UNIDAD I

LA RECTA

1.- Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas:

d = lx2 - x1l o bien d = lx1–x2l

Ejemplo: La distancia entre los puntos A(-4,0) y B(5,0) es:

d = 5 – (-4) = 9 unidades o bien d = -4 – 5 = 9 unidades (valor absoluto).

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas:

d = ly2- y1l o bien d = ly1 – y2l

Ejemplo: La distancia entre los puntos (0,-3) y (0,7) es:

d = 7– (-3) = 10 unidades o bien d = -3 -7 = 10 unidades (valor absoluto).

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB.

Por consiguiente, podemos concluir que el cálculo de la distancia entre dos puntos, es la aplicación del teorema de Pitágoras: c = √ a2 + b2 en el plano cartesiano (sistema de coordenadas).

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

Substituyendo:

= =

d = 5 unidades

Ejercicio teórico: Cual es la longitud del segmento AB, si sus coordenadas son: A(2,2) y B (10,8). Unidades en metros.

1) Localización de los puntos en el plano cartesiano.

2) Formula.

3) Substitución.

d = √ (10-2)2 + (8-2)2

4) Desarrollo.

d = √ 82 + 62 = √ 64 + 36 = √ 100

5) Resultado.

d = 10 m.

EJERCICIOS DE AFIRMACION

Encuentre la distancia entre cada par de puntos. Para cada segmento trazar su grafica

en el plano cartesiano.

a) (3,4) y (6,0) GRAFICA

b) (3,5) y (3,-4) GRAFICA

c) (1,1) Y (9,7) GRAFICA

d) (8,7) Y (3,-5) GRAFICA

e) (-4,3) Y (2,-5) GRAFICA

2.- Distancia Media

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia media entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas entre 2:

d = lx2 - x1l o bien d = lx1–x2l

Ejemplo: La distancia media entre los puntos A(-4,0) y B(5,0) es:

d = 5 – (-4) = 4.5 unidades o bien d = -4 - 5= 4.5 unidades (valor absoluto).

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia media entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas entre 2:

d = ly2- y1l o bien d = ly1 – y2l

Ejemplo: La distancia media entre los puntos (0,-3) y (0,7) es:

d = 7– (-3) = 5 unidades o bien d = -3-7 = 5 unidades (valor absoluto).

División de un segmento de recta

Para calcular el punto medio de un segmento de recta utilizamos la siguiente formula.

Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento de recta A(-3,-4), B(4,2).

2

y+y=y y

2

x+x=x

2121

-1=y ,2

1=x

2

2+4-=y ,

2

4+3-=x

2 2

2 2

2 2

2 2

Ejercicios:

1. Encuentre las coordenadas del punto medio de cada par de puntos. a) (2,1), (-4,3) b) ( 3,2), (2,7) c) (-7,-11), (5,12) d) (4,6), (-3,-2) 2. Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los lados de cada triángulo

cuyos vértices son.

a) (1,2), (2,4), (5,2) b) (8,3), (2,-3), (6,-5) c) (3,3), (2,5), (-1,-2) d) (-1,-6), (-3,-5), (-2,-2)

3. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices (2,2), (6,3), (5,7), y muestre que el punto medio equidista de los tres vértices.

3.- Pendiente de la Función lineal

Pendiente de la recta: La inclinación que tiene una recta con el eje “x” se conoce con el

nombre de pendiente de la recta, es decir, la pendiente es la tangente trigonométrica

del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje de las x; y se

representa por m. y puede ser únicamente de cuatro formas:

Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula Pendiente indefinida

Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy

importante ya que la utilizamos en nuestra vida cotidiana o tenemos relación con ella,

por ejemplo:

En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el

agua corra y no se estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la

bolsa de valores también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la

venta del petróleo, entre otros.

Ejemplo: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (-1,5) y (7,-3)

m = y2 – y1 = -3 –5 = -8 = -1

x2 – x1 7–(-1) 8

Ángulos que forman dos rectas.

Dos rectas que se cortan r1 y r2 forman ángulos suplementarios, cada

uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas.

Definimos el ángulo que forman r1 y r2 como aquél que se mide por la

amplitud de la rotación de r1 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del

reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre r2.

Ejemplo:

Obtener los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A (6,3), B (-4,5) y C (-

7,-2)

Primero

determinamos las pendientes de cada lado:

5

1

10

2

64

35 −=

−=

−−

−=

ABm

3

7

74

25=

+−

+=

BCm

13

5

76

23=

+

+=

ACm

Para calcular el ángulo A, tenemos que 13

52 =m y

5

11

−=m

Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.

°=

=

==−

+

=

−

+

=

−

+

−−

=

+

−=

− 35.3265

38tan

60

38

65

6065

38

65

56565

1325

65

51

5

1

13

5

5

1

13

51

5

1

13

5

tan

1tan

1

12

12

A

A

mm

mmA

Para calcular el ángulo B, tenemos que 5

12

−=m y

3

71 =m

Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.

°=°−°=

°−=

−=

−=

−

=−

−

=

−

−−

=

−+

−−

=

+

−=

−

89.10111.78180

11.788

38tan

8

38

15

815

38

65

71515

38

15

71

15

353

3

7

5

11

3

7

5

1

tan

1tan

1

12

12

B

B

B

mm

mmB

Para calcular el ángulo C, tenemos que 3

72 =m y

13

51 =m

Usando la fórmula y sustituyendo tenemos.

°=

=

==+

=

+

−

=

+

−

=

+

−=

− 76.4574

76tan

74

76

39

7439

76

39

353939

76

39

351

39

1591

13

5

3

71

13

5

3

7

tan

1tan

1

12

12

C

C

mm

mmC

Para verificar que los resultados son correctos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

°=°+°+°

°=++

18076.4589.10135.32

180CBA

4.- Paralelismo y perpendicularidad

Si dos rectas son paralelas, el ángulo que forman es de 0°, o cumplen la

condición:

m1 = m2

Dos rectas son perpendiculares entre si, si el ángulo que forman al

cruzarse es de 90°, o si cumplen la condición:

m1 •••• m2 = -1

Estos conceptos son utilizados en el tendido de vías del tranvía, en la

instalación de cables que conducen electricidad, en la construcción de las casas

habitación para cuadrar las ventanas, puertas, closets, entre otros.

Ejercicio: resuelve correctamente los siguientes problemas.

1. Con las condiciones anteriores demuestra que los vértices A(3,3), B(3,-1), C(1,-1), (1,3), son los vértices de un cuadrado.

2. Muestre que los siguientes puntos, A(3,0), B(7,0), C(5,3), (1,3), son los vértices del paralelogramo ABCD.

3. Verifique que el triángulo formado por los puntos A(4,-4), B(4,4), C(0,0), es rectángulo.

Ecuación punto pendiente de la recta.

Pendientes de una línea recta es una medida de su declive, es decir,

de su desvío con respecto a la horizontal.

Ecuación de una recta:

Ecuación que se satisface por las coordenadas de todos los puntos de

la recta. Es decir, que si un punto es de la recta sus coordenadas satisfacen la

ecuación y recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación el

punto pertenece a la recta.

Ecuación de la recta que pasa por un punto:

La expresión corresponde a la ecuación de la recta que pasa por un

punto, cuando es condicionada su pendiente. Llamamos m a una pendiente

cualquiera.

y - y1= m (x-x1)

Ejemplo: Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y cuya pendiente

es 3.

2

y - y1 = m (x-x1)

y – 6 = 3 (x-2)

2

2(y – 6)= 3 (x -2)

2y - 12 = 3x - 6

3x - 2y + 6 = 0

Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por el punto A (-3,4) y tiene una pendiente

3 es:

4

y - y1 = m (x-x1)

y - 4 = 3 (x-(-3)); 4 (y - 4) = 3 (x + 3)

4

4y -16 = 3x +9;

Diagnostico y Retroalimentacion

Para el estudio de la geometría es necesario tener presente los

siguientes Conceptos Básicos:

Punto: es la marca más pequeña que podemos dibujar o la huella que

deja un lápiz en el papel, el cual tiene posición, pero no t

denota con letras del abecedario mayúsculas.

Ejemplo:

Punto

Línea: es una sucesión infinita de puntos, la cual tiene longitud, extensión, dimensión pero no tiene anchura. Se denota minúsculas. Las líneas pueden ser, rectas, curvas, quebradas o mixtas.

Ejemplo:

Línea recta: es una sucesión de puntos en un plano, la cual se

prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.

16 = 3x +9; 3x - 4y 9+16 = 0

3x - 4y +25 = 0

Diagnostico y Retroalimentacion

Para el estudio de la geometría es necesario tener presente los

Conceptos Básicos:

: es la marca más pequeña que podemos dibujar o la huella que

deja un lápiz en el papel, el cual tiene posición, pero no tiene longitud ni anchura. Se

denota con letras del abecedario mayúsculas.

A B

••••

: es una sucesión infinita de puntos, la cual tiene longitud, extensión, dimensión pero no tiene anchura. Se denota con letras del abecedario minúsculas. Las líneas pueden ser, rectas, curvas, quebradas o mixtas.

: es una sucesión de puntos en un plano, la cual se

prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.

Para el estudio de la geometría es necesario tener presente los

: es la marca más pequeña que podemos dibujar o la huella que

iene longitud ni anchura. Se

: es una sucesión infinita de puntos, la cual tiene longitud, con letras del abecedario

: es una sucesión de puntos en un plano, la cual se

prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.

Ejemplo:

A B

Semirrectas: es la porción de una recta limitada por un punto fijo llamado origen,

se denota con una letra mayúscula para el punto de origen y otra letra mayúscula

para cualquier punto localizado sobre la semirrecta.

Ejemplo:

D E

Segmento: es la porción de una recta limitada por dos puntos fijos llamados origen

y extremo, se denota AB

Ejemplo:

A

Plano cartesiano

Al interceptarse dos rectas en un punto en forma perpendicular, se

tendría una recta XX’ y otra YY’, recibiendo el nombre de ejes. De tal manera que la

Y

Y’

X’ X 0

I Cuadrante

( + , + )

II Cuadrante

( - , + )

III Cuadrante

( - , - )

IV Cuadrante

( + , - )

B

recta XX’ se denomina ejes de las abscisas y la recta YY’ se denomina eje de las

ordenas; el punto de intercepción de ambos ejes es el origen del sistema. Los ejes

pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que

se numeran en el orden indicado en la siguiente figura:

Coordenadas

Cada punto P del plano tiene asociado un par de números e

inversamente a cada par ordenado de números le corresponde un punto denotado P (x , y).

En donde “x” representa la distancia del punto P al eje vertical de la

abscisa y “y” representa la distancia del eje horizontal de la ordenada denominado

plano cartesiano.

Localización de un punto en el plano

Ejercicios:

1. Localiza los siguientes puntos en un plano cartesiano, indicando en que cuadrante se encuentra.

A (3,2)

B(-1,-1)

C(1/3, -2)

D(2,7)

E(0,-1)

F(-5 ¾ , 4)

G(-9/2 , -7/3)

Elaboro: Prof. Fernando Cruz Jiménez

Escuela: EPO 141 Fecha: 30 - Dic. – 2011

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas:

d = lx2 - x1l o bien d = lx1–x2l

Ejemplo: La distancia entre los puntos A(-4,0) y B(5,0) es:

d=5 – (-4)=9 unidades o bien d=-4 - 5=9 unidades (valor absoluto).

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas:

d = ly2- y1l o bien d = ly1 – y2l

Ejemplo: La distancia entre los puntos (0,-3) y (0,7) es:

d=7– (-3)=10 unidades o bien d=-3-7=10 unidades (valor absoluto).

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB.

Por consiguiente, podemos concluir que el cálculo de la distancia entre dos puntos, es la aplicación del teorema de Pitágoras: c = √ a2 + b2 en el plano cartesiano (sistema de coordenadas).

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

Substituyendo:

= =

d = 5 unidades

Ejercicio teórico: Cual es la longitud del segmento AB, si sus coordenadas son: A(2,2) y B (10,8). Unidades en metros.

1) Localización de los puntos en el plano cartesiano.

2) Formula.

3) Substitución.

d = √ (10-2)2 + (8-2)2

4) Desarrollo.

d = √ 82 + 62 = √ 64 + 36 = √ 100

5) Resultado.

d = 10 m.

Elaboro: Prof. Fernando Cruz Jiménez Escuela: EPO 141 Fecha: 30 - Dic. – 2011