Unidad II. Algebra de Boole

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Universidad Nacional de Cuyo Sede Central Gobierno de Mendoza Carrera: Electricidad e Informática Aplicada a la Industria - 2014 Materia: Electrónica Digital Autor: Ing. Víctor Pérez Juárez Revisión: : A.0 Fecha: 01-05- 2014 Unidad II: Algebra de Boole, Funciones Lógicas. Introducción a los Sistemas Digitales INTRODUCCIÓN George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se rigen los razonamientos. En esa época nadie pudo prever la utilización de este álgebra en el diseño de circuitos digitales. Como veremos las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables. Pueden interpretarse como encendido y apagado respectivamente o tensión o no tensión (eléctrica). Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales. Se define Función Lógica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos: + y Suma y Multiplicación respectivamente. Por ejemplo la siguiente expresión: S = (a∙b) + (b∙c) es una función Recopilador: Ing. Víctor Pérez Juárez Nombre Archivo: document.doc Página 1 de 14

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ALGEBRA DE BOOLE

Universidad Nacional de CuyoSede CentralGobierno de Mendoza

Carrera: Electricidad e Informtica

Aplicada a la Industria - 2014 Materia: Electrnica DigitalAutor: Ing. Vctor Prez JurezRevisin: :A.0Fecha:01-05-2014

Unidad II: Algebra de Boole, Funciones Lgicas.

Introduccin a los Sistemas DigitalesINTRODUCCINGeorge Boole cre el lgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretenda explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por las que se rigen los razonamientos. En esa poca nadie pudo prever la utilizacin de este lgebra en el diseo de circuitos digitales.Como veremos las operaciones se realizarn mediante relaciones lgicas, lo que en el lgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables. Pueden interpretarse como encendido y apagado respectivamente o tensin o no tensin (elctrica).Podemos decir, que el sistema de numeracin binario y el lgebra de Boole constituyen la base matemtica para el diseo y construccin de sistemas digitales.

Se define Funcin Lgica a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresin formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos:

+ y Suma y Multiplicacin respectivamente.

Por ejemplo la siguiente expresin:

S = (ab) + (bc) es una funcinSiendo S la forma de denominar a la funcin, mientras que a, b y c son la forma de denominar a las variables. Esta funcin la leeramos de la siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas (1) la funcin lgica S es verdadera(1).Mediante contactos podramos explicar o aclarar la funcin lgica o simplemente representarla en lgica de contactos.

TABLAS DE VERDADA travs de las tablas de verdad se puede conocer tericamente el comportamiento de las funciones lgicas, en funcin de los niveles que se aplican a la entrada. Ms adelante veremos cmo adems nos van a servir para disear circuitos digitales.

abcS

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La combinacin de las variables a, b y c establecen el resultado de la funcin S. En este caso mediante la tabla de la verdad de la funcin.FUNCIONES BSICAS BOOLEANAS

a) Igualdad

FUNCIN: S = aTABLA DE VERDAD

ANALOGA CON CONTACTOS

aS

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b) Unin (funcin = O u OR en ingles )

FUNCIN: S = a+bTABLA DE VERDAD

ANALOGA CON CONTACTOS

abS

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c) Interseccin (funcin Y o AND)

FUNCIN: S = a.bTABLA DE VERDAD

ANALOGA CON CONTACTOS

abS

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d) Negacin (funcin NO o NOR). Tambin denominada, funcin complemento

FUNCIN: TABLA DE VERDAD

ANALOGA CON CONTACTOS

aS

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POSTULADOS DEL LGEBRA DE BOOLEa. Propiedad conmutativa

a + bb + a

a . bb . a

b. Identidad0 + a = a1 . a = a

c. Propiedad distributivaa . (b + c )a . b + a . c

a + (b . c)(a + b) . (a + c)

d. Complementario o inversin

Se comprueba que:

tambin y Principio De Dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relacin o ley lgica le corresponder su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unin (suma lgica) con los de interseccin (producto lgico), y de los 1 con los 0.

Adems hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusin al aplicarlo en los teoremas bsicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicacin del principio de dualidad. Vase que esto no modifica la tabla adjunta.

TEOREMASTeorema del elemento neutro (para la suma y para el producto respectivamente.a + 1 = 1a 0 = 0

Teorema Ley de Absorcin

a + a = aa a = a

a + a b = aa (a + b) = a

La lnea punteada que une los contactos, significa que estos se mueven juntos en tndem, esto es que estn mecnicamente unidos y si cualquiera de ellos se abre o cierra el otro lo sigue en el movimiento.Otro tema es el orden de resolucin. Cuando se tienen parntesis lo que est adentro tiene prioridad, pero cuando no existen, se resuelve primero la multiplicacin y luego la suma.

De igual manera cuando una variable est negada, primero se aplica esto, la negacin y luego se sigue operando.

COMPUERTAS LGICAS. INTRODUCCINLa Compuerta Lgica AND Compuerta Y.ABX

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La compuerta AND o Y lgica es una de las compuertas ms simples dentro de la Electrnica Digital. Su representacin es la que se muestra en las siguientes figuras. La primera es la representacin de una compuerta AND de 2 entradas y la segunda de una compuerta AND de 3 entradas. El resto es simplemente la tabla de verdad de la compuerta de dos entradas. La compuerta Y lgica ms conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener muchas ms (A,B,C, etc.) pero slo tiene una salida X. Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lgico, nivel alto) cuando la entrada A como la entrada B estn en "1". En otras palabras, la salida X es igual a 1 cuando la entrada A y la entrada B y cualquiera otra entrada que tenga la compuerta todas estn en 1

Esta situacin se representa en el lgebra booleana como: X = A*B o X = AB. Una compuerta AND de 3 entradas se puede implementar con interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama. La tabla de verdad se muestra al lado derecho donde: 0 = Abierto y 1 = Cerrado.

ABCL

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Este modo de representar a una compuerta es lo que usualmente se utiliza en los circuitos elctricos discretos y fsicos, como tambin en aquellos automatismos que se programan en los Controladores Lgicos Programables, comnmente llamados simplemente PLC.

Una compuerta AND puede tener muchas entradas. Una AND de mltiples entradas puede ser creada conectando compuertas simples en serie. El problema de poner compuertas en cascada, es que el tiempo de propagacin de la seal desde la entrada hasta la salida, aumenta. Si se necesita una AND de 3 entradas y no una hay disponible, es fcil crearla con dos compuertas AND en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama. La tabla de verdad que le corresponde es similar a la mostrada anteriormente, donde se utilizan interruptores.

De igual manera, se puede implementar compuertas AND de 4 o ms entradas. Por otra parte si tenemos una compuerta de cuatro entradas pero solamente nos hace falta una de tres o dos solo tenemos que unir las patas que nos sobran a algunas de las que estamos usando. Esto es importante para que no queden sueltas al "aire", de esta manera las estamos obligando a que tengan un estado lgico valido, sino solo captarn ruido elctrico del medio ambiente y el comportamiento ser errtico, teniendo la salida cualquier valor lgico impredeciblemente.La Compuerta Lgica "OR" Compuerta "O".La compuerta O lgica o compuerta OR es una de las compuertas ms simples dentro de la Electrnica Digital. La salida X de esta compuerta ser "1" cuando la entrada "A" o la entrada "B" este en "1". O expresndolo en otras palabras: En una compuerta OR, la salida ser "1", cuando en cualquiera de sus entradas haya un "1". La representacin de la compuerta "OR" de 2 entradas y tabla de verdad se muestran a continuacin:ABX

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Y se representa con la siguiente funcin booleana:

X = A+B o X = B+A

Esta misma compuerta se puede implementar con interruptores como se muestra en la figura de la derecha, en donde se puede ver que: cerrando el interruptor A el interruptor B, se encender la luz. "1" = cerrado , "0" = abierto, "1" = luz encendida

En las siguientes figuras se muestran la representacin de la compuerta "OR" de tres entradas con su tabla de verdad y la implementacin con interruptores.

Representacin de una compuerta OR de 3 entradas. Su tabla de verdad es similar a la anterior solo ser cero la salida cuando todas las entradas estn en cero, sino, si al menos una entrada est en uno la salida ser uno. Tambin en la figura se muestra la Compuerta "OR" de 3 Entradas implementada con interruptores. La lmpara incandescente se iluminar cuando cualquiera de los interruptores (A o B o C) se cierre. Se puede ver que cuando cualquiera de ellos est cerrado la lmpara estar alimentada y se encender. La funcin booleana es: X = A + B + C.

Compuerta Lgica "NOR" No "O".Una compuerta NOR (No O) se puede implementar con la concatenacin de una compuerta OR con una compuerta NOT, como se muestra en la siguiente figura:

ABX

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Al igual que en el caso de la compuerta OR, sta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o ms entradas. Las tablas de verdad de estos tipos de compuertas es la mostrada en la figura. Como se puede ver, la salida X slo ser "1"cuando todas las entradas sean "0".Compuerta NOT implementada con compuerta NOR.IX

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Un caso interesante de este tipo de compuerta, al igual que la compuerta NAND, es que cuando las entradas A y B o A, B y C se unen para formar una sola entrada, la salida (X) es exactamente lo opuesto a la entrada, en la primera y la ltima lnea de la tabla de verdad. En otras palabras: Con una compuerta NOR se puede implementar el comportamiento de una compuerta NOT.

Compuerta NOT (No) o Compuerta Inversora.Dentro de la electrnica digital, no se podran lograr muchas cosas si no existiera la compuerta NOT (compuerta NO), tambin llamada compuerta inversora. Esta compuerta como la compuerta AND y la compuerta OR es muy importante. La compuerta NOT entrega en su salida el inverso (opuesto) de la entrada. El smbolo y la tabla de verdad son las del grfico anterior.La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su entrada. En el caso del grfico anterior la salida X = A. Esto significa que si a la entrada tenemos un "1" lgico, a la salida har un "0" lgico y si a la entrada tenemos un "0" a la salida habr un "1"

Nota: El apstrofe en la siguiente expresin significa "negado": X = A, se lee X es igual a A negado por otra parte X = A, X negado es igual a A. Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando despus de dos compuertas, la entrada original.

Un motivo para implementar un circuito que tenga en su salida, lo mismo que tiene en su entrada, es conseguir un retraso de la seal con un propsito especial.

Otro caso, que no es tan comn pero puede aparecer por all en algn circuito es el simple amplificador que se simboliza con un tringulo. el sentido de esto es simplemente aumentar la capacidad de un circuito de alimentar a mltiples entradas.

TECNOLOGAS DE CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES.

LGICA TRANSISTOR TRANSISTOR. TTL.Circuito Integrado AND TTL 7408

Circuito Integrado AND TTL 7411

y esto ltimo est difcil para hacerlo con contactos.

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