Unidad II- Relaciones y Funciones

7/26/2019 Unidad II- Relaciones y Funciones

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Matemtica

Lic. Edith Meryluz Claros Guerrero 1

RELACIONES - CONCEPTOS PREVIOS:

Pares Ordenados:Lospares ordenados son entes matemticos que consisten en doselementos, al los cuales se les denomina primera y segunda componente. Es decir:

ba, Donde: a : Primera componenteb : Segunda Componente

TEOREMA N 01: (Igualdad de Componentes):

Dos pares ordenados son iguales si y solo si son iguales sus primeros y segundoscomponentes respectivamente:

db,, cadcba

PRODUCTO CARTESIANO (A x B)

Dados dos conjuntos no vacos A, B se define el PRODUCTO CARTESIANO AxB ,

como el conjunto de pares ordenados:

BbAaAxBbaAxB , BbAaAxBba ,

Nota 1:Si los conjuntos A y B son finitos con m y n elementos respectivamente, entonces elProducto CartesianoA x B tiene m x nelementos.

PROPIEDADES:

P1. No Conmutativa:Si BxAAxBBA

P2. xAAx

P3. Prop. Distributiva:

AxCAxBBxCAx AxCAxBCBAx AxCAxBCBAx DBxCACxDAxB DBxCACxDAxB

P4. Propiedad No Asociatividad:

BxCAxxCAxB P5. Propiedad de Monotona

CBxCAxCBA , Si CxDAxBDByCA

Nota 2:

Si AxB tiene nelementos entonces AxB tiene n2 subconjuntos


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RELACIONES

Definicin:Dados dos conjuntos no vacos A y B, a un conjunto R de pares ordenados se ledenomina RELACION DE A EN B, si es que R es un subconjunto cualquiera de A x B .Se le denomina tambin Relacin Binaria.

AxBRsisoloysiB,enAdeRelacinunaesR

Una Relacin Binaria R, consiste en:a. Un conjunto A ( conjunto de partida)b. Un conjunto B (conjunto de llegada)c. Un enunciado abierto p(x,y), que puede ser verdadero o falso para todo par ordenado.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION:

DOMINIO RDom : Se llama dominio de una relacin BAR : al conjunto de todas las

primeras componentes de los pares ordenados de la relacin, entonces:

RyxByAxRDom ,, RyxByRDomx ,

RANGO RRang :

Se llama rango de una relacin BAR : , al conjunto de todas las segundas componentes

de los pares ordenados de la relacin.

RyxAxByRRan ,,

RyxAxRRany , REPRESENTACIN GRFICA DE UNA RELACIN MEDIANTE EL DIAGRAMA DE

VENN

x y

R

A B

Conjunto de Partida

(Dominio)

Conjunto de Llegada(Rango)


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PROPIEDADES:

P1: 2121 RDomRDomRRDom

P2: 2121 RDomRDomRRDom

P3: 2121

RRanRRanRRRan

P4: 2121 RRanRRanRRRan

PROPIEDADESDE LAS RELACIONES BINARIAS:

Dado un conjunto A, para el cual se define una Relacin R en A, con AxAR , se diceque:

1. REFLEXIVA:

R es una relacin reflexiva en A, si: RaaAa ,:

2. SIMTRICA:R es una relacin simtrica en A si se cumple que:

RabRba ,, 3. TRANSITIVA:

R es una relacin es transitiva en un conjunto A, si se cumple:

RcaRcbRba ,,, 4. DE EQUIVALENCIA:R es una relacin de equivalencia si cumple simultneamente las tres condiciones:

Relacin Reflexiva Relacin Simtrica Relacin Transitiva

5. ANTISIMETRICA:R es una relacin antisimtrica si y solo si:

baRabRba ,, 6. DE ORDEN:

R es una relacin de orden, si y solo si verifican las siguientes condiciones R es reflexiva R es antisimtrica R es transitiva


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RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Dado una relacin R se consideran los valores del Dominio de R, en el eje X, y los valores del

Rango en el eje Y, y luego se van ubicando los puntos en el plano.

Algunas Grficas de Relaciones ms importantes son las siguientes:

01. Relacin de la forma: 0, 2 cbyaxRyxR baxyRyxR 2, ,

tienen por grfica una lnea recta.

02. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxyxRyxR , tiene por

grfica una circunferencia. En forma particular se tiene:

2222, ryxRyxR 2222, rkyhxRyxR

x = a; DR=a RR=R

X

Y

X

Y

y = a ; DR=R RR=a

X

y = ax+bDR=RR=R

X

Y

X

Y

h

k

C(h,k), radio = r

DR= rhrh , RR= rkrk ,

0,0C , radio = rDR=RR= rr,


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03. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxCyAxRyxR ; tiene porgrfica una elipse:

1,2

2

2

22

b

y

a

xRyxR

;

1,2

2

2

22

b

ky

a

hxRyxR

Donde a, es el semieje mayor y b es el semieje menor, y C( h , k) es el centro de la elipse.

04. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxCyAxRyxR ; tienepor grfica una Hiprbola

1,2

2

2

22

b

y

a

xRyxR ;

1,2

2

2

22

b

ky

a

hxRyxR

Donde aes el semieje transverso o real, bes el semieje conjugado o imaginario, C(h,k)

el centro de la hiprbola.

C(h,k);

DR= ahah ,

RR= bkbk ,

0,0C ,DR= aa, RR= bb,

X

Y

b>a, con Y positivoDR = R

RR = ,, bb

a>b, con X positivo

DR = ,, aa

RR = R


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05. Relacin de la forma:

2

,2

2 akyhxRyxR

tiene por grfica una Hiprbola

06. Relacin de la forma:

cbyyaxRyxR 22, ; kyhxRyxR 22,

cbxxayRyxR 22, y hxkyRyxR , 22

tiene por grfica una parbola

07. Relacin de la forma: xyRyxR 2, y yxRyxR 2,

- a2/2

DR = R-{h}

RR= R

{k}

+ a2/2

DR = R-{h}

RR= R

{k}

Y = + x2

Y = - x2 X = - Y2

X = + Y2


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08. Relacin de la forma: xyRyxR 2, , se le conoce como laFuncin Raz Cuadrada

CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR ECUACIONES EN R2

Definicin: Llamaremos grfica de una relacin de R en R al conjunto de puntos P(x, y), cuyas

coordenadas satisfagan a dicha relacin.

CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA ECUACIN:

Para trazar la grfica de una relacin dada por la Ecuacin E(x,y)=0, se considera:

I. Interseccin con los ejes Coordenados:

a. Con el Eje X: Se hace y=0, en la ecuacin y se resuelve E(0,y)=0

b. Con el Eje Y: Se hace x=0, en la ecuacin y se resuelve E(x,0)=0

II. Simetras:

a. Con respecto al Eje X: Existe simetra con el eje X, si se cumple E(x,y)=E(x, -y)

b. Con respecto al Eje Y: Existe simetra con el eje Y, si se cumple E(x,y)=E(-x, y)

c. Con respecto al Origen : Existe simetra con el origen, si se cumple E(x,y)=E(-x, -y)

III. Extensin:

Se trata de indicar los intervalos mximos en los cuales las variables x y y toman valores

permisibles para la ecuacin dada (Dominio y Rango de la relacin)

IV. Determinacin de las Asintotas

Si la distancia de un punto de la curva a una recta fija L va disminuyendo, tendiendo a cero,

conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen, entonces dicha recta recibe el nombre

de asntota de la curva

Consideraremos las asintotas verticales y Horizontales:

1. Asntota Verticales: X = a

Se despeja yen trminos de x, se hallan los valores de xque hacen cero al denominador

2. Asntota Horizontales: Y = b

Se despeja xen trminos de y, se hallan los valores de yque hacen cero al denominador.

V. Tabulacin

Consiste en calcular un nmero determinado de pares ordenados a partir de la ecuacin E(x,y)

= 0

VI. Construccin de la Curva:

Mapeo de los pares ordenados en el plano.

DR = RR ;0


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FUNCIONESDEFINICION: Una funcin es una transformacin que asocia a cada nmero perteneciente a algn

subconjunto de los nmeros reales otro nmero real (uno slo).

Una funcin de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos

conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno ysolo un elemento del segundo conjunto llamado imagen. Consideremos dos conjuntoscualesquiera A y B a la relacin binaria f de A en B le llamaremos funcin de A en B si ysolo si se verifica:

AxBf

fba, fca , b=cY se denota por:

BAf : : Se lee F es una funcin de A en B donde:

A: Conjunto de Partida B: Conjunto de LlegadaObservacin:

Si fba , )(afb Toda funcin es una relacin pero no toda relacin es una funcin

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Sea BAf : , una funcin de A en B, llamaremos Dominio de la Funcin Fal conjuntode todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por: Dom f

Es decir:

AfyxByAxfDom ,/

Y llamaremos Rango de la Funcin f al conjunto de todas las imgenes de todos loselementos de A, mediante f, al cual detonaremos por: Ran f

Es decir:

BfyxAxByfR ,/anPor ejemplo:

01. La funcin()=

, asocia a cada nmero real distinto de cero su inverso.

Dominioest formado por todos los nmeros reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.

02. La funcin()=:

Dominio: conjunto de los nmeros reales mayores o iguales que cero, ya que la raz denmeros negativos no se puede calcular.

QU PUNTOS (X,Y) SON LOS QUE ESTN SOBRE LA GRFICA DE UNA FUNCIN?Es importante tener claro qu puntos son los que estn sobre la grfica de una funcin determinada.

Ejemplo,sif(x) = x2(a veces, como ya sabes, se escribe:y = x2 ), cules de los siguientespuntos estarn sobre la grfica de esa funcin: A( 0, 1); B (0, 0), C(-1, 1/10); D(3, 6); E(3, 9).


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EVALUACION DE FUNCIONES Y TRAZADOS DE GRAFICOS ESPECIALES:

Consideremos una funcin f con regla de correspondencia : )(xfy , )(fDomx , si x toma

valores especficos, entonces se dice que la funcin ha sido evaluada, es decir:

Si )()(00

xfxfxx

Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia:

Suponiendo que la funcin f es definida por:

21

22

11

),(

),()( DfDf

Dfxxf

Dfxxfxf donde,

El dominio de la funcin se determina por:21)( DfDffDom

El rango de la funcin se determina por: 21)( RfRffRango

TRAZADOS DE GRAFICAS ESPECIALES:

Cuando se conoce una funciny=f(x) en base a esta funcin, se puede construir otra funcin

en forma rpida mediante el siguiente criterio:

1F(x) = f(x) + c 2F(x) = f(x- c)

3F(x) = f(x-h)+k

(x) + c

f(x)

x + c

c>0

c0

h


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4 F(x) = af(x) 5F(x) = f(ax)

6 F(x) = - f(x) 7F(x) = f(-x)

OPERACIONES DE FUNCIONES:

Consideremos dos funciones reales de valor real, RRgf :, si DgDf , entonces:

a) IGUALDAD DE FUNCIONES:

Dos funciones son iguales si:Dom f =Dom g yf(x) = g(x), DgDfx

Y se denota por: gf gf

b) SUMA DE FUNCIONES:Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcin

SUMA f + g por )()())(( xgxfxgf , y se define por:

DgDfgfDom )(

)(),()())(( DgDfxxgxfxgf

c) DIFERENCIA DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcinDIFERENCIA f - g por )()())(( xgxfxgf , y se define por:

f(x)

a (x)

af(x)a>1

0


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DgDfgfDom )(


d) PRODUCTO DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcin

PRODUCTO por )()())(( xgxfxgf , y se define por:

DgDfgfDom ).(


e) COCIENTE DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones con dominiosDom f y Dom g , se denota la nueva funcin

COCIENTE por)()()(

xgxfx

gf , y se define por:

}0)(/{)( xgDgxDgDfgfDom

)(,)(

)())(( g

fDxxg

xfxgf

COMPOSICION DE FUNCIONES:

Consideremos dos funciones reales de valor real, entonces la composicin gf es aquellaque satisface:

})({)( DfxgDgxxgfDom

La regla de correspondencia es: ))(())(( xgfxgf

Cuando las funciones estn definidas por varias reglas de correspondencia:

2122

11

),(

),(

)( DfDfDfxxf

Dfxxf

xf donde,

A BC

Dg

RgDf

Rfg f

f(g(x))


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21

22

11

),(

),()( DgDg

Dgxxg

Dgxxgxg donde,

Entonces:

)()()()()( 22211211 gfDgfDgfDgfDgfDom

FUNCIONES INVERSAS

FUNCION SURYECTIVA

Una funcin BAf : , se dice que es SURYECTIVA, SOBREYECTIVA, si el conjunto

Imagen de A, vaf, cubre a todo el conjunto de llegada B, es decir que todo elemento de B

es imagen de por lo menos un elemento de A.

Si BAf )( , si BRf (El conjunto de llegada B debe coincidir con el Rango de f)

FUNCION INYECTIVA

Una funcin BAf : , se dice que es INYECTIVA, si para todo fDomxx 21, se

cumple: )()( 2121 xfxfxx 2121 )()( xxxfxf

Observacin:

A estas funciones tambin se les conoce como UNIVALENTES UNO A UNO

Se reconoce a una Funcin Inyectiva cuando Toda recta horizontal corta a su grfica a

lo ms en un punto.

FUNCION BIYECTIVA

Una funcin BAf : , se llama funcin BIYECTIVA, si la funcin f es inyectiva y

suryectiva simultneamente.

FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y MONOTONAS

o FUNCION CRECIENTE: La funcinfse llama CRECIENTE, si para todo fDomxx

21

,

se tiene: )()( 2121 xfxfxx

o FUNCION DECRECIENTE: La funcin f se llama DECRECIENTE, si para todo

fDomxx 21, se tiene: )()( 2121 xfxfxx

o FUNCION MONOTONA

La funcinfse llama MONOTONA, si la funcin f es decreciente o creciente.

Teorema: Si una funcinfes creciente, entoncesfes inyectiva (univalente)

Teorema: Si una funcinfes decreciente, entoncesfes inyectiva (univalente)


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FUNCION INVERSA:

Consideremos la funcin }/))(,{( fDxxfxf con dominio Df y rango Rf entonces

diremos que existe la funcin inversa def si y slo si,f es inyectiva.

A la funcin inversa defdenotaremosf* f - 1 , la cual es definida en la forma siguiente:

}/)),({( fDxxxff , donde:

ff RD * y f

f

DR *

Prop.

Si BAf : , es una funcin inyectiva y ABf : , es la funcin inversa de f

entonces:

f

f

Dxxxff

Dxxxff

,)(

,)(

Clculo de la funcin Inversa:

Sea BAf : , es una funcin inyectiva, entonces la funcin inversa ABf : ,

se puede hallar resolviendo la ecuacin xxff )(

FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIODICAS

DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION PAR, si se cumple que:

fDomxfDomx )()( xfxf Observacin:

Si una funcin f es PAR, su regla de correspondencia )(xfy no vara si reemplaza

x por x , por tanto su grfica es simtrica respecto al eje y

DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION IMPAR, si se cumple que:

fDomxfDomx )()( xfxf

DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION PERIODICA, si existe un nmero T

0T tal que:

fDomTxfDomx

fDomxxfTxf ),()( Donde T= Periodo de la funcin

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