UNIDAD III

RELACIONES DE

PROPORCIONALIDAD

INTRODUCCION

La forma en que el científico verifica la validez de sus

modelos y pone a prueba sus Teorías y Leyes es a través

del experimento; ello lo obliga a plantearlo en la forma más

adecuada para obtener resultados confiables, cuya

interpretación le permitirá o no, aceptar ese modelo.

El análisis o interpretación de resultados, ya sean

valores, gráficas, tabulaciones, etc., debe contestar lo más

claramente posible, la o las preguntas planteadas por el

problema.

3.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RESULTADOS

El resultado directo de un experimento suele ser una tabla

de datos, un gráfico hecho con estos datos facilita la

interpretación de los mismos. Luego se busca establecer

una relación empírica con la realización de la grafica

donde vincula los datos obtenidos.

Cuando analizamos la grafica, encontramos una ecuación

que la represente. Dicha ecuación se llama empírica

porque se obtuvo por medio de un experimento y como

expresión analítica de una gráfica.

Para construir gráficas se sugiere seguir los pasos

siguientes:

•Poner en el eje horizontal la variable independiente y en el

vertical la variable dependiente con sus unidades.

•Escoger las escalas en cada eje de manera que la gráfica

permita hacer un análisis lo más objetivo posible de ella.

•Plotear los puntos colocando el valor de las variables en

los ejes y trazar líneas rectas punteadas perpendiculares a

los ejes.

•Trazar la curva siguiendo la tendencia de los puntos

graficados.

•Escribir en la página del grafico la tabla de los datos que lo

generaron.

3.2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS

VARIABLES.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando

al multiplicar una de ellas por un número, la otra también se

multiplica por el mismo número.

Ejemplo: al cargar un resorte, se mide la deformación que

sufre éste y se determina con un dinamómetro la fuerza

que se le ejerce; los datos que se presentan a

continuación, es la deformación sufrida por el resorte

debido a la fuerza que se le aplica.

Puede observarse que una fuerza de 0.08 N deforma el

resorte en 0.004 m (4 mm) y una fuerza de 0.16 N deforma

al resorte en 0.008 m (8 mm). La relación del cociente entre

estos datos es:

Esta constante k se denomina constante de

proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un

valor de 20 N/m

Al graficar los valores de fuerza contra deformación resultauna recta que pasa por el origen, tal como se muestra en lagrafica.

La expresión que relaciona a las variables fuerza ydeformación es F = k x ó F = 20x

En el análisis de datos a partir de una grafica, se obtienen

dos criterios de análisis, estos son:

INTERPOLACIÓN, cuando el valor se obtiene dentro del

intervalo de dos valores conocidos.

EXTRAPOLACIÓN, cuando el valor que se requiere está

fuera de los datos conocidos.

Ejemplo:

Si deseamos saber cuanto es la fuerza aplicada para

obtener una deformación de 0.005 m (5 mm) aplicamos una

Interpolación. Si deseamos saber cuanto es la fuerza

aplicada para obtener una deformación de 0.011 m (11 mm)

aplicamos una extrapolación.

Interpolación, obtenemos el resultado de 0.10 N

Extrapolación, obtenemos el resultado de 0.22 N

Generalizando; si Y es una magnitud directamente

proporcional con otra magnitud X, esto puede expresarse

de las siguientes formas:

i. Y X, que se lee: Y es directamente proporcional a X

ii. Dado que el cociente entre dos magnitudes directamente

proporcionales es constante, se puede escribir:

iii. Para cualquier par de valores (X1, Y1) y (X2, Y2) de dos

magnitudes, si éstas son directamente proporcionales

se cumple que:

iv. Cuando dos magnitudes Y y X son directamente

proporcionales, el gráfico de éstas es una recta que

pasa por el origen.

Relación Lineal

En la proporcionalidad directa la ecuación Y = KX

corresponde a una recta que pasa por el origen. Esto

quiere decir que cuando X = 0, también Y = 0. Sin

embargo hay magnitudes que se relacionan de tal forma

que cuando el valor de una de ellas es cero la otra es

distinta de cero y su gráfico es una recta como el que se

muestra:

Relación lineal entre Y y X

En este caso se dice que la relación entre las

magnitudes es lineal y se expresa: Y = mX + b

En la relación lineal solo los cambios entre las magnitudes

son directamente proporcionales: Y X o Y = m X.

Cuando la variable independiente toma el valor de cero

(X = 0), la variable dependiente es igual a b (Y=b) y se le

denomina intercepto de la recta.

La proporcionalidad directa puede considerarse un caso

particular de la variación lineal en la que b = 0

Ejemplo: Una partícula se mueve sobre una línea recta tal

que durante un breve tiempo es posible tomar datos de su

desplazamiento con respecto del tiempo. Si se sabe que

esta partícula se mueve a rapidez constante, expresar en

un grafico la relación de los datos obtenidos.

PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS

VARIABLES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando

al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda

dividida entre ese número.

Ejemplo: la relación entre la presión absoluta de un gas y

su volumen, cuando la temperatura de éste se mantiene

constante.

De acuerdo a los datos, cuando el volumen del gas es de

10 L, la presión es de 1.00 atm; cuando el volumen es de

5.00 L (se reduce a la mitad) la presión es de 2.00 atm, (se

duplica).

Si se representan por P1, P2, P3,....., las diferentes

presiones y por V1, V2, V3,...., sus respectivos volúmenes, el

producto entre éstos es constante:

También en este caso K se denomina constante de

proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un

valor de 10.0 atm·L

Al graficar la presión P en función del volumen V se obtiene

una curva tal como se muestra en la siguiente figura. Esta

curva se denomina hipérbola y representa gráficamente la

relación P = K / V

Grafica de P en función de V

Si Y es una magnitud inversamente proporcional con otra

magnitud X, dicha relación puede expresarse de las

siguientes formas:

i. Y 1/X, que se lee: Y es proporcional al inverso de X ó Y

es inversamente proporcional a X.

ii. Dado que el producto de dos magnitudes inversamente

proporcionales es constante, se puede escribir: YX = k ó

Y=k/X.

iii. Para cualquier par de valores (X1,Y1) y (X2,Y2) de dos

magnitudes inversamente proporcionales se cumple

que: Y2 / Y1 = X1 / X2

iv.El gráfico de dos magnitudes Y y X inversamente

proporcionales es una hipérbola como se ilustra en la

siguiente figura:

Proporcionalidad inversa entre Y y X

PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE UNA VARIABLE

Y OTRA ELEVADA A UN EXPONENTE

Esta relación puede expresarse como: Y Xn o Y =

KXn, donde n y K son constantes

Los casos particulares dependen del valor de “n” así:

1. Si n = 1, la relación toma la forma Y = KX que

corresponde a la proporcionalidad directa.

2. Para n > 1 los gráficos son como los que se muestran en

la siguiente figura:

Relación Y = kXn con n > 1, e igual valor de K

3. El valor de n puede pertenecer al intervalo (0 < n < 1)

Ejemplo: En términos más generales

donde; La forma de estos gráficos es como se ilustra

en la siguiente figura

Gráfico de (0<n<1)

Para pequeñas amplitudes, el período de oscilación T de un

péndulo simple es directamente proporcional a la raíz

cuadrada de su longitud L, es decir:

4. El valor de n puede ser negativo (n < 0)

Ejemplo: que también puede escribirse . La

forma de estas gráficas es como se ilustra en la siguiente

figura.

Gráfico para n<0

Ejemplo: La ley de Coulomb,

Determinación de constantes n y k

La relación de proporcionalidad Y Xn debe de cumplir que

Esto significa que:

Escrito de otra forma:

Si se aplican logaritmos a la última expresión:

Despejando el valor de n:

El valor de "n" queda así determinado por la expresión

anterior. La constante de proporcionalidad "k" se determina

tomando puntos del gráfico y usando el valor de "n"

encontrando así:

Ejemplo:

Encontrar la relación de proporcionalidad existente entre las

variables W y Z de los siguientes datos de tabla:

Solución:

Guía básica:

i. El primer paso consiste en graficar los datos para

visualizar el tipo de proporcionalidad existente.

ii. Una vez definido el tipo de proporcionalidad, se

procederá a determinar la expresión matemática que

relaciona a las variables.

iii. El gráfico indica la relación W Zn cuando n<1. Esto

significa que la relación matemática entre W y Z es:

W = K Zn

iv. El segundo paso consiste en determinar los valores de n

y K. Calculando "n":

Para datos experimentales, se calculan varios valores de n

y se obtiene su promedio. Lo mismo es para K. Calculando

K:

De acuerdo a los resultados, la relación entre W y Z es:

MANEJO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS (PAPEL

LOGARÍTMICO)

El proceso de la semana anterior, se aplicó la función

logaritmo a los distintos valores de las variables, para

obtener el valor de “n” y luego el valor de, “K”. Este proceso

se puede simplificar utilizando papel logarítmico; llamado

así porque el trazo de sus líneas se ha hecho basándose

en una escala logarítmica.

Como puede verse en la siguiente figura, la forma en que

se disponen las líneas es diferente a la del papel en escala

lineal (papel milimetrado).

Escalas Logarítmicas

El papel logarítmico se utiliza para “linealizar” curvas de

ecuaciones de la forma:

Esto es así dado que al aplicar la función logaritmo a la

ecuación anterior tenemos:

Si graficamos Log Y en el eje de las ordenadas y Log X en

el eje de las abscisas, obtendremos una línea recta cuyo

intercepto con el eje de las abscisas será Log K y con una

pendiente igual a n. Al usar papel logarítmico, el intercepto

es el valor de la ordenada correspondiente a la abscisa 100,

proporcionándonos directamente el valor de K.

Al usar la forma logarítmica n puede ser encontrado por:

Si se usa papel logarítmico de igual número de ciclos en los

ejes horizontal y vertical, (que los ciclos en ambos ejes

sean del mismo tamaño) el valor de n puede ser obtenido al

medir en mm la variación vertical de la recta ( LogY a) y

su correspondiente variación horizontal ( LogX b). El

valor de n se obtiene así:

Ejemplo: Graficaremos los datos de una experiencia con 1

mol de gas a 0 C, variando la presión y el volumen. Se

desea la ecuación de P en función de V.

Grafico de presión y volumen en escalas logarítmicas

de dos por dos ciclos

El valor de K lo leemos directamente en la escala

logarítmica vertical para un valor de abscisa de 100 (o sea

1). En este ejemplo es necesario prolongar la recta hacia

arriba hasta que corte el eje vertical donde leemos

aproximadamente K = 22.4

Para calcular el valor de n, medimos en mm el valor de “a”

y de “b” en la figura. Su cociente representa el valor

absoluto de n pero como sabemos que la función es

decreciente, nosotros le asignamos el signo negativo

Así, la ecuación buscada es: P = 22.4 V-1.0 o también:

Ejemplo 1: Se obtiene la intensidad de corriente que pasa a

través de diferentes valores de resistencia y se representan

en una tabla.

Solución:

Solución:

Solución:

Planteamiento de la relación matemática:

Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad y

despejamos para “n”:

Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramos

el valor de la potencia:

Solución:

Con el dato de “n” lo sustituimos en la ecuación que

planteamos al inicio y evaluamos para un par conocido,

para determinar el valor de la constante “k”:

k = 5.0 V

Entonces, la relación de las dos magnitudes físicas queda

expresada de la siguiente manera:

R = 5.0/I (Ω)

Ejemplo 2: Se observa el desplazamiento de un isotopo

radioactivo, en el cual se puede notar que, a medida que

avanza aumenta su energía y se reportan estos resultados

en la siguiente tabla:

Solución: Ploteo de los puntos

Solución: Trazamos la tendencia de la curva

Solución:

Planteamiento de la relación matemática:

Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad y

despejamos para “n”:

Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramos

el valor de la potencia:

RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOS

MAGNITUDES DEL TIPO Y = ACbX

En la ecuación Y = ACbX, con la constante C > 1 y X > 0, la

constante b puede ser positiva, lo que corresponde a una

función creciente, y puede ser negativa, resultando ser una

función decreciente, siendo los gráficos respectivos, con la

constante A positiva, las siguientes

Determinación de Constantes

Las constantes “A”, “C”, y “b” pueden calcularse

gráficamente o analíticamente.

MÉTODO ANALÍTICO: considerando un par de puntos

sobre la curva de la grafica en la figura (a) o en (b)

y

Dividiendo la ecuación (1) entre la (2) tenemos:

En la expresión anterior Cb puede interpretarse como

una sola constante D; es decir D = Cb y así se tiene

Aplicando logaritmo

De la función inversa del logaritmo:

D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]

El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación

Y = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valores

conocidos de X e Y o sea las coordenadas de un punto, por

ejemplo el punto 1 con valores X1,Y1 . Así:

Para datos experimentales se obtienen varias D y se

obtiene su media aritmética. Lo mismo es para A.

Procedimiento para el método analítico (resumen):

Escoger dos puntos:

Dividiendo la ecuación (1) entre la (2)

Constante D = Cb , entonces:

Aplicando logaritmo:

Aplicando la función inversa:

D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]

El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación

Y = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valores

conocidos de X e Y. Es decir:

Ejemplo 1:

En la medición de un fenómeno se obtuvieron los

siguientes datos experimentales:

Ploteo de grafica:

Ploteo de grafica:

Ploteo de grafica:

Se sabe que: , entonces

Tomamos dos puntos:

Luego:

Evaluando los puntos:

Por lo tanto:

Calculo de la constante “A”

Tomamos un punto de la tabla (3.000 , 0.250):

La ecuación es:

Ejemplo 2: En un experimento se obtuvieron los siguientes

datos:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Sabemos que:

Luego:

Tenemos que:

Calculo de “A”:

La relación es:

3.7 COMBINACIÓN DE UNA ESCALA LOGARÍTMICA

CON UNA LINEAL

Existe también un papel que está trazado en escala

logarítmica en un eje y en escala lineal en el otro, es

conocido por papel semilogarítmico.

El papel semilogarítmico se utiliza para "linealizar" curvas

cuyas ecuaciones son de la forma: Y = ADx

Si aplicamos la función logaritmo al termino

anterior, obtenemos:

(Log Y) = (Log D) X + (Log A)

Se puede observar de la función anterior que la variable

dependiente está afectada por la función logaritmo,

mientras que la variable independiente no lo posee.

Además A y D son constantes y por lo tanto sus logaritmos

también.

Entonces si graficamos (Log Y) en el eje de las ordenadas

y la variable X en el eje de las abscisas, obtendremos una

línea recta cuyo intercepto será Log A y con una pendiente

igual a Log D

Pasos para linealizar una relación de variables.

Utilizando la escala logarítmica buscamos los valores de

Y, con lo cual estamos graficando automáticamente sus

respectivos logaritmos.

Los valores de X se grafican en la escala lineal marcando

en el eje de las abscisas.

Calcular la pendiente, desde la grafica.

Ejemplo 3:

En un experimento se obtuvieron los siguientes datos:

Ejemplo

Ejemplo

Evaluando la pendiente de la línea recta del gráfico:

Intercepto con la ordenada:

Entonces, la ecuación completa es: