Unidad i hernan arcaya

UNIVERSIDAD FERMIN TOROESCUELA DE INGENIERIA

CABUDARE ESTADO LARA

UNIDAD I

MATEMATICA IIHERNAN ARCAYA

UNIVERSIDAD FERMIN TORO1

INTEGRAL DEFINIDAEl rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo xi-1, xi tiene altura f (xi-1), mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(x i). Como la base de cada rectángulo tiene una longitud x las áreas de estos rectángulos son f (x i-1) x y f (xi) x.

y

f(xi)

x a=x0 xi-1 xi xn=b

Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la

subestimación del área real A

De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la

sobreestimación

La desigualdad implica que An A An , entonces

Las desigualdades se invierten si f`x fuera decreciente. Si el número n de subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la región R.


f (xi-1)

Pero , cuando

El área de la región R está dada por:

Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que y

para i=0, 1, 2, …..n pues xi está a i pasos de longitud a la derecha de

Ejemplos.

1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo .

Solución:

Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.

Por tanto: sustituimos

aplicando propiedad de sumatorias,


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

= aplicamos la fórmula de sumatoria

aplicamos límite cuando

pues y tienden a cero cuando

... A = 9u2

y = x2

A = 9u2

Ejemplo:

2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2 de x=1 a x=5

Solución: El intervalo es 1 , 5

Ahora apliquemos la fórmula


xi-1 xi

x

aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.

Simplificamos (n)

-

Aplicamos límite

A=276 u2

SUMAS DE RIEMANN

Las sumas de aproximación en la ecuación y son ambas de la

forma donde xi* es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo


,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

3,00

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x)

a = x0 x1 x2 …… xi-1 xi xn = b

Una función f definida en a , b que no necesariamente es continua o positiva. Una partición P de a , b es una colección de subintervalos x0, x1, x1, x2, x2, x3,….xn-1, xn de a , b de modo que a = x0 x1 x2 x3 ….. xn-1 xn = b

La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes de los subintervalos en P y se denota .

Para obtener una suma como , necesitamos un punto en el iésimo

subintervalo para cada i, 1 i n. Una colección de puntos donde *,ix en (para cada i) es una selección para la partición P.

Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo a

, b , S una selección para P, entonces la suma de Riemamn

En la siguiente gráfica de la función en el intervalo 0, 3

Suma según los extremos izquierdos


,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

3,00

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x)

,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

3,00

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x)

Según los extremos derechos Según los puntos medios

R= Rmed = ,

LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN

El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición rigurosa de la integral.

Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número


Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La ecuación significa que, para cada número > 0, existe un número > 0 tal que

<

Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que <

Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente.

La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G. W Leibniz, es:

Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de integración.

La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de la Ecuación.

Así si f es integrable en [a, b] , entonces

; es el integrando.

La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es conveniente incluir, cuando a > b y a = b.

* Si a = b


* Si a > b

Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota al área de

la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b.

TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES

“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [

G(x) ]ab entonces

Ejemplo: Evaluar

1)

= - (-1) – (-1) = +1 + 1 = 2

2)

3)

Propiedades de las Integrales Definidas

Sea f una función integrable en :


Propiedad 1:

Es decir, si la base del área de la región bajo la curva

es cero, el área es cero.

Propiedad 2:

> 0 , x y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre

será positiva si f(x) es positiva.

Propiedad 3:

< 0, x y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre

será negativa si f(x) es negativa.

Propiedad 4:

= + , Si f es una función integrable en un intervalo que contiene

los puntos a, b, c talque a < b < c.

Propiedad 5:

Si f y g son funciones integrables en [a,b].

Propiedad 6:

para toda constante k

Propiedad 7:


= - Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la

integral.

Propiedad 8:

Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) g(x).

Propiedad 9:

Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la

constante por la diferencia de los límites de integración.

Ejemplos

Calcular la integral definida de las siguientes funciones:

1)

Solución : como es una constante, entonces: = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)

2) y entonces calcular

Solución:

=


= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo = 20 – 6 + 8 = 22

3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.

4 3 2 1

1 2 3 4 5

Solución:

4) Evalúe

reescribimos

Solución:

integrando obtenemos


Sustituimos aplicando la definición

=

Ejercicios Propuestos

a) R/ = 2025/4

b) R/ = -1661/12

c) R/ = 6

d) R/ = 8.2

e) y dy R/ = 1

f) R/ = 192

g) R/ = 1/4

h) R/ = 1/2

i) R/ = 1/4

j) R/ = 4/


k) R/ = 23.37

l) R/ = 3/2 e (e2-1)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],

entonces = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo

o por .

Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo

1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo

= = F(b) – F(a).

Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.

Ocurren los siguientes casos:

1) Si a > b se tiene

=- [F(a) – F(b)] = F(b) – F(a)

2) a = b se tiene

Ejemplos


Evaluar

a)

b)

c)

* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.

d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2 en el intervalo nótese que y 2.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Área = .

Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Si f es continua en el intervalo cerrado , entonces existe un número “c” en tal

que , c puede ser cualquier punto de .

Si despejamos f(c) tendríamos:

obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un

intervalo cuyo teorema es:

“Si f es integrable en el intervalo cerrado , el valor medio de f en a,b) es

f med ”

Ejemplo

a) Halle el valor medio de en el intervalo 1,4 en este caso a =1, b = 4

f med


GRAFICO f(x) = 3x2-2x

x Y1 12 83 234 40

La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio.

b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la

siguiente integral definida

Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto

Como f(x) = x2 entonces c2 = 3


c = que es valor que satisface la conclusión del teorema.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de la función.

Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:

1) Método del Trapecio

Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo muestra la figura:

x = 0 x1 x2 x3 x4 = b


En este método se supone que f es continua y positiva en de manera que la integral

representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.

En primer lugar partimos en n subintervalos, cada uno de anchura tales que

a= = b

A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura

f(x0)

f (x1)

x0 x1

donde el área del i-ésimo trapecio = por tanto la suma de las áreas

de los n trapecios es:

Área =

que es la regla del trapecio para

aproximar

Ejemplo:

1) Use la regla de los trapecio para estimar con n=5


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Primero calcular

Segundo aplicar la ecuación

=

=

=

y = x2

A = 9.18 u2

2) Use la regla del trapecio para estimar con n=4 y n=8

Cuando n=4

=

Cuando n=8


GRAFICA

como vemos

y

Por tanto tenemos

Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u2 que se aproxima al área exacta que es 2u2

Ejercicios Propuestos

Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del trapecio.


a) R/ = 8/3 u2

b) R/ = 416/3 u2

c) R/ = 38/3 u2

d) R/ = 2/3 u2

e) R/ = 0.089 8.9 * 10-2


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