RAZONAMIENTO LÓGICO ___ Guía elaborada por el prof: Ing Héctor González C._

2.2 TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES

Dadas dos formas proposicionales equivalentes A y B, resulta de inmediato que la forma AB obtendrá el valor lógico V para cualquier sustitución de los símbolos correspondientes por proposiciones. En razón de la importancia de estas formas proposicionales se les da el nombre de tautologías si se obtiene el valor lógico de V para cualquier sustitución de sus símbolos por proposiciones. En forma natural lo anterior nos lleva a considerar las formas proposicionales que obtienen el valor lógico F para cualquier sustitución de sus símbolos por proposiciones. A estas formas se les denomina contradicciones. Es claro que todas las tautologías son equivalentes. Por esta razón y dada la importancia de estas formas proposicionales, resulta conveniente tener un símbolo para denotarlas. Se denotará una tautología por ( I ) y por (0) una contradicción.

A continuación se muestran algunas tautologías más utilizadas para la simplificación de expresiones.

1) p p2) p p3) ( p q ) q4) p ( p q )5) p ( p q) q6) ( p q) p ( q r ) 7) ( p q) ( p r ) q 8) ( p r ) q ( p q)9) p ( q r ) ( p q)10) ( p q) ( p r ) ( q r )11) ( p q) ( p r ) ( q r )12) ( p q) ( q r) ( p r )

2.5 EQUIVALENCIA LÓGICA

En todo sistema algebraico se necesita definir una relación que establezca bajo cuales condiciones dos expresiones son, para los efectos de la teoría en cuestión, esencialmente iguales. Tal es por ejemplo, la relación de igualdad en álgebra elemental y la equivalencia en lógica proposicional, que se definen a continuación.Sean A y B dos formas proposicionales en los símbolos ( p, q, r, s,.......n). Se dice que A y B son equivalentes si se obtienen los mismos valores lógicos para cualquiera sustitución de los símbolos mencionados anteriormente, en este caso se escribe A B

A continuación se muestran algunas equivalencias más utilizadas para la simplificación de expresiones.

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1) p q p q2) p ( p q ) p3) p ( p q ) q4) p ( p q) p q5) p ( p q) p q6) p q q p7) p q (p q) 0 8) ( p q ) r p ( q r )9) ( p q ) r ( p r ) q10) p ( q r ) ( p q ) ( p r )11) p ( q r ) ( p q ) ( p r )

2.6 LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes del Álgebra de Proposiciones 

P P Doble negación

P P P Idempotencia

P P P Idempotencia

P (q r) (p q) r Ley asociativa

P (q r) (p r) r Ley asociativa

(P q) (q p) Ley del contrarrecíproco

(p q) (q p) Ley conmutativa

(p q) (q p) Ley conmutativa

P (q r) (P q) (p r) Ley distributiva

P (q r) (P q) (p r)  Ley distributiva

(P q) p q  Ley De Morgan

(p q) p q  Ley De Morgan

(P Q) P Q  

P Q P Q)  

2.7 CUANTIFICADORES

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Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si consideramos la función proposicional

P(x) : x es mayor que 0,

podemos particularizar esto diciendo: Existe un número real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendoTodos los números reales son mayores que 0.Notemos que tanto en la particularización como en la generalización se especifica un conjunto en donde toma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los números reales.Existe una notación especifica para la particularización y la generalización:x R | x > 0,que se lee existe un x R tal que x es mayor que 0; mientras quex R, x > 0se lee para todo x R se cumple que x es mayor que 0.

El símbolo se llama cuantificador universal y el símbolo es el cuantificador existencial

Como ya lo hemos afirmado, un cuantificador transforma una función proposicional en unaproposición, a la cual se le asigna un valor de verdad.

2.7.1 Cuantificador Universal ( )

Si p(x) es una función proposicional con extensión A = U, entonces se tiene que : para cada x U se cumple la condición p(x). Este hecho lo simbolizaremos por:

( x U) p(x), o bien x U : p(x)

2.7.2 Cuantificador Existencial ( )

Si p(x) es una función proposicional con extensión A , entonces se tiene que existe por lo menos un x U para el cual se cumple la condición p(x). Este hecho lo simbolizamos por:

( x U) p(x), o bien x U : p(x)

2.7.3 Negación de proposiciones con cuantificadores

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

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(x A)p(x) ( x A) p(x)

(x A)p(x) ( x A) p(x)

Ejemplos

1) Sea A = 1, 2, 3, 4, 5.Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes

a) (x A)(x+3 =10)

Sol: Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10

b) (x A)(x+3 10)

sol: Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3 10

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