UNIDAD I. DIFERENCIALES E INTEGRAL

DEFINIDA

TEMA II. LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO

Como se ha señalado una variable continua presenta su posibilidad de cambio como

cualidad esencial y particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se

define la diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad:

;

O bien:

Hasta este punto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta

ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su

definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando se analiza lo que

ocurre en una función.

Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y ésta

aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se

aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura 2.

De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la

función dada en el punto x0 resulta ser: y – y0 = f ´(x0) (x – x0).

Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que

conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa

la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx =(x – x0)→0,

Fig. 2: Aproximación lineal de una función en un punto

LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO

Fig. 1

y -f(c) = f´(c) (x-c)

y = f(c) + f´(c)(x-c)

es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma

forma se puede observar que Δy =y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta

tangente resulta:

dy = f´(x0) dx

Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su

significado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar que en la notación

diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar a

partir de 𝒅𝒚

𝒅𝒙= f´(x) la misma expresión.

Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a

Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figura esta igualdad es observable cuando realizas la

operación Δx→0.

Otras situaciones en las cuales la gráfica de la función puede aproximarse mediante una

línea recta de inicio, considerar una función f que es derivable en cla ecuación para la recta

tangente en el punto (c , f(c)) está dada por:

Fig. 3: Diferenciales e incrementos

Y es llamada Aproximación por medio de una tangente (o Aproximación Lineal) de f en c.

Como c es una constante y es una función lineal de x. Además restringiendo los valores de

x de modo que sean suficientemente cercano a c, los valores de y pueden utilizarse como

aproximaciones (hasta cualquier precisión deseada) de los valores de la función f, en otra

palabras cuando x →c. Es el límite y es f(c).

Ejemplo: determinar la aproximación por medio de una recta tangente de f(x) = 1 + sin x

en el punto (0 ,1), utilizar una tabla para comparar los valores y de la función lineal con los

de f(x) en un intervalo abierto que contenga a x = 0.

Solución. La derivada de f es f´(x) = cos x de tal modo la ecuación de la recta tangente ala

gráfica de f en el punto (0 ,1) es:

y - f(0) = f´(0)(x-0)

y - 1 = (1)(x-0)

y = 1 + x

La tabla compara los valores de y dado por esta aproximación lineal con los valores de f(x)

cerca de x=0. Advertir que cuánto más cerca es x a 0 tanto mejor es la aproximación, esta

conclusión se refuerza por medio de la gráfica que se muestra en la figura 4.

x -0.5 -0.1 -0.01 0 0.01 0.1 0.5

F(x) = 1+ sin x 0.521 0.9002 0.9900002 1 1.0099998 1.0998 1.479

Y = 1 +x 0.5 0.9 0.99 1 1.01 1.1 1.5

Figura.4. La aproximación de la recta tangente de f en el punto (0,1).

El uso de los diferenciales como medio de aproximación se basa en la aproximación

lineal , en él se muestra la expresión y – y0 = f ´(x0) (x – x0) la cual se puede escribir y =

f(x0) + f ´(x0)dx o en términos aproximados y = f(x0) + f ´(x0)Δx lo cual nos permite calcular

el nuevo valor de y una vez que nos ubicamos en el punto x + Δx, o bien el incremento que

sufre el valor de y mediante dy = f´(x0) dx que en términos aproximados se puede escribir

Δy = f´(x0) Δx.

En las diferentes expresiones que se han señalado debemos recordar que se emplea la

aproximación Δx ≈ dx y Δy ≈ dy. La situación más complicada que se puede presentar en

las situaciones reales será conocer el valor de la expresión f´(x0), misma que se puede

aproximar mediante la medición de la velocidad con que ocurre la variación dentro de la

situación bajo estudio.

Ejemplo: un fabricante de pelotas de plástico realiza la producción de 1000 pelotas del

modelo R-45 cuya característica de diseño implica un diámetro de 30 cm y un espesor de 2

mm. Por motivo de un desajuste en la maquinaria, los encargados de control de calidad

afirman que las pelotas han salido con un espesor de 2.3 mm. ¿Cuánto plástico en exceso

se ha gastado aproximadamente en la producción?

En este caso, se puede considerar que la pelota es un recipiente de “pared delgada”,

podemos calcular la cantidad de plástico empleada por cada pelota como V = espesor(área

de la pelota) = h(4π r2), sin embargo puesto que h ha variado un poco se tiene ΔV = f´(h0)

Δh = 4π r2 Δh = 4π(15)2(0.03) = 84.823 cm3 y puesto que se produjeron 1000 pelotas

tendremos 84823 cm3, es decir 84.823 lt de plástico, que representa una pérdida

considerable.

Podemos observar que se calcula el volumen de plástico con relación al volumen de la

esfera se tendría V =4π(a3–b3)/3 donde a y b son el radio exterior e interior respectivamente,

luego si consideramos que la variación se dio en el radio exterior a, tendremos que la

variación resulta ΔV = f´(a0) Δa = 4πa2 Δa obteniendo el mismo resultado. Sin embargo, en

este caso es posible calcular “exactamente” la variación, puesto que cada pelota estándar

emplea V =4π(a3–b3)/3 = 4π (15.23–153)/3 = 573.06 cm3de plástico, mientras la pelota con

el desperdicio tiene V2 =4π(15.233–153)/3 = 660.332 cm3que resulta en una diferencia

“exacta” de 87.272cm3 por pelota, con lo que el cálculo previo representa un error ligero

respecto de este valor “exacto”.

CÁLCULO DE APROXIMACIONES EMPLEANDO DIFERENCIALES

Propagación de error

Los físicos e ingenieros tienden a Hacer un uso libre de las aproximaciones de ∆Y mediante

dy, Así sucede en la práctica al estimar los errores propagados por los aparatos de medidas

por ejemplo , si x denota el valor medido de una variable y x + ∆x .

Representa el valor exacto, entonces ∆x es el Error de la medida, por último si el valor

medido x se usa para calcular otro valor f(x) la diferencia entre f(x+ ∆x) y f(x) es el error

propagado.

Ejemplo 1: se mide el radio de una bola de un cojinete y se encuentra que es igual a 0.7

pulgadas como se muestra en la fig.5 Si la medición no tiene error mayor a 0.001 pulgadas

estimar el error propagado en el volumen v de la bola de cojinetes.

Fig.5.Cojinete de bola con el radio medido que no tiene error mayor de 0.01 pulgadas.

Solución:

La fórmula para el volumen de una esfera es de V = 4/3 π𝒓𝟑, donde r es el radio de la esfera

de tal modo es posible escribir r= 0.7 y -0.01≤ ∆r ≥0.01. Para aproximarse el error

propagado en el volumen, se diferencia V para obtener dV/dr = 4 π𝒓𝟐y se escribe:

∆v ≈ dV

ERRORES PEQUEÑOS

=4 π𝒓𝟐 dr

=4 π 𝟎. 𝟕 𝟐(±𝟎. 𝟎𝟏)

≈ ± 𝟎. 𝟔𝟏𝟓𝟖 𝒑𝒖𝒍𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂𝒔

De este modo, el volumen ha propagado un error de casi 0.06 pulgadas cúbicas. El error

propagado en el ejemplo es grande o pequeño, la respuesta se indica de mejor manera en

términos relativos al comparar dV con V.

𝒅𝑽

𝑽=

𝟒 𝛑𝒓𝟐

𝟒/𝟑 𝛑𝒓𝟑

= 𝟑𝒅𝒓

𝒓≈

𝟑

𝟎.𝟕(-0.01) ≈ ± 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟗

Recibe el nombre de error relativo. El correspondiente error porcentual es aproximadamente

de 4.29%.

Ejemplo 2: un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 mts. Y una altura de 10 mts. Se desea

pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 mts. De espesor. Hallar:

a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita.

b. La cantidad exacta de pintura que se necesita.

c. Hallar el error .

Solución.

Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (fig. 6)

El volumen viene dado por la función: .

Fig. 6

La diferencial de V en x = 5, será el valor aproximado:

.

Será el valor exacto, es decir:

La antiderivada

Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la

siguiente forma:

Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.

Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)

La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento

utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración.

Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicará la

operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos

históricos hasta llegar a símbolo como se muestra en la Fig. 7.

Concretamente

diremos que: Fig. 7. Símbolo de la Integral

ANTIDERIVADAS

Aunque esta relación no es del todo general es correcta, nos será útil para incursionar el

análisis de este concepto.

Así por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dxpor lo que :

Pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x) dx=3dx

por lo que:

Podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x)cualquier constante y

tener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es la siguiente:

A la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. Y a la

expresión anterior se le conoce como integral indefinida.

Retomemos el ejemplo:

Que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:

Lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración

obtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:

Como podemos observar el operador de derivada en un operador inverso al de integración,

se ha concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador de integral

antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta y en ocasiones, no

siempre se podrá obtener una solución.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una

primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre

porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F’. La constante es una manera de expresar que cada

función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de

que la función f (x) sea la derivada de otra función F (x) quiere decir que para cada valor de

x, f (x) le asigna la pendiente de F (x).

Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f

(x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha.

Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x)

se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los

puntos sea tangente a los vectores del campo.

En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen

diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

La constante de integración (c), se le pone a todas las integrales indefinidas, ya que hay una

infinidad de funciones que tienen la misma derivada, puesto que sólo varían en una

constante.

Ejemplo:

Y así sucesivamente. Si te das cuenta, las funciones son diferentes, sin embargo tienen la

misma derivada; por lo que al integrar las derivadas (diferenciales más bien), es necesario

agregarle la constante de integración c, pues en una integral indefinida no se sabe cuál es la

constante original de la función.

Cuando se conoce el valor de la integral para algún valor particular de la variable, es posible

determinar el valor de la constante de integración c de la expresión diferencial a integrar.

A continuación se muestran algunos ejemplos:

Derivada de x²= 2x. Derivada de x² - 17= 2x. Derivada de x² + ê= 2x.

CONSTANTES DE INTEGRACIÓN

DETERMINACIÓN DE UNA CONSTANTE

1. Se pide hallar la función cuya primera derivada sea 3𝑥2 y tenga el valor de 12 cuando

x = 2.

Solución.

De acuerdo con las condiciones del problema deberá encontrarse la integral de la diferencial

3𝑥2dx.

Así, se tiene la expresión:

∫3x2 dx = x3 + c

A partir de esto y con los valores otorgados se plantea que:

12 = x3 + c

De donde:

𝟏𝟐 = 𝟐𝟑 + 𝒄

𝒄 = 𝟏𝟐 − 𝟖

𝒄 = 𝟒

Por lo tanto, la función buscada es: = 𝑥3 + 4

2. Se pide hallar una primitiva F(x) de f(x) = 2x, cuya gráfica pasa por el punto P(1,3). Si

pasa por el origen, ¿Qué primitiva se obtiene?

Solución.

De acuerdo con las condiciones del problema, las primitivas de f(x) son de la forma:

F(x) = x2 + c.

Como la primitiva pasa por P(1, 3), se tiene x = 1 y F(x) = 3.

A partir de lo anterior:

3 = ( 1)2 + 𝑐

3 = 1 + 𝑐

𝑐 = 3 − 1

𝑐 = 2

Por lo tanto, la primitiva buscada es:

F (x) = 𝒙𝟐 + 2

Si pasa por el origen, c = 0 y la primitiva es F(x) = 𝒙𝟐.

3. Se pide hallar la función lineal que representa una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el

punto P(0, 4).

Solución.

Como la derivada de la función lineal es su pendiente, se tiene:

F ‘(x) = 2.

De donde:

f(x) = 2x + c

Por pasar por el punto P(0, 4), resulta 4 = c.

Por lo tanto, la función buscada es:

F(x) = 2x + 4

La constante de integración tiene tres significados: el significado analítico, antes abordado;

el significado geométrico, el cual se muestra en este momento; y el significado físico, que se

estudiará

Posteriormente.

Gráficamente, la Integral es una familia de funciones dependiente de la constante de

integración

cuyas gráficas se obtienen por translación de una primitiva dada.

Observa y analiza los siguientes ejemplos.

Figura8

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Y FÍSICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

En el ejemplo (figura9) se muestra una función constante f (x) = k, cuya integral es F (x) = kx

+ c.

Si c (constante de integración) toma diferentes valores, obtenemos una función primitiva

según

el valor asignado a c:

Cada una de estas funciones representa una recta que corta al eje y en 0, ―1, ―2, 1, 2 (que

son los valores dados a c) y todas tienen la misma derivada; es decir, la misma pendiente.

Todas las rectas pueden obtenerse trasladando cualquiera de ellas a lo largo del eje y, ya

que el valor de c no afecta la pendiente de la recta.

Ahora se muestra la función lineal f(x) = 2x, cuya integral es F(x) = x2 + c.

Si conferimos a c nuevamente diferentes valores, obtenemos la función primitiva

correspondiente:

Todas estas parábolas pueden obtenerse trasladando cualquiera de ellas a lo largo del eje y,

ya que el valor de c no afecta la pendiente de la curva.

Físicamente se da significado a la constante de integración en problemas de movimiento

uniformemente acelerado, movimiento de un proyectil, caída libre, entre otros.

El siguiente ejemplo ilustra tal significado.

1. Hallar las leyes que rigen el movimiento de un punto que se desplaza en línea recta con

aceleración constante.

Solución.

Con base en los conocimientos de cálculo y física se tiene que la aceleración a es constante

y se determina a partir de derivar la velocidad v; es decir,

𝒅𝒗

𝒅𝒙= 𝒂

De donde:

dv= a dt

Integrando se tiene: v = a t + c

Para determinar c, se supone a v como la velocidad inicial v0, así se tiene v = v0 cuando

t = 0.

Entonces:v0 = 0 + c

c = v0

Luego se tiene una ley que determina la velocidad: v = a t + v0

También se tiene que la velocidad v se determina a partir de derivar la distancia s; es decir,

𝒅𝒔

𝒅𝒕= 𝒗

O bien:

𝒅𝒔

𝒅𝒕= 𝒂𝒕 + 𝒗𝟎

De donde:

Ds = ( at + v0 ) + dt

SIGNIFICADO FÍSICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Integrando se tiene: 𝒔 =𝟏

𝟐𝒂𝒕𝟐 + 𝒗𝟎 t + c

Para determinar c , se supone a s como la distancia inicial de 𝑆0 ; de esta forma,

S = 𝑆0 Cuando t = 0.

𝑺𝟎 = 𝟎 + 𝟎 + 𝐜

C = 𝑺𝟎

Luego se tiene una ley que determina la distancia :

𝑠 =1

2𝑎𝑡2 + 𝑣0 t + 𝑆0

Al sustituir a = g ,𝑆0 = 0, s =h en esta expresión y en v = at + 𝑣0 , se obtiene las leyes del

movimiento de un cuerpo que cae en el vacio partiendo del reposo :V = g t y h= ½ g 𝑡2 .

Apartir de estas ecuaciones se deduce tambien que : V= 2 𝑔ℎ.