Unidad III Mecánica · 2011. 11. 18. · El tiro vertical, al igual que la caída libre, es un...

_ Antología de Física I .

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

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Unidad III Mecánica



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Unidad III. MECÁNICA

3.1 CINEMÁTICA. La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo)

que significa mover. El nacimiento de la cinemática moderna se da con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la academia real de las ciencias de París. En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial. En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert y André-Marie Ampère. Con la

Teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz. Cinemática Clásica.

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, y en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material.

El movimiento trazado por una partícula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa como varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo). El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales.

Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo.

Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la velocidad variará a lo largo del tiempo.

Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el tiempo.

Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tenemos el caso del movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo



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uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, generándose una trayectoria parabólica al componer ambas.

En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

3.1.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Para este caso la aceleración es cero por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación:

x = V·t + x0

donde x0 es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para t = 0. Si x0 = 0 la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en el sistema de coordenadas x(t). Al estudiar las velocidades de un cuerpo rígido, este tipo de movimiento tiene una propiedad fundamental: Todos los puntos de un sólido en translación rectilínea uniforme tienen el mismo vector velocidad.

3.1.1.1 Velocidad.

La velocidad es una magnitud vectorial, a diferencia de la rapidez que es una cantidad escalar. Si un objeto experimenta un desplazamiento vectorial d en un tiempo t, entonces:

V = d/t y la velocidad media o promedio será:

2

0VVV

f

Donde: Vf = velocidad final Vi = velocidad inicial V0 = Velocidad cuando t=0

3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado

El movimiento uniformemente acelerado (MUA)14 presenta tres características fundamentales:



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1. La aceleración siempre es la misma es decir es constante 2. La velocidad siempre va aumentando y la distancia recorrida es proporcional al

cuadrado del tiempo. 3. El tiempo siempre va a continuar, y no retrocederá debido a que es la variable

independiente. Esto significa que a un tiempo doble, la distancia sera 4 veces mayor. (2s)2 = 4 veces mayor. A un tiempo triple la distancia sera 9 veces mayor. (3s)2 = 9 veces mayor.

En un movimiento uniformemente acelerado podemos calcular: Velocidad Aceleración Tiempo Distancia

3.1.2.1 Aceleración.

En mecánica, se define como aceleración a la magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con la que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².

Cuando la aceleración instantánea se mantiene constante tanto en magnitud como en dirección y sentido durante todo el intervalo en que analizamos el movimiento de una partícula, tenemos el caso particular conocido por movimiento uniformemente acelerado. La figura 3.1.2-1 demuestra que dicho movimiento también es una línea recta, pues la dirección de la aceleración se mantiene constante, sólo que difiere del rectilíneo uniforme en que la que

se mantiene constante es la aceleración y no la velocidad instantánea2.

Fig. 3.1.2-1 Representación gráfica del movimiento uniformemente acelerado.



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En éste la aceleración es constante, por lo que la velocidad de un móvil varía de forma lineal. Algunas fórmulas para el MUA son:

Aceleración media am = 0tt

VV

f

of

La velocidad que lleva un cuerpo que sale con una velocidad inicial V0, y que se mueve sobre una recta con una aceleración constante a, puede expresarse en función del tiempo mediante las siguientes fórmulas:

3.1.2.2 Caída libre y tiro vertical.

Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante. Al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrió tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo.3 Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto sería posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.3 La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de

la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.3 Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo experimentarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.3 Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.3

http://es.wikipedia.org/wiki/Lineal



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Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará

positiva hacia arriba. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:

Ecuación Información brindada por la ecuación

Vf = Vo - gt Velocidad como función del tiempo.

h = ½(Vf + Vo)t Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.

h = Vot - ½gt2 Desplazamiento como una función del tiempo.

Vf2 = Vo2 - 2gh Velocidad como una función del desplazamiento.

El tiro vertical, al igual que la caída libre, es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad, sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro vertical comprende subida, bajada de los cuerpos u objetos considerando lo siguiente:

a) Nunca la velocidad inicial es igual a 0.

b) Cuando el objeto alcanza su altura máxima, su velocidad en este punto es 0. Mientras que el objeto se encuentra de subida el signo de la V es positivo; la V es 0 a su altura máxima, y cuando comienza a descender su velocidad será negativa.

c) Si el objeto tarda por ejemplo 2 s en alcanzar su altura máxima tardará 2 s en regresar a

la posición original, por lo tanto el tiempo que permaneció en el aire el objeto es de 4 s.

d) Para la misma posición del lanzamiento la velocidad de subida es igual a la velocidad de bajada

Lo que diferencia a la caída libre del tiro vertical es que el segundo comprende subida y bajada, mientras que la caída libre únicamente contempla la bajada de los cuerpos.

TIPS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE:4

1.-Un objeto se deja caer......... Vo=0 2.-Se lanza............................... Vo diferente a 0

3.1.2.3 Tiro parabólico (tiro horizontal)

La trayectoria descrita por un proyectil es una curva específica llamada parábola. El tiro parabólico se puede estudiar como resultado de la composición de dos movimientos:



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Uniforme a lo largo del eje X (ax =0) Uniformemente acelerado ( g = - 9.8 ) a lo largo del eje vertical Y.

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, que forma un ángulo q con la horizontal. Las componentes de la velocidad inicial son :

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que es el movimiento resultante de la composición de dos movimientos:

uniforme a lo largo del eje X. uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y.=.ax2 + bx + c, lo que representa una parábola. La expresión del alcance horizontal en función de la velocidad inicial y del ángulo es:

Obtenemos la altura máxima cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero, el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0. Y se obtiene la expresión:

http://usuarios.lycos.es/pefeco/movcomb/rectilineo.htm#uniforme

http://usuarios.lycos.es/pefeco/movcomb/rectilineo.htm#acelerado



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La envolvente de todas las posibles parábolas con que puede disparar un cañón se llama parábola de seguridad. La fórmula para calcular el tiempo de vuelo es:

g

senVt subir

2

0

3.1.3 Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección. A todo esto, cabría destacar que el movimiento circular uniforme posee dos velocidades:

1. Desplazamiento angular, y 2. Velocidad angular

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular



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Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo cinemático.

3.1.3.1 Aceleración centrípeta y centrífuga (definición)

La aceleración centrípeta, es la aceleración con la razón de cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento, es decir, con la fuerza centrípeta. La fuerza que provoca el movimiento circular se denomina fuerza centrípeta. Un objeto sobre el cual no actúa ninguna fuerza se mueve en línea recta con velocidad constante. Para hacer que el objeto se desvíe de un camino recto a uno circular, debe ejercerse una fuerza centrípeta en ángulo recto a la velocidad del objeto, dirigida hacia el centro del círculo. Dado que esto provoca un cambio en la dirección de la velocidad del objeto, aparece una aceleración centrípeta, dirigida hacia el centro, que provoca (por la ley de Newton) una fuerza centrípeta. La aceleración centrífuga es aquella que adquieren los cuerpos por causa del "efecto fuerza centrifuga". La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.

3.2 Dinámica La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema.

3.2.1 Leyes de Newton

Primera ley de Newton:

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).



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Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia

desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. Segunda ley de Newton:

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la

fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = ma Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2 , o sea, 1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a . Tercera ley de Newton:

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros. Hay que



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destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre sí, puesto que actúan sobre cuerpos distintos.

3.2.2 Trabajo, Energía (potencial y cinética) y potencia.

TRABAJO: Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento. Se deben de cumplir tres requisitos:

1.- Debe haber una fuerza aplicada 2.- La fuerza debe ser aplicada a través de cierta distancia (desplazamiento) 3.- La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

Figura 3.2.2-1 El trabajo realizado por una fuerza F provoca un desplazamiento S.

Trabajo = fuerza por desplazamiento.

T = F · S La magnitud del trabajo puede expresarse en términos del ángulo θ formado entre F y S.

Trabajo =(F cos θ)S La fuerza que realiza el trabajo está dirigida íntegramente a lo largo del desplazamiento. Por ejemplo cuando se eleva un cuerpo en forma vertical o cuando una fuerza horizontal arrastra un objeto por el piso en este caso:

Trabajo = F·S En unidades del SI el trabajo se mide en N·m (Newtons por metro) esta unidad se llama joule

(J). Un joule es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de una distancia paralela de un metro.



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ENERGÍA: es todo aquello que puede realizar un trabajo. Si un objeto tiene energía quiere decir que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él y si realizáramos un trabajo sobre un objeto, le proporcionamos a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado. En este curso estudiaremos dos tipos de energía: ENERGÍA CINÉTICA: es aquella que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

Cuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética ya que al chocar contra otro puede moverlo y, por lo tanto, producir un trabajo. Para que un cuerpo adquiera energía cinética o de movimiento, es decir, para ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza. Cuanto mayor sea el tiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad del cuerpo y, por lo tanto, su energía cinética será también mayor. Otro factor que influye en la energía cinética es la masa del cuerpo. Por ejemplo, si una bolita de vidrio de 5 gramos de masa avanza hacia nosotros a una velocidad de 2 km/h no se hará ningún esfuerzo por esquivarla. Sin embargo, si con esa misma velocidad avanza hacia nosotros un camión, no se podrá evitar la colisión. La fórmula que representa la Energía Cinética es la siguiente: E c = Energía cinética m = masa V = velocidad Cuando un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad v posee una energía cinética que está dada por la fórmula escrita arriba. En esta ecuación, debe haber concordancia entre

las unidades empleadas. Todas ellas deben pertenecer al mismo sistema. En el Sistema Internacional (SI), la masa m se mide en kilogramo (kg) y la velocidad v en metros por

segundo (m/s), con lo cual la energía cinética resulta medida en Joule ( J ). ENERGÍA POTENCIAL: Es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición. La energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar un trabajo. La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser igual al peso w y el trabajo realizado esta dado por:

Trabajo = Wh= mgh

E c = 1 / 2 · m · v 2



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Este trabajo puede ser realizado por el cuerpo después de haber caído una distancia h por lo tanto el cuerpo tiene una energía potencial igual al trabajo externo necesario para elevarlo, a partir de estos datos se puede calcular la energía potencial.

Ep= mgh POTENCIA: es la rapidez con que se realiza un trabajo.

P = T /tiempo

La unidad de potencia en el SI es el joule por segundo y se denomina watt, 1watt = 1 J/s, y para propósitos industriales:

1hp = 550 ft lb/s 1hp = 746 W = 0.746 kW

1kW = 1.34 hp



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Bibliografía.

1. Raymond A. Serway, John W. Jewett; PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS; 6th

Edition; 2004. 2. R. Resnik, D. Halliday, K. S. Krane; FÍSICA VOL. 1; 4a. edición; 2001. 3. A. Beiser; APPLIED PHYSICS; Mc Graw Hill; Schaum´s Easy Outlines. 4. F. García; FÍSICA CON ORDENADOR, CURSO INTERACTIVO DE FÍSICA EN

INTERNET; Escuela universitaria de ingeniería técnica industrial de Eibar. 5. Crowell; NEWTONIAN PHYSICS; Ed. 2.1; 1998-2001; ISBN 0-9704670-1-X.

6. K. J. Laidler, J. H. Meiser; FISICOQUÍMICA; Editorial Cecsa; 1ª edición; 1997. 7. F. J. Bueche; FÍSICA GENERAL; Mc Graw Hill-Serie Schaum; Segunda edición; 1982.

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