328

UNIDAD I. RECONOCES LUGARES

GEOMÉTRICOS 1.1 El plano Cartesiano.

El plano cartesiano es la herramienta principal de la geometría analítica. En este campo aparece

relacionado lo geométrico (puntos) y lo analítico (lo algebraico o numérico).

1.2 El sistema de coordenada rectangular.

El sistema coordenado rectangular es la representación gráfica del plano cartesiano. Cualquier

punto del plano cartesiano posee dos coordenadas: una abscisa x y una ordenada y. El punto de

cruce es el origen (o) que representa el cero para las dos coordenadas. A partir de él, los signos de

éstas son positivos en el sentido de las flechas y negativos en el sentido opuesto.

El plano queda dividido por los ejes en cuatro partes llamadas cuadrantes, éstos se ordenan

comenzando por el que tiene sus dos coordenadas positivas, el primer cuadrante, siguiendo para los

restantes el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Así, cada punto en el plano cartesiano tiene solamente una pareja ordenada asociada y,

recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales se le puede asociar únicamente un

punto.

1.3 Puntos, segmentos y polígonos en el plano.

Una vez que se trazan puntos en el plano cartesiano, se descubre que cualquier figura sólo es un

conjunto de éstos. El empleo de coordenadas es una representación para la construcción de figuras

geométricas, tal y como se muestra en la siguiente figura.

329

ACTIVIDADES

Realiza y contesta en cada caso según se indique.

1. En relación con el triángulo ABC de la siguiente figura:

a. Determina las coordenadas de sus vértices.

b. ¿Cuánto mide cada uno de sus catetos?

c. Determina la longitud de su hipotenusa (emplea el Teorema de Pitágoras).

Y

X

y

x

330

2. En relación con el cuadrilátero DEFG:

a. Determina las coordenadas de sus vértices.

b. ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?

c. ¿Cuánto mide cada una de sus bases?

d. ¿Cuánto mide su altura?

3. En relación con el cuadrilátero HIJK:

a. Determina las coordenadas de sus vértices.

b. ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?

c. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

d. ¿Cuál es su perímetro?

e. Determina el valor de su área.

4. En relación con el polígono OPQRS:

a. Determina las coordenadas de sus vértices.

b. Su perímetro y área.

5. En el siguiente plano cartesiano, traza lo siguiente:

a. Triángulo ( ) ( ) ( )

b. El cuadrilátero ( ) ( ) ( ) ( )

331

1.4 Lugar geométrico.

El lugar geométrico es la trayectoria que se visualiza cuando un objeto está en movimiento, por lo

tanto, representa una serie de puntos que poseen cierta regularidad y se representa de diversas

formas.

1.5 El problema fundamental de la geometría analítica.

El problema de la geometría analítica es relacionar las gráficas con las ecuaciones.

1.5.1 La geometría analítica en lo cotidiano.

En la economía:

La ventaja disciplinar de la geometría analítica aparece cuando se lleva al campo de lo cotidiano o

como lenguaje de otras ciencias como la física y la química, o en la administración, contabilidad y

economía.

332

ACTIVIDADES

I. Realiza un esbozo de la gráfica del lugar geométrico representado por la tabla en cada uno de

los siguientes casos.

x y

-2 -5

-1 -4

0 -3

1 -2

2 -1

3 0

4 1

x y

-2 5

-1 4

0 3

1 2

2 1

3 0

4 1

x y

-2 0.0

-1 2.8

0 3.0

1 2.8

2 2.2

3 0.0

333

II. Construye una tabulación en el intervalo indicado y con ella grafica cada una de las

siguientes ecuaciones.

x y

-1

0

1

2

3

4

x Y

-4

-3

-3

-1

0

1

2

3

4

( )

x Y

-4

-3

-3

-1

0

1

2

334

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

Un ama de casa se ayuda económicamente lavando ropa ajena los fines de semana. Para ello

dispone de una máquina lavadora que procesa un máximo de 8 kg por cada lavada y el tiempo

empleado para lavar la ropa de una “carga” es aproximadamente de una hora. A las ocho de la

mañana ha procesado ya 16 kg.

a. Considerando el tiempo t=0 a las 8:00 horas, midiendo el tiempo en minutos y el peso p (kg9 de

ropa lavada, completa la siguiente tabla:

t (horas) p (kilogramos)

0

1

2

3

b. Utilizando la información de la tabla construye el gráfico correspondiente e identifica el tipo de

curva que se genera.

c. Escribe una ecuación algebraica que relacione el peso p (kg) de ropa lavada con el tiempo t (h).

d. A las 15:00 horas el trabajo de lavado ha concluido. Si cada kilogramo de ropa lavada se cobra

a $8.00, ¿qué ingreso le representa este trabajo a la ama de casa? Describe tu razonamiento.

p (kg)

t (h)

335

UNIDAD II. APLICAS LAS PROPIEDADES DE

SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS.

2.1 Segmento Rectilíneo.

El segmento rectilíneo queda determinado en la geometría analítica si se conocen sus dos puntos

extremos. La idea de proporcionarle además una dirección al segmento resulta ser útil en una

diversidad de situaciones, como en la representación de desplazamientos, velocidades, fuerzas y, en

general, todo aquello que puede manejarse con vectores.

2.2 Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos siempre se podrá calcular desde las coordenadas de éstos. El proceso

es bastante sencillo, por lo que puede establecerse una fórmula que nos permita proceder sin realizar

cada vez todo el proceso.

Consideremos dos puntos A y B como se muestra

en la figura, para hallar la distancia entre éstos es

necesario conocer las coordenadas de ambos;

entonces, para calcular la distancia entre estos dos

puntos se requiere la siguiente fórmula:

√( ) ( )

√( ) ( )

√( ) ( )

√

√

336

ACTIVIDADES

Determina la distancia entre los puntos proporcionados.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

337

Determina la coordenada faltante en cada caso.

( ) ( )

( ) ( )

( ) √ ( )

( ) ( )

338

2.3 Perímetro y Área de Polígonos.

Un polígono es una recta quebrada y cerrada; es una figura cerrada formada por segmentos. Para

calcular su área, sólo se necesitan tres elementos primordiales: la representación gráfica de la figura

cuya área se busca, la determinación de la distancia entre dos puntos de un sistema unidimensional

y el conocimiento de obtención de las áreas de un cuadrilátero rectangular, el que tiene ángulos

rectos y de un triángulo.

Encontrar el triángulo cuyos vértices son P (0,6), Q (-3,0) y R (3,0)

Se trazan paralelas a los ejes coordenados por P, Q y R, para que el triángulo quede inscrito en un

cuadrilátero; en ese caso, en un rectángulo cuyos vértices se les llamará S, Q, R y U. Las

coordenadas de cada uno de los puntos sería: S (-3,6), Q (-3,0), R (3,0) y U (3,6). Construido el

rectángulo, aparecen en su interior varios triángulos rectángulos cuyas áreas son muy fáciles de

calcular.

Si la longitud de la base del rectángulo es la distancia de Q a R, y la de la altura la distancia de Q a

S, entonces, por la definición de distancia de un segmento se obtiene:

( )

De donde:

El área del rectángulo ( )

Observando el conjunto gráfico, salta a la vista que si de esta área se resta la suma de las

correspondientes a los triángulos PSQ y PUR, se llega al número que representa la superficie del

triángulo PQR:

( )( )

( )( )

Área del

339

( )

ACTIVIDADES

Calcula las áreas de los triángulos con vértices en los puntos dados.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2.4 División de un segmento.

El punto razón puede obtenerse a través de la

semejanza de triángulos, en la práctica se hace

este proceso para determinar una fórmula que lo

establece sin necesidad de plantear el proceso

completo en cada ocasión.

El punto razón ( ) divide al segmento

dirigido de extremos: inicial ( ) y final

( ) en una razón r conocida.

La razón r que se ilustra es positiva.

El punto medio es un caso especial, en donde r=1.

( ) (

)

ACTIVIDADES

Determina el punto razón (P) para cada uno de los casos propuestos e identifica aquellos que

corresponden al punto medio del segmento.

( ) ( )

( ) ( )

340

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

341

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

Para pintar una pared Luis emplea una pequeña escalera que apoya a 80 cm de ella sobre el piso; la

separación entre el pie de la escalera y cada peldaño es de 40 cm. La situación se presenta en el

esquema siguiente, estando el piso sobre el eje y la pared sobre el eje .

a. Escribe las coordenadas de los puntos extremos de la escalera.

b. Utiliza las coordenadas de los puntos extremos para determinar la longitud de la escalera.

c. Contando desde la parte baja de la escalera, ¿a qué peldaño le corresponde el punto medio de la

misma?; ¿cuáles son sus coordenadas?

40

80

Y (cm)

x (cm)

342

d. Luis ha colocado el bote de pintura en el penúltimo peldaño (contando desde abajo). Utiliza el

punto razón para determinar las coordenadas que representan a este peldaño.

e. En la posición de la escalera. Luis alcanza a pintar con sus brazos hasta 2 m de altura con

relación a la posición de sus pies. Por seguridad sólo puede colocar éstos en el peldaño de en

medio. En estas condiciones, ¿hasta qué altura puede pintar Luis?

343

UNIDAD III APLICAS LOS ELEMENTOS DE

UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

3.1 La recta como lugar geométrico.

Las tablas de valores, las ecuaciones y los gráficos son diferentes objetos matemáticos que ayudan a

visualizar situaciones reales. El resultado son ecuaciones lineales (primer grado) con dos variables,

cuya representación es una recta. Comienzan a observarse las relaciones que se van construyendo

entre las diversas formas de representación.

La recta es un lugar geométrico y el plano cartesiano es un conjunto definido de puntos. Tales

puntos pueden generarse desde una ecuación algebraica al quedar establecido en ésta la

correspondencia entre abscisas y ordenadas. También puede establecerse tal lugar geométrico

directamente desde el ámbito de la geometría, formando la recta que pasa por dos puntos dados, o

por un punto y con cierta pendiente específica. Una tabla, aún con sus limitaciones, también puede

dar lugar a establecer el lugar geométrico de una recta.

Definición de recta:

Un lugar geométrico es una recta si dados dos puntos diferentes: ( ) y ( ) de este

conjunto, y estableciendo el valor de su pendiente con ellos, encontramos que para cualquier otra

pareja de puntos del mismo lugar geométrico la pendiente es siempre la misma.

3.2 Pendiente de una recta.

En el sistema coordenado cartesiano la inclinación de una recta es una de sus características. Ésta

puede medirse directamente a través de su ángulo de inclinación y

a través de su pendiente.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación

de esta; .

El ángulo de inclinación de una recta es el que forma ésta con el

eje de las abscisas, desde los positivos.

La ventaja que tiene emplear a la pendiente como unidad de

medida de la inclinación, es que ésta es un número real, coincidiendo en esto con el sistema

numérico decimal, con la notación posicional característica con la que se opera. El ángulo de

inclinación emplea la notación sexagesimal (grados, minutos y segundos).

La pendiente toma valores positivos, negativos y cero, lo cual proporciona información sobre su

orientación.

344

En el plano cartesiano, la pendiente de una recta puede calcularse si se conoce un par de puntos de

ella, para ello, se establece una relación o fórmula que permita abreviarlo.

Partiendo de ,sustituyendo el cambio de cada variable en la ecuación, la fórmula para

calcular la pendiente quedaría de la siguiente forma:

345

ACTIVIDADES

Determina la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados; encuentra además el

ángulo de inclinación con aproximación hasta minutos.

a. (1,5) y (0,0)

b. (-1,-1) y (1,1)

c. (3,5) y (1,-1)

3.3 Determinación del ángulo entre dos rectas.

El ángulo entre dos rectas está asociado a la inclinación de cada una de ellas, es decir, a sus

pendientes. Si y son las pendientes de las rectas dadas, entonces se puede probar que el

ángulo entre las rectas está dado por la expresión:

Ejemplo:

{

Se calcula la pendiente de cada recta:

346

La tangente del ángulo entre rectas es:

( )( )

O bien,

( )

El ángulo agudo es entonces: 48.37°

ACTIVIDADES

Encuentra el ángulo entre cada pareja de rectas dadas, con una aproximación a dos décimas de

grado.

{

{

{

{

{

3.4 Paralelismo y perpendicularidad.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, tal y como se muestra en la figura; mientras que el

producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es -1 (una es la recíproca negativa de la

otra).

347

3.5 Obtención de la ecuación de la recta.

Existen diversas formas algebraicas en que puede ser representada una recta. Cada una permite ver

algunas de sus características específicas, como sus intercepciones con los ejes, su pendiente, su

distancia al origen, etc. Dos son operativas, ya que a partir de ellas es posible hallar su ecuación

cuando se conocen dos puntos o un punto y la pendiente.

Dos puntos:

Si se conocen los puntos A y B por donde pasa la recta, y ( ) es cualquier otro punto de ella:

(

)( )

Donde y representan cualquier punto de la recta (son las variables).

Forma: Punto pendiente.

Si se conoce un punto ( ) y la pendiente de la recta, y ( ) es cualquier otro punto de

ella:

( )

Donde y representan cualquier punto de la recta (son las variables).

ACTIVIDADES

Determina la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados.

a. ( ) ( )

b. (-1,3), (0,0)

c. (-4,-1(, (-1,2)

d. (6,-4), (2, -3)

e. (-7,7), (2, -1)

f. (-2,2), (5,0)

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tienen la pendiente que se indica.

a. (0,0), m=2

b. (0,0), m=-1

c. (1, -2), m=-2

d. (-2,3), m=5

348

e. (3,1),

f. (-4,0),

3.6 Forma pendiente y ordenada en el origen.

La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera instancia para

conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la intersección con el eje .

Partiendo de la ecuación de la recta, se tiene:

Donde m es el coeficiente de cuando está despejada; b es el término independiente cuando

está despejada.

349

ACTIVIDADES

Utiliza la información de la ecuación para graficarla en el esquema sin calcular puntos

adicionales.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

350

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema. Su solución será evaluada mediante la escala de rangos

correspondientes.

Un conductor, al recorrer 100km, observa que el tanque de gasolina (30 litros) de su vehículo sólo

contiene la mitad de su capacidad, y sabe que recorre aproximadamente 10km/litro. Establece una

ecuación que proporcione la distancia total s (km) que recorrerá (incluyendo la que lleva al

momento) en términos del volumen de consumo V (litros). Para ello:

a. Establece un par de puntos (V,s) considerando que para el consumo cero desde los 30 litros, la

distancia es de 100 km. Y si el consumo es de un litro, ¿cuál es la distancia recorrida? Determina

la ecuación de la recta bajo las condiciones proporcionadas.

b. Existe una forma diferente de visualizar el problema; la pendiente y la ordenada al origen de la

recta que representa la situación están a la vista. Identifica estos parámetros y escribe la relación

solicitada.

c. ¿Qué cantidad de combustible, de los 30 litros, habrá gastado cuando la distancia recorrida sea

de 240 km? ¿Cuánto quedará en el tanque para entonces?

351

UNIDAD IV. UTILIZAS DISTINTAS FORMAS

DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

4.1 Forma general.

La ecuación lineal de dos variables tiene por gráfica una recta. Una recta puede expresarse

analíticamente (algebraicamente) como una ecuación lineal de dos variables.

4.2 Relación entre las formas general y pendiente y ordenada en el origen.

La forma general de la ecuación de la recta es:

Y la forma pendiente y ordenada en el origen de la recta es:

Sustituyendo los valores de la forma general en la forma pendiente tenemos:

(

) (

)

La forma pendiente y ordenada en el origen tiene dos propósitos:

Conocer la pendiente y la ordenada en el origen de una recta desde su ecuación.

Es una notación apropiada para representar a la función lineal.

4.3 Forma simétrica.

La forma simétrica tiene como finalidad dejar a la vista en la ecuación la ordenada y la abscisa,

ambas en el origen. Una forma rápida de hacerlo es recordar que en ambos casos la coordenada

restante es cero. Otra es transformar la ecuación a la forma simétrica, la cual se construye desde la

forma dos puntos considerando la recta que pasa por (a, 0) y (0, b). Así:

352

Emplea la forma de dos puntos

( )

( )

Se divide ambos miembros de la igualdad por

b y se hacen las cancelaciones de los factores

en numerador y denominador del segundo

miembro

( )

( )

Se multiplican los factores en el segundo

miembro y se acomoda la ecuación para llegar

finalmente a la forma simétrica. En ella, la

abscisa en el origen aparece debajo de x y la

ordenada en el origen, debajo de y.

Siguiendo el proceso descrito desde la forma general es posible establecer una relación entre las

constantes A, B y C, con la ordenada y la abscisa en el origen.

La construcción de la forma simétrica se emplea para la determinación, desde la ecuación, de las

intersecciones con los ejes.

ACTIVIDADES

Determina la ecuación de la recta con los datos proporcionados y preséntala en su forma

general, pendientes y ordenada en el origen, así como simétrica.

P(2, -1), Q(0, 1)

P(-1, 3), Q(1,-3)

P(3, -6), Q(-1, -3)

P(-3, 0), Q(0, 2)

P(2, 0), Q(0, 3)

353

4.4 Intersección de rectas.

ACTIVIDADES

Grafica cada recta según las condiciones que se proporcionan y determina su punto de

intersección desde la gráfica.

Determina el punto de intersección de cada pareja de rectas empleando el método analítico

(reducción, sustitución, igualación, determinantes) de tu preferencia.

4.5 Forma normal.

El empleo que se le da a la forma normal es básicamente la determinación de la distancia entre dos

rectas paralelas y la distancia de una recta a un punto.

Partiendo de la ecuación donde

es el radiovector; representa la diferencia (más corta) de la

recta al origen. Por ello es perpendicular a la recta.

es el ángulo que hace el radiovector con el eje .

La forma normal emplea el ángulo del radiovector y la

longitud de éste como las constantes de identificación de

una recta.

La representación normal de una recta es útil porque hace

visible en la ecuación la distancia de la recta al origen en el valor de .

La forma normal de la ecuación de la recta se obtiene también desde la forma general. El proceso es

relativamente simple.

354

√

√

√

Precisiones sobre el signo

En ocasiones se presentarán rectas en cuyas ecuaciones algunos de sus términos no aparecen. Esto

se debe a que sus constantes pudieran tomar el valor cero (simultáneamente A y B no pueden ser

cero). Para estos casos se respetan las siguientes reglas:

4.5.1 Distancia entre una recta y un punto.

La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto ( ) hasta la recta

, es:

√

4.6 Distancia entre dos rectas paralelas.

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera P de cada una de

ellas y se calcula su distancia a la otra recta.

( ) ( )

Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas:

{

355

Primero se calculan las pendientes:

Sustituyendo 0 en la primera ecuación tenemos:

( )

( )

( ) | ( ) ( ) |

√

ACTIVIDADES

Escribe la ecuación de la recta en la forma normal.

Escribe la forma normal de las siguientes rectas y determina su distancia al origen

356

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

Aprovechando un “aventón”, Carlos se bajará del auto sobre el camino en diagonal L1 para ir a la

fuente F en la glorieta, caminando a campo traviesa los 50 m que le separan de ella en la avenida

principal L2 para esperar a Jazmin, quien viene de la escuela E situada a 100 m de la fuente, muy

cerca del cruce de los dos caminos.

a. Determina el ángulo de inclinación de la recta L1.

b. Determina la ecuación de L1 en sus formas general y normal.

c. En relación con el esquema, ¿cuáles son las coordenadas de la fuente F? Utiliza para ello la

relación de distancia no dirigida de una recta a un punto.

d. Encuentra la ecuación de L2 en sus formas general y normal.

e. Determinas las coordenadas de la escuela E.

357

UNIDAD V. APLICAS ELEMENTOS Y

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

5.1 La circunferencia como lugar geométrico.

La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a un

punto fijo llamado centro.

El radio es la distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.

5.2 Elementos asociados con una circunferencia.

Asociado a las curvas, particularmente a la circunferencia, existen rectas, segmentos y otros

elementos que es conveniente tener presentes.

Elemento Característica Figura

Radio Es la distancia que existe

desde el centro de la

circunferencia a cualquier

punto de ella

Cuerda Es el segmento limitado por

dos puntos de la

circunferencia

358

Diámetro Es la cuerda mayor de una

circunferencia. Pasa por el

centro del círculo limitado por

éste y su longitud equivale a

dos radios.

Tangente Es la recta que “toca” a la

circunferencia en un solo

punto; a éste se le llama punto

de tangencia.

Secante El efecto secante se relaciona

con el corte de las dos curvas

(recta y circunferencia, en este

caso). Como la circunferencia

es una curva cerrada, una recta

que la corta hace el “efecto

secante” con dos puntos de

ella.

Arco Es la porción de

circunferencia comprendida

entre dos de sus puntos. Así,

una secante divide siempre a

la circunferencia en dos arcos,

y si pasa por el centro los

arcos son congruentes (tienen

igual medida)

Propiedad Figura

Si L es la longitud de la circunferencia de radio

r, entonces:

359

La longitud L de un arco de circunferencia de

radio r es:

El área A de un círculo de radio r, es:

El área A de una sección circular, cuyo ángulo

central es (en radianes), está dado por:

La medida de un ángulo inscrito en un círculo

es la mitad del ángulo central subtendido sobre

el mismo arco. Para el caso ilustrado en la

figura:

360

ACTIVIDADES

Completa la siguiente tabla. Considera a r el radio de la circunferencia, y es un ángulo central

de la misma, expresado en radianes. A representa el área de la sección circular y L es su

longitud.

r (Rad) A L Operaciones

5

(

) ( )

(

)

2

1

7

12

5.3 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

361

ACTIVIDADES

Determina centro, radio, longitud de la circunferencia y área del círculo delimitado por las

circunferencias siguientes.

362

5.4 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

( ) ( )

5.5 Forma general de la ecuación de la circunferencia.

La ecuación general de la circunferencia es la siguiente:

Donde los coeficientes son números reales.

5.5.1 Transformación de la forma ordinaria a la forma general.

( ) ( )

Se desarrolla la forma ordinaria (binomio al cuadrado)

Si se conoce el centro de la circunferencia C (h, k) y su radio r, se puede fácilmente convertir de la

forma ordinaria a la forma general usando las siguientes definiciones;

5.6. Circunferencia que pasa por tres puntos.

Para calcular la circunferencia que pasa por tres puntos, es necesario realizar lo siguiente:

Calcular los puntos medios y la pendiente de por lo menos dos de las rectas que contienen a los

lados del triángulo; sus vértices son cuerdas de la circunferencia buscada.

363

Con la pendiente de cada lado del triángulo se construye la pendiente de la mediatriz asociada; son

recíprocas y de signo opuesto, pues existe perpendicularidad entre los segmentos y rectas

involucradas ( con AB, y así para el resto).

Se construye las ecuaciones de por lo menos dos de las rectas mediatrices empleando la forma de la

ecuación de la recta punto pendiente.

Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales generado con las dos mediatrices. Tal punto es el

centro de la circunferencia buscada.

Con el centro que se determinó y cualquiera de los puntos iniciales, se encuentra la magnitud del

radio. Se emplean estos valores para escribir la ecuación de la circunferencia.

De acuerdo a la metodología presentada, se resolverá el ejercicio mostrado en la gráfica.

Se calcula el punto medio entre los puntos A y B:

( )

(

)

Encontrando las nuevas ecuaciones.

{

B (8,8)

A (4,0)

C (-1,5)

M1

M2

M3

364

Solucionando con cualquier método algebraico tenemos que:

( )

El radio equivale a 5

ACTIVIDADES

Para cada uno de los siguientes casos determina la forma general de la ecuación de la

circunferencia.

C (4, 5), r=5

C (-2, 0), r= 4

C (3,-1), r=7

C (0, 1), r=6

C (4, 2), r=8

C (-1, -5), r=3

C (3, -1), r=1

Determina la forma canónica de la ecuación de las siguientes circunferencias empleando el

método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5.7 Secciones Cónicas.

La sección cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya relación de distancias a un

punto fijo (llamado foco) y a una recta fija (la directriz) es constante. A tal relación o cociente se le

denomina excentricidad de la cónica.

365

La excentricidad de la hipérbola es igual a 2 y se obtiene al dividir la distancia de tal punto a la

directriz; para todos los casos el valor siempre será 2.

La hipérbole es una curva simétrica y posee dos ramas o partes. Tiene también dos vértices, dos

focos y desde luego un par de rectas llamadas directrices, ya que lo mismo que se realiza con el

foco y la directriz de la derecha, se obtiene con el de la izquierda.

Para el cálculo de este se utiliza el nivel de excentricidad usado en la parábola:

366

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

Rupertino, Gervasio y Aurelio se encuentran en la estancia del asilo de ancianos disfrutando un

programa de televisión, pero el fuerte calor los obliga a emplear un ventilador. Surge en esto un

problema, pues cada uno de ellos solicita que el aparato se coloque más cerca de su lugar, y

finalmente llegan al acuerdo de ponerlo de manera que quede a la misma distancia de cada uno. La

situación se representa en un sistema coordenado, siendo (en metros) R(5, 8), G(-7,0) y A(-8, -5) las

posiciones respectivas de los ancianos, según la letra inicial de su nombre, y V la del ventilador.

Determina las coordenadas de V y la distancia a la que queda el ventilador de cada anciano. Para

ello:

a. Describe un proceso que te lleve a encontrar la respuesta.

b. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por R, G y A en su forma canónica o

estándar.

c. Encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio.

d. ¿Cuáles son las coordendas de la posición del ventilador V? ¿A qué distancia se encuentra el

ventilador de cada anciano?

367

UNIDAD VI. APLICAS LOS ELEMENTOS Y

LAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

6.1 La parábola como lugar geométrico

Un punto ( ) se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto ( ) sea

siempre la misma que la distancia a la recta . Algebraicamente, las condiciones del

problema son:

√( ) ( ) √( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Simplificando se obtiene:

( ) ( )

Es la ecuación ordinaria que presenta al lugar geométrico.

A la ecuación de la parábola de la siguiente forma, le corresponde una sola gráfica.

368

La parábola, de acuerdo a su ecuación abre en el sentido positivo del eje y ( )

6.2 Elementos de la parábola.

En el siguiente gráfico se observan los elementos de una parábola:

369

El lado recto es el segmento de recta con extremos sobre la parábola y que es perpendicular al eje y

pasa por el foco.

La distancia foco-directriz es la que determina la forma de parábola. Si establecemos distancias

iguales se obtendrán parábolas tal vez con orientaciones distintas, pero siempre se podrán hacer

coincidir sus puntos con las debidas traslaciones y rotaciones. Podemos también cuantificar la

abertura de la parábola. Conforme la distancia entre el foco y la directriz aumente, la parábola se

observará más abierta, y viceversa. En realidad, la cuantificación de la abertura de la parábola no

emplea precisamente la distancia foco-directriz, pero si una cantidad derivada de ésta. Se trata de la

distancia foco-vértice.

Aunque la parábola se construye desde la directriz y el foco, el empleo de p como un elemento para

cuantificar la forma de ésta.

6.3 Ecuación de la parábola con vértice en el origen.

La ecuación de la parábola con vértice en el origen es entonces:

Esta es aplicada para la forma de la parábola que presenta en la siguiente figura:

370

La ecuación de la directriz en este tipo de parábola es:

La ecuación de esta parábola es:

( ) ( )

371

Y su directriz:

ACTIVIDADES

Construye para cada uno de los siguientes casos la ecuación de la parábola con los elementos

que se proporcionan, considerando para todos ellos que el vértice es el origen y grafica.

F (-1, 0)

F (0, 1)

Directriz x=2

F (0, 3)

LR=32 y se extiende hacia abajo.

LR=16 y se extiende hacia abajo.

Directriz x=-6

6.4 Forma ordinaria o canónica de la ecuación de la parábola.

El análisis para la determinación de la parábola con centro fuera del origen muestra ciertas

regularidades que existen entre los puntos importantes de ésta: el vértice y el foco. La parábola es

una figura geométrica que puede manejarse desde la geometría y la geometría analítica.

372

⌈ ( )⌉ ( ) ⌈ ( )⌉ ( )

⌈ ( )⌉ ⌈ ( )⌉ ( )

( ) ⌈ ( )⌉ ⌈ ( )⌉

Resolviendo y simplificando:

( ) ( )

6.5 Forma general de la ecuación de la parábola.

El desarrollo de las formas ordinarias tipo 1 y 2 llevan necesariamente a una ecuación de segundo

grado con dos variables, con la particularidad de que sólo una de ellas posee el término cuadrático.

Parábola tipo 1

( ) ( )

( )

Forma general tipo 1:

Parábola tipo 2

( ) ( )

373

( )

Forma general tipo 2:

ACTIVIDADES

Determina la ecuación de la parábola en su forma general y ordinaria, según los elementos que

se proporcionan en cada caso, y realiza el esbozo de su gráfica.

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Determina, desde las ecuaciones de la parábola, su forma ordinaria, las coordenadas de su

vértice y foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de su directriz y grafica la figura.

374

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

La cubierta del techo de un auditorio tiene la forma de arco parabólico, tal como se observa en el

siguiente esquema:

a. Determina las coordenadas del vértice.

b. Determina el valor de p, las coordenadas del foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de

la directriz. Describe el proceso seguido.

c. Encuentra la ecuación de la parábola que contiene a la cubierta de acuerdo con el sistema

coordenado proporcionado.

d. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos soporte sobre las paredes verticales de la cubierta?

375

UNIDAD VII. APLICAS LOS ELEMENTOS Y

LAS ECUACIONES DE LA ELIPSE

7.1 La Elipse como lugar geométrico.

La elipse es una curva plana, cerrada y simétrica en relación al origen, pues para cada punto que se

observe en ella se podrá encontrar otro, prolongando la recta que pasa por él y el origen.

Entre sus elementos se encuentran sus focos y la distancia entre ellos, denominada eje focal. La

elipse también posee vértices; éstos se ubican sobre la misma recta que los focos, el diámetro mayor

de la curva es la distancia entre los dos vértices, conocido como el eje mayor de la elipse. Existe un

diámetro menor al que se le conoce como eje menor de la elipse y siempre es perpendicular al eje

mayor.

7.2 Elementos de la elipse.

El radio focal es el segmento de recta dirigido que va desde un foco F de la elipse hasta un punto

( ) que esté sobre ella.

376

El vértice es cada uno de los puntos de intersección de la elipse con la recta sobre la cual se

encuentran los focos de la elipse.

El eje mayor es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el otro , también se le conoce

como eje transverso.

El centro es el punto medio del eje mayor de una elipse; el eje menor de una elipse es el segmento

de recta que es perpendicular al eje mayor, que pasa por el centro de la elipse y cuyos extremos son

las intersecciones de este segmento con la elipse, también es conocido como el eje conjugado.

Es importante mencionar, que no siempre los ejes de la elipse son como se muestran en la figura.

El lado recto (LR) de una elipse es el segmento de recta que pasa por uno de sus focos, es

perpendicular al eje mayor y cuyos extremos están sobre la elipse.

Teorema:

La longitud del eje mayor de una elipse es igual a la suma de las distancias de un punto cualquiera

( ) que está sobre la elipse a los focos. Es decir, la longitud el eje mayor es: .

7.3 Ecuación de la elipse con centro en el origen.

Partiendo del teorema presentado en la sección anterior se tiene:

.

Si se tiene a la elipse como se muestra en la siguiente figura:

377

La ecuación sería de la siguiente forma con el eje coincidente en x:

√( ) √( )

Cuando el eje mayor coincide en y, tal y como se muestra en la figura:

La ecuación sería:

√ ( ) √ ( )

Para poder resolver este tipo de ejercicios es necesario tener estas propiedades:

( )

378

ACTIVIDADES

Determina la ecuación de la elipse y grafica.

Un vértice V (10,0) y uno de sus focos es F (8,0)

Un vértice es V (0,4) y uno de sus focos es F (0, √ ).

Un vértice es V (0,3) y uno de sus focos es F (0, √ ).

Un vértice es V (0,5) y su excentricidad es

Uno de sus focos es F (-8, 0) y su excentricidad es √

Uno de sus vértices es F (6,0) y su excentricidad es √

7.4 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen.

Partiendo de la condición para cualquier punto ( ) de la elipse es:

Para el tipo 1 de la ecuación con eje mayor paralelo a x como se muestra en la figura se tiene:

√[ ( )] ( )

Resolviendo y simplificando se tiene:

( )

( )

379

Para el tipo 2 de la ecuación con eje mayor paralelo a y como se muestra en la siguiente figura, se

tiene:

√( ) [ ( )]

Resolviendo y simplificando:

( )

( )

7.5 Forma general de la ecuación de la elipse.

La ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al álgebra. Tal forma permite

representar la elipse con una ecuación específica; la ecuación general con dos variables de segundo

grado.

ACTIVIDADES

Transforma las ecuaciones a la forma ordinaria, determina cada uno de los elementos solicitados

y realiza el gráfico de la elipse.

( )

( )

( )

380

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

381

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve el siguiente problema.

En el Medievo algunos reyes empleaban los principios geométricos de la reflexión de la elipse para

obtener información, sobre todo de aquellos vasallos de los cuales desconfiaban. La cubierta del

salón de fiestas del palacio tenía una sección elíptica, de manera que lo que dijera una persona

situada en uno de los focos era perfectamente escuchada por quien se colocara en el segundo foco,

independientemente del ruido general de la fiesta. La nitidez era tal que incluso lo que se susurrara

podía ser oído. ¡Ay de aquel vasallo que sin conocer que las paredes podían oír, se atreviera a

expresar opiniones en contra del monarca! El precio era su vida. Esta situación se presenta en el

siguiente esquema.

a. Sitúa un eje de coordenadas de manera que el origen se ubique en el lugar del monarca y el eje

mayor coincida con el eje x.

b. Determina las coordenadas de los vértices y focos.

c. Encuentra la ecuación de la elipse.

d. ¿A qué distancia se ubica el monarca del vasallo sospechoso?

382

Bibliografía Apolinar, E. S. (2010). Geometría Analítica. En Matemáticas para Bachillerato. Tercer Semestre

(pág. 274).

Vasquez, P. S. (2010). Matemáticas 3 (Primera Edición ed.). Xalapa Veracruz, México: Nueva

Imagen.