UNIDAD III. RESORTES · En el diseño de resortes el esfuerzo permisible es la resistencia a la...
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Diseño Mecánico II 1 UNIDAD III.- RESORTES 3.1.- INTRODUCCIÓN. Los resortes son elementos flexibles que se utilizan en las máquinas con el objeto de ejercer fuerzas, proporcionar flexibilidad y almacenar o absorber energía. Los resortes se clasifican de manera general en: a).- Helicoidales. b).- Planos. c).- Formas especiales. Los helicoidales incluyen los resortes de sección circular o cuadrada, los cuales se fabrican para resistir cargas de tensión, compresión o torsión. Dentro de los resortes planos se tienen los tipos en voladizo y elípticos. Algunas formas especiales son usadas en maquinarias de reloj, y los cónicos en forma de rondana, denominados arandelas o muelles de Belleville. 3.2.- MATERIALES PARA RESORTES. La resistencia es una de las características más importantes que se debe considerar cuando se selecciona el material de un resorte. Los resortes comerciales provienen del grupo de materiales de alta resistencia y bajo coeficiente de pérdida el cual se define como la fracción de energía que se disipa en un ciclo esfuerzo-deformación unitario. En estos materiales se incluyen el acero al alto carbono; el acero inoxidable laminado en frío endurecido por precipitación; las aleaciones no ferrosas y algunos no metálicos especiales como la fibra de vidrio laminada. Los resortes se fabrican mediante procesos de trabajo en frío o en caliente, dependiendo del tamaño del material, de la relación D/d y de las propiedades deseadas. En general, el alambre preendurecido no se deberá usar si D/d < 4 o si d >1/4 pul.
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Diseño Mecánico II
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UNIDAD III.- RESORTES
3.1.- INTRODUCCIÓN.
Los resortes son elementos flexibles que se utilizan en las máquinas con el objeto de ejercer
fuerzas, proporcionar flexibilidad y almacenar o absorber energía.
Los resortes se clasifican de manera general en:
a).- Helicoidales.
b).- Planos.
c).- Formas especiales.
Los helicoidales incluyen los resortes de sección circular o cuadrada, los cuales se fabrican
para resistir cargas de tensión, compresión o torsión.
Dentro de los resortes planos se tienen los tipos en voladizo y elípticos.
Algunas formas especiales son usadas en maquinarias de reloj, y los cónicos en forma de
rondana, denominados arandelas o muelles de Belleville.
3.2.- MATERIALES PARA RESORTES.
La resistencia es una de las características más importantes que se debe considerar cuando
se selecciona el material de un resorte.
Los resortes comerciales provienen del grupo de materiales de alta resistencia y bajo
coeficiente de pérdida el cual se define como la fracción de energía que se disipa en un
ciclo esfuerzo-deformación unitario. En estos materiales se incluyen el acero al alto
carbono; el acero inoxidable laminado en frío endurecido por precipitación; las aleaciones
no ferrosas y algunos no metálicos especiales como la fibra de vidrio laminada.
Los resortes se fabrican mediante procesos de trabajo en frío o en caliente, dependiendo del
tamaño del material, de la relación D/d y de las propiedades deseadas. En general, el
alambre preendurecido no se deberá usar si D/d < 4 o si d >1/4 pul.
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La resistencia a la rotura del material de un resorte varía significativamente con el tamaño
del alambre, de manera que la resistencia a la rotura no se puede especificar a menos que se
conozca el tamaño. El material y su procesamiento también tienen un efecto en la
resistencia a la tensión. Resultados de pruebas extensivas señalan que la gráfica
semilogarítmica de la resistencia del alambre contra el diámetro del mismo es casi siempre
una línea recta para algunos materiales. La información para cinco materiales se puede
ajustar cercanamente por la forma exponencial siguiente:
md
AutS ---------------------------------(3.1)
En donde
d = diámetro del alambre.
A y m son valores que se obtienen de la tabla (3.1)
Material Rango del tamaño
pul mm
Exponente
m
Constante, A
kpsi (Mpa)
Alambre de piano 0.004-0.250 0.10-6.5 0.146 196 (2170)
Revenido en aceite 0.020-0.500 0.50-12 0.186 149 (1880)
Alambre estirado duro 0.028-0.500 0.70-12 0.192 136 (1750)
Cromo-vanadio 0.032-0.437 0.80-12 0.167 169 (2000)
Cromo-silicio 0.063-0.375 1.60-10 0.112 202 (2000)
Tabla (3.1).- Coeficientes usados en la ecuación (3.1) para cinco materiales de resorte.
En el diseño de resortes el esfuerzo permisible es la resistencia a la fluencia por torsión en
vez de la resistencia a la rotura. Una vez que se conoce la resistencia a la rotura por medio
de la ecuación (3.1), el esfuerzo a la fluencia por cortante (esfuerzo cortante permisible) se
obtiene mediante las siguientes relaciones:
utpermsy SS 40.0 (Acero al carbono estirado en frío)
utpermsy SS 50.0 (Acero al carbono templado y revenido, y acero de baja
aleación)
utpermsy SS 35.0 (Acero inoxidable austenítico y aleaciones no ferrosas)
utpermsy SS 56.0 (para aceros de alta resistencia)
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3.3.- RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESION.
La figura siguiente muestra un resorte helicoidal de compresión hecho de alambre redondo
sometido a una carga axial F.
Figura (3.1).- Resorte helicoidal con carga axial.
Si seccionamos el resorte anterior se observa lo siguiente:
Figura (3.2).- Diagrama de cuerpo libre del resorte helicoidal.
Podemos observar dos tipos de esfuerzos cortantes:
a).- Por carga: 2
41
d
FAF
b).- Por torsión: 3
82
d
FDJ
Tr
El esfuerzo cortante máximo es la suma de los esfuerzos cortantes anteriores:
2348
d
F
d
FD
------------------------(3.2)
Si introducimos el término “índice del resorte” dDC / , y sustituyéndolo en la
ecuación (3.2) se obtiene lo siguiente:
Cd
FDDd
d
FD218
28 11
33
38
d
FDsK
-------------------------------(3.4)
CsK211 --------------------(3.5)
sK = Factor de corrección de esfuerzo cortante (solo se utiliza para condiciones estáticas).
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3.3.1.- Efecto de la curvatura.
La curvatura del alambre intensifica el esfuerzo en la parte interna del resorte, pero lo
reduce ligeramente en el exterior.
Tomando en cuenta el efecto de la curvatura, la ecuación (3.4) se reemplaza por la
expresión
38
d
FDwK
---------------------------(3.6)
CCC
wK 615.04414
---------------(3.7) (“Factor de Wahl”)
Las ecuaciones (3.6) y (3.7) se deberán usar para carga cíclica (esfuerzos por fatiga).
3.3.2.- Deflexión.
La relación fuerza deformación en un resorte helicoidal se puede obtener a partir del
teorema de Castigliano el cual nos dice que: la deflexión en un resorte es igual con la
derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la fuerza aplicada.
Si la energía de deformación es : AG
LFGJ
LTU22
22 , en donde T = FD/2, DNL ,
32
4dJ , y 4
2dA ; por lo que:
Gd
DNF
Gd
NDFU2
2
4
324 ------------------(a)
Aplicando el teorema de Castigliano se tiene:
Gd
FDN
Gd
NFDFU
24
3 48 -----------------(b)
aNN = número de espiras activas.
Puesto que C = D/d , la ecuación (b) puede ordenarse de tal forma que:
24
3
24
35.08
2
1811
CGd
NFD
CGd
NFD aa -----------------------(3.8)
La constante del resorte es k = F/y , por lo que:
25.03
25.03
4
1818C
aC
a NC
Gd
ND
Gdk -----------------------------------(3.9)
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3.3.3.- Condiciones de los extremos y longitud del resorte.
En la siguiente figura se presentan cuatro tipos de extremos usados comúnmente en los
resortes de compresión:
(a) (b) (c) (d)
Figura (3.3).- Tipos de extremos usados en los resortes de compresión: a) Simple;
b) Simple y aplanado; c) A escuadra; d) A escuadra y aplanados.
En la tabla siguiente se indican fórmulas útiles para el paso, longitud y número de espiras
de resortes de compresión para las cuatro condiciones de los extremos descritos en la figura
anterior.
Tipos de extremos
Término Simple Simple y
aplanado
A escuadra A escuadra y
aplanado
Número de espiras en
los extremos, eN
0
1
2
2
Número total de
espiras, tN aN 1aN 2aN 2aN
Longitud libre, oL dpNa )1( aNp dpNa 3 dpNa 2
Longitud sólida, sL )1( tNd tdN )1( tNd tdN
Paso, p
a
oN
dL )(
1a
oN
L
a
oN
dL )3(
a
oN
dL )2(
Tabla (3.2).- Fórmulas para calcular las dimensiones de resortes de compresión.
Dos términos importantes usados en resortes son:
a).- Longitud sólida sL .
b).- Longitud libre oL .
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Longitud sólida ( sL ) .- Es la longitud del resorte cuando todas las espiras adyacentes están
en contacto metal con metal.
Longitud libre ( oL ).- Es la longitud del resorte cuando no se aplican fuerzas externas
sobre él.
3.3.4.- Estabilidad.
Al igual que en las columnas, los resortes de compresión sufren pandeo cuando la carga
axial deformante es demasiado alta. La deformación crítica está dada por la ecuación:
2/1
12
211
efec
Cocr CLy
---------------------------(3.10)
D
Lefec
o ----------------------------(3.11)
)(21 GEEC
--------------------------(3.12)
EG
GEC
2
)(22
2 ----------------------(3.13)
E = módulo de elasticidad
G = módulo de rigidez
= constante de apoyo en los extremos ( tabla 3.3).
Forma de extremo Constante
Resorte soportado entre superficies paralelas
planas (extremos fijos)
0.5
Un extremo soportado por una superficie
plana perpendicular al eje del resorte (fijo);
el otro extremo articulado (con pivote)
0.707
Ambos extremos articulados (con pivote) 1
Un extremo con sujeción y el otro libre 2
Tabla (3.3).- Constantes de apoyo de extremo.
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3.3.4.1.- Estabilidad absoluta.
Esto ocurre cuando en la ecuación (3.10) 12
2
efec
C
.
Lo anterior significa que la condición para la estabilidad absoluta es:
2/1
2
)(2
EG
GEDoL
----------------------------(3.14)
En el caso de los aceros, se tiene:
D
oL 63.2 -----------------------------(3.15)
3.3.5.- Oscilación de los resortes helicoidales..
Una vibración longitudinal que se debe evitar en el diseño de resortes es una oscilación, o
pulso de compresión, que pasa por las espiras a los extremos, donde se refleja y regresa. La
ecuación para la frecuencia natural más baja en ciclos por segundo es
322
2
Gg
DN
dn
a
f -------------------------------(3.16)
G = módulo de elasticidad por cortante
g = aceleración de la gravedad, m/s2
= densidad , kg/m3
También las vibraciones pueden ocurrir en múltiplos enteros, como dos, tres , cuatro veces
la frecuencia más baja.
3.3.6.- Cargas cíclicas.
Los resortes se fabrican para uso frecuente, por lo que casi siempre están sometidos a
cargas cíclicas o de fatiga.
Los resortes helicoidales nunca se usan al mismo tiempo como resortes de compresión y de
extensión. De hecho por lo general se montan con una precarga, de modo que la carga de
trabajo es adicional. Cuando no hay precarga 0i .
Las fuerzas alternante y media se expresan como sigue:
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8
2minmax FF
aF
-------------(3.17)
2minmax FF
mF
-------------(3.18)
3
8
d
DFwa
aK
-----------------(3.19)
3
8
d
DFwm
mK
----------------(3.20)
3
8
d
DFsi
iK
-------------------(3.21)
máxF = fuerza máxima
mínF = fuerza mínima
aF = fuerza alternante
mF = fuerza media
iF = fuerza inicial o precarga
a = esfuerzo alternante
m = esfuerzo medio
i = esfuerzo inicial
wK = factor de Wahl (para cargas cíclicas)
sK = factor de corrección de esfuerzo cortante (para carga estática)
Para resortes el factor de seguridad contra el límite de durabilidad por torsión es:
a
seSsn
----------------------------(3.22)
Contra la fluencia por torsión es:
)( ma
sySsn
---------------------(3.23)
Los mejores datos acerca de los límites de fatiga torsional de los resortes de acero son los
dados por Zimmeli:
seS = ecba Skkk = 45.0 kpsi (310 MPa) para resortes sin granallar
seS = ecba Skkk = 67.5 kpsi (465 Mpa) para resortes granallados
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El granallado es el trabajo en la superficie del material para causar esfuerzos residuales de
compresión que refuerzan la superficie.
En la elaboración del diagrama de Goodman o el diagrama S-N, es necesaria la resistencia
máxima por cortante suS . Para resortes de acero se tiene que:
utsu SS 6.0 -------------------------------(3.24)
Criterio de Goodman: ssu
m
se
anSS1
semsua
suseSS
SSsn
--------------------------------(3.25)
3.4.- RESORTES HELICOIDALES DE EXTENSIÓN.
Cuando se aplica una carga en un resorte de extensión, es importante que la forma de los
ganchos o espiras de los extremos, se diseñen de tal manera que los efectos de la
concentración de esfuerzos causada por la presencia de dobleces agudos disminuya tanto
como sea posible. A continuación se pueden observar algunas características importantes de
este tipo de resorte:
Figura (3.4).- Extremos para resortes de extensión: (a) Diseño convencional; (b) Vista
lateral de la figura (a); (c) diseño mejorado de (a); Vista lateral de (c). La figura (e) nos
muestra las dimensiones de un resorte helicoidal de extensión.
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En la figura (e) de (3.4) se tiene:
oL = longitud libre del resorte
sL = longitud del cuerpo o longitud sólida
lL = longitud del aro
hL = longitud del gancho
ag = espacio
En la figura (3.4-e) se observan algunas de las dimensiones importantes de un resorte
helicoidal de extensión. Todas las espiras en el cuerpo se suponen activas.
El número total de espiras es:
1 at NN ------------------------(3.26)
La longitud del cuerpo es:
ts dNL ----------------------------(3.27)
La longitud libre se mide desde el interior de las espiras de los extremos o ganchos, y es:
lhso LLLL ---------------(3.28)
Para resortes de extensión de arrollado apretado, la curva fuerza-deflexión es tal que se
requiere de alguna fuerza inicial antes de que ocurra alguna deflexión y después de la
fuerza inicial la curva fuerza deflexión es lineal. Considerando lo anterior, la fuerza en el
resorte es:
3
4
8 DN
Gdi
a
FF --------------------(3.29)
donde
iF = precarga
La razón de resorte es:
33
4
88 CN
dG
DN
GdFF
aa
ik
-----------(3.30)
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La tensión inicial arrollada en el resorte, dando una precarga se representa por:
C
d
D
di
iiF88
23 ------------------------(3.31)
Los valores recomendados de i , dependen del índice del resorte y se proporcionan en la
siguiente figura:
Figura (3.5).- Rango preferido del esfuerzo de precarga para varios índices de resortes.
Los esfuerzos críticos en el gancho ocurren en las secciones A y B, como se muestran enla
figura (3.4). El momento flexionante y los esfuerzos cortantes transversales que actúan en
la sección A se expresan como sigue:
2
3
13
1 432
d
F
r
r
d
rFA
AA
----------------------------(3.32)
El esfuerzo cortante que actúa en la sección B es:
4
22
8
r
r
d
CFB
B
----------------------------------------(3.33)
3.5.- RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN.
Los resortes de torsión son utilizados en aplicaciones que requieren un momento de torsión,
como por ejemplo en las bisagras o goznes de algunas puertas y en arrancadores de
automóviles. Se forman por arrollado de la misma manera que los resortes de tensión y
compresión, pero sus extremos se diseñan para transmitir momento torsionante.
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La siguiente figura nos muestra un ejemplo común de un resorte helicoidal de torsión:
Figura (3.6).- Resorte helicoidal de torsión.
Los resortes de torsión pueden diseñarse para que funcionen a niveles de esfuerzo que sean
iguales o excedan la resistencia de fluencia del material del alambre.
El esfuerzo de flexión puede obtenerse aplicando la teoría de la viga curva:
3
32
d
FrI
Mc KK
------(a)
K = factor de concentración de esfuerzos que depende de la forma del alambre.
Para alambre redondo se tiene:
)1(414 2
CCCC
iK -------------------------(3.34)
El esfuerzo por flexión para un resorte de tensión hecho de alambre redondo se determina
como sigue:
3
32
d
FriK
-----------------------------(3.35)
La deflexión angular en radianes es:
Ed
FrDNa
4
64 ----------------------------(3.36)
La deflexión angular en revoluciones es:
Ed
FrDN
Ed
FrDNrevrev
aa
44
18.1032
2
1
-------------------(3.37)
El módulo del resorte es:
aDN
EdFrk64
4
------------------------(3.38)
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Esta constante puede representarse también como el momento de torsión requerido para
enrollar el resorte una vuelta completa; esto es:
aDN
Edkk18.10
42 ----------------(3.39)
El número de espiras activas es
esa NNN --------------------------(3.40)
donde
sN = número de espiras en el cuerpo
eN = número de espiras en los extremos = D
ll
321
21,ll = longitudes de los extremos
Frecuentemente los resortes de torsión se utilizan sobre una barra redonda. Cuando se
aplica una carga, el resorte se arrolla hacia arriba, causando una disminución en el diámetro
interior. El diámetro interior de un resorte de torsión cargado es:
a
ia
N
DNiD
----------------------------(3.41)
en donde
dDDi
revaa NN
D = diámetro medio de la espira
d = diámetro del alambre
aN = número de espiras en el resorte sin carga
iD = diámetro interior del resorte sin carga
aN = número de espiras en el resorte con carga
iD = diámetro interior del resorte con carga
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3.6.- RESORTES BELLEVILLE.
Estos resortes se forman como un disco cónico, y son especialmente útiles donde se
requieren grandes fuerzas y pequeñas deflexiones. Entre las aplicaciones comunes se
incluyen los soportes de platos de embragues, los mecanismos de retroceso de pistolas y
una gran variedad de conexiones con pernos.
En la siguiente figura se observa la sección transversal de un resorte Belleville. De los
parámetros principales que afectan a estos resortes son:
a).- Razón del diámetro: iod DDR /
b).- Razón altura espesor: h/t
Figura (3.7).- Resorte Belleville común.
Con base a la figura (3.8), el comportamiento de un resorte Belleville el altamente no lineal
y varía demasiado con un cambio h/t . Para valores pequeños de h/t el resorte actúa casi
linealmente, mientras que para valores mayores conducen a un comportamiento altamente
no lineal.
Figura (3.8).- Respuesta fuerza deflexión de un resorte Belleville.
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Las curvas fuerza-deflexión para resortes Belleville están dadas por
3
2)1(
4 )(22
1
tthhFoDK
E
---------------------------(3.42)
donde
E = módulo de elasticidad
= deflexión desde un estado sin carga
oD = diámetro exterior de la espira
= módulo de Poisson para el material
h = altura del resorte
t = espesor del resorte
El factor 1K está dado por
2
2)1(
ln6
1d
d
d R
R
RK
-------------------------(3.43)
La fuerza que se requiere para aplanar completamente u resorte Belleville está dada por:
)1(
422
1
3
oDK
EhtplanaF ----------------------------(3.44)
La fuerzas asociadas con un resorte Belleville se pueden multiplicar apilándolos en paralelo
como se muestra en la figura (3.9a). La deflexión asociada con una fuerza dada se puede
incrementar apilando los resortes en serie, según se observa en la figura (3.9b).
Figura (3.9).- Apilado de un resorte Belleville.
(a) En paralelo; (b) en serie.
