"#

EJEMPLO 9

*on los datos del e+ercicio calcular el tiempo en d!as#(R*apital @150.000(asa 0.0G(iempo ? d!as

/ @4.500

t = I

C ∗i∗360

t = 4.500

150.000∗0.09∗360

t = 4.50013.500

∗360

t =0.3333333∗360

t =120días Re%pue%"#

'.+. Cálculo del )o!"o # (!"e/% %()ple



El monto a inter's simple es la suma del capital original más los intereses generados en eltranscurso del tiempo y a una tasa. e representa con la letra Q. -a "órmula es: M =C + I

i remplazamos a la "órmula de inter's simple tenemos: M =C +Cit E)trayendo el "actor com%n $ueda as!:

M =C (1+it ) $ue es la "órmula del monto a inter's simple

EPEQ&-R 5:*alcular el monto $ue genera un capital de @15.000 colocado a una tasa del 14 anual, si "ue

prestado el 14 de abril y el plazo de encimiento es el 14 de diciembre.De%#ollo9En esta caracter!stica de e+ercicio se debe aplicar el tiempo e)acto y ao comercial, por consiguiente

procedemos a calcular el tiempo:

#(R*apital @15.000(asa 14 anual(iempo 3e)acto6 244 d!as

M =C (1+it )

M =15.000∗

(1+ 0.14

∗244

360 ) M =15.000∗(1,094888889 )

M =$16.423,33 Re%pue%"#

'.. Cálculo del ,#lo #c"u#l # (!"e/% %()ple1

1 Qatemáticas "inancieras #rmando Qora Sambrano ;ra. Edición p. 5;



Halor actual o alor presente de un documento o deuda es el capital calculado en una "ec8a anterior a la del encimiento del documento, deuda o pago. e representa con la letra *.Halor actual o presente de una suma, con encimiento en una "ec8a "utura, es a$uel $ue, a una tasadada y en un per!odo de tiempo determinado 8asta la "ec8a de encimiento, alcanzará un alor iguala la suma debida.Estas de"iniciones resumen el concepto de alor actual y establecen $ue el tiempo "altante para elencimiento de un documento "inanciero o deuda es el $ue interesa, y el $ue debe tomarse en cuenta

para el cálculo.educción de la "órmula del alor actuale deduce de la "órmula del monto a inter's simple, Q C * 31 D it6, de la cual se despe+a *.

C = M

(1+it )

C = M ∗(1+it )−1

*ual$uiera de las dos "órmulas tiene el mismo signi"icado

EPEQ&-R 9:

*alcular el Halor actual de un monto de @ 25.000 $ue "ue prestado 8ace 150 d!as a una tasa deinter's del 1.5 mensual

#(RQonto @25.000(asa 1.5 mensual(iempo 150 d!asHalor #ctual ?

C = M ∗(1+it )−1

C =25.000∗(1+ 0.015∗150

30 )−1

C =25.000∗0.930232558

C =$ 23.255,81 Re%pue%"#

Hale la pena aclarar una ez más $ue la tasa de inter's debe guardar relación con el tiempo, en el

presente e+emplo la tasa de inter's es mensual por ende el tiempo tambi'n está en meses.



'.2. Ecu#c(o!e% de ,#lo # (!"e/% %()ple

ecordemos $ue una ecuación es una igualdad entre dos e)presiones algebraicas,denominadas miembros o t'rminos, en las $ue aparecen alores o datos conocidos y desconocidos

denominados tambi'n incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

-as ecuaciones de alor son utilizadas para la resolución de problemas de matemáticas "inancierasen las cuales se remplaza un con+unto de obligaciones conocidas, con di"erentes "ec8as deencimiento, por una o arias obligaciones propuestas con otra 3s6 "ec8as 3s6 de re"erencia, en basea un acuerdo entre $uien presta y $uien recibe prestado.&ara resolución de estas ecuaciones es necesario relacionar las di"erentes "ec8as de encimiento conuna "ec8a de re"erencia llamada 6oc#l.

(ambi'n es necesario tomar en cuenta la tasa de inter's a la $ue se transa las nueas obligaciones$ue para entendimiento didáctico le llamaremos tasa de inter's "ocal.

EJEMPLO 59

El octor ómulo amos tiene las siguientes deudas: @ 5.000 con encimiento en 14 mesesA unasegunda deuda de @ 4.000 con encimiento en 12 meses y una tercera deuda de @;.000 conencimiento en B mesesA propone remplazar estas deudas con tres pagos iguales con encimiento en;, 9 y G meses respectiamente. =e cuánto serán estos pagos si se transa a una tasa del 12 anual .(omar como "ec8a "ocal G meses:

esolución:

*omo podemos analizar son tres deudas antiguas $ue an a ser remplazadas por tres deudasnueas, con una "ec8a "ocal y un inter's, con estas consideraciones planteamos la ecuación:

-a t'cnica utilizada en la resolución de este e+ercicio consiste en ir restando los di"erentes plazos deencimiento con el plazo de la "ec8a "ocal, si la di"erencia es positia calculamos monto, si ladi"erencia es negatia calculamos alor presente o alor actual y si la di"erencia es cero nocalculamos nada y el alor $ueda como está de la siguiente manera:

x

(1+

0.12∗6

12

)+ x

(1+

0.12∗3

12

)+ x=5000

(1+

.012∗5

12

)

−1

+4000

(1+

.012∗3

12

)

−1

+3000

(1+

0.12∗1

12

)



1.06 x+1.03 x+ x=4.761,90+3.883,50+3.030,oo

3.09 x=11.675,40

x=11.675,40

3.09

x=$3.778,45 Es el alor de cada uno de los tres pagos a realizarse en las "ec8as indicadas R.

'.4. De%cue!"o %()ple

El descuento simple es una operación "inanciera $ue consiste en ad$uirir un t!tulo de cr'dito en unaentidad "inanciera antes de su encimiento para $ue 'sta anticipe su importe y gestione su cobro. Eltenedor cede el t!tulo al banco y 'ste le abona su importe en dinero, descontando el alor cobrado

por los sericios prestados $ue generalmente se denomina tasa de descuento.

Es la acción de recibir o pagar un alor 8oy, a cambio de una suma mayor $ue ence en "ec8a"utura, seg%n las condiciones conenidas en el documento negociable.

'.4.1. Rede%cue!"o

Es una operación "inanciera mediante la cual un banco de mayor solidez p%blico o un priado, ledescuenta a otros bancos comerciales documentados negociables, descontados por ellos conanterioridad con una determinada tasa de inter's o tasa de descuento , mayor o menor, dependiendode la pol!tica crediticia del momento y del dinero circulante en la econom!a de un pa!s.&ara nuestro estudio e)isten dos tipos de descuentos:

'.4.' De%cue!"o #c(o!#l.

Es la di"erencia del monto o alor al encimiento de una deuda, con su alor actual. -a base decálculo es el alor nominal del documento. El escuento acional, es igual al /nter's imple, con ladi"erencia de $ue el inter's simple se paga al encimiento, y el descuento racional, es pagado por anticipado.

&ara el cálculo del descuento racional primeramente se debe buscar el alor actual para luegorestarlo del monto o alor nominal, su "órmula es:

Dr= Monto−alor Actual



Dr= M −C

Dr= M − M ∗(1+it )−1

/QR-RT/#:

r C escuento acional

* C Halor #ctual o &rincipal

t C (iempo

i C (asa de /nter's.

'.4.+. De%cue!"o #!c#(o o co)ec(#l

Es el inter's $ue se paga por anticipado, calculado sobre el monto, alor nominal o alor alencimiento a una tasa de descuento pactada, por el per!odo transcurrido entre la "ec8a de descuentoy la "ec8a de encimiento. El descuento bancario o comercial, se utiliza en el sistema bancario.*omo base para el cálculo del tiempo se toman ;90 d!as, su "órmula es: Db= M ∗d∗t

/QR-RT/#:

b C escuento ancario

Q C Qonto o alor al encimiento

t C (iempo

d C (asa de escuento

*b C Halor -i$uido.

-a "órmula del alor actual con descuento racional será la siguiente:

C b= M − Db

C b= M − M ∗d∗t

E)trayendo el "actor com%n se tiene entonces:



C b= M ∗[1− (d∗t ) ]

EJEMPLO 89

Fna letra de cambio por alor de @ ;00.000 pagaderos al encimiento, "ue emitida el ; de marzo yence el ;0 de diciembre del 2012. El tenedor 8a preisto $ue el pró)imo 1B de septiembre, acudiráa un banco del sistema a descontar el documento, a una tasa del 1B anual. =e cuánto será elimporte del descuento y del alor l!$uido a recibir aplicando a6 descuento racional y b6 descuento

bancario?

esarrollo:

*alculamos el tiempo transcurrido entre el ; de marzo y el ;0 de diciembre "ec8a de la "irma deldocumento, luego calculamos el tiempo $ue e)iste entre el 1B de septiembre y el ;0 de diciembre"ec8a en la $ue se produce el descuento del documento:

# #plicando descuento racional se tiene:

#(RQonto @;00.000(asa de inter's 1B anual(iempo 10; d!asHalor #ctual ?escuento racional ?

C r= M ∗(1+it )−1

C r=300.000∗

(1+

0.18∗103

360

)

−1



C r=300.000∗0.951022349

C r=$285.306,70 B#lo #c"u#l co! de%cue!"o #c(o!#l R.

Dr= M − M ∗(1+it )−1

Dr=300.000−285306,70

Dr=$14.693,30 B#lo del de%cue!"o #c(o!#l R.

#plicando descuento bancario o comercial se tiene:

#(Ra6 Qonto @;00.000

b6 (asa de descuento1B anualc6 (iempo 10; d!asd6 Halor #ctual ?e6 escuento racional ?

C b= M ∗[1− (d∗t ) ]

C b=300.000∗[1−( 0.18∗103360 )]C b=300.000∗0.9485

C b=$ 284.550 B#lo #c"u#l # u!# "#%# de de%cue!"o R.

Db=300.000∗0.18∗103

360

Db=300.000∗0.0515

Db=$15.450 B#lo del de%cue!"o #!c#(o R

'.5. Rel#c(! "#%# de (!"e/% * "#%# de de%cue!"o

*omo se di+o anteriormente la tasa de inter's se utiliza para el cálculo del descuento racional o

matemático y se representa por la letra i:En cambio la tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento comercial o bancario se aplicasobre el alor al encimiento o alor nominal y se representa por la letra d.



Esta relación puede demostrando "ormando una ecuación entre la "órmula del alor actual de la tasade descuento con la "órmula del alor actual a una tasa de inter's.

M = C

1−dt =C + I

emplazando / se tiene:C

1−dt =C +Cit

Cit = C

1−dt −C

Cit =C −C (1−dt )

1−dt

Cit =C [1−(1−dt ) ]

1−dt

it =1−1+dt

1−dt

i= d

1−dt E%"# e% l# 6)ul# p## c#lcul# l# "#%# de (!"e/% co!oc(e!do l# "#%# de

de%cue!"o

e manera id'ntica procedemos para el cálculo de la tasa de descuento conociendo la tasa deinter's:

C

1−dt =C (1+ it )

i simpli"icamos * y despe+amos 1dt se tiene

1−dt = 1

1+it

−dt = 1

1+it −1

*ambiamos de signo a toda le ecuación

dt =1− 1

1+it

dt =1 (1+it )−1

1+it

dt =1+ it −1

1+it



d= i

1+it E%"# e% l# 6)ul# p## c#lcul# l# "#%# de de%cue!"o co!oc(e!do l# "#%# de

(!"e/%

“Nunca consideres el estudio como una obligación sino como una oportunidad para penetrar en

el bello y maravilloso mundo del saber” Ale" E(!%"e(!

'.8. EJERCICIOS PROPUESTOS9

1. =>u' capital produce @2,900 por concepto de intereses en 20 meses al 1B simple anual? R.8.44445

2. =En cuántos d!as un capital de @;0.000 produce intereses de @B00 si se inierte al 12 simpleanual? R. 80 d?#%

;. *alcule el /nter's $ue gana un capital de @ 20.900,00 a una tasa de inter's del 14 anual durante270 d!as. R. '.14+

4. *alcule el inter's $ue gana un capital de @ 100.000a una tasa de inter's del G anual desde el 15de abril 8asta el 15 de diciembre del mismo ao, seg%n las siguientes opciones y luego comentelos di"erentes resultados: a6 con el tiempo apro)imado y el ao comercial, b6 con el tiempoe)acto y el ao comercial, c6 con el tiempo apro)imado ao calendario, d6 con el tiempo e)acto yel ao calendario. R.# 4.000oo 4.100oo c 2.&1581 d 4.014

5. En $u' tiempo se conertirá en @ 5;.000,oo un capital de @ 50.000,00, colocado a de inter's del

1,5 mensual R. 1'0 d?#%

9. =*uál es la tasa de inter's simple anual, si un capital de @ 10.000 genera @ ;;4,0; de intereses en95 d!as? R. 18.2 #!u#l

7. # $u' tasa de inter's anual se colocó un capital de @ B.000,00 para $ue se conierta @B.9;0 en210 d!as? R. 1+20 #!u#l

B. =# $ue tasa de inter's mensual un capital de @ 1.B00,00 se incrementará un 20 más en ;00d!as? R. ' )e!%u#l.

G. =En cuánto tiempo se duplica un capital $ue se inierte con un tipo de inter's del ;0 simpleanual? R. 1.'00 d?#% o + #o% co! )e%e%.

10. En la siguiente tabla se dan algunos datos. Rbtenga los $ue "alten y calcule los intereses.



11. =*uál "ue el capital $ue colocado a una tasa de inter's del 11 anual, duran 200 d!as, produ+o uninter's de @ 1.125? R. 18.0&10

12. ómulo otorga a -uis un pr'stamo por @ 2.500,00, con encimiento en ;00 d!as, a una tasa deinter's del 12 anual desde su suscripción. i -uis paga su deuda G0 d!as antes de la "ec8a de

encimiento, a la misma tasa de inter's, calcule cuál ser!a el alor del pago. R. '.44&&01;. e necesita conocer cuál "ue la suma de dinero $ue, colocada a una tasa de inter's del B

semestral, produ+o @ 150 en 10 meses. R. 1.1'2

14. El 15 de +unio una persona recibe una letra de cambio por @ 2.500, a 240 d!as de plazo y a unatasa de inter's del 1,4 mensual desde la suscripción. *alcule cuál será su alor actual al ;1 deoctubre del mismo ao, si se reconoce una tasa de inter's del 1,5 mensual. R. '.4210

15. =*uál de las siguientes opciones de grati"icación coniene más a los intereses de un empleado?

a. ecibir a8ora @5775. b. ecibir @;000 a8ora y otros @;000 en dos meses.c. ecibir tres pagos de @ 2100 cada uno a ;0, 90 y G0 d!as.

uponga $ue la inersión gana una tasa de inter's del ;2 anual R. l# "ece#

19. e compra una computadora cuyo precio de contado es de @ 2000 y se li$uida con un anticipo yotro pago a los 2 meses por @ 1200. =e cuánto es el anticipo si se tienen cargos del 1B simpleanual? R. 8+&2

17. *alcule el alor actual de una letra de cambio suscrita por @;.900,00 a 1B0 d!as de plazo, si sedescontó G0 d!as antes de su encimiento, a una tasa de inter's del 14 anual. R. +.58'4

1B. *alcular el descuento racional de un documento negociable de @4.000,00, suscrita el 25 de +unio a 210 d!as de plazo , con una tasa del 1,5 mensual ,desde su suscripción, si se descontó el15 de septiembre del mismo ao a una tasa del 22 anual. R. +'044.

1G. *alcule el descuento bancario de un pagar' de @B.000, suscrita a 120 d!as de plazo, si "uedescontado ;0 d!as antes de su encimiento, con una tasa de descuento del G anual. R. 40



20. *alcule el alor e"ectio de una letra de cambio por @7.500, suscrito a 150 d!as de plazo, si sedescuenta G0 d!as despu's de la "ec8a de suscripción a una tasa de descuento del 19 anual. R 5.+00

21. Fna letra de cambio de @17.000, suscrito el 02 de mayo a 1B0 d!as de plazo ,con una tasa deinter's del 10 anual desde su suscripción ,es descontado el 05 de agosto del mismo ao a unatasa de descuento del 12 anualA calcule a6 el descuento bancario y b6 el alor e"ectio, a la"ec8a del descuento. R # 20251H 15.+'2

22. # $u' tasa mensual de descuento es e$uialente a una tasa de inter's del ; mensual durante210 d!as. R. '5&+

2;. *arlos descuenta en un banco una letra de cambio de @12.000, suscrita a 270 d!as de plazo, 120

d!as antes de su encimiento, a una tasa de descuento del 12 anual. espu's de un mes de laoperación de descuento, el banco la redescuenta ganando dos puntos porcentuales, en el anco Jacional de Lomento .e pide calcular el alor $ue reciben el deudor y el anco $ueredescuenta. R 11.2'0H 11.500.

24. Ernesto solicita a un banco un pr'stamo de @5.000 a 210 d!as de plazo, con una tasa dedescuento del 15 anual. =calcule el alor e"ectio $ue el banco acredita en la cuenta deErnesto? R. .24'20

25. =*uánto dinero debe solicitar el r. ómulo amos a un banco, en calidad de pr'stamo a unatasa de inter's del 19 anual, si 8oy re$uiere @;.900 pagaderos en 150 d!as de plazo? R. +.80

29. =*uánto dinero debe solicitar el r. ustamante a una institución "inanciera, a una tasa dedescuento del 12 anual, si re$uiere @ 2.500 pagaderos en 1B0 d!as de plazo? R. '.42&25

27. oberto 8a "irmado tres documentos: el primero, de @ 10.000, a 4 mesesde plazo con una tasa de inter's del 1.5 mensualA el segundo, de @ 1B.000 a150 d!as de plazo, a una tasa del 1,B mensual y el tercero, de @ 24.000, a 210d!as de plazo, a una tasa del 1B anual. oberto desea reemplazar las tres deudas por una sola

pagadera al "inal de 10 meses. =*uál será el alor del nueo documento, si se considera una tasa

de inter's del 2 mensual? R. 41.242'0

2B. &edro tiene las siguientes deudas:@2.500 con encimiento en 90 d!asA @5.000 con encimiento en120 d!asA @7.500 con encimiento en B meses y @10.000 $ue ence en 10 meses. esea saldar sus deudas con dos pagos iguales a los 9 y a los 12 meses, respectiamente, con una tasa deinter's del 12 anual. e pide calcular el alor de de los dos pagos iguales, considere la "ec8a"ocal a los a los 9 meses. R 1'.4&+1



2G. osita desea reemplazar tres deudas de @ 7.500A @ 15.000A y @ ;0.000 a 4, B, y 12 meses plazorespectiamente, por un solo pago en 12 meses, considerando una tasa de inter's del 15 anual.R. 2.000

;0. esoler el e+ercicio anterior suponiendo $ue el pago se lo 8ace al "inalizar los B meses R

21.4+.

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